PLANO DE AULA - Matemática

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PLANO DE AULA
	SOBRE: Razões trigonométricas no triângulo retângulo
	DURAÇÃO: 03hs aula 
	PROFESSORA: Lucilha Antônia De Souza Oliveira
	SÉRIE: 9º ANO
	PROCEDIMENTO: Iniciar a aula com algumas perguntas, para despertar o interesse dos alunos no novo conteúdo, depois prosseguir com as definições.
	INTRODUÇÃO:
	O objetivo desde plano de aula é apresentar uma abordagem complementar para
o ensino da trigonometria no triângulo retângulo, em que se pretende introduzir os conceitos das razões trigonométricas, seno, cosseno e tangente de maneira significativa.
Assim, será apresentado fatores importante para a construção do ensino aprendizado, contando com a colaboração dos alunos do 1º ano do ensino médio onde será apresentado o conteúdo a partir de situações problemas, contextualização e manipulação de modelos de instrumentos adequados para os cálculos apresentados.
 A falta do reconhecimento da matéria como uma atividade presente em nosso cotidiano desestimula o aprendizado 
	DESENVOLVIMENTO:
	O plano de aula está dividido em três partes, sendo cada aula contendo dois tempos de 50 minutos.
Na primeira aula, será apresentado as definições e alguns exemplos.
Na segunda aula, será apresentado exemplos do cotidiano para que possam compreender melhor a matéria. 
Na terceira aula será feito um trabalho de campo, utilizando o teodolito caseiro como objeto de estudo.
	CONTEÚDOS APLICADOS:
	Introdução: 
Origem da Trigonometria
Seno, Cosseno e Tangente
Relações entre seno, cosseno e tangente
Razões trigonométricas (30º, 45º e 60º).
Construção da tabela de razões trigonométricas (30º, 45º e 60º).
Relações trigonométricas no triângulo qualquer:
lei dos senos, lei dos cossenos.
	PRÉ REQUISITOS:
	Triângulo retângulo (hipotenusa e catetos)
Critérios de semelhança de triângulos
Matemática do ensino fundamental
	OBJETIVOS:
	Interpretar situações que envolvam o uso das relações trigonométricas.
Calcular medidas desconhecidas utilizando as relações.
Identificar e usar corretamente as relações utilizando as relações.
Resolver situações problemas envolvendo as relações trigonométricas 
Recursos didáticos-pedagógicos:
Aulas expositivas e demonstrativas.
Uso de material auxiliar: Régua, esquadro, transferidor, calculadora científica.
Régua, esquadro e transferidor serão utilizados na construção das figuras no quadro negro, através das quais será analisado o cálculo a ser utilizado.
Calculadora auxiliará nos cálculos de seno, cosseno e tangente de ângulos.
Quadro negro e giz.
	AVALIAÇÃO
	Atividades em sala.
Listas de exercícios envolvendo aplicações da trigonometria no cotidiano.
Durante as aulas observando o interesse e a participação do aluno.
Os alunos irão abordar as aplicações da trigonometria através de exercícios,
Cartazes, desenhos geométricos, situações problema. 
	1ª AULA CONTEÚDOS APLICADOS:
Duração: 2 aulas de 50minutos cada.
Tema: Relações Métricas
Procedimento:
Iniciar a aula com algumas perguntas, para despertar o interesse dos alunos no novo conteúdo, depois prosseguir com as definições.
introdução 
As Funções trigonométricas básicas são relações entre as medidas dos lados do triângulo retângulo e seus ângulos. As três funções básicas mais importantes da trigonometria são: seno, cosseno e tangente. As relações trigonométricas são resultado da divisão entre as medidas de dois lados de um triângulo retângulo, e por isso são chamadas de razões trigonométricas.
 Algumas aplicações da trigonometria são: 
O Teorema de Pitágoras define que a relação em um triângulo ABC, com ângulo reto em C, vale a seguinte relação: (AB)² = (AC)² + (BC)². Em outras palavras, Pitágoras descobriu que o quadrado da medida da hipotenusa é igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos.
Considere o triângulo retângulo:
Considere o triângulo retângulo:
Teorema de Pitágoras
Teorema de Pitágoras 
Vamos chamar os lados AB de a, BC de b e AC de c, então:
a² = b² + c²
Onde a é a hipotenusa, b é cateto oposto e c o cateto adjacente.
 Geometria Euclidiana
Euclides definiu alguns conceitos que são usados no estudo da trigonometria aplicada no triângulo.
Lei dos Senos
A Lei dos Senos serve para relacionar o seno do ângulo de um triângulo qualquer com o lado oposto a este ângulo.
Exemplo:
Considere o triângulo ABC abaixo, inscrito na circunferência, com lados a, b e c: :
Lei dos senos
 A lei dos senos é dada pela seguinte fórmula: 
 A fórmula diz que a razão entre um lado qualquer do triângulo e o seno do ângulo oposto ao lado, é igual a 2 vezes o tamanho do raio da circunferência.
Lei dos Cossenos
Exemplo:
Considere o triângulo ABC abaixo, inscrito na circunferência, com lados a, b e c: A fórmula diz que a razão entre um lado qualquer do triângulo e o seno do ângulo oposto ao lado, é igual a 2 vezes o tamanho do raio da circunferência.
Lei dos Cossenos
A Lei dos Cossenos diz que podemos encontrar a medida de um lado somando os lados opostos a ele e subtraindo pelo dobro do produto entre os lados opostos e o cosseno do ângulo, também, dos lados oposto
Considere o triângulo ABC abaixo, inscrito na circunferência, com lados a b e c: 
 A lei dos cossenos é dada pela seguinte fórmula: 
 A fórmula diz que podemos encontrar a medida de um lado ao quadrado, pela soma dos lados opostos também ao quadrado, subtraindo da soma dos lados opostos e o produto entre a medidas dos lados e o cosseno do ângulo oposto ao lado que queremos encontrar.
Lei das Tangentes
A Lei das Tangentes diz que é equivalente os comprimentos de um triângulo não isósceles com a tangente dos ângulos opostos a esses lados.
Exemplo:
Considere o triângulo ABC abaixo, inscrito na circunferência, com lados a, b e c: 
 :
A lei dos tangentes é dada pela seguinte fórmula: 
 
