RESISTNCIADOSMATERIAIS_20220223171736

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Prof. Gilberto Augusto de Morais
GILBERTO AUGUSTO DE MORAIS
Gilberto.morais@unp.br
Doutor em Engenharia Mecânica –Aeronáutica-ITA
A Mecânica é uma ciência física aplicada que trata dos estudos das forças e
os movimentos. A Mecânica descreve e prediz as condições de repouso ou
movimento de corpos sob a ação de forças.
A finalidade da Mecânica é explicar e prever fenômenos físicos, fornecendo,
assim, os fundamentos para as aplicações da Engenharia.
A Mecânica é subdividida em três grandes ramos:Mecânica dos Corpos Rígidos,
Mecânica dos Corpos Deformáveis e Mecânica dos Fluídos, como indicado abaixo.
INTRODUÇÃO
Na Mecânica Newtoniana, espaço, tempo e massa são conceitos absolutos, independentes entre si. 
O conceito de força, entretanto, não é independente dos outros três. A força que atua em um corpo 
está relacionada à massa do corpo e à variação de sua velocidade com o tempo.
CONCEITOS
ESTÁTICA
ESTRUTURA
Parte de um corpo que suporta os esforços nele aplicados. Em
construção civil: vigas, colunas e lajes; na mecânica: suportes, bases,
colunas, etc.; no corpo humano o conjunto dos ossos.
Os corpos que compõem a estrutura podem ser classificados em
barras, blocos ou placas:
 Barra  uma das dimensões é muito maior que as outras. Ex.: um
eixo de transmissão é uma barra (seu comprimento é muito maior que
o seu diâmetro);
 Bloco  possui as três dimensões básicas (comprimento, largura e
altura) da mesma ordem de grandeza. Ex.: blocos de concreto, tijolos;
 Placa  uma de suas dimensões é bem menor que as outras; em
uma chapa por exemplo, a espessura.
EQUILÍBRIO DOS CORPOS RÍGIDOS
É definido como a situação em que as forças externas (ação e reação)
formam um sistema equivalente a zero.
Decompondo cada força e cada momento de força em suas componentes
cartesianas, as condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de um
corpo rígido são expressas através das seguintes equações:
APOIOS
São dispositivos que vinculam uma estrutura a outras estruturas, restringindo seu 
movimento. Os três tipos básicos são:
• Articulação móvel (apoio simples)  impede o deslocamento na direção 
normal a um plano definido;
Articulação fixa (apoio fixo)  impede a translação. A força reativa pode ser 
decomposta em duas componentes;
Engastamento (engaste)  impede qualquer movimentação (translação e
rotação). Suas reações são um momento e uma força, a qual pode ser decomposta
em duas componentes.
Combinações de apoios
Engastamento móvel na direção longitudinal à barra
Engastamento móvel na direção transversal à barra
A figura abaixo mostra um guindaste fixo, que tem massa de 1200 kg e é usado para suspender um caixote de
2000 kg. Ele é mantido no lugar por um pino em A e um suporte basculante em B. O centro de gravidade do
guindaste está localizado em G. Determine os componentes das reações em A e B. Use g = 10 m/s2, a = 2 m; b =
2 m e c = 4 m.
CARGAS
A barra da estrutura ilustrada abaixo está sujeita aos esforços indicados. Determinar as reações dos 
apoios que a equilibram.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 
Determinar as reações para o equilíbrio das estruturas abaixo:
MOMENTOS
A soma dos momentos das forças componentes
equivale ao momento da força resultante, em
relação ao mesmo polo.
Essa lei estende-se a três ou mais forças
coplanares aplicadas em P, mesmo se a
resultante for nula. Ela se aplica também a forças
coplanares paralelas exercidas em um sólido (o
que equivale a ponto P infinitamente distante,
ponto P impróprio) desde que elas não formem
binário (vide tópico a seguir
BINÁRIO OU CONJUGADO
É um sistema formado por duas forças exercidas no mesmo
sólido, tendo linhas de ação paralelas, mas distintas,
sentidos opostos e intensidades iguais. Plano do binário é o
plano das forças que o constituem. Eixo do binário é toda
reta normal ao plano do binário. Braço do binário é a
distância entre as linhas de ação das forças que o
constituem.
