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Areas em Coordenadas Polares.pdf
ÁREAS EM COORDENADAS POLARES 
Introdução 
As coordenadas polares são usadas para representar pontos de um plano. 
Para definir um sistema de coordenadas polares, consideramos um ponto O do plano 
(chamado origem ou pólo) e uma semi-reta orientada com extremidade O ( o eixo polar). 
Dado um ponto P  O do plano tomamos, 
 
 
 
 
 
Dado um ponto qualquer do plano, as suas coordenadas polares não são únicas. 
Exemplo 1: Representar graficamente os pontos de coordenadas polares 
 
Como estes ângulos são côngruos temos P1 = P2 = P3 
 
As coordenadas do pólo são (0,  ) para todo   R . 
Tomamos também valores negativos para a coordenada r. Se r é negativo, o ponto de 
coordenadas polares (r,  ) é tal que (-r,  +  ) são também coordenadas deste ponto. 
 
Exemplo 2: Representar graficamente o ponto de coordenadas polares 
 
  , uma ângulo formado pelo 
eixo polar e OP, tendo origem no 
eixo polar, positivo se orientado no 
sentido anti-horário e negativo se 
no sentido horário. 
 
 r, a distância de P a O 
r e  são coordenadas polares de P e 
representamos P = (r,  ) 
 
 
Suponhamos neste mesmo plano um par de eixos cartesianos XOY de modo que o semi-
eixo OX positivo coincida com o eixo polar. 
Se P é um ponto qualquer do plano de coordenadas polares (r,  ) e coordenadas 
cartesianas (x ,y) então: 
x = r.cos( ) y = r.sen( ) x
2
 + y
2
 = r
2
 
 
 
Exemplo 3: Consideremos as curvas a seguir e suas equações em coordenadas polares 
3.1) O círculo da raio ro e centro na origem tem equação polar r = ro 
 
3.2) A reta que passa pela origem e faz um ângulo  o com o sentido positivo do 
eixo OX tem equação polar  =  o 
 
Área de um setor circular 
A área de um setor circular de raio r e 
ângulo central  é igual a: 
 
 

 
 
Proposição 1: Seja a equação polar de uma 
curva dada pela função contínua r = r( 
para      tal que   2 e r  0. 
A área da região do plano limitada pelas retas 
de equações polares  = e  =  e a curva r 
= r( ) é igual a. 
 
 
 
Demonstração. 
Para todo  tal que      , seja A( ) a área como indicada na figura abaixo. 
Vamos 
calcular 
 
 
 
 
 
Para   > 0 , tomando-se no intervalo [  ,  +   ], rM e rm o maior e o menor raio, as 
áreas dos setores circulares com ângulo central   e esses raios são 
 
 
 
 
 
Para   < 0 segue de modo análogo. 
Pelo teorema fundamental do cálculo 
 
Exemplo 4: Calcular a área limitada pela cardióide 
r ( ) = a.(1 – cos( )) 
 
 
 
 
 
 
Observação 1: São equações de cardióides: 
r ( ) = a.(1  cos( )) e r ( ) = a.(1  sen( )) 
 
Exemplo 5: Calcular a área limitada pelas pétalas da 
rosácea r = a.sen(2 ), a > 0 
 
Trata-se de uma rosácea de 4 pétalas. 
Devido a simetria das pétalas, basta calcular a área de 
uma delas e multiplicar por 4. 
 
 
 
Observação 2: São equações de rosáceas: 
r = a.cos(n ) e r = a. sen(n ), para n =1, 2, 3..., que possuem 
 2n pétalas , se n é par 
 n pétalas se n é ímpar 
 
Exemplo 6: Calcular a área limitada pela 
lemniscata 
r
2
 = 4.cos(2 ). 
 
Como  deve ser tal que cos(2 ) >0, 
então, na 1
a
 volta, 
 
Devido a simetria dos semi-laços, 
 
basta calcular a área de um deles e 
multiplicar por 4. 
 
 
Observação 3: São equações de lemniscatas: 
r2 = a.cos(2 ) e r2 = a. sen(2 ) 
 
Exemplo 7: Calcular a área entre a 1
a
 e a 
2
a
volta da espiral (exponencial) r = e

 , com 
0  . 
 
