VIBRAÇÃO-TRANSVERSAL-DE-UMA-CORDA - Completo

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Universidade Federal do Recôncavo da Bahia
Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas
Bacharelado em Engenharia Mecânica
VIBRAÇÃO TRANSVERSAL DE UMA CORDA
Discentes:
Marcus Vinicius Ribeiro Matias Júnior
Jhaidan Ribeiro Cruz
Marisa Soares Da Conceição Santos
Danrley Nunes Montalvão 
Pedro Victor Valente Libório
Prof. Eng. Dr. Abdon Tapia Tadeo
Cruz das Almas- Bahia
2018
1 DESENHO DA CORDA 
Considerou-se, o formato de uma corda como na figura 1, onde mostra em vista isométrica. 
Figura 1.1 - A corda com as dimensões
Figura 1.2 - Seção transversal da corda
Descrição da corda: 
Material: Nylon 
 (Carga aplicada)
 (Módulo de Elasticidade do Material)
 (Massa específica linear)
 (Comprimento)
 (Diâmetro)
2 CONDIÇÕES DE CONTORNO CONSIDERADAS
Figura 1.2 - Condições de contorno consideradas
3 EQUAÇÃO DE MOVIMENTO DA CORDA
Considere uma corda ou cabo elástico firmemente esticado, de comprimento , sujeito a uma força transversal por unidade de comprimento, como mostra a Figura 3.1. Considera-se que o deslocamento transversal da corda, , é pequeno. 
Figura 3.1 - Uma corda vibrante
O equilíbrio de forças pode ser analisado num elemento infinitesimal da corda (Figura 3.2). Aplicando a Segunda Lei de Newton na Figura 3.2, é possível encontrar a força líquida que age sobre um elemento.
Figura 3.2 – Elemento infinitesimal da corda
Sendo é a massa do elemento e é a aceleração:
Aplicando a segunda lei de newton na Figura 3.2, temos:
A Equação (E1), é a equação de movimento do sistema. Onde é a tensão, é a massa por unidade de comprimento e é o ângulo que a corda defletida faz com o eixo . 
Para um comprimento elementar 
Para um comprimento infinitesimal de corda , a vibração é muito pequena e o ângulo tende pra zero, desta forma:
Uma vez que quando , e a equação é verdadeira e.
Substituindo na Equação E1, temos:
Substituindo a relação: , temos:
Sendo infinitesimal, , logo:
Nota-se que o termo entre parênteses é consequência da regra do produto . Substituindo, temos:
Sendo . Como a tensão P é constante e a corda é uniforme, temos:
Para uma vibração livre, temos 
Fazendo e substituindo, temos:
A também é chamada de equação de onda.
Substituindo os valores das propriedades da corda (descrição da corda), temos:
3. SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE VIBRAÇÃO LIVRE DA CORDA
Através do método de separação de variáveis podemos resolver a equação de vibração livre. Nesse método, a solução é escrita como o produto entre as funções e , as quais dependem somente de e respectivamente.
Substituindo as e na :
Como o lado esquerdo da equação depende somente de e o lado direito é dependente apenas de , seu valor comum deve ser uma constante , de modo que:
As equações implícitas na equação acima podem ser escritas como:
Fazendo a constante , reescrevemos as equações:
As soluções das equações anteriores são da forma: 
Substituindo na equação temos
Cada uma das duas raízes encontradas acima estabelecem uma solução particular. A solução geral é a superposição de ambas soluções particulares: 
Aplicando a relação trigonométrica:, temos:
Para a equação diferencial que depende de , temos a análise análoga para encontrar a solução:
Substituindo na equação, temos:
Cada uma das duas raízes encontradas acima estabelecem uma solução particular. A solução geral é a superposição de ambas soluções particulares: 
Aplicando a relação trigonométrica:, temos:
Onde C e D, são constantes.
4. EQUAÇÃO DE FREQUÊNCIA OU CARACTERÍSTICA DA CORDA 
A seguir serão apresentadas as equações de frequências para as condições de contorno. 
4.1 Pinada – Pinada
Figura 4.1 – Pinada – Pinada
Considerando que a corda, contém um pino que pode se mover em uma direção perpendicular, como mostra a figura 4.1, a extremidade não pode suportar uma força transversal. Por consequência a condição de contorno é dada por: 
Como é constante:
Derivando em relação a 
Substituindo a primeira condição de contorno:
 
