Matemática - 9° Ano - Caderno 3

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Ensino 
Fundamental
3
caderno
ano
9
MATEMÁTICA
PROFESSOR
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Geometria
 Ponto de partida, 3
Relações métricas no triângulo retângulo 
e na circunferência, 4
1. Introdução, 4
2. Elementos de um triângulo retângulo, 5
3. Teorema ou relação de Pitágoras, 5
4. Outras relações métricas importantes no triângulo 
retângulo, 12
5. Aplicações importantes do teorema de Pitágoras, 16
6. Triângulo inscrito em uma semicircunferência, 20
7. Outras situações que envolvem as relações métricas 
no triângulo retângulo, 21
8. Classificação dos triângulos quanto aos ângulos 
conhecendo-se as medidas de seus três lados, 25
9. Relações métricas na circunferência, 28
 Ponto de chegada, 39
Matemática
Luiz Roberto Dante
2133719 (PR)
1
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Partenon, Atenas, Grécia. Foto de 2014.
2
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 Ponto de partida
Sob a orientação do professor, converse com seus colegas e faça
 o que se pede.
1. Descreva o selo acima, especialmente as figuras geométricas.
2. A relação de Pitágoras diz: “Em todo triângulo retângulo, o 
quadrado da medida do lado maior é igual à soma dos quadrados 
das medidas dos outros dois lados”. Verifique se isso ocorre com 
o triângulo central do selo.
3. O Partenon assenta-se sobre três patamares de mármore que 
outrora formavam uma escada que os gregos usavam para entrar 
no templo; hoje, ela está quase totalmente destruída. Uma medida 
interessante para os degraus de uma escada é a razão entre a 
altura (medida vertical) e o comprimento do passo que a pessoa dá 
(medida horizontal). Considere duas escadas, com razões 1
2
 e 1
3
respectivamente. Qual delas é mais íngreme? 
MÓDULO
Geometria
Importantes estudos de Geometria foram feitos por povos da 
Antiguidade e aplicados em agrimensura, astronomia e magníficas 
obras de arquitetura, como o Partenon, da 
fotografia ao lado. Trata-se de um templo 
dedicado à deusa grega Atena e foi 
construído no século V a.C., na acrópole 
(colina mais alta) da cidade de Atenas, na 
Grécia. Os gregos são considerados os 
pais da Geometria e, entre seus maiores 
matemáticos, está Pitágoras de Samos 
(c. 570 a.C.-c. 495 a.C.), que estudou uma 
interessante regularidade sobre as 
medidas dos lados de um triângulo 
retângulo.
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A
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Selo publicado na Grécia em 1955 
em homenagem a Pitágoras. 
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S
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Relações métricas 
no triângulo 
retângulo e na 
circunferência
1 Introdução
Você já ouviu falar dos “harpedonaptas” ou “estiradores de corda” do antigo Egito?
Leia a história.
Conta-se que os estiradores de cordas, que demarcavam as terras após 
as enchentes do rio Nilo, utilizavam uma corda de 12 nós, com a mesma 
distância entre cada nó, para obter ângulos retos. Eles montavam um 
triângulo com vértices em três dos nós como mostra a figura a seguir:
O triângulo a
ssim 
obtido poss
ui lados 
com 3, 4 e 5
 unidades de
 
medida de co
mprimento e
 é 
um triângulo
 retângulo, p
ois um 
de seus ângu
los internos
 mede 90°.
O procedime
nto para obt
er cantos re
tos 
já era conhec
ido pelos ant
igos “estirad
ores 
de corda” há
 aproximada
mente 5 mil
 anos!
Esse método engenhoso é baseado em uma relação importante, válida para 
todos os triângulos retângulos, conhecida como relação de Pitágoras.
Se as medidas dos lados de um triângulo retângulo são a, b e c, em que a é a maior 
das três, então vale a relação:
a2 5 b2 1 c2
Neste módulo, você vai retomar essa relação métrica e vai conhecer outras, al-
gumas válidas para os triângulos retângulos e algumas para as circunferências.
M
a
u
ro
 S
o
u
za
/A
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 d
a
 e
d
it
o
ra
a
b
c
Comente com os alunos que os 
“estiradores de corda” usavam 
a recíproca da relação de 
Pitágoras: como 52 5 32 1 42, 
então o triângulo é retângulo e 
o ângulo reto é formado pelos 
lados de medidas 3 e 4.
4
 Objetivos:
• Conhecer e demonstrar as 
principais rela•›es mŽtricas 
no tri‰ngulo ret‰ngulo. 
• Estudar o teorema de 
Pit‡goras e explorar suas 
aplica•›es.
• Identificar e demonstrar as 
principais rela•›es mŽtricas 
na circunfer•ncia.
Geometria
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2 Elementos de um 
triângulo retângulo
O tri‰ngulo ABC da figura abaixo representa um tri‰ngulo ret‰ngulo em A Â Ž reto( ), 
no qual:
• o lado ,BC oposto ao ‰ngulo Â, Ž a hipotenusa (Òo que foi esticado contraÓ); 
representamos sua medida por a;
• os lados AC e ,AB opostos respectivamente aos ‰ngulos B$ e µ ,C s‹o os catetos; 
representamos suas respectivas medidas por b e c.
• h: medida da altura relativa ˆ hipotenusa;
• m: medida da proje•‹o do cateto AB sobre a hipotenusa;
• n: medida da proje•‹o do cateto AC sobre a hipotenusa.
3 Teorema ou relação 
de Pitágoras
Vamos exemplificar a rela•‹o de Pit‡goras, que voc• j‡ estudou, para o caso 
particular do tri‰ngulo cujos lados medem 3, 4 e 5 unidades de medida de com-
primento:
A
B Ca
b
c
hipotenusa
cateto
ca
te
to
A
B H Ca
nm
b
h
c
Ao tra•armos a altura 
AH relativa ˆ hipotenusa, 
indicamos conforme 
mostrado abaixo.
Trabalhe com os alunos a ideia de proje•‹o de ponto e de 
segmento de reta sobre uma reta ou sobre um segmento de reta.
P9
r
P
A9
rA
B9
B
A9
r
B9
BA
Comente com os alunos que a, b e c devem estar na mesma 
unidade de medida.
B
a 5 5
5 1
b 5 4
c 5 3
5
3
AC
a
b
4
c a2
b2
c2
25 5 16 1 9
a2 5 b2 1 c2
Geometria 5
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A
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Por volta de 2000 a.C. a 1 700 a.C., os babilônios já tinham conhecimento empíri-
co (ou seja, baseado na experiência) dessa relação. Eles se expressavam por enigmas. 
Por exemplo, uma tabuinha de argila continha o seguinte enigma:
Hoje esse enigma pode ser representado assim: x2 5 52 2 42 .
Embora egípcios e babilônios usassem empiricamente essa regra que envolve 
o 3, o 4 e o 5, não cogitaram sua generalização. Isso só ocorreu com os gregos no 
século VI a.C., quando chegaram à expressão geral a2 5 b2 1 c2, válida para qualquer 
triângulo retângulo.
Desse modo, a relação ou teorema de Pitágoras é enunciada assim:
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa (a) é igual à 
soma dos quadrados das medidas dos catetos (b e c):
a2 5 b2 1 c2
Demonstração do teorema
de Pitágoras
Na história da Matemática, muitas foram as demonstrações do teorema de 
Pitágoras. Vejamos uma delas, baseada na semelhança de triângulos.
Consideremos o seguinte triângulo ABC, retângulo em A, com a altura AH rela-
tiva à hipotenusa.
A
B H Ca
nm
b
hc Nele, temos: a 5 m 1 n 1
M
a
u
ro
 S
o
u
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/A
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M
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 e
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o
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Quatro é o comprimento e cinco, a diagonal. Qual é a 
largura? O seu tamanho não é conhecido. Quatro vezes 
quatro é dezesseis. Cinco vezes cinco é vinte e cinco. Você 
tira dezesseis de vinte e cinco e sobram nove. Qual número 
eu devo multiplicar para obter nove? Três vezes três é nove. 
Três é a largura.
 Você sabia?
Os babilônios eram um povo que 
habitava a Mesopotâmia, região 
entre os rios Tigre e Eufrates, onde 
hoje fica o Iraque.
Geometria6
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Vamos considerar os triângulos retângulos HBA e ABC.
Colocando esses dois triângulos na mesma posição, podemos perceber melhor 
os ângulos e os lados correspondentes (lados homólogos).
m
h
c
 a
b
c
m h
c 
Os dois triângulos têm um ângulo reto (são triângulos retângulos) e têm o ângu-
lo $B comum; logo, pelo caso AA de semelhança de triângulos, temos nABC , nHBA.
Se os triângulos são semelhantes, os lados homólogos têm medidas proporcio-
nais, o que nospermite escrever:
a
c
b
h
c
m
5 5
Dessas proporções, tiramos a relação: c2 5 am 2
Vamos, agora, considerar os triângulos ABC e HAC da figura inicial:
A
B Ca
b
c
H n
h
A
C
b
Esses dois triângulos têm um ângulo reto, e o ângulo µC é comum; portanto, são 
semelhantes: nABC , nHAC.
Como os lados homólogos são proporcionais, escrevemos as proporções e delas 
obtemos as relações:
a
b
b
n
c
h
5 5
E dessas relações obtemos: b2 5 an 3
Adicionando -se os dois membros das igualdades demonstradas, 3 e 2 , temos:
b2 5 an
c2 5 am
 b2 1 c2 5 an 1 am ⇒ b2 1 c2 5 a(n 1 m)
Como a 5 m 1 n 1 , temos:
b2 1 c2 5 a ? a ⇒ b2 1 c25 a2 
Essa é uma das demonstrações do teorema de Pitágoras, mas há muitas outras 
maneiras de prová -lo.
a
b
c
Peça aos alunos que utilizem a 
propriedade fundamental da 
proporção para obterem essas 
relações.
Geometria 7
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 1. Use o teorema de Pitágoras e determine o valor de x em cada triângulo retângulo. (Considere as medidas em cada triângulo na 
mesma unidade.)
 a ) 
x
12
5
 b ) 
x
2
3
 c ) 
x
22
10
 d ) 
x
6
x
 e ) 2x
x 1 9
x 1 3
 f ) 
x
17
26
 2. Um fio foi esticado do topo de um prédio até a base de outro, conforme 
indica a figura ao lado.
O valor mais próximo da medida do comprimento do fio é:
 a ) 34 m. 
 b ) 35 m.
 c ) X 36 m. 
 d ) 37 m.
Exercícios 
 Para construir:
 Exercícios 1 a 9 (p. 8 a 10)
x
2 5 122 1 52 ⇒ x2 5 144 1 25 ⇒ x2 5 169 ⇒ x 5 6 169 ⇒ x 5613 
(213 não serve)
Logo, x 5 13.
x 5 13
x 5 13
x 5 3 2
x 5 3 2
(x 1 9)2 5 (x 1 3)2 1 (2x)2 ⇒ x2 1 18x 1 81 5 x2 1 6x 1 9 1 4x2 ⇒
⇒ 4x2 2 12x 2 72 5 0 ⇒ x2 2 3x 2 18 5 0 ⇒
⇒ x9 5 6 e x0 5 23 (não serve)
Logo, x 5 6.
x 5 6
x 5 3
P
a
u
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 M
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n
zi
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a
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d
it
o
ra
x x x
2 2 2 230 20 1 300 1 300 36,055 1 5 5⇒ ⇒ .
Geometria8
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 3. Em um triângulo retângulo, a hipotenusa mede 3 5 cm e um dos catetos mede 3 cm a menos do que o outro. Qual é a área da 
região triangular correspondente?
 4. Determine a medida da diagonal de um retângulo que tem 10 cm de largura e 24 cm de comprimento.
 5. Use a relação de Pitágoras e determine o valor de x em cada item. Simplifique o radical obtido.
 a ) 3 m
3 m
3 m3 m
x
 b ) 5 m
5 m
5 m5 m
x
 c ) 7 mm
7 mm
7 mm7 mm
x
 d ) 
x
4 m
4 m
2
4 m
 e ) 
x
10 cm
10 cm10 cm
Discuta com seus colegas e comparem as dimensões de cada figura com o resultado final obtido.
Catetos: x e (x 2 3)
x2 1 (x 2 3)2 5 ( ) ⇒3 5
2
 2x2 2 6x 2 36 5 0 ⇒ x2 2 3x 2 18 5 0 ⇒ x9 5 6 e x0 5 23 (não serve)
Catetos: 6 e 3 (6 2 3)
Área: 
?6 3
2
 5 9 cm2
10
24
d
d2 5 102 1 242 ⇒ d 5 626 (226 não serve); 26 cm
x2 5 32 1 32 ⇒ x2 5 9 1 9 ⇒ x2 5 18 ⇒ x 5 18 5 ? 52 3 3 22 m
x2 5 52 11 52 ⇒ x2 5 50 ⇒ x 5 50 5 ? 52 5 5 22 m
x2 5 72 1 72 ⇒ x2 5 98 ⇒ x 5 98 5 ? 52 7 7 22 mm
x2 1 22 5 42 ⇒ x2 5 16 2 4 ⇒ x2 5 12 ⇒ x 5 12 5 ? 52 3 2 32 m
x2 1 52 5 102 ⇒ x2 5 100 2 25 ⇒ x2 5 75 ⇒ x 5 75 5 ? 53 5 5 32 m
Lembre-se: em 
um tri‰ngulo 
equil‡tero, a 
altura tambŽm 
Ž mediana.
Geometria 9
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 6. Um caminh‹o sobe uma rampa inclinada em rela•‹o ao plano horizontal. 
Se a rampa tem 30 m de comprimento e seu ponto mais alto est‡ a 5 m 
de altura, qual Ž a dist‰ncia do in’cio da rampa (A) atŽ o ponto B? Desenhe 
um modelo matem‡tico, calcule o que se pede e d• a resposta em metros 
e cent’metros.
 7. Calcule o per’metro e a medida da diagonal do ret‰ngulo que determina a regi‹o abaixo. Calcule tam-
bŽm a ‡rea da regi‹o retangular por ele determinada.
 8. Calcule a medida do lado BC e depois o per’metro, a ‡rea e as medidas das duas dia-
gonais da regi‹o plana determinada pelo trapŽzio ret‰ngulo da figura dada ao lado.
 9. Para ir de A atŽ C, h‡ dois caminhos: o caminho direto ou o que passa por B. Calcule a extens‹o 
de cada um. Qual deles Ž o mais longo? Aproximadamente quantos metros o caminho mais 
longo tem a mais do que o outro? Use calculadora para descobrir. 
x
30 m
5 m
A B
C
x2 1 52 5 302 ⇒ x2 5 900 2 25 ⇒ x2 5 875 (x . 0) ⇒ x 5 875 5 29,58
29,58 m ou 29 m e 58 cm
30 m
x
5 m
P P5 1 2 ? 1 5 1 5 52 12 2 3 2 2 3 2 3 4 3 2 3 6 3 ; 6 3 cm2
d2 5 ( ) ( )112 3
2 2 5 12 1 3 5 15 ⇒ d 5 15 ; d 5 15 cm
A 5 ? 5 512 3 36 6 ; A 5 cm2
d
12 cm
3 cm
BC � 2 6 cm; per’metro: 10 2 2 2 6 cm;
‡r
1 1( )
eea: 10 2 cm ; diagonal 17 cm;
diagonal
2 BD � 
AAC � 57 cm.
2 cm2
3 cm
7 cmD
A B
C4
x
22
Considerando BC 5 x:
x2 5 ( )2 2
2 1 42 5 8 1 16 5 24 ⇒ x 5 524 2 6
Per’metro: 3 1 2 2 1 7 1 2 6 5 10 1 12 2 2 6
çrea: ( )1 ?3 7 2 2
2
 5 10 2
Diagonal BD: y2 5 32 1 ( )2 2
2 5 17 ⇒ y 5 17 
Diagonal AC : z2 5 ( )2 2
2
1 72 5 8 1 49 5 57 ⇒ z 5 57
Caminho direto: x
x2 5 802 1 1202 ⇒ x2 5 20 800 ⇒ x 5 20 800 . 144,2 m
Caminho passando por B: 
200 m (80 1 120 5 200)
O caminho mais longo Ž o que passa por B: 
aproximadamente 55,8 m (200 2 144,2 5 55,8).
A
CB 120 m
80 m
Geometria10
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Outras demonstraç›es 
do teorema de Pitágoras
Examine mais algumas demonstra•›es do teorema 
de Pit‡goras:
1a) Vamos determinar a ‡rea da regi‹o limitada pelo trapŽzio 
abaixo de duas maneiras: pela f—rmula A 5 
( )
2
B b h1 ?
 
