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ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
CAPÍTULO 3- CONCRETO, AÇO E SISTEMAS USADOS NO CONCRETO PROTENDIDO 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
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CAPÍTULO 3- CONCRETO, AÇO E SISTEMAS USADOS NO CONCRETO 
PROTENDIDO. 
 
 
3.1-INTRODUÇÃO 
 
 Neste capítulo são abordadas as principais propriedades do concreto, do aço de 
protensão assim como o conjunto de equipamentos que permitem a protensão chamados 
também de sistemas de protensão. 
A idéia é concentrar neste texto as principais informações necessárias que os 
projetistas e calculistas de concreto protendido devem ter para executar o projeto de 
protensão com segurança e com maior exequilibilidade. 
No caso do concreto alem das principais propriedades mecânicas e elásticas são 
abordadas de maneira resumida algumas considerações a respeito de execução tais como 
composição, mistura, vibração e cura do concreto. No caso dos aços de protensão se faz 
necessário discorrer sobre as propriedades dos mesmos pelo motivo que tem ao menos 
resistência bem diferente dos empregados em obras comuns em que só há armadura passsiva 
(obras de concreto armado). 
 
 
3.2 CONCRETO 
 
 O concreto é obtido através da mistura adequada de cimento, agregado fino, 
agregado graúdo e água. Em algumas situações são incorporados produtos químicos ou 
outros componentes como microsílica, casca de arroz ou outros. A adição de produtos 
químicos ou outros materiais têm a finalidade de melhorar alguma propriedade tais como: 
trabalhabilidade, retardar a velocidade das reações químicas ou aumentar a resistência. 
As diversas características do concreto endurecido, ou seja, quando ele vai ser 
utilizado, dependem fundamentalmente do planejamento e cuidados na sua execução. O 
início do planejamento consiste em definir as propriedades que se deseja, verificar os 
materiais existentes ou disponíveis, escolher os materiais e estabelecer uma metodologia para 
definir o traço, equipamentos para a mistura, transporte, adensamento e cura do mesmo. 
Não é objetivo desta obra orientar projetista na tecnologia de projeto e execução do 
concreto, mas passar alguns conceitos importantes para que o projetista detalhe, especifique e 
exija tolerâncias razoáveis nos elementos de concreto protendido. 
Há uma tendência dos projetistas, calculistas e até os engenheiros de obras se 
preocuparem apenas com a resistência à compressão do concreto obtida através de ensaio 
com corpos de prova cilíndricos. Estes ensaios são usados como controle de fabricação, e 
muitas vezes, na falta de outras informações ou ensaios, fornecer todas as informações 
relativas à resistência e à deformabilidade do concreto. Tal prática na verdade deve-se mais a 
falta de um conhecimento maior do material ou fatores financeiros que impedem a execução 
de outros ensaios mais caros. 
Entende-se que o leitor já esteja familiarizado com os princípios da fabricação de 
concreto e recomenda-se para aqueles que se iniciam no assunto a leitura de outras obras 
listadas na bibliografia . 
 
 
 
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CAPÍTULO 3- CONCRETO, AÇO E SISTEMAS USADOS NO CONCRETO PROTENDIDO 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
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3.2.1 PROPRIEDADES DO CONCRETO FRESCO 
 
As principais propriedades do concreto fresco são a consistência, trabalhabilidade e 
homogeneidade. O concreto é um material que possui, mesmo depois de endurecido, 
materiais em todas as fases, ou seja, é composto de gases, líquidos, gel e sólidos e desta 
forma por si só heterogêneo. O objetivo do preparo do concreto estrutural é de se fazer com 
se tenha o máximo de material sólido com grande resistência e com pouco espaço vazios. Isto 
é obtido quando maior for a hidratação dos materiais pulverentos do cimento e de maneira 
simplificada quanto mais estes envolverem e aderirem aos sólidos presentes. 
A primeira propriedade do concreto fresco que o engenheiro da obra precisa ter em 
mente é sua consistência. Consistência consiste na maior ou menor capacidade que o 
concreto (fresco) tem para se deformar. Esta propriedade esta ligada ao processo de 
lançamento e adensamento do concreto e também ao transporte. Varia em geral com a 
quantidade de água empregada, granulometria dos agregados e pode ser bastante alterada pela 
presença de produtos químicos específicos. Concreto com menor consistência devem ser 
empregados para elementos cm alta taxa de armadura e com conseqüente dificuldade de 
adensamento. 
 
cone
concreto desmoldado
abatimento
 
Figura 3.1 – Esquema do ensaio do cone. A esquerda o molde tronco cone e a 
direita a amostra de concreto após a retirada do molde e o valor do abatimento. 
 
Não havendo grande quantidade de armadura nas peças é muitas vezes mais 
econômico executar concretos com maior consistência e, em principio, menor quantidade de 
água. Nas peças com eixos ou superfícies inclinadas, tais como escadas, sapatas e outras, o 
concreto durante o lançamento precisa ter consistência adequada para garantir a forma 
adequada dos mesmos e neste caso a consistência deve ser menor. Uma maneira de medir a 
consistência é dada através do abaixamento que uma massa de quantidade pré-determinada 
terá quando retirado de uma forma metálica tronco cônica de dimensões normalizadas, ver a 
figura 3.1. De uma maneira geral as peças de protensão por terem grande taxas de armaduras 
são especificadas com valores altos de abatimento também chamado de “SLUMP” levando 
em alguns casos a necessitar, para um bom adensamento o uso de produtos químicos que 
diminuem, por exemplo, o atrito das partículas do concreto. O concreto com maior “Slump” é 
em geral mais fácil de lançar e de adensar e, portanto considerado mais “Trabalhável”. O 
conceito de trabalhabilidade de um concreto está ligado basicamente à maneira de se fazer o 
adensamento do mesmo. Por este motivo já existe hoje em dia os cncreto chamados auto-
adensáveis que são praticamente fluídos e não necessitam em princípio de nenhuma energia 
 
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de adensamento para formar um conjunto homogêneo e com características de resistência 
requeridas. Estes concretos são obtidos de acréscimo de aditivos (compostos especiais 
químicos que alteram a propriedade dos materiais componentes) e não através do aumento de 
água, que alteraria o fator água/cimento e poderia assim diminuir consideralvemente a 
resistência. Valores limites do fator água/cimento A/C são estipulados pela norma para 
garantir a durabilidade da estrutura como é visto no capítulo 7. 
A execução do adensamento é uma das mais importantes etapas da fabricação do 
concreto interferindo sensivelmente nas características finais do mesmo. De uma maneira 
geral o adensamento hoje é, para obras de médio e grande porte, feito através de energia 
mecânica. Consiste basicamente em um primeiro momento separar os diversos compostos 
para depois misturá-los adequadamente. A vibração mecânica através de imersão de 
vibradores consiste no processo mais usual e simples para conseguir um adensamento 
adequado. Existe uma série de recomendações para e técnicas para o uso de vibradores 
mecânicos, que podem ser encontrados em livros especializados em construção civil, de 
maneira que não falte nem energia a mistura provocando o aparecimento de vazios 
(bicheiras) ou o excesso provocando a separação dos elementos. Como será visto a vibração 
assim comoos cuidados durante a pega do concreto influenciarão significativamente as 
propriedades do concreto como será visto no próximo exemplo. No caso de peças pré-
fabricadas a energia de vibração pode ser feita com máquina específica (ver item 2.3.1). Esta 
grande quantidade de energia empregada alem das condições favoráveis de concretagem, uso 
de centrais de concreto, materiais empregados (areia e brita) com controle de origem e 
propriedades e finalmente cura controlada ou com procedimentos específicos permite 
alcançar valores altos de resistência assim como abatimentos e relações fator água cimento 
bem baixos sem perda da qualidade na fabricação, ou seja neste caso a trabalhabilidade do 
concreto está em valores de abatimento baixo. 
Costuma-se definir que o concreto costuma iniciar sua “pega”quando a consistência 
do mesmo não permitiria mais a sua trabalhabilidade. A definição para tal seria conseguida 
através da medição da penetração de um pino no mesmo, quando não se conseguir a 
penetração de um certo valor com um peso pré-definido estaria iniciada a pega iniciando-se 
os cuidados com a cura. 
A cura seria o tempo depois da pega em que a hidratação do concreto se desenvolve 
com grande velocidade e a água existente na mistura tem a tendência de sair pelos poros do 
material e se evaporar. A saída da água neste período faz com o concreto sofra diminuição de 
volume (retração) que normalmente é impedida pelas formas gerando tensões de tração que 
pela baixa idade do concreto podem não ser resistidas gerando fissuras que diminuirão a 
resistência final do concreto. Assim um dos principais cuidados da cura do concreto, ou seja, 
o conjunto de atividades para permitir uma hidratação dos componentes do concreto, está em 
impedir a evaporação da água, ou pelo menos retardá-la para uma época em que a resistência 
do concreto é maior. Lembrar que a água usada na mistura do concreto não é, em geral, 
totalmente empregada nas reações químicas, mas serve (parte dela) para controlar o calor da 
reação exotérmica da hidratação. Neste caso surge uma dúvida o que é mais interessante para 
a cura do concreto ela ocorrer sob baixas temperaturas ou altas temperaturas? Em princípio as 
temperaturas altas são benéficas e tem pelo menos a função de acelerar o processo de ganho 
de resistência, desde de que se evite a evaporação da água. Para peças usuais usa-se o 
procedimento de molhar ou encharcar as superfícies aparentes do concreto ou mesmo molhar 
as faces de formas de madeira constantemente, colocar materiais tais como esponjas 
encharcadas de água. Para as peças pré-moldadas é comum o uso da cura a vapor em que se 
mantém o ambiente saturado e se aumenta a temperatura do ambiente (no caso do vapor) 
 
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acelerando-se o ganho de resistência do mesmo. Para entender o fenômeno conceitua-se a 
“Maturidade” do concreto que vem a ser o produto da temperatura em que se dá a cura pelo 
quantidade de horas. Para uma certa mistura (traço de concreto), tipo de cimento pode-se 
definir uma maturidade ideal para se obter uma resistência. Isto é feito através de ensaios. 
Imaginando então que a maturidade ideal de uma peça seja de 4800 0C.h pode-se obter tal 
resistência através da cura do concreto com uma temperatura ambiente de 200 C e 120 horas 
(cinco dias) ou 24 horas com 2000 C com cura a vapor. 
 