 
 
 
 
Exemplo 8: Esboce a limaçon (com laço) de 
equação polar r = a.(1 – 2sen( )) e 
determine uma expressão em integrais que 
represente a área da região do plano que se 
encontra no interior da curva e fora do laço. 
 
 
 
 
 
 
Observação 4: São equações de limaçons: 
r = a  b.cos( ) e r = a  b.sen( ) que possuem laço se a < b 
 
Exemplo 9: Determine uma expressão em 
integrais que represente a área da região do 
plano sombreada na figura ao lado onde 
temos o arco da espiral de Arquimedes de 
equação polar r =  ; -     . 
 
 
 
 
Exemplo 10: Determine uma expressão em 
integrais que represente a área da região do 
plano interior a ambas as curvas de equações 
polares 
r =1 + cos(  ) e r = 3cos(  ) 
 
r =1 + cos(  ) é equação de uma cardióide e r 
= 3cos(  ) é equação de um círculo. 
Obtendo a interseção das duas curvas : 
3cos(  ) = 1 + cos(  )  cos(  ) = 1/2  
 =   /3 + 2k 
 
 
Cap2_int_def_areas.pdf
Capítulo 2 – Integrais Definidas 
 
 
 
Área: 
 
Desde os tempos mais antigos existe a preocupação de se calcular áreas de uma figura plana. O 
procedimento mais usado foi o método da exaustão, que consiste em aproximar a figura dada por meio de 
outras, cujas áreas são conhecidas. 
 
 
 
(a) (b) 
 
Tomando o círculo como exemplo, para definir a área consideramos um polígono regular inscrito de n lados, 
que denotamos por Pn como na figura (a) acima. 
Sendo An a área do polígono Pn, então: 
nTn
AnA .= , onde ATn é a área do triângulo de base ln e altura hn, 
como indicado na figura (b) acima. Mas 
2
. nn
T
hlA
n
= e o perímetro do polígono é dado por nn lnp .= .temos: 
 
2
.
2
.
.
nnnn
n
hphl
nA == 
fazendo n crescer cada vez mais, isto é, +∞→n , o polígono Pn torna-se uma aproximação do círculo. O 
perímetro pn aproxima-se do comprimento da circunferência 2πr e a altura hn aproxima-se do raio r. 
Temos: 
 
2
2
.2lim rrrAn
n
pi
pi
==
∞→
, que é a área do círculo. 
Para definir a área de uma figura plana qualquer procedemos de forma análoga. Aproximamos a figura por 
polígonos cujas áreas possam ser aproximadas pelos métodos da geometria elementar. 
Consideremos agora o problema de definir a área de uma região plana S, delimitada pelo gráfico de uma 
função contínua não negativa f , pelo eixo dos x e por duas retas x= a e x = b. 
 
 
 
ln 
Para isso fazemos uma partição do intervalo [a,b], isto é, dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos, 
escolhendo os pontos: 
bxxxxxa nii =<<<<<<= − ...... 110 
Seja iii xxx −=∆ o comprimento do intervalo [xi-1 , xi]. 
Em cada um desses intervalos [xi-1 , xi], escolhemos um ponto qualquer ci . 
Para cada i, i = 1,2,...,n, construímos um retângulo de base ix∆ e altura f(ci) (ver figura abaixo) 
 
 
 
A soma das áreas dos n retângulos, que representamos por Sn é dada por: 
 
∑
=
∆=∆++∆+∆=
n
i
iinnn xcfxcfxcfxcfS
1
2211 ).().(...).().( 
Esta soma é chamada de soma de Riemann da função f(x). 
Podemos observar que à medida que n cresce muito e cada ∆xi , i = 1,2,..., n, torna-se muito pequeno, a 
soma das áreas retangulares aproxima-se do que intuitivamente entendemos como a área de S. 
 