e pelo c‡lculo das ‡reas das tr•s regi›es triangulares.
 Esta demonstra•‹o Ž atribu’da a James Garfield (1831-
-1881), na Žpoca, congressista norte-americano e, mais 
tarde, 20o presidente dos Estados Unidos.
c
c
b
b
a
aII
III
I
altura
• Aregi‹o trapezoidal 5
b c b c( ) ( )
2
1 ? 1
5
b bc c2
2
2 2
1 1
 1
• Aregi‹o trapezoidal 5 Aregi‹o triangular I 1 Aregi‹o triangular II 1 
1 A
regi‹o triangular III
• Aregi‹o trapezoidal 5 
cb aa cb
2 2 2
1 1 5 
bc a2
2
2
5
1 2
Igualando os resultados de 2 e 1 , temos:
bc a b bc c2
2
2
2
2 2 2
1
5
1 1 ⇒ a2 5 b2 1 c2
2a) Uma demonstra•‹o bastante curiosa do teorema de Pit‡-
goras foi apresentada pelo matem‡tico hindu Bh‡skara 
(1114 -1185), que elaborou a figura representada a seguir 
e escreveu embaixo ÒAqui est‡Ó. Um verdadeiro enigma 
que a çlgebra nos ajuda a solucionar.
 
 Tra•amos 4 tri‰ngulos ret‰ngulos com hipotenusa de 
medida a e catetos de medidas b e c. A ‡rea da regi‹o 
quadrada maior (a2) Ž igual ̂ soma das ‡reas das 4 regi›es
triangulares )(4 2
bc
? com a ‡rea da regi‹o quadrada 
menor (b 2 c)2.
a
a
a
b
b 2 c
c
a
Assim:
a2 5 4 ? bc
2
1 (b 2 c)2 ⇒
⇒ a2 5 2bc 1 b2 2 2bc 1 c2 ⇒ a2 5 b2 1 c2
3a) Uma terceira demonstra•‹o Ž obtida comparando-se 
‡reas (segundo os historiadores, a demonstra•‹o de 
Pit‡goras deve ter sido uma demonstra•‹o geomŽtrica 
semelhante ˆ que segue).
 As duas regi›es quadradas t•m lados (b 1 c). Logo, t•m 
a mesma ‡rea. Retirando das duas as quatro regi›es 
triangulares congruentes, o que sobra na primeira (a2) Ž 
igual ao que sobra na segunda (b2 1 c2). Ent‹o:
a2 5 b2 1 c2
a
a
a
a
b
b
b
c
c
c
bc 
b c
b c
c
b
c
b
Leitura
Acesse o portal e veja o conteúdo 
“Tangram pitagórico”.
 Para aprimorar:
 Leitura (abaixo)
Geometria 11
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4 Outras rela•›es
mŽtricas importantes
no tri‰ngulo ret‰ngulo
Observe o nABC, retângulo em A, com a altura AH tra•ada. Nesta figura temos 
mais dois triângulos retângulos, nHBA e nHAC.
m
B
c
n
b
h
C
H a
A
Estudamos anteriormente que nABC , nHBA e nABC , nHAC:
Se dois triângulos são semelhantes a um terceiro, eles são semelhantes entre si, 
logo, podemos escrever também nHBA , nHAC.
Dessas tr•s semelhan•as tiramos, pela ordem:
m
h
h
n
c
b
5 55 5
a
b
b
n
c
h
5 5
a
c
b
h
c
m
Observando as figuras e usando essas propor•›es, podemos escrever algumas 
rela•›es estudadas anteriormente e outras, com seus significados, considerando o 
nABC, retângulo em A.
• a 5 m 1 n
Em qualquer triânguloretângulo, a medida da hipotenusa é igual ˆ soma das 
medidas das proje•›es dos catetos sobre ela.
• b
2 5 an e c2 5 am
Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida de um cateto é igual ao 
produto da medida da hipotenusa pela medida da proje•ão desse cateto sobre a 
hipotenusa.
• a
2 5 b2 1 c2 (rela•ão de Pitágoras)
Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hiponenusa é igual ˆ 
soma dos quadrados das medidas dos catetos.
• Nova rela•ão: h
2 5 mn
Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da altura relativa ˆ 
hipotenusa é igual ao produto das medidas das proje•›es dos catetos sobre a 
hipotenusa.
m
h
A
HB
c
n
b
h
CH
A
Geometria12
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Exerc’cios 
 10. Determine o valor de x em cada triângulo.
 a ) 
4 cm
x
7 cm
 b ) 
x
12 cm3 cm
 c ) 
7,5 cm
6 cm
4,5 cm
x
 d ) 
8 cm
x
16 cm
 e ) 
4 cm
2 cm x
 f ) 7,5 cm 2,5 cm
x
 Para construir:
 Exercícios 10 a 17 (p. 13 a 15)
x 5 3 cm x2
2
27 41 5( )( )
x 5 6 cm (x2 5 3 ? 12)
x 5 3,6 cm (7,5x 5 4,5 ? 6)
x 5 4 cm (82 5 16x)
x 5 8 cm (42 5 2x)
x 5 5 cm (7,5 1 2,5 5 10; x2 5 10 ? 2,5)
¥ Outra nova relação: bc 5 ah
Em qualquer triângulo retângulo, o produto das medidas dos catetos é igual ao 
produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa à hipotenusa.
Observa•›es:
1a) Com as relações estudadas, dos seis valores a, b, c, h, m e n indicados na figura do 
nABC , sempre que conhecemos dois deles, podemos descobrir os outros quatro.
2a) A recíproca da relação de Pitágoras também é verdadeira, ou seja, se a, b e c são as 
medidas dos lados de um triângulo, sendo a a maior delas e a2 5 b2 1 c2, então o 
triângulo é um triângulo retângulo.
Geometria 13
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
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 11. Calcule as medidas x, e, p e q. 
12
13 x
p q
e
 12. M‡rcia tra•ou um ret‰ngulo ABCD com dimens›es AB 5 6 cm e BC 5 8 cm. Depois, tra•ou a diagonal AC e o segmento de reta 
mais curto poss’vel ligando D a um ponto de AC . Qual Ž a medida desse segmento de reta? 
 13. Determine o valor de x em cada figura:
 a ) 
5 cm
6 cm
x
4 cm
y
 b ) 
12 cm
x
6 cm
y
3 cm4
 14. Considere as medidas da regi‹o triangular determinada pelo tri‰n gu lo ret‰ngulo ao lado e calcule:
 a ) a, b, c e n; 
 b ) a ‡rea da regi‹o triangular ABC. 
 15. Em um tri‰ngulo ret‰ngulo, as medidas das proje•›es dos catetos sobre a hipotenusa s‹o 36 mm e 64 mm. Determine:
 a ) a medida da altura relativa ˆ hipotenusa. 
13² 5 12² 1 p²
p 5 5
13² 5 5 ? e
e 5 33,8
e 5 p 1 q
33,8 5 5 1 q
q 5 28,8
x² 5 q ? e
x² 5 28,8 ? 33,8
x 5 31,2
x
8
8
66
A D
B C
d 2 5 82 1 62 ⇒ d 5 10
10x 5 6 ? 8 ⇒ x 5 4,8; 4,8 cm
(y2 5 42 1 62 ⇒ y 5 52 ; 
x2 5 52 1 ( 52 )2 ⇒ x 5 77 )
x 5 77 . 8,8 cm 
( 12
2 5 x2 1 (y 1 6)2
x2 1 y2 5 (4 3 )2 )
x 5 23 cm . 4,8 cm
a
n
cb
8 cm
6 cm
A
BC
62 5 8 ? n ⇒ n 5 4,5 cm
b2 5 62 1 82 ⇒ b 5 10 cm
a 5 8 1 4,5 5 12,5 cm
10c 5 6 ? 12,5 ⇒ c 5 7,5 cm
⇒A
a h
A5
?
5
?
2
12,5 6
2
 ⇒ A 5 37,5; 37,5 cm2
h2 5 36 ? 64 ⇒ h 5 48; 48 mm
Geometria14
SER_EF2_Matematica9_M3_C1_001_040.indd 14 17/02/16 08:51
 b ) as medidas dos catetos. 
 c ) a ‡rea da regi‹o triangular correspondente. 
 16. A que altura uma escada de 6 m toca uma parede se o pŽ da escada est‡ a 3 m da parede? 
 17. (Cefet-RJ) As retas w e l s‹o paralelas. No tri‰ngulo ret‰ngulo ABC, o cateto AC 
mede 8 cm e a hipotenusa AB mede 17 cm. A ‡rea do tri‰ngulo escaleno ACD, cujo 
lado DC mede 20 cm, Ž:
 a ) 60 cm2.
 b ) 80 cm2.
 c ) 120 cm2.
 d ) 186 cm2.
 e ) 340 cm2.
36 1 64 5 100
b2 5 100 ? 36 ⇒ b 5 60; 60 mm
c2 5 100 ? 64 ⇒ c 5 80; 80 mm
?60 80
2
 5 2 400 ou ?100 48
2
 5 2 400
çrea: 2 400 mm2 ou 24 cm2.
⇒
⇒ ⇒ .
x
x x
1 5
5 5
3 6
27 27 5,2
2 2 2
2 m
6
3
x
B D
w
l
CA
17
8
20
X
82 1 (BC)2 5 172 ⇒ BC 5 15; 
‡rea do tri‰ngulo ACD 8 15
2
605 ? 5
 1. Determine m e n na figura ao lado, com m , n. (Sugest‹o: montar um sistema de in-
c—gnitas m e n e resolv• -lo.)
 2. (Fatec-SP) Na figura, ABCD Ž um ret‰ngulo. A medida do segmento EF Ž igual a:
 a ) 0,8. 
 b ) 1,4. 
 c ) 2,6.
 d ) 3,2.
 e ) 3,8.
 3. (Fatec-SP) Na figura ao lado, o tri‰ngulo ABC Ž ret‰ngulo e is—sceles, e o ret‰ngulo 
nele inscrito tem lados que medem 4 cm e 2 cm. O per’metro do tri‰ngulo MBN Ž:
 a ) 8 cm. 
 b ) 12 cm.
 c ) 8 2 cm.1( )
d ) 8 2 2 cm.1( )
e ) 4 2 2 cm.1( )
m n
mn
m n m n m n
1 5
5
5 5 5 5 ,
25
100
5 e 20 ou 20 e 5. Como , a r{ ⇒ eesposta Ž 5 e 20m n5 5
25
10
m n
A
4
3
B
D
E
F
C
X
M
N
A C
B
X
Desafios
 Para aprimorar:
 Desafios (abaixo)
Geometria 15
M
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5 Aplicaç›es importantes 
do teorema de Pitágoras
Diagonal de um quadrado
Consideremos o quadrado ABCD representado abaixo, cujo lado mede ,.
B
d
A
CD
,
,
,
,
Vamos determinar a medida (d) da diagonal desse quadrado em função de ,, com 
d e , na mesma unidade de medida.
O nADC é retângulo em D. Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:
d 2 5 ,2 1 ,2
d 2 5 2,2
d 5 2 2,
d 5 2,
Portanto, d 5 2, .
Exerc’cios 
 18. Determine quanto mede a diagonal de um quadrado nos seguintes casos:
 a ) Lado de 5 cm. 
 b ) Lado de 5 2 cm. 
 c ) Perímetro de 60 cm.
 Para construir:
 Exercícios 18 a 20 (p. 16 e 17)
5 2 cm
10 cm 5 2 2 5 2? 5 ?( )
15 2 cm (60 ; 4 5 15)
Isso significa que 
a medida da 
diagonal de um 
quadrado Ž sempre 
igual ao produto 
da medida de um 
lado por 2 .
Geometria16
SER_EF2_Matematica9_M3_C1_001_040.indd 16 17/02/16 08:51
Altura de um tri‰ngulo equil‡tero
Consideremos o tri‰ngulo equil‡tero ABC representado abaixo, cujo lado mede ,.
A
H
h
B C
,
,
,
,
2
,
2
Vamos determinar a medida (h) da altura desse tri‰ngulo em fun•‹o de ,, com h 
e , na mesma unidade de medida.
O tri‰ngulo ABH Ž ret‰ngulo em H. Aplicando o teorema de Pit‡goras, temos:
h2 1 
2
2
,( ) 5 ,2
h2 5 ,2 2 
4
2,
h2 5 3
4
2,
Portanto, h 5 3
4
2, ou h 5 3
2
, ou h 5 ,
2
3? .
Isso significa que, em todo tri‰ngulo 
equil‡tero, a medida da altura Ž igual 
ao produto da metade da medida de 
um lado por 3 .
Reforce com os alunos que n‹o h‡ 
necessidade de decorar essas f—rmulas. 
Como vimos, elas s‹o simples aplica•›es 
do teorema de Pit‡goras.
Exerc’cios 
 21. Determine a medida da altura h de um tri‰ngulo equil‡tero nos seguintes casos:
 a ) Lado de 8 cm.
 b ) Lado de 3 cm. 
 c ) Lado de 6 3 cm. 
 d ) Lado de 9 cm. 
 Para construir:
 Exercícios 21 a 25 (p. 17 e 18)
4 3 cm
3
2
cm ou 1,5 cm 3
2
3 3
2
? 5




