MATEMÁTICA B

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1
Triângulos I
Matemática
1B01
Aula 
 Introdução
O que é Trigonometria?
A palavra Trigonometria pode ser desmembrada em três outras menores que podem nos dar uma ideia do seu 
significado.
tri = três
gono = ângulo
metria = medida
A composição das palavras menores sugere que Trigonometria signifique o estudo das medidas dos triângulos.
Como medir a distância da Terra ao Sol?
Como medir a largura de um rio sem atravessá-lo?
Essas perguntas eram comuns antigamente. Como determinar distâncias inacessíveis? Das semelhanças observa-
das entre figuras menores e figuras maiores, por meio do uso de razões trigonométricas, foi possível responder a essas 
perguntas. Pode-se dizer, inclusive, que um dos principais motivos do estudo da Trigonometria foi a determinação de 
distâncias inacessíveis. Vamos citar alguns fatos relacionados a isso.
Eudoxo de Cnido (400-350 a.C.) foi um matemático e astrônomo grego que teria usado razões trigonométricas 
para calcular a medida da circunferência da Terra e as distâncias relativas ao Sol e à Lua.
Tales de Mileto, outro matemático 
grego (640-550 a.C.), ficou famoso em sua 
época graças a duas façanhas: a previsão 
de um eclipse ocorrido em 585 a.C. e a 
determinação da altura da pirâmide de 
Quéops, sem escalar o monumento.
Atualmente, as aplicações trigonomé-
tricas não se restringem apenas a triângu-
los. Podem ser usadas na Engenharia em 
geral, Topografia e em várias outras áreas 
do conhecimento. Muitas delas ligadas a 
fenômenos periódicos.
Nesta aula, você estudará a Trigono-
metria no triângulo retângulo. Aprenderá 
as razões trigonométricas seno, cosseno e 
tangente para triângulos que apresentam 
um ângulo reto (90°).
Co
re
l S
to
ck
 P
ho
to
s
Sendo a medida de um ângulo agudo de um 
triângulo retângulo, chama-se seno de a razão 
entre as medidas do cateto oposto ao ângulo e a 
hipotenusa do triângulo:
2 Semiextensivo
Razão trigonométrica seno
Vamos considerar um automóvel se deslocando ao 
longo de um plano inclinado. Representando por A1, A2 
e A3 três posições do automóvel e h1, h2 e h3 suas alturas 
correspondentes em relação ao plano horizontal, temos:
Perc
urso h1
P
A1
Perc
urso h2
P
A2
Perc
urso h3
P
A3
A razão entre a altura em que se encontra o automó-
vel e o percurso (na rampa) é constante:
h
A P
h
A P
h
A P
k1
1
2
2
3
3
Assim, podemos definir o que é seno:
Essa constante de proporcionalidade 
é a razão seno de 
Exemplo 1:
Calcule o sen 30° no triângulo retângulo a seguir.
sen 30° = 
4
8
cm
cm
sen 30° = 
1
2
8 cm
4 cm
30°
Exemplo 2:
Calcule a medida x indicada no triângulo, sendo 
sen 40° = 0,64. 
sen 40° = 
x
cm6
0,64 = 
x
cm6
0,64 ∙ 6 cm = x
x = 3,84 cm
6 cm
x
40°
Razão trigonométrica 
cosseno
Voltando ao problema da rampa e do automóvel, 
vamos observar, agora, em três posições, a razão entre 
o afastamento na horizontal e o percurso do automóvel:
P
A1
B1
Perc
urso
Afastamento
Cateto 
oposto a .Hip
ote
nus
a
sen
Cateto oposto a
Hipotenusa
α
α
=
Aula 01
3Matemática 1B
Exemplo 2:
Calcule a medida x indicada no triângulo, sendo 
cos = 0,41.
cos = x
7
0,41 = 
x
7
0,41 ∙ 7 = x x = 2,87 cm
7 cm
x
Razão trigonométrica 
tangente
Considerando agora, no problema do automóvel e 
da rampa, a razão entre a altura em que se encontra o 
automóvel (em relação à horizontal) e seu correspon-
dente afastamento, temos:
A1
A2
B1
B2
h2
h1
Afastamento
Afastamento
P
P
A3
B3
h3
Afastamento
P
A razão entre a altura e o afastamento é constante:
h
PB
h
PB
h
PB
k1
1
2
2
3
3
 Esta constante de proporciona-
lidade é a razão tangente de 
P
P
Afastamento B2
A2
Perc
urso
Afastamento
Perc
urso
B3
A3
A razão entre o afastamento e o percurso é constante:
Esta constante de proporcionali-
dade é a razão cosseno de 
PB
PA
PB
PA
PB
PA
k1
1
2
2
3
3
Sendo a medida de um ângulo agudo de um 
triângulo retângulo, chama-se cosseno de a razão 
entre as medidas do cateto adjacente ao ângulo e a 
hipotenusa do triângulo:
Hip
ote
nus
a
Cateto adjacente a 
cosα
α
=
Cateto adjacente a
Hipotenusa
Exemplo 1:
Calcule o cos 45° no triângulo retângulo a seguir.
cos 45° = 
4
4 2
cm
cm
cos 45° = 
1
2
2
2
cos 45° = 
2
2
4 cm
45°
4 2 cm
4 Semiextensivo
Sendo a medida de um ângulo agudo de um 
triângulo retângulo, chama-se tangente de a 
razão entre as medidas do cateto oposto e do cateto 
adjacente ao ângulo .
Ca
te
to
 o
po
st
o 
a 
Cateto adjacente a 
tg
Cateto oposto a
Cateto adjacente a
α
α
α
=
Exemplo 1:
Calcular a tg 60° no triângulo retângulo a seguir.
