38131091-APOSTILA-DE-MATEMATICA-Concurso-EPCAR-2011-1

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APOSTILA DE MATEMÁTICA-
CONCURSO EPCAR 2011
Operações com conjuntos:
 
Exemplo de interseção de 
conjuntos.
►Interseção 
Os elementos que 
fazem parte do conjunto interseção são os elementos comuns aos conjuntos 
relacionados. 
Exemplo 1: 
Dados dois conjuntos A = {5,6,9,8} e B = {0,1,2,3,4,5}, se pedimos a interseção deles 
teremos: 
A ∩ B = {5}, dizemos que A “inter” B é igual a 5. 
Exemplo 2: 
Dados os conjuntos B = {-3, -4, -5, -6} e C = {-7, -8, -9}, se pedirmos a interseção deles 
teremos: 
B ∩ C = { } ou B ∩ C = , então B e C são conjuntos distintos. 
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Exemplo 3: 
Dados os conjuntos D = {1,2,3,4,5} e E = {3,4,5}. A interseção dos conjuntos ficaria 
assim: 
E ∩ D = {3,4,5} ou E ∩ D = E, pode ser concluído também que 
E D. 
►União 
Conjunto união são todos os elementos dos conjuntos relacionados. 
Exemplo 1: 
Dados os conjuntos A = { x | x é inteiro e -1 < x < 2} e B = {1,2,3,4} a união desses dois 
conjuntos é : 
A U B = {0,1,2,3,4} 
Exemplo 2: 
Dados os conjuntos A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4,5} a união desses conjuntos é: 
A U B = {1,2,3,4,5}, nesse caso podemos dizer que A U B = B. 
►Diferença entre dois conjuntos. 
Dados dois conjuntos A e B chama-se conjunto diferença ou diferença entre A e B o 
conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B. 
O conjunto diferença é representado por A – B. 
Exemplo 1: 
A = {1,2,3,4,5} e B = {3,4,5,6,7} a diferença dos conjuntos é: 
A – B = {1,2} 
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Exemplo 2: 
A = {1,2,3,4,5} e B = {8,9,10} a diferença dos conjuntos é: 
A – B = {1,2,3,4,5} 
Exemplo 3: 
A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4,5}a diferença dos conjuntos é: 
A – B = 
Exemplo 4: 
Dados os conjuntos A = {1,2,3,4,5,6} e B = {5,6}, a diferença dos conjuntos é: 
A – B = {1,2,3,4}. Como B A podemos escrever em forma de complementar: 
A – B = A B = {1,2,3,4}. 
Relações Binárias:
Definição
Uma relação binária R sobre dois universos A e B é
Em outras palavras, uma relação binária é definida como sendo um subconjunto do 
produto cartesiano entre dois conjuntos A e B. Isto é, uma relação R é um conjunto de 
pares ordenados. Um subconjunto de A×A pode ser chamado simplesmente de relação 
binária em A.
Suponha que R é uma relação de A para B. Então R é um conjunto de pares ordenados 
onde cada primeiro elemento pertence a A e cada segundo elemento pertence a B. Isto é, 
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http://pt.wikipedia.org/wiki/Par_ordenado
http://pt.wikipedia.org/wiki/Produto_cartesiano
http://pt.wikipedia.org/wiki/Subconjunto
http://www.brasilescola.com/matematica/operacoes-com-conjuntos.htm
para cada par (a,b), a ∈ A e b ∈ B. Então exatamente uma das seguintes afirmativas é 
verdadeira:
• (a,b) ∈ R: dizemos que “a é R-relacionado a b”, escrevendo aRb.
• (a,b) ∈ R: dizemos que “a não é R-relacionado a b”, escrevendo aRb.
O domínio de uma relação R é o conjunto de todos os primeiros elementos de um par 
ordenado que pertence a R. A imagem de R é o conjunto dos segundos elementos. No 
caso descrito acima, o domínio é um subconjunto de A e a imagem é um subconjunto de 
B.
Exemplos:
• Sejam A = {1, 2, 3} e B = { x, y, z} , e seja R = {(1,y), (1,z), (3,y)}. Então R é 
uma relação de A para B, uma vez que R é um subconjunto de A x B. Com 
respeito a esta relação, 1Ry, 1Rz, 3Ry, mas 1Rx, 2Rx, 2Ry, 2Rz, 3Rx, 3Rz. O 
domínio de R é {1.3} e a imagem é {y.z}.
• Seja A um conjunto qualquer. Uma relação importante em A é a relação de 
igualdade, {(a,a); a ∈ A}, que é usualmente denotada por =. Essa relação é 
também chamada de identidade ou relação diagonhal em A e será também 
denotado por δ.
Outra definição
Uma relação binária R também pode ser definida como um trio ordenado (A, B, G) onde 
A e B são conjuntos arbitrários, e G é um subconjunto do produto cartesiano A×B. Os 
conjuntos A e B são chamados de domínio e codomínio da relação, respectivamente, e 
G é chamado de grafo.
A notação final corresponde a visualizar R como uma Função indicadora do conjunto de 
pares G. A ordem de cada par de G é importante: se a ? b, então aRb pode ser 
verdadeiro ou falso independentemente de bRa o ser.
Exemplos
• Numa relação P definida por
ou seja, P = {(2,0), (1, 1), (0, 2)}, P(0,2) é verdadeiro, já P(-1,3) é falso;
• As relações de igualdade e diferença: a = a e b ? c;
• Suponha que existam 4 objetos: {carro, bola, boneca, bala} e quatro pessoas 
{João, Maria, Marcos, Pedro}.
