Matemática Básica: Expressões Numéricas, Expressões Algébricas, Razão, Proporção e Regra de Três

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Prof. Luiz Felix
UNIDADE I
Matemática Aplicada
Expressões numéricas
Uma sequência de números associados por operações. Essas operações devem ser 
efetuadas respeitando-se a seguinte ordem:
 potenciações e radiciações;
 multiplicações e divisões;
 adições e subtrações.
E as seguintes prioridades:
 parênteses – ( ); colchetes – [ ]; chaves – { }.
Exemplo:
[(52 – 6.22).3 + (13 – 7)2 : 3] : 5 
[(25 – 6.4).3 + 62 : 3] : 5 
[(25 – 24).3 + 36 : 3] : 5 
[1.3 + 12] : 5 
[3 + 12] : 5 
15 : 5 = 3
Expressões numéricas 
Envolvem números, letras e operações indicadas entre eles.
As letras, em uma expressão algébrica, representam qualquer número real. Elas são 
chamadas de incógnitas. 
 y + 10
 5 . k
 5 . (x + 2) – 8 . x
 b2 – 4 . a . c
Simplificação de expressões algébricas:
 x + x = 2x 
 3k – 5k = – 2k 
 3 (x + 2) – 7 . X
3x + 6 – 7x = – 4x + 6 
Expressões algébricas
Determine a expressão que representa o perímetro (a medida do comprimento de 
um contorno) da seguinte figura:
4x + 1 + 2x + 4x + 1 + 2x = 12x + 2
Operações com expressões algébricas
2x
4x + 1
Determine a expressão que representa a área (medida de uma superfície) da 
seguinte figura:
(2x).(4x + 1) = 8x² + 2x
Se x = 2 m, qual é o valor da área?
 8x² + 2x
 8.2² + 2.2 
 8.4 + 4 
 32 + 4 = 36 m²
Operações com expressões algébricas
2x
4x + 1
Chama-se razão qualquer relação numérica entre grandezas feita através
de uma divisão.
Exemplo: na sala de aula de uma faculdade há 20 rapazes e 25 moças. Encontre 
a razão entre o número de rapazes e o número de moças (lembrando que razão 
é divisão):
20 = 4 Significa que para 4 rapazes existem 5 moças.
25 5 Lê-se “4 está para 5” ou “4 para 5”
Qual a razão entre o número de moças e o número 
de rapazes?
25 = 5 Significa que para cada 5 moças existem 4 
20 4 rapazes
Razão 
É a igualdade entre duas razões. 
Exemplo: Para fazer 10 bolos, uma confeiteira utiliza 20 xícaras de açúcar.
Para fazer 4 bolos, uma confeiteira utiliza 8 xícaras de açúcar.
R1 = 10 = 1 R2 = 4 = 1
20 2 8 2
Então 10 = 4  10.8 = 20.4  80 = 80
20 8
Logo, R1 = R2
Proporção
Calcule o valor da seguinte expressão: 
[– (–2)3 – 23] 
a) 0
b) 1
c) 8
d) –8
e) –16
Interatividade
 5% = 5 = 0,05 
100 
 30% = 30 = 0,3 
100 
Calcule:
30% de 80  30 . 80 = 0,3 . 80 = 24 
100
Calcule:
5% de 350  5 . 350 = 0,05 . 350 = 17,5 
100
Porcentagem
Exemplo: em uma loja de móveis, um conjunto de estofados custa R$2.200,00. Ele 
foi vendido com um lucro de R$330,00. De quantos por cento foi o lucro sobre o 
preço de venda?
x . 2200 = 330
100
22.x = 330
x = 330 / 22 = 15 Logo, o lucro foi de 15%
Porcentagem
Exemplo: um doce teve seu preço reajustado de R$ 2,50 para R$ 2,80.Qual é a taxa 
percentual de aumento?
x . 2,50 = 0,30  2,50.x = 0,30.100  2,50.x = 30  x = 30 = 12
100 2,50
Logo, o aumento foi de 12%
Porcentagem
 A regra de três é um processo matemático para a resolução de muitos 
problemas que envolvem duas ou mais grandezas diretamente ou 
inversamente proporcionais.
Grandezas diretamente proporcionais:
 o aumento de uma implica o aumento da outra;
 a redução de uma implica a redução da outra.
Exemplo: intensidade do sol e o fator do protetor solar. 
Grandezas inversamente proporcionais:
 o aumento de uma implica a redução da outra;
 a redução de uma implica o aumento da outra.
Ex.: velocidade média de um automóvel e tempo de viagem.