Definição: Seja y = f(x) uma função contínua não-negativa em [a,b]. A área sob a curva y = f(x), de a até b, 
é definida por: 
 ∑
=
→∆
∆=
n
i
ii
x
xcfA
i 10max
).(lim
 
 
Integral Definida 
 
A integral
definida está associada ao limite da definição anterior. Ela nasceu com a formalização matemática 
dos problemas de áreas e problemas físicos. De acordo com a terminologia introduzida na seção anterior 
temos a seguinte definição: 
 
Definição: Seja f uma função definida no intervalo [a,b] e seja P uma partição qualquer de [a,b]. A integral 
definida de f de a até b, denotada por: 
 ∫
b
a
dxxf )( 
é dada por: 
 ∫ ∑
=
→∆
∆=
b
a
n
i
ii
x
xcfdxxf
i 10max
).(lim)(
 
Desde que o 2o membro exista. 
Se ∫
b
a
dxxf )( existe, dizemos que f é integrável em [a,b]. 
Na notação ∫
b
a
dxxf )( , os números a e b são chamados limites de integração(a = limite inferior e b = limite 
superior). 
Se f é integrável em [a,b], então: ∫∫∫ ==
b
a
b
a
b
a
dssfdttfdxxf )()()( 
Isto é, podemos usar qualquer símbolo para representar a variável independente. 
Quando a função f é contínua e não negativa em [a,b], a definição da integral coincide com a definição da 
área. Portanto, neste caso, a integral definida ∫
b
a
dxxf )( é a área da região sob o gráfico de f de a até b. 
Sempre que utilizamos um intervalo [a,b], supomos que a < b. Assim, em nossa definição não levamos em 
conta os casos em que o limite inferior é maior que o limite superior. 
 
Definição: 
a) Se a > b, então: ∫∫ −=
a
b
b
a
dxxfdxxf )()(
 se a integral à direita existir. 
b) Se a = b e f(a) existe, então: 0)( =∫
a
a
dxxf
 
É muito importante saber quais funções são integráveis. Uma ampla classe de funções usadas no 
Cálculo é a classe das funções contínuas. O teorema cuja demonstração é omitida, garante que elas são 
integráveis. 
 
Teorema Se f é contínua sobre [a,b], então f é integrável em [a,b]. 
 
Propriedades da Integral Definida 
 
1) Proposição: Se f é integrável em [a,b] e k é um número real arbitrário, então kf é integrável em [a,b] e 
∫∫ =
b
a
b
a
dxxfkdxxfk )(.)(. 
Prova: Como f é integrável em [a,b], existe o ii
n
ix
xcf
i
∆∑
=
→∆
).(lim
10max
 e, portanto, podemos escrever: 
∫∫∫ ∫∑ =⇒=∆=∆= →∆
=
→∆
b
a
b
a
b
a
b
a
ii
x
n
i
ii
x
dxxfkdxxfkdxxfkxcfkxcfkdxxf
ii
)(.)(.)(.).(lim.).(.lim)(
0max10max
 
 
 2) Proposição: Se f e g são funções integráveis em [a,b], então gf + é integrável em [a,b] e: 
∫ ∫∫ +=+
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ , 
Prova: Se f é integrável em [a,b], existe o limite ii
n
ix
xcf
i
∆∑
=
→∆
).(lim
10max
, que é a ∫
b
a
dxxf )( . Se g é integrável 
em [a,b], existe o limite ii
n
ix
xcg
i
∆∑
=
→∆
).(lim
10max
 que é a ∫
b
a
dxxg )( . Escrevemos então: 
∫ ∫∫∑∑∑ +=∆+∆=∆+=+
=
→∆
=
→∆
=
→∆
b
a
b
a
b
a
n
i
ii
x
n
i
ii
x
i
n
i
ii
x
dxxgdxxfxcgxcfxcgcfdxxgxf
iii
)()()(lim)(lim.)]()([lim)]()([
10max10max10max
 
Observamos que esta proposição pode ser estendida para um numero finito de funções, ou seja: 
∫∫∫∫ +++=+++
b
a
n
b
a
b
a
n
b
a
dxxfdxxfdxxfdxxfxfxf )(...)()()](...)()([ 2121 . 
Vale também para o caso de diferenças de funções: ∫ ∫∫ −=−
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ 
 
3) Proposição: Se a < c < b e f é integrável em [a,c] e em [c,b], então f é integrável em [a,b] e 
∫∫∫ +=
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()( 
Podemos ver mais facilmente utilizando uma forma gráfica, que não chega a ser uma prova, mas dá uma 
boa noção da proposição: 
 
 
 
 4) Proposição: Se f é integrável e se 0)( ≥xf para todo x em [a,b], então: ∫ ≥
b
a
dxxf 0)( 
 Prova: como 0)( ≥icf para todo ci em [xi-1,xi], segue que 0)(
1
≥∆∑
=
xcf
n
i
i . 
 Portanto 0)(lim
10
≥∆∑
=
→∆
xcf
n
i
i
x
 e dessa forma ∫ ≥
b
a
dxxf 0)( . 
 
