Métodos Quantitativos em Economia - Slides de Aula Unidade II

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Unidade II 
 
 
MÉTODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA 
 
 
 
 
Profa. Isabel Espinosa 
Plano tangente 
Equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (x0, y0) 
 
 
 
 
ou 
∂ f(x0, y0) 
∂ x z – z0 = (x – x0) + (y – y0) 
∂ f(x0, y0) 
∂ y 
z = f(x0,y0) + fx (x0,y0).(x – x0) + fy(x0,y0).(y – y0) 
Plano tangente 
Exemplo: 
Determine a equação do plano tangente ao gráfico de 
 f (x,y) = 3 x2 – 2xy2 , em (1, -1) 
 
 
Devemos determinar as derivadas parciais no ponto (1,-1) 
 
f (1,-1) = 3.12 – 2.1(-1)2 = 3 – 2 = 1 
z = f(x0,y0) + fx (x0,y0).(x – x0) + fy(x0,y0).(y – y0) 
Plano tangente 
 f (x,y) = 3 x2 – 2xy2 , em (1, -1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação do plano tangente 
fx = 3.2. x2 - 1 – 2 y2 = 6 x – 2 y2 
fx(1,-1) = 6.1 – 2 (-1)2 = 6 – 2 = 4 
fy = 0 – 2 x 2 y2-1 = – 4 x y 
fy(1,-1) = – 4 .1 .(-1) = 4 
z = f(x0,y0) + fx (x0,y0).(x – x0) + fy(x0,y0).(y – y0) 
z = 1 + 4.(x – 1) + 4.(y – (-1)) 
z = 4 x + 4 y + 1 
Derivada de ordem superior 
 fxx = (fx) x= 
∂ 2f 
∂ x∂x 
fyy = (fy) y= 
∂ 2f 
∂ y∂y 
fxy = (fx) y= 
∂ 2f 
∂ y∂x 
fyx = (fy) x= 
∂ 2f 
∂ x∂y 
Derivadas de ordem superior 
Exemplo: 
1. Calcular as derivadas fxx e fxy da função f(x,y) = x y2 + 3 x2 y 
 
fxy = (fx) y = = = 
 
= 2y + 6x 
∂ 2f 
∂ y∂x 
∂ (y2 + 6 x y) 
∂ y 
fxx = (fx) x = = = 6y 
∂ 2f 
∂ x∂x 
∂ (y2 + 6 x y ) 
∂ x 
∂ f 
∂ x = y
2 + 6 x y 
Derivada de ordem superior 
2) Calcular as derivadas fyx e fxy da função f(x,y) = x y + 2 y ex +y 
 
fxy = (fx) y = 
∂ 2f 
∂ y∂x 
fyx = (fy) x = 
∂ 2f 
∂ x∂y 
∂ f 
∂ x = y + 2 y e
x+y 
fxy = (fx)y = = 
 
 
= 
 
 
= 1 + 2 ex+y + 2 y ex+y 
∂ 2f 
∂ y∂x 
Derivada de ordem superior 
∂ (y + 2 y ex + y) = 
∂ y 
∂ f 
∂ y = x + 2 e
x+y + 2 y ex+y 
fyx = (fy)x = = 
 
 
= = 
 
 
= 1 + 2 ex+y + 2 y ex+y 
∂ 2f 
∂ x∂y 
∂ (x + 2ex + y + 2yex + y) 
∂ x 
 Derivada de ordem superior 
Derivada de ordem superior 
3) Calcular as derivadas fxx e fyy da função f(x,y) = x2 y + cos xy 
 
fxx = (fx) x = 
∂ 2f 
∂ x∂x 
fyy = (fy) y = 
∂ 2f 
∂ y∂y 
∂ f 
∂ y = x
2 – x sen x y 
fxx = (fx)x = = = 
 
= 2y – y2 cos xy 
∂ 2f 
∂ x∂x 
∂ (2xy – y senx y) 
∂ x 
fyy = (fy)y = = (x2 – x sen xy) = 
 
= 0 – x2 cos xy 
∂ 2f 
∂ y∂y 
∂ 
∂ y 
∂ f 
∂ x = 2xy – y sen x y 
Derivada de ordem superior 
Gradiente 
Gradiente: ∇f = (fx , fy) 
Exemplo: 
Calcular o gradiente da função 
f(x,y) = 3 x y2 + x3 y, no ponto (1, 2) 
 