Nomeando as Razões Trigonométricas 
 Seno de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto a ele e a hipotenusa:
 Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre o cateto adjacente a ele e a hipotenusa 
 
Tangente de um ângulo agudo é a razão entre os catetos oposto e adjacente a ele:
 Cotangente de um ângulo agudo é a razão entre os catetos adjacente e oposto a ele:
 SENO, COSSENO E TANGENTE DOS ÂNGULOS DE 30º, 45 E 60º Esses ângulos são muito frequentes e por isso formam uma tabela bem mais simples que quando decorada, ajuda muito na resolução dos exercícios 
 
2º aula
 Duração: 2 aulas de 50minutos cada.
Tema: aplicações das razões trigonométricas
Local : sala de aula
2.1 APLICAÇÕES DAS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
Exemplo 1 
A trigonometria possui inúmeras aplicações nos diversos ramos da ciência, sendo considerada uma importante aliada do mundo moderno. 
Observe os exemplos a seguir: 
Exemplo 1 
Ao decolar, um avião sobe formando um ângulo de 30º com a pista (horizontal). Na direção do percurso existe uma torre de transmissão de energia elétrica situada a 3km do aeroporto e com altura igual a 150 metros. Verifique se, mantendo o trajeto, o avião pode colidir com a torre. Esquema da situação: 
Usaremos a relação da tangente
O avião não irá colidir com a torre, pois essa possui 150 metros enquanto o avião estará a uma altura de 1700 metros. 
Exemplo 2 
Do ponto A uma pessoa observa o topo de uma torre sob um ângulo de 60º. Determine a altura da torre, sabendo que a pessoa está a 20 metros dela.
A torre tem 34 metros de altura.
Exemplo 3 
Uma inclinação tem 40 metros de comprimento e forma com o plano horizontal um ângulo de 30º. A que altura está situado o ponto mais alto da inclinação?
 O ponto mais alto da inclinação está situado a 20 metros do solo Atividade em sala
 A rua Tenório Quadros e a avenida Teófilo Silva, ambas retilíneas, cruzam-se conforme um ângulo de 30º. O posto de gasolina Estrela do Sul encontra-se na avenida Teófilo Silva a 4 000 m do citado cruzamento. Sabendo que o percurso do posto Estrela do Sul até a rua Tenório quadros forma um ângulo de 90° no ponto de encontro do posto com a rua Teófilo Silva, determine em quilômetros,a distância entre o posto de gasolina Estrela do Sul e a rua Tenório Quadros? 
Temos tg que e o ângulo de 30º que na tabela a tangente de 30º=√3/3, temos o cateto adjacente que e 4000 m então o que temos que descobrir e o cateto oposto da hipotenusa igual a altura que será da seguinte forma
 