 5) Proposição: Se f e g são integráveis em [a,b] e )()( xgxf ≥ para todo x em [a,b], então: 
 
∫∫ ≥
b
a
b
a
dxxgdxxf )()( 
 A demonstração dessa proposição fica como exercício. 
 
 6) Proposição: Se f é integrável e se Mxfm ≤≤ )( para bxa ≤≤ , então: 
).()().( abMdxxfabm
b
a
−≤≤− ∫ 
 Demonstração: vide notas de aula. 
 
Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) 
 
O teorema fundamental do cálculo nos permite relacionar as operações de derivação e integração. Ele nos 
diz que conhecendo uma primitiva de uma função contínua f:[a,b]→R podemos calcular a sua integral 
definida ∫
b
a
dttf )( . 
Com isso obtemos uma maneira prática, rápida e simples de resolver inúmeros problemas que envolvem o 
cálculo da integral indefinida. 
 Proposição: Seja f uma função contínua num intervalo fechado [a,b]. Então a função G:[a,b] → R, 
definida por: 
 ∫=
x
a
dttfxG )()( 
tem derivada em todos os pontos x ϵ [a,b] que é dada por: 
 
)()´( xfxG = ou seja, )()( xfdttf
dx
d x
a
=∫ 
Exemplo1: Se f(t) = t e tomando a = 0 , temos que: 
2
)()(
2
0
xdttfxg
x
== ∫ . Note que g’(x) = x, isto é: g’ = f. 
Ou seja, se g for definida como a integral de f, então g resulta ser a antiderivada de f, pelo menos nesse 
caso. 
Para ver que a proposição é válida em todos os casos, vide o livro-texto. 
 
Exemplo2: Ache a derivada da função ∫ +=
x
dttxg
0
21)( . 
 Solução: como 21)( ttf += é contínua, a proposição anterior nos fornece que 21)( xxg += 
 
Teorema: Se f for contínua no intervalo [a,b], então )()()( aFbFdttf
b
a
−=∫ , onde F é qualquer 
antiderivada de f, isto é: F’ = f. 
 
 P.S.: Isto é surpreendente! 
 
O teorema fundamental do cálculo diz que se conhecemos uma antiderivada F de f, então 
podemos calcular ∫
b
a
dttf )( simplesmente subtraindo os valores de F nos extremos do intervalo 
[a,b], é muito surpreendente que ∫
b
a
dttf )( , definida por um procedimento complicado envolvendo 
todos os valores de f(x) no intervalo [a,b], pode ser encontrado sabendo-se os valores de F em 
apenas 2 pontos, a e b. 
 
Exemplos: 
1) Calcule dxe x∫
3
1
 
 Solução: a função f(x) = ex é contínua em toda parte e uma antiderivada é F(x) = ex. 
 Logo, pelo TFC temos que: 
 eeeeaFbFdttf −=−=−=∫ 3
3
1
13)()()( 
Obs: podemos usar qualquer antiderivada de f(x), portanto podemos usar a mais simples, isto é 
F(x) = ex ao invés de F(x) = ex + C. 
 
Notação: ] [ ] )()()()()()( aFbFxFxFxFdttf bababa
b
a
−====∫ 
 Ou seja: ∫ =
b
a
b
a
xFdttf )()( ; onde F’ = f. 
 
2) Ache a área sob a parábola y = x2 de 0 até 1. 
 
 Solução: f(x) = x2 e uma antiderivada de f é 
3
)(
3x
xF = . Logo, a área pedida é encontrada 
usando o TFC: 
 
3
1
3
0
3
1
3
331
0
31
0
2
=−=== ∫
xdxxS 
 
3) calcule ∫
6
3
1 dx
x
 
 Solução: xxF
x
xf ln)(1)( =⇒= , como x≥0, então xxF ln)( = 
 Logo: 2ln
3
6ln3ln6lnln1 63
6
3
==−==∫ xdxx 
4) Ache a área sob a curva cosseno de 0 até b, onde 0 ≤ b ≤ π/2. 
 
