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ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
CAP 10- Cálculo da armadura transversal de peças protendidas 
ROBERTO CHUST CARVALHO- 
280
 
CAPÍTULO 10- CÁLCULO DA ARMADURA TRANSVERSAL DE 
PEÇAS PROTENDIDAS 
 
10.1 Introdução 
 
 Até aqui foi estudada apenas o pré-dimensisonamento, cálculo e detalhamento da 
armadura longitudinal de peças de concreto protendido, tornando-se agora necessário a 
avançar para considerar também os efeitos transversais e a necessidade de projetar 
armadura para absorvê-los. Devido a grande semelhança e os mesmos mecanismos que se 
formam sob atuação de esforços transversais este capítulo segue o mesmo roteiro e até 
reproduz alguns trechos da obra de CARVALHO e FIGUEIREDO FILHO [2004]. 
As tensões normais atuantes em uma seção transversal são resistidas pelo concreto 
comprimido e pela armadura longitudinal previamente tracionada (concreto protendido) ou 
não (concreto armado). Nota-se que no cálculo da armadura longitudinal, feita no capítulo 
5, bastou analisar as seções mais solicitadas pelo momento fletor, sem qualquer 
interferência da força cortante valendo, portanto a consideração de que a viga estava sujeita 
à flexão pura. 
Na realidade, as vigas submetidas a um carregamento vertical qualquer, com ou sem 
esforço normal, estão trabalhando em flexão simples ou composta não pura e, nesta 
situação, o momento fletor é variável e a força cortante passa a ser diferente de zero, 
surgindo na seção transversal, além das tensões normais, tensões tangenciais que 
equilibram o esforço cortante. 
 
TABELA 10.1. Tipos de flexão e tensões atuantes na seção transversal 
Flexão Momento fletor M Cortante 
dx
dMV = Tensões atuantes na seção 
Pura Constante V = 0 σ (normal) 
Não Pura Variável V ≠ 0 σ (normal) e τ (tangencial) 
 Ao contrário da situação em que é possível existir flexão sem cisalhamento 
(momento sem cortante), na prática não é possível ocorrer casos de cisalhamento sem 
flexão (cortante sem momento).Uma exce’;cãoi é qundo as tensões de cisalhamento são 
oriundas de torção. 
 Dessa forma, na flexão não pura, juntamente com as tensões tangenciais, sempre 
atuam tensões normais de flexão, formando um estado bi-axial, ou duplo, de tensões, com 
tensões principais de tração e compressão, em geral, inclinadas em relação ao eixo da viga 
(item 3). É um problema de solução bastante complexo, com mecanismos resistentes 
(embora simplificadamente tratados como planos) essencialmente tridimensionais. 
No estudo do cisalhamento influem: 
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• forma da seção; 
• variação da forma da seção ao longo da peça; 
• esbeltez da peça ( ) 2d ≥l ; 
• disposição das armaduras transversais e longitudinais; 
• aderência; 
• condições de apoio e carregamento, etc. 
A consideração de ( ) 2d ≥l é para que o estudo se resuma às peças chamadas de 
vigas (seção transversal permanece plana após a deformação), pois quando a relação é 
inferior a 2 as seções transversais sofrem um “empenamento”, não continuando plana após 
a deformação, e a estrutura com essas características passa a ser chamada de viga parede 
(figura 10.1). Também pode acontecer sde se ter uma vuga com vão muito curto como a 
indicada na mesma figura no caso c. Neste caso usa-se a denominação de consolo e a teoria 
para seu cálculo difere da que se irá discutir em seguida. 
a deformação
a)viga (d/ <0,5)
S
S
seção S após a
seção S após 
deformação
p
b)viga- parede(d/ >0,5)
pilar
consolo
 c)viga-curta - consolo (d/ >0,5)
P
 
FIGURA 10.1. a) viga (seção após a deformação permanece plana); b) viga parede 
(seção sofre um empenamento após a deformação) 
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 Para cargas de pequena intensidade, em que as tensões de tração não superam a 
resistência à tração do concreto (estádio I), o comportamento da estrutura e o cálculo das 
tensões tangenciais decorrentes de esforço cortante podem ser obtidas com o auxílio das 
fórmulas da resistência dos materiais. Ao se aumentar o carregamento, ultrapassada em 
alguns pontos a resistência à tração d o concreto, há o inicio de sua fissuração (estádio II), e 
é produzido um complexo reajuste de tensões entre concreto e armadura, que podem 
crescer até chegar à ruptura. Na alma da viga as tensões de compressão são resistidas pelo 
concreto comprimido, que se mantém íntegro entre as fissuras (bielas comprimidas), e as 
tensões de tração são resistidas por uma armadura transversal (armadura de cisalhamento). 
No caso das peças de concreto protendido dependendo da intensidade da protensão a 
fissuração do concreto pode ocorrer somente após, por exemplo, no caso de protensão 
completa, a atuação da cargas correspondentes à combinação rara, mais ainda assim para 
efeito de dimensionamento no estado limite último haverá a fissuração do concreto e 
portanto o cálculo no estado limite último deve ser feito como o do concreto armado. No 
reajuste das tensões após o início da fissuração outros mecanismos passam a atuar tais 
como o engrenamento dos agregados do concreto, efeito pino da armadura longitudinal que, 
como será visto, podem ser considerados na resistência final da peça ao cortante.. 
 A armadura transversal proporciona segurança frente aos distintos tipos de ruptura 
e, ao mesmo tempo, mantém a fissuração dentro de limites admissíveis. Há porém uma 
resistência ao cortante só depende do concreto e da armadura longitudinal e em algumas 
peças, tal como as lajes alveolares, considera-se apenas este dois elementos (além dos 
mecanismos secundários) como resistente ao esforço cortante. 
 Neste capítulo são apresentadas inicialmente as principais situações de colapso em 
elementos sem armadura de cisalhamento e com armadura de cisalhamento. Em seguida 
mostra-se como podem ser analisadas as tensões normais e tangenciais em uma viga no 
estádio I com o objetivo de calcular as tensões e direções principais. Todos estes itens 
permitem explicar, na seqüência quais são os efeitos da protensâo no cisalhamento. No item 
10.6 é mostrado como pode ser feito o cálculo e verificação de peças sem armadura 
transversal (lajes). Para o cálculo e verificação de viga, em que existe armadura transversal 
(ou de cisalhamento), mostra-se o cálculo dessa armadura para o estado limite último e 
finalmente, como pode ser evitado o esmagamento do concreto da alma da viga, através da 
verificação da biela de concreto comprimida. 
 Como não existe ainda uma solução que seja ao mesmo tempo precisa e simples 
para a análise de vigas com flexão não pura, a grande maioria dos procedimentos usados 
hoje em dia adota um tratamento independente para as tensões de flexão e cisalhamento em 
uma viga, e admitem que a contribuição das armaduras transversais e do concreto 
comprimido, na resistência ao esforço cortante, podem ser obtidas através da analogia de 
treliça de RITTER-MÖRSCH (item 10.7). 
 É conveniente destacar já que as peças fletidas devem ser dimensionadas, em geral, 
de modo que, se atingirem a ruína, esta ocorra pela ação do momento fletor, que leva a 
grandes deformações, antes da ruptura por cisalhamento. 
 
 
 
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 10.2 Situações de colapso em elementos sem e com armadura de cisalhamento. 
 Como o colapso de cisalhamento via de regra é brusco imagina-se evita-lo sempre 
que possível considerando assim para os casos de vigas, mesmo quando não é necessário, a 
colocação de uma armadura transversal (de cisalhamento). Para laje ouelementos delgados 
com baixos valores de cortante é possível dispensar-se o emprego de armadura de 
cisalhamento; é o caso de lajes alveolares. Assim, é preciso distinguir duas situações para 
estudar o colapso elementos com flexão não pura: a) as peças sem armadura de 
cisalhamento e as peças com armadura de cisalhamento. 
 10.2.1- Situações de colapso em elementos sem armadura de cisalhamento. 
 Um texto muito bom sobre o assunto (aliás, sobre o tema) pode ser encontrado em 
FUSCO (2008). As principais possibilidades de colapso de um elemento (em geral do tipo 
laje) sem armadura transversal podem ser vistas na figura 10.3 adaptada de FIP (1982). 
10. 6 Cálculo e verificação de peças sem armadura transversal (lajes). 
Explicações 
 
Ruptura por flexão 
 
Ruptura flexo-cisalhamento 
 
Ruptura por cisalhamento (tração diagonal) 
 
 
Ruptura por escorregamento (falta de ancoragem) da armadura 
FIGURA 10.3. Situações de colapso em um elemento do tipo laje sem armadura 
transversal: a) ruptura de flexão, b)Ruptura por flexo-cisalhamento, c) Ruptura por 
cisalhamento (tração diagonal) e d)ruptura por escorregamento da armadura. 
 Assim as rupturas mais prováveis de ocorrerem são: ruptura de flexão, por flexo-
cisalhamento, por cisalhamento com por tração diagonal e escorregamento da armadura. A 
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questão da flexão já foi tratada no capítulo 6. Em relação às rupturas por cisalhamento 
(tração diagonal) e cisalhamento junto com flexão será considerada sempre a expressão que 
verifica a possibilidade deste segundo pois esta condição é mais crítica. Finalmente a 
questão da ancoragem é obtida com o correto detalhamento da armadura e dimensões 
mínimas de apoio. 
 No caso específico de lajes alveolares o grupo do NETPRÉ em diversos trabalhos, a 
partir de 2007, estudou o comportamento de lajes alveolares Brasileiras. A figura 10.4 
apresenta a fotografia da lateral de uma laje alveolar depois do colapso em um ensaio de 
cisalhamento. Podem ser vistas nitidamente: uma fissura de flexão (que ocorreu primeiro 
que a de cisalhamento) e a de cisalhamento que desencadeia a ruptura. Ao prosseguir com o 
ensaio, quase sem aumento de carga, há o escorregamento da armadura longitudinal e um 
destacamento de concreto ao seu redor. Quase simultaneamente nota-se uma fissura 
horizontal (na superfície entre a laje e a capa de concreto) indicando o escorregamento da 
capa em relação a laje. 
 
FIGURA 10.4. Fotografia da lateral de uma laje alveolar de 20 cm de altura com capa 
de 5 cm no colapso,submetida a uma situação de carga concentrada (em linha) a cerca 
de 3h do apoio. 
 