Substituindo a segunda condição de contorno:
Tem-se que ou . A constante deve ser diferente de zero para uma solução não trivial, portanto resta a segunda opção.
4.2 Livre – Livre
Figura 4.2 – Livre – Livre
Considerando que a corda está livre em ambas as extremidades, como mostra a figura 4.2, a condição de contorno é dada por:
Derivando em relação a 
Substituindo a primeira condição de contorno:
 
Substituindo a segunda condição de contorno:
Tem-se que ou . A constante deve ser diferente de zero para uma solução não trivial, portanto resta a segunda opção.
4.3. Fixa – Fixa
Figura 4.3 – Fixa – Fixa
Considerando que a corda está livre em ambas as extremidades, como mostra a figura 4.3, a condição de contorno é dada por:
Substituindo a primeira condição de contorno na equação E6:
Substituindo a segunda condição de contorno na equação E6:
Têm-se que ou . A constante deve ser diferente de zero para uma solução não trivial, portanto resta a segunda opção.
4.4. Fixa - Livre 
Figura 4.4 – Fixa – Livre
Considerando que a corda está fixa na extremidade da esquerda, como mostra a figura 4.4, a condição de contorno é dada por:
Considerando que a corda está livre na extremidade da direita, como mostra a figura 4.4, a condição de contorno é dada por:
Substituindo a primeira condição de contorno na equação E6:
Derivando em relação a 
Substituindo a segunda condição de contorno:
Tem-se que ou . A constante deve ser diferente de zero para uma solução não trivial, portanto resta a segunda opção.
4.5. Fixa – Pinada
Figura 4.5 – Fixa Pinada
Considerando que a corda está fixa na extremidade da esquerda, como mostra a figura 4.5, a condição de contorno é dada por:
Considerando que a corda, contém um pino que pode se mover em uma direção perpendicular, como mostra a figura 4.5, a extremidade da direita não pode suportar uma força transversal. Por consequência a condição de contorno é dada por: 
Como é constante:
Substituindo a primeira condição de contorno na equação E6:
Derivando em relação a 
Substituindo a segunda condição de contorno:
Tem-se que ou . A constante deve ser diferente de zero para uma solução não trivial, portanto resta a segunda parcela.
4.6. Pinada – Livre
Figura 4.6 – Pinada – Livre
Considerando que a corda, contém um pino que pode se mover em uma direção perpendicular, como mostra a figura 4.6, a extremidade da esquerda não pode suportar uma força transversal. Por consequência a condição de contorno é dada por: 
Como é constante:
Considerando que a corda está livre na extremidade da direita, como mostra a figura 4.6, a condição de contorno é dada por:
Derivando em relação a 
Substituindo a primeira condição de contorno:
 
Substituindo a segunda condição de contorno:
Tem-se que ou . A constante deve ser diferente de zero para uma solução não trivial, portanto resta a segunda opção.
4.7 EQUAÇÕES CARACTERÍSTICAS E FREQUÊNCIAS NATURAIS PARA CADA CONDIÇÃO DE CONTORNO
No Quadro 1 abaixo encontram-se as equações características e as frequências naturais para cada condição de contorno.
	Condição de Contorno
	Equação Característica
	Frequências Naturais
	Pinada – Pinada
	