6 3 3
2
9
?
5 cm
9 3
2
 cm
 19. Calcule quanto mede cada lado de um quadrado nos seguintes casos:
 a ) A diagonal mede 4 2 cm. b ) A diagonal mede 5 cm. 
 20. A ‡rea de uma regi‹o quadrada Ž igual a 128 cm2. Quanto mede sua diagonal? 
4 cm
5 2
2
cm
2 5 5
2
5 2
2
, ,5 5 5⇒




16 cm , , , ,2 128 128 8 2 ; 2 8 2 2 165 5 5 5 5 ? 5⇒ ⇒( )d
Geometria 17
M
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M
Á
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 22. O per’metro de um tri‰ngulo equil‡tero Ž de 15 cm. Calcule a medida da altura desse tri‰ngulo. 
 23. Prove que a ‡rea de uma regi‹o triangular equil‡tera de lado , Ž dada por A 5 ,
2 3
4
.
 24. Use 3 5 1,73. Calcule a ‡rea aproximada da regi‹o determinada por um tri‰ngulo equil‡tero que tem:
 a ) lado de 1,5 cm. 
 b ) lado de 4 cm. 
 c ) lado de 3 3
2
cm. 
 25. Calcule a medida dos lados e da altura de um tri‰n gu lo equil‡tero sabendo-se que sua ‡rea Ž igual a 16 3 cm .2
5
2,5 2,5
5
h
15 : 3 5 5
5
?
5
5 3
2
5 1,73
2
4,3 ; 4,3 cm
, ,
,
Base: <
Altura: 
, 3
2
l
l l
l l
A 5
?
5 5 ? 5
3
2
2
3
2
2
1
3
2
1
2
3
4
2
2 2
Aproximadamente 0,97 cm2 
2,25 1,73
4
?( ).
Aproximadamente 6,92 cm2 
16 1,73
4
?( ).
Aproximadamente 2,92 cm2 
6,75 1,73
4
?( ).
,
,
,
2 3
4
16 3 8 cm; 3
2
8 3
2
4 35 5 5 5 5⇒ h cmm
Geometria18
SER_EF2_Matematica9_M3_C1_001_040.indd18 17/02/16 08:51
Diagonal de um bloco retangular
Consideremos um bloco retangular cujas dimens›es medem a, b e c e cuja diago-
nal de uma face mede d; considere tambŽm que a diagonal do bloco retangular mede D.
B
A
G a
b
c
H
C
F
I
E d
D
O nBEH Ž ret‰ngulo em E, e sua hipotenusa Ž .BH Para calcular D medida de ,)( BH 
precisamos conhecer antes o valor de d (medida da hipotenusa do nEGH, ret‰ngulo 
em G).
Assim, aplicando o teorema de Pit‡goras, temos:
d2 5 a2 1 b2 1 D2 5 d2 1 c2 2
Substituindo 1 em 2 , temos:
D2 5 a2 1 b2 1 c2 ⇒ D 5 1 12 21 12 21 1 2a b1 1a b1 12 2a b2 21 12 2a b1 1a b2 2 c
Caso particular: diagonal do cubo
Como o cubo Ž um caso particular do bloco retangular em que a 5 b 5 c 5 ,, 
a f—rmula fica: 
D 5 3 3 ,2 2 2 2, , , , ,1 1 5 5 ou seja: D 5 3,
B
A
G H
C
F
I
E
D
,
,
,
Reforce com os alunos que n‹o h‡ necessidade de decorar essas f—rmulas. Como 
vimos, elas s‹o simples aplica•›es do teorema de Pit‡goras.
Exerc’cios 
 26. Determine a medida da diagonal do bloco retangular representado ao lado. 
 27. Determine a medida da diagonal de um cubo cuja aresta mede 5 cm. 
 Para construir:
 Exerc’cios 26 e 27 (abaixo)
4 9 36 49 71 1 5 5 cm
3 cm
2 cm
6 cm
5 3 cm . 8,66 cm
Geometria 19
M
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M
ç
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A
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Exercícios 
 28. Um tri‰ngulo est‡ inscrito em uma semicircunfer•ncia cujo di‰metro mede 10 dm. A proje•‹o do cateto menor sobre a hipote-
nusa mede 4 dm. Determine a medida aproximada da altura relativa ˆ hipotenusa. 
 29. Determine a medida da altura relativa ̂ hipotenusa do tri‰ngulo ret‰ngulo repre-
sentado ao lado sabendo que o raio da circunfer•ncia mede 5 m. 
 Para construir:
 Exerc’cios 28 e 29 (abaixo)
10 2 4 5 6; h2 5 4 ? 6 5 24 ⇒ h 5 24 . 4,9 dm
O 4 dm
h
h2 5 2 ? 8 ⇒ h2 5 16 ⇒ h 5 4 m
3
2 m
h
5
6 Triângulo inscrito em 
uma semicircunferência
Observe as figuras:
A
BC
O
Tri‰ngulo inscrito em uma 
circunferência 
A
BC O
Tri‰ngulo inscrito em uma 
semicircunferência
Demonstra•‹o:
• µBOC Ž ‰ngulo raso (mede 180¡) e Ž um ‰ngulo central na circunfer•ncia.
• BAC
µ Ž ‰ngulo inscrito de mesmo arco, logo mede a metade de µ ,BOC ou seja,
180¡ ; 2 5 90¡.
• Se BACµ Ž reto, nABC Ž ret‰ngulo em A.
Conclus‹o:
Todo tri‰ngulo inscrito em uma semicircunfer•ncia Ž tri‰ngulo ret‰ngulo.
Dizemos que um 
tri‰ngulo est‡ inscrito em 
uma semicircunfer•ncia 
quando um vŽrtice do 
tri‰ngulo pertence ˆ 
semicircunfer•ncia e os 
outros dois vŽrtices s‹o 
extremidades de um 
di‰metro.
Geometria20
SER_EF2_Matematica9_M3_C1_001_040.indd 20 17/02/16 08:51
7 Outras situa•›es que 
envolvem as rela•›es mŽtricas 
no tri‰ngulo ret‰ngulo
Agora, você vai aplicar, em mais algumas situações, as relações métricas 
estudadas.
Exerc’cios 
 30. Quanto medem os lados de um losango cujas diagonais têm 6 cm e 8 cm? 
 31. Na figura ao lado, AB é uma corda da circunferência. Sabendo que a medida de AB é 8 cm e o diâme-
tro da circunferência mede 10 cm, calcule a distância do centro O da circunferência à corda .AB 
 32. Use a relação de Pitágoras para determinar a área e o perímetro do canteiro ao 
lado em forma de triângulo retângulo com as medidas indicadas em metros. 
 33. As dimensões de um retângulo têm por medidas, em centímetros, dois números inteiros consecutivos. 
A diagonal desse retângulo mede 29 cm. Qual é o perímetro desse retângulo? 
5 cm (,2 5 42 1 32 5 16 1 9 5 25 ⇒ , 5 5) 34
3
,
3 cm
x
5
4
(25 5 16 1 x2 ⇒ x 5 3) O
P AB
(x2 1 (x 2 2)2 5 102 ⇒ x2 2 2x 2 48 5 0 ⇒ x 5 8 ou x 5 26 (não serve); perímetro: 24 m; 
área: 24 m2)
P
a
u
lo
 M
a
n
zi
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
292 5 x2 1 (x 1 1)2 ⇒ 841 5 x2 1 x2 1 2x 1 1 ⇒ x2 1 x 2 420 5 0
D 5 1 1 1 680 5 1 681
x 5 
2 61 41
2
 ⇒ x 5 221 (não consideramos, pois x é medida de comprimento e, portanto, 
não pode ser negativa) ou x 5 20
Logo, x 1 1 5 21.
Portanto:
perímetro 5 2(20 1 21) 5 82 cm
29
 Para construir:
 Exercícios 30 a 42 (p. 21 a 23)
Geometria 21
M
A
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 34. Na figura ao lado, a que altura se encontra o avi‹o em rela•‹o ao ch‹o? 
 35. ƒ comum encontrarmos uma ripa na diagonal de porteiras de madeira como 
esta da fotografia ao lado. Isso se deve ˆ rigidez dos tri‰ngulos, que n‹o se 
deformam.
A porteira de uma fazenda mede 1,20 m de comprimento, e a ripa, que for-
ma a diagonal, mede 1,36 m. Qual Ž a altura dessa porteira? 
 36. O tri‰ngulo ABC Ž ret‰ngulo, pois est‡ inscrito na semicircunfer•ncia, e sua hipotenusa coincide com 
o di‰metro. As proje•›es das cordas AB e AC sobre a hipotenusa medem, respectivamente, 2 cm 
e 8 cm. Qual Ž a medida dessas cordas? 
 37. Um motorista foi da cidade A atŽ a cidade E passando pela cidade B, conforme mostra 
a figura ao lado. Quantos quil™metros esse motorista percorreu? 
 38. Calcule o per’metro e a ‡rea da regi‹o determinada pelo trapŽzio da figura ao lado. 
As medidas est‹o dadas em metros. 
(5 000)2 5 (3 000)2 1 a2 ⇒
⇒ a2 5 25 000 000 2 9 000 000 5 16 000 000 ⇒ a 5 4 000
Logo, a altura do avi‹o em rela•‹o ao ch‹o Ž de 4 000 m.
3
 