3.2.2 PROPRIEDADES DO CONCRETO ENDURECIDO 
 
No concreto endurecido, as principais características de interesse são as mecânicas, 
destacando-se as resistências à compressão e à tração. Ainda não foi possível estabelecer uma 
lei única, para a determinação da resistência dos materiais, que seja válida para todo tipo de 
solicitações possíveis. Por isso, no caso do concreto, não se pode deduzir diretamente da 
resistência que se tenha encontrado em um ensaio relativo a uma determinada solicitação, 
como por exemplo, a resistência à compressão medida em corpos de prova cilíndricos, seu 
comportamento quando submetido a outro tipo de solicitação (flexão, torção, cisalhamento 
etc.). 
 Entretanto, no estágio atual de desenvolvimento do cálculo de estruturas de concreto 
armado, considera-se como aproximação razoável que a resistência do concreto para diversos 
tipos de solicitações seja função de sua resistência à compressão. Este conceito é melhor 
entendido ao se verificar que a maioria das situações em que há ruptura do concreto são 
situações que podem ser reduzidas a estados de compressão excessiva ou detração no 
concreto. Recomenda-se ao leitor que quiser se aprofundar neste tópico a leitura de FUSCO, 
Péricles Brasiliense (1994). 
 A resistência do concreto é também função do tempo de duração da solicitação; os 
ensaios geralmente são realizados de forma rápida, ao passo que, em construções, o concreto 
é submetido a ações que em sua maioria atuam de forma permanente, reduzindo sua 
resistência ao longo do tempo. Ainda, nos ensaios, a resistência é influenciada pela forma do 
corpo de prova e pelas próprias características dos ensaios. 
 Neste capítulo serão vistas apenas algumas características do concreto; outras serão 
analisadas à medida que forem necessárias. 
 
3.2.2.1. Resistência à compressão 
 
 A principal característica do concreto é sua resistência à compressão, e é determinada 
pelo ensaio de corpos de prova submetidos à compressão centrada; esse ensaio também 
permite a obtenção de outras características, tal como o módulo de deformação longitudinal. 
 Independentemente do tipo de ensaio ou de solicitação, diversos fatores influenciam a 
resistência do concreto endurecido, dos quais os principais são a relação entre as quantidades 
de cimento, agregados e água, e a idade do concreto. 
 A resistência à compressão, obtida por ensaio de curta duração do corpo de prova 
(aplicação de carga de maneira rápida) é dada por: 
 
 f
N
Acj
rup= 
sendo: 
 
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fcj – resistência à compressão (c) do corpo de prova de concreto na idade de j dias; 
Nrup – carga de ruptura do corpo de prova; 
A – área da seção transversal do corpo de prova. 
 No Brasil utilizam-se corpos de prova cilíndricos, com diâmetro da base igual a 15 cm 
e altura de 30 cm, ou de base 10 e altura 20 cm. A resistência deve ser relacionada à idade de 
28 dias do concreto e será estimada a partir do ensaio de uma determinada quantidade de 
corpos de prova. A moldagem dos cilindros é especificada pela NBR 7222 e o ensaio deve 
ser feito de acordo com a NBR 5739 
 
 
3.2.2.2. Resistência característica do concreto à compressão 
 
 Os valores característicos dos materiais está estabelecido na norma NBR6118:2003 
no seu item 12.2 onde se define: “ Os valores característicos fk das resistências são os que, 
num lote do material, tem uma determinada probabilidade de serem ultrapassados , no 
sentido desfavorável da segurança. Usualmente é de interesse a resistência característica 
inferior fkinf cujo valor é menor que a resistência média fm.” 
Para entender conceitualmente o problema tece-se os comentários a seguir. Para se 
avaliar a resistência de um concreto à compressão é necessário realizar um certo número de 
ensaios de corpos de prova, e os valores da resistência proporcionados pelos distintos corpos 
de prova são mais ou menos dispersos, variando de uma obra a outra e também de acordo 
com o rigor com que se confeccione o concreto. 
 O problemapode ser colocado da seguinte maneira: dados n resultados obtidos ao 
se ensaiar à compressão simples até à ruptura uma série de n corpos de prova cilíndricos de 
um mesmo concreto, determinar um valor da resistência que seja representativo desse 
concreto. 
 A idéia inicial é adotar, para tal valor representativo, a média aritmética fcm dos n 
valores obtidos dos ensaios, chamada de resistência média à compressão. Entretanto esse 
valor não reflete a verdadeira qualidade do concreto na obra, ao não considerar a dispersão 
dos resultados; entre dois concretos com a mesma resistência média, não há dúvida que é 
mais confiável aquele que apresenta menor dispersão. 
 Por isso se tem adotado o conceito de resistência característica (NB6118:2003 item 
12.2), que é uma medida estatística que leva em conta não só o valor da média aritmética fcm 
das cargas de ruptura dos ensaios dos corpos de prova mas, também, o desvio da série de 
valores, através do coeficiente de variação δ. 
Os valores característicos fk das resistências são os que, num lote de material, têm 
uma determinada probabilidade de serem ultrapassados, no sentido desfavorável para a 
segurança. Usualmente é de interesse a resistência característica inferior fk,inf, cujo valor é 
menor que a resistência média fm, embora por vezes haja interesse na resistência 
característica superior fk,sup, cujo valor é maior que fm.Para os efeitos desta Norma, a 
resistência característica inferior é admitida como sendo o valor que tem apenas 5% de 
probabilidade de não ser atingido pelos elementos de um dado lote de material. 
 Define-se assim como resistência característica fck do concreto à compressão, o 
valor que apresenta um grau de confiança de 95%, ou seja, existe uma probabilidade de 0,95 
de que existam valores individuais de resistência dos corpos de prova maiores que fck (fck é o 
valor mínimo da resistência de modo que 95% dos resultados dos ensaios estejam acima do 
mínimo, ou 5% abaixo desse mínimo). De acordo com essa definição, e admitindo-se uma 
 
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distribuição estatística normal dos resultados (curva de Gauss, figura 3.2) a resistência é dada 
pelo quantil de 5% da distribuição: 
 
s645,1ffou )645,11(ff cmckcmck ⋅−=δ⋅−= (3.1)
 
onde fcm é a resistência média e δ o coeficiente de variação, dado por: 
 
δ = −⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟=∑
1
2
1n
f f
f
ci cm
cmi
n
 
e δ⋅= cmfs é o desvio padrão. 
 
 
FIGURA 3.2 Distribuição normal dos resultados (adap. de Montoya, 1976) 
 
 A partir da resistência característica a NBR6118:2003 define as classes de concreto 
no item 8.2.1 quando prescreve: “esta norma se aplica a concretos compreendidos nas classes 
de resistência do grupo I indicados na NBR 8953, ou seja, até C50. A classe C20 ou superior 
se aplica a concreto com armadura passiva e a classe C25, ou superior, a concreto com 
armadura ativa A classe C15 poderá ser usado apenas em fundações, conforme NBR-6122, e 
em obras provisórias”. Assim, para obras em concreto protendido o menor valor de fck a ser 
definido é o de fck=25MPa. Dependendo da condição ambiental a NBR6118:2003 especifica 
categorias de concreto conforme pode ser visto no capítulo 7 
 
 
3.2.2.3. Resistência à compressão do concreto de cálculo 
 
 Para serem empregados no cálculo os valores característicos devem ser transformados 
em valores de cálculo que de uma maneira geral é feito segundo a expressão: 
 
fd = 
m
kf
γ (3.2) 
As prescrições da NBR6118:2003 referem-se à resistência à compressão obtida em 
ensaios de cilindros moldados s que quando não for indicada a idade, as resistências referem-
se à idade de 28 dias. A evolução da resistência à compressão com a idade deve ser obtida 
através de ensaios especialmente executados para tal. Na ausência desses resultados 
experimentais pode-se adotar, em caráter orientativo, os valores indicados em 12.3.3. Sabe-se 
 
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que a resistência do concreto à compressão varia com o tempo. No texto da NBR6118:2003 a 
variação da resistência do concreto é apresentada no item 8.2.4 da seguinte maneira: “a 
evolução da resistência à compressão com a idade, deve ser obtida através de ensaios 
especialmente executados para tal. Na ausência desses resultados experimentais pode-se 
adotar, em caráter orientativo, os valores indicados no item em seguida. 
 Finalmente no caso específico da resistência de cálculo do concreto (fcd), alguns 
detalhes adicionais são necessários, conforme a seguir descrito: 
a) quando a verificação se faz em data j igual ou superior a 28 dias, adota-se a expressão 
 
c
ck
cd
f
f γ= 
 
Nesse caso, o controle da resistência à compressão do concreto deve ser feito aos 28 
dias, de forma a confirmar o valor de fck adotado no projeto; 
 
 b) quando a verificação se faz em data j inferior a 28 dias, adota-se a expressão: 
 
 
c
ck
1
c
ckj
cd
ff
f γβγ ×== (3.3) 
com 
 ( )[ ]{ }2/11 t/281exp −×= sβ (3.4) 
onde: 
s = 0,38 para concreto de cimento CPIII e IV; 
s = 0,25 para concreto de cimento CPI e II; 
s = 0,20 para concreto de cimento CPV-ARI; 
t é a idade efetiva do concreto, em dias. 
 