5 3 cm
60°
5 cm
tg 60° = 
5 3
5
cm
cm
tg 60° = 3
Exemplo 2:
Calcule a medida x indicada no triângulo, sendo 
tg = 0,62.
 
tg = 
x
cm5
0,62 = 
x
cm5
0,62 ∙ 5 cm = x 
x = 3,1 cm
5 cm
x
Ângulos complementares
a
c
b
Considere um triângulo re-
tângulo de lados medindo a, b 
e c e ângulos agudos e .
Vamos calcular as razões trigonométricas dos ângu-
los e :
sen = 
c
a
; cos = b
a
; tg = c
b
sen = 
b
a
; cos = 
c
a
; tg = 
b
c
Observe que:
sen = cos = 
c
a
sen = cos = 
b
a
Isso ocorre quando temos ângulos complementares, 
ou seja, ângulos cujas medidas somam 90°.
sen = cos 
sen = cos 
 + = 90° 
Assim, por exemplo, sen 20° = cos 70°, pois 
20° + 70° = 90°.
Vale a pena ainda observar que, no caso de um triân-
gulo retângulo cujos ângulos agudos são e o cateto 
oposto a é o cateto adjacente a e, de forma análoga, 
o cateto adjacente a é o cateto oposto a .
Hipotenusa
Cateto oposto a 
ou Cateto 
adjacente a 
Cateto adjacente a 
ou Cateto oposto a 
 Razões trigonométricas 
dos ângulos 30°, 45°e 60°
Na trigonometria em triângulos, uma grande di-
versidade de problemas pode ser resolvida a partir do 
conhecimento das razões trigonométricas dos ângulos 
30°, 45° e 60°.
Essas razões serão obtidas por meio de proprieda-
des geométricas presentes no triângulo equilátero e 
no quadrado. Antes, porém, será necessário recordar 
o Teorema de Pitágoras, válido em qualquer triângulo 
retângulo.
Aula 01
5Matemática 1B
Teorema de Pitágoras
Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da 
medida da hipotenusa é igual à soma dos quadra-
dos das medidas dos catetos:
a
b
c
a2 = b2 + c2
Razões trigonométricas de 45°
Considere o quadrado de lado medindo x:
d
45°
45°
x
x
 • Diagonal em função do lado:
a2 = b2 + c2
d2 = x2 + x2
d2 = 2x2 d = x 2
 • sen 45° = cos 45° 
sen 45° = cos 45° = 
x
d
sen 45° = cos 45° = 
x
x 2
sen 45° = cos 45° = 
2
2
 
 • tg 45°
tg 45° = 
x
x
tg 45 ° = 1
Razões trigonométricas de 30° e 60°
Considere o triângulo equilátero de lado medindo x:
30°
60°
x
h
x/2
 • Cálculo da altura em função do lado:
a2 = b2 + c2
x h
x
h
x
h
x
2 2
2
2
2
2
3
4
3
2
= +⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= ⇒ =
 • sen 30° = cos 60°
sen 30° = 
x
x
2
sen 30° = cos 60° = 
1
2
 • sen 60° = cos 30°
sen 60° = 
h
x
sen 60° = 
x
x
3
2 
sen 60 ° = cos 30° = 
3
2
 • tg 60°
tg 60° = 
h
x
2
tg 60° = 
x
x
3
2
2
 tg 60° = 3
 • tg 30° 
tg 30° = 
x
x
2
3
2
tg 30° = 
1
3
3
3
 tg 30° = 
3
3
6 Semiextensivo
Os resultados obtidos podem ser resumidos no seguinte quadro:
30° 45° 60°
sen
1
2
2
2
3
2
cos 3
2
2
2
1
2
tg
3
3
1 3
01. Dado o triângulo retângulo ABC cujas medidas dos 
catetos, em cm, estão indicadas na figura, calcule as 
razões trigronométricas seno, cosseno e tangente 
dos ângulos agudos.
C
A B
5
12
02. (UNIFOR – CE) – Os pneus de uma bicicleta têm raio 
R e seus centros distam 3R. Além disso, a reta t passa 
por P e é tangente à circunferência do pneu, forman-
do um ângulo com a reta s que liga os dois centros. 
p
t
S
Pode-se concluir que cos é igual a:
a) 2 3
3
d) 2 2
3
b) 3 2
2
e) 3
3
c) 3 3
2
Situações para resolver
03. (UNIFOR – CE) – Uma pessoa está a 80 3 m de um 
prédio e vê o topo do prédio sob um ângulo de 30°, 
como mostra a figura abaixo. Se o aparelho que mede 
o ângulo está a 1,6 m de distância do solo, então pode-
mos afirmar que a altura do prédio,em metros, é:
1, 60 m
30°
80√3 m
a) 80,2
d) 82,5
b) 81,6
e) 83,2
c) 82,0
04. (MACK – SP) – 
60°60°
A B
C FED
Se na figura, AD 3 2 e CF 14 6 , então a medida 
de AB é:
a) 8 6
d) 28
b) 10 6
e) 14 5
c) 12 6
05. (FAMECA – SP) – Uma barra metálica reta pode girar 
em sentido horário ou anti-horário, sempre conectada 
a um mesmo pivô. O dispositivo em que se encontra a 
barra tem um anteparo impondo limites para os giros 
nos dois sentidos, como indica a figura.
anteparo
barra
metálica
pivô
48 cm
anteparo
giro máximo em
sentido horário
45°
anteparo
giro máximo em
sentido anti-horário
30°
x {
A parte da barra que ultrapassa o anteparo na situa- 
ção de giro máximo em sentido anti-horário, indicada 
na figura por x, tem medida, em centímetros, igual a
a) 16(3 2 – 2 3)
c) 8(3 2 – 2 3)
e) 4(3 2 – 2 3)
b) 16(2 2 – 3 )
d) 6(3 2 – 3 )
Aula 01
7Matemática 1B
Testes
Assimilação
01.01. (UNICAMP – SP) – Ao decolar, um avião deixa o solo 
com um ângulo constante de 15°. A 3,8 km da cabeceira 
da pista existe um morro íngreme. A figura abaixo ilustra a 
decolagem, fora de escala.