A soma vetorial das forças de um binário é nula; não
obstante, binário exerce ação girante. Momento de um
binário é a soma dos momentos das forças componentes do
binário, em relação a um polo qualquer no plano binário.
Note-se que o resultado não depende do particular polo O
adotado: o momento de um binário é invariante em relação
ao polo. Conclusão:
O momento de um binário não depende do polo; ele é
produto do braço pela intensidade das forças, com sinal
convencional.
Mediante operações elementares, um binário pode ser
transformado em binário equivalente, de inúmeros modos.
Binários equivalentes possuem eixos iguais, ação girante no
mesmo sentido e momentos iguais. Os elementos
definidores de um binário são o eixo, o sentido de ação e o
momento. Dois binários no mesmo plano se equivalem
quando têm momentos iguais em intensidade e sinal.
Binário pode sofrer qualquer translação ou rotação em
seu plano, ou para plano paralelo (o que não lhe muda
o eixo, nem o sentido de ação, nem o momento). A
intensidade das forças pode ser alterada, desde que o
seja na razão inversa do braço.
Os agentes fundamentais em Mecânica são então as
forças e momentos. Pensando também nem seus
efeitos dinâmicos, podemos resumir sua ação no
quadro a seguir:
ESFORÇOS INTERNOS
Quando se aplicam esforços em uma viga, aparecem em geral,
esforços internos, constituídos por tensões normais e de
cisalhamento, nos diversos pontos de seu interior. Para determiná-
los é necessário, inicialmente, calcular as forças e o momento que
estão solicitando a seção considerada, para isso utilizando as
equações da estática.
Para determinar, por exemplo, os esforços que solicitam a seção
C da viga abaixo, vamos supor que se remova a parte à direita da
estrutura a partir da seção considerada. Para substituir seus efeitos
sobre o trecho AC, deve-se considerar na seção C uma força normal
à superfície da seção, uma força normal à viga e um momento,
como representado abaixo.
As forças Q e N e o momento M, conservam em equilíbrio o trecho AC, em
conjunto com as forças VA, F1 e F2.
Momento Fletor
O momento M é chamado momento fletor (que causa flexão) na seção C. Seu
valor é calculado com o emprego da equação da estática que estabelece que a
soma dos momentos, em relação a qualquer ponto (no nosso caso C, em
particular) é nula. Assim:
∑MC = 0 é – VA . x + F1 . (x - a) + F2 . (x - b) + M = 0 é
M = VA . x – F1 . (x - a) - F2 . (x - b)
O momento fletor M é o momento produzido por todos os esforços (ativos e
reativos), que atuam na parte da estrutura que se conservou em equilíbrio, após a
remoção da outra parte. Este momento deve também ser equivalente ao momento
das tensões que se distribuem pelos diversos pontos da seção C.
Força Cortante
A força aplicada em C (contida em C), recebe o
nome de força cortante (tende a cisalhar a
seção) e se representa com a letra Q. No
exemplo, para que haja equilíbrio, é necessário
que:
∑FV = 0 é VA - F1 - F2 - Q = 0 é Q = VA - F1 - F2
Força Normal
É aquela que causa tensões de tração ou de compressão no plano da seção
considerada. No exemplo considerado N = 0.
Resumindo, pode-se dizer que: momento fletor, numa seção qualquer, é a soma
algébrica dos momentos produzidos pelos esforços externos (ativos e reativos) no
centro de gravidade da seção considerada (também considerando-se apenas os
esforços externos que atuam numa das partes da estrutura, à esquerda ou à direita
do corte imaginário ao longo da seção); força cortante, de maneira análoga, é a
resultante desses esforços, projetada sobre a seção considerada.
