Aula 7 - Levantamentos planimétricos- parte 2

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Levantamentos 
planimétricos – Parte 2
Universidade Federal do Amazonas
Disciplina: Topografia
Professora: Michell da Silva Barros
1
Tipos de levantamento planimétrico
Levantamento
Caminhamento
(Poligonação)
Bússola
Ângulos de 
deflexão
Ângulos 
horários
Internos
Externos
Irradiação
Triangulação
Interseção
Bússola
 Trata-se de um método de levantamento de pouca
precisão, normalmente empregado em trabalhos de
reconhecimento ou servindo de apoio para trabalhos
futuros de maior precisão.
 As determinações efetuadas com bússolas estão
sujeitas a interferências externas como proximidade
de linhas de alta tensão, cercas de arame, massas de
minerais magnéticos no subsolo, etc. Daí a
necessidade de se ter o máximo de cuidado quando
se executa um levantamento a bússola.
Bússola
 Consiste o método em se caminhar por todo o
contorno da área a ser levantada, medindo-se os
rumos ou azimutes dos alinhamentos, conforme a
bússola tenha o limbo graduado em quadrantes ou
de 0 a 360°.
Bússola
Os comprimentos dos
alinhamentos são medidos
com o emprego de uma
trena, por exemplo, sendo
todos os dados anotados
em cadernetas próprias.
Ângulos de deflexão
 Ângulo de Deflexão é o ângulo formado entre o 
prolongamento do alinhamento (de ré) e o 
alinhamento seguinte (de vante).
 O angulo de deflexão é medido para a direita ou 
para a esquerda e varia de 0º a 180º.
 Costuma-se representar as deflexões direita e 
esquerda usando as letras “D” e “E”, 
respectivamente.
Ângulos horários - interno
SOMATÓRIA DOS ÂNGULOS INTERNOS
(CAMINHAMENTO SENTIDO ANTI-HORÁRIO)
Ângulos horários - externo
SOMATÓRIA DOS ÂNGULOS EXTERNOS
(CAMINHAMENTO SENTIDO HORÁRIO).
Irradiação
 Segundo ESPARTEL (1977), o Método da Irradiação
também é conhecido como método da
Decomposição em Triângulos ou das Coordenadas
Polares. É empregado na avaliação de pequenas
superfícies relativamente planas.
Uma vez demarcado o contorno da superfície a
ser levantada, o método consiste em localizar,
estrategicamente, um ponto (P), dentro ou fora da
superfície demarcada, e de onde possam ser
avistados todos os demais pontos que a definem.
Irradiação
Assim, deste ponto (P) são medidas as distâncias
aos pontos definidores da referida superfície, bem
como, os ângulos horizontais entre os alinhamentos
que possuem (P) como vértice. A medida das
distâncias poderá ser realizada através de método
direto, indireto ou eletrônico e a medida dos
ângulos poderá ser realizada através do emprego
de teodolitos óticos ou eletrônicos.
Irradiação
De cada triângulo (cujo
vértice principal é P) são
conhecidos dois lados e
um ângulo. As demais
distâncias e ângulos
necessários à
determinação da superfície
em questão são
determinados por relações
trigonométricas.
Triangulação
Nesse processo, aplicado para pequenas áreas,
decompomos a figura em triângulos, medindo
com trena e balisa todas as distâncias.
 A área de cada triângulo é calculada pela
fórmula do semi-perímetro.
Interseção
 Segundo ESPARTEL (1977), o Método da Interseção
também é conhecido como método das Coordenadas
Bipolares. É empregado na avaliação de pequenas
superfícies de relevo acidentado.
Uma vez demarcado o contorno da superfície a ser
levantada, o método consiste em localizar,
estrategicamente, dois pontos (P) e (Q), dentro ou fora
da superfície demarcada, e de onde possam ser
avistados todos os demais pontos que a definem. Assim,
mede-se a distância horizontal entre os pontos (P) e (Q),
que constituirão uma base de referência, bem como,
todos os ângulos horizontais formados entre a base e os
demais pontos demarcados.
Interseção
A medida da distância poderá ser realizada através de 
método direto, indireto ou eletrônico e a medida dos 
ângulos poderá ser realizada através do emprego de 
teodolitos óticos ou eletrônicos. 
Interseção
De cada triângulo são
conhecidos dois ângulos e
um lado (base definida por
PQ). As demais distâncias e
ângulos necessários à
determinação da superfície
em questão são
determinados por relações
trigonométricas.
Limite de tolerância do erro linear
Determinar o erro angular cometido torna-se
necessário verificar se este erro encontra-se dentro
dos limites de tolerância aceitáveis.
O limite aceitável é função do grau de precisão do
taqueômetro e é dado pela expressão: T = a n ;
onde “a” é a menor divisão do limbo que se pode
ler diretamente ( sem estimar); “n” é o número de
vértices da poligonal e “T” é a tolerância para o
erro angular expressa na mesma unidade de “a”.
Referências17
BORGES, A. C. Topografia. 3°ed. Rio de
Janeiro. Edgar Blücher, 1998;
ESPARTEL, L. Curso de topografia. 9°ed. Rio
de Janeiro. Globo, 1987;
MACCOMARC, J. Topografia. Rio de
Janeiro. Editora LTC, 2007.