∇f = (fx , fy) = (3y2 + 3x2 y, 6x y + x3) 
 
∇f(1,2) = (3.22 + 3.12 .2, 6.1.2 + 13) 
 
∇f(1,2) = (18,13) 
 
Derivada direcional 
Derivada direcional 
Interatividade 
O valor de fxx para a função f(x,y) = 4x2 – y2 + xy é: 
 
a) 8; 
b) 4; 
c) 8x; 
d) y; 
e) 4x. 
Máximo e mínimo 
Máximo local 
f(a,b) é máximo local ⇔ f(x,y) ≤ f(a,b), 
∀ (x,y) em uma bola aberta com centro em (a,b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
z = sen(x)+sen(y) 
(a,b) 
a b 
Mínimo local 
f(a,b) é mínimo local ⇔ f(x,y) ≥ f(a,b), (x,y) em uma bola aberta 
com centro em (a,b). 
 
(a,b) 
z = sen(x)+sen(y) 
Máximo e mínimo 
Máximo e mínimo 
Ponto de sela 
 
(a,b) 
a 
b 
 
z = sen(x)+sen(y) 
Máximo e mínimo 
Ponto de sela 
 É máximo em uma direção e mínimo em outra. 
 
 
 
Q 
P 
L 
S 
T 
Máximo e mínimo 
Teorema 
 f tem um máximo ou mínimo locais em (a,b) e existem as 
derivadas parciais nestes pontos ⇒ as derivadas parciais 
são nulas em (a,b) 
(a,b) é ponto crítico (pode ou não ser máximo ou mínimo). 
Máximo e mínimo 
Exemplo: 
1. Determinar os pontos críticos da função 
f(x,y) = x2 + y2 + 2x – 4y + 6. 
Devemos encontrar os pontos que anulam as derivadas 
parciais de f. 
 
 
 
 
 
Máximo e mínimo 
Calculando as derivadas parciais: 
f(x,y) = x2 + y2 + 2x – 4y + 6 
fx = 2 x + 2 
fy = 2 y - 4 
Igualando as derivadas a zero, temos: 
 
 
Ponto crítico: (-1,2) 
 
2x + 2 = 0 
2y – 4 = 0 
Máximo e mínimo 
2. Determinar os pontos críticos da função: 
f(x,y) = x3 + y2 - 27x – 10y + 30. 
Devemos encontrar os pontos que anulam as derivadas 
parciais de f. 
 
Máximo e mínimo 
Calculando as derivadas parciais: 
f(x,y) = x3 + y2 - 27x – 10y + 30 
fx = 3 x2 – 27 
fy = 2 y – 10 
Igualando as derivadas a zero, temos: 
 3 x2 – 27 = 0 
2y – 10 = 0 
Máximo e mínimo 
 
 
3x2 – 27 = 0 ⇒ x = ± 3 
2y – 10 = 0 ⇒ y = 5 
 
Pontos críticos: 
(-3, 5) e (3, 5) 
 
3 x2 – 27 = 0 
2y – 10 = 0 
Máximo e mínimo 
3. Determinar os pontos críticos da função: 
f(x,y) = ex + cos y. 
Devemos encontrar os pontos que anulam as derivadas parciais 
de f. 
Máximo e mínimo 
Calculando as derivadas parciais: 
f(x,y) = ex + cos y 
 
fx = ex 
 
fy = - sen y 
Igualando as derivadas a zero, temos: 
 
 
f não tem ponto crítico. 
 
ex = 0 ⇒ não tem solução 
- sen y = 0 ⇒ y = 0 
Interatividade 
A função f(x,y) = x2 + y2 - 6x + 12y + 200 tem pontos críticos em: 
a) (3, 6); 
b) (3, -6); 
c) (6, 3); 
d) (-6, 3); 
e) (-3, 6). 
Máximo e mínimo 
Teste da 2ª derivada 
 (a,b) ponto crítico de f, se as derivadas parciais de f são 
contínuas, em uma bola aberta de centro (a,b), então: 
(a) ∆ >0 e fxx(a,b) > 0 ⇒ f(a,b) mínimo local 
(b) ∆ >0 e fxx(a,b) < 0 ⇒ f(a,b) máximo local 
(c) ∆ <0 ⇒ (a,b) ponto de sela 
∆ = 0 nada se conclui 
(∆ é o determinante formado pelas derivadas parciais). 
 