Aeroporto
15°
3,8 km
Podemos concluir que o avião ultrapassa o morro a uma 
altura, a partir da sua base, de 
a) 3,8 tan (15°) km. 
c) 3,8 cos (15°) km. 
b) 3,8 sen (15°) km. 
d) 3,8 sec (15°) km.
01.02. (UNISC – RS) – O topo de uma torre é visto sob 
um ângulo de 30°, a uma distância de 30 metros de sua 
base. A altura desta torre, em metros, sendo sen30° = 
1
2
, 
cos30° = 
3
2
 e tg30° = 
3
3
, é igual a:
a) 10 3
d) 20 3
b) 15 3
e) 30 3
c) 15 
01.03. (UNIUBE – MG) – 
a
b
b
b
b a
a
a
a b
c
c
c
c
ab
b
b
a
a
Observando as figuras, marque a alternativa CORRETA.
a) c2 = b2
b) b2 = 4ab
c) (a + b)2 = c2
d) c2 = a2 + b2
e) a2 + c2 = b2
01.04. (UNIEVANGÉLICA – GO) – Suponha que um sí-
tio esteja situado no mapa, conforme a figura a seguir. 
Sabendo-se que a reta que liga o povoado de Santa Rita a 
Anápolis é perpendicular à reta que liga Anápolis ao sítio, 
qual a distância, em quilômetros, do sítio ao povoado de 
Santa Rita?
Sítio
60 °
30
 K
m
Anápolis Santa Rita
a) 30
b) 60
c) 20 3
d) 15
8 Semiextensivo
01.05. (IFPE) – Andando pela rua onde mora, Bira notou que 
havia um prédio em obras onde foi construída uma rampa 
para retirada de entulhos do segundo andar do edifício. A 
rampa forma um ângulo de inclinação de 30° com o chão, 
conforme a figura abaixo.
6 m
30°
Dado: sen 30° = 1
2
Sabendo que o topo da rampa está a uma altura de 6 m do 
chão, qual o comprimento da rampa, em metros?
a) 18
c) 4 3
e) 6
b) 12 
d) 6 2
Aperfeiçoamento
01.06. (UNIFOR – CE) – Na figura abaixo, têm-se os tri-
ângulos retângulos ABC, BCD e BDE. Se os lados têm as 
medidas indicadas na figura, então a medida do lado BE, 
em centímetros, é
a) 3
b) 2
c) 5
d) 6
e) 7
E
D
1 cm
1 cm
1 cm
2 cm
C
A B
01.07. (UNIFOR – CE) – Um homem que, quando em pé, tem 
os olhos a uma altura de 1,70 m, utilizou a seguinte estratégia 
para determinar a altura de um edifício: posicionou-se em 
um ponto ‘A’ do qual viu o topo do edifício sob um ângulo 
de 30°, sendo o ângulo medido a partir da horizontal que 
passa por seus olhos. Depois recuou até um ponto ‘B’ de onde 
viu o topo do edifício sob um ângulo de 15° medido sob as 
mesmas condições do primeiro ângulo. Mediu a distância 
do ponto ‘A’ ao ponto ‘B’ e, sabendo que o terreno é plano, 
o homem calculou a altura do edifício.
Se a distância entre ‘A’ e ‘B’ é 76,6 m, então a altura do edifício, 
em metros, é:
a) 50,6
c) 40
e) 35
b) 45,7
d) 38,3
01.08. (IBMEC – SP) – Uma estação de trens é constituída por 
dois galpões cujas fachadas têm a forma de dois semicírculos 
que se tangenciam, conforme a figura a seguir.
Terminal 1 Terminal 2
Os raios dos semicírculos das fachadas dos terminais 1 e 2 
medem, respectivamente, 30 m e 20 m. Uma empresa está 
fazendo um estudo para instalar um sistema de ar condicionado 
nos galpões. Para diminuir o impacto da insolação, pretende-se 
instalar um telhado tangenciando os dois terminais, conforme 
indicado pela linha tracejada na figura. A medida do telhado, 
correspondente ao comprimento dessa linha tracejada, é igual a:
a) 60 3m
c) 30 2m
e) 20 6 m
b) 60 2m
d) 20 3m
Aula 01
9Matemática 1B
01.09. (UFPB) – A figura abaixo mostra um corte longitudinal 
de uma rampa de acesso a um edifício comercial de certo mu-
nicípio. Nessa figura, o triângulo ABC é retângulo em A, sendo 
i o ângulo que a rampa faz com a horizontal. A inclinação de 
uma rampa de acesso como essa é definida por tg(i) × 100%, 
onde tg(i) representa a tangente do ângulo i, e o código de 
obras desse município estabelece que, em rampas com inclina-
ção entre 6% e 10%, deve ser utilizado material antiderrapante.
C
A
i
B
Com objetivo de avaliar a necessidade de utilização de ma-
terial antiderrapante em rampas, foram feitas as medições 
AB e AC de três rampas desse edifício, obtendo os valores 
mostrados na tabela abaixo:
RAMPA AC AB
1 30 cm 4 m
2 25 cm 5 m
3 20 cm 3 m
A partir dessas informações, e considerando o que estabelece 
o referido código, será preciso utilizar material antiderrapante 
apenas na(s) rampa(s):
a) 1 
c) 1 e 2
e) 2 e 3
b) 2 
d) 1 e 3
01.10. (FGV – SP) – Um triângulo tem lados medindo 1 cm, 
2 cm e 2,5 cm. Seja h a medida da altura relativa ao maior 
lado. O valor de h2 expresso em cm2 é, aproximadamente, 
igual a:
a) 0,54
c) 0,58
e) 0,62
b) 0,56 
d) 0,60
01.11. (UFRN) – A figura abaixo representa uma torre de 
altura H equilibrada por dois cabos de comprimentos L1 e 
L2 , fixados nos pontos C e D, respectivamente.
