Estatistica_aulas_27_28_TesteHipoteses_Aderencia

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EstatEstatíísticastica-- Prof. Paulo Renato A. Firmino , Prof. Paulo Renato A. Firmino , aulasaulas 2727--28 28 –– Testes de Testes de AderênciaAderência 1
Estatística
Prof. Paulo Renato A. Firmino
praf62@gmail.com
Aulas 27 - 28
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Teste de hipóteses: Passos
• Passos para a construção de um teste genérico
1. Fixe H0, H1 e α
• Determine H0 como a hipótese que se deseja refutar
– H0 sempre envolverá uma igualdade
– A rejeição de H0 levará à aceitação da hipótese alternativa H1
• α= P(rejeitar H0| H0 é verdadeira)
– α é denominado nível de significância do teste
2. Escolha o parâmetro (θ) e seu estimador ( ) a ser usado para testar 
H0
• Obtenha a distribuição amostral do estimador
– O valor de θ será fixado em H0
3. Calcule a estimativa de θ proveniente da amostra aleatória ( ) e seu 
p* (valor-p)
• Deve-se buscar uma amostra representativa da população
• p*≡ a probabilidade de se obter uma estimativa ao menos tão “estranha”
quanto , assumindo ser H0 verdadeira
4. Se p* < α, rejeita-se H0
• Caso contrário, não há porquê rejeitar H0
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Θˆ
obsθˆ
obsθˆ
Θˆ
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• Testes de hipóteses têm nos permitido inferir sobre: 
1. uma população através de sua média/proporção
• Eles nos permitirão agora inferir sobre:
2. uma população através de sua distribuição de probabilidades
3. a homogeneidade de diversas populações através de suas distribuições de 
probabilidades
4. a homogeneidade de diversas populações através de suas médias
Teste de hipóteses: Aderência & Homogeneidade
Amostragem
Inferência 
Indutiva
Estatística 
Descritiva
Probabilidade
1
Amostragem
Inferência 
Indutiva
Estatística 
Descritiva
Probabilidade
= ou ≠
?
2
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• Testes de hipóteses têm nos permitido inferir sobre: 
1. uma população através de sua média - Teste para a média com 
variância (des)conhecida
• Eles nos permitem ainda inferir sobre:
2. uma população através de sua distribuição de probabilidades: 
Testes de Aderência (Qui-quadrado de Pearson, Kolmorogov-
Smirnov e Lilliefors)
3. a homogeneidade de diversas populações através de suas
distribuições de probabilidades: Teste de Aderência (Qui-
quadrado de Pearson)
4. a homogeneidade de diversas populações através de suas médias: 
Análise de Variância (ANOVA)
Teste de hipóteses: Aderência & Homogeneidade
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• Passo 1: Especificando as Hipóteses
H0: p = p0 vs H1: p ≠ p0 onde
p ≡ a real distribuição de probabilidades da variável sob estudo (X)
p0 ≡ uma dada distribuição pretendida para p
• Definine-se p e p0 a partir do conjunto Ω’X={x1, x2, ..., xk}
ƒ Para X qualitativa, Ω’X = ΩX;
ƒ Para X quantitativa, onde ΩX não é um conjunto finito, Ω’X
trata-se de uma partição de ΩX, em k categorias
ƒ Ex: Se 
ƒ Assim, para p=(p1, ..., pk) e p0=(p01, ..., p0k) pode-se definir
ƒ H0: pj=p0j (para todo j=1, ..., k) vs H0: pj≠p0j para algum j
Teste de aderência de uma distribuição 
(Qui-quadrado de Pearson)
)},30[x),30,10[x),10,0[x{'
}0x|x{
321X
X
+∞====Ω
→≥ℜ∈=Ω
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Exemplo 1 (de Bussab & Morettin): O gerente de um cassino afirma que 
cada um dos seus dados é honesto. Um inspetor deseja estudar a 
veracidade de tal hipótese a partir de um específico dado.
Passo 1: X≡face voltada para cima em um lançamento do dado
p ≡ a real distribuição de probabilidades de X
p0 ≡ uma distribuição pretendida para p
ƒ Neste caso, o gerente defende que X~Uniforme Discreta (1, 6):
ƒ p0=
• As hipóteses são, então
pj=p0j=1/6 (para todo j=1, ..., 6) vs H0: pj≠1/6 para algum j
• Fixa-se α=P(rej. H0|H0 é verdadeira) = 1%.