Essa verificação deve ser feita aos t dias, para as cargas aplicadas até essa data. Ainda 
deve ser feita a verificação para a totalidade das cargas aplicadas aos 28 dias. Nesse caso, o 
controle da resistência à compressão do concreto deve ser feito em duas datas: aos t dias e 
aos 28 dias, de forma a confirmar os valores de fckj e fck adotados no projeto. 
Chama-se a atenção que, a favor da segurança, a Norma indica que a resistência à 
compressão do concreto fcj = fck para qualquer idade do concreto superior a 28 dias (o valor 
da resistência característica é definida para esta data), porem no caso de se desejar saber a 
resistência para, por exemplo, calcular efeitos de fluência pode-se e deve-se usar as 
expressões 3.3 e 3.4 para t>28 dias. 
 As peças pré-fabricadas em concreto protendido são feitas com cimento do tipo ARI e 
com cura acelerada. A expressão (3.3) não foi feita para concretos que recebem tratamento 
especial de cura, aliás é muito comum em publicações, inclusive em valores normativos de 
características de fluência (ver capítulo 5), o uso de idades de concreto sempre superiores a 3 
dias devido a grande variabilidade de resultados observados em ensaios para dats inferiores a 
3 dias. Para adaptar a expressão 3.4 para os concretos usados em préfabricados recomenda-se 
usar a expressão 3.4 aplicando-a a dois momentos: ao da idade do concreto no dia do saque 
da peça (efetivação da protensão) que é, em geral igual a um dia, e aos 28 dias, pois estes 
dois valores estão sendo sempre controlados na fabrica e dentro da variabilidade normal de 
resultados são sempre obtidos e calcular o valor de s correspondente. 
Exemplo numérico 3.1 
 
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Calcular a expressão de s a ser usada em 3.4 para um concreto usado em fábrica de pré-
moldados (curado a vapor), composto por cimento ARI e que apresenta resistências à 
compressãoa um dia (efetivação da protensão) de 30 MPa e aos 20 dias (resistência 
característica) de 50 MPa. Após o cálculo comparar o valor encontrado com o da NBR6118. 
Resolução: 
Para se calcular o valor da resistência do concreto em um tempo diferente de 28 dias a 
NBR61118:2003 recomenda o uso da expressão: 
c
ck
1
c
ckj
cd
ff
f γβγ ×== (3.3) com ( )[ ]{ }2/11 t/281exp −×= sβ (3.4) sendo s=0,20 para 
cimentos CPV- ARI. Como 30/50=0,6 o valor de s dado na expressão 3.4 é tal que 1β = 0,6 
para t=1 dia que resulta em : 0,6 = ( )[ ]{ }1/228/11sexp −× ; ln (0,6) = s (1-5,29); s= 0,119 
Assim, segundo a NBR6118 para peças com cimento ARI é preciso usar s=0,20. Ocorre 
porem que as peças pré-moldadas acabam sendo curadas a vapor quente e se obtêm para um 
dia o valor de 1β = 0,6 que leva a se usar s=0,119 como mostra o gráfico e alista de valores 
obtidos na figura 3.3. 
VALOR DE b1 PARA CONCRETO COM CURA 
NORMAL E CURA À VAPOR- CIMETO ARI
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
dias
b
1
Normal
vapor
T b1c/0,2 b1 c/0,119 
1 0,423882 0,600082 
2 0,577913 0,72162 
3 0,66298 0,783056 
4 0,719535 0,82214 
5 0,760875 0,849927 
6 0,792907 0,871038 
7 0,818731 0,887808 
8 0,840158 0,90156 
9 0,85833 0,913112 
10 0,87401 0,923001 
11 0,887728 0,931594 
12 0,89987 0,939154 
13 0,91072 0,945876 
14 0,920496 0,951904 
15 0,929367 0,957351 
16 0,937466 0,962307 
17 0,944901 0,96684 
18 0,951759 0,971009 
19 0,958112 0,974861 
20 0,96402 0,978433 
21 0,969534 0,981759 
22 0,974695 0,984866 
23 0,979541 0,987776 
24 0,984103 0,990511 
25 0,988408 0,993086 
26 0,992479 0,995518 
27 0,996337 0,997819 
28 1 1 
Figura 3.3 – Curva da resistência à compressão do concreto com cimento ARI segundo 
expressão da NBR6118 cura normal e a vapor (adaptada). 
 
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 É muito comum também em estrutura pré-fabricadas o uso de concretagem no local 
complementando a peça assim, em cada etapa construtiva é preciso considerar a idade do 
concreto e o tipo do mesmo. Em seguida é mostrado um exemplo como podem avaliadas a 
resistência dos diversos concretos que compõem uma seçãoem qualquer idade. 
 
EXEMPLO NUMÉRICO 3.2- Seja uma peça cuja seção transversal é composta de três 
tipos de concreto (ver a figura 3.4). A primeira parte da seção é feita em uma fábrica e com o 
concreto do tipo1, a segun da e terceira partes são executadas já com a peça colocada em sua 
posição definitiva com os concretos denominados concreto 2 e 3. Na tabela 3.1 indicam-se as 
características do três concretos e a cronologia da execução dos mesmos. Pede-se calcular a 
resistência dos mesmos para a idade da peça em 1, 5, 7, 10, 18, 30 e 10000 dias. 
concreto 1
concreto 3
concreto 2
 
Figura 3.4 – Seção transversal de uma peça composta de três concretos. 
 
TABELA 3.1 – Características dos concretos componentes da seção transversal 
CONCRETO fck (MPa) 
 
Cimento Idade da peça quando da 
execução do concreto (dias) 
1 50 ARI 0 
2 30 CPII 7 
3 30 CPII 10 
 
Os valores desejados podem ser obtidos usando-se as expressões (3.3) e (3.4) e compondo a 
tabela 3.3 
 
 TABELA 3.3 – DATAS DE REFERENCIA, Valores de b1, Resistência do concreto 
 concreto 1 concreto 2 concreto 3 
referenci
a 0 7 10 
 Valores de b1 
t b1 c/ s=0,119 b1 c/ s=0,25 b1 c/ s=0,25 
1 0,600082093 
5 0,849926505 
7 0,887807801 
10 0,923000884 0,5982 
18 0,971009452 0,8616 0,8040 
30 1,00404323 0,9744 0,9552 
10000 1,119299577 1,2671 1,2671 
 
 
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57
 
Resistência dos 
 
concretos 
 RESISTÊNCIA 
t concreto 1 concreto 2 concreto 3 
1 30 
5 42 
7 44 
10 46 17,9 
18 49 25,8 24,1 
30 50 29,2 28,6 
10000 50 30 30 
 
 
 
 
3.2.2.4. Resistência do concreto à tração (colocar a consideração da laje alveolar) 
 
 Como o concreto é um material que resiste mal à tração, geralmente não se conta com 
a ajuda dessa resistência quando se estuda a resistência de uma seção na flexão. Entretanto, a 
resistência à tração pode estar relacionada com a capacidade resistente da peça, como por 
exemplo, aquelas sujeitas a esforço cortante (principalmente a laje alveolar que só depende 
do concreto para resistir os esforços cortantes), e também diretamente com a fissuração, e por 
isso é necessário conhecê-la. Existem três tipos de ensaio para se obter a resistência à tração: 
por flexo-tração, por compressão diametral e por tração direta (figura 3.5). 
 
 
FIGURA 3.5 Modos de ensaios de resistência do concreto à tração (Montoya, 
1976) 
 
A resistência à tração pura é aproximadamente 85% da resistência à tração por 
compressão diametral, e 60% da resistência obtida pelo ensaio de flexo-tração; este último 
método não é prático, dada a dificuldade do ensaio. O ensaio de compressão diametral é 
conhecido como Ensaio Brasileiro de Resistência à Tração, por ter sido sistematizado pelo 
engenheiro L. F. Lobo Carneiro professor durante muitos anos da UFRJ (Universidade 
Federal do Rio de Janeiro) e COPPE (Coordenação dos programas de pós graduação de 
Engenhraia) do Rio de janeiro e figura destacada da história do concreto no Brasil . 
 Na NBR6118:2003 é salientada a possibilidade de variação da resistência à tração 
dependendo do tipo de solicitação que a provoca. Considera a tração pura e a tração que 
ocorre na flexão. O texto do item 8.2.5, resistência à tração recomenda: “a resistência à tração 
 
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indireta fct,sp e a resistência à tração na flexão fct,f devem ser obtidas de ensaios realizados 
segundo a NBR-7222 e a NBR-12142, respectivamente”. 
 A resistência à tração direta fct pode ser considerada igual a 0,9⋅fct,sp ou 0,7⋅fct,f ou, na 
falta de ensaios para obtenção de fct,sp e fct,f , pode ser avaliada por meio das equações (3.3) a 
(3.6). 
ck
3/2
ctm f3,0f ⋅= (fct,m e fck em MPa) (3.5)
mctctk ff ,inf, 7,0 ⋅= (3.6)
mctctk ff ,sup, 3,1 ⋅= (3.7)
 
 
3.2.2.5 Momento de fissuração de uma seção transversal de peça em concreto armado e 
em concreto protendido. 
 Embora sendo de baixo e muitas vezes desprezada no cálculo dos estados limites 
últimos a resistência à tração do concreto desempenha papel determinante nas análises de 
estados limites de serviço, ou seja na análise de uso das peças de concreto. Em serviço é 
fundamental conhecer a partir de que momento fletor uma seção poderá ter iniciada uma 
fissura devida a tração nela provocada. A este momento fletor a partir do qual se iniciará a 
flexão por flexão se dá o nome de momento de fissuração. 
 Imaginando inicialmente uma seção transversal submetida a um momento fletor M, 
até que ocorra a primeira fissura de flexão, como já visto no capítulo 1 é possível considerar a 
teoria da Resistencá dos materiais e assim escrever a expressão para a tensão na borda mais 
tracionada da seção por: 
 ii yI
M ⋅=σ (nomenclatura já dada no capítulo 1) 
Onde i indica o ponto junto a borda mais tracionada da seção. 
 Na imimencia de ocorrer a primeira fissura de tração a tensão no concreto se iguala àda resistência à tração do concreto cti f=σ chegando a expressão da norma 
 
i
ct
r y
IfM ⋅= 
Colocando conforme a NBR6118 (item 17.3.1) chega-se a: 
 
 
t
ct
r y
IfαM c⋅⋅= (3.8) 
Com 
α- valor igual a 1,2 para seções em forma de um “tê” e 1,5 para seções retangulares 
Mr – momento de fissuração 
Ic – inércia da seção bruta de concreto 
 A norma presecreve que a resistência à tração a ser considerada na expressão (3.8) 
depende da verificação que se está efetuando: 
• No estado de deformação excessiva (cálculo de flecha), deve-se usar o valor da 
resistência média: 
 fct = 2/3ckf0,70 ⋅ (MPa) (3.9) 
 
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59
 
• No estado de formação de fissuras, deve-se usar o valor da resistência inferior: 
 fct = 2/3ckf0,21⋅ (MPa) (3.10) 
 Para as seções de peças protendidas, embora a NBR6118:2003 não explicite uma 
expressão, pode-se considerar de maneira similar as de concreto armado, pode-se 
acredcentar o efeito da protensão centrada (Np/A) e da sua excentricidade ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅ y
I
epN na 
expressão (3.8) ficando portanto com: 
 t
pp
ii yI
eN
A
N
y
I
M
σ ⋅⋅++⋅= 
Que se transforma para peças isostáticas 
 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⋅+⋅
⋅+⋅⋅= eN
yA
IN
y
IfαM p
t
cp
t
cct
r (3.11) 
 
e de uma forma mais geral 
 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +⋅
⋅+⋅⋅= p
t
cp
t
cct
r MyA
IN
y
IfαM (3.12) 
Na expressão 3.12 o valor de Mp é o momento final de protensão constituído pela soma do 
isostático (Np.e) e o hiperestático (será tratado no volume 2). 
 
