Aula 3

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MAT 001 - Ca´lculo I
Aula V
IMC-Unifei
Nesta aula vamos estudar o conceito de Continuidade o qual esta´ intima-
mente relacionado com limite e desempenha papel fundamental em va´rias a´reas
do conhecimento.
1 Motivac¸a˜o
Observe os gra´ficos das func¸o˜es a seguir:
-4 -2 2 4
-2
2
4
6
Figura 1: f(x) = x+ 2
Note que no gra´fico da Figura 1, pontos pro´ximos possuem imagens pro´ximas.
Observe que isto implica em uma “continuidade”da curva determinada pelo
gra´fico da func¸a˜o.
1
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
Figura 2: g(x) =
{
x+ 1 se x ≥ 0
x− 1 se x < 0
No gra´fico da Figura 2 isto na˜o se verifica . De fato, para valores de
x > 0 pro´ximos de 0 temos que g(x) fica pro´ximo de 1 = g(0) (ou seja,
lim
x→0+
g(x) = 1), enquanto que para valores de x < 0 pro´ximos de 0 temos que
g(x) se aproxima de −1 ( ou seja, lim
x→0−
g(x) = −1). Observe ainda que, neste
caso, na˜o ha´ uma “continuidade”no gra´fico da curva.
2 Definic¸o˜es Ba´sicas
Definic¸a˜o 1. Consideremos uma func¸a˜o f : X → R tal que X ⊂ X ′ (ou seja,
todo ponto do domı´nio e´ um ponto de acumulac¸a˜o).
Dado um ponto a ∈ X, dizemos que f e´ cont´ınua no ponto a se as seguintes
condic¸o˜es acontecem SIMULTANEAMENTE:
i) Existe o lim
x→a f(x) = L.
ii) Tem-se que L = f(a).
Observac¸a˜o 1.
• Na˜o faz sentido questionar a continuidade de uma func¸a˜o em pontos que
na˜o estejam em seu domı´nio!
2
• Continuidade e´ um conceito local, isto e´, para verificar a continuidade em
um ponto a interessa apenas o comportamento de f numa vizinhanc¸a deste
ponto.
• Quando uma func¸a˜o f na˜o for cont´ınua em um ponto de seu domı´nio
diremos que ela e´ DESCONTI´NUA neste ponto.
• Quando uma func¸a˜o f : X → R tal que X ⊂ X ′ for cont´ınua em TODOS
OS PONTOS de um conjunto A ⊂ X, diremos que f e´ cont´ınua em A.
Em particular, quando f for cont´ınua em todo o seu domı´nio diremos
apenas que f e´ cont´ınua.
• Para verificar a continuidade de uma func¸a˜o f : X → R tal que X ⊂ X ′
em um ponto a ∈ X, podemos utilizar o seguinte algoritmo:
i) Obter f(a).
ii) Calcular o lim
x→a f(x). (Caso o limite na˜o exista a func¸a˜o na˜o e´
cont´ınua no ponto a!)
iii) Verificar que lim
x→a f(x) = f(a)
Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 1. Discuta a continuidade das func¸o˜es abaixo.
(A) f(x) = x+ 2.
3
(B) g(x) =
{
x+ 1 se x ≥ 0
x− 1 se x < 0
4
(C) h(x) =
{
x+ 1 se x ≥ 0
cos(x) se x < 0
(D) f(x) =
 x+ 1 se x > 0pi se x = 0
cos(x) se x < 0
5
(E) g(x) =
{
x
x−1 se x 6= 1
0 se x = 1
3 Exerc´ıcios
1) Discuta a continuidade de cada uma das func¸o˜es abaixo.