 Solução: senxxFxxf =⇒= )(cos)( . Temos: 
 
1010
2
cos 20
2
0
=−=−=== ∫ sensensenxxdxA
pipi
pi
 
 
5) O que está errado no cálculo? 
3
41
3
1
1
1 3
1
13
1
2 −=−−=
−
=
−
−
−
∫
xdx
x
 
 
Exercícios: 
1) Calcule as integrais usando as propriedades e o TFC: 
 
a) ∫
2
1
2dxx b) ∫
2
1
xdx c) ∫
2
1
dx 
 
 
d) ( )∫ +−
2
1
2 123 dxxx e) ∫ −
2
1
)16( dxx f) ( )∫ +
2
1
1.2 dxxx 
 
 
g) ( )∫ +
2
1
213 dxx h) ∫ +
1
0
2 )1.(2 dxxx 
 
 
 
 
2) Se ∫ =
1
0
5 2
7
5dxx , calcule ∫
0
1
5 2 dtt 
 
 
3) Se ∫ =
2
0
2
4
9
cos.9
pi
pi
tdt , calcular ∫−
2
0
2cos
pi
θθd 
 
 
 
4) Determinar as derivadas: 
 
a) ∫ +
x
dtt
dx
d
2
4 b) ∫
+t dx
x
x
dt
d
0
2 2
 
 
5) calcule as integrais abaixo: 
 
a) ∫
−
pi
pi
senxdx2 b) ( )∫
−
+
1
1
24 dxxx 
 
c) ( )∫
−
+
2
2
2 dxxx d) ( )∫
−
+
1
1
2cos dxxx 
 
 
Respostas: 1) a) 7/3; b) 3/2; c) 1; d) 5; e) 8; f) 23/3; g) 31; h) 3/2; 2) -5/7; 3) –π/4 
 4) a) 4+x ; b) 
t
t 22 +
; 5) a) 0; b) 16/15; c) 16/3; d) 3212 +sen 
Cap3_aplic_integral_Areas_entre_curvas.pdf
 
 
Capítulo 3 – Aplicações de Integração 
 
 
 
Áreas entre Curvas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A área A da região limitada pelas curvas y = f(x) 
e y = g(x) e as retas x = a e x = b, onde f e g são 
funções contínuas e f(x) ≥ g(x) para todo x em 
[a,b], é: 
 
 
 ∫ −=
b
a
dxxgxfA )]()([
Exemplo1: Encontre a área da região limitada por cima por y = ex e por baixo por y = x e limitada pelos lados 
x =0 e x = 1. 
 
 
Solução: 
 
( )
2
3
2
0
2
1
2
1
0
01
0
2
−=
=+−−=−=−= ∫
e
ee
x
edxxeA xx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: Encontre área entre as parábolas y = x2 e y = 2x – x2. 
 
 
 
Achando a intersecção: 
 
x2 = 2x – x2 → 2x2 -2x =0 → x = 0 ou x = 1 
 
 
 
A região está entre x = 0 e x = 1. 
 
 
Então a áre total é: 
 
 
( ) ( )
( )
3
1
00
3
1
2
12
32
22
222
1
0
1
0
32
2
1
0
1
0
222
=
=





+−−=





−=−=
=−=−−=
∫
∫ ∫
xxdxxx
dxxxdxxxxA
 
 
 
Observação: Às vezes é difícil, ou mesmo impossível, encontrar os pontos exatos de intersecção das curvas. 
Nesses casos devemos fazer uso de calculadoras gráficas. 
 
Para obter áreas entre as curvas y = f(x) e y = g(x); onde f(x) ≥ g(x) para alguns valores de x, mas g(x) ≥ f(x) 
para outros valores de x, então dividimos a região S dada em várias regiões S1, S2, S3,....com áreas A1, A2, 
..., como mostrado na figura. 
Definimos a área da região S como sendo a soma das áreas 
das regiões menores S1, S2, S3,....; ou seja: 
A = A1+ A2+ A3 +.... 
Como 



≤→−
≥→−
=− )()()()(
)()()()()()(
xgxfxfxg
xgxfxgxf
xgxf 
Nós temos a seguinte expressão para a área A. 
∫ −=
b
a
dxxgxfA )()( 
 
[ ] [ ] [ ]∫ ∫ ∫ −+−+−=
c
a
d
c
b
d
dxxgxfdxxfxgdxxgxfA )()()()()()(
 
 
 
Quando analisamos a integral acima, contudo, nós devemos dividi-las em integrais correspondentes A1, A2, ... 
 