10.2.1- Situações de colapso em elementos com armadura de cisalhamento. 
 Além da ruptura por flexão as principais rupturas que podem ocorrer em um 
elemento com armadura de cisalhamento (em geral vigas com estribos) estão mostrada na 
figura 10.5. Assim os principais tipos de colapso que podem ocorrer em vigas devido à 
ação da força cortante (cisalhamento) são [RÜSCH (1975)]; no caso a) a ruptura por 
escoamento da armadura transversal, no b) esmagamento do concreto da biela comprimida 
na alma da viga c) falha na ancoragem da biela junto ao apoio (escorregamento da 
armadura longitudinal). 
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FIGURA 10.5. Situações esquemáticas dos principais colapsos quer ocorrem em uma 
viga devido ao cisalhamento: a) escoamento armadura; b) esmagamento concreto; c) 
falha na ancoragem. 
 
10.3. TENSÕES NORMAIS E TANGENCIAIS EM UMA VIGA 
 Neste item é feita a análise das tensões em serviço, ainda no estádio I (sem fissuras), 
na seção transversal de peças em concreto armado considerando que não há fissuração do 
concreto para depois no item 10.4 mostrar que surgem tensões máximas de tração e 
compressão segundo direções inclinadas em relação ao eixo da peça (tensões principais) e 
finalmente no item 10.5 mostrar o efeito da protensão no cisalhamento. 
 Pode-se considerar, para efeito de cálculo, que o concreto seja um material 
homogêneo, e assim desprezar a presença da armadura no mesmo. Dessa maneira é 
possível calcular as tensões atuantes em vigas utilizando os conceitos da resistência dos 
materiais. É óbvio que estas hipóteses valem até que se inicie a fissuração do concreto. 
Portanto, em uma viga de seção constante, sujeita à flexão simples não pura, as tensões 
normais (σ) e tangenciais (τ) variam de fibra a fibra ao longo da altura da seção (figura 
10.6) e podem ser calculadas pelas expressões: 
 
y
I
M ⋅=σ (10.1)
 
Ib
MV
w
s
⋅
⋅=τ (10.2)
onde: 
M – momento fletor; 
y – distância do C.G. da seção ao ponto considerado; 
V – força cortante; 
Ms – momento estático da área da seção homogênea situada acima da fibra de ordenada y, 
em relação à linha neutra; 
bw – largura da seção; 
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I – momento de inércia da seção, em relação ao seu CG. 
 
FIGURA 10.6. Distribuição das tensões normais e tangenciais em uma 
seção retangular (desprezado o efeito da armadura) 
 
 Para uma dada seção, sob uma força cortante V, o valor máximo da tensão 
tangencial ocorre pela equação 6.2, quando o momento estático também for máximo. O 
momento estático (ou momento de primeira ordem) é determinado pela integral ∫ ⋅dAy , e 
para uma viga retangular de seção transversal retangular (bw , h) obtém-se (figura 6.4): 
( )2wwws khkb212k2hkbkbyAyM −⋅⋅⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −⋅⋅=⋅⋅=⋅= 
 
O valor máximo de Ms é obtido fazendo sua derivada em relação a k ser igual a zero 
 
( ) 0k2hb
2
1
kd
Md
w
s =⋅−⋅⋅= 
 
resultando k = h/2 ou seja, a máxima tensão de cisalhamento ocorre no cg (no caso na LN); 
substituindo esse valor na expressão de Ms chega-se a: 
 
8
hb
M
2
w
max,s
⋅= 
 
 
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FIGURA 10.7. Cálculo de Ms e τ na seção transversal retangular de uma viga 
Finalmente, a tensão máxima de cisalhamento fica: 
 
12
hb
w
8
hb
w
max,s
max 3
w
2
w
b
V
Ib
MV
⋅
⋅
⋅
⋅=⋅
⋅=τ → 
hb
V5,1
w
max ⋅
⋅=τ (10.3)
Da figura 6.5, sendo z o braço de alavanca, resulta 
2
z3h ⋅= e, então 
 
z5,1b
V5,1
b
V5,1
hb
V5,1
w2
z3
ww
max ⋅⋅
⋅=⋅
⋅=⋅
⋅=τ ⋅ → zb
V
w
max ⋅=τ (10.4)
 
FIGURA 10.8. Braço de alavanca das resultantes das tensões de compressão (Rc) 
e de tração (Rs) (estádio I, concreto não fissurado) 
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 Embora a expressão anterior tenha sido obtida para o estádio I, também será 
empregada no estado limite último, como será visto posteriormente. 
 
10.4 TENSÕES PRINCIPAIS 
 Em uma viga fletida sob ação de momento fletor variável, também atua uma força 
cortante, e em toda a altura de uma seção transversal retangular, ou na alma de outras 
seções, surgem tensões, chamadas de principais, de tração e compressão (σ1 e σ2 
respectivamente) inclinadas em relação ao eixo da peça. As tensões principais podem ser 
decompostas nas componentes σx (tensão normal segundo x), σy (tensão normal segundo y) 
e τxy (tensão tangencial); em vigas, normalmente, as tensões σy têm valor muito pequeno, 
com importância apenas em trechos de introdução da carga, podendo, portantoser 
desprezada. Assim, na seqüência, o valor de σy será sempre considerado nulo. 
 Em outras palavras, em um elemento solicitado por tensões normais e tangenciais, 
sempre é possível encontrar um plano com uma inclinação α no qual as tensões tangenciais 
são nulas, e as normais alcançam seus valores máximo e mínimo, que são as tensões 
principais. Essas tensões podem ser determinadas em qualquer ponto da peça, 
analiticamente ou por meio do Círculo de Mohr. 
 Seja uma viga sujeita à flexão simples (figura 10.9), da qual se deseja obter as 
tensões principais em dois pontos: um na região comprimida (ponto 1), e outro na linha 
neutra (ponto 2). 
 
FIGURA 10.9. Pontos para análise das tensões principais de uma viga 
simplesmente apoiada sob carregamento uniforme 
 
 Desses pontos retiram-se dois elementos infinitesimais, em que atuam tensões 
normais σ e tangenciais τ; pelo círculo de Mohr encontram-se as tensões principais σ1 e σ2 
e suas inclinações em relação ao eixo da viga, para os pontos 1 e 2 (figura 10.10). 
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τ
σ
σ
σ
σ
τ
τ
σ σ σ
σ
σ
σ
σ
τ
τ
τ
σ σ σ σ
σ
σ
σ
 
FIGURA 10.10. Cálculo das tensões principais nos pontos 1 e 2 usando o círculo de 
Mohr (melhorar). Notar que para o caso do ponto 1 a aresta A fica representada pelo 
ponto no circulo de Mohr com coordenadas σ e -τ para a aresta B a ordena 0 (σy =0) 
e τ, enqunto para o ponto 2 a aresta A fica representada pelo ponto no circulo de 
Mohr com coordenadas σ=0 e -τ para a aresta B a ordena 0 (σy =0) e τ. 
 Como pode ser visto na figura 10.10, para pontos situados no cg (pontos do tipo 2) 
só há tensão de cisalhamento e, portanto a tensão principal de tração ocorrerá a 45o. Já para 
os pontos do tipo 1, onde há compressão (abaixo da linha neutra seria tração), a tensão 
principal ocorrerá com um angulo inferior a 45o. Isto já indica que a introdução de 
protensão que causará tensões normais de compressão irão afetar a inclinação da fissura 
mesmo na alma da viga. 
Observe-se que está sendo usada a convenção, para concreto armado e protendido, 
em que as tensões de compressão são positivas e as de tração são negativas. 
 Para um estado duplo de tensões em vigas (figura 10.8), segundo Mohr, as tensões 
principais podem ser determinadas analiticamente pelas expressões: 
σ σ σ σ σ τ1
2
2
2 2
= + + +⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
x y x y
xy (10.5) 
 
σ σ σ σ σ τ2
2
2
2 2
= + − +⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
x y x y
xy (10.6) 
 
 A direção α (inclinação) de σ1 em relação ao eixo x é dada por: 
 
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yx
xy22tg σ−σ
τ⋅=α 
σ
σ
σσ
τ
τ
σσσ
σ
σ
σ
σ
τ
τ
σ
τ
σ
 
FIGURA 10.11. Estado plano de tensões e direções principais 
 
Como em vigas pode-se fazer σ y = 0 (só existem valores de tensões normais 
verticais apreciáveis onde atuam cargas externas de alta intensidade), e também fazendo 
τ τxy = , as equações acima ficam: 
 
σ σ σ τ1
2
2
2 2
= + ⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
x x 
(10.7) 
σ σ σ τ2
2
2
2 2
= − ⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
x x 
(10.8) 
x
22tg σ
τ⋅=α 
(10.9) 
 
 Na linha neutra e abaixo, o concreto não contribui na resistência às tensões normais 
de tração, que são equilibradas apenas pela armadura longitudinal, e portanto σx = 0 , que 
nas equações anteriores resulta: 
 
σ τ τ1 2= + = + σ τ τ2 2= − = − tg 2α = ∞ → 2 90α = o → 
α = 45o 
Conclusões: 
• na linha neutra as tensões principais σ1 (tração) e σ2 (compressão) estão inclinadas de 
450 em relação ao eixo da viga e são iguais, em intensidade, às tensões tangenciais τ, 
principalmente próximo aos apoios, onde a força cortante é maior; 
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• as fissuras no concreto são perpendiculares à direção da tensão principal de tração 
(figura 6.10); 
• as tensões principais de tração σ1 devem ser resistidas por uma armadura de 
cisalhamento que atravesse as fissuras, e cujo cálculo se verá na seqüência; 
• as tensões principais de compressão σ2 são resistidas pelo concreto comprimido 
localizado entre as fissuras (bielas de concreto). 
 
