Membranas-cascas

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Teoria da Membrana. Cascas de Revolução 9.1 
Capítulo 9 
 
Teoria de Membrana. Cascas de Revolução 
 
 
 
 
 
 
9.1 Sistema de Eixos 
 
Uma casca de revolução tem uma superfície média que forma uma superfície de 
revolução. Esta superfície pode considerar-se gerada pela rotação de uma curva plana em 
torno de um eixo, o chamado eixo de revolução, a curva geratriz é um meridiano. Num ponto 
da superfície dá-se a intercepção de um meridiano com um paralelo. O paralelo fica na 
intercepção de um plano normal ao eixo de revolução com a superfície média. 
Um meridiano é identificado pela distância angular θ do plano que contém o meridiano e o 
eixo de revolução com um plano meridiano de referência, plano que contém o eixo principal e 
o meridiano de referência. O paralelo é identificado pelo ângulo φ formado pela normal à 
superfície média no ponto com o eixo de revolução. Os meridianos são curvas para as quais é 
θ = constante e os planos meridianos contêm o eixo de revolução. Os paralelos são curvas 
para as quais é φ = constante, sendo os planos paralelos normais ao eixo de revolução. Esta 
notação está de acordo com a figura 9.1a, na qual se representa uma superfície de revolução, 
estando também representados os planos meridiano e paralelo que passam no ponto P. O raio 
de curvatura do meridiano é designado por R1 e a distância de um ponto ao eixo de revolução 
é designada por R. Na figura 9.1b está representado um meridiano de uma casca de 
revolução. A distância, medida sobre a normal à superfície média num ponto, ao eixo de 
Teoria da Membrana. Cascas de Revolução 9.2 
revolução, é designada por R2 e é o segundo raio de curvatura da superfície média. O raio do 
paralelo, R e o segundo raio de curvatura R2 estão relacionados entre si através do sen do 
ângulo φ, isto é: 
 
φ= senRR 2 9.1 
 
EIXO DE REVOLUÇÃO
dθ
φ
θθ
R
C
D
A
B
φ
φ + dθ θ + dθ
 
 
Figura 9.1: Superfície de Revolução. 
 
O sistema de eixos O xyz da figura 9.1 é tal que o eixo dos zz é coincidente com o eixo 
de revolução e Oxy existem num paralelo, sendo oxz um plano que contém o plano meridiano 
de referência. No ponto P considera-se um sistema de eixos cujos versores são k,j,i
GGG
 e cujas 
direcções são respectivamente a da tangente ao paralelo no ponto P, da tangente ao meridiano 
no ponto P e a da normal à superfície no ponto P, como se representa na figura 9.1. Para obter 
o sistema de eixos Px´, y´, z´ cujo versores são k,j,i
GGG
 é necessário proceder a uma rotação θ 
no plano Oxy, obtendo-se o sistema de eixos Ox"y"z", dando uma rotação φ no plano O y"z" 
obtém-se o sistema de eixos Ox´y´z´, a partir do qual se obtém finalmente Px´y´z´ por 
translação OP. As componentes dos versores k,j,i
GGG
 no sistema de eixos Oxyz são as que se 
representam no quadro 9.1. 
0 
 
 
 
 
Teoria da Membrana. Cascas de Revolução 9.3 
 i
G
 j
G
 k
G
 
Componentes segundo xx cosφ cosθ - senθ senφ cosθ 
Componentes segundo yy cosφ senθ cosφ senφ cosθ 
Componentes segundo zz - senφ 0 cosφ 
 
Quadro 9.1: Componentes no sistema de eixos Oxyz dos versores k,j,i
GGG
. 
 
As derivadas dos versores k,j,i
GGG
 em ordem a φ e θ são: 
 
i k∂ = −∂φ
G G
 i j cos∂ = φ∂θ
G G
 
 
j 0∂ =∂φ
G
 j i cos ksen∂ = − φ + φ∂θ
G G G
 
 
k iφ
∂ =∂
G G
 k j senφθ
∂ =∂
G G
 9.2 
 
O sistema de eixos no ponto P está devidamente caracterizado, sendo a posição do 
ponto P definida através da distância R do ponto ao eixo de revolução e das coordenadas φ e 
θ. 
 