C D
B
A
H
L1 L2
60°30°
Entre os pontos B e C passa um rio, dificultando a medição 
das distâncias entre esses pontos. Apenas com as medidas 
dos ângulos C e D e a distância entre B e D, um engenheiro 
calculou a quantidade de cabo (L1 + L2) que usou para fixar 
a torre. 
O valor encontrado, usando 3 1 73, e BD = 10 m, é:
a) 54,6 m. 
b) 44,8 m. 
c) 62,5 m. 
d) 48,6 m.
10 Semiextensivo
01.12. (UEGO) – Do alto de um edifício de 24 metros de 
altura, um engenheiro vê o topo de um outro edifício mais 
alto, observando-o sob um ângulo de 30°. Sabendo que a 
distância entre os dois edifícios é de 100 3 metros, a altura 
do edifício mais alto é:
a) 100 3 m b) 100 m c) 124 m d) 124 3 m
Aprofundamento
01.13. (PUCCAMP – SP) – Uma loja que vende rodas e pneus 
para automóveis resolveu fazer uma promoção. Para divulgá-
-la, o funcionário da loja montou, com seis pneus iguais e 
de raio de medida x cm, um desenho conforme aparece na 
Figura 1. Uma placa retangular, de altura h, com a palavra 
PROMOÇÃO será desenhada ao lado da imagem dos pneus 
,de forma que ela ocupe exatamente a altura do desenho, 
conforme mostra a Figura 2.
Figura 1 Figura 2
h
Adotando no cálculo final 3 1 7, , a altura h, em centí-
metros, é igual a:
a) 3x.
d) 5,4x.
b) 3,4x. 
e) 6x.
c) 4,2x. 
01.14. (INSPER – SP) – O acesso à garagem de um edifício é 
guardado por um portão retangular que fica normalmente 
fechado. Para abrir a passagem para os veículos que por ali 
circulam, o portão sobe e se inclina, conforme figuras a seguir.
portão fechado
A
B
C
D
P1
Q1
Distantes 0,5 m do nível da calçada (pontos A e B), os pontos 
P1 e Q1 indicam as posições das extremidades de um eixo 
que sustenta o portão.
portão aberto
A
B
CP2
Q2
O portão, que tem 3 m de altura, sobe e simultaneamente 
gira 60 graus em torno desse eixo, até ficar totalmente aberto, 
suspenso nas posições indicadas por P2 e Q2.
Se o portão, quando totalmente aberto, deve deixar uma 
passagem livre de pelo menos 2 m de altura, a menor dis-
tância dos pontos P2 e Q2 em relação ao nível da calçada, 
indicada pelos pontos A e B, deve ser de
a) 2,05 m.
c) 2,25 m.
e) 2,45 m.
b) 2,15 m. 
d) 2,35 m.
Aula 01
11Matemática 1B
01.15. (PUCCAMP – SP) – A figura indica um avião supersôni-
co voando de A para C a 12 km de altitude e com velocidade 
constante de 1872 km/h.
P
A Linha de voo do avião
(paralela à linha do chão)
Linhado chão
B C
45°
15°30°
Desprezando-se a curvatura da Terra e adotando no cálculo 
final 3 1 7, , o tempo que esse avião leva para ir de B até 
C, em segundos, é igual a
a) 6.
b) 8.
c) 10.
d) 12.
e) 14.
01.16. (UECE) – Considere, no plano, duas retas paralelas r e 
s cuja distância entre elas é 3 cm. Tome em s um segmento 
de reta cuja medida é 1cm e em r um ponto X tal que a 
distância de X a um dos extremos do segmento de reta 
considerado é 5 cm. As possíveis distâncias de X ao outro 
extremo do segmento são 
a) 3 2 cm e 34 cm.
b) 3 2 cm e 2 3 cm.
c) 2 3 cm e 34 cm.
d) 3 2 cm e 4 2 cm.
01.17. (UNIFACS – BA) – Os retângulos na figura representam 
uma seção transversal de duas caixas de mesmo compri-
mento e altura, estando uma delas apoiada sobre a outra.
h h
c
c
P
45°
Sendo o comprimento e a altura respectivamente iguais a 
c = 12 cm e h = 4 cm, então a distância, em cm, do ponto 
P até a horizontal está entre
01) 14 e 15. 
02) 13 e 14. 
03) 12 e 13.
04) 11 e 12.
05) 10 e 11.
01.18. (UFPR) – Duas escadas foram usadas para bloquear 
um corredor de 2,4 m de largura, conforme indica a figura. 
parede 1 parede 2
h
2,4 m
Uma mede 4 m de comprimento e outra 3 m. A altura h, do 
ponto onde as escadas se tocam, em relação ao chão, é de 
aproximadamente 
a) 1,15 m. 
d) 2,08 m. 
b) 1,40 m. 
e) 2,91 m.
c) 1,80 m. 
12 Semiextensivo
Discursivos
01.19. (PUCRJ) – Seja ABC um triângulo equilátero de lado 1 cm em que O é o ponto de encontro das alturas. Quanto mede 
o segmento AO?
01.20. No triângulo ABC, AB = 13, BC = 14, CA = 15, M é o ponto médio de AB e H é o pé de uma das alturas do triângulo 
ABC, conforme indicado na figura a seguir.