Teste de aderência de uma distribuição 
(Qui-quadrado de Pearson)
⎪⎩
⎪⎨
⎧ ===
.c.c,0
;6,...,2,1x,
6
1
)xX(P jj
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Exemplo 1: O gerente de um cassino afirma que cada um dos seus 
dados é honesto. A partir de uma amostra de tamanho n,
• Passo 2: Trabalharemos com
ƒ a distribuição de frequências observadas (amostra)
• para inferirmos sobre 
ƒ a distribuição de frequências esperadas (população)
• Isto se dará através do estimador 
• Sob H0, espera-se, de uma amostra de tamanho n, ej=n.p0j
( )
⎪⎩
⎪⎨⎧ ≡
≡−=
∑
=
− j categoria da esperada frequênciae
j categoria da observada frequênciaO
onde,
e
eO
Q
j
j
j
k
1j
2
jj
1k
Teste de aderência de uma distribuição 
(Qui-quadrado de Pearson)
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• Passo 2: Distribuição do estimador
• Considera-se, para uma amostra de tamanho n, que
• ej =np0j > 5, para todo j=1, ..., k.
ƒ Supõe-se que, para H0 verdadeira
• Oj~Binomial (n, p0j) e que, assim,
• Qk-1~Qui-Quadrado(k-1) graus de liberdade
– Usa-se ainda a simbologia Qk-1~χ2(k-1)
8
( )
j
k
1j
2
jj
1k e
eO
Q
∑
=
−
−
=
Teste de aderência de uma distribuição 
(Qui-quadrado de Pearson)
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VACs - Função Densidade de Probabilidade
• Distribuição Qui-Quadrado
ƒ Espaço de possibilidades = {x real| x > 0}
ƒ . , com k > 0
ƒ k- Graus de liberdade para X
ƒ E(X) = k
ƒ V(X) = 2k
• Também faz uso de valores tabelados
dchisq # density
pchisq # probability
qchisq # quantile
rchisq # random
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• Passo 3: Construção da regra de decisão
• Diante de uma amostra de tamanho n e estimativas oj e ej (j=1, ..., k) obtem-se
ƒ a estimativa 
ƒ e o p-valor: p* = P(Qk-1 >qk-1| H0: pj = p0j )= P(χ2(k-1) > qk-1)
• Se p* < α → Rejeita-se H0
• Se p* ≥ α → Não rejeita-se H0
12
qk-1
Região de rejeição de H0Região favorável a H0
vc
α
p*
q
( )
j
k
1j
2
jj
1k e
eo
q
∑
=
−
−
=
Teste de aderência de uma distribuição 
(Qui-quadrado de Pearson)
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ƒ Retornando ao Exemplo 1: O gerente de um cassino afirma 
que cada um dos seus dados é honesto. Um inspetor deseja 
estudar tal hipótese sob α=1%, através de
• uma amostra de (n=)300 lançamentos,
• de onde se obtém as seguintes distribuições de frequências 
absolutas observadas (2ª linha) e esperadas sob H0 (3ª linha)
• p* = P(χ2(k-1) > qk-1) = P(χ2(5) > 8.96) ≈ 1-0.9=0.1
– Como p* > α, não rejeita-se H0
– Não haveria razões para acreditar que o dado é viciado
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8.961.625.120.500.720.020.98(oj-ej)2/ej
--916-56-1-7(oj-ej)
300505050505050Frequência absoluta esperada sob H0 (ej)
300416645564943Frequência absoluta observada (oj)
Total654321Face do dado (j)
Teste de aderência de uma distribuição 
(Qui-quadradode Pearson)
chisq.test
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• Exercícios
1. (Bussab & Morettin) Um estudo sobre 150 acidentes 
de trabalho numa indústria revelou a distribuição de 
frequências ao lado. Verifique se os acidentes se dão 
de maneira homogênea ao longo da semana.
Teste de aderência de uma distribuição 
(Qui-quadrado de Pearson)
1503325204032
Frequência 
de acidentes
Total6ª5ª4ª3ª2ªDia
2. (Bussab & Morettin) Estuda-se se a distribuição de Poisson (λ=3.87) adere ao conjunto de 
dados sintetizados na tabela ao lado, sobre o nº de substâncias radioativas desintegradas 
em uma amostra de 2608 unidades de tempo de 7.5 segundos.
260816274513927340853252538320357Frequência observada
Total≥109876543210Nº de desintegrações
3. Questiona-se se os dados a seguir são normalmente distribuídos. 
amostra=(7.53, 7.67, 12.78, 10.82, 10.74, 10.64, 7.75, 7.61, 10.83, 8.49).
4. Questiona-se se os dados a seguir são exponencialmente distribuídos. 
amostra=(0.93, 0, 1.09, 0.62, 0.37, 0.54, 0.74, 0.06, 0.46, 0.75).