000 m
5
 
000 m
ch‹o
R
o
g
é
ri
o
 R
e
is
/P
u
ls
a
r 
Im
a
g
e
n
s
Porteira de madeira.
1362 5 1202 1 x2 ⇒ x2 5 18 496 2 14 400 ⇒
⇒ x 5 4 096 5 64
Logo, a altura da porteira Ž de 64 cm ou 0,64 m.
1,36
1,20
x
Recorde aos alunos que o tri‰ngulo Ž o œnico pol’gono r’gido que n‹o se 
deforma com movimentos.
2 5 cm AB c c c; 10 2 2 52( )⇒5 5 ? 5 
e 4 5 cm AC b b b; 10 8 4 525 5 ? 5( )⇒
A
B C
D
2 cm 8 cm
AB: x; x2 5 25 ? 16 ⇒ x 5 20; 20 1 16 5 36 km
C
E
B
A
16 km
25 km
x 1 1
x 1 3
4
(x 1 3)2 5 (x 1 1)2 1 42 ⇒ x 5 2
P 5 2 1 3 1 6 1 5 5 16
A 5
1
5
(6 2)3
2
 12
Logo, o per’metro Ž igual a 16 m e a ‡rea Ž de 12 m2.
x
x 1 1
x 1 4
x 1 3
Geometria22
SER_EF2_Matematica9_M3_C1_001_040.indd 22 17/02/16 08:51
 39. Uma torre Ž sustentada por tr•s cabos de a•o de mesma medida, como mostra a 
figura ao lado. Calcule a altura aproximada da torre, sabendo que a medida de cada 
cabo Ž de 30 m e os ganchos que prendem os cabos est‹o a 15 m do centro da base 
da torre (T). 
 40. As rodovias R
1
 e R
2
 s‹o perpendiculares e cruzam -se no ponto O. As 
dist‰ncias OA e OB t•m, respectivamente, 60 km e 80 km. Calcule a 
menor dist‰ncia poss’vel de O atŽ um ponto da rodovia R
3
. 
 41. Calcule o valor de x na figura ao lado. 
 42. Na figura ao lado, temos RF 5 75 e AP 5 36. Calcule:
 a ) a medida de AR e de AF . 
 b ) o per’metro do nAPR. 
 c ) a ‡rea da regi‹o determinada pelo nRPF. 
15
x30
302 5 x2 1 152 ⇒ 900 5 x2 1 225 ⇒
⇒ x2 5 900 2 225 5 675 ⇒ x 5 6 .675 626
Logo, a altura da torre Ž de aproximadamente 26 m.
(AB)2 5 602 1 802 ⇒ AB 5 100; 100x 5 60 ? 80 ⇒ x 5 48 km
A
O
B
rodovia R
1
rodovia R
2
rodovia R
3
x
y2 5 32 1 ( )3 3
2
 5 9 1 27 5 36 ⇒ y 5 6
z2 5 22 1 62 5 40 ⇒ z 5 540 2 10
x2 1 ( )2 10
2
 5 72 ⇒ x2 1 40 5 49 ⇒ x2 5 9 ⇒
⇒ x 5 3
3
2
7
x
3 3
z 5 2 10
y 5 6
75
36
z
x
y
R
P F
A
{ ⇒x yxy x y
1 5
5 5
5 5
75
36 1 296
27 e 482
Logo, AR 5 27 e AF 5 48.
27 e 48
z2 5 75 ? 27 5 2 025 ⇒ z 5 45
P 5 45 1 36 1 27 5 108
108 unidades de comprimento
?75 36
2
 5 1 350 unidades de ‡rea
P
a
u
lo
 M
a
n
zi
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
T
Geometria 23
M
A
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Calcule a área da região triangular ABC por quatro caminhos diferentes.
4o) P 5 
10 6 8
2
24
2
1 1
5 5 12; A 5 12 (12 10)(12 6)(12 8) 12 2 6 4 24 242? 2 2 2 5 ? ? ? 5 5
1o) A 5
6 8
2
48
2
?
5 5 24
2o) A 5
10 4,8
2
48
2
?
5 5 24
3o) A 5 4,8 3,6
2
6,4 4,8
2
17,28
2
30,72
2
?
1
?
5 1 5 8,64 1 15,36 5 24
10
6
8
3,6 6,4
4,8
A
B C
No 4o caminho, foi utilizada a 
fórmula de Heron. Caso 
necessário, retome ou apresente 
aos alunos essa fórmula.
Desafio
Os ternos pitagóricos
Ternos de números inteiros positivos a, b e c que obedecem à relação 
a25 b2 1 c2 são chamados ternos pitagóricos.
Um terno pitagórico você já conhece: 3, 4 e 5, pois 52 5 42 1 32.
Veja ao lado o triângulo retângulo representado por ele, com os valores em 
centímetros.
5
4
3
Exercícios 
 43. Conheça outros ternos pitagóricos calculando o valor do lado desconhecido em cada um destes triângulos retângulos.
 a ) 
13
x
12
C
BA
 b ) 
24
x
25
C
BA
 c ) 
8
15
x
C
BA
 44. Dos ternos que aparecem indicados abaixo, qual deles é um terno pitagórico? Justifique sua resposta.
 9, 10 e 15 X 11, 60 e 61 7, 10 e 11
 Para construir:
 Exercícios 43 e 44 (abaixo)
x 5 5; terno: 5, 12 e 13.
x 5 7; terno: 7, 24 e 25.
x 5 17; terno: 8, 15 e 17.
152 . 102 1 92; 225 . 100 1 81 612 5 3 721; 602 1 112 5 3 600 1 121 5 3 721 112 , 72 1 102; 121 , 49 1 100
 Para aprimorar:
 Desafio (abaixo)
Geometria24
SER_EF2_Matematica9_M3_C1_001_040.indd 24 17/02/16 08:51
Os babil™nios j‡ conheciam os ternos pitag—ricos
Os escribas babil™nios encheram suas tabuinhas de argila com tabelas impressionantes de sequ•ncias de ternos 
exibindo a rela•‹o de Pit‡goras. Eles registraram ternos como 3, 4, 5 ou 5, 12, 13, mas tambŽm outros como 3 456, 3 367, 4 825.
S‹o pequenas as chances de se obter um terno que funcione, verificando tr•s nœmeros ao acaso. Por exemplo, nos 
primeiros doze nœmeros 1, 2, 3, ..., 12, h‡ centenas de maneiras de escolher ternos diferentes; de todos eles, somente os 
ternos 3, 4, 5 e 6, 8, 10 satisfazem o teorema de Pit‡goras.
A menos que os babil™nios tenham empregado um exŽrcito de calculadores, que passaram toda a sua carrei-
ra fazendo tais c‡lculos, podemos concluir que eles conheciam, pelo menos, o suficiente da teoria dos nœmeros para 
gerar esses ternos.
Fonte: MLODINOW, Leonard. A janela de Euclides. 2. ed. 
S‹o Paulo: Gera•‹o Editorial, 2004.
¥ Descubra mais ternos pitag—ricos. Desafie seus colegas para saber quem consegue descobrir um maior nœmero de ternos. Vale 
usar calculadora. S‹o ternos: 14, 48, 50; 20, 21, 29; 16, 30, 34; 10, 24, 26; 20, 12, 16; 40, 9, 41; etc., incluindo os mœltiplos dos ternos.
Leitura
 Para aprimorar:
 Leitura (abaixo)
8 Classifica•‹o dos tri‰ngulos 
quanto aos ‰ngulos conhecendo-se 
as medidas de seus tr•s lados
Considere a, b e c as medidas dos tr•s lados de um tri‰ngulo, na mesma unidade 
de medida, sabendo que a Ž a medida do lado maior. Podemos comparar os valores de 
a2 e b2 1 c2, colocando ., , ou 5 entre eles.
Com essa compara•‹o, podemos classificar o tri‰ngulo com rela•‹o a seus ‰n-
gulos internos:
¥ Se a
2 5 b2 1 c2, temos um tri‰ngulo ret‰ngulo (rec’proca da rela•‹o de Pit‡goras 
citada nas p‡ginas 5 e 6).
¥ Se a
2 . b2 1 c2, temos um tri‰ngulo obtus‰ngulo. Veja um exemplo:
Tri‰ngulo com lados de 5 cm, 3 cm, 7 cm.
a 5 7, b 5 5, c 5 3 → a2 5 49, b2 5 25, c2 5 9
Como 49 . 25 1 9, ent‹o a2 . b2 1 c2.
34
¥ Se a
2 , b2 1 c2, temos um tri‰ngulo acut‰ngulo.
 Para aprimorar:
 Jogo (p. 27)
5 cm
3 cm7 cm
agudo
agudo
obtuso
Tri‰ngulo obtus‰ngulo.
Geometria 25
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
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Exerc’cio 
 45. Considere os itens abaixo e classifique os tri‰ngulos de acordo com seus ‰ngulos internos. Em seguida, construa cada tri‰ngu-
lo com rŽgua e compasso e confirme sua resposta, observando o tipo de tri‰ngulo formado.
 a ) Tri‰ngulo com lados de 6 cm, 8 cm e 10 cm. 
 b ) Tri‰ngulo com lados de 6 cm, 4 cm e 3 cm. 
 c ) Tri‰ngulo com lados de 6 cm, 5 cm e 4 cm. 
 d ) Tri‰ngulo com lados de 5 cm, 5 cm e 3 cm. 
 e ) Tri‰ngulo com lados de 6,5 cm, 6 cm e 2,5 cm. 
 f ) Tri‰ngulo com lados de 6 cm, 4 cm e 4 cm. 
 Para construir:
 Exerc’cio 45 (abaixo)
a 5 10, b 5 6, c 5 8; a2 5 100, b2 5 36, c2 5 64; 
100 5 36 1 64 ⇒ a2 5 b2 1 c2; tri‰ngulo ret‰ngulo.
a 5 6, b 5 4, c 5 3; a2 5 36, b2 5 16, c2 5 9; 
36 . 16 1 9 ⇒ a2 . b2 1 c2; tri‰ngulo obtus‰ngulo.
a 5 6, b 5 5, c 5 4; a2 5 36, b2 5 25, c2 5 16; 
36 , 25 1 16 ⇒ a2 , b2 1 c2; tri‰ngulo acut‰ngulo.
a 5 5, b 5 5, c 5 3; a2 5 25, b2 5 25, c2 5 9; 
25 , 25 1 9 ⇒ a2 , b2 1 c2; tri‰ngulo acut‰ngulo.
a 5 6,5, b 5 6, c 5 2,5; a2 5 42,25, b2 5 36, c2 5 6,25; 
42,25 5 36 1 6,25 ⇒ a2 5 b2 1 c2; tri‰ngulo ret‰ngulo.
a 5 6, b 5 4, c 5 4; a2 5 36, b2 5 16, c2 5 16; 
36 . 16 1 16 ⇒ a2 . b2 1 c2; tri‰ngulo obtus‰ngulo.
Para existir um tri‰ngulo com lados de medidas x, y e z, em que x Ž a medida do lado maior, devemos ter x , y 1 z. Para que 
esse tri‰ngulo seja obtus‰ngulo, devemos ter x2 . y2 1 z2. Determine as poss’veis medidas do lado maior de um tri‰ngulo esca-
leno e obtus‰ngulo quando os dois lados menores medem 6 cm e 8 cm.
 Para aprimorar:
 Desafio (abaixo)
10 cm , x , 14 cm (x . 8 e x , 6 1 8 ⇒ 8 , x , 14; x2 . 36 1 64 ⇒ x2 . 100; 8 , x , 14 e x2 . 100 ⇒ 10 , x , 14)
Desafio
Geometria26
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Jogo
Tipos de tri‰ngulo quanto aos ‰ngulos
Com este jogo você vai aplicar o que acabou de estudar: como descobrir o tipo de triângulo, quanto aos ângulos, a partir 
das medidas de seus lados.
Orienta•›es:
Nœmero de participantes: 2 ou 3
Como jogar:
Inicialmente, os participantes preparam e dobram 12 papéis com as letras de A até L para sorteios. Em uma rodada, cada 
participante tira um papel, localiza as medidas dos lados do triângulo correspondente, verifica o tipo do triângulo quanto aos 
ângulos e anota os pontos obtidos em uma folha de papel.
Vence o jogo quem conseguir mais pontos depois de retirados todos os papéis.
Triângulo acutângulo
1 ponto
Triângulo obtusângulo
3 pontos
Triângulo retângulo
2 pontos
A 6 cm, 8 cm e 10 cm G 6 cm, 5 cm e 4 cm
B 4 cm, 5 cm e 7 cm H 11 cm, 11 cm e 11 cm
C 10 cm, 9 cm e 5 cm I 8 cm, 5 cm e 5 cm
D 7 cm, 3 cm e 5 cm J 5 cm, 12 cm e 13 cm
E
4 cm, 5 m e 11 m
K 8 cm, 6 cm e 6 cm
F
3 2 cm, 3 cm e 3 cm L 30 mm, 40 mm e 50 mm
3 pontos
1 ponto
3 pontos
2 pontos
2 pontos
2 pontos
36 , 25 1 16
11 , 11 1 11
64 . 25 1 25
64 , 36 1 36
169 5 144 1 25
2 500 5 900 1 1 600
100 5 36 1 64
49 . 16 1 25
100 , 81 1 25
25 . 7 1 9
16 5 5 1 11
18 5 9 1 9
1 ponto
1 ponto
3 pontos
2 pontos
1 ponto
2 pontos
Geometria 27
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
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9 Relaç›es mŽtricas 
na circunfer•ncia
Giovana, Alterson e Andreia estavam navegando pela internet ̂ procura de jogos 
matem‡ticos.
A certa altura, eles encontraram alguns dados sobre c’rculos e circunfer•ncias.
A p‡gina do site mostrava a situa•‹o abaixo.
Corda, di‰metro e raio s‹o segmentos de reta relacionados ˆ circunfer•ncia, que 
eles j‡ conheciam.
Veja do que eles se lembraram:
O di‰metro 
mede o dobro 
do raio.
O di‰metro Ž a 
corda de maior 
medida.
Todos os raios 
t•m a mesma 
medida.
P
a
u
lo
 M
a
n
zi
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Geometria28
SER_EF2_Matematica9_M3_C1_001_040.indd 28 17/02/16 08:51
Havia informa•›es sobre mais dois segmentos de reta relacionados ˆ circunfe-
r•ncia:
E voc•, j‡ tinha ouvido falar de segmento de reta secante e de segmento de reta 
tangente?
Assim como os tri‰ngulos, a circunfer•ncia tambŽm apresenta rela•›es mŽtricas 
entre seus elementos.
Vamos estudar tr•s rela•›es: entre duas cordas; entre dois segmentos de reta 
secantes; e entre um segmento de reta secante e um segmento de reta tangente.
Il
u
s
tr
a
ç
õ
e
s
: 
P
a
u
lo
 M
a
n
zi
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Geometria 29
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
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Exerc’cios 
 46. Considere esta circunfer•ncia de centro O.
A
BC
D
F
G
J
H
I
E
O
Determine, entre os segmentos de reta tra•ados:
 a ) uma corda: 
 b ) um raio: 
 c ) um di‰metro: 
 d ) um segmento de reta tangente: 
 e ) um segmento de reta secante: 
 f ) a parte externa do segmento de reta secante: 
 47. Lembre-se de que o ‰ngulo formado por uma reta tangente ˆ circunfer•ncia e pelo raio que 
liga o centro ao ponto de tang•ncia Ž um ‰ngulo reto, comona figura I .
Se, na figura II , PQ Ž um segmento de reta tangente de 12 cm e o raio da circunfer•ncia Ž de 
5 cm, qual Ž a dist‰ncia de P atŽ O? 
IJ ou FH ou BC
OG ou OF ou OH
FH
DE
AC
AB
O
A
t
I
II
O
Q
P
?
13 cm (x2 5 52 1 122 5 169 ⇒ x 5 13)
Rela•‹o entre duas cordas concorrentes
em uma circunfer•ncia
Na circunfer•ncia abaixo, AB e CD s‹o duas cordas que se cruzam no ponto P.
P
C
D
B
A
Considerando os tri‰ngulos APC e DPB, temos:
¥ µACD > 
·$DBA (‰ngulos inscritos de mesmo arco)
¥ µAPC > µDPB (‰ngulos opostos pelo vŽrtice)
 Para construir:
 Exerc’cios 46 e 47 (abaixo)
Geometria30
SER_EF2_Matematica9_M3_C1_001_040.indd 30 17/02/16 08:51
Da congru•ncia dos dois ‰ngulos, podemos concluir que nAPC e nDPB s‹o 
semelhantes. Eles t•m, portanto, lados hom—logos proporcionais, ou seja:
5 5
AP
DP
CP
BP
AC
DB
Da primeira igualdade, tiramos:
AP ? BP 5 CP ? DP
Assim, demonstramos que:
Em toda circunfer•ncia, quando duas cordas se cruzam, o produto das medidas 
das duas partes de uma Ž igual ao produto das medidas das duas partes de outra.
Relação entre dois segmentos de 
reta secantes a uma circunferência
Em toda circunfer•ncia, se tra•amos dois segmentos de reta secantes a partir de 
um mesmo ponto, o produto da medida de um deles pela medida da sua parte externa 
Ž igual ao produto da medida do outro pela medida da sua parte externa.
P
A
D
B
C
 Em s’mbolos: PA ? PB 5 PC ? PD
Chame a aten•‹o dos alunos 
para a correspond•ncia entre 
os lados proporcionais.
Deixe os alunos pensarem um pouco e, depois, d• a sugest‹o: tra•ar AD e BC e usar semelhan•a de tri‰ngulos.
Demonstre essa rela•‹o entre dois segmentos de reta secantes a uma circunfer•ncia.
nDAP e nBCP t•m:
¥ P Pµ µ> (comum)
¥ A Cµ µ> (inscritos de mesmo arco)
Ent‹o, nDAP z nBCP. Assim:
PA
PC
PD
PB
AD
CB
5 5
Da primeira igualdade, temos:
PA ? PB 5 PC ? PD
Como quer’amos demonstrar.
A
C
B
D
P
Desafio
 Para aprimorar:
 Desafio (abaixo)
Geometria 31
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
SER_EF2_Matematica9_M3_C1_001_040.indd 31 17/02/16 08:51
Exerc’cios 
 48. Use a rela•‹o entre duas cordas e determine o valor de x nestas figuras.
 a ) 
12
3
4
x
 b ) 
x
x
8
5
 c ) 
x
x 1 3
5x
2x
 d ) 
2x
x 2 12x 2 2
x 1 2
 49. Use a rela•‹o entre segmentos de reta secantes para calcular o valor de x em cada figura.
 a ) 
x
12
35
 b ) 
5
x
21
15
 c ) 
x
4
14
x
 d ) 
6
8
10
x
 Para construir:
 Exerc’cios 48 e 49 (abaixo)
3x 5 12 ? 4 ⇒ x 5 16
x x x
x
? 5 ? 5
5 5
8 5 40
40 2 10
2
⇒ ⇒
⇒
x x x x
x x x
x x
x
(5 2 ( 3)
5 2 6
3 6 0
2 2
2
? 5 1
5 1
2 5
⇒
⇒ ⇒
⇒ ⇒
⇒ 55 52 ou 0 (n‹o serve))x
(2x 2 2)(x 1 2) 5 2x(x 2 1) ⇒ 
⇒ 2x2 1 4x 2 2x 2 4 5
5 2x2 2 2x ⇒ 4x 5 4 ⇒ x 5 1
x 5 4
(x 1 5)5 5 (12 1 3)3
x 5 4
(x 1 21)x 5 (5 1 15)5
x 5 6
2x ? x 5 18 ? 4
8(x 1 8) 5 6 ? 16 ⇒ x 5 4
Rela•‹o entre um segmento de reta secante 
e um segmento de reta tangente 
a uma circunfer•ncia
Na figura ao lado, a partir do ponto P, temos um segmento de reta tangente PA 
e um segmento de reta secante .PB
Analisando nPAC e nPBA, temos:
¥ µP > µP (‰ngulo comum)
¥ PAC
µ > $PBA (‰ngulo de segmento e ‰ngulo inscrito de mesmo arco)
Pelo caso AA, temos nPAC , nPBA. Portanto, os lados hom—logos t•m medidas 
proporcionais: 5 5PA
PB
PC
PA
AC
BA
Da primeira igualdade, tiramos PA ? PA 5 PB ? PC ou (PA)2 5 PB ? PC .
A
B
C P
 Para aprimorar:
 Tratamento da informa•‹o (p. 34)
 Outros contextos (p. 35 e 36)
 Praticando um pouco mais (p. 37)
 Revis‹o cumulativa (p. 38)
Geometria32
SER_EF2_Matematica9_M3_C1_001_040.indd 32 17/02/16 08:51
Exercícios 
 50. Determine o valor de x nestas figuras, que t•m tra•ados um segmento de reta tangente e um segmento de reta secante a par-
tir de um mesmo ponto.
 a) 
x
2
6
 b) 
x
10
15
c) 
x
666
 51. A partir de um ponto P, fora de uma regi‹o circular com 5 cm de raio, tra•a -se um segmento de reta tangente PA e um seg-
mento de reta secante PB que passa pelo centro e tem sua parte externa ˆ circunfer•ncia medindo 6 cm. Calcule )(m .PA 
 52. A partir de um ponto P, s‹o tra•ados um segmento de reta tangente e um segmento de reta secante a uma circunfer•ncia com 
raio de 6 cm. Calcule a medida do segmento de reta tangente sabendo que ele mede o dobro da medida da parte externa do 
segmento de reta secante e este passa pelo centro da circunfer•ncia. 
 53. Na figura ao lado, r Ž o raio da circunfer•ncia, O Ž o centro e T Ž um ponto de tang•ncia. Determine 
o valor de r.
 Para construir:
 Exerc’cios 50 a 53 (abaixo)
x 5 4
(x2 5 8 ? 2 5 16 ⇒ x 5 4)
x 5 5
((x 1 15)x 5 102 ⇒
⇒ x2 1 15x 2 100 5 0 ⇒
⇒ x9 5 5 e x0 5 220 (n‹o serve))
x x x18 6 108 6 325 5 ? 5 5⇒( )
x x6 35 5
4 6 cm x x2 6 6 5 5 4 65 1 1 5( ) ⇒( )
( 66 P
2x
x (2x)
2 5 x ? (x 1 12) ⇒ x 5 4 ou x 5 0 (n‹o serve); x 5 4 ⇒ 2x 5 8)
8 cm
O A 6
12
r
T
P
r 5 9 (122 5 6(6 1 2r) ⇒ 144 5 36 1 12r ⇒ 12 5 3 1 r ⇒ r 5 9)
Assim, fica demonstrado que:
Em toda circunfer•ncia, se tra•amos, a partir de um mesmo ponto, um segmento 
de reta tangente e um segmento de reta secante, o quadrado da medida do segmento de 
reta tangente Ž igual ao produto da medida do segmento de reta secante pela medida da 
sua parte externa.
Geometria 33
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
SER_EF2_Matematica9_M3_C1_001_040.indd 33 17/02/16 08:52
 54. O gráfico abaixo mostra o número de passageiros que 
desembarcaram nos três terminais rodoviários da cidade 
de São Paulo durante o mês de novembro de 2014. Ob-
serve o gráfico e determine a média de passageiros ro-
doviários por terminal nessa cidade no mês de novem-
bro de 2014. 
 55. Uma prova com cinco testes foi aplicada em duas classes (A e B). Os resultados obtidos por A foram registrados em uma tabela 
de frequência; os obtidos por B, em um gráfico de barras. Determine a média de cada classe. 
Número de acertos Frequência absoluta
0 2
1 3
2 4
3 13
4 5
5 3 0 1 2
2
1
3
5
7
9
4
6
8
Nœmero 
de acertos
Nœmero 
de alunos
3 4 5
MA 5
1 1
5
5 5
898 786 340 372 126 220
3
1 365 378
3
455 126
Logo, MA 5 455 126 passageiros por terminal.
Classe BClasse A
Dados fictícios.
Classe A:
5
? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ?
5MA 0 2 1 3 2 4 3 13 4 5 5 3
30
.5
1 1 1 1 1
5
0 3 8 39 20 15
30
85
30
2,8
Classe B: 
5
? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ?
5MB 0 1 1 4 2 6 3 8 4 6 5 2
27
.5
1 1 1 1 1
5
0 4 12 24 24 10
27
74
27
2,7
Dados fictícios.
Interpreta•‹o de tabela e gr‡ficos
Tratamento da informação
1
 