Suponha que João tem a bola, Maria tem a boneca, e Pedro tem o carro. 
Ninguém tem a bala e Marcos não tem nada.
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http://pt.wikipedia.org/wiki/Diferen%C3%A7a
http://pt.wikipedia.org/wiki/Igualdade
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_indicadora
http://pt.wikipedia.org/wiki/Grafo
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o#Dom.C3.ADnio.2C_contradom.C3.ADnio_e_imagem
Então a relação binária R "pertence a" é dada como R = ({bola, carro, boneca, 
bala}, {João, Maria, Marcos, Pedro}, {(bola, João), (boneca, Maria), (carro, 
Pedro)}).
Tipos de relações binárias
Dada uma relação R A×B, podemos classificá-la como:⊆
• Relação total
Ou seja, todo elemento de A se relaciona com algum de B.
• Relação sobrejetora
É o inverso da total, todo elemento de B é relacionado com algum de A.
• Relação funcional
Ou seja, um elemento de A não pode se relacionar com mais de um elemento de B.
• Relação injetora:
O contrário da funcional: um elemento de B não pode ser relacionado com dois ou mais 
elementos de A diferentes.
Uma relação é dita um monomorfismo se ela é total e injetora. Uma relação é dita um 
epimorfismo se ela é funcional e sobrejetora. Uma relação é dita um isomorfismo se 
ela é um monomorfismo e um epimorfismo.
Operações em relações binárias
Relações inversas
Seja R uma relação qualquer A×B. A inversa de R, denotada por R-1, é a relação de B×A 
consiste nos pares ordenados que, quando têm sua ordem revertida, pertencem a R, isto 
é,
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Por exemplo, a inversa da relação R = {(1, y), (1, z), (3, y)} é a seguinte: R-1 = {(y, 1), 
(z, 1), (y, 3)}.
Claramente, (R-1)-1 = R. Além disso o domínio e a imagem de R-1 são, respectivamente, 
iguais à imagem e ao domínio de R. Ademais, se R é uma relação em A, então R-1 
também é uma relação em A.
Composição de relações
Relacionar elementos de A com elementos de B é destacar um subconjunto de AxB. 
Dadas R1 ⊆ A×B e R2 ⊆ B×C:
A composição das relações R1 com R2, denotado por R2 ⋅ R1, é a relação
{(a,c): (∃b B), com (∈ a,b) ∈ R1 e (b,c) ∈ R2} ⊆ A×C
Exemplo: Sejam os conjuntos
A = {a, b, c}; B = {c, d, e} e C = {a, e}; e as relações R1 = {(a,c), (a,e), (b,c), (c,d)} e R2 
= {(c,a), (d,a), (d,e), (e,e)}.
Então R2 ⋅ R1 = {(a,a), (a,e), (b,a), (c,a). (c,e)}.
 Composição de Relações e Matrizes
Existe uma outra maneira de determinar R ⋅ S. Sejam Mr e Ms, respectivamente, as 
matrizes da relação R e S. Então,
 
Multiplicando-se Mr e Ms, obtemos a matriz
Os elementos não nulos dessa matriz nos mostram quais elementos estão relacionados 
por R×S. Portanto, M = Mr Ms e Mr⋅s têm os mesmos elementos não nulos.
Teorema: Sejam A, B, C e D conjuntos. Suponha que R é uma relação A×B, S é uma 
relação de B×C e T é uma relação de C×D. Então, (R ⋅ S) ⋅ T = R ⋅ (S ⋅ T). Ou seja, a 
composição de relações é associativa.
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http://pt.wikipedia.org/wiki/Matriz
Prova: Para demonstrar o teorema é necessário mostrar que cada par ordenado em (R ⋅ 
S) ⋅ T pertence a R ⋅ (S ⋅ T) e vice-versa. Então:
Suponha que (a,d) pertence a (R ⋅ S) ⋅ T. 
Então, existe um c em C tal que (a,c) ∈ (R ⋅ S) e (c,d) ∈ T. 
Como (a,c) ∈ (R ⋅ S), existe b em B tal que (a,b) ∈ R e (b,c) ∈ S. 
Como (b,c) ∈ S e (c,d) ∈ T, temos (b,d) ∈ (S ⋅ T); 
como (a,b) ∈ R e (b,d) e S ⋅ T, temos (a,b) ∈ R ⋅ (S ⋅ T). 
Portanto, (R ⋅ S) ⋅ T ⊆ R ⋅ (S ⋅ T). 
De modo similar, R ⋅ (S ⋅ T) ⊆ (R ⋅ S) ⋅ T. 
Ambas as inclusões provam que (R ⋅ S) ⋅ T = R ⋅ (S ⋅ T).
Propriedades das relações
Dada uma relação binária R sobre um conjunto A.
Considere a serviço de exemplo as seguintes cinco relações em um conjunto A = { 1, 2, 
3, 4}:
R1 = {(1,1), (1,2), (2,3), (1,3), (4,4)};
R2 = {(1,1), (1,2), (2,1),(2,2), (3,3), (4,4)};
R3 = {(1,3), (2,1)};
R4 = ∅, a relação vazia;
R5 = A×A, a relação universal.
Reflexividade
R é dita reflexiva se aRa para todo a ∈ A, isto é, se (a,a) ∈ R para todo a ∈ A. Ou seja, 
se todos os elementos se relacionam com si próprios. Em um conjunto finito com n 
elementos existem 2n² relações binárias, das quais 2n²-n são reflexivas.
Uma relação é irreflexiva se nenhum elemento se relaciona com si próprio.