 
9.2 Hipóteses Simplificativas 
 
Em geral a actuar numa casca existem esforços de membrana, de flexão e de corte com 
já foi referido. É no entanto possível considerar que só são relevantes os esforços de 
membrana, Nφ, Νθ, Νφθ no caso, por exemplo, de cascas de revolução sujeitas a forças 
uniformemente repartidas na direcção e sentido de k
G
. Os esforços de flexão Mφ, Μθ, Μφθ e 
Teoria da Membrana. Cascas de Revolução 9.4 
os esforços de corte Tθ e Tφ só serão significativos junto das ligações entre várias 
componentes tipo casca, junto das ligações com o exterior e/ou na presença de outras acções 
externas. 
Considera-se que a teoria de membrana é válida desde que se verifiquem as seguintes 
condições: 
 
1 - A espessura da casca é pequena quando comparada com as restantes dimensões. 
 
2 - As acções exteriores são tais que os esforços se desenvolvem somente na superfície 
média da casca. 
 
3 - As reacções de apoio devem estar localizadas no plano meridiano, caso contrário 
desenvolver-se-ão esforços transversos e esforços de flexão junto da região de fronteira. 
 
4 - A variação do raio de curvatura R1 da curva geratriz da superfície de revolução é lenta, 
não existindo descontinuidades. Nas zonas junto de descontinuidades existirão esforços 
transversos e momentos flectores. 
 
5 - As tensões resultantes de esforços de membrana consideram-se uniformemente 
distribuídas ao longo da espessura da casca. Para valores de RM / e ≥ 10 e para variações 
graduais da espessura esta hipótese pode considerar-se válida. Note-se que RM é o 
menor dos raios de curvatura e e é a espessura da casca. 
 
6 - A tensão radial é pequena quando comparada com as restantes, sendo possível 
considerar-se um estado de tensão plana. 
 
7 - Os deslocamentos na direcção normal à superfície média, designados por W, são 
pequenos e dentro do domínio elástico. Valores de w aceitáveis são tais que w ≤ e/2. 
 
Foram referidas algumas das situações para as quais podem considerar-se irrelevantes 
os esforços de flexão e corte. Note-se ainda que para se poder considerar simetria do tensor N 
dos esforços de membrana a espessura deve da casca deve ser pequena. 
Teoria da Membrana. Cascas de Revolução 9.5 
 
 
9.3 Equações de Equilíbrio 
 
Considere-se um elemento ABCD da superfície média da casca de revolução, formado 
por dois meridianos θ e θ + dθ e por dois paralelos φ e φ + dφ como se representa na figura 
9.2. Note-se que os dois paralelos e os dois meridianos são considerados infinitamente 
próximos. Os esforços unitários actuantes em AB são Nθ e Nθφ, os esforços de membrana que 
actuam em BC são Nφ e Nφθ. Os segmentos AB e BC têm de comprimento R1dφ e Rdθ 
respectivamente. A área do elemento ABCD é RR1 dθdφ. 
 
φ
θ
φ+dφ
θ+dθ
A
B
C
Di
j
k
Nφ
Nφθ
Nθ
Nθφ
P1
P2
P3
 
 
Figura 9.2: Esforços de Membrana. 
 
A equação vectorial de equilíbrio de esforços no elemento ABCD é: 
 
( ) ( ) ( ) 11 1 1 2 3 0N R d i N R d j d N R d i N R d j d P i P j P k R d dRφ φθ φθ θθ θ φ φ φ θ θ φφ θ∂ ∂+ + + + + + =∂ ∂ GG G G G G G
 9.3 
 
Tendo em conta as equações vectoriais 9.2, pode-se substituir a equação vectorial 9.3 
por três equações escalares que traduzem o equilíbrio de esforços na direcção do versor i
G
, do 
versor j
G
 e do versor k
G
, estas equações são: 
Teoria da Membrana. Cascas de Revolução 9.6 
( ) ( )
1 1 1 1cos 0
RN N
R R N P R Rφ θφ θ φφ θ
∂ ∂+ − + =∂ ∂ 
 ( ) ( )
1 1 2 1cos 0
RN N
R R N P R Rφθ θ φθ φφ θ
∂ ∂+ + + =∂ ∂ 
 