000
 
000
800
 
000
600
 
000
400
 
000
200
 
000
0
Terminal rodovi‡rio
Nœmero de
passageiros
Tiet• Barra Funda Jabaquara
898 786
340 372
126 220
Fonte: Observatório de Turismo e Eventos da Cidade de São Paulo. SÃO PAULO TURISMO. 
Disponível em: <www.observatoriodoturismo.com.br/pdf/RODOVIARIAS_NOVEMBRO_2014.
pdf>. Acesso em: 13 maio 2015.
Desembarques nos terminais rodoviários paulistanos
 56. Uma revista de entretenimento realizou uma pesquisa nas salas de cinema de um shopping, em um fim de semana muito mo-
vimentado, para saber a qual tipo de filme as pessoas haviam assistido. Os resultados estão apresentados no gráfico abaixo.
 a ) Qual é o percentual de pessoas que assistiram a filmes de ficção científica? 
 b ) Determine a quantidade de pessoas que foram ao cinema nesse fim de semana. 
 c ) Quantas pessoas assistiram a filmes de aventura? 
 d ) Quantas pessoas assistiram a filmes de comédia?
 e ) Se mais 1 000 pessoas tivessem assistido a filmes de aventura, qual teria sido o percentual das pessoas que assistiram a 
filmes de ficção científica?
Outros
5%
Ficção científ ica
300 pessoas
Aventura
45%
Comédia
35%
Dados fictícios.
Filmes assistidos no 
fim de semana
5% 1 35% 1 45% 5 85%; 100% 2 85% 5 15%
{ →→ ⇒ ⇒5
?
5
15% 300
100%
100 300
15
2 000 pessoas
x
x x
45% de 2 000 5 900 pessoas
35% de 2 000 5 700 pessoas
Total de pessoas: 2 000 1 1 000 5 3 000; 300 em 3 000 → 10%
Geometria34
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Outros contextos57. Construindo praças
Em uma cidade, foram projetadas e ser‹o constru’das duas pra•as, uma de for-
ma triangular e outra de forma circular, conforme representado ao lado.
As partes que aparecem na cor cinza correspondem a caminhos, todos com 
2 m de largura, sobre os quais ser‡ colocado um piso. Considere R$ 23,00 o 
pre•o do metro quadrado do piso e calcule quanto se vai gastar, aproximada-
mente, com esse material nas duas pra•as. Para isso, use os modelos mate-
m‡ticos dessas pra•as vistas de cima, apresentados nas duas figuras abaixo. 
Considere p 5 3,1. 
45 m
60 m
h
 