Mostrar que em uma viga I a tensão pode ser máxima em pontos diferentes (exercício 
do caderno) 
Calcular a máxima tensão nos pontos A, B e C com a=20 cm e a=0,4 m. 
a a a
P P 150
50
20
0
25
25
A
B
C
 
FIGURA 10.12. Estado plano de tensões e direções principais 
 
10.5 EFEITOS DA PROTENSÂO 
Nos dois itens anteriores analisou-se a questão da flexão simples (concreto armado), ou 
seja, situações em que não havia a introdução de esforço normal. No caso de peças 
protendido deve-se considerar, portanto ainda dois efeitos: 
1. Alívio do cortante de protensão 
2. Efeito do esforço normal 
 
10.5.1 Efeito do cortante de protensão 
 Como já visto no primeiro capítulo quando o cabo de protensão inclinado de α há 
uma componente de protensão paralela a seção e portanto um esforço de protensão 
denominado Vp – esforço cortante de protensão (isostático). 
 Na figura 10.11 reproduz-se novamente a figura do capítulo 1 que mostra o esforço 
de protensão isistático advindo do fato do cabo, devido sua trajetória, impor a seção uma 
força de protenção inclinada de α. 
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S
AV
A
B
A
S
B
P
P
N =Pcos
V =Psen
P
P
detalhe 1
detalhe 1
da seção S
do cabo
e
e
cento de gravidade 
h
yi
sy
trecho curvo
 
 
 
FIGURA 10.13- Ações solicitantes (isostáticas) devido o efeito de protensão em uma 
seção S 
 
 Normalmente esta ação é de sentido contrário as permanentes e acidentais 
combatendo-as. Desta forma ao calcular o cortante em uma seção de uma peça em concreto 
protendida com cabo curvo é preciso usar a expressão: 
 
 
Vd = γfg (Vg1+Vg2)+ γfq (Vqmáx ou min)+ γfp x P x senα 
 
 
(10.10) 
 
 Onde 
 Vd - Cortante de cálculo na seção 
 Vg1- Cortante devido as ações permanentes de peso próprio na seção. 
 Vg2- Cortante devido a ação de sobrecarga permanentes na seção. 
 Vqmáx ou min - - Cortante máximo ou mínimo devido as ações acidentais (variáveis) 
na seção. 
 γfg – coeficiente de ponderação no ELU para as ações permanentes 
 γfq – coeficiente de ponderação no ELU para as ações acidentais 
 γfp– coeficiente de ponderação no ELU para as ações de protensão (aconselha-se 0,9 
ou 1,1 o que for mais desfavorável). 
 P – Força de protensão na seção. 
 α - ângulo da tangente a trajetória do cabo na seção. 
 
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 Item 9.3.1 – se o diâmetro da bainha φo for maior que bw/8 usar para bw o valor de 
bw = bw – ½ x Σφi 
 Item A.2.4.12 – para vigas com estribos τwu = 0,30 x fcd ≤ 4,5 MPa. 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ≤×= wuw
d
wd db
V ττ 
 
bw é a menor largura da seção compreendida ao longo da altura útil d, entretanto , no caso 
de elementos estruturais protendidos , quando existirem bainhas injetadas com diâmetro 
ø>bw/8, a largura resistente a considerar deve ser (bw-(1/2)∑φ ), na posição da alma que 
esta diferença seja mais desfavorável a exceção do nível que define o banzo tracionado da 
viga . 
d é a altura útil da seção, igual à distância da borda comprimida ao centro de gravidadeda 
armadura ao centro de tração de gravidade da armadura de tração; entratanto no caso de 
elementos estruturais protendidos com cabos distribuídos ao longo da altura, d não precisa 
ser menor que 0,8h, desde que exista armadura junto à face tracionada. 
 
10.5.2 Efeito do Esforço Normal 
 
 Pelo que foi descrito anteriormente poderia se pensar que no caso da pré-tração 
onde os cabos são retos não haverá vantagem de usar a protensão para combater a 
protensão. Mas combater o cisalhamento passa por evitar a tração diagonal, ou seja a tração 
que ocorre no concreto mas numa direção inclinada em relação ao eixo longitudinal da 
peça. Analisando a expressão (10.8) de tensão principal de tração 2σ repetida a seguir, 
conclui-se obviamente que se o valor de xσ for de compressão (devida a protensão) havrá 
chance menor da tensão de tração ser alcançada. 
σ σ σ τ2
2
2
2 2
= − ⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
x x 
 Este efeito será considerado numericamente ao se considerar um ganho de 
resistência no cisalhamento devido ao estado de descompressão da seção. De maneira 
simplista até que as fibras da seção comecem ser tracionadas o cortante existente é 
absorvido pela protensão. 
 Finalizando a concituação pode-se dizer que: 
• Na pós tração com cabo curvo há o alívio do cortante isostático de protensão, o 
efeito da tensão normal de compressão e armadura de protensão podem também ser 
utilizada na armadura transversal. 
• Na pré tração com cabo reto há apenas o efeito da tensão normal de compressão. 
 
10. 6 Cálculo e verificação de peças sem armadura transversal (lajes). 
Explicações 
 Para seções de elementos do tipo laje, com protensão aderente, segundo FIP (1982) 
e FUSCO (2009) basta, em geral, fazer a verificação da capacidade de resistência do 
concreto. 
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CAP 10- Cálculo da armadura transversal de peças protendidas 
ROBERTO CHUST CARVALHO- 
294
 VRd ≤ VRd1 (10.11) 
 Com 
VRd - máximo cortante de cálculo em que se considera a redução de valores de cargas 
próximas a seção de apoio. 
VRd1 - cortante último resistido para a situação de flexo-cisalhamento dado pela expressão 
10 .12. . 
 ( )[ ] db15,0402,1kV wcp1Rd1Rd ⋅⋅σ⋅+ρ+⋅τ= (10.12) 
Com 
ctdRd f25,0 ⋅=τ 
cinf,ctkctd /ff γ= 
ctminf,ctk f7,0f ⋅= 
3 2
ckctm f3,0f ⋅= (MPa) 
k = 1,6-d≥ 1 (d em m) 
 02,0
db
A
w
1s
1 ≤=ρ 
 
c
sd
cp A
N=σ 
 
Exemplo Numérico 10 1- 
Calcular o maior cortante resistido pelo painel de laje alveolar cuja seção transversal é dada 
na figura 10.13 considerando: a) a laje com a seção sem a capa; b) laje com capa de 5 cm e 
funcionando como seção única. Considerar ainda os dados 
 
• CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DA SEÇÃO (seção sem capa) 
A= 1377 cm 2 – área geométrica da seção 
I = 67120 cm4 – inércia da seção geométrica 
h = 20 cm – altura da seção 
II = 68026 cm4 – inércia da seção homogeneizada (5 cm2 de área de aço) 
III = 5095 cm4 – inércia da seção no estádio II puro (5 cm2 de área de aço) 
d = 16,5 cm - altura útil da seção (distancia do cg da armadura a fibra mais 
comprimida) 
• CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS DO CONCRETO 
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295
fcj =30 MPa resistência à compressão do concreto na data da efetivação da 
protensão. 
fck =40 MPa resistência à compressão carcaterística do concreto 
• Aço de protensão 
 5 cordoalhas de ½” . 
 σp (t=∞ )= 1220 MPa 
 
 
20
0
127,5 189 189 189 189 189 127,5
189 181 41
1200
20
15
8
77
8
308
34
22
,5
 
Figura 10.13 – Seção transversal do painel de laje alveolar do exemplo 10.1 (alvéolo 
circular de diâmetro de 145 mm). 
 
Resolução: 
a) sem capa 
Geralmente o painel alveolar é usado com capa porem em algumas situações em que não 
necessário ter um efeito septo para a laje pode-se usar a seção sem capa. 
Devem ser usadas as expressões 10.11 e 10.12. Começando pela 10.12 
 ( )[ ] db15,0402,1kV wcp1Rd1Rd ⋅⋅σ⋅+ρ+⋅τ= (10.12) 
Com 
( )
4,1
3,07,0
25,0
2 2
ck
Rd
f⋅⋅⋅=τ = 
4,1
403,07,025,0
2 2⋅⋅⋅ =0,438 MPa=438 kN/m2 
k=1,6-0,2=1,4 
bw= 120 – 6x14,5=33 cm 
009,0
5,1633
98,051
1 =⋅
⋅==
db
A
w
sρ 
Nsd = 5x0,98x122 = 597,8 kN 
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296
1377,0
8,597==
c
sd
cp A
Nσ =4341 kN/m2 
( )[ ] db15,0402,1kV wcp1Rd1Rd ⋅⋅σ⋅+ρ+⋅τ= ( )[ ] 165,033,0434115,0009,0402,14,1483 ⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅= =(1054+651)x0,05445=92,89 kN 
VRd = VRd1 → Vk =92,89/1,4=66,35 kN. 
 
b) com capa 
Considera-se que a tensão de cisalhamento na interface da capa e superfície superior do 
painel seja pequena e portanto a seção trabalhe como um todo. Apenas a protensão por ter 
sido aplicada na seção inicial na expressão da tensão normal se considera a se,cão sem a 
capa. 
=rdτ 430 kN/m2 
k=1,6-0,25=1,35 
006,0
5,2133
98,051
1 =⋅
⋅==
db
A
w
sρ 
=cpσ =4341 kN/m2 
=1RdV ( )[ ] 215,033,0434115,0006,0402,135,1483 ⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅ =(939+651)x0,07095= 
=112,8 kN 
VRd = VRd1 → Vk =112,8/1,4=80,6 kN. 
 
Exemplo Numérico 10 2- 
Considerando que o painel do exemplo anterior tenha um vão de 6 m (e trabalhe 
simplesmente apoiado), qual a máxima carga acidental que pode suportar para garantir o 
cisalhamento? 
Resolução 
situação a) 
ação de peso próprio Vdg1 =1,3x0,1377x25x(6/2)=13,42 kN 
Vqd =VRd –Vdg1= 92,9 -13,4=79,5 kN 
Considerando só atuando carga acidental: 
 Vqd = 2
4,1 lqb ⋅⋅ →79,5 = 
2
620,14,1 ⋅⋅⋅ q q=15,8 kN/m2 
situação b) 
ação de peso próprio Vdg1 =1,3x0,1377x25x(6/2)+1,4x(0,05x1,20)x25=15,52 kN 
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297
Vqd =VRd –Vdg1= 112,8 -15,52=97,28 kN 
Considerando só atuando carga acidental: 
 Vqd = 2
4,1 lqb ⋅⋅ →97,28 = 
2
620,14,1 ⋅⋅⋅ q q=19,3 kN/m2 
 
 
 
10.7. PEÇAS COM ARMADURA DE CISALHAMENTO: ANALOGIA DaE 
TRELIÇA DE RITTER-MÖRSCH 
 
 Por volta de 1900, W. Ritter e E. Mörsch [MÖRSCH, E. (1948)] propuseram, para 
a determinação da armadura de cisalhamento necessária ao equilíbrio de uma viga de 
concreto armado, uma teoria em que o mecanismo resistente da viga no estádio II 
(fissurada) pode ser associado ao de uma treliça, onde as armaduras e o concreto 
equilibram, conjuntamente, o esforço cortante. 
 O modelo proposto por Mörsch não foi inicialmente bem aceito, mas com o 
desenvolvimento das técnicas de ensaio de estruturas, constatou-se que ele poderia ser 
empregado, desde que fossem feitas adequadas correções. A teoria teve por isso 
reconhecimento mundial, e mesmo que muita coisa tenha mudado desde então (as 
resistências do concreto e aço aumentaram, a aderência obtida com aços corrugados levou 
ao desuso as barras lisas, etc.), os princípios apresentados por Mörsch continuam válidos, e 
ainda hoje são a base do cálculo ao cisalhamento dos mais importantes regulamentos. A 
grande vantagem é que, embora sendo simples, o modelo conduz a resultados satisfatórios 
para a quantidade da armadura transversal no estado limite último. 
 