Por convenção, a força normal será positiva quando a viga sofre tração à esquerda
da seção considerada e negativa quando o esforço resultante for de compressão. O
momento fletor positivo é aquele que tende a fletir a viga com concavidade para
cima (tracionando as fibras mais inferiores) e momento fletor negativo,aquele que
tende a imprimir-lhe concavidade para baixo (comprimindo as fibras inferiores). A
força cortante é positiva quando tende a deslocar para cima a parte da viga que se
situa à esquerda da seção considerada e negativa, em caso contrário.
DIAGRAMAS
CONSTRUÇÃO DE DIAGRAMAS DE ESFORÇOS INTERNOS
Dada uma estrutura conforme o exemplo abaixo, podemos seguir um roteiro para construção de
diagramas que permitirão, desde que construídos em escala apropriada, determinar para cada seção
sobre a estrutura, de forma rápida e precisa, os esforços internos atuantes, sem a necessidade de
cálculos suplementares.
Após a determinação de todos os momentos e forças (ativas e reativas) que atuam sobre a estrutura
e construção do diagrama de corpo livre, com fixação da origem das distâncias no eixo x no limite à
esquerda da estrutura:
1. Traçamos as linhas verticais que delimitam os trechos de interesse para determinação dos
esforços: extremidades das estruturas, pontos de apoio e fixação e, após desenho do diagrama de
esforços cortantes e quando existirem, pontos onde esses esforços cortam o eixo da estrutura (neles,
o momento fletor das cargas distribuídas no trecho é máximo).
2-Avaliar e equacionar, trecho a trecho, os esforços normal, cortante
e momento fletor, isolando a parte da estrutura à esquerda. Para
equações com x variável, os valores de interesse são o início e o
final do trecho. Observar a convenção de sinais.
3. Desenhar os diagramas. O desenho em escala
permite determinar os esforços em qualquer ponto
da estrutura.
4. Podemos desenhar os diagramas pela observação das forças,
analisando-as também da esquerda para a direita. No caso dos esforços
normais já fazemos isso. Para os esforços cortantes iniciamos sobre o
eixo e, no exemplo dado: +21,4 kN sobre o apoio A, segue constante no
trecho (não há mais forças verticais nesse trecho), desce 30 kN no final
do trecho, segue constante no segundo trecho, desce mais 20 kN ao final
do segundo trecho, segue constante até o final e sobe 28,6 kN (reação do
apoio móvel em B) - sai do zero no início e chega em zero no final. Para o
diagrama de momentos fletores, seu valor no final do trecho corresponde
à soma ou subtração das áreas do gráfico da cortante no trecho. Então,
no primeiro trecho, a área do gráfico da cortante é 21,4 x 3 = 64,2 (valor
do momento ao final do trecho). No segundo trecho: 64,2 - (8,6 x 2,5) =
42,7. No último trecho da cortante a área seria negativa: 28,6 x 1,5 =
42,7, o que faz com que o momento chegue a zero na extremidade da
estrutura. Perceba que no início e no final das estruturas o momento
fletor será sempre 0.
ABAIXO SÃO REPRESENTADOS OS CASOS MAIS SIMPLES
DE ESFORÇOS SOBRE ESTRUTURAS, PARA OS QUAIS
PODEMOS NOS UTILIZAR DESTES ESQUEMAS PARA
CONSTRUÇÃO DOS DIAGRAMAS DE ESFORÇOS INTERNO
DIAGRAMAS TÍPICOS 
TENSÕES
EXERCÍCIOS - TENSÃO x DEFORMAÇÃO
(Extraído do original Fundamentos da Ciência e Engenharia de Materiais; Callister, William D.; LTC; ISBN-978-85-216-1597-2,
2ª Edição.)
1. Um corpo-de-prova de alumínio com seção reta retangular de 10 mm x 12,7 mm é puxado em tração com
uma força de 35.500 N, produzindo apenas uma deformação elástica. Calcular a deformação resultante.