20 m
32 m
10 m
centro
x
30
 58. Calculando a altura de uma rampa
Jorge deixou um pneu com 80 cm de di‰metro rolar na rampa, como mostra a figu-
ra ao lado.
Qual Ž a altura da rampa, sabendo que o pneu deu exatamente 8 voltas atŽ chegar 
ˆ sua extremidade? Adote p 5 3,14. 
32 ? x 5 40 ? 20 ⇒ x 5 25
2 ? 3,1 ? 30 5 186
Caminhos: 186 m 1 20 m 1 10 m 1 30 m 1 32 m 1 1 25 m 5 303 m
Como a largura de todos os caminhos de terra Ž de 2,0 m, a ‡rea total em que ser‹o colocados 
os pisos Ž dada por: 216 ? 2 1 303 ? 2 5 432 1 606 5 1 038. Logo, a ‡rea Ž de 1 038 m2.
Gasto aproximado: 1 038 ? 23 5 23 874. Gasto total: R$ 23 874,00
a2 5 452 1 602 ⇒ a 5 75
75 ? h 5 45 ? 60 ⇒ h 5 36
Caminhos: 45 m 1 60 m 1 75 m 1 36 m 5 216 m
A cada volta, o pneu percorre uma dist‰ncia d equivalente ao comprimento da circunfer•ncia do pneu. Se o 
di‰metro Ž D 5 80 cm 5 0,8 m, temos, ent‹o: d 5 p ? D ⇒ d 5 3,14 ? 0,8 m 5 2,51 m
Como o pneu rola 8 vezes, ele percorre uma dist‰ncia igual a:
8 ? 2,51 m 5 20,096 m ou aproximadamente 20 m (comprimento da hipotenusa do tri‰ngulo ret‰ngulo)
Agora, aplicando o teorema de Pit‡goras, determinamos a altura:
202 5 h2 1 162 ⇒ h2 5 202 2 162 5 144 ⇒ h 5 12
Altura da rampa: 12 m, aproximadamente. 16 m
altura
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 59. Arqueologia
Um arque—logo encontrou parte de uma constru•‹o arquitet™nica de um povo da Antiguidade. A fi-
gura ao lado Ž um esquema que representa essa parte da constru•‹o vista de cima.
Estudos indicam tratar -se de restos de um templo que tinha a forma de um c’rculo. Para avaliar as 
dimens›es desse templo, o arque—logo utilizou instrumentos de medi•‹o e constatou que a dist‰n-
cia entre os pontos A e B Ž de 40 m, e a dist‰ncia do ponto M (ponto mŽdio de AB) ˆ parede circular 
Ž de 8 m. Calcule quantas pessoas, aproximadamente, poderiam ser acomodadas no interior do 
templo se em um metro quadrado cabem, em mŽdia, 6 pessoas. 
Se o templo tem forma de c’rculo e M Ž ponto mŽdio da corda AB, ent‹o o raio (r 5 OP) do c’rculo contŽm o segmento de reta MP, pois ele Ž perpendicular ˆ 
corda e passa por seu ponto mŽdio. Considerando OP 5 r e OM 5 x, temos r 5 x 1 8. Como o tri‰ngulo OMB Ž ret‰ngulo, com OB 5 r, OM 5 x e MB 5 20, 
pelo teorema de Pit‡goras podemos escrever: r2 5 x2 1 202
Substituindo r por x 1 8 na equa•‹o acima, teremos: (x 1 8)2 5 x2 1202 ⇒ x2 1 16x 1 64 5 x2 1 400 ⇒ 16x 5 336 ⇒ x 5 21
Se x 5 21 m, o templo tinha raio igual a 29 m, pois r 5 21 m 1 8 m 5 29 m. Assim, a ‡rea do piso Ž dada por: p ? r2 5 3,14 ? 292 5 2 640,74
Logo, a ‡rea do piso Ž de aproximadamente 2 641 m2. Portanto, o nœmero aproximado de pessoas que caberiam no templo Ž dado por: 2 641 ? 6 5 15 846
15 846 pessoas
P
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20 m
20 m
8 m
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Geometria
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x
y
O
M
S
P
R
O ponto P tem coordenadas (0, 4), pois, na equa•ão, se x 5 0, teremos 
y 5 4, que Ž a medida do segmento OP (diagonal maior).
O ponto M tem ordenada igual a 2, pois Ž ponto mŽdio de cada diagonal. 
Então, os pontos R e S tambŽm t•m ordenada 2. As abscissas desses 
pontos podem ser obtidas resolvendo-se a equa•ão:
⇒ ⇒x x x2 5 5 5 64 2 2 22 2
Logo, temos R 2( 2 , 2) e S 1( 2 , 2) . Assim, a diagonal maior do 
losango OSPR mede 4 e a diagonal menor, 2 2 . 
Então, sua ‡rea A vale:
A 5 
D d?
1
?
5
2
4 2 2
2
4 2 ; A 5 4 2 m2 ou, aproximadamente, 
4 á 1,4 5 5,6; 5,6 m2
Agora, vamos obter o lado do losango para achar seu per’metro.
Como o nSPM Ž retângulo, aplicando o teorema de Pit‡goras encontramos a 
medida PS de um lado do losango.
PS PM MS PS( ) ( ) ( ) ⇒ ( )2 2 2
2
2 65 1 5 1 522
Logo, o per’metro Ž igual a 4 6 m ou, aproximadamente, 4 ? 2,4 5 9,6 m.
 61. Aplicando as relações métricas no triângulo retângulo na aviação
A avia•ão Ž uma atividade humana que utiliza amplamente conhecimentos 
matem‡ticos, abrangendo opera•›es numŽricas, çlgebra, Geometria, entre 
outros assuntos.
Um conhecimento extremamente importante na avia•ão Ž o teorema de Pit‡go-
ras. Ele Ž utilizado, por exemplo, pelo GPS (Global Positioning System, ou Sistema 
de Posicionamento Global) para determinar a altitude do avião em rela•ão ao solo 
e sua distância em rela•ão a determinados pontos da superf’cie terrestre.
Na avia•ão, a altitude dos avi›es geralmente Ž medida em pŽs. Um pŽ correspon-
de a 30,48 cm. Sabendo disso, considere a seguinte situa•ão: um avião decolou 
do aeroporto sob um ângulo de 45¼, perfazendo uma distância em linha reta de 
15 km a partir da cabeceira da pista. A distância terrestre da cabeceira da pista atŽ 
o ponto no solo imediatamente abaixo do avião Ž de 12 km, como mostra a figura 
abaixo. Qual era sua altitude nesse momento, em quilômetros? E em pŽs?
9 km (152 5 x2 1 122 ⇒ 225 5 x2 1 144 ⇒ x 5 81 ⇒ x 5 9); 
aproximadamente 29 527,56 pŽs (900 000 ; 30,48 . 29 527,56)
 60. Arte
Muitos artistas elaboram belas obras de arte utilizando diferentes formas e cores. Veja, por exemplo, a pintura A Gare abaixo.
As figuras a seguir são de um projeto para a constru•ão de um painel art’s-
tico no qual aparece parte de uma par‡bola com um losango em seu interior. 
No planejamento da compra de material para construir esse painel, Ž preci-
so calcular o per’metro e a ‡rea da região limitada pelo losango. Fa•a isso, 
considerando que a par‡bola tem equa•ão y 5 4 2 x2 no sistema de eixos 
cartesianos e que as medidas de comprimento são dadas em metros. 
A Gare (1925), pintura de Tarsila do Amaral (1886-1973).
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Avião birreator em pleno voo.
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15 km
12 km
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Geometria36
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Praticando um pouco mais
 1. Considere o tri‰ngulo ret‰ngulo ABC da figura abaixo. Se AB 5 1 cm e AC 5 2 cm, determine o valor da altura relativa ˆ 
hipotenusa BC.
 a ) 
2 5
5
 b ) 
5 3
3
 c ) 
5
3
d ) 
2
5
e ) 
3
5
 2. (UFT-TO) Observe a figura ao lado. Nessa figura, o tri‰ngulo BAC Ž ret‰ngulo 
em Â; o segmento AH corresponde ̂ altura relativa ̂ hipotenusa BC; BH mede 
1 cm e HC mede 4 cm. Considerando-se essas informa•›es, Ž correto afirmar 
que o cateto AC mede:
 a ) 2 5 cm.
 b ) 3 5 cm.
 c ) 4 5 cm.
 d ) 5 cm.
 3. (UFMA) Num tri‰ngulo ret‰ngulo, as proje•›es dos catetos sobre a hipotenusa medem 4 cm e 1 cm respectivamente. A ‡rea 
desse tri‰ngulo mede:
 a ) 2 cm2.
 b ) 5 2 cm .2
 c ) 4 cm2.
 d ) 5 cm2. h m n h h A2 2 1 4 2; 5 2
2
5 ? 5 ? 5 5
?
⇒ ⇒ 55
 e ) 10 cm2.
M CB
A
h
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( ) 1 2 5 ; 5 1 22 2 2BC BC h h5 1 5 ? 5 ?⇒ ⇒ 5 2 5
5
H CB
A
h
X h h AC AC2 2 2 21 4 2; ( ) 2 45 ? 5 5 1 5⇒ ⇒ 22 5
1 4
h
X
 4. (Fuvest-SP) Um lateral L faz um lan•amento para um atacante A, situado 32 m 
ˆ sua frente em uma linha paralela ˆ lateral do campo de futebol. A bola, entre-
tanto, segue uma trajet—ria retil’nea, mas n‹o paralela ˆ lateral e quando passa 
pela linha de meio do campo est‡ a uma dist‰ncia de 12 m da linha que une o 
lateral ao atacante. Sabendo-se que a linha de meio do campo est‡ ˆ mesma 
dist‰ncia dos dois jogadores, a dist‰ncia m’nima que o atacante ter‡ de percor-
rer para encontrar a trajet—ria da bola ser‡ de:
 a) 18,8 m.
 b ) 19,2 m. 
 c ) 19,6 m.
 d ) 20 m.
 e ) 20,4 m.
A
32 m
12 m
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Geometria 37
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Revis‹o cumulativa
 1. Considere o tri‰ngulo ret‰ngulo da figura ao lado. A œnica afirma•‹o que n‹o vale para ele Ž:
 a ) (PF)2 5 (RF) ? (QF).
 b ) (FQ)2 1 (PF)2 5 (PQ)2.
 c ) (RF)2 5 (RQ) ? (PR).
 d ) (RQ) ? (PF) 5 (RP) ? (PQ).
 e ) (RF) 1 (FQ) 5 QR.
 2. O produto de dois nœmeros naturais primos:
 a ) nunca Ž primo.
 b ) nunca Ž par.
 c ) nunca Ž ’mpar.
 d ) nunca Ž mœltiplo de 5.
 3. A equa•‹o x2 1 (m 2 n)x 2 2(m 1 n) 5 0, de inc—gnita x, tem 22 e 4 como ra’zes. Ent‹o:
 a ) m 5 3 e n 5 1.
 b ) m 5 23 e n 5 21.
 c ) m 5 1 e n 5 3.
 d ) m 5 21 e n 5 23.
 4. Se x Ž um nœmero real tal que 5 , x < 9 e x , 7, ent‹o podemos afirmar que:
 a ) 7 , x < 9.
 b ) 5 , x , 7.
 c ) x , 5.
 d ) x . 7.
 5. Em um tri‰ngulo ret‰ngulo, o per’metro Ž de 48 cm e um dos catetos mede 12 cm. A altura relativa ˆ hipotenusa mede:
 a ) 8,4 cm.
 b ) 9,6 cm.
 c ) 15 cm.
 d ) 7,2 cm.
 6. (UFRGS-RS) O lampi‹o representado na figura est‡ suspenso por duas cordas perpendiculares presas ao teto.
Sabendo-se que essas cordas medem 1
2
 e 6
5
, a dist‰ncia do lampi‹o ao teto Ž:
 a ) 1,69.
 b ) 1,3.
 c ) 0,6.
 d ) 1
2
.
 e ) 6
13
.
 7. (UFMG) Na figura ao lado, AB contŽm os centros O e O9 das circunfer•ncias que se tangenciam no ponto T.
Se AB 5 44, O9B 5 16 e AC 5 6, a medida TD Ž:
 a ) 8 2 .
 b ) 15.
 c ) 6 3 .
 d ) 20.
 e ) 16 3 .
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38 Geometria
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 Ponto de chegada
A Matemática nos textos
O último teorema de Fermat
Por volta de 1637, a partir de problemas e soluções relacio-
nados ao teorema de Pitágoras, o jurista francês Pierre de Fermat, 
matemático nas horas de lazer, presumiu que não existia um trio 
de números inteiros que satisfizesse a equação xn 1 yn 5 zn, sen-
do n maior do que 2. E anotou, na margem do livro AritmŽtica, de 
Diofante: “É impossível separar um cubo em dois, ou um biqua-
drado em dois, ou, de um modo geral, qualquer potência, exceto o 
quadrado, em duas potências com o mesmo expoente. Eu desco-
bri uma demonstração maravilhosa, mas a margem deste papel é 
muito estreita para contê -la”.
Durante mais de 350 anos, matemáticos do mundo todo 
tentaram em vão demonstrar esse teorema, que ficou conhecido 
como o Último Teorema de Fermat e influenciou praticamente 
toda a Matemática.
Finalmente, em 1995, o matemático inglês Andrew Wiles demonstrou definitivamente o último teorema de Fermat, mas, para 
isso, usou técnicas matemáticas modernas, em um trabalho que ocupou mais de 200 páginas.
Trabalhando com o texto
• A equação na forma xn 1 yn 5 zn, para n 5 2, representa qual relação matemática? 
O teorema de Pitágoras.
Verifique o que estudou
Forme dupla com um colega para trocar ideias e solucionar a questão proposta.
• Duas retas, r e s, interceptam -se perpendicularmente em um ponto A. Um ponto B, pertencen-
te à reta r, está situado a 60 cm de A, e um ponto C, pertencente à reta s, está situado a 80 cm 
de A. Um ponto D pertence ao segmento de reta BC de tal modo que AD e BC são perpendi-
culares. Calculem a medida de .AD 
ATENÇÃO!
Retome os assuntos que você estudou neste módulo. Verifique em quais teve dificuldade e converse com seu
professor, buscando formas de reforçar seu aprendizado.
A
B
C
D
80
60
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48 cm
Pierre de Fermat (1601 -1665).
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Andrew Wiles (1953-).
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Tri‰ngulo inscrito em 
semicircunfer•ncia
Centro, reta secante, 
reta tangente
Rela•›es mŽtricas no 
tri‰ngulo ret‰ngulo
Teorema de 
Pit‡goras
Diagonal
Ret‰ngulo e 
cubo
Ternos
pitag—ricos
Rela•›es mŽtricas 
na circunfer•ncia
Geometria
Quadro de ideias
Classifica•‹o dos 
tri‰ngulos
Uma publica•‹o
Dire•‹o de conteœdo e 
inova•‹o pedag—gica: M‡rio Ghio Jœnior
Dire•‹o editorial: Lidiane Vivaldini Olo
Ger•ncia editorial: B‡rbara Muneratti de Souza Alves
Coordena•‹o editorial: Adriana Gabriel Cerello
Edi•‹o: Ronaldo Rocha (coord.), Cibeli Chibante Bueno e 
AndrŽ Luiz Ramos de Oliveira (estag.)
Colabora•‹o: Anderson FŽlix Nunes, Elizangela 
Marques, Mariana Almeida
Organiza•‹o did‡tica: Patr’cia Montezano
Revis‹o: HŽlia de Jesus Gonsaga (ger.), Danielle 
Modesto, Edilson Moura, Let’cia Pieroni, Mar’lia Lima, 
Marina Saraiva, Tayra Alfonso, Vanessa Lucena
Coordena•‹o de produ•‹o: Fabiana Manna da Silva (coord.), 
Adjane Oliveira, Dandara Bessa
Supervis‹o de arte e produ•‹o: Ricardo de Gan Braga
Edi•‹o de arte: Catherine Saori Ishihara
Diagrama•‹o: Karen Midori Fukunaga
Iconografia: S’lvio Kligin (superv.), Roberta Freire 
Lacerda (pesquisa), Cesar Wolf e Fernanda Crevin 
(tratamento de imagem)
Ilustra•›es: Casa de Tipos, Giz de Cera, Mauro Souza, 
Paulo Manzi e Suryara Bernardi
Licen•as e autoriza•›es: Patr’cia Eiras
Cartografia: Eric Fuzii, Marcelo Seiji Hirata, M‡rcio 
Santos de Souza, Robson Rosendo da Rocha e Allmaps 
Capa: Daniel Hisashi Aoki
Ilustra•‹o de capa: Roberto Weigand
Projeto gr‡fico de miolo: AndrŽa Dellamagna 
(coord. de cria•‹o)
Editora•‹o eletr™nica: Casa de Tipos, 
Dito e Feito Comunica•‹o e JS Design Comunica•‹o 
Visual (guia do professor)
 