 
10.7.1. Funcionamento básico e elementos constituintes 
 
 Uma viga esbelta simplesmente apoiada de concreto, com armadura 
longitudinal e transversal, sob flexão simples terá, próximo à ruptura, o aspecto mostrado 
na figura 6.9. Ela apresenta fissuras inclinadas na zona em que o cisalhamento é 
predominante (principalmente próximo aos apoios, onde a força cortante é maior) e, entre 
elas, elementosde concreto comprimidos (bielas comprimidas). 
A partir da configuração da viga na ruptura, Mörsch idealizou um mecanismo 
resistente assemelhando a viga a uma treliça, de banzos paralelos e isostática, em que os 
elementos resistentes são as armaduras longitudinal e transversal e o concreto comprimido 
(nas bielas e na região da borda superior), cujas interseções formam os seus nós. 
 
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CAP 10- Cálculo da armadura transversal de peças protendidas 
ROBERTO CHUST CARVALHO- 
298
 
 
FIGURA 6.9. Viga na iminência da ruptura e os tipos de fissura que podem ocorrer 
 
O conceito de bielas de compressão (concreto íntegro entre as fissuras) é 
importante, pois mostra como o aço e o concreto se unem para transferir cargas, e também 
como o concreto comprimido trabalha e tem participação importante na resistência ao 
cisalhamento de peças fletidas. 
 Considera-se que a inclinação (α) da armadura de cisalhamento está entre 45o (na 
direção das tensões principais de tração) e 90o, e que os elementos de concreto comprimido 
estão inicialmente inclinados de 45o (na direção das tensões principais de compressão). 
Experiências mostram, entretanto, que o ângulo de inclinação das bielas é menor 
que 45o, o que será corrigido posteriormente. 
Os elementos da treliça (figura 6.10) são: 
1. banzo superior comprimido: formado pela região comprimida de concreto acima da 
linha neutra, de altura x; 
2. banzo inferior tracionado: formado pelas barras da armadura longitudinal de tração; 
3. montantes ou diagonais tracionadas: formadas pela união dos estribos que cruzam uma 
certa fissura; podem ter inclinação (α) em relação ao eixo longitudinal da viga entre 45o 
(figura 6.10 b) e 90o (figura 6.10 a); 
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299
4. diagonais comprimidas: formadas pelas bielas de compressão (concreto íntegro entre as 
fissuras), que colaboram na resistência e têm inclinação de 45o em relação ao eixo da 
peça. 
 
 
FIGURA 6.10. Treliça análoga de Mörsch para o caso de: a)estribos; b) barras dobradas 
 
 É lógico imaginar que a forma da peça resistir ao esforço cortante estará 
condicionada pela disposição que se adote para a armadura transversal. Intuitivamente, 
parece que a melhor posição da armadura é a que segue a direção das tensões principais de 
tração; entretanto esta disposição é muito difícil de ser executada e não permite ancorar 
devidamente a biela de concreto. Por essa razão, são duas as disposições mais comuns 
adotadas: 
a) estribos verticais, que são independentes da armadura longitudinal de tração e 
compressão, apenas as envolvendo para sua fixação, tendo geralmente um diâmetro 
inferior que aquelas; essas armaduras servem de montantes (ou diagonais) de tração da 
treliça análoga; 
b) barras dobradas, levantadas da armadura longitudinal de tração, a 45o em relação ao 
eixo da peça, a partir do ponto em que deixam de ser necessárias para resistir aos 
esforços de tração oriundos do momento fletor. 
 
 
6.4.2. Cálculo da armadura transversal 
 
Uma viga, na iminência do colapso, pode, segundo Mörsch, ser representada por 
uma treliça, com as forças internas e externas dadas na figura 6.11. Para o cálculo das 
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CAP 10- Cálculo da armadura transversal de peças protendidas 
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300
forças nas barras da treliça, e consequentemente das expressões que possibilitam determinar 
a quantidade de armadura, devem ser feitas as seguintes hipóteses: 
a) a treliça é isostática; 
b) os banzos são paralelos; 
c) a inclinação das fissuras, e portanto das bielas comprimidas, é de 45o; 
d) a inclinação (α) da armadura transversal pode variar entre 45o e 90o. 
 
 
Fc - resultante das tensões no concreto do banzo comprimido 
Fat - resultante das tensões nas barras da armadura transversal que cortam uma fissura 
Fs - resultante das tensões na armadura longitudinal de tração 
FIGURA 6.11. Treliça de Mörsch com esforços atuantes e internos em uma seção S 
 
Fazendo o equilíbrio de forças: 
• equilíbrio das componentes verticais: α⋅=−− senFPPR at211 
• força cortante na seção S: V R P P= − −1 1 2 
Das equações acima resulta: 
 VsenFat =α⋅ (10.5)
 
Mas, na ruptura, 
 ydstat fnAF ⋅⋅= (10.6)
 
sendo: 
Ast − área da seção transversal de uma barra da armadura de cisalhamento; 
n − número de barras da que cruzam uma fissura; 
fyd − resistência de cálculo do aço à tração. 
 
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301
Também na ruptura, atua a força cortante de cálculo Vd ( V4,1Vd ⋅= ), que levada à 
equação 6.5 resulta: 
 
dat VsenF =α⋅ → α= sen
V
F dat (10.7)
 
Das equações 6.6 e 6.7 obtém-se: 
 
α=⋅⋅ sen
V
fnA dydst (10.8)
 
O número de barras (n) que cruzam uma fissura, sendo s seu espaçamento 
(figura 6.12), é dado por : 
s
)cot1(z
s
cotzzn α+⋅=α⋅+= 
 
FIGURA 6.12. Barras que cruzam uma fissura 
 
Colocando o valor de n na equação 6.8 tem-se: 
( )
α=⋅
α+⋅⋅
sen
V
f
s
cot1zA dydst 
 
)cot1(zf
1
sen
V
s
A
yd
dst
α+⋅⋅⋅α= 
(6.9)
 
Como é mais conveniente trabalhar com valores adimensionais, define-se agora uma 
porcentagem volumétrica de armadura μt α , observando que α⋅= send l (figura 6.13): 
 
α⋅⋅=α⋅⋅⋅
⋅=⋅⋅
⋅==μ α sensb
A
sensb
A
sdb
A
w
st
w
st
w
st
t l
ll
concretodevolume
acodevolume (6.10)
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302
 
FIGURA 6.13. Ast em um trecho s da peça 
Verifica-se que a porcentagem volumétrica é numericamente igual a porcentagem 
geométrica. 
Para usar este resultado na expressão 6.9 dividem-se ambos os membros dessa 
equação por α⋅ senbw , obtendo a correlação entre a área de armadura transversal e o 
esforço interno devido à força cortante de cálculo: 
 
)cot1(sensenf
1
zb
V
senbs
A
ydw
d
w
st
α+⋅α⋅α⋅⋅⋅=α⋅⋅ 
(6.11)
 
Supondo que o braço de alavanca z possa ser tomado, aproximadamente, igual a 
z d= 1 15, , usando a definição de porcentagem volumétrica dada pela equação 6.10 e 
verificando que )cos(sen)cot1(sen α+α=α+⋅α , a expressão 6.11 fica: 
 
)cos(sensenf
1
db
V
15,1
ydw
d
t α+α⋅α⋅⋅⋅⋅=μ α 
(6.12)
 
Chamando wd
w
d
db
V τ=⋅ (tensão convencional de cisalhamento, de cálculo, na 
alma da peça), tem-se finalmente: 
 
)cos(sensen
1
f
15,1
yd
wd
t α+α⋅α⋅
τ⋅=μ α (6.13) 
 
Conhecendo-se a seção de uma viga (bw, d), a força cortante máxima e o tipo de aço 
a ser empregado (fyd), as expressões 6.10 e 6.13 possibilitam calcular, para uma área Ast de 
armadura transversal pré-definida, seu espaçamento s necessário, ou vice-versa. 
A partir da equação 6.11 é possível calcular diretamente o valor do espaçamento s: 
 
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303
 
d
ydst
V15,1
)cos(senfdA
s ⋅
α+α⋅⋅⋅= (6.14)
 
No caso mais usual, em que são empregados estribos verticais, o ângulo de 
inclinação da armadura é α = 900, e as equações 6.10, 6.13 e 6.14 ficam bastante simples, 
reduzindo-se a: 
 
 
sb
A
w
st
90,t ⋅=μ 
(6.15)
 
yd
wd
90,t f
15,1 τ⋅=μ (6.16)
 
d
ydst
V15,1
fdA
s ⋅
⋅⋅= (6.17)
É oportuno destacar que os resultados aqui encontrados, pelo modelode treliça, 
complementam a teoria de flexão vista no capítulo 3. 
Uma vez obtidas as expressões que permitem calcular a quantidade de armadura 
transversal necessária para resistir ao esforço cortante surge a pergunta natural: em uma 
viga de seção retangular, de dimensões bw e d, em que atua uma força cortante Vd , e para o 
mesmo tipo de aço, é mais econômico utilizar estribos verticais ou armadura inclinada a 45o 
(o custo da mão de obra utilizada para executar o serviço não será computado)? 
Para responder basta calcular, em cada caso (barras a 90o e 45o), qual é a 
porcentagem de armadura necessária. 
 
• Para α = 90o a porcentagem de armadura é dada pela equação 6.16: 
yd
wd
90,t f
15,1 τ⋅=μ 
 
• Para ∝ = 45o, a porcentagem de armadura pode ser calculada pela equação 6.13: 
)45cos45(sen45sen
1
f
15,1
yd
wd
45,t +⋅⋅
τ⋅=μ = 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +⋅
⋅τ⋅
2
2
2
2
2
2
1
f
15,1
yd
wd = 
yd
wd
f
15,1 τ⋅
 
 
Assim conclui-se, sendo a taxa de armadura igual em cada caso, que o volume de 
aço é o mesmo em ambos os casos, e portanto o custo é igual; entretanto, deve-se 
considerar que: 
 
Barras dobradas: 
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ROBERTO CHUST CARVALHO- 
304
• a execução é mais difícil; 
• devem ser sempre utilizadas junto com estribos, e só podem resistir no máximo a 60% 
do esforço cortante (NB1/80, item 6.3.1.2, NB1/99, item 17.3.1.1 c e 6.8.5 deste 
capítulo); 
• como são executadas a partir da armadura longitudinal, têm bitola maior que os 
estribos, e o controle da fissuração fica prejudicado; 
• a ancoragem das bielas de concreto da treliça, junto a região tracionada, é deficiente; 
• havendo apenas barras dobradas há um efeito de “fendilhamento” do concreto junto à 
ancoragem da biela (figura 6.14). 
 