 
 
 
 
y = x2 
y = 2x – x2 
Exemplo: Encontre a área da região formada pelas curvas y = senx e y = cosx, x = 0 e x = pi/2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: pontos de intersecção: 
 
 senx = cosx → x = pi/4 ( no 1o quadrante) 
 
Obs.: cosx ≥ senx para 0 ≤ x ≤ pi/4, mas senx ≥ cosx 
para pi/4 ≤ x ≤ pi/2. 
Logo, a área requerida é: 
 
 
( ) ( )
( ) ( )
222
2
2
2
21010
2
2
2
2
coscos
coscos
cos
2
4
4
0
4
0
2
4
2
0
21
−=
=







++−−+







−−+=
=−−++=
=−+−=
=+=−=
∫ ∫
∫
pi
pi
pi
pi pi
pi
pi
senxxxsenx
dxxsenxdxsenxx
AAdxsenxxA
 
 
Exercício: Calcular a área limitada pelos gráficos das funções f(x) = x3 e g(x) = x2 + 2x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Intersecção: x3 = x2 +2x → x3 – x2 - 2x = 0 → x.(x2 – x – 2) = 0 
 
 → x.(x + 1).(x – 2) = 0 → x = 0 ou x = -1 ou x = 2 
 
A área será, então: 
( )
12
37
12
3744
3
81
3
1
4
1
0
4
22
3
2)1(
3
)1(
4
)1(0
4334
2)2(
4
2
3
2
34
2
0
4
2
30
1
2
34
0
1
2
0
3223
21
=→=−+++−−=
=−





−++





−+
−
+
−
−=
=





−++





−−=
=−++−−=+=
−
−
∫ ∫
A
x
x
x
x
xx
dxxxxdxxxxAAA
 
 
 
 
 
 
 
 
Às vezes é conveniente se consideramos x em função de y, ou seja, x = f(y); x = g(y); y = c e y = d. Sua área é: 
 
[ ]∫ −=
d
c
dyygyfA )()(
 
Exemplo: Encontre a área limitada pela reta y = x – 1 e pela parábola y2 = 2x + 6. 
 
 
 
 
Intersecção: 
( )
( )( )51054
6212621
2
22
−+→=−−→
→+=+−→+=−
xxxx
xxxxx
 
 
 
 
Ou seja, x = -1 ou x = 5 
 
Logo: 
( ) ( )
18188
2
4
6
84.4
2
16
6
64
4
26
4
2
)3
2
(1
4
2
4
2
4
2
4
2
2322
=⇒=





−+−++−=
=





++−=





++−=





−−+=−= ∫ ∫ ∫
− − −
−
A
yyydyyydyyydyxxA LR
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3
2
2
−=
y
xL 
1+= yxR 
 
Exercícios: 
1) Encontre as áreas das regiões sombreadas: 
 
 
 
 
2) Esboce a região limitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y e calcule as áreas das 
regiões delimitadas. 
 
a) y = x + 1 ; y = 9 – x2 ; x = -1 ; x = 2. 
b) y = senx ; y = ex ; x = 0; x = pi/2. 
c) y = x2; y = x4; 
d) y = x ; y = x2; 
e) y = 1 – x2 ; y = -3; 
f) y2 = 2x ; x2 = 2y; 
g) x + y = 3 ; y + x2 = 3 
h) y = x3 – x ; y = 0 
3) Avalie a integral e interprete-a como uma área de uma região: ∫
−
−
1
1
3 dxxx
 
 
 
 
 
 
 
exercicios de areas polares.pdf
ÁREAS EM COORDENADAS POLARES 
Exercicio 1: Calcular a área limitada pelas pétalas da 
rosácea r = a.sen(2 ), a > 0 
 
 
 
 
 
Exercicio 2: Calcular a área limitada pela 
lemniscata 
r2 = 4.cos(2 ). 
 
 
 
 
 
Exercicio 3: Calcular a área entre a 1a e a 
2avolta da espiral (exponencial) r = e , com 
0  . 
 