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Dados Internacionais de Cataloga•‹o na Publica•‹o (CIP)
(C‰mara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Dante, Luiz Roberto
 Sistema de ensino ser : ensino fundamental II,
9¼ ano : caderno 3 : matem‡tica : professor /
Luiz Roberto Dante. -- 1. ed. -- S‹o Paulo :
çtica, 2016.
 1. Matem‡tica (Ensino fundamental) I. T’tulo.
16-00787 CDD-372.7
êndices para cat‡logo sistem‡tico:
1. Matem‡tica : Ensino fundamental 372.7
2015
ISBN 978 85 08 17922-0 (AL)
ISBN 978 85 08 17924-4 (PR)
1» edi•‹o
1» impress‹o
Impress‹o e acabamento
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Ensino Fundamental Ð 9¼- ano
Geometria Ð 25 aulas
MATEMÁTICA
GUIA DO PROFESSOR
Luiz Roberto Dante
Livre-docente em Educa•ão Matemática pela Universidade 
Estadual Paulista (Unesp) de Rio Claro, SP. Doutor em 
Psicologia da Educa•ão: Ensino da Matemática pela Pontifícia 
Universidade Católica de São Paulo. Mestre em Matemática 
pela Universidade de São Paulo. Pesquisador em Ensino e 
Aprendizagem da Matemática pela Unesp de Rio Claro, SP. 
Ex-professor da rede estadual dos Ensinos Fundamental e 
Médio de São Paulo. Autor de vários livros, entre os quais: 
Formula•‹o e resolu•‹o de problemas de Matem‡tica: teoria 
e prática; Did‡tica da Matem‡tica na prŽ-escola; Projeto çpis: 
Natureza e Sociedade, Linguagem e Matemática (Educa•ão 
Infantil Ð 3 volumes); Projeto çpis Matem‡tica (1¼¼- ao 5¼¼- ano); 
Projeto Voaz Matem‡tica (Ensino Médio Ð volume œnico); 
Projeto Mœltiplo Ð Matem‡tica (Ensino Médio Ð 3 volumes).
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Geometria
 Relações métricas no 
triângulo retângulo 
e na circunferência
Aula 1 Páginas: 2 a 4
• TEMAS: ÒPonto de partidaÓ e ÒIntrodu•ãoÓ.
• CONTEòDOS TRABALHADOS: Triângulos retângulos, 
catetos e hipotenusas.
Objetivos
• Compreender as rela•›es métricas do triângulo retângulo.
• Reconhecer o desenvolvimento das rela•›es métricas na 
Grécia Antiga.
Estratégias
Inicie a aula abordando o desenvolvimento da Geome-
tria pelos gregos. Explore as imagens e o texto das páginas 2 
e 3. Ressalte a importância de Pitágoras, um dos maiores 
matemáticos da história.
Discuta com os alunos o selo apresentado na página 3. 
Soliciteque identifiquem as figuras geométricas presentes 
no Partenon, ressaltando a escala dos quadrados.
Proponha que discutam e respondam em duplas as ati-
vidades da se•ão Ponto de partida (página 3). Depois, abor-
de coletivamente o assunto.
Por meio da escala dos quadrados que formam os la-
dos do triângulo retângulo, apresente o teorema de Pitá-
goras: a 2 5 b2 1 c 2. Utilize o conteœdo da ÒIntrodu•ãoÓ (pá-
gina 4) para explicar esse e os demais assuntos da aula. 
Mostre a regularidade do teorema de Pitágoras e introduza 
a ideia de hipotenusa e catetos.
Para casa
Solicite aos alunos que fa•am uma pesquisa individual 
e registrem no caderno a rela•ão do teorema de Pitágoras 
com as áreas dos quadrados que formam os lados de um 
triângulo retângulo.
Espera-se que os alunos mencionem que a área do quadrado que 
forma o lado da hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadra-
dos que formam os catetos.
Aula 2 Página: 5
• TEMA: ÒElementos de um triângulo retânguloÓ.
• CONTEòDOS TRABALHADOS: Hipotenusa, catetos, altura e 
ângulos internos.
Objetivos
• Identificar os elementos presentes num triângulo retângulo.
• Compreender a rela•ão entre eles.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa. Em seguida, re-
tome o conceito de triângulo retângulo. Ressalte que, para ser 
classificado como tal, o triângulo deve possuir um ângulo reto.
Retome com os alunos a história dos estiradores de 
cordas do antigo Egito (página 4) e o procedimento que eles 
utilizavam para obter ângulos retos.
Esboce na lousa um triângulo retângulo, indique suas 
medidas, conforme apresentado no material didático, apon-
tando o ângulo reto, catetos, hipotenusa e a altura h relativa 
ˆ hipotenusa. ƒ importante que nesse momento os alunos 
percebam que a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto 
do triângulo retângulo. Ressalte que a hipotenusa é o maior 
lado do triângulo retângulo.
 Plano de aulas sugerido
• Carga semanal de aulas: 5
• Nœmero total de aulas do m—dulo: 25
2 Geometria
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Para casa
Solicite aos alunos que identifiquem os elementos do 
triângulo retângulo a seguir.
A
B
c b
h
n m
C
H
a
Elementos de um triângulo retângulo
A → ângulo reto
B e C → ângulos agudos
a → hipotenusa
b e c → catetos
h → altura relativa à hipotenusa
Aula 3 Páginas: 5 a 8
• TEMA: ÒTeorema ou rela•ão de PitágorasÓ.
• CONTEòDOS TRABALHADOS: Semelhan•a de triângulos e 
teorema de Pitágoras.
Objetivos
• Reconhecer um triângulo retângulo.
• Identificar triângulos semelhantes.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e sanando pos-
síveis dœvidas.
Em seguida, esboce um triângulo retângulo na lousa, 
conforme apresentado na página 5. Destaque os elemen-
tos desse triângulo. Trace a altura relativa ˆ hipotenusa, 
dividindo o triângulo em dois. Verifique se os alunos reco-
nhecem a semelhan•a entre os triângulos e pe•a que, por 
meio da regra fundamental da propor•ão, obtenham as 
rela•›es 
a
c
b
h
c
m
5 5 .
Utilize as rela•›es obtidas para demonstrar o teorema 
de Pitágoras.
Coletivamente, na lousa, resolva os itens a e b da ati-
vidade 1 da página 8 e solicite aos alunos que fa•am o res-
tante individualmente.
Continue utilizando a lousa para a corre•ão e retome os 
conceitos desenvolvidos. Levante as possíveis dœvidas e, 
valendo-se dos exemplos, retome os conceitos sempre que 
julgar necessário.
Para casa
Solicite a realiza•ão das seguintes atividades:
 1. Calcule os valores dos catetos a seguir.
 a ) x
20
25
252 5 x2 1 202
625 5 x2 1 400
x2 5 625 2 400
x2 5 225
x 5 15
 b ) 
9
12
x
x2 5 92 1 122
x2 5 81 1 144
x2 5 225
x 5 15
 2. Um ciclista acrobático vai atravessar de um prédio a outro 
com uma bicicleta especial, percorrendo a distância sobre 
um cabo de a•o, como mostra o esquema a seguir:
A
B
25 m
15 m
40 m
Qual é a medida mínima do comprimento do cabo de a•o?
AB2 5 (25 215)2 1 402
AB2 5 102 1 402
AB2 5 100 1 1 600
AB2 5 1 700
AB vale aproximadamente 41,23 metros.
Aula 4 Páginas: 9 a 11
• TEMA: ÒTeorema ou rela•ão de PitágorasÓ.
• CONTEòDO TRABALHADO: Teorema de Pitágoras.
3
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
Geometria
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Objetivo
• Dominar as manipula•›es matemáticas referentes ao 
conteœdo.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo as tarefas de casa. Em seguida, 
organize a turma em duplas construtivas para que fa•am as 
atividades 3 a 9 da se•ão Exerc’cios (páginas 9 e 10). Caminhe 
pela sala observando como cada dupla as resolve. Caso seja 
identificada alguma dœvida, intervenha mediando uma discus-
são sobre a metodologia abordada pelo aluno. Depois, pe•a ̂ s 
duplas que resolvam os exercícios na lousa, explicando o que 
aprenderam aos colegas. Fa•a a media•ão na corre•ão.
Por fim, em sala ou em casa, solicite aos alunos que 
leiam o texto ÒOutras demonstra•›es do teorema de Pitá-
gorasÓ, na se•ão Leitura (página 11).
Para casa
Solicite aos alunos que respondam ˆ seguinte questão: 
Quantos metros de fio são necessários para Òpuxar luzÓ de 
um poste de 6 metros de altura até a caixa de luz que está ao 
lado da casa e a 8 metros da base do poste?
x2 5 62 1 82
x2 5 36 1 64
x2 5 100
x 5 10 metros
Aula 5 Páginas: 12 a 14
• TEMA: ÒOutras rela•›es métricas importantes no triângulo 
retânguloÓ.
• CONTEòDOS TRABALHADOS: Teorema de Pitágoras, 
semelhan•a de triângulos e regra fundamental da propor•ão.
Objetivos
• Aplicar o teorema de Pitágoras.
• Reconhecer e estabelecer rela•›es de propor•ão em triân-
gulos retângulos semelhantes.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa. Em seguida, 
esboce na lousa um triângulo retângulo. Estimule os alunos 
a apontar as rela•›es métricas desse triângulo.
Estabele•a a altura relativa ˆ hipotenusa do triângulo, 
dividindo-o em dois novos triângulos. Se necessário, esbo-
ce novamente os triângulos formados de maneira que os 
alunos possam perceber se são semelhantes. Por meio da 
regra fundamental da propor•ão, estabele•a as novas rela-
•›es métricas do triângulo retângulo.
Coletivamente, resolva na lousa os itens a e b da ativi-
dade 10 (página 13). Em seguida solicite aos alunos que fa-
•am o restante da atividade, bem como a 11 e a 12 (página 
14). Pe•a a alguns alunos que demonstrem a resolu•ão na 
lousa. No caso de equívocos, evite apresentar a solu•ão di-
retamente. Procure sempre questionar para que o aluno 
compreenda e aprenda.
Para casa
Solicite a realiza•ão da seguinte atividade:
 1. Dado o trapézio retângulo em metros a seguir, determine 
BC, BD, o perímetro e sua área.
A
15
B
D
C
7
6
BC 5 10 m, BD 5 17 m, 
P 5 38 m, A 5 90 m2
 2. Analisando o trapézio isósceles, determine a medida x, o 
perímetro e sua área. Adote a unidade de medida como 
sendo em centímetros.
20
14
4
A
E F
B
D C
xx
x 5 5 cm, P 5 44 cm, A 5 80 cm2
Aula 6 Páginas: 14 e 15
• TEMA: ÒOutras rela•›es métricas importantes no triângulo 
retânguloÓ.
• CONTEòDOS TRABALHADOS: Teorema de Pitágoras, 
semelhan•a de triângulos e regra fundamental da propor•ão.
4 Geometria
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Objetivos
• Saber aplicar o teorema de Pitágoras.
• Reconhecer e estabelecer rela•›es de propor•ão em triân-
gulos retângulos semelhantes.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo as tarefa de casa e esclarecendo 
possíveis dœvidas. Em seguida, solicite aos alunos que fa-
•am individualmente as atividades 13 a 17 da se•ão Exerc’-
cios (páginas 14 e 15). Enquanto eles as resolvem, caminhe 
pela sala observando e sanando eventuais dœvidas. Procure 
voluntários para resolv•-las na lousa.
Em sala ou em casa, pe•a que realizem as atividades 
da se•ão Desafio (página 15).
Para casa
Solicite a realiza•ão da seguinte atividade:
 A distância do menino ao poste é de 12 metros. Sabendo 
que o menino tem 1,60 metro e a altura do poste é de 
6,60 metros, a que distância está a pipa domenino?
x
2 5 (6,6 2 1,6)2 1 122
x
2 5 52 1 122
x
2 5 25 1 144
x
2 5 169
x 5 13
Aula 7 Páginas: 16 e 17
• TEMA: ÒAplica•›es importantes do teorema de PitágorasÓ.
• CONTEòDOS TRABALHADOS: Teorema de Pitágoras e 
diagonais de quadriláteros regulares.
Objetivos
• Definir o conceito de diagonal.
• Aplicar o teorema de Pitágoras para o cálculo de diagonais 
de quadrados.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e esclarecen-
do possíveis dœvidas. Depois, esboce na lousa um qua-
drado de lado l e indique seus vértices. Em seguida, una os 
vértices opostos por um segmento de reta para desen-
volver a ideia de diagonal. Mostre aos alunos que, ao tra-
•ar uma das diagonais, o quadrado foi dividido em dois 
triângulos retângulos iguais.
Isole ou replique o desenho de um dos triângulos re-
tângulos, mostrando que a diagonal do quadrado é a hipote-
nusa do triângulo. Por meio do teorema de Pitágoras, en-
contre a fórmula que define a diagonal do quadrado.
Explore com a turma as explica•›es da página 16.
Solicite aos alunos que fa•am as atividades 18 a 20 da 
se•ão Exerc’cios (páginas 16 e 17), corrigindo-as, coletiva-
mente, ao final da aula.
Para casa
Solicite a realiza•ão das seguintes atividades:
 1. Um quadrado possui lado de 4 centímetros. Determine a 
diagonal desse quadrado utilizando o teorema de Pitágoras.
x
2 5 42 1 42
x
2 5 16 116
x
2 5 32
4 2 cmx 5
 2. A diagonal de um quadrado mede 11 2 centímetros. De-
termine a medida do lado desse quadrado.
(11 2 )
2
 5 x2 1 x2
(11 2 )
2
 5 2x2
x 5 11 cm
Aula 8 Páginas: 17 e 18
• TEMA: ÒAplica•›es importantes do teorema de PitágorasÓ.
• CONTEòDOS TRABALHADOS: Teorema de Pitágoras e 
altura de um triângulo equilátero.
Objetivos
• Deduzir uma expressão matemática a partir do teorema de 
Pitágoras para calcular a altura de um triângulo equilátero.
• Calcular a altura de triângulos equiláteros.
M
a
r
k
 R
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S
h
u
tt
e
r
s
to
c
k
5
M
A
T
E
M
Á
T
IC
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Geometria
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Estratégias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e esclarecendo 
possíveis dœvidas. Em seguida, esboce um triângulo equilá-
tero na lousa. Retome o conceito com os alunos de que esse 
tipo de triângulo é aquele que possui todos os lados iguais.
Nesse mesmo triângulo de lado l, trace sua altura e 
mostre aos alunos como o triângulo equilátero se dividiu 
agora em dois triângulos retângulos.
Em seguida, por meio de manipula•›es algébricas, 
conforme mostrado na página 17, valendo-se do teorema de 
Pitágoras, encontre a fórmula
 