Estribos verticais (alguns tipos são mostrados na figura 6.15): 
• apresentam maior facilidade de execução e montagem; 
• podem ser melhor distribuídos (elementos independentes) e podem ter diâmetro menor 
que as barras longitudinais favorecendo a aderência e fissuração; 
• auxiliam na montagem da armadura longitudinal; 
• podem resistir sozinhos a todo o esforço cortante; 
• auxiliam na distribuição de tensões de tração que se produzem pela transmissão de 
esforços entre concreto e aço. 
 
FIGURA 6.14. Efeito de fendilhamento que pode ser provocado pela armadura 
transversal inclinada na biela de compressão de concreto 
 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
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305
 
FIGURA 6.15. Principais tipos de estribos 
 
 
EXEMPLO 1 
 
Calcular o espaçamento s de estribos simples necessários em uma viga de seção 
retangular submetida a um esforço cortante V = 1300 kN (130 tf). 
Dados: bw = 70 cm; d = 200 cm; fck = 26 MPa; aço CA-50 (500 MPa ou 5 tf/cm2). 
 
Solução 
 
 O exercício pode ser resolvido diretamente pela expressão 6.17, percebendo-se que 
para o cálculo do espaçamento é preciso, primeiramente, escolher um diâmetro para a 
armadura transversal. Adotando um diâmetro φ = 12,5 mm (Ast = 1,25 cm2) tem-se: 
 
cm4,10
1304,115,115,1
520025,12
V15,1
fdA
s
d
ydst =×××
×××=⋅
⋅⋅= 
 Assim, adotado um valor para o diâmetro da armadura, verifica-se se o espaçamento 
necessário de estribos é razoável; caso contrário, deve-se aumentá-lo ou até mesmo fazer 
uso de estribos compostos (duplos ou triplos como os indicados na figura 6.15). 
 Dessa forma, no exemplo, pode-se usar estribos simples de φ = 12,5 mm a cada 
10 cm ou estribos duplos de φ = 12,5 mm a cada 20 cm. 
 
 
6.5. TRELIÇA GENERALIZADA DE MÖRSCH 
 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
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ROBERTO CHUST CARVALHO- 
306
 Com o desenvolvimento e crescimento das pesquisas experimentais, verificou-se 
que o cálculo através da treliça de Mörsch conduz a uma armadura transversal algo 
exagerada, ou seja, a tensão real atuante na armadura é menor que a obtida pela treliça. 
Essa diferença pode ser atribuída principalmente aos seguintes fatores: 
a) a treliça é hiperestática (os nós não podem ser considerados como articulações 
perfeitas); 
b) nas regiões mais solicitadas pela força cortante, a inclinação das fissuras, e portanto das 
bielas, é menor que os 45o admitidos por Mörsch; 
c) parte do esforço cortante é absorvido na zona de concreto comprimido (devido à 
flexão); 
d) os banzos não são paralelos (o banzo superior - comprimido - é inclinado); 
e) as bielas de concreto estão parcialmente engastadas na ligação com o banzo 
comprimido, e assim são submetidas à flexo-compressão, aliviando os montantes ou 
diagonais tracionadas; 
f) as bielas são mais rígidas que os montantes ou diagonais tracionados, e absorvem uma 
parcela maior do esforço cortante do que aquela determinada pela treliça clássica; 
g) a quantidade (taxa) de armadura longitudinal influi no esforço da armadura transversal. 
 
 Todos esses fatores fazem com que a tensão na armadura transversal seja menor que 
as obtidas com o esquema da teoria clássica de Mörsch, e isso deve ser considerado no seu 
dimensionamento. Entretanto, é fácil perceber que introduzi-los todos no cálculo da treliça 
levaria a dificuldades matemáticas consideráveis, e a solução foi partir para modelos 
simplificados, baseados em ensaios, que corrigem a armadura calculada pela teoria clássica, 
resultando no que se chama de treliça generalizada de Mörsch. 
 A correção é feita introduzindo nas expressões já deduzidas, fatores corretivos que 
conferem maior precisão ao cálculo, com a intenção principal de diminuir o consumo de 
aço da armadura de cisalhamento e, consequentemente, o custo da estrutura. Assim, de 
forma geral, tem-se: 
η⋅μ=μ αα tG,t 
onde: 
μt α − taxa de armadura transversal determinada segundo a teoria clássica de Mörsch; 
μt α,G − taxa de armadura transversal corrigida (treliça generalizada); 
η − fator de correção. 
 O valor do fator de correção η pode ser obtido, segundo a NB1/80 (1980), a partir 
do seu item 4.1.4.2, considerando as modificações introduzidas pela NBR-7197 (1989) em 
seu anexo A-2.2. 
 A determinação de η segundo a NB1/80 é feita admitindo-se que o concreto 
comprimido contribui com uma parcela τc na resistência às tensões tangenciais, diminuindo 
a parcela a ser resistida pela armadura transversal. Dessa forma tem-se: 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
CAP 10- Cálculo da armadura transversal de peças protendidas 
ROBERTO CHUST CARVALHO- 
307
• tensão a ser combatida com armadura transversal segundo a treliça clássica: 
wd15,1 τ⋅ (equação 6.16) 
• tensão a ser combatida com armadura transversal segundo a treliça generalizada: 
η⋅τ⋅ wd15,1 
• tensão ( τd ) a ser combatida pela armadura transversal considerando a contribuição do 
concreto: 
015,1 cwdd ≥τ−τ⋅=τ 
 
O valor de η é obtido igualando-se a tensão a ser resistida com a treliça generalizada 
com a tensão em que é admitida a contribuição do concreto, e portanto: 
 
η⋅τ⋅=τ−τ⋅ wdcwd 15,115,1 
 
resultando 
 
wd
c
wd
cwd
15,1
1
15,1
15,1
τ⋅
τ−=τ⋅
τ−τ⋅=η (6.18) 
 
com: 
ck1c f⋅ψ=τ ( fck em MPa), sendo (NBR-7197, anexo A.2.2): 
ψ1 0 15= , na flexão simples e na flexo-tração com a linha neutra cortando a seção; 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +⋅=ψ
max,d
o
1 M
M
115,0 na flexo-compressão ou na presença de protensão; 
ψ1 0= na flexo-tração com a linha neutra fora da seção; 
Mo − valor do momento fletor que anula a tensão normal na borda menos comprimida; 
Md,max − momento fletor da seção transversal mais solicitada à flexão, notrecho 
considerado pelo cálculo. 
 
 Na versão de 1999 (NB1/99) são apresentados dois modelos de cálculo da armadura 
transversal, conforme se verá aqui no item 6.7. 
 
EXEMPLO 2 
 
Calcular o espaçamento de estribos necessário para os dados do exemplo 1 com a 
treliça generalizada (V = 1300 kN; bw = 70 cm; d = 200 cm; fck = 26 MPa; aço CA-50) e a 
mesma bitola para a armadura transversal. 
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CAP 10- Cálculo da armadura transversal de peças protendidas 
ROBERTO CHUST CARVALHO- 
308
 
 
Solução 
 O exercício pode ser resolvido a partir da expressão 6.17, dividindo-se o resultado 
obtido para o espaçamento pelo fator de correção (equação 6.18) η, que vale: 
 
49,0
13015,1
7613015,1
15,1
15,1
wd
cwd =×
−×=τ⋅
τ−τ⋅=η 
 
sendo: 
 
2
w
d
wd m/tf13027,0
1304,1
db
V =×
×=⋅=τ 
 
2
ckc m/tf76MPa76,02615,0f15,0 ==×=⋅=τ 
 
 O espaçamento s dos estribos fica: 
 
cm22,21
49,0
14,10
49,0
1
1304,115,115,1
520025,121
V15,1
fdA
s
d
ydst =×=××××
×××=η⋅⋅
⋅⋅= 
 
 Desta forma pode-se usar estribos simples de φ = 12,5 mm a cada 20 cm. Verifica-
se que a armadura necessária caiu praticamente para a metade quando se considerou a 
colaboração da resistência do concreto. 
Se o valor do fator de correção η for negativo, significa que apenas o concreto é 
suficiente para resistir os esforços de cisalhamento e, portanto, a armadura transversal a ser 
detalhada será apenas construtiva, obedecendo os valores mínimos indicados por norma. 
 
 
EXEMPLO 3 
 
Calcular o espaçamento da armadura transversal (somente estribos) para a máxima 
força cortante atuando na viga da figura 6.16 (exemplo dos capítulos 4 e 5). Dados: 
• Aço CA-50; fck = 15 MPa; 
• estribos de φ = 6,3 mm; 
• bw = 0,25 m; d = 0,90 m. 
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309
 
FIGURA 6.16. Viga V101 (mesma do exemplo dos capítulos 4 e 5) 
 
Solução 
A cortante máxima é Vmáx = 258,64 kN (25,86 tf), tirada do diagrama da figura 6.16. 
O espaçamento dos estribos fica: 
2
w
max,d
max,wd m/tf0,16190,025,0
86,254,1
db
V =×
×=⋅=τ 
τc MPa= × =0 15 15 0 58, , = 58 tf/m2 
687,0
0,16115,1
580,16115,1
15,1
15,1
wd
cwd =×
−×=τ⋅
τ−τ⋅=η 
m087,0
687,0
1
86,254,115,115,1
0,59,032,021
V15,1
fdA
s
d
ydst ≅⋅×××
×××=η⋅⋅
⋅⋅= 
 
 
6.6. VERIFICAÇÃO DAS BIELAS DE CONCRETO COMPRIMIDAS 
 
 Nos itens anteriores foram apresentados os procedimentos para o cálculo da 
armadura transversal, de modo que ela resista com segurança às tensões tangenciais. É 
necessário, agora, verificar se o concreto comprimido das bielas não será esmagado, ou 
seja, se a tensão atuante não será maior que a capacidade resistente do concreto à 
compressão. A verificação do concreto do banzo comprimido da treliça já foi vista no 
capítulo 3. 
 O roteiro que será apresentado baseia-se no efetuado por MONTOYA (1973), onde 
serão calculadas as tensões de compressão nas bielas, que posteriormente, como se verá, 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
CAP 10- Cálculo da armadura transversal de peças protendidas 
ROBERTO CHUST CARVALHO- 
310
deverão ser comparadas com valores máximos permitidos, no caso os dados pela NBR-
7197 (concreto protendido) que alterou alguns dispositivos da NB1/80, e pela NB1/99. 
 