Regra de três
Na regra de três simples, duas grandezas estão envolvidas. 
Na regra de três simples é necessário que três valores sejam apresentados 
para que assim se descubra o quarto valor.
Exemplo: uma usina produz 500 litros de álcool com 6.000 kg de cana de açúcar. 
Determine quantos litros de álcool são produzidos com 15.000 kg de cana.
Litros de álcool e Kg são grandezas diretamente proporcionais
6000 = 500  6 = 500  6.x = 15 . 500
15000 x 15 x 6x = 7500
x = 7500/6
x = 1250
Regra de três simples
Exemplo: uma equipe de 5 professores gastou 12 dias para corrigir as provas de um 
vestibular. Considerando a mesma proporção, quantos dias levarão 30 professores 
para corrigir as provas?
Professores e dias são grandezas inversamente proporcionais.
30 = 12  30.x = 12 . 5  30x = 60
5 x x = 60/30 = 2
A equipe de 30 professores levará 2 dias para corrigir 
as provas.
Regra de três simples
Professores Dias
5 12
30 x
Dos alunos de uma escola, 30% prestaram vestibular para a faculdade 
de Matemática e 60% desses, que são 180 alunos, entraram na faculdade. 
Quantos alunos tinha essa escola?
a) 300 alunos
b) 600 alunos
c) 900 alunos
d) 1000 alunos
e) 1200 alunos
Interatividade
Uma regra de três é composta quando há mais de duas grandezas envolvidas 
no problema.
Exemplo: 12 tecelões, em 90 dias de trabalho, com uma jornada de 8 horas diárias, 
produzem 36m de tecido. Quantos dias levarão 15 tecelões para fazer 12m de tecido 
com o dobro da largura, trabalhando 6 horas por dia?
Operários Dias Horas/dia Metros
12 90 8 36 
15 x 6 24
Note que o problema pede 12 metros de tecido e não 24. 
Para facilitar o cálculo, foi dobrado o comprimento.
Assim, não se acrescentou uma nova grandeza –
a largura.
Regra de três composta
Operários Dias Horas/dia Metros
12 90 8 36 
15 x 6 24
Determinação da proporcionalidade direta e inversa:
A primeira providência é estabelecer a direção de proporcionalidade entre cada 
grandeza e a grandeza a ser determinada.
Regra de três composta
Operários Dias Horas/dia Metros
12 90 8 36 
15 x 6 24
Com o aumento do número de operários, a quantidade de dias deve diminuir. Logo, 
trata-se de uma relação inversamente proporcional. Portanto, você deve inverter a 
coluna dos operários. Temos, assim, provisoriamente:
Operários Dias Horas/dia Metros
15 90 8 36 
12 x 6 24
Regra de três composta
Operários Dias Horas/dia Metros
15 90 8 36 
12 x 6 24
Agora, a coluna das horas/dia – quanto mais horas trabalhadas por dia, menos dias 
serão necessários. Logo, você deve inverter a coluna das horas/dia. Temos, 
assim, provisoriamente:
Operários Dias Horas/dia Metros
15 90 6 36 
12 x 8 24
Regra de três composta
Operários Dias Horas/dia Metros
15 90 6 36 
12 x 8 24
Agora, a coluna metros – quanto mais dias trabalhados, mais metros serão 
produzidos. Ou seja, as duas grandezas são diretamente proporcionais. Portanto, 
não mexemos na última coluna.
Operários Dias Horas/dia Metros
15 90 6 36 
12 x 8 24
Regra de três composta
Operários Dias Horas/dia Metros
15 90 6 36 
12 x 8 24
Dias Operários
90 15 x = 90 . 12
x 12 15
Dias Horas/dia90 6 x = 90 . 8
x 8 6
Dias Metros
90 36 x = 90 . 24 x= 90.12.8.24 = 64 dias
x 24 36 15.6.36
Regra de três composta
Designa-se conjunto uma coleção de objetos, podendo ser representado 
de três modos:
 Representação ordinária – os elementos do conjunto são explicitamente listados.
A = 0, 1, 2, 3, 4
 Representação abstrata – é enunciada uma propriedade característica dos 
seus elementos. A 
A = x  Z  0  x  4
 Representação por diagramas de Venn. 
Conjunto
A = conjunto das vogais.
A = {a, e, i, o, u}  representação ordinária.
A = {x / x é uma vogal}  representação abstrata
Pertinência:
: elemento pertence ao conjunto. u  A
: elemento não pertence ao conjunto. 3  A
Conjunto, elementos e pertinência
Interseção: elementos comuns.