EXEMPLO NUMÉRICO 3.3- Calcular o valor do momento fletor de fissuração de uma 
seção retangular (20x40 cm) (para verificação de fissuração) em uma peça em concreto 
armado e depois em concreto protendido,considerando que o concreto tenha fck=50 MPa e no 
caso de concreto protendido haaverá duas codialhas de ½” (área total de 2 cm2), com uma 
excentricidade de 15 cm e uma tensão de σp=114,4 kN/cm2. 
Resolução 
a) concreto armado 
Cálculo de Ic = 0,2x0,43/12 =0,00107 m4; 
α=1,5 pois se trata de seção retangular; 
yt=0,2 m 
fct=0,21x 2/350 =2,85 MPa; 
usando a expressão (3.8) 
t
ct
r y
IfαM c⋅⋅= =
0,20
00107,02.8501,5 ⋅⋅
=22,87 kN.m a) 
concreto protendido 
Valor de Np=2x114,4=228,8 kN; A=0,2x0,4=0,08 
usando a expressão (3.11) 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⋅+⋅
⋅+⋅⋅= eN
yA
IN
y
IfαM p
t
cp
t
cct
r
 = ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅+⋅
⋅+⋅⋅ 15,0,08,228
20,008,0
0017,08,228
0,20
00107,02.8501,5
= 
Mr=72,2 kN.m (3,15 vezes o valor da peça em concreto armado) 
3.2.2.6 Módulo de elasticidade 
 
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O módulo de elasticidade deve ser obtido segundo ensaio descrito na NBR 8522, 
sendo considerado o módulo de deformação tangente inicial cordal a 30% fc, ou outra tensão 
especificada em projeto. Quando não forem feitos ensaios e não existirem dados mais 
precisos sobre o concreto usado na idade de 28 dias, pode-se estimar o valor do módulo de 
elasticidade usando a expressão: 
Eci = 5 600 fck ½ (3.13) 
onde: 
Eci e fck são dados em megapascal. 
O módulo de elasticidade numa idade j ≥ 7 dias pode também ser avaliado através 
dessa expressão, substituindo-se fck por fckj. 
Quando for o caso, é esse o módulo de elasticidade a ser especificado em projeto e 
controlado na obra. O módulo de elasticidade secante a ser utilizado nas análises elásticas de 
projeto, especialmente para determinação de esforços solicitantes e verificação de estados 
limites de serviço, deve ser calculado pela expressão: 
 
Ecs = 0,85 Eci ou Ecs = 4 760 fck ½ (3.14) 
 
 
Na avaliação do comportamento de um elemento estrutural ou seção transversal pode 
ser adotado um módulo de elasticidade único, à tração e à compressão, igual ao módulo de 
elasticidade secante (Ecs). Na avaliação do comportamento global da estrutura e para o 
cálculo das perdas de protensão, pode ser utilizado em projeto o módulo de deformação 
tangente inicial (Eci). 
 
3.3.2.6 Módulo de elasticidade transversal e Coeficiente de Poisson 
Para tensões de compressão menores que 0,5 fc e tensões de tração menores que fct, o 
coeficiente de Poisson ν pode ser tomado como igual a 0,2 e o módulo de elasticidade 
transversal 
 
 Gc = 0,4 Ecs. (3.15) 
 
3.3.2.8. Diagramas tensão-deformação 
 
Para tensões de compressão menores que 0,5 fc, pode-se admitir uma relação linear 
entre tensões e deformações, adotando-se para módulo de elasticidade o valor secante dado 
pela expressão constante no item anterior. Para análises no estado limite último, podem ser 
empregados o diagrama tensão-deformação idealizado mostrado na figura 3.3 as 
simplificações propostas na seção 17. 
Os diagramas tensão-deformação do concreto estão apresentados na NBR6118:2003 no item 
8.2.10. Particularmente na compressão (8.2.10.1) o diagrama fica definido pelo texto: “para 
tensões de compressão menores que 0,5⋅fc, pode-se admitir uma relação linear entre tensões e 
deformações, adotando-se para módulo de elasticidade o valor secante dado pela equação 
3.14”. 
 Para análises no estado limite último, pode ser empregado o diagrama tensão-
deformação idealizado mostrado na figura 3.6, em que se supõe que a variação de tensões no 
concreto se faz de acordo com o diagrama parábola-retângulo, definido com tensão de pico 
igual a 0,85⋅fcd, com fcd determinado conforme item 12.3.3 da NB1/2003 (item 1.8.1.2.4 
deste capítulo). 
 
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Equações das curvas de tensão do concreto 
 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−=
2
002,0
11 cckc f
εσ (3.16) e 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−=
2
002,0
1185,0 ccdc f
εσ (3.17) 
 
 
σ c 
0 ,8 5 fc d 
fc k 
0 ,2 % 0 ,3 5 % ε C 
FIGURA 3.6 Diagrama tensão-deformação do concreto (figura 8.2, NB1/2003) 
 
 
 
 Para o concreto não fissurado submetido a tensões de tração, pode-se utilizar o 
diagrama bilinear tensão-deformação da figura 3.7. 
 
ε
Ecm
ct
σct
fctk
fctk0,9
0,5%o 
 
FIGURA 3.7. Diagrama tensão-deformação bilinear na tração (figura 8.3, 
NBR6118:2003) 
 
 
3.3.2.9 Quadro resumo das principais expressões usadas para avaliações propriedades 
dos concreto. 
 Para facilitar o uso das expressões necessárias para carcaterizar as propriedades do 
concreto apresenta-se a tabela a seguir que reúne de forma resumida as principais fórmulas 
usadas neste cap[irulo referentes ao concreto. 
 
QUADRO 3.1 RESUMO DAS PRINCIPAIS EXPRESSÕES USADAS PARA 
AVALIAÇÕES PROPRIEDADES DOS CONCRETO. 
 
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62
Significado Fórmula Número 
Variação da resistência característica à 
compressão do concreto em relação a 
resistência média. 
s645,1ffou )645,11(ff cmckcmck ⋅−=δ⋅−= (3.1) 
 
Resistência de cálculo do concreto fd =m
kf
γ 
 
(3.2) 
Resistência de cálculo do concreto em 
uma idade t<28 dias 
c
ck
1
c
ckj
cd
ff
f γβγ ×== 
 
(3.3) 
Relação da resistência à compressão do 
concreto em uma idade t e a 
característica (a 28 dias) 
( )[ ]{ }2/11 t/281exp −×= sβ (3.4) 
Resistência à tração média do concreto 
ck
3/2
ctm f3,0f ⋅= 
(fct,m e fck em MPa) 
 
(3.5) 
Resistência à tração inferior do concreto 
mctctk ff ,inf, 7,0 ⋅= (3.6) 
Resistência à tração superior do concreto 
mctctk ff ,sup, 3,1 ⋅= (3.7) 
Momento de fissuração seção de peça de 
concreto armado. 
α=1,2 seção Te e 1,5 seção retangular t
ct
r y
IfαM c⋅⋅= (3.8) 
Tensão de tração usada para verificar 
estado de deformação excessiva. 
fct =
2/3
ckf0,70 ⋅ (MPa) (3.9) 
Tensão de tração usada para verificar 
estado de formação de fissuras 
fct =
2/3
ckf0,21⋅ (MPa) (3.10) 
Momento de fissuração seção de peça 
protendida com efeito do momento 
isostático de protensão. ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⋅+⋅
⋅+⋅⋅= eN
yA
IN
y
IfαM p
t
cp
t
cct
r 
 
(3.11) 
Momento de fissuração seção de peça 
protendida com efeito hiperestáritico ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +⋅
⋅+⋅⋅= p
t
cp
t
cct
r MyA
IN
y
IfαM 
 
(3.12) 
Módulo de elasticidade longitudinal 
tangente 
Eci = 5 600 fck ½ (MPa) (3.13) 
Módulo de elasticidade longitudinal 
secante 
Ecs = 0,85 Eci ou 
Ecs = 4 760 fck ½ (MPa) 
 
(3.14) 
Módulo de elasticidade transversal Gc = 0,4 Ecs. (3.15) 
Equação da curvas de tensão do concreto 
sem coeficiente de segurança 
 ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−=
2
002,0
11 cckc f
εσ 
 
(3.16) 
Equação da curvas de tensão do concreto 
com coeficiente de segurança usada no 
ELU 
 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−=
2
0
0``2,0
1185,0 ccdc f
εσ 
 
(3.17) 
 
 
 
 
 
 
 
3.3 AÇOS DE PROTENSÃO 
 
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63
 
Quando se iniciou o uso do concreto protendido, no começo do século passado, 
constatou-se que depois de decorrido um certo tempo os esforços de compressão introduzidos 
pela protensão deixavam de existir, em grande parte ou totalmente devido às perdas que 
ocorriam, principalmente, ao longo do tempo. Ficou então claro, por volta dos anos 40 (1940) 
com FREYSSINET (apud COLLINS & MITCHELL[1985]) que para poder aplicar a 
protensão e ter efetivamente tensões de compressão no concreto, mesmo decorrido um grande 
período de tempo, seria necessário usar-se aços de grande resistência, mesmo que para isso 
fosse preciso ultrapassar o valor do alongamento específico de 1%, limite para se manter a 
aderência entre o aço e o concreto no sistema de concreto armado. Assim, os aços de 
protensão têm valores de escoamento bem mais altos que os usados no concreto armado. 
 
