P1 Prova de Cálculo IV - IC244 UFRRJ

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Gabarito da 1a Prova de Cálculo IV-IC244-T01-DEMAT/ICE/UFRRJ
1. (2,0 pts) Considere as sequências abaixo, definidas pelo n-ésimo termo geral.
Decida se cada uma converge ou diverge e, para a(s) convergente(s), calcule o
valor do limite.
a) an = n
2e−n; b) an =
(√
1 + 1
n
)
− 1(√
2 + 1
n
)
−
√
2
Respostas: a) Converge e seu limite é 0, b) Converge e seu limite é
√
2
2. Estude a convergência, a convergência absoluta ou divergência das séries abaixo:
(a) (0,5 pt)
∞∑
n=0
πn
3n+1
(b) (1,0 pt)
∞∑
n=1
sen2(n)
n2
(c) (1,5 pts)
∞∑
n=2
(−1)nlnn
n
Respostas: a) Diverge, pois é uma série geométrica com primeiro
termo 1
3
e razão π
3
> 1; b) Converge absolutamente, pois se an =
sen2(n)
n2
≥ 0 e bn =
1
n2
, então 0 ≤ an ≤ bn e
∞∑
n=1
bn converge, pois é
p-série com p = 2 > 1, logo pelo teste da comparação
∞∑
n=1
an converge;
c) Converge condicionalmente pelo teste da série alternada, mas não
converge absolutamente, uma vez que | (−1)
nlnn
n
| = lnn
n
≥ 1
n
, ∀n ≥ 2 e
∞∑
n=2
1
n
é a série harmônica divergente.
3. Considere a série de Potências dada por
∞∑
n=1
4n(x+ 1
4
)n
n2
.
(a) (1,0 pt) Calcule seu raio de convergência.
Resposta: Raio de convergência R = 1
4
(b) (2,0 pts) Determine o intervalo de convergência e os intervalos de di-
vergência da série de Potência.
Resposta: Intervalo de convergência [−1
2
, 0] e intervalo de di-
vergência (−∞, −1
2
) ∪ (0,∞)
1
4. (2,0 pts) Sabendo que a série de Maclaurin da função senx é
senx =
∞∑
n=0
(−1)n x
2n+1
(2n+ 1)!
, ∀ x ∈ R, determine a série de Maclaurin para
f(x) = sen(x2) e para g(x) = xcos(x2).
Resposta: Substituindo x por x2 na série de senx, tem-se f(x2) =
sen(x2) =
∞∑
n=0
(−1)n x
4n+2
(2n+ 1)!
e como, g(x) = xcos(x2) = 1
2
f ′(x2), basta
derivar f(x2), ou seja, g(x) = 1
2
∞∑
n=0
(−1)n(4n+ 2) x
4n+1
(2n+ 1)!
5. QUESTÃO EXTRA(OPCIONAL) (1,0 pt) Seja (an), n ≥ 1 uma sequência
de números reais e suponha que existe uma constante 0 ≤ k < 1 tais que, para
todo n ≥ 2, |an+1 − an| ≤ k|an − an−1|.
(a) Mostre que a série
∞∑
n=2
(an − an−1) é absolutamente convergente.
Resposta: Chamando de zn = an − an−1, n ≥ 2, então a hipótese
nos dá | zn+1
zn
| ≤ k < 1, logo a série
∞∑
n=2
(an − an−1) =
∞∑
n=2
zn converge
absolutamente pelo teste da razão.
(b) Definindo s como sendo a soma da série, ou seja, s = Lim
n→+∞Sn, onde (Sn)
é a sequência das somas parciais da série do item (a), determine a forma
reduzida para Sn em função da sequência an e mostre que (an) também
é convergente, calculando inclusive seu limite.
Resposta: Basta ver que a sequência das somas parciais Sn =
z2 + z3 + ... + zn = an − a1, logo, an = Sn + a1 e como s = Limn→+∞Sn,
aplicano limite nesta última igualdade, segue que a sequência
an converge e Limn→+∞an = s+ a1.
2