 
 
 
Exercicio 4: Esboce a limaçon (com laço) de 
equação polar r = a.(1 – 2sen( )) e 
determine uma expressão em integrais que 
represente a área da
região do plano que se 
encontra no interior da curva e fora do laço. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 9: Determine uma expressão em 
integrais que represente a área da região do 
plano sombreada na figura ao lado onde 
temos o arco da espiral de Arquimedes de 
equação polar r =  ; -     . 
 
 
 
 
Exemplo 10: Determine uma expressão em 
integrais que represente a área da região do 
plano interior a ambas as curvas de equações 
polares 
r =1 + cos(  ) e r = 3cos(  ) 
 
r =1 + cos(  ) é equação de uma cardióide e r 
= 3cos(  ) é equação de um círculo. 
Obtendo a interseção das duas curvas : 
3cos(  ) = 1 + cos(  )  cos(  ) = 1/2  
 =   /3 + 2k 
 
 
SOLIDOS DE REVOLUÇÃO.pdf
 
 
 
EXEMPLO: 
 
 
 
 
 
 
solidos_revolucao_aulas.pdf
Aplicações das Integrais Definidas 
 
Volume de sólidos de revolução 
 
Uma região tridimensional (S) que possui as propriedades (a) e (b) a seguir é um sólido: 
a) A fronteira de S consiste em um número finito de superfícies lisas que se 
interceptam num número finito de arestas que por sua vez, podem se interceptar 
num número finito de vértices. 
b) S é uma região limitada. 
 
Sólidos de Revolução - Método do Disco 
 
Dada uma região 
R
 plana e uma linha reta, ou eixo, que pode tocar (a) ou não (b) em 
R
 e que esteja no mesmo plano de 
R
. Girando-se 
R
 em torno deste eixo, forma-se um 
região no espaço tridimensional denominada sólido de revolução. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Sólido gerado pela Rotação. 
Área plana 

 
R
 
S
 
 

 
b) 
Área plana 

 
R
 
S
 
 
 Sólido gerado pela Rotação. 
a) 
 1 
 
Girando o gráfico de uma função 
 xf
 tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Usando o método do disco circular, calcule o volume do sólido gerado pela 
revolução da região sob a função 
  3xxfy 
, no intervalo 
 2,1
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
1
6
2
1
23
2
1
2 ][)]([ dxxdxxdxxfV 
 
 






   7
127
7
1
7
2
1
2
7
.
7772
1
6 xdxxV
 
 
..99,56143,18
7
127
vuV  
 
dxrdV 2
 
 
   dxxfdV 2
 
  
b
a
dxxfV
2
 
 xfy 
 
Área plana 
Y
 
X
 a 
b
 
  yxfr 
 
Cálculo do elemento de volume 
Y
 
X
 
a
 
b
 
(1,1) 
(2,8) 
x 
r 
Elemento de volume 
 1 2 
X
 
3xy 
 
(1,1) 
(2,8) 
R 
Y
 
Área plana 
 2 
Exemplo: Achar o volume gerado pela função 
  22 xaxf 
 em 
 aa,
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 



a
a
a
a
dxxadxxfV 2222 ][)]([ 
 
 
a
ax
xadxxaV







  3
][
3
2
2
1
22 
 
 
































 
3
2
2 
33
 
33
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3 aa
a
a
a
a
a
a
a
aV  
 
3
33
3
4
 
3
26
 a
aa
V  





 

 u.v. (Unidades de Volume) 
 
Resultando o volume da esfera gerada, que já conhecíamos da teoria de Geometria 
Espacial. 
 
 
a
 
Y
 
22 xay 
 
Semi-círculo em rotação 
a
 X 
Sólido gerado pela rotação do 
semi-círculo 
X
 
Y
 
 3 
Exemplo: Uma região plana pode ser girada em torno do eixo 
y
 ao invés do eixo 
x
, e 
novamente um sólido de revolução será gerado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
V = 

b
a
2 dy)]y(g[
= 

b
a
2dyr
 que é o volume do sólido 
 
 Exemplo: Calcule o volume gerado pela parábola y = x2 girando em torno do eixo de 
y, no intervalo [0,4]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 80
2
4
0
4
2
][)]([
24
0
24
0
222  
y
ydydyydyrdyygV
b
a
b
a
 