B H
A
M
C
Nas condições dadas, determine o perímetro do triângulo BMH.
Aula 01
13Matemática 1B
01.01. a
01.02. a
01.03. d
01.04. b
01.05. b
01.06. e
01.07. c
01.08. e
01.09. d
01.10. c
01.11. a
01.12. c
01.13. d
01.14. c
Gabarito
01.15. c
01.16. a
01.17. 04
01.18. a
01.19. 3
3
cm
01.20. 18
14 Semiextensivo
 Introdução 
Os problemas relativos a triângulos não são restritos 
a triângulos retângulos. Observe, por exemplo, a ilustra-
ção a seguir:
A
B C
Margem 
direita
Margem 
esquerda
60°
75° 45°
AB = 100 m
Uma região ABC (forma triangular) precisa ser demarca-
da. O topógrafo encontra-se na margem esquerda do rio e, 
com o auxílio de um teodolito, consegue obter as medidas 
dos ângulos A e B. Usando uma trena, obtém AB = 100 m. 
Como obter, sem atravessar o rio, as medidas de AC e BC?
O objetivo principal desta aula é dar condições a 
você de chegar a tais resultados.
 Lei dos senos
Em qualquer triângulo, as medidas dos lados são 
proporcionais aos senos dos ângulos opostos. A 
constante de proporcionalidade é igual à medida do 
diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo:
a
senA
b
senB
c
senC
R2
Observe a figura:
A
B C
c b
a
R
Na Matemática, quando queremos verificar a vera-
cidade de um resultado, utilizamos uma demonstração. 
Acompanhe a demonstração para um triângulo não 
retângulo ABC:
A
B C
hB
a
bc
HB
 • Traçamos a altura hB (relativa ao lado AC), dividindo 
o triângulo ABC em dois triângulos retângulos: ABHB 
e BCHB
 • No triângulo ABHB, temos:
sen A = 
h
c
B
hB = c ∙ sen A (1)
 • No triângulo BCHB, analogamente:
sen C = 
h
a
B
hB = a ∙ sen C (2)
 • Comparando (1) e (2):
c ∙ sen A = a ∙ sen C
c
sen C
a
sen A (3) 
 • Traçamos a altura hA (relativa ao lado BC), dividindo 
o triângulo ABC em dois triângulos retângulos: ABHA 
e ACHA
A
B Ca
bc hA
HA
Matemática
15Matemática 1B
Triângulos II
1BAula 02
 • No triângulo ABHA, temos:
sen B = 
h
c
A
hA = c ∙ sen B (4)
 • Analogamente, no triângulo ACHA:
sen C = 
h
b
A
hA = b ∙ sen C (5)
 • Comparando (4) e (5):
c ∙ sen B = b ∙ sen C
c
sen C
b
sen B (6)
 • Agora, comparando (3) e (6), obtemos:
a
sen A
b
sen B
c
sen C
 (7)
E o diâmetro da circunferência circunscrita ao triân-
gulo?
Inscrevemos o triângulo ABC numa circunferência e, 
a partir de um de seus vértices, traçamos o diâmetro:
A
B C
B’
2R
b
 • O ângulo B tem a mesma medida do ângulo B’, por 
serem ângulos inscritos relativos ao mesmo arco AC. 
O triângulo AB’C é retângulo em C, por estar inscrito 
numa semicircunferência. Assim:
sen B = sen B’ 
sen B = b
R2
2R = b
sen B
 (8)
 • Comparando (7) e (8), completamos a demonstração:
a
sen A
b
sen B
c
sen C
R2
 
Lei dos
senos
Observe, no exemplo, a utilização da lei dos senos na 
resolução de um triângulo:
Exemplo:
No triângulo ABC, a seguir, calcule a medida x indi-
cada.
x
5 cm
30° 45°
Resolução:
Pela lei dos senos, temos:
x
sen sen
x
x cm
45
5
30
2
2
5
1
2
5 2
°
=
°
=
=
A lei dos senos pode ser utilizada em qualquer triân-
gulo. No caso de triângulos retângulos, basta considerar 
sen 90 1° = .
 Lei dos cossenos
Em qualquer triângulo, o quadrado da medida de 
um lado é igual à soma dos quadrados das medidas 
dos outros dois lados, menos duas vezes o produto 
das medidas desses lados pelo cosseno do ângulo 
formado por eles:
A
CB
a
c
b
a2 = b2 + c2 – 2 ∙ bc ∙ cos A
b2 = a2 + c2 – 2 ∙ ac ∙ cos B
c2 = a2 + b2 – 2 ∙ ab ∙ cos C
16 Semiextensivo
Vamos provar apenas a terceira relação, consideran-
do o ângulo C agudo.
 • Traçamos a altura AH
—
, obtendo os triângulos retân-
gulos AHC e AHB:
A
B C
H
h
a
c
b
 • No triângulo AHC, temos:
cos C = 
HC
b
 HC = b ∙ cos C (1) 
b2 = HC2 + h2 h2 = b2– HC2 (2)
 • No triângulo AHB, temos:
c2 = h2 + (a – HC)2 
c2 = h2 + a2 – 2 ∙ a ∙ HC + HC2
 • Substituindo (1) e (2) na equação anterior:
c2 = b2 – HC2 + a2 – 2 ∙ a ∙ b ∙ cos C + HC2
c2 = a2 + b2 – 2 ∙ ab ∙ cos C 
Lei dos
cossenos
A lei dos cossenos também pode ser utilizada em 
triângulos retângulos, considerando cos 90° = 0.
Nesse caso, a lei dos cossenos reduz-se ao Teorema 
de Pitágoras (c2 = a2 + b2).
Observe, a seguir, um exemplo da utilização da lei 
dos cossenos.