(0,4 %)
2. Um corpo-de-prova cilíndrico feito a partir de uma liga de titânio, com módulo de elasticidade de 107 Gpa e
diâmetro original de 3,8 mm, irá experimentar apenas deformação elástica quando uma carga de tração de 2000
N for aplicada. Calcular o comprimento máximo do corpo-de-prova antes da deformação se o alongamento
máximo admissível é de 0,42 mm.
(254,83 mm)
3. Uma barra de aço com 100 mm de comprimento e uma seção reta quadrada com 20 mm de aresta é puxada
em tração com uma carga de 89.000 N, e experimenta um alongamento de 0,10 mm. Considerando-se que a
deformação seja inteiramente elástica, calcular o módulo de elasticidade do aço.
(222,5 GPa)
4. Considerar um arame cilíndrico feito de níquel com 2,0 mm de diâmetro e 3 x 104 mm de comprimento.
Calcular o seu alongamento quando uma carga de 300 N é aplicada. Admitir que a deformação seja totalmente
elástica.
(13,85 mm)
5. Um bastão cilíndrico com 120 mm de comprimento e diâmetro de 15,0 mm deve ser deformado utilizando-se
uma carga de tração de 35.000 N. Ele não deve experimentar deformação plástica ou redução no seu diâmetro
superior a 1,2 x 10-2 mm. Dos materiais listados abaixo, quais são possíveis candidatos? Justificar suas(s)
escolha(s).
6. Um bastão cilíndrico com 380 mm de comprimento e diâmetro de 10,0 mm deve ser submetido a uma
carga de tração. Se o bastão não deve experimentar deformação plástica ou um alongamento de mais de 0,9
mm quando a carga aplicada for de 24.500 N, quais dos quatro metais ou ligas listados abaixo são
candidatos? Justificar sua(s) escolha(s).
FLEXÃO SIMPLES
MODELOS MANUAIS PARA RESULTAR NA MELHORA DA APRENDIZAGEM 
EM 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
GILBERTO AUGUSTO DE MORAIS
MODELOS MANUAIS PARA RESULTAR NA MELHORA 
DA APRENDIZAGEM EM 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
O uso de modelos qualitativos apresenta-se como uma ferramenta
pedagógica para aprendizagem de alto desempenho, que vigoriza o
entusiasmo dos alunos para aprender sobre modelos estruturais,
compreendendo seu funcionamento
Viga de seção retangular em silicone
BLOCOS PARA VISUALIZAÇÃO DAS DECOMPOSIÇÕES DAS FORÇAS E DOS MOMENTOS E DOS PLANOS DE
ATUAÇÃO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES. Para auxiliar na compreensão e representação dos planos de
representação dos esforços solicitantes nas estruturas espaciais. Os planos são representados por blocos de
espuma.
Barra de Borracha
Esse modelo se adequa a vários outros temas que iremos abordar. É, sem dúvida, um modelo que permite
demonstrar, didaticamente, várias situações de esforços e deformações.
Fig.barra quadriculada de borracha
Objetivo - Mostrar qualitativamente a dependência do alongamento e do encurtamento com os esforços 
normais aplicados nas barras.
Descrição - É uma barra de borracha de seção retangular, quadriculada Fig. (barra quadriculada de 
borracha).
EFEITO DAS TENSÕES DE CISALHAMENTO NA FLEXÃO EM BARRAS BIAPOIADAS
Este modelo ilustra o efeito das tensões de cisalhamento devido à força cortante na
flexão de barras simplesmente apoiada. Verifica-se o aparecimento das tensões de
cisalhamento nos planos horizontais pelo equilíbrio com as tensões de cisalhamento nas
seções transversais devido à força cortante. A deformada e a respectiva flecha que se
observa quando coloca-se o peso no meio do vão sobre a viga simplesmente apoiada é o
retrato da existência dessas tensões. A viga pode ser constituída pelas três barras, umas
sobre as outras, ou ainda unidas pelos parafusos de forma a evitar o deslizamento dessas
quando do carregamento aplicado. São réguas de policarbonato perfuradas em três
pontos cada um deles possibilitando a junção das barras por meio de parafusos com
porcas. Sobre o sistema se aplica um peso, verificando-se com o auxílio da faixa
graduada colada na madeira a flecha que se produz. Quando se soltam as porcas, as
barras podem deslizar livremente entre si.