Dados os conjuntos A=1,2,3,4,5,6 A  B = 5,6
B=5,6,7,8,9,10
União: composição de todos os elementos.
Dados os conjuntos A=1,3,5 e B=4,5 A  B = 1,3,4,5
Diferença: elementos de A que não pertencem a B.
Dados os conjuntos A=2,4,7 e B=1,4
A – B = 2,7
Operações entre conjuntos
1 3
4 5
2 
7
Em uma padaria, 8 confeiteiros preparam 20 bolos especiais em 5 dias. Quantos 
bolos especiais serão preparados por 4 confeiteiros em 16 dias?
a) 17
b) 24
c) 32
d) 39
e) 42
Interatividade
Eixo x: eixo das abscissas
Eixo y: eixo das ordenadas
Plano cartesiano
Fonte: Adaptado do livro-texto.
Conjunto de todos os pares (x,y), tais que x pertence a A e y pertence a B, indicado 
pela expressão A x B  A x B = (x,y) / x  A e y  B
Exemplo: A = {1, 2, 3} B = {2, 3} 
A x B = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)}
n(A) = 3 n(B) = 2 n(A x B) = 3.2 = 6
Produto cartesiano
 O domínio de uma função de A em B é sempre o próprio conjunto de partida. 
 O conjunto de chegada “B” é chamado de contradomínio.
 Se um elemento x  A estiver associado a um elemento y  B, dizemos que y é 
a imagem de x.
Domínio, contradomínio e imagem
Exemplo: sendo A = 2, 4, 8 e B = 1, 3, 4, 6, 7, 10, vamos criar f:A  B definida 
por f(x) = x + 2 (que também pode ser representada por y = x + 2).
A B 
Domínio: D(f) = A = 2, 4, 8
Contradomínio: CD(f) = B = 1, 3, 4, 6, 7,10
Conjunto imagem: é composto por todos os elementos em 
que as flechas de relacionamento chegam, ou seja, Im(f) = 
C = 4, 6, 10
Domínio, contradomínio e imagem
2
4
8 
1
4 
3
6 7
10
Números Naturais (N): é representado por todos os números positivos. 
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...} 
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...}  excluindo o zero
Números Inteiros (Z): é formado pelos elementos do conjunto dos números 
naturais e os números inteiros negativos. 
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3,...} inteiros não nulos
Z_ = {..., -3, -2, -1, 0} inteiros não positivos
Z*_ = {..., -3, -2, -1} inteiros não positivos e não nulos
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, ...} inteiros não negativos
Z*+ = {1, 2, 3, 4, ...} inteiros não negativos e não nulos
Números naturais e Números inteiros
Números Racionais (Q): pertencem a esse conjunto os números naturais, inteiros, 
decimais, fracionários e dízima periódica. 
Q = {..., -100/8, -2, -0,5, 0, 1,434343, 12/5 ...}
Números Irracionais (I): é formado pelos números que são dízimas não periódicas, 
ou seja, decimais infinitos que não possuem uma repetição de números após 
a vírgula.
I = {...,√2, √3,√7, 3,141592....}
Números racionais e Números irracionais
Números Reais: conjunto de elementos, representado pela letra maiúscula R, 
que inclui os números naturais, números inteiros, números racionais 
e números irracionais. 
Números reais
Fonte: https://www.estudopratico.com.br/conjuntos-numericos/
R
Q
Z
N
I
Intervalo fechado: [–3, 5]
–3 5
Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita: ]–3, 5] 
Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita: [–3, 5[
Intervalo aberto à esquerda e aberto à direita: ]–3, 5[
Intervalos
Intervalos
[a, b] = {x  R | a< x < b}
(a, b] = {x  R | a< x < b}
[a, b) = {x  R | a< x < b}
(a, b) = {x  R | a< x < b}
a b 
a b 
a b 
a b 
A = [2, 7] = {x   │2 ≤ x ≤ 7}
B = [5, 9[ = {x   │5 ≤ x ≤ 9}
Determine A  B 
A  B = {x  R│5 ≤ x ≤ 7} ou A  B = [5, 7]
Intervalos
Fonte: http://meteorotica.blogspot.com/2012/01/exercicios-
resolvidos-sobre-intervalos.html 
A
B
AՈB
2 7
5 9
5 7
X
X
X
Na função f:  →  com f(x) = x² + 2x – 9, determine o valor da imagem de f(–4) e 
classifique a qual conjunto numérico este valor pertence.
a) -1 e  N.
b) -1 e  Z.
c) -7 e  I.
d) -7 e  Q.
e) 0 e  R.
Interatividade
ATÉ A PRÓXIMA!