3.3 .1 Características e nomenclatura 
 
O aço de protensão, similarmente aos aços de concreto armado, pode ser identificado 
pela sigla CP (concreto protendido) seguida do valor, em kgf/mm2, da tensão aproximada de 
ruptura do aço que compõem cordoalha, cordões ou fio. Adiciona-se ainda na denominação 
as siglas RN ou RB indicando se o aço é de relaxação normal ou baixa. O fenômeno da 
relaxação será tratado no capítulo 5. Os aços de relaxação baixa são obtidos através de 
procedimento de fabricação em que recebem um alongamento com temperatura controlada 
permitindo uma menor perda devido à relaxação. 
 Assim, as categorias de aço produzidas no Brasil são: CP145RB, CP150RB, 
CP170RN, CP175RB, CP175RN e CP190RB. 
Os aços de protensão podem ser fornecidos em barras, fios, cordões e cordas 
(cordoalhas). 
A classificação de cada um pode ser dada por: 
• BARRAS: elementos fornecidos em segmentos retos com comprimento 
normalmente compreendido entre 10 e 12 m. 
• FIOS: elementos de diâmetro nominal não maior que 12 mm cujo processo de 
fabricação permita o fornecimento em rolo, com grande comprimento, 
devendo o diâmetro do rolo ser pelo menos igual a 250 vezes o diâmetro do 
fio. 
• CORDÕES: Os grupamentos de 2 ou 3 fios enrolados em hélice com passo 
constante e com eixo longitudinal comum. 
• CORDAS (CORDOALHAS): Grupamento de pelo menos 6 fios enrolados em 
uma ou mais camadas, em torno de um fio cujo eixo coincida com o eixo 
longitudinal do conjunto. Na prática costuma-se designar as cordas por 
cordoalhas. 
 
 Normalmente indicam-se os fios de protensão apenas pelo seu diâmetro enquanto que 
os demais conjuntos são chamados genericamente de cordoalhas de dois e três fios pela 
designação, por exemplo, de 2x2,00 (cordoalhas de dois fios de diâmetro de 2mm) e 3x3,00 
(cordoalha de 3 fios de 3mm de diâmetro). As cordoalhas de sete fios (ver figura 3.5) 
possuem um fio central, normalmente, com diâmetro cerca de 2% maior que os demais, e 
mais seis outros enrolados em forma de hélice e são denominadas como cordoalhas de 
diâmetro igual ao diâmetro do círculo circunscrito a todos e, portanto não permite que se 
calcule a área da seção transversal de forma direta pois, é preciso conhecer o diâmetro do fio 
 
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CAPÍTULO 3- CONCRETO, AÇO E SISTEMAS USADOS NO CONCRETO PROTENDIDO 
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64
central e dos fios periféricos da cordoalha. Desta maneira uma cordoalha de φ de ½” 
(aproximadamente 12,7 mm) não tem a área de 1,25 cm2 e sim de 1,01 cm2. 
 
 
figura 3.5 – Tipos de armaduras com aço de protensão (de cima para baixo e da 
esquerda para direita) : Fio isolado, cordões de 2 e 3 fios e cordas (cordoalhas) de 7 fios. 
 
 Atualmente, embora conste de catálogo da Companhia Belgo Mineira, que fabrica os 
aços de protensão, diversos tipos de cordoalhas as mais usadas são as de 12,7 mm e a de 10 
mm. 
TABELA 3.2 - Cordoalhas para Protensão - especificação dos produtos 
PRODUTO � mm 
A 
mm2 
Am 
mm2 m 
CARGA 
MÍNIMA DE 
RUPTURA 
CARGA MÍNIMA A 
1% DE 
ALONGAMENTO 
ε(%). 
Série CORD (mm) (mm2) (mm2) kg/km (kN) (kgf) (kN) (kgf) (%) 
CP 190 RB 3x3,0 6,5 21,8 21,5 171 40,8 4.080 36,7 3.670 3,5 
CP 190 RB 3x3,5 7,6 30,3 30,0 238 57,0 5.700 51,3 5.130 3,5 
CP 190 RB 3x4,0 8,8 39,6 39,4 312 74,8 7.480 67,3 6.730 3,5 
CP 190 RB 3x4,5 9,6 46,5 46,2 366 87,7 8.770 78,9 7.890 3,5 
CP 190 RB 3x5,0 11,1 66,5 65,7 520 124,8 12.480 112,3 11.230 3,5 
CP 190 RB 7 
CP 190 RB 7 
CP 190 RB 7 
CP 190 RB 7 
 CP 190 RB 7 
 CP 190 RB 7 
6,4* 
7,9* 
9,5 
11,0 
12,7 
15,2 
26,5 
39,6 
55,5 
75,5 
101,4 
143,5 
26,2 
39,3 
54,8 
74,2 
98,7 
140,0 
210 
313 
441 
590 
792 
 1.126 
49,7 
74,6
104,3
140,6
187,3
265,8 
4.970 
7.460
10.430
14.060
18.730
26.580
44,7 
67,1 
93,9 
126,5 
168,6 
239,2 
4.470 6.710 
9.390 
12.650 
16.860 
23.920 
3,5 
3,5 
3,5 
3,5 
3,5 
3,5 
TABELA 3.3- Acondicionamento das cordoalhas As cordoalhas são fornecidas em rolos 
sem núcleo nas seguintes dimensões aproximadas: 
Composição da 
Cordoalha 
Peso 
Nominal 
(kg) 
Diâm. Int. 
(cm) 
Diâm. Ext. 
(cm) 
Altura do 
Rolo (cm) 
Cordoalha 3 Fios 2800 76,2 139 76,2 
 
 
TABELAS 3.4- Fios para Protensão 
tensão mínima 
de ruptura 
tensão mínima a 1% de 
alongamento sigla � mm 
A 
mm2 
Am 
mm2 
m 
kg/km
(MPa) kgf/mm2 (MPa) (kgf/mm2) 
ε(%) 
CP 145RBL 9,0 63,6 62,9 500 1.450 145 1.310 131 6,0 
 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
CAPÍTULO 3- CONCRETO, AÇO E SISTEMAS USADOSNO CONCRETO PROTENDIDO 
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65
CP 150RBL 8,0 50,3 49,6 394 1.500 150 1.350 135 6,0 
CP 170RBE 7,0 38,5 37,9 302 1.700 170 1.530 153 5,0 
CP 170RBL 7,0 38,5 37,9 302 1.700 170 1.530 153 5,0 
CP 170RNE 7,0 38,5 37,9 302 1.700 170 1.450 145 5,0 
CP 175RBE 
CP 175RBE 
CP 175RBE 
4,0 
5,0 
6,0 
12,6 
19,6 
28,3 
12,3 
19,2 
27,8 
99 
154 
222 
1.750
1.750
1.750
175 
175. 
175 
1.580 
1.580 
1.580 
158 
158 
158 
5,0 
5,0 
5,0 
CP 175RBL 
CP 175RBL 
5,0 
6,0 
19,6 
28,3 
19,2 
27,8 
154 
222 
1.750
1.750
175 
175 
1.580 
1.580 
158 
158 
5,0 
5,0 
CP 175RNE 
CP 175RNE 
CP 175RNE 
4,0 
5,0 
6,0 
12,6 
19,6 
28,3 
12,3 
19,2 
27,8 
99 
154 
222 
1.750
1.750
1.750
175 
175 
175 
1.490 
1.490 
1.490 
149 
149 
149 
5,0 
5,0 
5,0 
�- diâmetro nominal; A- área; Am-área mínima; m-massa; ε-deformação específica 
TABELA 3.5- Acondicionamento de fios de protensão 
Os fios para concreto protendido são fornecidos em rolos de grande diâmetro, obedecendo 
às seguintes dimensões aproximadas: 
Diâmetro Nominal do 
Fio (mm) 
Peso 
Nominal 
(kg) 
Diâm. Int. 
(cm) 
Diâm. Ext. 
(cm) 
Altura do 
Rolo (cm) 
4 700 150 180 18 
 
 Diversas cordoalhas acondicionadas dentro de uma bainha formarão um cabo, por 
exemplo, uma bainha que abrigue 12 cordoalhas de 12,7mm recebe a designação de cabo de 
12φ1/2”. Mais dados a respeito destes elementos são mostradas a seguir pelas tabelas 1, 2 e 3 
obtidas na internet na página da Belgo Mineira [2000] com os produtos de fios, cordões e 
cordoalhas. 
 