	
	Livre – Livre
	
	
	Fixa – Fixa
	
	
	Fixa – Livre
	
	
	Fixa – Pinada
	
	
	Pinada – Livre
	
	
Quadro 1 – Equações Características e Frequências Naturais
5. EQUAÇÃO DA FORMA MODAL DA CORDA 
5.1. Pinada – Pinada
Como , podemos reescreverda seguinte forma:
Como A deve ser similar à amplitude real de vibração da corda, vamos assumir e reescrever a equação substituindo o valor da frequência pela expressão .
Os quatro primeiros modos são:
Utilizando o Matlab, foram plotadas as variações dos 4 primeiros modos para a equação da forma modal da corda com extremidades pinadas. O código desenvolvido está a seguir:
Figura 5.1 - Código Matlab (pinada – pinada)
Figura 5.2 - Modos (pinada – pinada)
5.2. Livre – Livre
Como , podemos reescrever da seguinte forma:
Como A deve ser similar à amplitude real de vibração da corda, vamos assumir e reescrever a equação substituindo o valor da frequência pela expressão .
Os quatro primeiros modos são:
Utilizando o Matlab, foram plotadas as variações dos 4 primeiros modos para a equação da forma modal da corda com extremidades livres. O código desenvolvido está a seguir:
Figura 5.3 - Código Matlab (livre – livre)
Figura 5.4 - Modos (livre - livre)
5.3. Fixa – Fixa
Como , podemos reescrever da seguinte forma:
Como B deve ser similar à amplitude real de vibração da corda, vamos assumir e reescrever a equação substituindo o valor da frequência pela expressão .
Os quatro primeiros modos são:
Utilizando o Matlab, foram plotadas as variações dos 4 primeiros modos para a equação da forma modal da corda com extremidades fixas. O código desenvolvido está a seguir:
Figura 5.5 - Código Matlab (fixa - fixa)
Figura 5.6 - Modos (fixa - fixa)
5.4. Fixa – Livre
Como , podemos reescrever da seguinte forma:
Como B deve ser similar à amplitude real de vibração da corda, vamos assumir e reescrever a equação substituindo o valor da frequência pela expressão .
Os quatro primeiros modos são:
Utilizando o Matlab, foram plotadas as variações dos 4 primeiros modos para a equação da forma modal da corda com extremidades fixa e livre. O código desenvolvido está a seguir:
Figura 5.7 - Código Matlab (fixa – livre)
Figura 5.8 - Modos (fixa - livre)
5.5. Fixa - Pinada 
Como , podemos reescrever da seguinte forma:
Como B deve ser similar à amplitude real de vibração da corda, vamos assumir e reescrever a equação substituindo o valor da frequência pela expressão .
Os quatro primeiros modos são:
Utilizando o Matlab, foram plotadas as variações dos 4 primeiros modos para a equação da forma modal da corda com extremidades fixa e pinada. O código desenvolvido está a seguir:
Figura 5.9 - Código Matlab (fixa – pinada)
Figura 5.10 - Modos (fixa – pinada)
5.6. Pinada – Livre
Como , podemos reescrever da seguinte forma:
Como A deve ser similar à amplitude real de vibração da corda, vamos assumir e reescrever a equação substituindo o valor da frequência pela expressão .
Os quatro primeiros modos são:
Utilizando o Matlab, foram plotadas as variações dos 4 primeiros modos para a equação da forma modal da corda com extremidades pinada e livre. O código desenvolvido está a seguir:
Figura 5.11 - Código Matlab (pinada - livre)
Figura 5.12 – Modos (pinada - livre)
6. EQUAÇÃO DA FORMA MODAL DA CORDA NO TEMPO
6.1 Pinada – Pinada
Figura 4.1 – Pinada – Pinada
A solução da equação de vibração livre da corda é dada por:
Então, o n-ésimo modo de vibrar é dado por: 
Sendo e as equações E6 e E7, respectivamente, com a substituição das condições de contorno e da equação de frequência, realizadas na seção 4, para a corda com as extremidades pinadas (Equação 4.1):
A velocidade transversal da corda será:
As condições iniciais são:
Nota-se que e estão expandidas em série de Fourier no intervalo de a . Os valores de e podem ser determinados multiplicando as equações acima por e integrando em relação a , no intervalo de a :
Consideremos que a corda, com as extremidades pinadas, esteja inicialmente em repouso, com uma deflexão na extremidade da direita, como mostra a Figura 6.1, e em seguida seja solta, para que vibre livremente.
Figura 6.1 – Deflexão Inicial Pinada-Pinada
Tal deflexão, em função da distância no comprimento da corda, é representada por uma reta de equação polinomial de grau 1:
Para, temos:
Logo a deflexão inicial é:
Consideremos também, que a velocidade transversal inicial é nula:
Para encontrar o n-ésimo modo de vibração, calculemos as constantes e :
O n-ésimo modo de vibração então será:
Substituindo os valores de e , sendo o valor de , temos a equação da forma modal da corda no tempo:
Os 4 primeiros modos de vibrar são: 
Utilizando o Matlab foram plotadas as variações dos 4 primeiros modos , para a equação da forma modal da corda no tempo, com extremidades pinadas, para os tempos . O código desenvolvido está a seguir:
Figura 6.2 - Códigos no Matlab para a condição Pinada-Pinada
Figura 6.3 - Pinada-Pinada
6.2 Livre – Livre
Figura 4.2 – Livre – Livre
A solução da equação de vibração livre da corda é dada por:
Então, o n-ésimo modo de vibrar é dado por: 
Sendo e as equações E6 e E7, respectivamente, com a substituição das condições de contorno e da equação de frequência, realizadas na seção 4, para a corda com as extremidades livres (Equação 4.2):
A velocidade transversal da corda será:
As condições iniciais são:
Nota-se que e estão expandidas em série de Fourier no intervalo de a . Os valores de e podem ser determinados multiplicando as equações acima por e integrando em relação a , no intervalo de a :
Consideremos que a corda, com as extremidades livres, esteja inicialmente em repouso, com uma deflexão na extremidade da direita, como mostra a Figura 6.4, e em seguida seja solta, para que vibre livremente.
Figura 6.4 – Deflexão Inicial Livre - Livre
Tal deflexão, em função da distância no comprimento da corda, é representada por uma reta de equação polinomial de grau 1:
Para, temos:
Logo a deflexão inicial é:
Consideremos também, que a velocidade transversal inicial é nula:
Para encontrar o n-ésimo modo de vibração, calculemos as constantes e :
O n-ésimo modo de vibração então será:
Substituindo os valores de e , sendo o valor de , temos a equação da forma modal da corda no tempo:
Os 4 primeiros modos de vibrar são: 
Utilizando o Matlab foram plotadas as variações dos 4 primeiros modos , para a equação da forma modal da corda no tempo, com extremidades livres, para os tempos . O código desenvolvido está a seguir:
Figura 6.5 - Código no Matlab para a condição Livre-Livre
Figura 6.6 - Livre-Livre
6.3 Fixa – Fixa
Figura 4.3 – Fixa – Fixa
A solução da equação de vibração livre da corda é dada por:
Então, o n-ésimo modo de vibrar é dado por: 
Sendo e as equações E6 e E7, respectivamente, com a substituição das condições de contorno e da equação de frequência, realizadas na seção 4, para a corda com as extremidades fixas (Equação 4.3):
A velocidade transversal da corda será:
As condições iniciais são:
Nota-se que e estão expandidas em série de Fourier no intervalo de a . Os valores de e podem ser determinados multiplicando as equações acima por e integrando em relação a , no intervalo de a :
Consideremos que a corda, com as extremidades fixas, esteja inicialmente em repouso, com uma deflexão no seu ponto médio, como mostra a Figura 6.7, e em seguida seja solta, para que vibre livremente.
Figura 6.7 – Deflexão Inicial Fixa - Fixa
Tal deflexão, em função da distância no comprimento da corda, é representada por duas retas de equação polinomial de grau 1:
Para, temos:
Para , temos:
Logo a deflexão inicial é:
Consideremostambém, que a velocidade transversal inicial é nula:
Para encontrar o n-ésimo modo de vibração, calculemos as constantes e :
O n-ésimo modo de vibração então será:
Substituindo os valores de e , sendo o valor de , temos a equação da forma modal da corda no tempo:
Os 4 primeiros modos de vibrar são: 
Utilizando o Matlab foram plotadas as variações dos 4 primeiros modos , para a equação da forma modal da corda no tempo, com extremidades fixas, para os tempos . O código desenvolvido está a seguir:
Figura 6.8 - Código no Matlab para a condição Fixa-Fixa
Figura 6.9 - para a condição Fixa-Fixa
6.4. Fixa – Livre
Figura 4.4 – Fixa – Livre
A solução da equação de vibração livre da corda é dada por:
Então, o n-ésimo modo de vibrar é dado por: 
Sendo e as equações E6 e E7, respectivamente, com a substituição das condições de contorno e da equação de frequência, realizadas na seção 4, para a corda com as extremidades fixa na esquerda e livre na direita (Equação 4.4):
A velocidade transversal da corda será:
 