Cálculo Analítico e 
poligonal
Universidade Federal do Amazonas
Disciplina: Topografia
Professora: Michell da Silva Barros
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Planilha de cálculo da poligonal - I
V
É
R
TI
C
E
S
ESTACAS (E)
Elementos Ângulares
Distâncias 
medidas
FUNÇÕES ANGULARES DOS 
RUMOS
Ângulos internos Azimutes 
calculados
Rumos ( R )
Lidos Compensados
A.i.i. A.i.c. (Az) Q Ângulos (I) Senos Cossenos
I II III IV V VI VII VIII IX
1
2
3
4
5
SOMAS:
VERIFICAÇÕES
ERRO ANGULAR TOTAL: εt= 
ERRO POR ÂNGULO: ε = εt/n=
(ΣI)
ERROS LINEAR 
TOTAL: E = 
Por Km: e = E/ΣI
Distribuição:
Roteiro de Cálculo -I
 Dados de campo e escritório:
 I – Vértices ou estações do instrumento;
 II – Se for feito estaqueamento;
 III e IV – 𝐴𝑖 = 180° × 𝑛 − 2
- Erro angular tolerável = 𝜀𝑡 = 𝜀 𝑛
- Distribuição do erro feita em cada ângulo lido, pode ser positiva ou 
negativa
Roteiro de Cálculo -I
 V - 𝐴𝑧𝑛 = 𝐴𝑧𝑛−1 ± 𝐴𝑖 ± 180°
- + Ai  caminhamento a direita (sentido anti-horário)
- - Ai  caminhamento a esquerda (sentido horário)
- 𝐴𝑧𝑛−1 ± 𝐴𝑖 < 180° soma-se 180°
- 𝐴𝑧𝑛−1 ± 𝐴𝑖 > 180° subtrai-se 180°
Pode ser feito com a utilização dos ângulos deflexionários, como já foi visto.
Roteiro de Cálculo -I
 VI – Conversão de Azimute em rumo, deve se atentar ao quadrante;
 VII – Distâncias e comprimentos medidos em campo (utilização de trena, mira 
falante...)
 VIII e IX – Seno e Cosseno dos ângulos dos Rumos (< 90°)
Planilha de cálculo da poligonal - II
PROJEÇÕES DIRETAS
CORREÇÕES PROJEÇÕES COMPENSADASSobre o eixo X Sobre o eixo Y
(x'= l.sen R) (y'= l.cos R) eixo X (x) Eixo Y (y)
E(+) W(-) N(+) S(-) Cx Cy E (+); W (-) N (+); S (-)
X XI XII XIII XIV XV XVI XVII
e'= Σx/ΣI e"= Σy/ΣI 
Roteiro de Cálculo -II
 Projeções naturais e compensadas
 X e XI – As projeções diretas ou naturais dos alinhamentos sobre os eixos X e Y são 
obtidas pelo produto dos senos e cossenos dos ângulos dos rumos pela extensão dos 
lados:
𝑥′ = 𝑙 × sin𝑅
𝑦′ = 𝑙 × cos𝑅
E e N – positivo
W e S – negativo
 ±𝑥′ = 0
 ±𝑦′ = 0 Na teoria
Roteiro de Cálculo -II
 ±𝑥′ = ±∆𝑥
 ±𝑦′ = ±∆𝑦
 XIV a XVII - Erro de fechamento do perímetro 
 𝐸 = 𝑥′2 + 𝑦′² Erro tolerável
 Distribuição do erro (correções)
 𝐶𝑥 =
 𝑥
 𝑙
. 𝑙 ±𝑥 = ±𝑥′ − ±𝐶𝑥
 𝐶𝑥 =
 𝑦
 𝑙
. 𝑙 ±𝑦 = ±𝑦′ − ±𝐶𝑦
Na prática
Planilha de cálculo da poligonal - III
COORDENADAS
SOMADAS:
ÁREAS DUPLASAbcissas Ordenadas
Abcissas Ordenadas ΣX ΣY ΣX . (y) ΣY . (x)
X Y (Xn + Xn + 1) (Yn + Yn + 1) A SOMAR (+) e A SUBTRAIR (-)
XVIII XIX XX XXI XXII XXIII
Roteiro de Cálculo -III
 Coordenadas e área a Poligonal
 XVIII e XIX – As abcissas e ordenadas de cada vértice são obtidas pela soma 
algébrica sucessiva das projeções dos alinhamentos.
- As coordenadas o segundo vértice são iguais as projeções do primeiro 
alinhamento.
- 𝑋𝑛 = 𝑥𝑛−1 + 𝑥𝑛
- 𝑌𝑛 = 𝑦𝑛−1 + 𝑦𝑛
- As coordenadas do último vértice devem ser iguais e de sinais contrários às 
projeções do último lado.
Terceiro, 
quarto 
vértice...
Roteiro de Cálculo -III
 Fórmula geral das áreas
 𝑆 =
1
2
𝑋𝑜 + 𝑋1 𝑦1 + 𝑋1 + 𝑋2 𝑦2 …
 𝑆 =
1
2
𝑌𝑜 + 𝑌1 𝑥1 + 𝑌1 + 𝑌2 𝑥2 …
 Os valores entre parênteses são os dados pelas colunas XX e XXI e os 
multiplicadores pelas colunas XVI e XVII.
 A soma as colunas XXII e XXIII devem ser iguais em valor mas de sinais opostos. A 
metade de uma das somas dá o valor da área.