0RRPsenNRRN 131 =−+ φθφ 9.4 
 
Estas são as equações de equilíbrio dos esforços de membrana no caso das cascas 
estarem sujeitas a carregamentos arbitrários. No caso das acções exteriores serem 
axissimétricas, as derivadas em ordem a θ podem ser consideradas nulas e as equações 
anteriores tomam a forma seguinte: 
 ( )
1 1 1cos 0
RN
R N P R Rφ θ φφ
∂ − + =∂ a) 
 ( )
1 2 1cos 0
RN
R N P R Rφθ φθ φφ
∂ + + =∂ b) 
 
3
21
P
R
N
R
N =+ θφ c) 9.5 
 
A equação 9.5b) é independente das restantes, no caso das cascas finascarregadas 
simetricamente e sujeitas a esforços de membrana, esta equação fornece directamente o 
esforço Nφθ = Nθφ. 
 
 
9.4 Deformações e Deslocamentos 
 
No caso das cascas finas de revolução no contexto da Teoria de Membrana, as 
deformações a considerar são θφφθ εεε e, sendo θε a extensão segundo o paralelo, φε a 
extensão segundo o meridiano e θφε a distorção; o ângulo inicialmente recto formado pela 
Teoria da Membrana. Cascas de Revolução 9.7 
tangente ao paralelo com a tangente ao meridiano sofre uma variação igual a θφε após a 
ocorrência de deformação. Estas deformações, para uma casca fina de espessura e, 
relacionam-se com os esforços Nθ, Nφ e Nθφ, tendo em conta a lei de Hooke e a definição dos 
esforços unitários a partir das tensões, equações 9.6, do seguinte modo: 
 
( )θφφ υ−=ε NNeE1 
 
( )φθθ υ−=ε NNeE1 
 
φθθφ
υ+=ε N
eE
1 9.6 
 
sendo E o módulo de Young e ν o coeficiente de Poisson. 
As deformações θφφθ εεε e, podem ser calculadas a partir dos deslocamentos U 
segundo a direcção do versor i
G
, V segundo a direcção do versor j
G
 e W segundo a direcção 
do vector k
G
, tendo em conta as mudanças de geometria que ocorrem durante o processo de 
deformação. 
Considere-se um segmento AB segundo o meridiano e sobre a superfície média da 
casca e um segmento AC do paralelo também sobre a superfície média. O segmento AB 
depois de deformado passa a ocupar a posição A´B´ e o segmento AC passa a ocupar a 
posição A´C´ como se representa na figura 9.3. O ponto A sofre o deslocamento U, V e W 
segundo k,j,i
GGG
 respectivamente. 
 
Teoria da Membrana. Cascas de Revolução 9.8 
dθ
A C
A'
C'
v + ∂ v∂θ dθ
w + ∂w∂θ dθ
w
v
B
B'
A
A'
w R
θ'
dφ
u
R1
R1
w + ∂w∂φ dφ
u + ∂ u∂φ dφ
 
Figura 9.3: Segmentos Sobre o Meridiano e Paralelo. 
O comprimento do segmento AB é R1 dφ e o comprimento do segmento AC é Rdθ. O 
comprimento do segmento A´B´ é: ( )1R d i u i v j w k dφ φφ∂+ + +∂ GG G G . A deformação φε 
é: 
 
( )
AB
iABBA
G−′′=εφ 9.7 
 
Tendo em conta o valor dos comprimentos de ABeBA ′′ , as relações 9.2 e 
desprezando os infinitésimos de ordem superior à primeira, a igualdade 9.7 toma a forma: 
 
1 1
1 u w
R Rφ
ε φ
∂
∂= + 9.8 
 
O elemento de arco ´A C′JJJJG é definido pelas seguintes componentes: 
( )1R d j u i v j w k dθ θθ∂∂+ + + GG G G . A deformação εθ é: 
 
( )
AC
jACCA
G−′′=εθ 9.9 
 
Teoria da Membrana. Cascas de Revolução 9.9 
ou seja, desprezando os infinitésimos de ordem superior à primeira: 
 
1 cosv u w sen
Rθ
ε φ φθ
∂⎛ ⎞= + +⎜ ⎟∂⎝ ⎠ 9.10 
 
A
B
C
A´
C´
B´
γ1
γ2
 
 
Figura 9.4: Segmentos sobre a Superfície Média. 
 