 
 
 
Obs.: D = ∆ 
∆ = hessiano 
∆ = = fxx . fyy - (fyx )2 
fxx(a,b) fxy(a,b) 
 
fyx (a,b) fyy(a,b) 
Máximo e mínimo 
Máximo e mínimo 
 Exemplos: 
1. Dada a função, determine os pontos de máximo, mínimo ou 
sela: 
f(x,y) = x3 + y2 - 48x + 12y + 50. 
 
1º passo: derivadas parciais 
 
 
fx = 3 x2 – 48 
 
fy = 2 y + 12 
2º passo: pontos críticos. 
Igualando as derivadas a zero, temos: 
 
 
 
3x2 – 48 = 0 ⇒ x = ± 4 
2y + 12 = 0 ⇒ y = - 6 
Pontos críticos: 
(- 4, - 6) e (4, - 6) 
 
 
 
Máximo e mínimo 
3 x2 – 48 = 0 
 
2y + 12 = 0 
Máximo e mínimo 
3º passo: derivadas de 2ª ordem: 
 
 
 
 
fx = 3 x2 – 48 
 
fxx = 6x 
 
fxy = (fx) y = 0 
fy = 2 y + 12 
 
fyy = 2 
 
fyx = (f y) x = 0 
Máximo e mínimo 
Substituindo o ponto crítico (4, - 6), temos: 
 fx = 3 x2 – 48 
 
fxx (4, - 6) = 6 . 4 = 24 > 0 
 
fxy (4, - 6) = (fx)y (4, - 6) = 0 
fy = 2 y + 12 
 
fyy (4, - 6) = 2 
 
fyx (4, - 6)= (f y)x (4, - 6)= 0 
Máximo e mínimo 
Substituindo em ∆, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
∆ = = 
fxx(4,-6) fxy(4, -6) 
 
fyx (4,-6) fyy(4, -6) 
 = = 24 . 2 – 0 = 48 > 0 
6 . 4 0 
 
0 2 
Máximo e mínimo 
∆ > 0 
fxx (4, - 6) = 6 . 4 = 24 > 0 
 
Logo (4, - 6) mínimo local 
Valor mínimo: 
f(4, -6) = 43 + (-6)2 – 48. 4 + 12. (-6) + 50 = 
= 64 + 36 – 192 – 72 + 50 = - 114 
 
Máximo e mínimo 
Substituindo agora o ponto crítico (- 4, - 6), temos: 
 
fx = 3 x2 – 48 
 
fxx (- 4, - 6) = 6 . (- 4) = - 24 < 0 
 
fxy (- 4, - 6) = (fx)y (- 4,- 6) = 0 
fy = 2 y + 12 
 
fyy = 2 
 
fyx(- 4,-6) = (fy)x (- 4,- 6) = 0 
Máximo e mínimo 
Substituindo em ∆, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
∆< 0 
(- 4, - 6) ponto de sela. 
∆ = = 
fxx(- 4,- 6) fxy(- 4,- 6) 
 
fyx (- 4,- 6) fyy(- 4,- 6) 
 = = (- 24) . 2 – 0 = - 48 < 0 
-24 0 
 
0 2 
Máximo e mínimo 
2. Determinar os pontos de máximo, mínimo ou de sela 
da função: 
f(x,y) = x2 + y2 + 2x – 4y + 6 
Já sabemos que o ponto crítico de f é (-1, 2). 
Calculando as derivadas de 2ª ordem: 
fx = 2 x + 2 
fxx = 2 
fxy = 0 
 
fy = 2 y - 4 
fyy = 2 
fyx = 0 
 
Máximo e mínimo 
Substituindo em ∆ (ou D), temos: 
D(-1,2) = fxx(-1, 2) . fyy(-1, 2) – (fxy(-1, 2))2 = = 2 . 2 – 0 = 4 > 0 
 
Assim, 
∆ > 0 e fxx (-1,2) = 2 > 0, isto é, (-1, 2) é mínimo relativo. 
 
Interatividade 
A função f(x,y) = 8x – 6y – 2 x2 – y2 tem: 
 
a) Máximo em (2, -3). 
b) Mínimo em (2, -3). 
c) Máximo em (-2,3). 
d) Ponto de sela em (2, -3). 
e) Mínimo em (-2, 3). 
 
 
 
 
 
 
Máximo e mínimo 
Máximo e mínimo absoluto 
f contínua em um conjunto fechado e limitado D, D ⊂ IR2 ⇒ f 
tem um máximo absoluto e um mínimo absoluto em alguns 
pontos de D. 
 