Exemplo:
Obtenha, no triângulo a seguir, a medida x indicada.
7 cm
5 cm
x
30°
e
Resolução:
Pela lei dos cossenos:
x2 = 52 + 72 – 2 ∙ 5 ∙ 7 ∙ °cos 30
x2 = 25 + 49 – 70 ∙ 3
2
x2 74 – 35 ∙ 1,73 ( 3 1,73)
x2 13,45
x 3,67 cm
 Aplicação
Para exemplificar uma aplicação, vamos resolver o 
problema proposto no início da aula.
A
B C
60°
75°
100
45°
Na figura anterior, queremos determinar as medidas 
de AC e BC:
 • Lei dos senos no triângulo ABC:
100
45 60 75sen
BC
sen
AC
sen°
=
°
=
°
 • Cálculo de BC:
100
2
2
3
2
100 3
2
50 6
BC
BC
BC m
 • Cálculo de AC:
Como não sabemos ainda o valor de sen 75°, para o 
cálculo de AC, o uso da lei dos senos não é conveniente. 
Podemos, entretanto, traçar a altura BH relativa ao lado 
AC e analisar os triângulos retângulos ABH e BCH.
Aula 02
17Matemática 1B
A
H
B C
60°
30°
45°
100
50√ 6
45°
No triângulo ABH:
sen 30° = 
AH AH
AH m
100
1
2 100
50⇒ ⇒ ⇒ = 
cos 30° = 
BH BH
BH m
100
3
2 100
50 3⇒ = ⇒ =
O triângulo BCH é isósceles, logo BH = HC.
Como AC = AH + HC, temos:
AC = AH + BH
AC = 50 + 50 3
AC = 50 ∙ (1 + 3) m
Observações:
Em aulas futuras, você aprenderá que 
sen 75° = 
6 2
4
. Com essa informação, o pro-
blema poderia ter sido resolvido diretamente pela 
lei dos senos.
 Seno e cosseno de 
ângulos obtusos
Eventualmente, em algumas situações, será necessá-
rio calcular senos e cossenos de ângulos cujas medidas 
estão compreendidas entre 90° e 180°.
De momento, vamos mostrar como podem ser 
obtidos esses valores. Posteriormente, com o estudo 
avançado da trigonometria, você entenderá a justifica-
tiva de tais resultados.
 • O seno de um ângulo obtuso é igual ao seno do 
suplemento desse ângulo, ou seja:
sen = sen (180° – )
Exemplo:
sen 120° = sen (180° – 120°) = sen 60° = 
3
2
 • O cosseno de um ângulo obtuso é igual ao oposto 
do cosseno do suplemento desse ângulo, ou seja:
cos = – cos (180° – )
Exemplo:
cos 150° =– cos 180° – 150° = – cos 30° = – 3
2
 Lei dos cossenos na 
Física
Na Física, existe uma aplicação importante da lei dos 
cossenos no cálculo da resultante de duas forças.
Considere duas forças de módulos F1 e F2 aplicadas 
num ponto, formando entre si um ângulo . Obtenha, 
pela regra do paralelogramo, o módulo da resultante R 
indicada na figura.
F1
F2
R
A lei dos cossenos será aplicada no triângulo desta-
cado a seguir:
F1
F2
F1
180
° – 
R2 = F21 + F
2
2 – 2 ∙ F1 ∙ F2 ∙ cos 180° – 
Como cos 180° – = – cos , temos:
R2 = F21 + F
2
2 – 2 . F1 ∙ F2 ∙ – cos 
R2 = F1
2 + F2
2 + 2 ∙ F1 ∙ F2 ∙ cos 
A diferença de sinal entre o cálculo do vetor resul-
tante (lei dos cossenos na Física) e a lei dos cossenos 
na Matemática deve-se ao fato de que o ângulo que é 
usado na Matemática é , enquanto que, na Física, é 
(180° – ).
A lei é a mesma, apenas o ângulo considerado é 
diferente.
Na Física, o sinal é 
positivo
18 Semiextensivo
01. Considere o triângulo ABC a seguir:
75°
45°
CA
B
2√3 m
Determine a medida:
a) do ângulo interno relativo ao vértice C, em graus;
b) de AB, em metros; 
c) do raio da circunferência circunscrita ao triângulo 
ABC, em metros.
02. (UECE) – Se a medida de um dos ângulos internos 
de um paralelogramo é 120° e se as medidas de dois 
de seus lados são respectivamente 6 m e 8 m, então 
a medida, em metros, da diagonal de maior compri-
mento deste paralelogramo é:
a) 2 37
b) 3 37
c) 2 48
d) 3 48
03. Determine as medidas x e y indicadas na seguinte 
figura:
105°
45°
y
x
√6
Situações para resolver
Aula 02
19Matemática 1B
Testes
Assimilação
02.01. (CESGRANRIO – RJ) – Os lados de um triângulo são 3, 
4 e 6. O cosseno do maior ângulo interno desse triângulo vale:
a) 11/24
d) –3/8
b) –11/24
e) –3/10
c) 3/8
02.02. (VUNESP – SP) – Na figura, os pontos A, B e C estão 
sobre uma circunferência de raio 1cm, e o ângulo ACB 
mede 45°.