A distância em km e de 2,3km.
 Um avião decola, percorrendo uma trajetória retilínea, formando com o solo, um ângulo de 30º (suponha que a região sobrevoada pelo avião seja plana). Depois de percorrer 1 000 metros, qual a altura atingida pelo avião? 
Temos a hipotenusa =1000M e temos o Seno de 30º de um ângulo agudo cateto oposto da hipotenusa= e o seno de 30º=1/2 veja na tabela acima
A altura será de 500 metros.
 3º aula
Duração: 3 aulas de 50minutos cada.
Tema: aplicações das razões trigonométricas
Local: sala de informática e pátio da escola
 USO E CONSTRUÇÃO DO TEODOLITO
O projeto orientado pelo professor deve ser dividido em duas partes: uma parte teórica e outra prática. A teórica deverá abordar a história da trigonometria, quem inventou o Teodolito, como era o primeiro objeto, a utilização das medidas obtidas. 
abordará a construção do Teodolito caseiro e o seu manuseio.
1- Teórica
2-Pratica 
Abordará a construção do Teodolito caseiro e o seu manuseio.
Você já ouviu falar no teodolito?
Descrição
O Teodolito é um instrumento óptico de medição de posições relativas. É utilizado em topografia, navegação, meteorologia e na agrimensura para medir ângulos horizontais e verticais; em medições de grandes obras como, barragens, hidrelétricas, pontes, medição industrial, exploração de minérios, além de ser aplicado em levantamentos topográficos e geodésicos.
 Em 1720, Jonathan Sisson construiu o primeiro teodolito contendo quatro parafusos niveladores
Atividade para ser dada aos alunos:
a) Você tem alguma sugestão para calcular a altura de uma árvore utilizando um teodolito
e uma trena? Veja quais são as ideias de seus colegas e tentem chegar a uma conclusão.
Registre a conclusão e discuta as ideias surgidas.
b). Perceba que podemos considerar o triângulo retângulo, pois é
razoável considerar que a árvore faz um ângulo reto com o plano horizontal
 indicando o ângulo de 30º. Esse ângulo pode ser obtido com o auxílio
de um teodolito.
Conhecendo a medida de AB, você acha que é
possível determinar a altura da árvore? Como?
Discuta com seus colegas e registre.
NA PRATICA
 Construção do Teodolito Caseiro 
ORIENTAÇAO
Para construção do teodolito caseiro realizamos várias pesquisas em torno de como
iriam construi-lo para o trabalho de campo Façam uma relação do material e apresente à turma para as devidas providências.
 Coloque uma caixa no canto da sala ou do laboratório de Matemática e recolha o material trazido pelos alunos.
Para a construção do teodolito, - 
Pote redondo com tampa (tipo tronco de cone).
- Canudo oco em formato cilíndrico reto ou tubo de antena de TV (20 cm).
- Dois pedaços de placa de isopor grosso de 20 cm X 20 cm ou pedaços de tábuas com
as mesmas dimensões (neste caso será necessário pregos e martelo).
- Pedaço de arame de comprimento maior que o dobro do diâmetro da tampa do pote.
- Cola de isopor.
Enquanto os alunos trazem o material providencie fita crepe, fotocópias de um transferidor
de 360º e uma tabela das razões trigonométricas de ângulos de 1 a 89º. 
Terminada a parte teórica reserve o laboratório de matemática ou organize a sala
2.3. MONTANDO O TEODOLITO
- Cole as placas de isopor em forma de L.
- Recorte o transferidor e cole no isopor.
- Fure a parte superior do pote, e coloque um pedaço de arame paralelo ao seu diâmetro,
deixando sobras igualmente dos dois lados.
- Fixe o canudo paralelamente ao arame em cima do pote.
- Cole a tampa do pote no meio do transferidor e encaixe a outra parte4 
COMO SE USA O TEODOLITO
Posicione o teodolito caseiro de modo que a sua base fique perpendicular ao objeto
que vai observar, por exemplo, um ponto da intersecção entre uma das paredes da
sala e o seu teto.
Discuta com os alunos sobre as distâncias que podem ser medidas utilizando uma
trena e as que requerem escada, por exemplo (inacessíveis).
Através do canudo, sugira aos alunos que mirem o pico do objeto (o ponto mais alto),
assim o arame marcará um ângulo no transferidor e a leitura será realizada.
Proponha aos alunos que com esse ângulo use os seus conhecimentos de
Trigonometria para medir a altura inacessível.
 Mostre aos alunos que a situação pode ser representada por uma figura como a que
aparece abaixo:
- A altura inacessível, representada pela letra h, sem desprezar a altura x do suporte
(Base) do teodolito.
- A distância do observador até a linha vertical que passa pelo ponto mais alto,
Representada por r.
- A hipotenusa (p) do triângulo retângulo.
- O ângulo a obtido no Teodolito.
Leve os alunos para o pátio da escola para que possam fazer um trabalho de
campo com o Teodolito.
Proponha que cada grupo formado por 4 alunos no máximo, encontre monumentos
que possam ser calculados e apresente esses cálculos em uma cartolina para ser
exposto no colégio
Referências Bibliográficas
FILHO, Benigno Barreto; SILVA, Claúdio Xavier da- Matemática Aula por Aula- 1º ano do
Ensino Médio – Editora FTD-1º edição-2003
 SILVA, Marcos Noé Pedro da.	"Lei dos senos"; Brasil Escola. Disponível em <https://brasilescola.uol.com.br/matematica/lei-dos-senos.htm>. Acesso em 29 de marco de 2019.