a) f(x) = 5 (Func¸a˜o Constante)
b) f(x) = c, onde c ∈ R. (Func¸a˜o Constante)
c) f(x) = 3x+ 4
d) p(x) = anx
n + an−1xn+1 + . . . + a1x + a0, onde a0, a1, . . . , an ∈ R e
an 6= 0. (Func¸a˜o Polinomial de Grau n)
e) f(x) = |x|
f) f(x) = sen(x)
g) f(x) = cos(x)
h) f(x) = ax, onde a ∈ (0,∞)− {1}. (Func¸a˜o Exponencial)
i) g(x) =
{
3x+ 1 se x ≥ 1
x− 2 se x < 1
j) f(x) =
 4x− 1 se x > 15 se x = 1
1− 2 cos(pix) se x < 1
k) f(x) =
 4x− 1 se x > 1x+ 3 se −1 ≤ x ≤ 1
1− 2x se x < −1
l) g(x) =
{ sen(x)
x se x 6= 0
0 se x = 0
m) w(x) = x− |x|
n) g(x) =
{
x3−8
x−2 se x 6= ±2
3 se x = ±2
2) Determine o valor de p para que as func¸o˜es abaixo sejam cont´ınuas (isto e´,
cont´ınuas em todo o seu domı´nio!).
6
a) f(x)
{
x2 + px+ 2 se x 6= 3
3 se x = 3
b) f(x)
{
x+ 2p se x ≤ −1
p2 se x > −1
c) f(x)
{
e2x se x 6= 0
p3 − 7 se x = 0
3) Obtenha (use sua criatividade!) func¸o˜es f, g e h tais que:
a) f tenha exatamente 2 pontos de descontinuidade em seu domı´nio.
b) g seja cont´ınua em seu domı´nio mas na˜o seja cont´ınua em R.
c) h ◦ f seja cont´ınua em todo o domı´nio de f .
Fac¸a um gra´fico de f, g, h e h ◦ f .
4) Obtenha func¸o˜es f, g : R → R que sejam descont´ınuas no ponto a = 0 mas
de maneira que (f · g) seja cont´ınua neste ponto. Fac¸a um gra´fico de f, g e
(f · g).
5) [DESAFIO] Obtenha uma func¸a˜o f : R → R que seja DESCONTI´NUA
EM TODOS OS PONTOS DE SEU DOMI´NIO. (Sugesta˜o: Racionais e
Irracionais)
4 Operac¸o˜es entre Func¸o˜es e Continuidade
Teorema 1. Sejam f, g : X → R, X ⊂ X ′ e a ∈ X. Se f e g sa˜o cont´ınuas no
ponto a, enta˜o :
• (f + g), (f − g) e (f · g) sa˜o cont´ınuas no ponto a.
• Se g(a) 6= 0, enta˜o
(
f
g
)
e´ cont´ınua no ponto a.
Teorema 2. Sejam f : X → R e g : Y → R com X ⊂ X ′ e Y ⊂ Y ′ e de
maneira que a func¸a˜o composta g ◦ f : X → R esteja bem definida.
Se f e´ cont´ınua em a ∈ X e g e´ cont´ınua em b = f(a) ∈ Y , enta˜o a func¸a˜o
composta g ◦ f e´ cont´ınua no ponto a.
Os dois teoremas anteriores nos ajudam a verificar a continuidade de algumas
func¸o˜es sem necessidade de fazer ca´lculos.
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Exemplo 2.
(A) Func¸o˜es Racionais
(B) Func¸o˜es tangente, secante, cosecante e cotangente.
(C) f(x) = e(sen(x))
(D) g(x) = |x− x3 − 4 + cos(5x)|
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5 Exerc´ıcios
1) Obtenha o domı´nio das func¸o˜es abaixo e mostre que estas sa˜o cont´ınuas em
todo o seu domı´nio:
a) senh(x) =
ex − e−x
2
(Seno Hiperbo´lico)
b) cosh(x) =
ex + e−x
2
(Cosseno Hiperbo´lico)
c) tanh(x) =
senh(x)
cosh(x)
(Tangente Hiperbo´lica)
d) sech(x) =
1
cosh(x)
(Secante Hiperbo´lica)
e) csch(x) =
1
senh(x)
(Cosecante Hiperbo´lica)
f) coth(x) =
1
tanh(x)
(Cotangente Hiperbo´lica)
6 Func¸o˜es Cont´ınuas em Intervalos
Teorema 3 (Teorema do Valor Intermedia´rio - TVI). Seja f : X → R e
X ⊂ X ′. Se I ⊂ X e´ um intervalo e f e´ cont´ınua em I enta˜o o conjunto
J = f(I) = {f(x);x ∈ I}
e´ um intervalo.