6.6.1. Cálculo das tensões de compressão σc nas bielas de concreto 
 
 As tensões normais de compressão em uma biela podem ser obtidas, de maneira 
aproximada, fazendo-se o equilíbrio das forças atuantes em uma seção que corta um 
conjunto de bielas. O modelo desenvolvido por Montoya é útil para se ter uma idéia do 
comportamento das tensões de compressão nas bielas de uma viga fletida, e de onde 
surgiram alguns dos valores limites especificados pelas normas. Valores mais confiáveis só 
são possíveis de se obter através de análises experimentais. 
 Seja uma viga, na ruptura, seccionada por um plano com inclinação α, na direção da 
armadura transversal, e com as bielas inclinadas de um ângulo β como a mostrada na figura 
6.17. A partir dos elementos conhecidos relaciona-se o valor do esforço cortante na seção 
transversal com o da tensão normal de compressão nas bielas de concreto. 
 
FIGURA 6.17. Tensões de compressão nas bielas de concreto em uma viga fletida 
 
 
Indica-se a seguir os principais passos para a obtenção da expressão final 
 
• comprimento da seção (BC): 
 
zsenBC =α⋅ → BC z sen= α 
 
• projetando BC sobre AB, normal à direção das bielas, encontra-se AB: 
 
ABcosBC =Φ⋅ → ( ) Φ⋅α= cossenzAB 
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311
do Δ ABD: ( )α β− + =Φ 90 → Φ = + −α β 90 
substituindo Φ em AB resulta: 
 
( ) ( )[ ]β−−α⋅α=−β+α⋅α= 90cossen
z90cos
sen
zAB 
 
( ) ( )[ ] ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
α
β⋅α+α
β⋅α⋅=β−⋅α+β−⋅α⋅α= sen
cossen
sen
sencosz90sensen90coscos
sen
zAB 
 
 ( )β+α⋅β⋅= cotcotsenzAB (6.19)
• força resultante interna de compressão nas bielas (tensão σc vezes a área): 
 
wcR b)AB(F ⋅⋅σ= 
 
• na ruptura a projeção vertical de FR é a força cortante Vd atuante na seção: 
 
β⋅⋅⋅σ=β⋅= sen)AB(bsenFV wcRd 
 
• portanto, conhecida a força cortante Vd na seção, determina-se σc : 
 
β⋅⋅=σ sen)AB(b
V
w
d
c 
 
substituindo AB dado pela equação 6.19: 
 
( ) β⋅β+α⋅β⋅⋅=σ sencotcotsenzb
V
w
d
c 
 
 
( )β+α⋅β⋅⋅=σ cotcotsen
1
zb
V
2
w
d
c (6.20) 
 
a tensão tangencial máxima de referência na flexão é (equação 6.4) ( )zbV wdmax ⋅=τ e, 
então: 
 
 
( )β+α⋅β
τ=σ
cotcotsen 2
max
c (6.21)
 
• ou, fazendo z d= 115, na equação 6.20 
 
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312
( )β+α⋅β⋅⋅⋅=σ cotcotsen
1
db
V
15,1 2
w
d
c 
 
• e, finalmente, lembrando que ( ) wdwd dbV τ=⋅ : 
 
 
( )β+α⋅β
τ⋅=σ
cotcotsen
15,1
2
wd
c (6.22)
 A partir da expressão 6.21 podem ser calculadas as tensões de compressão σc no 
concreto quando se utilizam estribos (α = 90o ) ou barras dobradas (α = 45o ), e inclinação 
das bielas β = 45o e β = 30o , resultando nos valores da tabela 6.2. 
 
 
TABELA 6.2. Valores de tensão normal na biela de concreto em diversas situações 
armadura transversal α o45=β o30=β 
Estribos 90o maxc 2 τ⋅=σ maxc 31,2 τ⋅=σ 
barras dobradas 45o maxc τ=σ maxc 47,1 τ⋅=σ 
 
 
6.6.2. Valores limites das tensões de compressão nas bielas 
 
 Inicialmente é preciso notar que a teoria clássica da treliça indica fissuras inclinadas 
de 45o e, com essa inclinação, as tensões principais de compressão, como já visto, valem 
maxc2 τ=σ=σ , o que só ocorre, conforme a tabela 6.2, no caso de armadura de 
cisalhamento a 45o e quando se admite fissuras também a 45o. 
 Outra observação importante é que com estribos, a tensão atuante nas bielas é maior 
que com barras dobradas, e que se a inclinação adotada para as fissuras for menor que 45o, 
por exemplo 30o, essas tensões também serão maiores. 
 As tensões de compressão nas bielas não devem causar esmagamento do concreto, e 
para isso as tensões de cisalhamento atuantes na viga devem ser limitadas a determinados 
valores, de modo que a segurança da viga não fique comprometida. 
 Para se ter uma idéia dos limites impostos às tensões, supondo um coeficiente de 
segurança igual a 2 resulta, para o caso de estribos e inclinação das fissuras de 45o, a 
seguinte tensão de cisalhamento limite, ou última(máxima tensão que o carregamento 
externo da viga pode causar, em qualquer seção): 
 
σc u cdf, = 2 e, da tabela, uu,c 2 τ⋅=σ 
 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
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313
∴ 
2
f
2 cdu =τ⋅ → cdcdu f25,04
f ⋅==τ 
 
 Esse (a menos do fator 1,15) é um dos valores prescritos pela NB1/80, no item 
5.3.1.2 b, mas na verdade eles são obtidos de resultados experimentais, e o procedimento 
mostrado serve apenas para se ter uma idéia do que ocorre, não para a determinação dos 
mesmos. Os valores a serem empregados nas verificações são os da NBR-7197, 
relacionados a seguir, e que modificaram aqueles da NB1/80, item 5.3.1.2 b. 
 
Valores limites para wuτ ( tensões últimas) de acordo com a NBR-7197, anexo A-
2.4.1: 
• peças lineares com h5bw ⋅≤ e armadura transversal (estribos e barras dobradas) a 45o: 
( )MPa5,5cmkgf55f35,0 2cdwu ≤⋅=τ 
• peças lineares com h5bw ⋅≤ e estribos a 90o, com ou sem barras dobradas: 
( )MPa5,4cmkgf45f30,0 2cdwu ≤⋅=τ 
 
 Na NB1/99, os valores limites das tensões nas bielas estão definidos para cada um 
dos dois modelos de cálculo. 
 
 
EXEMPLO 4 
 
Verificar, segundo a NBR-7197, a biela de concreto dos exemplos 1 e 2 anteriores 
(V = 1300 kN; bw = 70 cm; d = 200 cm; fck = 26 MPa; aço CA-50). 
 
Solução 
 Para que não haja esmagamento da biela de concreto basta que wuwd τ≤τ 
2
w
d
wd m/tf130270,0
1304,1
db
V =×
×=⋅=τ 
2
wu
2
2
cd
wu m/tf450portanto,e,
m/tf450
mtf557
4,1
260030,0f30,0 =τ
⎪⎩
⎪⎨
⎧ =×=⋅≤τ 
resultando 2wuwd m/tf450130 =τ≤=τ (não há risco de esmagamento da biela de 
concreto). 
 
 
EXEMPLO 5 
 
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314
Verificar, conforme a NBR-7197, a biela de concreto da viga V101 do exemplo 3 
(exemplo dos capítulos 4 e 5). Dados: Vmáx = 258,64 kN (25,86 tf); CA-50; fck = 15 MPa; 
estribos de φ = 6,3 mm; bw = 0,25 m; d = 0,90 m. 
 
Solução 
 
 Para Vmáx = 25,86 tf, é calculada a tensão na biela comprimida e comparada a τwu: 
2
w
max
w
max,d
max,wd m/tf0,16190,025,0
86,254,1
db
V4,1
db
V =×
×=⋅
⋅=⋅=τ < 0 30
1500
14
3214 450 2,
,
, /× = < tf m 
e, portanto, não há perigo de esmagamento do concreto das bielas. 
 Salienta-se que, em todos os exemplos, esta verificação deveria ser sido feita antes 
de se calcular a armadura necessária, pois caso esta condição não fosse atendida haveria 
necessidade de mudança das dimensões da peça ou do valor de fck do concreto. 
 
 
6.6.3. Força cortante máxima em peças com estribos verticais conforme a NBR-7197 
 
 O valor de cálculo da tensão convencional de cisalhamento (τwd) não pode em 
nenhum caso ultrapassar os valores limites (τwu) dados pela NBR-7197. Fazendo então 
τ τwd wu= determina-se a máxima força cortante a que pode estar submetida a peça. Tem-
se: 
 
)cmkgf45(MPa5,4f30,0
db
V4,1
db
V 2
cd
w
max
w
d
wd ≤=⋅
⋅=⋅=τ 
 
Observação: para valores de fck acima de 21 MPa, vale o limite de 4,5 MPa para τwd. 
 
 
6.7. CÁLCULO DA ARMADURA E VERIFICAÇÃO DA BIELA SEGUNDO A 
NB1/99 
 
 
6.7.1. Hipóteses básicas 
 
A Norma NB1/99 especifica no capítulo 17, item 3, como devem ser feitos o 
cálculo da armadura transversal e a verificação da biela de compressão para elementos 
lineares sujeitos à força cortante no estado limite último. 
As prescrições aplicam-se a elementos lineares armados ou protendidos, 
submetidos a forças cortantes, combinadas com outros esforços solicitantes. Não se 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
CAP 10- Cálculo da armadura transversal de peças protendidas 
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315
aplicam a elementos de volume, lajes, vigas parede e consolos curtos, que são tratados em 
outros capítulos da norma. 
 As condições de cálculo fixadas pela norma para as vigas, baseiam-se na analogia 
com modelo em treliça, de banzos paralelos, associado a mecanismos resistentes 
complementares desenvolvidos no interior da peça e que absorvem uma parcela Vc (ou τc) 
da força cortante. Esses mecanismos correspondem ao engrenamento que ocorre entre as 
partes de concreto separadas pelas fissuras inclinadas e a resistência da armadura 
longitudinal que serve de apoio às bielas de concreto (efeito de pino). 
São admitidos dois modelos de cálculo alternativos (item 17.3.1): 
a) modelo I (objeto do item 17.3.2.1), onde se admite que as diagonais de compressão são 
inclinadas de θ = 45° em relação ao eixo longitudinal da peça, e que Vc tem valor 
constante; 
b) modelo II (objeto do item 17.3.2.2) onde é admitido que essas diagonais tenham 
inclinação diferente de 45°, que pode ser arbitrada livremente no intervalo 
30° ≤ θ ≤ 45°; nesse caso considera-se a parcela Vc com valores menores. 
 
6.7.2. Verificação do estado limite último 
 
A resistência da peça, numa determinada seção transversal, é satisfatória quando 
forem verificadas, simultaneamente, as seguintes condições: 
2RdSd VV < (6.23) 
SWc3RdSd VVVV +=< (6.24) 
 
em que: 
VSd − força cortante solicitante de cálculo, na seção; 
VRd2 − força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas de 
concreto; 
VRd3 = Vc + Vsw, 
Vc − parcela de força cortante absorvida por mecanismos complementares ao de treliça; 
VSW − parcela de força cortante absorvida pela armadura transversal. 
 