Dos exemplos citados, como A contém os quatro elementos, 1, 2, 3 e 4, uma relação R 
em A é reflexiva se contém os quatro pares (1,1), (2.2), (3.3), (4,4). Portanto, apenas R2 
e a relação universal R5 são reflexivas. Note que R1 , R3 e R4 não são reflexivas, uma vez 
que, por exemplo, (2,2) não pertence a nenhuma delas.
Simetria
Uma relação binária é simétrica se qualquer aRb implica bRa. Em um conjunto finito 
com n elementos, há relações simétricas.
R1 não é simétrica já que (1,2) ∈ R1 mas (2,1) &nin; R1 . R3; não é simétrica já que (1,3) 
 ∈ R3 mas (3,1) &nin; R3 . As outras relações são simétricas.
Uma relação anti-simétrica é tal que se aRb e bRa então a=b. Assimétrica é uma 
relação em que aRb implica que não bRa.
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R2 não é anti-simétrica, já que (1,2) e (2,1) pertencem a R2 , mas 1 &neq; 2. 
Analogamente, a relação universal R5 não é anti-simétrica. Todas as outras são anti-
simétricas.
Note que as propriedades de simetria e anti-simetria não são mutuamente excludentes. 
Por exemplo, a relação R = {(1,3), (3,1), (2,3)} não é nem simétrica nem anti-simétrica. 
Por outro lado, a relação R' = {(1,1), (2.2)} é simétrica e anti-simétrica.
Transitividade
A transitividade de uma relação binária vale quando aRb e bRc implicam que aRc. A 
relação se diz antitransitiva quando aRb e bRc implicam que não é verdade aRc.
A relação R3 não é transitiva porque (2,1) e (1,3) ∈ R3, mas (2,3) &nin; R3 . Todas as 
outras relações são transitivas.
A propriedade de transitividade também pode ser expressa em termos da composição de 
relações. Para uma relação R em A, definimos R² = R⋅R e, mais geralmente, Rn = Rn-1⋅R.
Teorema: a relação R é transitiva se e somente se , Rn ⊆ R para n ≥ 1.
Algumas outras propriedades
• Relação total (ou linear): para todo a e b em A é verdade que aRb ou bRa (ou 
ambos).
• Relação euclidiana: para todo a, b e c em A, é verdade que se aRb e aRc então 
bRc.
• Relação extensível (ou serial): para todo a em A, existe um b em A tal que aRb. 
"Maior que” é uma relação extensível nos inteiros. Mas não é um relação 
extensível nos inteiros positivos, porque não existe um x nos inteiros positivos 
tal que 1>x.
Uma relação R que é simétrica e anti-simétrica ao mesmo tempo tem a propriedade que 
se xRy então x = y. Em um conjunto finito com n elementos existem apenas 2n dessa 
relaçãos.
Uma relação que é simétrica, transitiva e extensível é também reflexiva
Uma relação que é reflexiva, simétrica e transitiva é chamada de uma relação de 
equivalência. Uma relação que é reflexiva, anti-simétrica e transitiva é chamada de 
ordem parcial. Uma ordem parcial que é total é chamada de relação de ordem total ou 
uma ordem linear ou uma chain. Uma ordem linear na qual todo conjunto não vazio tem 
um menor elemento é chamado bem ordenado.
Exemplo:
Seja Z* o conjunto dos inteiros não nulos e seja ≡ a relação em Z*×Z* definida por 
(a,b)≡(c,d) sempre que ad = bc. Demonstra-se que ≡ é uma relação de equivalência:
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http://pt.wikipedia.org/wiki/Rela%C3%A7%C3%A3o_de_ordem_total
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ordem_parcial
http://pt.wikipedia.org/wiki/Rela%C3%A7%C3%A3o_de_equival%C3%AAncia
http://pt.wikipedia.org/wiki/Rela%C3%A7%C3%A3o_de_equival%C3%AAncia
(i) Reflexividade: temos (a,b)≡(a,b), já que ab = ba. Portanto, ≡ é 
reflexiva.
(ii) Simetria: temos (a,b)≡(c,d). Então ad = bc. Por conseguinte, cb = 
da e, portanto, (a,b)≡(c,d). 
Assim, ≡ é simétrica.
(iii) Transitividade: suponha (a,b)≡(c,d) e (c,d)≡(e,f). Então, ad = 
bc e cf = de. 
A multiplicação dos termos correspondentes da equação leva a (ad)(cf) 
= (bc)(de). 
Cancelando c ≠ 0 e d ≠ 0 dos dois lados da equação, obtém-se af = be, e 
portanto (a,b)≡(e,f). 
Logo, ≡ é transitiva. 
Consequentemente, ≡ é uma relação de equivalência.
Obs.: Do ponto de vista gráfico, uma relação é reflexiva se para todo vértice existir uma 
aresta ligando-o a ele mesmo. A estas arestas dá-se o nome de lacetes. A relação será 
simétrica se sempre que ao existir uma aresta de a para b também exista uma aresta de b 
para a e será transitiva sempre que ao existir uma aresta da a para b e outra de b para c, 
também exista uma aresta de a para c.
Subconjuntos:
A é um subconjunto de B.
Em teoria dos conjuntos, um conjunto A diz-se um subconjunto de um conjunto B se 
todos os elementos de A estiverem em B. Se B contiver elementos que não estão em A, 
então A diz-se um subconjunto próprio de B. Quando A é um subconjunto de B, diz-se 
que B é um superconjunto de A.