A distorção 21 γ+γ obtém-se considerando: 
 
ABAC
BACA ′′′′
=εθφ 9.11 
 
ou seja, desprezando os infinitésimos de ordem superior à primeira: 
 
1
1 1 cosu v v
R R Rθφ
ε φθ φ
∂ ∂= + −∂ ∂ 9.12 
 
Tendo em conta as relações entre deformações e os deslocamentos, 9.8, 9.10, 9.12 e a 
Lei de Hooke, obtém-se as equações seguintes para os esforços em função dos 
deslocamentos: 
 
Teoria da Membrana. Cascas de Revolução 9.10 
2
1
1 cos
1
E e u vN w u w sen
R Rφ
ν φ φυ φ θ
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂= + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
 
 
2
1 cos
1
E e v v uN u w sen w
R Rθ
φ φυ φ φ
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂= + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
 
1
1 1 cos
1
E e u v vN
R R Rθφ
φυ θ φ
⎡ ⎤∂ ∂= + −⎢ ⎥+ ∂ ∂⎣ ⎦
 9.13 
 
Conhecidos os esforços unitários 9.13 é possível calcular as tensões a partir das 
expressões 9.13. 
 
 
9.4 Cascas de Revolução Carregadas de Forma Simétrica - Solução de Membrana 
 
9.4.1 Equações Significativas 
 
No caso das cascas de revolução serem carregadas simetricamente em condições de 
aplicação da Teoria de Membrana, as equações de equilíbrio são: 
 
( )
1 1 1cos 0
RN
R N P R Rφ θ φφ
∂ − + =∂ a) 
 
3
21
P
R
N
R
N =+ θφ b) 
 ( )
1 2 1cos 0
RN
R N P R Rφθ φθ φφ
∂ + + =∂ c) 9.14 
 
A equação 9.14c) é independente das equações 9.14a) e 9.14c) donde se constata que os 
esforços Nθφ só dependem de P2 = P2 (φ). A equação 9.14a) pode ser substituída pela 
equação de equilíbrio de esforços acima do paralelo, ou seja: 
Teoria da Membrana. Cascas de Revolução 9.11 
0PsenNR2 =+φπ φ 9.15 
 
onde P de acordo com a figura 9.5 é a resultante das forças exteriores na direcção do eixo de 
revolução da casca acima do paralelo. 
A partir da equação 9.15 obtém-se directamente os esforços Nφ e a partir da equação 
9.14 b) obtém-se os esforços Nθ uma vez conhecidos os esforços Nφ. 
 
φ φ
R
P
Nφ
Nφ
 
 
Figura 9.5: Forças acima de um Paralelo. 
 
As deformações obtém-se a partir das equações 9.8, 9.10 e 9.12, tendo em conta que 
por existir simetria geométrica e das acções, os deslocamentos são independentes de θ, pelo 
que as deformações são: 
 
1 1
1 u w
R Rφ
ε φ
∂= +∂ a) 
 
( )1 cosu w sen
Rθ
ε φ φ= + b) 
 
φ−φ∂
∂=εθφ cosR
vv
R
1
1
 c) 9.16 
Teoria da Membrana. Cascas de Revolução 9.12 
 
A lei de Hooke mantém a forma definida pelas equações 9.6. Note-se que v pode ser 
obtido por integração da equação 9.16c) e que w pode ser eliminado nas equações 3.3a) e 
3.3b) obtendo-se uma equação em u que pode ser integrada. 
 
 
9.4.2 Cúpula Esférica 
 
Considere-se uma cúpula esférica de raio a sujeita a uma distribuição de forças que 
possa ser equivalente ao peso próprio, como se representa na figura 9.6. 
 
p
α
φ
R
R1
R1 dφ = a dφ
a
 
 
Figura 9.6: Cúpula Esférica. 
 