 
 
 
Máximo e mínimo 
Como encontrar o máximo e o mínimo absolutos. 
Devemos encontrar: 
 Valor de f nos pontos críticos, no interior de D. 
 Determinar os valores extremos da fronteira. 
 Comparar os valores, o maior será máximo absoluto e o 
menor será mínimo absoluto. 
 
fronteira = contorno da região D 
 
 
 
Máximo e mínimo 
Exemplo: 
Determinar os valores de máximo e mínimo absolutos 
da função f(x,y) = x2 – 4xy + 4 y 
no retângulo 0≤ x ≤ 2 e 0≤ y ≤ 1. 
 
 
Máximo e mínimo 
Calculando as derivadas parciais: 
fx = 2x – 4y 
fy = - 4 x + 4 
 
Igualando a zero, temos: 
 
 
 
Ponto crítico (1, ½ ). 
 
 
 
 
2x – 4y = 0 ⇒ 2 . 1 – 4 y = 0 ⇒ y = ½ 
 
- 4x + 4 = 0 ⇒ x = 1 
Máximo e mínimo 
Valores na fronteira: 
 
 
 
 
 
 
L1 : x = 0, 0 ≤ y ≤ 1 
L2 : y = 0, 0 ≤ x ≤ 2 
L3 : x = 2, 0 ≤ y ≤ 1 
L4 : y = 1, 0 ≤ x ≤ 2 
0 2 
1 
L1 
 L2 
 
L4 
 D L3 
 
Máximo e mínimo 
L1 : x = 0, 0 ≤ y ≤ 1 
f(0,y) = 0 + 0 + 4y (reta em y, crescente) 
 
f(0,0) = 0 (mínimo) 
f(0,1) = 4 (máximo) 
 
 
L2 : y = 0, 0 ≤ x ≤ 2 
f(x,0) = x2 (parábola, ramo crescente) 
 
f(0,0) = 0 (mínimo) 
f(2,0) = 4 (máximo) 
Máximo e mínimo 
L3 : x = 2, 0 ≤ y ≤ 1 
f(2,y) = - 4 y + 4 (reta em y, decrescente) 
 
f(2,0) = 0+ 4 = 4 (máximo) 
f(2,1) = - 4 + 4 = 0 (mínimo) 
 
L4 : y = 1, 0 ≤ x ≤ 2 
f(x,1) = x2 - 4 x + 4 (parábola em x, ramo 
decrescente) 
 
f(0,1) = 4 (máximo) 
f(2,1) = 4 – 4 . 2 + 4 = 0 (mínimo) 
 
Na fronteira: máximo 4 
 mínimo 0 
Máximo e mínimo 
No ponto crítico, temos: 
 
f(1, ½) = 12 – 4. 1. ½ + 4 . ½ = 1 – 2 + 2 = 1 
 
Comparando os valores encontrados com o valor da função, 
temos: 
f(0,1) = f(2,0) = f(2,0) = f(0,1) = 4 é valor máximo absoluto 
f(0,0) = f(2,1) = 0 é valor mínimo absoluto. 
 
Máximo e mínimo 
Aplicações 
1. Uma chapa metálica plana tem temperatura T em graus 
Celsius dada pela expressão T(x,y) = 20x2 + 5 x + 50 y2. 
Determine os pontos de temperatura máxima e mínima da 
chapa. 
 
Máximo e mínimo 
T(x,y) = 20x2 + 5 x + 50 y2 
Pontos críticos: 
 
 
 
Igualando a zero, temos: 
 
 
 
Ponto crítico: (-1/8 , 0) 
Tx = 40 x + 5 
 
Ty = 100 y 
40 x + 5 = 0 ⇒ x = -1/8 
100 y = 0 ⇒ y = 0 
Máximo e mínimo 
Calculando as derivadas de 2ª ordem, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tx = 40 x + 5 Ty = 100 y 
Txx = 40 Tyy = 100 
Txy = 0 Tyx = 0 
 
Substituindo o ponto crítico (-1/8 , 0) temos: 
Txx (-1/8 , 0) = 40 
Txy (-1/8 , 0) = 0 
 
Tyy (-1/8 , 0) = 100 
Tyx (-1/8 , 0) = 0 
Máximo e mínimo 
Substituindo em ∆, temos: 
 
 
 
Txx (-1/8 , 0) = 40 > 0 é ponto de mínimo. 
Todo outro ponto terá temperatura maior. 
Assim, a menor temperatura da chapa será: 
 
T(-1/8 , 0) = 20 . (-1/8)2 + 5 . (-1/8) + 50 . 02 
 
T(-1/8 , 0) = - 0, 3125 graus Celsius. 
 