3.3.2 Diagrama Tensão-deformação 
 
O diagrama tensão-deformação deve ser fornecido pelo fabricante ou obtido através 
de ensaios realizados segundo a NBR 6349. Os valores característicos da resistência de 
escoamento convencional fpyk, da resistência à tração fptk e o alongamento após ruptura ∈uk 
das cordoalhas devem satisfazer os valores mínimos estabelecidos na NBR 7483. Os valores 
de fpyk, fptk e do alongamento após ruptura ∈uk dos fios devem atender ao que é 
especificado na NBR 7482. 
 De uma maneira geral os valores últimos a serem usados para a característica do aço 
são dados por 
 
 
 fpyd= fpyk/1,15 (3.18) 
 
 fptd =fptk/1,15 (3.19) 
 Sendo que os valores de resistência característica à tração, diâmetros e áreas das 
cordoalhas e dos fios, bem como a classificação quanto à relaxação, a serem adotados em 
 
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66
projeto são os nominais indicados na NBR 7482 e na NBR 7483, respectivamente. A massa 
específica do aço de armadura ativa o valor de 7850 kg/m3 e o coeficiente de dilatação 
térmica será de 10-5/°C para temperaturas entre -20 e 100°C e o módulo de elasticidade que 
quando não for obtido de ensaios ou fornecido pelo fabricante, poderá ser considerado com o 
valor de 200 kN/mm2 para fios e cordoalhas. 
 
fios e cordoalhas Ep=200.000 MPa (3.20) 
 
barras Ep=210.000 MPa (3.21) 
 
 Para cálculo no estado-limite de serviço e último pode-se utilizar o diagrama de 
cálculo da tensão-deformação do aço é dado pelo gráfico esquemático da figura 3.6 (figura 
8.5 da NBR 6118:2003) 
σs
Ep
fpyk
fpyd
ε pε uk
fpk
fpd
 
Figura 3.6- Diagrama tensão-deformação de aços de protensão (figura 8.5 da NBR 
6118:2003). 
 A curva de tensão do aço mostrada na figura 3.6 pode ser representada por 
 
para 
p
pyd
p E
f<ε pppd E εσ ⋅= (3.22) 
para 
p
pyd
p E
f≥ε ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−⋅⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+=
p
pyd
p
pyk
pydpd
pydpd E
f
f
ff
f εσ
15,1/
 (3.23) 
 
 
 Para o caso de cordoalhas o ensaio não resultará em tensões, mas sim em forças de 
escoamento e ruptura em virtude de não ser homogênea a distribuição das tensões em relação 
aos fios. Assim, em geral, as tensões usadas no cálculo, obtidas pela razão Força/área da 
armadura são convencionais. A norma NBR7483:2004 especifica na sua tabela 1 
características para as cordoalhas de sete fios de baixa relaxação uma das mais usadas no 
mercado Brasileiro e reproduzida em parte aqui na tabela 3.6. 
 
TABELA 3.6 Características das Cordoalhas de 7 fios com baixa relaxação RB 
sigla DESIGNAÇÃO Ø(mm) 
* 
Área (mm2) 
* 
Massa 
Nominal 
Kg/1.000m 
Carga de 
ruptura 
Min. kN 
Carga a 
1% 
Min. KN 
RB190 CP 190 RB 9,5 
CP 190 RB 12,7 
9,5
12,7
56,2
100,9
441
792
104,3 
187,3 
93,9
168,6
 
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67
CP 190 RB 15,2 15,2 143,4 1125 265,8 239,2
RB210 CP 210 RB 9,5 
CP 210 RB 12,7 
CP 210 RB 15,2 
9,5
12,7
15,2
56,2
100,9
143,4
441
792
1125
103,8 
207,0 
293,8 
103,8
186,3
264,4
*Valores nominais 
1) O valor da carga a 1% de alongamento é considerado equivalente à carga a 0,2% de 
alongamento permanente 
2) O valor do alongamento total na ruptura mínimo é de 3,5% 
3) Relaxação máxima após 1000 hs medida a 200 C e com 0,8 da carga de ruptura é de 3,5% 
 
 Ainda para determinação da tensão na armadura de protensão no estado limite último 
(ELU) (ver conceituação no capítulo 6) pode-se usar os valores propostos VASCONCELOS, 
Augusto Carlos (1980). Vasconcelos teve o trabalho de reunir os dados médios de diversos 
ensaios realizados pela Belgo Mineira (fabricante dos aços de protensão) e construiu a tabela 
aqui reproduzida na tabela 3.7. 
 
TABELA 3.7 - TENSÃO NO AÇO σsd (MPa) (adaptado de VASCONCELOS) 
ε(%o) 5,25 6,794 7,438 8,167 9,000 9,962 10,00 12,50 15,00 17,5 
CP175 1025 1264 1316 1344 1365 1368 1368 1378 1388 1397 
CP190 1025 1314 1411 1459 1482 1486 1486 1496 1507 1517 
 
ε(%o) 20,00 22,50 25,00 27,5 30,00 32,50 35,00 37,50 40,00 
CP175 1407 1416 1426 1436 1445 1455 1464 14,74 1484 
CP190 1527 1538 15,48 1559 1569 1579 1590 1600 1611 
 
 
EXEMPLO NUMÉRICO 3.4- Desenhar o gráfico de tensão-deformação do aço de 
protensão CP 190 RB 12,7 considerando os valores da tabela 3.6 a fórmula da NBR6118 e a 
tabela de Vasconcelos. 
 Considera-se os valores da tabela 3.6 tem-se aproximadamente os valores : 
fptk = 187000/100=1870 MPa fpyk = 168000/100=1680 MPa 
fpd = 1870/1,15= 1626 MPa fpd = 1690/1,15= 1460 MPa 
 
Desta forma tem-se também os valores de εu= 3,5% e o valor de 
 εyd= =≅
000.200
1460
p
yd
E
f
7,3%, 
 Seguindo as recomendações da norma chega-se ao gráfico da figura 3.7 onde se 
apresenta o gráfico recomendado por VASCONCELOS (1980) que, como pode ser visto é 
praticamente o mesmo da NBR6118:2003. 
 
 
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68
Curva Tensão Deformação Cordoalha 12F1/2"
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
0 10 20 30 40
Alongamento e (%)
Te
ns
ão
 f p
d M
P
a
NBR6118:2003
Vasconcelos
 
Figura 3.7- Diagrama tensão-deformação da cordoalha CP190RB 12,5 ns versão da 
NBR6118:2003 e de VASCONCELOS (1980). 
 
 Quando o valor da tensão de escoamento não for dado considera-se:fpyk = 0,9 fptk 
 
3.4 TENSÃO INICIAL DE PROTENSÃO 
Para evitar que ocorra ruptura, escoamento ou relaxação não linear da armadura de 
protensão e também não haja a possibilidade de danos na ancoragem por esforço muito alto a 
norma estabelece valores máximos para evitar estes problemas. Existem limites de dois tipos: 
um referente a operação de protensão (valor transitório) e outro após a operação de protensão 
relatados a seguir 
 Durante as operações de protensão, a força de tração na armadura não deve superar os 
valores decorrentes da limitação das tensões no aço correspondentes a essa situação 
transitória fornecidos a seguir. 
A - Valores limites por ocasião da operação de protensão 
• A.1 - Armadura pré-tracionada 
 Por ocasião da aplicação da força Pi, a tensão σpi da armadura de protensão na saída 
do aparelho de tração deve respeitar os limites 0,77 fptk e 0,90 fpyk para aços da classe de 
relaxação normal, e 0,77 fptk e 0,85 fpyk para aços da classe de relaxação baixa. Assim, 
 pré-tração → aços tipo RN ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⋅
⋅≤
pyk
ptk
pi f
f
90,0
77,0σ (3.24) 
 
 pré-tração →aços tipo RB ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⋅
⋅≤
pyk
ptk
pi f
f
85,0
77,0σ (3.25) 
 
 
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69
• A.2 - Armadura pós-tracionada 
 Por ocasião da aplicação da força Pi, a tensão σpi da armadura de protensão na saída 
do aparelho de tração deve respeitar os limites 0,74 fptk e 0,87 fpyk para aços da classe de 
relaxação normal, e 0,74 fptk e 0,82 fpyk para aços da classe de relaxação baixa. 
 pós-tração → aços tipo RN ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⋅
⋅≤
pyk
ptk
pi f
f
82,0
74,0σ (3.26) 
 
 pós-tração →aços tipo RB ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⋅
⋅≤
pyk
ptk
pi f
f
87,0
74,0σ (3.27) 
 Nos aços CP 85/105, fornecidos em barras, os limites passam a ser 0,72 fptk e 0,88 
fpyk, respectivamente. 
 
 aços CP 85/10 em barra ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⋅
⋅≤
pyk
ptk
pi f
f
88,0
72,0σ (3.28) 
 
B - Valores limites ao término da operação de protensão 
 
Ao término da operação de protensão, a tensão σpo (x) da armadura pré-tracionada ou pós-
tracionada, decorrente da força Po (x), não deve superar os limites estabelecidos em A.2. 
 
C - Tolerância de execução 
 
Por ocasião da aplicação da força Pi, se constatadas irregularidades na protensão, decorrentes 
de falhas executivas nas peças com armadura pós-tracionada, permite-se a sobrelevação da 
força de tração em qualquer cabo, limitando a tensão σpi aos valores estabelecidos em A.2 
majorados em até 10%, até o limite de 50% dos cabos, desde que seja garantida a segurança 
da estrutura, principalmente nas regiões das ancoragens. 
 Vale ainda acrescentar a cordoalhas engraxadas que são cordoalhas de 7 fios que 
recebem uma camada de graxa e revestidas de PEAD (Polietileno de Alta Densidade) de 1 
mm de espessura fornecidas nos diâmetros de 12,5 e 15,2mm com as massas de 890 kg/km e 
1240 kg/km. 
 
3.5 Ancoragem da armadura de protensão, comprimento de transferencia e 
comprimento de regularização do esforço de protensão. 
 Podem ser distinguidos dois tipos de ancoragens da armadura ativa: aquelas que 
dependem de elementos mecânicos adicionais como cunhas, blocos de aço etc e aqueles em 
que a transferência do esforço aço e armadura é feita pela aderência entre os mesmos. 
 No concreto protendido com pós-tração a transferência da força de protensão é dada 
por dispositivos com os indicados na figura 3.8. 
 
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70
bloco de ancoragem placa repartidora
trombeta
bainha
bloco de 
placa
cunha
cordoalha
ancoragem
repartidora
concreto
L
 
Figura 3.8- Corte no plano vertical passando pela ancoragem de extremidade de um 
cabo com pós-tração atuando em uma viga. Detalhe com cordoalhas, cunha, bloco de 
ancoragem, placa repartidora, trombeta, bainha e comprimento L de regularização do 
esforço de protensão. 
 