O raio de curvatura R1 para a cúpula esférica é neste caso obtido do seguinte modo: 
 
a
sen
RR1 =φ= 9.17 
 
A equação de equilíbrio de forças acima do paralelo é: 
 
2 0R N sen Pφπ φ + = 9.18 
 
Teoria da Membrana. Cascas de Revolução 9.13 
No caso presente o valor de P é: 
 
( ) pcos1a2dsenadapP 22
00
φ−π=θφφ= ∫∫ πφ 9.19 
 
sendo p a força equivalente ao peso próprio por unidade de superfície. 
Substituindo a equação 9.19 na equação 9.18 e resolvendo em ordem a Nφ, obtém-se: 
 
( )
φ+−=φ
φ−−=φ cos1
pa
sen
cos1paN 2 9.20 
 
Substituindo o valor de Nφ acabado de obter na equação 9.14b) e resolvendo em ordem 
a Nθ obtém-se: 
 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ φ−φ+−=θ coscos1
1paN 9.21 
 
Verifica-se que Nφ é sempre um esforço de compressão e que Nθ é um esforço de 
compressão para valores de φ < φ 0 e é um esforço de tracção para φ > φ0; sendo φ0 um 
ângulo tal que: 
 
0cos
cos1
1 =φ−φ+ 9.22 
 
ou seja φ0 ≈ 51o 50´. 
 
No caso das reacções serem tangentes aos meridianos estas formulas fornecem boas 
aproximações para as tensões σφ e σθ. 
As deformações εφ e εθ obtidas através da lei de Hooke são: 
 
Teoria da Membrana. Cascas de Revolução 9.14 
1 cos
1 cos
p a
E eφ
νε ν φφ
⎛ ⎞+= − −⎜ ⎟+⎝ ⎠
 
 
1cos
1 cos
p a
E eθ
νε φ φ
⎛ ⎞+= − −⎜ ⎟+⎝ ⎠
 9.23 
 
Eliminando w entre as duas equações 9.16a) e 9.16b) obtém-se: 
 
1cos
usen u R sen Rφ θφ φ ε φ εφ
∂
∂ − = − 9.24 
 
ou seja: 
 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ φφ
ε−φε+φ= θφ d
sen
RsenR
Csenu 2
1 9.25 
 
Tendo em conta as expressões 9.23 para as deformações, obtém-se: 
 
( ) 2
0
1 2 cos
1 cos
p a du sen C
E e sen
φν φφ φφ φ
⎡ ⎤+ ⎛ ⎞= − −⎢ ⎥⎜ ⎟+⎝ ⎠⎣ ⎦∫ 9.26 
 
ou seja: 
 
( ) ( )
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
φ+−φ+
ν+−φ=
cos1
1cos1n
eE
ap1Csenu
2
A 9.27 
 
Sendo a constante C determinada através das condições de bordo que no caso da cúpula 
representada na figura 9.6 são u = 0 para φ = α ao longo do paralelodo apoio. 
 
A partir da equação 9.16 b, obtém-se w definido do seguinte modo: 
 
Teoria da Membrana. Cascas de Revolução 9.15 
φ−ε= θ angcotuaw 9.28 
 
Outro caso de tratamento simples é o caso da cúpula com uma abertura para φ = β como 
se representa na figura 9.7. 
 
P P
β
α
Q Q
 
Figura 9.7: Cúpula Esférica com Abertura. 
 
No caso de se considerar que a cúpula está sujeita ao peso próprio, a carga P é: 
 
θφφ= ∫∫ πφβ dsendapP 202 
 
ou seja: 
 
( )φ−βπ= coscosap2P 2 9.29 
 
A equação de equilíbrio de forças acima do paralelo, implica que seja: 
 
φπ−=φπ−=φ 2sena2
P
senR2
PN 9.30 
 
ou seja tendo em conta a equação 9.29: 
 
Teoria da Membrana. Cascas de Revolução 9.16 
( )
φ
φ−β−=φ 2sen
coscosapN 9.31 
 
Por outro lado tendo em conta a equação de equilíbrio 9.14 b), obtém-se: 
 
φ−−= φθ cosapNN 
No caso da cúpula estar sujeita a uma força P distribuída ao longo do paralelo φ = β, 
como se representa na figura 9.7, os esforços Nφ e Nθ são: 
 
φ
β−=−= θφ 2sen
senPNN 9.32 
 
Uma vez que a cúpula não pode estar sujeita senão a esforços no plano tangente, é 
necessário considerar ao longo do paralelo superior um anel de compressão que equilibra uma 
densidade de força radial Q = P tang β, sendo o esforço de compressão F = Q R sen b. No 
caso das solicitações serem tais que não produzam reacções somente na direcção tangencial é 
necessário considerar os efeitos de flexão junto das ligações. 
 