45°
C
B
A
Nessas condições, o comprimento da corda AB , em cm, vale:
a) 2
b) 1 2
2
c) 2
2
d) 
1 2
4
e) 2 1
02.03. (CESGRANRIO – RJ) – No triângulo ABC, os lados AC 
e BC medem 8 cm e 6 cm, respectivamente, e o ângulo A 
vale 30°. O seno do ângulo B vale:
a) 1/2
b) 2/3
c) 3/4
d) 4/5
e) 5/6
02.04. (UEL – PR) – Se um triângulo ABC está inscrito numa 
circunferência de raio r, vale a relação 
BC AB AC
2rˆ ˆ ˆsen A senBsen C
= = =
Considere agora a figura seguinte, na qual há um triângulo 
inscrito em uma circunferência de centro O:
45°
5 cm
30°
x
O
A medida indicada por x é, em centímetros:
a) 10 2
b) 5 3
c) 7,5
d) 5 2
e) 2,5
20 Semiextensivo
02.05. (UNIFOR – CE) – Na figura abaixo tem-se um triân-
gulo cujas medidas dos lados são dadas em centímetros:
3
4
2θ
Se θ é ângulo assinalado, então cos θ é igual a:
a) –1
b) –3/4
c) –1/2
d) –1/3
e) –1/4
Aperfeiçoamento
02.06. (UNIMONTES – MG) – Considere o triângulo isósceles 
ABC da figura abaixo. É CORRETO afirmar que o cosseno do 
ângulo  vale
a) 
1
9
b) 
2
9
c) 
1
3
d) 
2
3
A
BC
aa
4
3
a
02.07. (IFPE) – Sandro é velejador e está participando de 
uma competição. O barco de Sandro está se deslocando em 
linha reta e ele identifica os pontos A, B e C marcados na carta 
náutica por onde o seu barco vai passar. Quando o barco está 
no ponto A, ele avista um farol (F) na costa e mede o ângulo 
ˆFAC de 30°. Após navegar 4 milhas náuticas, o barco chega 
no ponto B. Ele calcula o ângulo ˆFBC e encontra 75°. Qual a 
distância, em milhas náuticas, do ponto B ao farol?
a) 2
b) 2 2
c) 4
d) 4 2
e) 8
02.08. (INSPER – SP) – Considere o quadrilátero convexo 
ABCD mostrado na figura, em que AB = 4 cm, AD = 3 cm 
e m(Â) = 90°.
A B
C
D
Se a diagonal BD está contida na bissetriz do ângulo ˆABC e 
BD = BC, então a medida do lado CD, em centímetros, vale
a) 2 2
b) 10
c) 11
d) 2 3
e) 15
Aula 02
21Matemática 1B
02.09. (FGV – SP) – Seja ABCD um quadrado, e P e Q pon-
tos médios de BC e CD, respectivamente. 
CPB
A D
Q
β
Então, senβ é igual a:
a) 5
5
b) 3
5
c) 10
5
d) 4
5
e) 5
6
02.10. (UFPR) – Calcule o seno do maior ângulo de um 
triângulo cujos lados medem 4, 6 e 8 metros.
a) 1/4
b) 1/2
c) 15
4
d) 10
4
e) 3
2
02.11. (UNESP – SP) – Um professor de geografia forneceu a 
seus alunos um mapa do estado de São Paulo, que informava 
que as distâncias aproximadas em linha reta entre os pontos 
que representam as cidades de São Paulo e Campinas e 
entre os pontos que representam as cidades de São Paulo e 
Guaratinguetá eram, respectivamente, 80 km e 160 km. Um 
dos alunos observou, então, que as distâncias em linha reta 
entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, 
Campinas e Sorocaba formavam um triângulo equilátero. Já 
um outro aluno notou que as distâncias em linha reta entre 
os pontos que representam as cidades de São Paulo, Gua-
ratinguetá e Campinas formavam um triângulo retângulo, 
conforme mostra o mapa.
SP Campinas
Sorocaba
80 km
São Paulo
160 km
Guaratinguetá
Com essas informações, os alunos determinaram que a 
distância em linha reta entre os pontos que representam as 
cidades de Guaratinguetá e Sorocaba, em km, é próxima de
a) 80 2 5 3⋅ + ⋅ 
b) 80 5 2 3⋅ + ⋅
c) 80 6
d) 80 5 3 2⋅ + ⋅
e) 80 7 3
22 Semiextensivo
02.12. (UDESC) – Um guindaste industrial simples, usado 
para elevar cargas até o topo de uma máquina em uma 
fábrica, é formado por duas partes principais: uma haste 
rígida de 8 m de comprimento fixada ao solo em uma de suas 
extremidades; e um pistão hidráulico que pode variar de 2 m 
a 3 m de comprimento, fixado em uma de suas extremidades 
ao solo, em um ponto a 1 m da base da haste principal, e 
na outra extremidade em um ponto da haste a 3 m de sua 
base, conforme figura. Todas as três junções (haste com o 
solo, pistão com o solo e haste com o pistão) são rotativas 
(como uma dobradiça).
5 m
3 m
Haste principal
Pistão
Solo
Juntas rotativas
1 m
√7 m
De acordo com a figura, a altura que a ponta elevada da 
haste principal atingirá quando o pistão hidráulico estiver 
estendido em 7 m será de:
a) 4 3 m
b) 8 7
3
m
c) 4 m
d) 4 7 m
e) 5 3
2
m
Aprofundamento
02.13. (UDESC) – Quadros interativos são dispositivos de 
interface humana que permitem ao usuário interagir com as 
imagens projetadas sobre uma tela grande, geradas por um 
computador. O uso desses quadros é cada vez mais comum 
em instituições de ensino, substituindo o quadro para giz ou 
o quadro branco.
Uma das tecnologias que possibilita essa interação funciona a 
partir de um sensor instalado em um dos cantos da tela onde 
a imagem é projetada, e de uma caneta eletrônica especial 
que, ao ser acionada, emite dois sinais simultâneos: um pulso 
sonoro (ultrassom) e um pulso luminoso (infravermelho). O 
pulso de ultrassom é usado para calcular a distância da ponta 
da caneta até o sensor, enquanto o pulso de infravermelho 
indica ao sistema o ângulo entre a base da tela e o segmento 
de reta que une o sensor à ponta da caneta.