 
∆ = = 4000 > 0 
40 0 
 
0 100 
2. Uma empresa tem a função custo dada 
por C(x,y) = x3 + y2 – 75 x – 16 y + 350. 
Determine o custo mínimo. 
 C(x,y) = x3 + y2 – 75 x – 16 y + 350 
Pontos críticos: 
 
Igualando a zero temos: 
 
 
 
Pontos críticos: (- 5 , 8); (5 , 8) 
 
Máximo e mínimo 
Cx = 3 x2 – 75 e Cy = 2 y - 16 
3 x2 - 75 = 0 ⇒ x = ± 5 
 
2 y - 16 = 0 ⇒ y = 8 
Máximo e mínimo 
Calculando as derivadas de 2ª ordem, temos: 
 
 
 
 
Substituindo em ∆, temos: 
 
 
 
Cx = 3 x2 – 75 Cy = 2 y - 16 
Cxx = 6 x Cyy = 2 
Cxy = 0 Cyx = 0 
 
∆ = = 
Cxx(x,y) Cxy(x, y) 
 
Cyx(x, y) Cyy(x, y) 
 = = 2 x 
6x 0 
 
0 2 
Máximo e mínimo 
Substituindo (-5, 8) em ∆, temos: 
 
∆(-5,8) = 12 . (-5) = - 60 < 0 
(-5, 8) ponto de sela. 
 
Substituindo (5, 8) em ∆, temos: 
∆(5,8) = 12 . (5) = 60 > 0 
Cxx (5, 8) = 6 . 5 = 30 > 0 
Logo (5, 8) é ponto de mínimo. 
Máximo e mínimo 
Como o ponto é de mínimo, teremos o custo mínimo em C(5,8): 
 
C(5, 8) = 53 + 82 – 75 . 5 – 16 . 8 + 350 
 
C(5, 8) = 36 
 
 
 
Interatividade 
Se (2,2) é ponto crítico de f, f tem derivadas de 2ª ordem 
contínuas e sabemos que fxx (2,2) = 3, fyy (2,2) = 1 e fxy (2,2) = 2, é 
correto afirmar que: 
 
a) (2,2) é ponto de máximo relativo. 
b) (2,2) é ponto de mínimo relativo. 
c) (2,2) é ponto de máximo absoluto. 
d) (2,2) é ponto de sela. 
e) (2,2) é ponto de mínimo absoluto. 
 
 
 
 
ATÉ A PRÓXIMA! 
	Slide Number 1
	Plano tangente
	Plano tangente
	Plano tangente
	Derivada de ordem superior
	Derivadas de ordem superior
	Derivada de ordem superior
	Derivada de ordem superior
	 Derivada de ordem superior
	Derivada de ordem superior
	Derivada de ordem superior
	Gradiente
	Derivada direcional
	Derivada direcional
	Interatividade
	Resposta
	Máximo e mínimo
	Slide Number 18
	Máximo e mínimo
	Máximo e mínimo
	Máximo e mínimo
	Máximo e mínimo
	Máximo e mínimo
	Máximo e mínimo
	Máximo e mínimo
	Máximo e mínimo
	Máximo e mínimo
	Máximo e mínimo
	Interatividade
	Resposta
	Máximo e mínimo
	Máximo e mínimo
	Máximo e mínimo
	Máximo e mínimo
	Máximo e mínimo
	Máximo e mínimo
	Máximo e mínimo
	Máximo e mínimo
	Máximo e mínimo
	Máximo e mínimo
	Máximo e mínimo
	Máximo e mínimo
	Interatividade 
	Resposta
	Máximo e mínimo
	Máximo e mínimo
	Máximo e mínimo
	Máximo e mínimo
	Máximo e mínimo
	Máximo e mínimo
	Máximo e mínimo
	Máximo e mínimo
	Máximo e mínimo
	Máximo e mínimo
	Máximo e mínimo
	Máximo e mínimo
	Slide Number 57
	Máximo e mínimo
	Máximo e mínimo
	Máximo e mínimo
	Interatividade
	Resposta
	Slide Number 63