 Cardinalidade
Se A é um subconjunto de B, então A tem uma cardinalidade não superior à de B. 
Quando B é finito e A é um subconjunto próprio de B, então a cardinalidade de A é 
inferior à de B. Se B é um conjunto infinito, tem subconjuntos próprios com a mesma 
cardinalidade de B. O conjunto de todos os subconjuntos de B chama-se o conjunto de 
partes de B. Subconjunto é um conjunto dentro de um outro conjunto.
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http://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_de_partes
http://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_de_partes
http://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_infinito
http://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_finito
http://pt.wikipedia.org/wiki/Cardinalidade
http://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto
http://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_dos_conjuntos
http://pt.wikipedia.org/wiki/Lacete
http://pt.wikipedia.org/wiki/Aresta
http://pt.wikipedia.org/wiki/V%C3%A9rtice
http://pt.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fico_de_uma_fun%C3%A7%C3%A3o
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Set_subsetAofB.svg
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Set_subsetAofB.svg
 Exemplos
• O conjunto vazio é um subconjunto de qualquer conjunto.
• O conjunto {1,2} tem quatro subconjuntos: o conjunto vazio, {1}, {2} e {1,2}.
• O conjunto dos números naturais é um subconjunto próprio do conjunto dos 
números inteiros, com a mesma cardinalidade.
• O conjunto dos números naturais é um subconjunto próprio do conjunto dos 
números reais, com cardinalidade inferior.
Notação
A notação de subconjunto não é padronizada. Existem duas notações para subconjunto:
indica, de forma não-ambígua, que A é um subconjunto de B
pode indicar que A é um subconjunto de B, ou pode indicar que A é um 
subconjunto próprio de B, ou seja, que 
Quando for necessário explicitar que A é um subconjunto próprio de B, pode-se usar a 
notação 
Analogamente, temos que:
Com os elementos B formamos o elemento H H-homens e M - mulheres. Dizemos que 
H e M são subconjuntos de B .Se um conjunto T de pessoas possui pelo menos uma 
pessoa nao brasileira T não é subconjunto do conjunto B
Conjunto dos números naturais:
Introdução aos Números Naturais
O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números 
são construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são 
conhecidos como algarismos indo-arábicos. No século VII, os árabes invadiram a Índia, 
difundindo o seu sistema numérico.
Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de 
objetos de contagens naturais, iremos considerá-lo como um número natural uma vez 
que ele tem as mesmas propriedades algébricas que os números naturais. Na verdade, o 
zero foi criado pelos hindus na montagem do sistema posicional de numeração para 
suprir a deficiência de algo nulo. 
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http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_reais
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_naturais
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_inteiros
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_naturais
http://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_vazio
Na sequência consideraremos que os naturais têm início com o número zero e 
escreveremos este conjuntocomo:
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Representaremos o conjunto dos números naturais com a letra N. As reticências (três 
pontos) indicam que este conjunto não tem fim. N é um conjunto com infinitos números.
Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto será representado por:
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
A construção dos Números Naturais
1. Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número 
dado), considerando também o zero.
Exemplos: Seja m um número natural.
(a) O sucessor de m é m+1.
(b) O sucessor de 0 é 1.
(c) O sucessor de 1 é 2.
(d) O sucessor de 19 é 20.
2. Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são 
chamados números consecutivos.
Exemplos:
(a) 1 e 2 são números consecutivos.
(b) 5 e 6 são números consecutivos.
(c) 50 e 51 são números consecutivos.
3. Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o 
segundo é sucessor do primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é 
sucessor do terceiro e assim sucessivamente.
Exemplos:
(a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos.
(b) 5, 6 e 7 são consecutivos.
(c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos.
4. Todo número natural dado n, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem 
antes do número dado).
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Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero.
(a) O antecessor do número m é m-1.
(b) O antecessor de 2 é 1.
(c) O antecessor de 56 é 55.
(d) O antecessor de 10 é 9.
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais pares. Embora 
uma seqüência real seja um outro objeto matemático denominado função, algumas vezes 
utilizaremos a denominação sequência dos números naturais pares para representar o 
conjunto dos números naturais pares:
P = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais ímpares, às vezes 
também chamado, a sequência dos números ímpares.
I = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}
Igualdade e Desigualdades
Diremos que um conjunto A é igual a um conjunto B se, e somente se, o conjunto A está 
contido no conjunto B e o conjunto B está contido no conjunto A. Quando a condição 
acima for satisfeita, escreveremos A=B (lê-se: A é igual a B) e quando não for satisfeita 
denotaremos tal fato por:
(lê-se: A é diferente de B). Na definição de igualdade de conjuntos, vemos que não é 
importante a ordem dos elementos no conjunto.
Exemplo com igualdade: No desenho, em anexo, observamos que os elementos do 
conjunto A são os mesmos elementos do conjunto B. Neste caso, A=B.
Consideraremos agora uma situação em que os elementos dos conjuntos A e B serão 
distintos.
Sejam A={a,b,c,d} e B={1,2,3,d}. Nem todos os elementos do conjunto A estão no 
conjunto B e nem todos os elementos do conjunto B estão no conjunto A. Também não 
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podemos afirmar que um conjunto é maior do que o outro conjunto. Neste caso, 
afirmamos que o conjunto A é diferente do conjunto B.
Exercício: Há um espaço em branco entre dois números em cada linha. Qual é o sinal 
apropriado que deve ser posto neste espaço: <, > ou =?