 
..13,258 vuV  
 
 Área plana girando em y 
R 
y 
x 
b 
a 
x = g(y) 
y 
x 
dy 
r = x = g(y) 
dV 
Sólido de revolução da área plana em 
torno de y 
y 
Seção plana parábola girando em y 
y 
4 
 0 2 x 
y = x2 
 x =
y
 
x 
Sólido gerado pela Parábola de revolução 
 
 4 
O Método do Disco pode ser estendido para o Método dos Anéis Circulares. Este 
método surge quando a área de revolução é limitada por duas funções f(x) e g(x), tal que 
f(x) > g(x), para todo x[a,b]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O elemento de volume do anel é dado por: 
            dxxgxfdxxgdxxfdV 2222   
de forma que o volume todo é dado por: 
 dxxgxfdVV
b
a
b
a
  
22 )]([)]([
 
Note que o vão interno é descontado pela subtração dos dois volumes. 
 
Exemplo: Calcular, usando o método dos anéis circulares, o volume formado pela 
rotação da região entre 
2xy 
 e 
2 xy
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f(x) 
g(x) 
 a b x 
y 
dx 
dV 
Anel projetado 
f(x) 
y 
 x 
g(x) 
 Sólido gerado pela revolução 
 Área plana em revolução 
Área entre parábola e reta. 
2 xy
 
R 
 
(-1,1) 
(2,4) 
X
 
Y
 
 Sólido de revolução 
X
 
Y
 
 5 
Solução: Faz-se 
  2 xxf
 e 
  2xxg 
 (pois 
   xgxf 
 ) 
Pontos de Interseção: 
    22 xxxgxf 
, isto é: 






42
11
02
22
112
yx
yx
xx
 
   dxxxxdxxxdVV
b
a
 


2
1
42
2
1
222 )()44()()2(  
 
2
1
5432
1
42
5
4
2
4
3
44







 
x
x
xx
dxxxxV  











 









5
)1(
)1(4)1(2
3
)1(
5
2
2.42.2
3
2 52
35
2
3V 





































5
1
2
3
1
5
32
16
3
8
5
1
42
3
1
5
32
88
3
8 V 
 

5
72
15
216
15
32
15
184
15
3305
15
9624040











 

















 





 
V
 
logo 
..2389,45
5
72
vuV 
 
 
 6 
Exercício: Se a revolução for em torno do eixo y, como por exemplo para as funções 
 yfx 
 e 
 ygx 
, tem-se: 
 
 dyygyfdV 22 )]([)]([   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
de forma que o volume todo é dado por: 
 
  
b
a
b
a
dyygyfdVV 22 )]([)]([
 
 
As vezes, o sólido de revolução é gerado em torno de um eixo externo que pode ser 
paralelo a "
x
" ou a "
y
". 
O método dos anéis circulares, pode ser aplicado, desde que se identifique o raio do 
giro. 
Repare que sempre o volume fica determinado pela expressão: 
 
  
b
a
b
a
dyygyfdVV 22 )]([)]([
 
Onde: a e b são pontos de interseção das curvas 
X
 
 yfx 
 
 ygx 
 
Y
 
Área entre curvas, em 
revolução 
Sólido gerado pela área em 
revolução 
dV
 
dy
 
Y
 
X
 
 7 
Exercício: Achar o volume do sólido gerado pela revolução da região 
R
 em torno do 
eixo 
6x
. 
R
 é limitada pelos gráficos de 
xy 42 
 e 
4x
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: Para isolar-se 
x
 faz-se: 
4
4
2
2 yxxy 
 . 
Também, se tem que: se 
416444 2  yyx
 
 
Observação: 
er
raio externo
46 2y
 e 
ir
raio interno
2
 
 
 dyrrdVV ie
y
y 




4
4
22
4
4

 
 
dyy
y
dy
y
ydy
y
V 





























4
4
2
44
4
4
2
4
4
2
2
2
323
16
4
16
3362
4
6  
 






















 )4(32)4(
80
)4(
4324
80
4
4
4
32
80
3
5
3
5
3
5  yyyV 
 
..548,4826,153
5
768
5
384
5
384
vuV 










 
  (unidades de volume) 
xy 42 
 
 4,4
 
 4,4
 
Parábola girando em torno de um 
eixo externo 
 
X
 
 
dy
 
dV
 
2
 
42yx 
 
 Parabolóide gerado pela rotação 
6
 
46 2y
 
46 2y
 
6
 
R
 
Y
 
Y