CUBO E PLACA LIGADA POR BORRACHA
Confeccionado com madeira e borracha permite mostrar a força normal de tração e a força cortante atuando.
ILUSTRAÇÃO DOS DESLOCAMENTOS EM UMA ESTRUTURA
RETICULADA ESPACIAL, ISOSTÁTICA E ENGASTADA EM UMA
DAS EXTREMIDADES, PARA UMA FORÇA APLICADA
VERTICALMENTE NA EXTREMIDADE LIVRE:
O modelo tem por objetivo mostrar como a carga, caminhando por uma
estrutura espacial, solicita cada barra e provoca os deslocamentos na estrutura.
Para isso, o modelo permite o travamento de cada barra, permitindo que se
mostrem as solicitações que nela atuam pela passagem da carga. As
deformações permitem identificar esses esforços.
Finalmente, pode-se deixar livres todos os travamentos da estrutura e mostrar
os deslocamentos decorrentes dasomatória desses efeitos, que juntos geram
os deslocamentos reais da estrutura.
Para melhor compreender a natureza do aparecimento das tensões tangenciais
em uma viga flexionada, observe a fig. 6.2.1(a) que representa uma pilha de
tábuas sobrepostas, submetida, nas extremidades, a um momento fletor M que
traciona as tábuas inferiores, comprimindo as superiores, sem provocar
qualquer tipo de escorregamento entre as tábuas.
Já se a flexão fosse provocada pelo carregamento mostrado em (b) (M
variável), verifica-se que as tábuas escorregariam, umas sobre as outras. Se as
tábuas fossem coladas, umas às outras, impedindo este escorregamento,
surgiriam tensões tangenciais na cola. Verifica-se, portanto, que, sendo a viga
inteiriça, submetida àquele carregamento (c), ocorrerão tensões tangenciais
nos planos longitudinais (yx).
A existência de uma tensão yx no plano longitudinal da viga implica na
ocorrência de uma tensão xy , de igual valor, na seção transversal (1.5). São
essas tensões que provocam o cortante Q.
TENSÕES TANGENCIAIS
Exemplo – Para a viga esquematizada na figura, pede-se determinar:
a-a máxima tensão de tração;
b-a máxima tensão de compressão;
c-a máxima tensão de cisalhamento;
d-a força total na união entre a mesa e a alma.
SOLUÇÃO 
a-a máxima tensão de tração ocorrerá no topo da mesa, no engaste, valendo:
σT = (9000 / 127,1 x10 –6) x(0,330 –0,2325) =
=  MPa.
b-a máxima tensão de compressão ocorrerá na base da alma, no engaste, valendo:
σC = (9000 / 127,1 x 10 –6) x 0,2325 = 16,5 MPa
c-a máxima tensão tangencial ocorrerá na altura da linha neutra, em toda extensão da viga, valendo:
Max = [10.000 x 0,020 x (0,2325)2 x ½] / 0,020 x ILN
Max = 2,12 MPa
d-a tensão xy na altura da transição mesa/alma valerá:
xy = 10.000 x 0,030 x 0,200 x(0,315 –0,2325) / 0,020 x 127,1 x 10 –6 = 1,947 MPa.
e- Uma tensão de mesmo valor (yx) se estende ao longo da união entre a mesa e a alma, e a força nesta união
valerá: FU = 1,947 x 10 –6 x (900 x20) x 106 = 35,0 kN.
A força cortante Q vale 10 kN ao longo de toda a viga.
O momento fletor M (negativo, tracionando a mesa),
varia linearmente de zero, na extremidade em balanço,
até o engaste, onde vale 10 x 0,9 = 9 kNm.