As condições iniciais são:
Nota-se que e estão expandidas em série de Fourier no intervalo de a . Os valores de e podem ser determinados multiplicando as equações acima por e integrando em relação a , no intervalo de a :
Consideremos que a corda, com as extremidades fixa na esquerda e livre na direita, esteja inicialmente em repouso, com uma deflexão na extremidade da direita, como mostra a Figura 6.10, e em seguida seja solta, para que vibre livremente.
Figura 6.10 – Deflexão Inicial Fixa - Livre
Tal deflexão, em função da distância no comprimento da corda, é representada por uma reta de equação polinomial de grau 1:
Para, temos:
Logo a deflexão inicial é:
Consideremos também, que a velocidade transversal inicial é nula:
Para encontrar o n-ésimo modo de vibração, calculemos as constantes e :
O n-ésimo modo de vibração então será:
Substituindo os valores de e , sendo o valor de , temos a equação da forma modal da corda no tempo:
Os 4 primeiros modos de vibrar são: 
Utilizando o Matlab foram plotadas as variações dos 4 primeiros modos , para a equação da forma modal da corda no tempo, com extremidades fixa na esquerda e livre na direita, para os tempos . O código desenvolvido está a seguir:
Figura 6.11 - Código no Matlab para a condição Fixa-Livre
Figura 6.12 - para a condição Fixa-Livre
6.5 Fixa – Pinada
Figura 4.5 – Fixa Pinada
A solução da equação de vibração livre da corda é dada por:
Então, o n-ésimo modo de vibrar é dado por: 
Sendo e as equações E6 e E7, respectivamente, com a substituição das condições de contorno e da equação de frequência, realizadas na seção 4, para a corda com as extremidades fixa na esquerda e pinada na direita (Equação 4.5):
A velocidade transversal da corda será:
As condições iniciais são:
Nota-se que e estão expandidas em série de Fourier no intervalo de a . Os valores de e podem ser determinados multiplicando as equações acima por e integrando em relação a , no intervalo de a :
Consideremos que a corda, com as extremidades fixa na esquerda e pinada na direita, esteja inicialmente em repouso, com uma deflexão na extremidade da direita, como mostra a Figura 6.13, e em seguida seja solta, para que vibre livremente.
Figura 6.13 - Deflexão Inicial Fixa - Pinada
Tal deflexão, em função da distância no comprimento da corda, é representada por uma reta de equação polinomial de grau 1:
Para, temos:
Logo a deflexão inicial é:
Consideremos também, que a velocidade transversal inicial é nula:
Para encontrar o n-ésimo modo de vibração, calculemos as constantes e :
O n-ésimo modo de vibração então será:
Substituindo os valores de e , sendo o valor de , temos a equação da forma modal da corda no tempo:
Os 4 primeiros modos de vibrar são: 
Utilizando o Matlab foram plotadas as variações dos 4 primeiros modos , para a equação da forma modal da corda no tempo, com extremidades fixa na esquerda e pinada na direita, para os tempos . O código desenvolvido está a seguir:
Figura 6.14 - Código no Matlab para a condição Fixa-Pinada
Figura 6.15 - para a condição Fixa-Pinada
6.6 Pinada – Livre
Figura 4.6 – Pinada – Livre
A solução da equação de vibração livre da corda é dada por:
Então, o n-ésimo modo de vibrar é dado por: 
Sendo e as equações E6 e E7, respectivamente, com a substituição das condições de contorno e da equação de frequência, realizadas na seção 4, para a corda com as extremidades pinada na esquerda e livre na direita (Equação 4.6):
A velocidade transversal da corda será:
As condições iniciais são:
Nota-se que e estão expandidas em série de Fourier no intervalo de a . Os valores de e podem ser determinados multiplicando as equações acima por e integrando em relação a , no intervalo de a :
Consideremos que a corda, com as extremidades pinada na esquerda e livre na direita, esteja inicialmente em repouso, com uma deflexão na extremidade da direita, como mostra a Figura 6.16, e em seguida seja solta, para que vibre livremente.
Figura 6.16 – Deflexão Inicial Pinada-Livre
Tal deflexão, em função da distância no comprimento da corda, é representada por uma reta de equação polinomial de grau 1:
Para, temos:
Logo a deflexão inicial é:
Consideremos também, que a velocidade transversal inicial é nula:
Para encontrar o n-ésimo modo de vibração, calculemos as constantes e :
O n-ésimo modo de vibração então será:
Substituindo os valores de e , sendo o valor de , temos a equação da forma modal da corda no tempo:
Os 4 primeiros modos de vibrar são: 
Utilizando o Matlab foram plotadas as variações dos 4 primeiros modos , para a equação da forma modal da corda no tempo, com extremidades pinada na esquerda e livre na direita, para os tempos . O código desenvolvido está a seguir:
Figura 6.17 - Código no Matlab para a condição Pinada-Livre
Figura 6.18 - para a condição Pinada-Livre
7. REFERÊNCIAS
[1] DAVIS, Julian L. Wave Propragation in Solids and Fluids. Nova York: Springer-verlag, 1988.
[2]IME, USP. Elementos de um Sistema Mecânico.<https://www.ime.usp.br/~oda/contents/01Matem%E1tica/01Sistemas%20Din%E2micos/04_Elem_Sist_Mec.pdf> Acesso em: 15 de Junho de 2018
[3] MACÊDO. NYLON 6.0. < http://www.macedoplasticos.com.br/nylon.html > Acesso em: 15 de junho de 2018
[3] RAO, Singiresu. Vibrações Mecânicas – 4ª edição. Editora Pearson Prentice Hall. São Paulo, 2009.
[4] ROQUE, Antônio. Física II – Ondas, Fluidos e Termodinâmica: A Equação de Onda em Uma Dimensão. Disponível em: <http://sisne.org/Disciplinas/Grad/Fisica2FisMed/aula16.pdf>. Acesso em: 14 jul. 2018.
[5] SAIKI, Marcelo Eiji. EQUAÇÃO DA ONDA UNIDIMENSIONAL: UM ESTUDO ANALÍTICO E NUMÉRICO. Disponível em: <https://repositorio.ucb.br/jspui/bitstream/10869/1637/5/Marcelo%20Eiji%20Saiki.pdf>. Acesso em: 14 jul. 2018.
Prof. Eng. Dr. Abdon Tapia Tadeo – Centro de Ciências Exatas e Tecnologicas - CETEC - UFRB