159 170
852 321
587 587
Exercício: Representar analiticamente cada conjunto, isto é, através de alguma 
propriedade e depois por extensão, apresentando os elementos:
a. Conjunto N dos números Naturais
b. Conjunto P dos números Naturais Pares
c. Conjunto I dos números Naturais Ímpares
d. Conjunto E dos números Naturais menores que 16
e. Conjunto L dos números Naturais maiores que 11
f. Conjunto R dos números Naturais maiores ou iguais a 28
g. Conjunto C dos números Naturais que estão entre 6 e 10
Sistema de numeração:
Um numeral é um símbolo ou grupo de símbolos que representa um número em um 
deteminado instante da evolução do homem. Tem-se que, numa determinada escrita ou 
época, os numerais diferenciaram-se dos números do mesmo modo que as palavras se 
diferenciaram das coisas a que se referem. Os símbolos "11", "onze" e "XI" (onze em 
latim) são numerais diferentes, representativos do mesmo número, apenas escrito em 
idiomas e épocas diferentes. Este artigo debruça-se sobre os vários aspectos dos 
sistemas de numerais. Ver também nomes dos números.
Um sistema de numeração, (ou sistema numeral) é um sistema em que um conjunto 
de números são representados por numerais de uma forma consistente. Pode ser visto 
como o contexto que permite ao numeral "11" ser interpretado como o numeral romano 
para dois, o numeral binário para três ou o numeral decimal para onze.
Em condições ideais, um sistema de numeração deve:
• Representar uma grande quantidade de números úteis (ex.: todos os números 
inteiros, ou todos os números reais);
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http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_reais
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_inteiros
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_inteiros
http://pt.wikipedia.org/wiki/Decimal
http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_bin%C3%A1rio_(matem%C3%A1tica)
http://pt.wikipedia.org/wiki/Numeral_romano
http://pt.wikipedia.org/wiki/Nomes_dos_n%C3%BAmeros
http://pt.wikipedia.org/wiki/Latim
http://pt.wikipedia.org/wiki/Palavra
http://pt.wikipedia.org/wiki/Escrita
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero
http://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%ADmbolo
• Dar a cada número representado uma única descrição (ou pelo menos uma 
representação padrão);
• Refletir as estruturas algébricas e aritméticas dos números.
Por exemplo, a representação comum decimal dos números inteiros fornece a cada 
número inteiro uma representação única como uma seqüência finita de algarismos, com 
as operações aritméticas (adição, subtração, multiplicação e divisão) estando presentes 
como os algoritmos padrões da aritmética. Contudo, quando a representação decimal é 
usada para os números racionais ou para os números reais, a representação deixa de ser 
padronizada: muitos números racionais têm dois tipos de numerais, um padrão que tem 
fim (por exemplo 2,31), e outro que repete-se periodicamente (como 2,30999999...).
Base:
Sistemas numéricos por base
Sistema Decimal (10)
2, 4, 8, 16, 32, 64
1, 3, 6, 9, 12, 20, 24, 30, 36, 60
v • e
Em Matemática, a base é o que determina a quantidade de símbolos e o valor de cada 
símbolo em um sistema de numeração posicional, isto é, onde o valor de cada símbolo é 
determinado pela sua posição no número.
  sistema binário, que utiliza a base 2. 
  sistema octal, que utiliza a base 8. 
  sistema decimal, que utiliza a base 10. 
  sistema duodecimal, que utiliza a base 12. 
  sistema hexadecimal, que utiliza a base 16. 
  sistema vigesimal, que utiliza a base 20. 
 sistema sexagesimal, que utiliza a base 60, inventado pelos sumérios, e usado para 
tempo (horas, minutos e segundos) e ângulos.
Operações com números naturais:
Propriedades da Adição
1. Fechamento: A adição no conjunto dos números naturais é fechada, pois a soma 
de dois números naturais é ainda um número natural. O fato que a operação de 
adição é fechada em N é conhecido na literatura do assunto como: A adição é 
uma lei de composição interna no conjunto N.
14
http://pt.wikipedia.org/wiki/Sum%C3%A9ria
http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_sexagesimal
http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_vigesimal
http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_hexadecimal
http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_numera%C3%A7%C3%A3o_duodecimal
http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_decimal
http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_octal
http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_bin%C3%A1rio_(matem%C3%A1tica)
http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_numera%C3%A7%C3%A3o
http://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Predefini%C3%A7%C3%A3o:Sistemas_N%C3%BAmericos&action=edit
http://pt.wikipedia.org/wiki/Predefini%C3%A7%C3%A3o:Sistemas_N%C3%BAmericos
http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_sexagesimal
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Base_36&action=edit&redlink=1
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Base_30&action=edit&redlink=1
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Base_24&action=edit&redlink=1
http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_vigesimalhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_numera%C3%A7%C3%A3o_duodecimal
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Nonary&action=edit&redlink=1
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Senary&action=edit&redlink=1
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistema_Tern%C3%A1rio&action=edit&redlink=1
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http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Base_32&action=edit&redlink=1
http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_hexadecimal
http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_octal
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistema_de_numera%C3%A7%C3%A3o_Quatern%C3%A1rio&action=edit&redlink=1
http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_bin%C3%A1rio_(matem%C3%A1tica)
http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_numera%C3%A7%C3%A3o_decimal
http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_numera%C3%A7%C3%A3o
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_reais
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_racionais
http://pt.wikipedia.org/wiki/Algoritmo
http://pt.wikipedia.org/wiki/Algarismo
http://pt.wikipedia.org/wiki/Seq%C3%BC%C3%AAncia
2. Associativa: A adição no conjunto dos números naturais é associativa, pois na 
adição de três ou mais parcelas de números naturais quaisquer é possível 
associar as parcelas de quaisquer modos, ou seja, com três números naturais, 
somando o primeiro com o segundo e ao resultado obtido somarmos um terceiro, 
obteremos um resultado que é igual à soma do primeiro com a soma do segundo 
e o terceiro.