Na região dos apoios, os cálculos devem considerar a força cortante agente na face 
dos mesmos. Para o cálculo das armaduras, em apoios diretos, com as reduções indicadas, 
neste capítulo, no item 6.7.8; no caso de apoios indiretos, essas reduções não são 
permitidas. 
As expressões anteriores possibilitam verificar, conhecida a taxa de armadura 
transversal, se o esforço em uma seção será ou não inferior ao permitido por norma ou ao 
necessário para o funcionamento com segurança. Assim bastará considerar, nas expressões 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
CAP 10- Cálculo da armadura transversal de peças protendidas 
ROBERTO CHUST CARVALHO- 
316
anteriores, o sinal de igualdade para determinar, por exemplo, a armadura transversal em 
uma determinada seção. 
 
 
6.7.3. Modelo de cálculo I 
 
No modelo de cálculo I a resistência da peça é assegurada por: 
 
a) Verificação das bielas comprimidas de concreto (compressão diagonal do concreto) 
dbf27,0V wcdv2Rd ⋅⋅⋅α⋅= (6.25) 
com o coeficiente αv, sendo fck em MPa, dado por: 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=α
250
f
1 ckv 
Essa verificação pode ser feita em função das tensões tangenciais (como no item 
6.6.2), dividindo-se as forças cortantes correspondentes por dbw ⋅ : 
wuIwd τ≤τ (6.26) 
com as tensões tangenciais última e de cálculo iguais a: 
cd
ck
wuI f250
f
127,0 ⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⋅=τ (MPa) (6.27) 
db
V
w
d
wd ⋅=τ 
(6.28) 
 
b) Cálculo da armadura transversal 
 
 Para o cálculo da armadura transversal, a parcela da força cortante a ser absorvida 
pela armadura, a partir da equação 6.24, pode ser escrita por: 
 
cdsw VVV −= (6.29) 
 
As tensões de cisalhamento correspondentes (dividindo-se ambos os membros por 
bw⋅d), ficam: 
 
cwdsw τ−τ=τ (6.30) 
 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
CAP 10- Cálculo da armadura transversal de peças protendidas 
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317
com 
db
V
w
c
c ⋅=τ , τwd de acordo com a equação 6.28, e verificando que db
V
w
sw
sw ⋅=τ 
corresponde praticamente à tensão τd da NB1/80, item 4.1.4.2 (a diferença está no 
coeficiente 1,15 que multiplica τwd). 
A força cortante resistida pelaarmadura transversal em uma certa seção é dada por: 
 
)cos(senfd9,0
s
A
V ywd
sw
sw α+α⋅⋅⋅⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= (6.31) 
 
 Esta expressão pode ser colocada em função da taxa de armadura transversal αμ t 
(ver item 6.4.2 e equação 6.10 deste capítulo): 
 
)cos(sensen
1
f
11,1
ywd
sw
t α+α⋅α⋅
τ⋅=μ α (6.32) 
 
que é praticamente a expressão 6.13 já deduzida anteriormente. 
Para o valor de Vc , e consequentemente de τc (dividindo-se V correspondente por 
dbw ⋅ ), deve ser observado: 
• Vc = 0 nas peças tracionadas quando a linha neutra se situa fora da seção; 
• Vc = Vco na flexão simples e na flexo-tração com a linha neutra cortando a seção; 
• co
d
o
coc V2M
M1VV ⋅≤⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +⋅= na flexo-compressão. 
Sendo, nas equações anteriores: 
=coV dbf6,0 wctd ⋅⋅⋅ ; 
fctd = 3/2ck4,1
3,07,0 f⋅× (valor de cálculo da resistência à tração do concreto); 
bw − menor largura da seção, compreendida ao longo da altura útil d; 
d − altura útil da seção, igual à distância da borda comprimida ao centro de gravidade 
da armadura de tração; 
s − espaçamento entre elementos da armadura transversal Asw, medido segundo o 
eixo longitudinal da peça; 
fywd − tensão na armadura transversal passiva, limitada ao valor fyd no caso de estribos e 
a 70% desse valor no caso de barras dobradas, não se tomando, para ambos os 
casos, valores superiores a 435 MPa; 
α − ângulo de inclinação da armadura transversal em relação ao eixo longitudinal da 
peça, podendo-se tomar 45° ≤ α ≤ 90°; 
Mo − valor do momento fletor que anula a tensão normal de compressão na borda da 
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CAP 10- Cálculo da armadura transversal de peças protendidas 
ROBERTO CHUST CARVALHO- 
318
seção (tracionada por Md,max), provocada por forças normais de diversas origens 
concomitantes com Vd, sendo essa tensão calculada com γf e γp iguais a 0,9. Os 
momentos correspondentes a essas forças normais não devem ser considerados 
no cálculo dessa tensão a menos que elas tenham excentricidade assegurada, 
como no caso da protensão; 
Md,max − é o momento fletor de cálculo máximo no trecho em análise; por simplicidade e a 
favor da segurança, pode ser tomado como o maior valor do semitramo 
considerado (para esse cálculo, não se consideram os momentos isostáticos de 
protensão, apenas os hiperestáticos). 
 
 
EXEMPLO 6 
 
Calcular, usando o modelo I da NB1/99, a armadura transversal (somente estribos) 
da viga V101 dos exemplos 3 e 5 na seção junto ao apoio central. Dados: aço CA-50; 
fck = 15 MPa; estribos de φ = 6,3 mm; bw = 0,25 m; d = 0,9 m. 
 
Solução 
 
 O valor da força cortante a ser empregada, sem considerar as reduções pela 
proximidade ao apoio, é V = 258,6 kN (ver figura 6.16 do exemplo 3). 
 
a) Verificação do esmagamento da biela de concreto 
 
MPa61,1m/kN1610
90,025,0
6,2584,1
db
V4,1
db
V 2
w
max
w
max,d
max,wd ==×
×=⋅
⋅=⋅=τ 
MPa72,2
4,1
15
250
15127,0f
250
f
127,0 cd
ck
wuI =⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⋅=⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⋅=τ 
 
portanto wuImax,wd τ<τ , e não há perigo de esmagamento do concreto das bielas. 
 
b) Cálculo do espaçamento da armadura transversal 
 Espaçamento para a cortante V = 258,6 kN e estribos de φ = 6,3 mm: 
MPa61,1m/kN1610
90,025,0
6,2584,1
db
V4,1
db
V 2
w
max
w
max,d
max,wd ==×
×=⋅
⋅=⋅=τ 
 
Na flexão simples coc VV = , resultando: 
3/2
ckctd
w
wctd
w
co
w
c
c f4,1
3,07,06,0f6,0
db
dbf6,0
db
V
db
V ⋅××=⋅=⋅
⋅⋅⋅=⋅=⋅=τ 
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319
MPa547,01509,0f09,0 3/23/2ckc =×=⋅=τ , e então, pela equação 6.30: 
MPa062,1547,061,1cwdsw =−=τ−τ=τ 
 
Com a equação 6.32, para α = 90o, determina-se a taxa de armadura transversal: 
3
ywd
sw
90t 1071,2435
062,111,1
1
1
f
1,11 −×=×=⋅τ⋅=μ 
 
Finalmente, usando a equação 6.10 e com estribos de φ = 6,3 mm (0,32 cm2), resulta 
para o espaçamento: 
90sensb
A
w
st
90t ⋅⋅=μ → s)m(25,0
)m(1032,021071,2
24
3
⋅
××=×
−− → 
cm5,9m0945,0s ≅= 
 
 Este resultado é bastante próximo ao obtido no exemplo 3, calculado com a treliça 
generalizada. 
 
 
6.7.4. Modelo de cálculo II 
 
No modelo de cálculo II, a resistência da peça é garantida por: 
 
a) Verificação da compressão diagonal nas bielas de concreto 
( )θ+α⋅θ⋅⋅⋅⋅α⋅= cotcotsendbf54,0V 2wcdv2Rd (6.33) 
 
Ou, em termos de tensão, conforme as equações 6.25 e 6.27: 
 )cot(cotsen2)cot(cotsenf54,0 2wuI
2
cdvwuII θ+α⋅θ⋅τ⋅=θ+α⋅θ⋅⋅α⋅=τ (6.34) 
b) Cálculo da armadura transversal 
A força cortante resistida pela armadura transversal em uma certa seção é dada por: 
 
α⋅θ+α⋅⋅⋅⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= sen)cot(cotfd9,0
s
A
V ywd
sw
sw (6.35) 
 
Ou, analogamente, em termos da taxa de armadura transversal: 
 
)cot(cotsen
1
f
11,1
ywd
sw
t θ+α⋅α⋅
τ⋅=μ α (6.36) 
 
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CAP 10- Cálculo da armadura transversal de peças protendidas 
ROBERTO CHUST CARVALHO- 
320
Para o valor de Vc (parcela de força cortante absorvida por mecanismos 
complementares ao de treliça), deve ser observado: 
• Vc = 0 nas peças tracionadas quando a linha neutra se situa fora da seção; 
• Vc = Vc1 na flexão simples e na flexo-tração com a linha neutra cortando a seção; 
• 1c
d
o
1cc V2M
M1VV ⋅≤⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +⋅= na flexo-compressão, 
tomando-se para Vc1 os seguintes valores: 
dbf6,0VV wctdco1c ⋅⋅⋅== quando cod VV ≤ ( ctd1cc f6,0 ⋅=τ=τ quando 
ctdwd f6,0 ⋅≤τ ); 
0V 1c = quando 2Rdd VV = ( 01cc =τ=τ quando wuIIwd τ=τ ), 
interpolando-se linearmente para valores intermediários. 
O valor da inclinação θ da biela de concreto é bastante controverso e depende, entre 
diversas variáveis, do tipo de carregamento aplicado, porém segundo a norma deve-se 
considerá-lo compreendido entre 30° e 45°. 
 
 
EXEMPLO 7 
 
Calcular, usando o modelo II da NB1/99, a armadura transversal (somente estribos) 
da viga V101 (exemplo 6) na seção junto ao apoio central. Dados: aço CA-50; 
fck = 15 MPa; estribos de φ = 6,3 mm; bw = 0,25 m; d = 0,9 m. 
 