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Observac¸a˜o 2 (Consequeˆncias Imediatas do TVI).
• Se x1, x2 ∈ I e d ∈ R sa˜o tais que f(x1) ≤ d ≤ f(x2), enta˜o existe x3 ∈ I
entre x1 e x2 tal que f(x3) = d.
• Se x1, x2 ∈ I sa˜o tais que f(x1) 6= 0 e f(x2) 6= 0 tem sinais opostos, enta˜o
existe x3 ∈ I entre x1 e x2 tal que f(x3) = 0.
Exemplo 3.
(A) Considere o polinoˆmio p(x) = 4x5−3x2+2. E´ poss´ıvel garantir a existeˆncia
de alguma raiz real para p no intervalo [−2, 0]?
(B) Considere a func¸a˜o g(x) =
{
1
x−1 se x 6= 1
0 se x = 1
. E´ poss´ıvel garantir a
existeˆncia de alguma raiz real para g no intervalo [0, 3]?
(C) Considere a func¸a˜o f(x) = sen(x). E´ poss´ıvel garantir a existeˆncia de
algum ponto fixo para f?
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(D) Obtenha uma aproximac¸a˜o para
√
3.
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Outra consequeˆncia importante do TV I e´ o seguinte teorema:
Teorema 4 (Weierstrass). Seja f : X → R com X ⊂ X ′. Se f e´ cont´ınua no
intervalo fechado e limitado [a, b] ⊂ X, enta˜o f assume seus valores de ma´ximo
e mı´nimo neste intervalo, isto e´, existem xm, xM ∈ [a, b] tais que :
i) f(xm) ≤ f(x),∀x ∈ [a, b]. (xm e´ ponto de mı´nimo absoluto de f em [a, b])
ii) f(xM ) ≥ f(x),∀x ∈ [a, b]. (xM e´ ponto de ma´ximo absoluto de f em [a, b])
Observac¸a˜o 3.
• Decorre do TVI e Teorema de Weierstrass que o conjunto imagem de um
intervalo fechado e limitado [a, b] tambe´m deve ser um intervalo (pelo TVI)
fechado e limitado (pelo Teorema de Weierstrass).
• O Teorema de Weierstrass e´ um teorema de existeˆncia, isto e´, embora
garanta a sua existeˆncia, na˜o fornece uma fo´rmula para a obtenc¸a˜o dos
pontos de ma´ximo e mı´nimo ! Ao estudarmos derivadas vamos obter um
me´todo pra´tico para obter tais pontos.
Exemplo 4. (A) Considere a func¸a˜o f1 : R→ R dada por f(x) = x+ 2.
(B) Considere a func¸a˜o f2 : (−3, 5)→ R dada por f(x) = x+ 2.
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(C) Considere a func¸a˜o f3 : [−3, 5]→ R dada por f(x) = x+ 2.
(D) Considere a func¸a˜o g : [−3, 5]→ R dada por g(x) =
{
1
x se x 6= 0
0 se x = 0
.
7 Continuidade e Inversa˜o de func¸o˜es
Teorema 5 (Continuidade da Inversa). Seja f : I → J bijetora e cont´ınua,
onde I e´ um intervalo. Enta˜o sua inversa f−1 : J → I e´ cont´ınua em todo oseu domı´nio J .
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Exemplo 5. (A) f : [0,+∞)→ [0,+∞) dada por f(x) = √x.
(B) g : [−1, 1]→ [−pi2 , pi2 ] dada por g(x) = arcsen(x).
Observac¸a˜o 4. De maneira ana´loga conclu´ımos que as demais func¸o˜es
trigonome´tricas inversas sa˜o cont´ınuas em seu domı´nio.
(C) h : [0,+∞)→ [0,+∞) dada por f(x) = loga x, onde 0 < a 6= 1.
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