3. Elemento neutro: No conjunto dos números naturais, existe o elemento neutro 
que é o zero, pois tomando um número natural qualquer e somando com o 
elemento neutro (zero), o resultado será o próprio número natural.
4. Comutativa: No conjunto dos números naturais, a adição é comutativa, pois a 
ordem das parcelas não altera a soma, ou seja, somando a primeira parcela com a 
segunda parcela, teremos o mesmo resultado que se somando a segunda parcela 
com a primeira parcela.
Curiosidade: Tabela de adição
Para somar dois números, com a tabela, um em uma linha e outro em uma coluna, basta 
fixar um número na 1a. coluna e um segundo número na 1a. linha. Na interseção da 
linha e coluna fixadas, obtemos a soma dos números.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
15
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Por exemplo, se tomarmos o número 7 na linha horizontal e o número 6 na linha 
vertical, obteremos a soma 13 que está no cruzamento da linha do 7 com a coluna do 6.
Multiplicação de Números Naturais
É a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro número denominado 
multiplicando ou parcela, tantas vezes quantas são as unidades do segundo número 
denominado multiplicador.
Exemplo: 4 vezes 9 é somar o número 9 quatro vezes:
4 x 9 = 9 + 9 + 9 + 9 = 36
O resultado da multiplicação é denominado produto e os números dados que geraram o 
produto, são chamados fatores. Usamos o sinal × ou · ou x, para representar a 
multiplicação.
Propriedades da multiplicação
1. Fechamento: A multiplicação é fechada no conjunto N dos números naturais, 
pois realizando o produto de dois ou mais númros naturais, o resultado estará em 
N. O fato que a operação de multiplicação é fechada em N é conhecido na 
literatura do assunto como: A multiplicação é uma lei de composição interna no 
conjunto N.
16
2. Associativa: Na multiplicação, podemos associar 3 ou mais fatores de modos 
diferentes, pois se multiplicarmos o primeiro fator com o segundo e depois 
multiplicarmos por um terceiro número natural, teremos o mesmo resultado que 
multiplicar o terceiro pelo produto do primeiro pelo segundo.
(m.n).p = m.(n.p)
(3.4).5 = 3.(4.5) = 60
3. Elemento Neutro: No conjunto dos números naturais existe um elemento neutro 
para a multiplicação que é o 1. Qualquer que seja o número natural n, tem-se 
que:
1.n = n.1 = n
1.7 = 7.1 = 7
4. Comutativa: Quando multiplicamos dois números naturais quaisquer, a ordem 
dos fatores não altera o produto, ou seja, multiplicando o primeiro elemento pelo 
segundo elemento teremos o mesmo resultado que multiplicando o segundo 
elemento pelo primeiro elemento.
m.n = n.m
3.4 = 4.3 = 12
Propriedade Distributiva
Multiplicando um número natural pela soma de dois números naturais, é o mesmo que 
multiplicar o fator, por cada uma das parcelas e a seguir adicionar os resultados obtidos.
m.(p+q) = m.p + m.q
6x(5+3) = 6x5 + 6x3 = 30 + 18 = 48
Divisão de Números Naturais
Dados dois números naturais, às vezes necessitamos saber quantas vezes o segundo está 
contido no primeiro. O primeiro número que é o maior é denominado dividendo e o 
outro número que é menor é o divisor. O resultado da divisão é chamado quociente. Se 
multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos o dividendo.
17
No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, pois nem sempre é possível 
dividir um número natural por outro número natural e na ocorrência disto a divisão não 
é exata.
Relações essenciais numa divisão de números naturais
1. Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve ser menor do que o 
dividendo.
35 : 7 = 5
2. Em uma divisão exata de números naturais, o dividendo é o produto do divisor 
pelo quociente.
35 = 5 x 7
3. A divisão de um número natural n por zero não é possível pois, se admitíssemos 
que o quociente fosse q, então poderiamos escrever:
n ÷ 0 = q
e isto significaria que:
n = 0 x q = 0
o que não é correto! Assim, a divisão de n por 0 não tem sentido ou ainda é dita 
impossível.
Exercício: Substituindo X por 6 e Y por 9, qual é o valor da soma do dobro de X pelo 
triplo de Y.
Potenciação de Números Naturais
Para dois números naturais m e n, a expressão mn é um produto de n fatores iguais ao 
número m, ou seja:
mn = m . m . m ... m . m
m aparece n vezes
O número que se repete como fator é denominado base que neste caso é m. O número de 
vezes que a base se repete é denominado expoente que neste caso é n. O resultado é 
donominado potência.
Esta operação não passa de uma multiplicação com fatores iguais, como por exemplo:
18
23 = 2 × 2 × 2 = 8
43 = 4 × 4 × 4 = 64
Propriedades da Potenciação
1. Uma potência cuja base é igual a 1 e o expoente natural é n, denotada por 1n, 
será sempre igual a 1.
Exemplos:
a. 1n = 1×1×...×1 (n vezes) = 1
b. 13 = 1×1×1 = 1
c. 17 = 1×1×1×1×1×1×1 = 1
2. Se n é um número natural não nulo, então temos que no=1. Por exemplo:
3. (a) nº = 1
4. (b) 5º = 1
5. (c) 49º = 1
6. A potência zero elevado a zero, denotada por 0o, é carente de sentido no contexto 
do Ensino Fundamental. O visitante que necessitar aprofundamento neste 
assunto, deve visitar nosso link Zero elevado a zero?