A linha neutra estará a uma altura da base da alma em
yLN = (20 x30 x315 + 20 x300 x150) / 12000
yLN = 232,5 mm
O momento de inércia da seção em relação à LN:
ILN = 200 x303/12+ 200 x30(315 –232,5)2 +
+ 20 x3003/12 + 20 x300(232,5 – 150)2 =
= 127,1 x 106 mm4 = 127,1 x 10 -6 m4
FLEXÃO COMPOSTA
Gilberto Augusto de Morais
Solução
Força Cortante (Q)
Relembra-se a convenção de sinais para a força cortante Q:
↑[+]↓ ;↓[-]↑
Q= C-q.x; para q=0; 0=2,35 -4.x, logo x=2,9375
e para x= 5, Q= -1,65
A seção onde se anula o valor de Q é importante
(corresponde a um valor extremo de M, já que
Q = dM/dx) 
No trecho CB, tal ocorre em x = 2,9375m.
Note que no “joelho” B, a força cortante se 
converte em normal e vice-versa.
Momento Fletor (M)
M=C.x-q.x.x/2
Para x=2,9375;M=3,45
Para x=5;M=1,75
Relembra-se a convenção de sinais para M:
Na seção crítica, onde a força Q é nula:
M* = 2,35 x 2,9375 – 0,80 x (2,9375)2/2
M* = 3,45 kN.m
Seja o pórtico isostático representado na figura a seguir, com material metálico cujo coeficiente de dilatação
térmica(α) e de 10-5/ °C e cujas barras tem seção retangular de 20 cm de base e 50 cm de altura. O deslocamento
horizontal no ponto B para a variação de temperatura indicada, em relação ao dia de sua execução é de
(A) 6,58 cm para a esquerda.(B) 6,58 cm para a direita.(C) 6,58 mm para a esquerda.(D) 65,8 cm para a direita.
A figura representa um poste
de iluminação com seção
transversal oca e circular.
Admite-se que, na base com
o solo, seção A, o poste está
engastado.
Os esforços que devem ser considerados, na análise de tensões, são o peso do poste de
20 kN, o peso do braço de 400 N (luminária de peso desprezível) e a ação do vento. Essa
ação é representada por uma resultante igual à força de arrasto, aplicada no centro do poste.
Na condição mais desfavorável, esses esforços atuam no plano vertical que contém os
eixos longitudinais do poste e do braço. Instrumentos medem a velocidade do vento nas
condições de atmosfera padrão em V = 50 km/h.
a) Trace esquematicamente os diagramas de momento fletor no poste AB e no braço BC.
b) Qual a máxima tensão normal atuando no poste? Despreze a tensão cisalhante.
Dados / Informações Adicionais
− Comprimento do poste: L = 12 m.
− Comprimento do braço: a = 1,5 m.
− Diâmetro do poste: d = 50 cm.
− Espessura da parede do poste: t = 3,0 cm.
− Massa específica do ar: ρ = 1,23 kg/m^3.
− Viscosidade do ar: μ = 1,79 x 10^−5 kg/(m s).
− A força de arrasto é dada por 𝐹𝐹𝐷𝐷=1/2(𝜌𝜌V^2𝐴𝐴𝐶𝐶𝐷𝐷 )
sendo A a área frontal do poste e CD, o coeficiente de arrasto, o qual depende do número
de Reynolds, 
𝑅𝑅𝑒𝑒=𝜌𝜌𝑉𝑉𝑑𝑑/𝜇𝜇
− Tensões em tubos de paredes finas: 
. normal devida ao momento fletor: 𝜎𝜎=8𝑀𝑀/𝜋𝜋𝑑𝑑^2𝑡𝑡
. normal devida à força axial: 𝜎𝜎=𝐹𝐹/𝜋𝜋𝑑𝑑𝑡𝑡
− Variação do coeficiente de arrasto, CD, com o número de Reynolds 
Exemplo – Para o perfil “I” esquematizado, determinar o coeficiente de
segurança para a ruptura do material, supondo tratar-se de aço 1080, de alto
teor de carbono, dureza Brinell 248, e resistência à tração de 78 kgf/mm2.