 Ao ancorar as cordoalhas com as cunhas o esforço de protensão passa da cordoalha 
para a cunha, depois para o bloco de ancoragem, placa repartidora e finalmente para 
concreto. Assim, a transferência de ação se dá pelo conjunto de elementos não se usando, em 
princípio, a aderência aço-concreto que só será completada após a injeção de calda de 
cimento. No comprimento L indicado na figura 3.8 há a regularização do esforço de 
protensão que passa a atuar em toda a seção. Nesta região há perturbações no campo das 
tensões surgindo, em geral tensões de tração perpendiculares a introdução da protensão (na 
placa repartidora) sendo necessário o uso de armadura passivas para controlarem e absorver 
esta tração. Este assunto será tratado no volume 2 e pode ser visto com mais detalhes em 
FUSCO (1994). 
 No caso da pré-tração a transferência de ação se faz como no concreto armado por 
aderência aço-concreto, não havendo neste caso dispositivo de ancoragem ou de distribuição 
de tensão. De uma forma básica e simples no capítulo 5 de CARVALHO e FIGUEIREDO 
(2007) mostra-se como pode ser calculado o comprimento de ancoragem de armaduras 
passivas definindo este comprimento como o mínimo necessário com segurança necessário 
para transferir a ação do aço para o concreto ou vice-versa. 
 Antes de continuar a exposição que se segue é preciso agora distinguir quatro 
situações que embora parecidas acabam por exigir diferentes tratamentos nos modelos de 
cálculo w conseqüentemente fórmulas empregadas. Aprimeira situação diz respeito ao 
 
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71
comprimento de ancoragem básico ( bpl ) que de uma maneira simplificada pode-se 
considerar como sendo o menor comprimento necessário para no estado limite último a 
ruptura se dê na armadura. Nesta situação considera-se a armadura com o maior esforço 
possível e concreto em torno da armadura com a menor resistência e fissurado. Ao modelos 
neste caso são bem distintos que os demais casos analisados. Define-se também o 
comprimento de transferência ( bptl ) como sendo o comprimento necessário, em geram em 
serviço, para que o esforço de protensão se transfira por aderência da armadura ativa para o 
concerto. 
 Uma vez conhecidos os dois comprimentos anteriores é possível determinar o 
comprimento para realizar o detalhamento da ancoragem real, ou seja, qual será o valor do 
comprimento de ancoragem necessário ( bpdl ) usado para fazer o detalhamento de uma 
peça considerando as tensões atuantes e os comprimentos definidos anteriormente. 
Finalmente em uma peça pré-fabricada também é importante saber a partir de distancia da 
extremidade da peça pode-se considerar o esforço de protensão atuando em toda a seção. A 
este comprimento dá-se o nome de distância de regularização ( pl ). 
Considerados os conceitos anteriores retomando o estudo da aderência pode-se dizaer 
nas armadura ativas de pré-tração o comportamento é similar existindo, em princípio, os 
fenômenos da adesão, do atrito e engrenagem mecânica da armadura e concreto. 
 
cordalha ampliada
cordoalha
 
Figura 3.9- Detalhe das forças que ocorrem na superfície de uma cordoalha e o concreto 
que a envolve. 
 Cumpre ressaltar quemesmo os fios lisos tem superfície irregular permitindo assim o 
surgimento de ações de contato aço-concreto. Na figura 3.9 mostra-se como se dá, 
esquematicamente, o contato entre o concreto e ao superfície da armadura em uma cordoalha 
que por ter o centro dos seus fios descrevendo uma espiral acentuam este contato fazendo o já 
citado no capítulo efeito “saca-rolha”. Também é importante dizer que quando, no estado 
limite úlimo, a armadura está na eminência do deslizamento ocorre um estado de tensões 
complexo no concreto além uma micro fissuração do mesmo como pode ser visto na figura 
em FUSCO (1994). Assim, fica claro que a consideração de uma tensão superficial aqui é 
convencional e é extremamente importante o uso de ensaios para ter valores confiáveis a se 
considerar. Por último há ainda um efeito chamado de efeito Hoyer que, a favor da segurança 
é desprezado, que decorre do aumento de diâmetro que a armadura ativa tem quando é 
transmitido o esforço de protensão na parte de fora da seção. Este efeito acaba fazendo que a 
parte sem tensão da armadura forme uma “cabeça de prego” ajudando a impedir o 
deslizamento da armadura. Este efeito é muito indluenciado pela fissuração do concreto e 
deformação lenta do mesmo. 
 
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72
 Segundo Pfeil, Walter (1980) o comprimento de ancoragem variam de 100� a 140� 
para fios entalhados e de 45� a 90� para cordoalhas de 7 fios, estes valores como se verá se 
mostram bastante atuais. 
 Segundo a Norma Brasileira NBR6118:2003 o comprimento de ancoragem básico de 
fios e cordoalhas (item 9.4.5) é de: 
 
para fios isolados → 
bpd
pyd
bp f4
f
⋅
⋅= φl (3.29) 
 
para cordoalhas de 3 a 7 fios → 
bpd
pyd
bp f36
f7
⋅
⋅⋅= φl (3.30) 
 Antes de prosseguir chama-se a atenção que no lugar de fpyd sugere-se o uso de 1,05 
fpyk como recomenda FUSCO (1994). 
 O valor de � é o do diâmetro do elemento considerado e o valor de fbpd é dado por : 
 
 ctdppbpd ff ⋅⋅= 21 ηη (3.31) 
Com 1pη - 1,0 para fios lisos, 1,2 para cordoalhas de três e sete fios e 1,4 para fios 
dentados 
 2pη - 1 para situações de boa aderência e 0,7 para situações de má aderência. 
 ctdf = cimfctkf γ/, calculado na idade de: 
 -aplicação da protensão para o cálculo do comprimento de transferência. 
 -28 dias para o cálculo de comprimento de ancoragem. 
 Assim como caso da pós tração também na pré tração deve-se considerar que a 
introdução de protensão so se efetivará a partir de um comprimento de transferência bptl 
dado no item 9.4.52 da NBR6118:2003: 
 Se no caso de no ato da protensão a liberação do dispositivo de tração é gradual 
 
para fios dentados ou lisos → 
pyd
pibp
bpt f
σ⋅⋅= ll 7,0 (3.32) 
 
para cordoalhas de 3 e sete fios → 
pyd
pibp
bpt f
σ⋅⋅= ll 5,0 (3.33) 
Se no ato da protensão a liberação não é gradual 
 
para fios dentados ou lisos → 
pyd
pibp
bpt f
σ⋅⋅= ll 875,0 (3.34) 
 
para cordoalhas de 3 e sete fios → 
pyd
pibp
bpt f
σ⋅⋅= ll 625,0 (3.35) 
Para o comprimento de ancoragem necessário tem-se a expressão: 
 
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73
 
pyd
pyd
bpbptbpd f
f piσ−+= lll (3.36) 
 
 Finalmente para calcular-se a distância de regularização da força de protensão (que 
pode ser considerada variando linear no comprimento) a norma indica o valor de 
 
( ) bpt2bpt2bpd 0,6h lll ≥⋅+= (3.37) 
 Com h a altura do elemento. 
 
Exemplo numérico 3.2 
 Verificar se as tensões em uma seção transversal de lajes alveolar como a da figura 
3.10 estão contidas no intervalo de 0< σ < 0,7 fcj logo após a protensão considerando que o 
elemento tenha 6 m de vão (simplesmente apoiada), que a força de protensão não varie ao 
longo da peça e ainda com os seguintes dados: 
Dados geométricos da laje: 
A=0,1427 m2; 
Wi= 0,007 m3; 
Ws= 0,0069 m3; 
Cabos de protensão: 
e (execentricidade dos cabos) = 0,069 m 
σpi (tensão após a aplicação da protensão) =138,7 kN/cm2; 
Ap= 2,71 cm2 (5 cordoalhas de 9,5 mm). 
Concreto: 
fcj (tensão na data da liberação da protensão) =30 MPa. 
20
0
127,5 189 189 189 189 189 127,5
189 181 41
1200
20
15
8
77
8
308
34
22
,5
 
Figura 3.10- Seção transversal de laje alveolar cotas em mm. 
Resolução 
A ação de protensão é dada por: 
Np= 2,71 x 138,7= 375,86 kN 
Mp = 375,86 x 0,069 =25,93 kN.m 
 
Considerando inicialmente a ação de protensão constante ao logo de toda a peça obtêm-se 
para as tensões na borda superior inferior os valores respectivos de 
=−=
0069,0
93,25
1427,0
86,375
sσ -1123 kN/m2 
 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
CAPÍTULO 3- CONCRETO, AÇO E SISTEMAS USADOS NO CONCRETO PROTENDIDO 
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74
=+=
007,0
93,25
1427,0
86,375
iσ 6338 kN/m2 
 Para o momento de peso próprio atuando tem o valor de M variando de 0 até M=
8
2lp
 
Desta forma na seção do meio do vão M= (0,1427x25)x62/8=16,05 
 
==
0069,0
05,16
sσ 2326 kN/m2 
==
007,0
05,16
iσ -2292 kN/m2 
 
Tensões totais: 
=sσ -1123 +2326 =1.203 kN/m2 >0 
=iσ 6338-2292 = 4.045 kN/m2 < 0,3x30.000=21.000 
Como se vê para a seção do meio do vão a condição de tensão 0< σ < 0,7 fcj está 
atendida, porem na seção de apoio se considerar apenas a tensão de protensão, pois o 
momento é nulo haveria tração no bordo supeior de –1123 kN/m2, porem é preciso levar em 
conta que a protensão só estará efetivamente funcionando a partir do comprimento de 
transferência e atuando na seção a partir do comprimento de transferencia todos calculados a 
seguir: 
=⋅=⋅=
4,1
3021,0
4,1
21,0 3 23 2cj
ctd
f
f 1,448 MPa; 
448,10,12,121 ⋅⋅=⋅⋅= ctdppbpd ff ηη = 1,737 MPa 
 
Considerando as expressões 3.32 e 3.33 
• para a situação de liberação gradual da protensão comprimento de transferência 
=⋅
⋅⋅=⋅
⋅⋅⋅=
737,136
1387009,05,3
36
5,00,7
bpd
pi
bpt f
σφl 0,69 m 
Usando agora a expressão (3.37) da distância de regularização 
( ) bpt2bpt2bpd 0,6h lll ≥⋅+= 
( ) =⋅+= 22bpd 69,00,620,0l 0,46m assim == bptbpd ll 0,69 m 
Assim os esforços de protensão na seção vão crescendo linearmente de zero até o valor total, 
no caso na seção a 69 cm do apoio que tem para valor do momento de peso próprio: 
 
M=
2
69,0
1
69,0)251427,0(69,0
2
6)251427,0(
222
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=⋅− xpxxpl =6,54 
 ==
0069,0
54,6
sσ 947 kN/m2 
==
007,0
54,6
iσ -934 kN/m2 
 
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75
Resultando finalmente nas tensões (considerando agora também a protensão) 
=sσ -1123 +947 =-176 kN/m2 <0 
=iσ 6338-034 = 5.504 kN/m2 < 0,3x30.000=21.000 
Assim a tensão da borda superior não atende o limite previsto no enunciado. 
 