7. Qualquer que seja a potência em que a base é o número natural n e o expoente é 
igual a 1, denotada por n1, é igual ao próprio n. Por exemplo:
8. (a) n¹ = n
9. (b) 5¹ = 5
10. (c) 64¹ = 64
11. Toda potência 10n é o número formado pelo algarismo 1 seguido de n zeros.
Exemplos:
a. 103 = 1000
b. 108 = 100.000.000
c. 10o = 1
Divisibilidade:
2
Um número é divisível por 2 quando é par (o algarismo das unidades é 0, 2, 4, 6, 8).
Por exemplo são divisíveis por 2 : 46, 188, 234...
3
19
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/calculo/zerozero/zero.htm
Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é 0, 3, 6 ou 9 (ou 
então noves fora dá 0, 3 ou 6).
Por exemplo: 147 - 1+4+7= 12 (Pode-se somar novamente ) e 1+2= 3.
167265 - 1 + 6 + 7 + 2 + 6 + 5 = 27 e 2 + 7 = 9 é divisível.
65926 - 6 + 5 + 9 + 2 + 6 = 28 e 2 + 8 = 10 não é divisível por 3.
4
Se os dois últimos algarismos de um número forem divisíveis por 4, então o número é 
divisível por 4.
Para ver se os dois últimos algarismos formamum número divisível por 4 - deve ser um 
número par e a sua metade continuar par.
Por exemplo: 758836 - 36 é par e metade de 36 é 18 que é par então o número é 
divisível por 4.
9881654 - 54 é par mas metade não é o número não é divisível por 4.
5
Um número é divisível por 5 se terminar em 0 ou 5.
6
Se um número for divisível por 2 e por 3 é divisível por 6.
7
Duplica-se o algarismo das unidades e subtrai-se do resto do número . Se o resultado for 
divisível por 7 o número é divisível por 7.
Por exemplo:
245 - 5 x 2 = 10 e depois 24 - 10 = 14 então é divisível por 7.
1589 - 9 x 2 = 18 e 158 - 18 = 140 então é divisível por 7 .
204568 - 8 x 2 = 16 e 20456 - 16 = 20440 e aplicando novamente
 0 x 2 = 0 2044 - 0 = 2044 e novamente
 4 x 2 = 8 204 - 8 = 196 e novamente
 6 x 2 = 12 19 - 12 = 7
então é divisível por 7. 
8
20
Se os 3 últimos algarismos forem divisíveis por 8 então o número é divisível por 8. (3 
últimos pares , a sua metade par e novamente metade par).
772673290168 - 168 é par , 168:2=84 é par e 84:2= 32 é par então o número 
inicial é divisível por 8.
9
Somar os algarismos do número e verificar se a soma é divisível por nove ( ou fazer os 
noves fora e dar zero).
Por exemplo. 3464514 - 3+4+6+4+5+1+4=27 e 2 + 7 = 9 então é divisível por 9
4524562 - 4+5+2+4+5+6+2 =28 e 2 + 8= 10 então não é divisível por 9.
10
Um número é divisível por 10 se o algarismo das unidades é zero.
11
Soma o 1º, o 3º, o 5º, o 7º algarismo ....
Soma o 2º, o 4º, o 6º, o 8º algarismo ....
Se a diferença for múltiplo de 11 (incluindo o zero) então o número é divisível por 11.
Por exemplo: 94186565 - 9 + 1 + 6 + 6 = 22
 4 + 8 + 5 + 5 = 22 e 22 - 22 = 0 então o número é 
divisível por 11. 
 
4723866862 - 4+2+8+6+6 = 26
 7+3+6+8+2 = 26 e 26-26 = 0 então o número é divisível por 11
12
Se o número for divisível por 3 e por 4 é divisível por 12.
13
Multiplica o algarismo das unidades por 9 e subtrai-o do restante número. Se o resultado 
for múltiplo de 13 então o número inicial é múltiplo de 13.
Por exemplo:
21
1105 - 5 x9=45 e 110 - 45 = 65 ( se ainda tiveres dúvidas podes fazer 
novamente.... ) que é múltiplo de 13 - 13x5= 65
Números Primos:
Números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores 
diferentes: o 1 e ele mesmo.
 Exemplos:
 1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo.
 2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo.
 3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo.
 Observações:
 => 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é 
ele mesmo.
 => 2 é o único número primo que é par.
 Os números que têm mais de dois divisores são chamados números 
compostos.
 Exemplo: 15 tem mais de dois divisores => 15 é um número composto. 
• Reconhecimento de um número primo
 Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos 
números primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. até que tenhamos:
 => ou uma divisão com resto zero e neste caso o número não é primo,
 => ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto 
diferente de zero. Neste caso o número é primo.
Exemplos:
1) O número 161: 
• não é par, portanto não é divisível por 2;
• 1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3;
• não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;
• por 7: 161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por 7, e portanto 
não é um número primo.
2) O número 113: 
• não é par, portanto não é divisível por 2;
22
• 1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3;
• não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;
• por 7: 113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o 
divisor (7).
• por 11: 113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o 
divisor (11), e além disso o resto é diferente de zero (o resto vale 3), 
portanto 113 é um número primo.
Fatoração Completa:
A fatoração completa implica na união de todos os métodos de fatoração de polinômios 
para tornar um polinômio fatorado ao máximo, ou seja, que não pode ser mais fatorado. 