 
9.4.3 Cascas Cónicas 
 
No caso das cascas cónicas, de acordo com a figura 9.8, o ângulo φ é constante e é tal 
que: 
 
α−π=φ
2
 9.33 
 
sendo α o ângulo de abertura do cone. 
Teoria da Membrana. Cascas de Revolução 9.17 
 
A
α
s
φ
φ
R2
R
α
B
A
B
SA
 
Figura 9.8: Casca Cónica. 
O raio do paralelo que passa por B na figura 9.8 a) é R e pode exprimir-se em função do 
Ângulo de abertura α e do comprimento do meridiano até B que é S, do seguinte modo: 
 
α= senSR 9.34 
 
O raio de curvatura R1 da casca é R1 = ∞ , o raio R2 é tal que R2 = S tang α. 
As equações de equilíbrio de forças 9.14 a) e 9.14 b) podem ser reescritas em termos de 
S e α do seguinte modo: 
 
( )
1 0
SS N N P S
S θ
∂
∂ − + = 
 
α=θ TangsPN 3 9.35 
 
A estas equações de equilíbrio pode dar-se a forma seguinte: 
 
α=θ TangSPN 3 
( ) ( )3 1SS N P Tang P SS α∂
∂ = − 9.36 
 
Teoria da Membrana. Cascas de Revolução 9.18 
No caso da casca estar sujeita à carga P, como se representa na figura 9.8a), esta última 
equação pode ser substituída pela equação de equilíbrio de forças acima de um paralelo, que 
é: 
 
0PcossenN2 S =+ααπ 9.37 
 
ou seja: 
 
αβπ−= cossenS2
PNS 9.38 
 
O esforço Nq é para a casca cónica da figura 9.8a) nulo. 
A cúpula cónica representada na figura 9.8b) está sujeita ao peso próprio, sendo este 
representado por duas componentes: 
 
α= cosPP1 
 
α−= senPP1 9.39 
 
As equações de equilíbrio 9.36 conduzem aos esforços seguintes: 
 
α
α−=θ cos
senpsN
2
 
 
e 
 
α
−−=φ cosS2
SSPN
2
A
2
 9.40 
 
Em qualquer dos casos de carga considerados admitiu-se ser válida a Teoria de Membrana. 
 
Teoria da Membrana. Cascas de Revolução 9.19 
α
 
 
Figura 9.9: Cúpula Cónica Apoiada num Pilar. 
 
Outras solicitações são possíveis, nomeadamente podemos considerar a hipótese de a 
cúpula cónica estar sujeita ao peso próprio e apoiada num pilar como se representa na figura 
9.9. 
9.4.4 Casca em Forma de Toro 
 
Um toro é obtido por rotação de um circulo de raio a em torno de um eixo de rotação 
como se representa na figura 9.10. Os esforços em A são horizontais, os esforços ao longo do 
circulo BB são obtidos considerando o equilíbrio de forças acima do paralelo BB, obtendo-se 
a equação seguinte: 
 ( )22 bRpsenNR2 −π=φπ φ 9.41 
 
No caso da casca estar sujeita a uma carga uniformemente distribuída de intensidade p, 
a equação 9.41 toma a forma: 
 
( )
φ
−=φ senR2
bRpN
22
 9.42 
 
Teoria da Membrana. Cascas de Revolução 9.20 
A A
R
a
A´ A´ 
B B
φ
b
Nφ Nφ
 
 
Figura 9.10: Casca Em Forma de Toro. 
 