Considere um quadro interativo de 3 metros de largura por 
2 metros de altura, representado no primeiro quadrante de 
um plano cartesiano, com o sensor instalado na origem. 
Um usuário aciona a caneta em três pontos distintos da tela, 
gerando as leituras de distância e de ângulo apresentadas 
na tabela:
PONTO DISTÂNCIA ÂNGULO
A
B
C
2 m
2 m
1 m
60°
30°
30°
O triângulo com vértices nos pontos A, B e C é:
a) escaleno.
b) equilátero.
c) isósceles de base BC.
d) isósceles de base AB.
e) retângulo em A.
Aula 02
23Matemática 1B
02.14. (UECE) – Sejam x, y e z as medidas dos lados do triân-
gulo XYZ e R a medida do raio da circunferência circunscrita 
ao triângulo. Se o produto dos senos dos ângulos internos 
do triângulo é 
k x y z
R 3
, então o valor de k é: 
a) 0,500. 
b) 0,250. 
c) 0,125. 
d) 1,000. 
02.15. (FGV – SP) – Um triângulo isósceles tem os lados 
congruentes com medida igual a 5. Seja a medida do 
ângulo da base, para a qual a área do referido triângulo é 
máxima. Podemos afirmar que:
a) 10° ≤ < 20°
b) 20° ≤ < 30°
c) 30° ≤ < 40°
d) 40° ≤ < 50°
e)50° ≤ < 60°
02.16. (IFSP) – Uma empresa de fornecimento de energia, 
ao instalar a rede elétrica em uma fazenda, precisou colocar 
dois postes em lados opostos de um lago para permitir a 
passagem da fiação. Com isso, surgiu um pequeno pro-
blema: para fazer o projeto da rede, seria necessário saber 
a distância entre os postes, e a presença do lago impedia 
a medição direta dessa distância. Um dos engenheiros 
posicionou-se em um local onde era possível visualizar os 
dois postes e medir a distância entre eles. Com um aparelho 
apropriado, ele mediu o ângulo entre a linha de visão dele 
e os postes, obtendo 120°. Um auxiliar mediu a distância do 
poste mais afastado do engenheiro e obteve 100 m; outro 
auxiliar mediu o ângulo entre a linha do poste mais próximo 
do engenheiro e a linha entre os postes, obtendo 45°. Com 
essas informações, o engenheiro sorriu. Ele já conseguiria 
calcular a distância aproximada entre os postes. Assinale a 
alternativa que a apresenta.
a) 300 m.
b) 150 m.
c) 122,47 m.
d) 112,17 m.
e) 95,26 m.
24 Semiextensivo
02.17. (UNICAMP – SP) – Na figura abaixo, ABC e BDE são 
triângulos isósceles semelhantes de bases 2a e a, respecti-
vamente, e ângulo CÂB = 30°. Portanto, o comprimento do 
segmento CE é:
C
2a aA B
E
D
a) a
5
3
b) a
8
3
c) a
7
3
d) a 2 
02.18. (FUVEST – SP) – No triângulo retângulo ABC, ilus-
trado na figura, a hipotenusa AC mede 12 cm e o cateto BC 
mede 6 cm. 
A
B CM
Se M é o ponto médio de BC, então a tangente do ângulo 
MÂC é igual a:
a) 2
7
d) 2 2
7
b) 3
7
e) 2 3
7
c) 2
7
Discursivos
02.19. Um ponto P é interno ao quadrado ABCD, de diagonal AC. As distâncias de P aos vértices A, B e C valem, respecti-
vamente, 2, 7 e 9. Determine a distância do ponto P ao vértice D.
Aula 02
25Matemática 1B
02.20. (FGV – SP) – 
a) Determine o perímetro do triângulo na forma decimal aproximada, até os décimos. Se quiser, use algum destes dados: 
352 = 1225; 362 = 1296; 372 = 1369.
6 cm 8 cm
60°
b) Um aluno tinha de fazer um cartaz triangular, em cartolina. Decidiu construir o triângulo com as seguintes medidas dos 
lados: 6 cm, 8 cm e 16 cm. Ele conseguirá fazer o cartaz? Por quê?
Gabarito
02.01. b
02.02. a
02.03. b
02.04. d
02.05. e
02.06. a
02.07. b
02.08. b
02.09. b
02.10. c
02.11. b
02.12. a
02.13. a
02.14. c
02.15. d
02.16. c
02.17. c
02.18. b
02.19. d = 6
02.20. a) 21,2 cm 
Sendo x a medida do terceiro lado, 
desconhecido, utilizando a lei dos 
cossenos, tem-se:
x2 = 62 + 82 – 2 ∙ 6 ∙ 8 ∙ cos 60°
x2 = 36 + 64 – 96 ∙ 0,5
x2 = 52
x 52 (x > 0)
x = ⋅4 13
x 2 13
x = ⋅2
1300
100
x = ⋅2
1300
100
x ≅ ⋅2
1296
100
x ≅ ⋅2
36
10
x 7 2, cm
Logo, o perímetro aproximado é igual 
a 6 + 8 + 7,2 = 21,2 cm.
b) Não conseguirá construir o triângulo, 
pois em todo triângulo a medida de 
um lado deve ser menor que a soma 
das medidas dos outros dois (Desi-
gualdade Triangular).
2a. solução: Lei dos cossenos:
8 cm6 cm
16
162 = 62 + 82 – 2 ∙ 6 ∙ 8 ∙ cos 
156 = –96 ∙ cos 
cos cosα α= − ⇒ = −
156
96
13
8
Entretanto, para qualquer ângulo 
deve-se ter –1 < cos < 1.
Observe que cosα = − < −
13
8
1, ou 
seja, não existe tal triângulo.
26 Semiextensivo