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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro AP2 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2015-1 Nome: Matr´ıcula: Polo: Data: Atenc¸a˜o! • Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto, Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta; • E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas. • Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativa. ponsa´vel; Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas. Questa˜o 1 (2.0 pts) : Sabe-se que os pontos ( 2 3 , 1 ) e ( 3 , −2 5 ) pertencem a uma reta l. a) (1.5 pt) Encontre a equac¸a˜o da reta l. b) (0.5 pt) Esboce a reta l no plano cartesiano. Soluc¸a˜o: a) A equac¸a˜o de uma reta e´ da forma y = ax+ b. Como o ponto ( 2 3 , 1 ) pertence a` reta l, vamos substituir x = 2 3 e y = 1 em y = ax+ b. Desta forma, encontramos que 1 = a · 2 3 + b. Da mesma forma, como o ponto ( 3 , −2 5 ) tambe´m pertence a` reta l, vamos substituir x = 3 e y = −2 5 em y = ax+ b. Desta forma, encontramos que −2 5 = a · 3 + b. Temos assim que resolver o sistema a · 2 3 + b = 1 (1) a · 3 + b = −2 5 (2) Multiplicando a equac¸a˜o (2) por −1 e depois somando as duas equac¸o˜es, i.e. fazendo (1)-(2), temos a · 2 3 + b = 1 −a · 3− b = − ( −2 5 ) + ( 2 3 − 3 ) a = 1 + 2 5 Me´todos Determin´ısticos I AP2 2 Encontramos enta˜o que( 2 3 − 3 ) a = 1 + 2 5 ⇔ ( 2 3 − 9 3 ) a = 5 5 + 2 5 ⇔ −7 3 a = 7 5 ⇔ a = −7 5 · 3 7 ⇔ a = −3 5 . Substituindo agora a = −3 5 em (1), chegamos a −3 5 · 2 3 + b = 1 ⇔ −2 5 + b = 1 ⇔ b = 1 + 2 5 ⇔ b = 5 5 + 2 5 ⇔ b = 7 5 . Conclu´ımos portanto que a = −3 5 e b = 7 5 . Desta forma, a equac¸a˜o da reta l e´: y = −3 5 x+ 7 5 . b) Observe que uma vez encontrada a equac¸a˜o da reta l: y = −3 5 x+ 7 5 , voceˆ pode fazer seu esboc¸o no plano cartesiano encontrado as intersec¸o˜es com os eixos coordenados. Intersec¸a˜o com o eixo x: −3 5 x+ 7 5 = 0 ⇔ −3 5 x = −7 5 ⇔ x = −7 3 . Intersec¸a˜o com o eixo y: y = −3 5 .0 + 7 5 ⇔ y = 7 5 . Entretanto, uma outra opc¸a˜o, ate´ mais imediata, seria marcar os pontos ( 2 3 , 1 ) e ( 3 , −2 5 ) no plano cartesiano e liga´-los. Esboc¸o da reta y = −3 5 x+ 7 5 . Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP2 3 2 3 3 x - 2 5 1 y Questa˜o 2 (2.0 pt) : O nu´mero p de barris de petro´leo produzidos em um certo per´ıodo varia de acordo com a seguinte desigualdade |p− 2.250.000| ≤ 125.000. Resolva esta inequac¸a˜o e determine os valores de p que representam a menor e a maior produc¸a˜o verificadas no per´ıodo considerado. Soluc¸a˜o: Para resolver a inequac¸a˜o |p− 2.250.000| ≤ 125.000, vamos utilizar que: |y| ≤ a ⇔ −a ≤ y ≤ a, para todo y, a ∈ R. Desta forma, tomando y = p− 2.250.000 e a = 125.000. Temos enta˜o, que |p− 2.250.000| ≤ 125.000 ⇔ −125.000 ≤ p− 2.250.000 ≤ 125.000 ⇔ −125.000 + 2.250.000 ≤ p ≤ 125.000 + 2.250.000 ⇔ 2.125.000 ≤ p ≤ 2.375.000 Conclusa˜o: |p− 2.250.000| ≤ 125.000 ⇔ 2.125.000 ≤ p ≤ 2.375.000. Desta forma, a produc¸a˜o mais baixa e´ de 2.125.000 barris de petro´leo e a produc¸a˜o mais alta e´ de 2.375.000 barris de petro´leo. Questa˜o 3 (2.2 pts) : Considere a func¸a˜o P dada abaixo. P(x) = √ −x2 + 16x− 55. a) (1.5 pt) Determine, na forma de intervalo, o dom´ınio da func¸a˜o P . b) (0.7 pt) Determine, na forma de intervalo, para que valores de x ∈ Dom(P), temos que (P(x))2 ≥ −x|x|+ 57. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP2 4 Soluc¸a˜o: a) Como a func¸a˜o P e´ definida a partir de uma raiz quadrada, seu radicando deve ser maior ou igual a zero, i.e. devemos ter −x2 + 16x− 55 ≥ 0. −x2 + 16x− 55 ≥ 0 ⇐⇒ x2 − 16x+ 55 ≤ 0 ⇐⇒ x2 − 16x+ 55 ≤ 0 ⇐⇒ 5 ≤ x ≤ 11. Portanto, chamando de Dom(P) o dom´ınio da func¸a˜o P , temos que Dom(P) = {x ∈ R | 5 ≤ x ≤ 11} = [5, 11]. b) Observe que (P(x))2 = −x2 + 16x− 55, x ∈ [5, 11]. Para determinar os valores de x ∈ [5, 11] que satisfazem a desigualdade (P(x))2 ≥ −x|x|+ 57, devemos, portanto, resolver a inequac¸a˜o −x2 + 16x− 55 ≥ −x|x|+ 57, x ∈ [5, 11]. Uma vez que x ∈ [5, 11], temos que |x| = x. Desta forma, (P(x))2 ≥ −x|x|+ 57, x ∈ [5, 11] ⇐⇒ −x2 + 16x− 55 ≥ −x2 + 57, x ∈ [5, 11] −x2 + 16x− 55 ≥ −x|x|+ 57, x ∈ [5, 11] ⇐⇒ −x2 + 16x− 55 ≥ −x2 + 57, x ∈ [5, 11] 16x ≥ 57 + 55, x ∈ [5, 11] ⇐⇒ 16x ≥ 112, x ∈ [5, 11] x ≥ 112 16 , x ∈ [5, 11] ⇐⇒ x ≥ 7, x ∈ [5, 11] ⇐⇒ x ∈ [7,∞) ∩ x ∈ [5, 11] ⇐⇒ x ∈ [7, 11] Temos assim, que (P(x))2 ≥ −x|x|+ 57 se x ∈ [7, 11]. Questa˜o 4 (3.8 pts) : Considere que as func¸o˜es de demanda e de oferta de um determinado produto sa˜o dadas, respectivamente, por D(P ) = −P 2 + 16P − 15 e Q(P ) = 4P + 5, 3 ≤ P ≤ 15 onde P e´ o prec¸o do produto em reais e D e Q sa˜o a demanda e a oferta, respectivamente, por unidades de medida. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP2 5 a) (0.5 pt) Qual a demanda pelo produto quando seu prec¸o for R$1,20? b) (0.8 pt) Determine o prec¸o do produto para o qual a demanda e´ ma´xima? Qual e´ este valor ma´ximo da demanda? c) (1.0 pt) Qual e´ o prec¸o de equil´ıbrio para este produto? Quais sa˜o os valores da demanda e da oferta referentes a este prec¸o? d) (1.5 pt) Num mesmo sistema de eixos coordenados, esboce os gra´ficos das curvas de demanda e de oferta deste produto, marcando os pontos encontrados nos itens anteriores (b) e (c). Soluc¸a˜o: a) Vamos substituir P = 1, 2 na func¸a˜o demanda, D. Neste caso, temos que D(1, 2) = −(1, 2)2 + 16.(1, 2)− 15 = 2, 76 = −1, 44 + 19, 2− 15 = 2, 76 Resposta: 2,76 unidades de medida. b) O gra´fico da func¸a˜o demanda, D, e´ a para´bola y = −P 2+16P − 15. Observe que esta para´bola possui concavidade voltada para baixo, pois a = −1 < 0. Desta forma, a demanda e´ ma´xima no ve´rtice da para´bola. O prec¸o pedido e´ portanto o P do ve´rtice, que chamaremos de Pv. Temos assim que Pv = − b 2a = − 16−2 = 8. Por outro lado, o valor ma´ximo da demanda, D, e´ o y do ve´rtice, que chamaremos de yv. Temos assim que yv = −∆ 4a = −(16) 2 − 4.15 4 = −256 60 = 196 4 = 49. Desta forma, temos que a demanda ma´xima e´ de 49 unidades de medida e ela ocorre quando o prec¸o do produto e´ de R$8,00. c) Para encontrar o prec¸o de equil´ıbrio, vamos igualar as func¸o˜es demanda, D, e oferta, Q. −P 2 + 16P − 15 = 4P + 5 ⇔ −P 2 + 16P − 15− P − 5 = 0⇔ −P 2 + 12P − 20 = 0 ⇔ P 2 − 12P + 20 = 0⇔ P = 12± √ (12)2 − 4.20 2 ⇔ P = 12± √ 144− 80 2 ⇔ P = 12± √ 64 2 ⇔ P = 12± 8 2 ⇔ P = 2 ou P = 10. Como 3 ≤ P ≤ 15, devemos descartar P = 2 e ficar apenas com P = 10. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP2 6 Quando P = 10, temos que D(10) = P(10) = 4 · 10 + 5 = 45. Resposta: O prec¸o de equil´ıbrio para este produto e´ de R$10,00. E a demanda e a oferta e´ de 45 unidades de medida para este prec¸o. d) Gra´ficos: D QV HvérticeL 3 8 10 15 x 13 45 49 y Boa Prova! Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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