Substituindo este valor na equação 9.14 b), obtém-se: 
 
2
apN =θ 9.43 
 
Um toro de secção elíptica pode ser tratado de forma análoga. 
9.5 Cascas de Revolução Carregadas de Forma não Simétrica. Solução de Membrana 
 
9.5.1 Equações Fundamentais 
 
As equações de equilíbrio 9.4 podem ser modificadas, tendo em conta a equação 9.4 c) 
que pode ser resolvida em ordem a Nθ. Substituindo o valor de Nθ obtido nas outras duas 
equações, obtém-se duas equações em Nφ e Nθφ que são: 
 
( ) ( )2 1 2 1 1 2 1 3cos cosN NR sen R R N R R R P sen Pφ φθφφ φ φ φφ θ
∂ ∂+ + + = − +∂ ∂ 
 
3
2 1 2 1 2 22 cos
N N PR sen R N R R R P senφθ φφθφ φ φφ θ θ
∂ ∂ ⎛ ⎞∂+ − = − +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
 9.44 
 
 
Teoria da Membrana. Cascas de Revolução 9.21 
No caso das cargas P1, P2 e P3 serem funções arbitrárias de φ e θ, podem ser 
representadas do seguinte modo: 
 
1 1 1
0 1
cosn nP P n P sen nθ θ
∞ ∞= +∑ ∑ 
 
2 2n 2n
0 0
P P sen(n ) P cos(n )
∞ ∞= θ + θ∑ ∑ 
 
0 1
3 3 3cosn nP P n P sen nθ θ
∞ ∞= +∑ ∑ 9.45 
 
onde n3n3n1n1 P,P...,,P,P são funções de φ. As primeiras parcelas destes somatórios 
representam a parte simétrica do carregamento e as segundas parcelas representam a parte do 
carregamento Anti-simétrica. 
Para efeitos de solução das equações 9.44 pode considerar-se separadamente os 
carregamentos simétricos e anti-simétricos, Assim considerando um termo típico do 
carregamento simétrico, por exemplo: 
 
θ=θ=θ= ncosPPensenPP,ncosPP n33n22n11 9.46 
 
Para um inteiro arbitrário n, a solução do sistema de equações 9.44 pode ser procurada 
com a forma: 
 
θ=θ=θ= φθφθθθφφ nsenNNencosNN;ncosNN nnn 9.47 
 
onde Nφn, Nθn e Nφθn são funções de φ. Introduzindo as equações 9.46 e 9.47 nas equações 
9.44 e eliminando cos nθ na 1ª equação e sen nθ na 2ª equação, obtém-se: 
 
( )φ+−=φ+φ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++φ
φθφφ cotangPPRsen
N
R
R
ncotangN
R
R
1
d
dN
n3n11
n
2
1
n
2
1n 
 
Teoria da Membrana. Cascas de Revolução 9.22 
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
φ+−=φ+φ+φ
φφθφθ n3n21n
2
1
n
2
1n P
sen
nPR
sen
N
R
RncotangN
R
R2
d
dN
 9.48 
 
que são as equações a resolver. 
No caso do carregamento antissimétrico procede-se de modo análogo. 
 
 
9.5.2 Casca Esférica. Solução Geral 
 
No caso da casca esférica os raios de curvatura R1 e R2 são iguais entre si e iguais ao 
raio da superfície esférica a, ou seja R1 = R2 = a. As equações 9.48 tomam a forma seguinte: 
 
( )φ+−=φ+φ+φ
φθφφ angcotPPasen
N
ncotangN2
d
dN
n3n1
n
n
n 
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
φ+−=φ+φ+φ
φφθφθ n3n2nnn Psen
nPa
sen
N
ncotangN2
d
dN
 9.49 
 
Procedendo à seguinte mudança de variáveis: 
 
nnnn NNVeNNU φθφφθφ −=+= 9.50 
 
e somando e subtraindo as equações 9.49, obtém-se: 
 
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
φ
φ++−−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
φ+φ+φ n3n1n2 Psen
cosnPPaU
sen
ncotang2
d
dU 
 
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
φ
φ−−−−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
φ−φ+φ n3n1n2 Psen
cosnPPaV
sen
ncotang2
d
dV 9.51 
 
Estas equações são duas equações diferenciais de 1ª ordem do tipo: 
 
Teoria da Membrana. Cascas de Revolução 9.23 
( ) ( ) 0gwf
d
dw =φ+φ+φ 9.52 
 
cuja solução geral é da forma: 
 
( ) ( )φ−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ φφ−= ••∫ dfexpddfexpgCw 9.53 
 