Solução 
 O valor da força cortante, sem considerar as reduções pela proximidade ao apoio, é 
V = 258,6 kN (figura 6.16 do exemplo 3). 
 
a) Verificação do esmagamento da biela de concreto 
 
MPa61,1m/kN1610
90,025,0
6,2584,1
db
V4,1
db
V 2
w
max
w
max,d
max,wd ==×
×=⋅
⋅=⋅=τ 
 No cálculo de τwuII (equação 6.34) será usado para θ (ângulo de inclinação das 
bielas comprimidas) o menor valor permitido (no caso 300) para se ter idéia do que ocorre 
quando se afasta bastante do modelo tradicional (θ = 45o); para armadura transversal 
vertical, α = 90o. 
MPa71,3)30cot90(cot30sen
4,1
15
250
15154,0 2wuII =+⋅⋅⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⋅=τ 
 
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321
e, portanto wuImax,wd τ<τ , não havendo perigo de esmagamento do concreto das bielas; 
note-se que a tensão limite para a biela, neste caso, é menor que quando se toma θ = 450. 
 
b) Cálculo do espaçamento da armadura transversal (V = 258,6 kN, φ = 6,3 mm) 
MPa61,1m/kN1610
90,025,0
6,2584,1
db
V 2
w
max,d
max,wd ==×
×=⋅=τ 
 
O valor de τc ( )db/V wcc ⋅=τ na flexão simples será igual a zero se wuIIwd τ=τ , e 
igual a ctdf6,0 ⋅ se ctdwd f6,0 ⋅≤τ (igual ao do exemplo anterior, modelo I). Neste caso é 
preciso fazer uma interpolação linear: 
 
Valor de wdτ (MPa) Valor de cτ (MPa) 
547,0f6,0 ctd =⋅ 0,547 
1,61 cτ 
71,3wuIIwd =τ=τ 0,0 
resultando para cτ : 
547,071,3
547,061,1
547,00,0
547,0c−
−=−
−τ
 → τc = 0,363 MPa 
 
e, da equação 6.30: 
MPa247,1363,061,1cwdsw =−=τ−τ=τ 
 
 Com a equação 6.36 (α = 90o, θ = 30o) resulta para a taxa de armadura transversal: 
3
ywd
sw
90t 1084,173,1
1
435
247,111,1
)cot(cotsen
1
f
11,1 −×=⋅×=θ+α⋅α⋅
τ⋅=μ 
 
Finalmente pela equação 6.10 com estribos de φ = 6,3 mm (0,32 cm2), resulta para o 
espaçamento: 
90sensb
A
w
st
90t ⋅⋅=μ → s)m(25,0
)m(1032,021084,1
24
3
⋅
××=×
−− → 
cm9,13m139,0s == 
 
Este modelo de cálculo (modelo II) apresentou um espaçamento dos estribos maior 
que o anterior, calculado com o modelo I. 
6.8. PRESCRIÇÕES PARA O DETALHAMENTO DA ARMADURA 
TRANSVERSAL 
 
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322
As armaduras destinadas a resistir aos esforços de tração provocados por forças 
cortantes podem ser constituídas por estribos, combinados ou não com barras dobradas ou 
barras soldadas (ver item 6.8.5 deste capítulo). 
Segundo o item 18.2.2.1 da NB1/99, os estribos devem ser fechados através de um 
ramo horizontal, envolvendo as barras da armadura longitudinal de tração, e 
adequadamente ancorados na face oposta. 
Para detalhar a armadura transversal de uma viga devem ser observadas diversas 
recomendações. Serão relacionadas as da NB1/80 e as modificações introduzidas pela 
NB1/99. 
 Alguns aspectos sobre os estribos já foram tratados, tais como: 
• cobrimento, que são os mesmos indicados para as demais armaduras, nos itens 
correspondentes tanto da NB1/80 quanto da NB1/99 (item 4.6 do capítulo 4); 
• ancoragem, que é tratado apenas na NB1/99 no item 8.3.6, e aqui no quinto capítulo 
(5.3.4.7); 
• ganchos e diâmetros internos, tratados na NB1/80 no item 6.3.4.1, e na NB1/99 em 
8.3.6.1, e aqui no item 5.4.2 do quinto capítulo. 
 
 
6.8.1. Quantidade mínima de estribos segundo a NB1/80 
 
 No item 6.3.1.2 da NB1/80 está indicado que nas vigas deverão ser sempre 
colocados estribos em toda a sua extensão, e que a seção transversal total de cada um, 
compreendendo todos os ramos que cortam o plano neutro, não deve ser menor que 
Ast,min dado a seguir, em função do tipo de aço empregado: 
CA-25 e CA-32: α⋅⋅⋅= sensb%25,0A wmin,st → 0025,0sensb
A
min,t
w
min,st =μ=α⋅⋅ α 
CA-40, CA-50 e CA-60: α⋅⋅⋅= sensb%14,0A wmin,st → 0014,0sensb
A
min,t
w
min,st =μ=α⋅⋅ α 
 
onde, b dw ≤ (altura útil), α é o ângulo entre o estribo e o eixo da peça e s o espaçamento 
entre os estribos. 
 É possível determinar a força cortante correspondente à armadura transversal 
mínima para uma dada seção (bw , d); isso possibilita que se arme a viga apenas com a 
armadura transversal mínima, sempre que a força cortante solicitante for menor que essa. 
 No caso de estribos verticais, de acordo com a teoria da treliça generalizada (ver 
equações 6.16 e 6.18), tem-se: 
η⋅μ=μ tG,t , sendo 
yd
wd
t f
15,1 τ⋅=μ e 
wd
cwd
15,1
15,1
τ⋅
τ−τ⋅=η , resultando 
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323
yd
c
yd
wd
G,t ff
15,1 τ−τ⋅=μ 
e, colocando 
db
V4,1
db
V
ww
d
wd ⋅
⋅=⋅=τ na equação acima, encontra-se o valor de V para uma 
determinada taxa G,tμ : 
4,115,1
db)f(
V wcydG,t ⋅
⋅⋅τ+⋅μ= 
 
 Para fyd e fck em MPa, bw e d em metros e V em kN, a expressão fica, para 
uma taxa qualquer de armadura transversal G,tμ : 
( )cydG,tw fdb621V τ+⋅μ⋅⋅⋅= (6.37)
 
 E, finalmente, substituindo μ t G, por μ t,min e tomando ckc f15,0 ⋅=τ (na flexão 
simples, NBR-7197), tem-se, para os diversos tipos de aço: 
 
• CA-25 e CA-32 (μ αt ,min ,= 0 0025): 
( )ckydw f15,0f0025,0db621V ⋅+⋅⋅⋅⋅= (6.38) 
 
• CA-40, CA-50 e CA-60 (μ αt ,min ,= 0 0014 ): 
( )ckydw f15,0f0014,0db621V ⋅+⋅⋅⋅⋅= (6.39) 
 
 
6.8.2. Quantidade mínima de estribos segundo a NB1/99 
 
Na NB1/99, de acordo com o item 17.3.1.1 a, todos os elementos lineares devem 
conter uma quantidade mínima de armadura transversal dada por 
ywk
ctm
w
sw
sw f
f
2,0
sensb
A ⋅≥α⋅⋅=ρ 
(6.40) 
onde: 
ρsw – taxa geométrica da armadura transversal (mesmo que αμ t ); 
Asw – área da seção transversal dos estribos; 
s – espaçamento entre os estribos medido segundo o eixo longitudinal da peça; 
α – inclinação dos estribos em relação ao eixo longitudinal da peça; 
bw – largura média da alma; 
fywk – valor característico da resistência ao cisalhamento das armaduras; 
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324
fctm = 3 2ckf3,0 ⋅ 
 Assim, considerando uma seção em que o concreto tenha fck = 20 MPa e a armadura 
transversal seja composta somente por estribos verticais (α=90) de aço CA-50A 
(fywk = 500 MPa), o valor da taxa geométrica mínima será: 
00088,0
500
203,02,0
3 2
min,t =⋅⋅=μ α valor inferior ao exigido pela norma anterior (0,0014). 
 
São exceções em relação à armadura mínima: 
• peças lineares com bw > 5⋅d, em que d é a altura útil seção; esses casos devem ser 
tratados como lajes (tratadas aqui no sétimo capítulo); 
• nervuras de lajes nervuradas, que quando espaçadas de menos de 50 cm também devem 
ser verificadas como lajes, tomando-se por base a soma das larguras das nervuras no 
trecho considerado; dispensa-se a armadura transversal só se Vd ≤ 0,7⋅VRd1, onde Vd é a 
força cortante de cálculo, e Vrd1 o valor de cálculo da força cortante resistente quando 
não existe armadura transversal; 
• pilares e elementos lineares de fundação submetidos predominantemente à compressão 
(tratados no capítulo 18 da NB1/99). 
 
 
6.8.3. Diâmetro das barras dos estribos 
 
De acordo com o item 6.3.1.2 da NB1/80, o diâmetro φ das barras dos estribos deve 
estar compreendido dentre os seguintes limites: 
12
bmm5 w≤φ≤ . 
Já de acordo com a NB1/99 (item 18.2.2.1) o diâmetro da barra que constitui o 
estribo deverá atender: 
10
bmm5 w≤φ≤ . 
Quando a barra for lisa, seu diâmetro não poderá ser superior a 12 mm. Acrescenta 
ainda que no caso de estribos formados por telas soldadas, o diâmetro mínimo pode ser 
reduzido para 4.2 mm, desde que sejam tomadas precauções contra sua corrosão. 
 
 
6.8.4. Porta estribos 
 
Estabelece a NB1/80, item 6.3.1.2 que “nos cantos dos estribos fechados e nos 
ganchos dos abertos, se não houver barras longitudinais determinadas pelo cálculo, devem 
ser colocadas barras de amarração de bitola pelo menos igual à do estribo”. Essa 
providência evita a possibilidade de esmagamento do concreto junto aos cantos do estribo. 
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325
 Na NB1/99 apenas fica recomendado que quando a face oposta do estribo, em 
relação à armadura longitudinal de tração, puder estar em região também tracionada, ele 
deverá ser fechado, ou complementado por meio de barra adicional (item 18.2.2.1). 
 
6.8.5. Constituição da armadura transversal 
 
 Tanto a NB1/80 (item 6.3.1.2) quanto a NB1/99 (item 17.3.1.1. c) permitem que a 
armadura transversal seja constituída de estribos e barras dobradas; se houver barras 
dobradas, a estas não poderá caber mais de 60% do esforço total a absorver por armadura 
transversal. 
 
 
6.8.6. Espaçamento entre estribos segundo a NB1/80 
 
 No item 6.3.2.2 da NB1/80, está prescrito que o espaçamento (s) máximo dos 
estribos, medido na direção do eixo longitudinal da peça, deve ser atender a: 
 
⎩⎨
⎧ ⋅≤
cm30
d5,0
s 
 
Se houver armadura longitudinal de