h
l 3
2
5 .
Solicite aos alunos que fa•am as atividades 21 a 25 da 
se•ão Exerc’cios (páginas 17 e 18). Corrija-as coletivamente.
Para casa
Solicite a realiza•ão das seguintes atividades:
 1. Dado um triângulo equilátero de lado l 5 10 centímetros, 
valendo-se do teorema de Pitágoras, qual é o valor de 
sua altura?
l 2 5 h2 1 ( 2
l )
2
102 5 h2 1 52
h2 5 100 2 25
h2 5 75
5 3 cmh 5
 2. Determine o lado l de um triângulo equilátero de 10 3
centímetros de altura.
h2 5
 
3
4
l 2
(10 3 )
2
 5
 
3
4
l 2
300 5
 
3
4
l 2
l 2 5 400
l 5 20 cm
Aula 9 Página: 19
• TEMA: ÒAplica•›es importantes do teorema de PitágorasÓ.
• CONTEòDOS TRABALHADOS: Teorema de Pitágoras e 
diagonais de blocos retangulares.
Objetivo
• Aplicar o teorema de Pitágoras para o cálculo das diago-
nais de blocos retangulares.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo as tarefas de casa e esclarecendo 
possíveis dœvidas. Em seguida, esboce um bloco retangular 
na lousa, definindo de maneira literal seus lados e vértices. 
Trace sua diagonal e, conforme apresentado no material didá-
tico, desenvolva a fórmula para o cálculo dela. Defina um bloco 
regular como sendo um paralelepípedo, ou seja, um prisma de 
seis lados cujas faces são paralelogramos paralelos.
De maneira análoga, mostre o caso particular da diago-
nal do cubo. Explore, coletivamente, a explica•ão disponível 
no material didático.
Solicite aos alunos que fa•am as atividades 26 e 27 da 
se•ão Exerc’cios (página 19). Corrija-as chamando os alu-
nos para resolver na lousa.
Para casa
Solicite a realiza•ão das seguintes atividades:
 1. Encontre a diagonal de um paralelepípedo de lados a 5 2 cen-
tímetros, b 5 3 centímetros e c 5 6 centímetros.
d 2 5 a 2 1 b 2 1 c 2
d 2 5 22 1 32 1 62
d 2 5 4 1 9 1 36
d 2 5 49
d 5 7 cm
 2. Num paralelepípedo reto, as arestas da base medem 8 
centímetros e 6 centímetros e a altura mede 4 centíme-
tros. Calcule a diagonal desse paralelepípedo.
d 2 5 a 2 1 b 2 1 c 2
d 2 5 82 1 62 1 42
d 2 5 64 1 36 1 16
d 2 5 116
d 5 2 29 cm
Aula 10 Página: 20
• TEMA: ÒTriângulo inscrito em uma semicircunfer•nciaÓ.
• CONTEòDOS TRABALHADOS: Triângulos inscritos em uma 
semicircunfer•ncia e teorema de Pitágoras.
Objetivos
• Definir triângulo inscrito.
• Relacionar as medidas do triângulo inscrito com as da 
semicircunfer•ncia.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo as tarefas de casa da aula e es-
clarecendo possíveis dœvidas. Em seguida, esboce um triân-
6 Geometria
SER_EF2_Matematica9_M3_Guia_001_016.indd 6 25/02/16 15:45
gulo inscrito em uma semicircunfer•ncia, conforme exemplo 
do material didático.
Defina triângulo inscrito como aquele em que um de 
seus vértices pertence ˆ semicircunfer•ncia e os outros 
dois pertencem ˆs extremidades do diâmetro da semicir-
cunfer•ncia. Para isso, desenhe e mostre que a hipotenusa 
corresponde ao diâmetro da semicircunfer•ncia. Explore as 
explica•›es do módulo.
Solicite aos alunos que fa•am as atividades 28 e 29 da 
se•ão Exerc’cios (página 20). Corrija-as coletivamente, com 
a participa•ão da turma.
Para casa
Solicite a realiza•ão da seguinte atividade:
 O triângulo ABC é retângulo, pois está inscrito na semicir-
cunfer•ncia, e sua hipotenusa coincide com o diâmetro. 
As proje•›es das cordas AB e AC sobre a hipotenusa me-
dem, respectivamente, 2 centímetros e 8 centímetros. 
Qual é a medida dessas cordas?
A
D
B C
2 cm 8 cm
Tomemos os lados AC e BC e a hipotenusa BC, que pelo 
enunciado vale 10 (2 1 8). Pelo ângulo B, temos que 
sen(B) 5
 10
AC
e cos(B) 5 
10
AB
, mas também pelo ângu-
lo B temos que a altura h do triângulo sen(B) 5
h
AB
e 
cos(B) 5 
2
AB
.
Pegando o cos(B), temos que
 10
2AB
AB
→5 AB² 5 20 → 
→ AB 5 2 5 . Sabemos pelo teorema de Pitágoras que 
AC² 1 AB² 5 10² → AC² 5 80 → AC 5 4 5 .
Assim, as cordas são:
AB 5 2 5 .
AC 5 4 5 .
Aula 11 Páginas: 21 e 22
• TEMA: ÒOutras situa•›es que envolvem rela•›es métricas 
no triângulo retânguloÓ.
• CONTEòDOS TRABALHADOS: Teorema de Pitágoras, 
semelhan•a de triângulos e regra fundamental da propor•ão.
Objetivo
• Solucionar situa•›es-problemas a partir dos conteœdos 
desenvolvidos.
Estratégias
Inicie a aula corrigindo a tarefa de casa e esclarecendo 
possíveis dœvidas. Em seguida, retome os principais conteœ-
dos abordados: elementos de um triângulo retângulo, teo-
rema de Pitágoras e outras rela•›es métricas importantes 
no triângulo retângulo. Para tanto, ilustre cada situa•ão e 
apresente suas express›es matemáticas.
Durante a revisão, motive os alunos a apresentar dœvi-
das e questionamentos.
Solicite que fa•am as atividades 30 a 34 da se•ão 
Exerc’cios (páginas 21 e 22). Procure atender individual-
mente os alunos que voc• perceber que ainda continuam 
com dificuldades. Finalize a aula corrigindo na lousa as ativi-
dades propostas.
Para casa
Solicite a realiza•ão das seguintes atividades
 1. Um trapézio retângulo tem bases 5 e 2 e altura 4. Calcule 
o perímetro desse trapézio.
A
4
2
2
3
4
D CE
B
AB 5 2
DC 5 5
AD 5 4
No ∆BCE, temos:
BE 5 altura do trapézio 5 4
EC 5 DC 2 AB 5 5 2 2 5 3
BC2 5 BE2 1 EC2
BC2 5 42 1 32 5 25
BC 5 5
Perímetro 5 2 1 4 1 5 1 5 5 16
 2. Um grupo de escoteiros deseja construir um acampamento 
em torno de uma árvore. Por seguran•a, eles devem colocar 
as barracas a uma distância da árvore que, se ela cair, não 
venha a atingi-los. Aproveitando