Aplicando esta fórmula às equações 9.51, obtém-se para U e V as fórmulas seguintes: 
 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ φφφ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
φ
φ+−+−φ
φ= • d
2
tangcosenP
sen
cosnPPaC
sen
2/cotangUn2n3n2n1n2
n
 
 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ φφφ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
φ
φ−+−−φ
φ= • d
2
tangcosenP
sen
cosnPPaD
sen
2/cotangV n2n3n2n1n2
n
 9.54 
Tendo em conta a mudança de variáveis 9.50, os esforços unitários são: 
 
2
VUNe
2
VUN nn
−=+= φθφ 9.55 
 
As equações 9.54, 9.55 e 9.47 representam a solução do sistema de equações de 
equilíbrio 9.44 para as cascas esféricas. 
 
 
9.5.3 Casca Esférica Sujeita à Acção do Vento 
 
A acção do vento numa casca esférica, admitindo que é uma acção com a direcção 
horizontal em relação á casca pode ser representada pela seguintes forças: 
 
φφ=== cossenpPe0PP 321 9.56 
 
A solução procurada é da forma: 
Teoria da Membrana. Cascas de Revolução 9.24 
 
θ=θ= φθφθφφ senNNecosNN 11 9.57 
 
As equações 9.48, tendo em conta R1 = R2 = a tomam neste caso a forma seguinte: 
 
φ−=φ+φ+φ
φθφφ cospasen
N
cotangN2
d
dN 1
1
1 
 
pa
sen
N
cotangN2
d
dN 1
1
1 −=φ+φ+φ
φθφθφ 9.58 
 
Procedendo à mudança de variáveis: 
 
1111 NNVeNNU φθφφθφ −=+= 9.59 
 
e somando e subtraindo as equações 9.58 entre si, obtém-se: 
 
( )φ+−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
φ+φ+φ cos1paUsen
1cotang2
d
dU 
 
( )φ−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
φ−φ+φ cos1paVsen
1angcot2
d
dV 9.60 
 
Estas equações são integráveis sendo a sua solução: 
 
3
13
1 cos 1cos cos
3
U C pa
sen
φ φ φφ
+ ⎡ ⎤⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ 
 
3
23
1 cos 1cos cos
3
V C pa
sen
φ φ φφ
− ⎡ ⎤⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ 9.61 
 
Teoria da Membrana. Cascas de Revolução 9.25 
onde as constantes C1 e C2 são constantes de integração que podem ser calculadas a partir 
das condições de contorno. 
As equações 9.59 e 9.61 conduzem ás expressões dos esforços Nφ1 e Nθφ1 que são as 
seguintes: 
 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ φ−φ+φ−++φ=
+=φ 42212131 cos3
1cospacos
2
CC
2
CC
sen
1
2
VUN 
 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ φ−φ+φ++−φ=
−=θφ 3212131 cos3
1cospacos
2
CC
2
CC
sen
1
2
VUN 9.62 
 
Tendo em conta as equações 9.57 e 9.62 obtém-se: 
 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ φ−φ+φ−++φ
θ=φ 4221213 cos3
1cospacos
2
CC
2
CC
sen
cosN 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ φ−φ+φ++−φ
θ=θφ 321213 cos3
1cospacos
2
CC
2
CC
sen
senN 9.63 
 
Para φ = 0 o valor dentro de parêntesis recto deve ser nulo, ou seja: 
 
pa
3
2C1 −= 9.64 
 
Para φ = π/2 a resultante dos esforços Nφ deve ser nula e portanto deve ser: 
 
pa
3
2CsejaouCC 221 =−= 9.65 
 
Nestas condições os esforços Nφ, Nφθ e Nθ são definidos de acordo com 9.63, 9.64, 
9.65 e 9.5c) e são: 
 
Teoria da Membrana. Cascas de Revolução 9.26 
( ) ( )
( ) θφφ+
φφ−φ+−=φ cossencos1
coscos1cos2
3
paN 
 
( ) ( )
( ) θφφ+
φ−φ+−=φθ sensencos1
cos1cos2
3
paN 
 
( ) ( )
( ) θφφ+
φ−φ+φ+−=θ cossencos1
cos1cos2cos43
3
paN
2
 9.66 
 
Os esforços numa cúpula esférica com abertura superior podem ser calculados de modo 
análogo.