Solução: O momento de inércia da seção em relação à LN valerá:
ILN = [100 x (165)3 / 12] – [95 (150)3 / 12 = 10,72 x 106 mm2].
Na seção do engastamento teremos:
Q = 210 kN e M = - 210x103 x 0,150 = - 31,5 kNm.
Para o ponto A (no topo, onde ocorre a máxima tensão normal de tração e onde a tensão de cisalhamento é
nula), teremos:
 = (M/ I)y = (31,5x103 / 10,72x10-6 )x0,083 = 243,9 MPa.
Considerando o estado duplo:
(tração Pura) -P1 = 243,9MPa
P2 = 0,000
máx = ½ (243,9)= 121,9MPa
Para o ponto C (na LN, onde ocorre a máxima tensão tangencial e onde a tensão normal é nula),
teremos:  = (QMS / b I )
sendo MS = (0,008x0,100x0,079 + 0,005x0,075x0,0375)=77,26x10-6 m3
 = 210x103x77,26x10-6 / 0,005 x 10,72x10-6 = 302,7MPa
Considerando o estado duplo:
(Corte Puro) -P1 = 302,7MPa
P2 = 302,7MPa
máx = 302,7MPa
Para o ponto B (na interface entre a mesa e a alma, onde ocorre uma tensão
normal elevada, embora não seja a máxima, estando presente uma tensão
tangencial também levada, embora não seja a máxima), teremos:
 = (M/ I)y = (31,5x103 / 10,72x10-6)x0,075 = 220,4MPa
 = (QMS / b I) sendo MS = (0,008x0,100x0,079) = 63,20x10-6 m3
 = 210x103 x 63,20x10-6 / 0,005 x
10,72x10-6 = 247,6MPa
Considerando o estado duplo:
(Tração+Corte) -P1 = 381,2MPa
P2 = -160,8MPa
máx = 271MPa
Como tg 2p = xy / ½ (x -y) =
= -247,6 / ½ (220,4) = - 2,247;
2p = - 66,0º; p1 = - 33,0º; p2 = 57,0º


INSTABILIDADE ELÁSTICA
Gilberto Augusto de Morais
No dimensionamento dos elementos estruturais, além de se considerar a resistência do material
(limitando as tensões a um valor considerado admissível) e a rigidez da estrutura (limitando as
deformações), há que se levar em conta certos valores críticos, característicos do carregamento, do
material e da geometria da estrutura, que podem provocar a sua instabilidade (*).
Algumas vezes, apesar de os valores nominais das tensões e deformações se enquadrarem naqueles
limites admissíveis, pode acontecer o colapso total da estrutura, sem prenúncio para sua ocorrência,
tornando mais graves as conseqüências (a falta de avisos prévios, como trincas, rachaduras, estalos,
deformações progressivas, impede que uma ação preventiva seja adotadaantes da ocorrência
catastrófica). É o que acontece, por exemplo, em colunas longas e esbeltas, submetidas a cargas de
compressão pelos topos, e que sofrem uma brusca deflexão lateral (flambagem), como também no
caso de estruturas elásticas, quando submetidas a esforços ativos alternados cuja freqüência coincide
com a freqüência natural de vibração livre da estrutura (ressonância).
O gráfico apresenta a relação entre a tensão normal máxima em função
do índice de esbeltez da coluna, para alguns valores da excentricidade
(expressa pelo adimensional ey*/r2) para um aço doce (E = 200 GPa e
σesc = 250 MPa).
Convém observar que para colunas esbeltas a carga crítica tende para o
valor dado através da fórmula de Euler, praticamente independendo da
excentricidade (ey*/r2) eventualmente presente. Por outro lado, nas
colunas curtas, é a excentricidade o fator preponderante no cômputo da
carga crítica, independendo ela do índice de esbeltez
Carga P/A que provoca escoamento 
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