 Se for considerada a condição de de liberação de protensão não gradual que é mais 
usual na prática a situação muda como pode ser visto pelas contas dadas a seguir : 
 
• para a situação de liberação não gradual da protensão comprimento de transferência 
=⋅
⋅⋅=⋅
⋅⋅⋅=
737,136
1387009,0375,436
625,00,7
bpd
pi
bpt f
σφl 0,873 m 
Usando agora a expressão (3.37) da distância de regularização 
( ) bpt2bpt2bpd 0,6h lll ≥⋅+= 
( ) =⋅+= 22bpd 87,00,620,0l 0,56m assim == bptbpd ll 0,87 m 
Assim os esforços de protensão na seção vão crescendo linearmente de zero até o valor total, 
no caso na seção a 87 cm do apoio que tem para valor do momento de peso próprio: 
 
M=
2
87,0
1
87,0)251427,0(87,0
2
6)251427,0(
222
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=⋅− xpxxpl =7,96 
 ==
0069,0
96,7
sσ 1153 kN/m2 
==
007,0
96,7
iσ -1137 kN/m2 
Resultando finalmente nas tensões (considerando agora também a protensão) 
=sσ -1123 +1153 =30 kN/m2 >0 
=iσ 6338-1137= 5.200 kN/m2 < 0,3x30.000=21.000 
Assim a tensão nda borda superior e inferior atendem aos limites previstos no enunciado. 
 
 
Exemplo numérico 3.3 
 Repetir a análise efetuado no exemplo anterior considerado agora a loja alveolar 
fabricada pela MUNTE apresentada em MELO (2007),ou seja, verificar se as tensões em 
uma seção transversal de laje alveolar como a da figura 3.10 de maneira que estejam contidas 
no intervalo de 0< σ < 0,7 fcj logo após a protensão, considerando que o elemento tenha 9 m 
de vão (simplesmente apoiada), que a força de protensão não varie ao longo da peça e ainda 
com os seguintes dados: 
Dados geométricos da laje: 
A=0,1427 m2; 
Wi= 0,007 m3; 
Ws= 0,0069 m3; 
Cabos de protensão: 
e (execentricidade dos cabos) = 0,069 m 
 
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76
σpi (tensão após a aplicação da protensão) =138,7 kN/cm2; 
Ap= 7 cm2 (7 cordoalhas de 12,5 mm). 
Concreto: 
fcj (tensão na data da liberação da protensão) =30 MPa. 
A ação de protensão é dada por: 
Np= 7 x 138,7= 970,9 kN 
Mp = 970,9x 0,069 =67 kN.m 
 
Considerando inicialmente a ação de protensão constante ao logo de toda a peça obtêm-se 
para as tensões na borda superior inferior os valores respectivos de 
=−=
0069,0
67
1427,0
9,970
sσ -2.906 kN/m2 
=+=
007,0
67
1427,0
9,970
iσ 16.375 kN/m2 
 Para o momento de peso próprio atuando tem o valor de M variando de 0 até M=
8
2lp
 
Desta forma M= (0,1427x25)x92/8=36,1 kN.m 
 
==
0069,0
1,36
sσ 5.231kN/m2 
==
007,0
1,36
iσ -5.157 kN/m2 
 
Seção do meio do vão: 
=sσ -2.906+5.231 =2.415kN/m2 >0 
=iσ 16.375-5.157 = 11.218 kN/m2 < 0,3x30.000=21.000 
Como se vê para a seção do meio do vão a condição de tensão 0< σ < 0,7 fcj está 
atendida. 
Como no problema anterior é preciso agora calcular o comprimento de transferência 
(trata-se da cordoalha de ½”) calculado a seguir: 
=ctdf 1,448 MPa; 
=bpdf = 1,737 MPa 
 Considerando apenas a situação de liberação não gradual da protensão 
=⋅
⋅⋅=⋅
⋅⋅⋅=
737,136
13870125,0375,4
36
625,07
bpd
pi
bpt f
σφl 1,21 m 
Assim os esforços de protensão na seção vão crescendo linearmente de zero ao valor total, na 
seção de transferência e nesta seção o valor do momento de peso próprio é dado por 
 
M=
2
21,1
1
21,1)251427,0(21,1
2
9)251427,0(
222
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=⋅− xpxxpl =16,81 kN.m 
 ==
0069,0
81,16
sσ 2436 kN/m2 
 
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77
==
007,0
81,16
iσ -2401 kN/m2 
 
Resultando finalmente nas tensões (considerando agora também a protensão) 
=sσ -2.906 +2.436 =-470 kN/m2 <0 
=iσ 16.375-2.401 = 13.974 kN/m2 < 0,3x30.000=21.000 
Assim a tensão na borda superior não está atendida. 
 
 Para que a tensão na borda superior não resulte em tração (no capítulo 6 mostra-se 
que esta é uma das condições impostas pela NBR6118:2003 na verificação simplificada de 
ruptura em vazio) é preciso atender a condição de um momento atuante M dado por: 
=sσ -2.906+M/(0,0069) >0 → M > 20,05 kN.m 
Que conduz para este tipo de laje a um vão 
 
 
M=
2
21,1
1
21,1)251427,0(21,1
2
)251427,0(
222
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=⋅− ll xpxxp >20,05 
 
l >10,50 m. 
l Desta forma para vãos inferiores a 10,50 m haverá sempre tração na borda superior da 
laje. 
Com os conceitos mostrados aqui a discussão do item 1.5 fica um pouco diferente com o 
efeito da protensão considerando o trecho de regularização (indicado na figura como L) como 
mostra agora a figura 3.10 
a) peça 1
e 2F2F
b) peça 2
F eF FF
trecho s trecho s
a1) diagrama de M
a2) diagrama de M
a3) diagrama de M
p
o
p+o
b1) diagrama de M
p+o
ob2) diagrama de M
b3) diagrama de M
p
L
L L
L
L
L
L
LL
 
Figura 3.10 – Efeito da protensão considerando o trecho de regularização L e o trecho s 
de uma cordoalha com aderência isolada. 
3.6 Quadro resumo das características do aço de protensão e aço-concreto 
 
 
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78
 Para facilitar o uso das expressões necessárias para caracterizar as propriedades do 
aço e aço e concreto, apresenta-se a tabela a seguir que reúne de forma resumida as principais 
fórmulas usadas neste capítulo referentes ao aço de protensão. 
 
QUADRO 3.2 RESUMO DAS PRINCIPAIS EXPRESSÕES USADAS PARA AVALIAÇÕES 
PROPRIEDADES DOS AÇOS DE PROTENSÃO E AÇO-CONCRETO. 
Significado Fórmula Número 
Tensão de escoamento de 
projeto do aço de protensão. 
f
pyd
= f
pyk
/1,15 (3.18) 
Tensão última de projeto do aço 
de protensão. 
f
ptd
 =f
ptk/1,15 (3.19) 
 
Módulo de elasticidade do aço 
para fios e cordoalhas de 
protensão. 
Ep=200.000 MPa 
 
(3.20) 
 
Módulo de elasticidade do aço 
para barras de protensão 
Ep=210.000 MPa (3.21) 
Tensão na armadura de 
protensão se 
p
pyd
p E
f<ε → pppd E εσ ⋅= 
 
(3.22) 
Tensão na armadura de 
protensão 
p
pyd
p E
f≥ε → ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−⋅⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+=
p
pyd
p
pyk
pydpd
pydpd E
f
f
ff
f εσ
15,1/
 
 
(3.23) 
Tensão inicial máxima pré-
tração → aços tipo RN ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⋅
⋅≤
pyk
ptk
pi f
f
90,0
77,0σ (3.24) 
Tensão inicial máxima pré-
tração →aços tipo RB ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⋅
⋅≤
pyk
ptk
pi f
f
85,0
77,0σ (3.25) 
Tensão inicial máxima pós-
tração → aços tipo RN ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⋅
⋅≤
pyk
ptk
pi f
f
87,0
74,0σ (3.26) 
Tensão inicial máxima pós-
tração →aços tipo RB ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⋅
⋅≤
pyk
ptk
pi f
f
82,0
74,0σ (3.27) 
Tensão inicial máxima aços CP 
85/10 em barra ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⋅
⋅≤
pyk
ptk
pi f
f
88,0
72,0σ (3.28) 
Comprimento básico de 
ancoragem 
bpd
pyd
bp f4
f
⋅
⋅= φl 
(3.29) 
para cordoalhas de 3 a 7 
fios → 
bpd
pyd
bp f36
f7
⋅
⋅⋅= φl 
(3.30) 
Resistência de aderência do 
concreto 1pη - 1,0 para fios 
lisos, 1,2 para cordoalhas 1,4 
para fios dentados, 2pη - 1 para 
situações de boa aderência e 
0,7 para situações de má 
aderência. 
 ctdppbpd ff ⋅⋅= 21 ηη 
ctdf = cimfctkf γ/, data-aplicação da protensão comprimento 
de transferência;-28 dias para o cálculo de comprimento de 
ancoragem. 
 
 
 
(3.31) 
 
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