Considere o polinômio x4 − y4, que é a diferença de dois quadrados, fatorando-o temos: 
x4 − y4 = (x2 − y2).(x2 + y2), note que o primeiro termo da fatoração [(x2 − y2)] é uma 
diferença de dois quadrados, devemos fatora-lo: x4 − y4 = (x2 − y2).(x2 + y2) = (x − y).(x + 
y).(x2 + y2), assim, temos a fatoração completa do polinômio x4 − y4.
Outros exemplos:
3x2 − 6x + 3 = 3.(x2 − 2x + 1) = 3.(x − 1)2
a2 + 2ab + b2 − c2 = (a + b)2 − c2 = (a + b − c)(a + b + c)
Números racionais e frações
Fração é um número que exprime uma ou mais partes iguais que foi divida uma unidade 
ou um inteiro.
Assim, por exemplo, se tivermos uma pizza inteira e a dividirmos em quatro partes 
iguais, cada parte representará uma fração da pizza.
Na matemática, um número racional (ou, vulgarmente, fração) é uma razão entre dois 
inteiros, geralmente escrita na forma onde é um número inteiro diferente de Zero.
23
http://pt.wikibooks.org/wiki/Matem%C3%A1tica_elementar/Conjuntos/N%C3%BAmeros_inteiros
Exemplos:
A adição e multiplicação de racionais é dada da seguinte forma:
Exemplo:
+ = 
Dois números racionais a/b e c/d são iguais apenas se ad = bc.
O conjunto de todos os números racionais é Q, ou:
Cada número racional pode ser escrito de diversas formas, como, por exemplo, 3/6 = 2/4 
= 1/2. A forma mais simples é quando a e b não possuem divisores em comum, e todo 
racional tem uma forma como esta. A expansão decimal de um racional é finita ou 
periódica, propriedade que caracteriza os números racionais.
24
http://pt.wikibooks.org/wiki/Ficheiro:Fra%C3%A7%C3%B5es.png
 Definições
De modo simples, pode-se dizer que uma fração de um número, representada de modo 
genérico como designa este número dividido em partes iguais. Neste caso, 
corresponde ao numerador, enquanto corresponde ao denominador.
Por exemplo, a fração designa o quociente de por Ela é igual a pois x = 
Nota: A divisão é a operação inversa da multiplicação.
Os números expressos em frações são chamados de números racionais. O conjunto dos 
racionais é representado por 
= { / = com e }
 Decimais
Decimais exatos
= 
= 
 Decimais periódicos
= (a)
= (b)
Os decimais periódicos são denominados dízimas periódicas. As dízimas periódicas 
podem ser simples como no exemplo (a) ou compostas como no exemplo (b). A fração 
que originou a dízima periódica é denominada de fração geratriz e a parte que repete na 
dízima é denominada período.
25
 Geratriz de dízima periódica
 Dízima simples
A fração geratriz é obtida usando-se como numerador o período e como denominador 
um número formado por tantos noves quantos forem os algarismos do período.
Dízima composta
A fração geratriz terá como numerador a parte não-periódica, seguida do período menos 
a parte não-periódica, e denominador um número formado de tantos noves quanto são os 
algarismos do período, seguido de tantos zeros quantos são os algarismos da parte não-
periódica (ante-período).
=> + = + = = 
 Conversão entre dízima e fração
Seja o número x = 2,333... (dízima). O periodo da dízima é o número 3 (um só dígito), 
assim, para colocar o período da dízima antes da vírgula, fazemos 10*x = 23,333.... 
Agora, podemos eliminar a dízima fazendo a subtração: 10*x - x = 23,333... - 2,333..., 
ou seja, 9*x = 21 x = 
Outro exemplo mais complexo desta conversão, que ocorre quando a dízima se 
apresente mais à frente da vírgula: x = 38,07821821821... (dízima). Após a virgula, 
temos os números "07"´(dois dígitos) que não fazem parte do período e o período "821" 
(três dígitos).
Primeiro isolamos o período logo após a vírgula:
100*x = 3807,821821821...Agora repetimos o processo do exemplo anterior:
100.000*x = 3807821,821821821...
Fazemos então a subtração
100.000*x - 100*x = 3807821,821821821... - 3807,821821821..., assim, temos que
26
99900*x = 3804014 , portanto
x = , que poderá ainda ser simplificada.
Como decorrência da repetição deste processo de conversão, podemos chegar à seguinte 
regra prática de conversão de dízimas em frações. Vamos aplicá-la ao número 
38,07821821821...
Eis os passos:
1. O período da dízima tem 3 dígitos, que é o número de algarismos nove (999 
portanto);
2. Após a vírgula temos 2 dígitos que não fazem parte da dízima, que é o número de 
zeros (00 portanto);
3. Temos assim o denominador da fração que será 99900;
4. O númerador da fração será a diferença do número formado pelos algarismos até o 
primeiro período da dízima, no caso 3807821, pelo número formado pelos algarismos 
que antecedem o início da dízima, no caso 3807. Temos então 3807821 - 3807.
5. A fração será, portanto, .
Tipos de frações
• própria: o numerador é menor que o denominador. Ex.: 
• imprópria: o numerador é maior que o denominador. Ex.: 
• mista: constituída por uma parte inteira e uma fracionária. Ex.: 
• aparente: o numerador é múltiplo do denominador. Ex.: 
• equivalentes: aquelas que mantêm a mesma proporção de outra fração. Ex.: 
• irredutível: o numerador e o denominador são primos entre si, não permitindo 
simplificação. Ex.: 
• unitária: o numerador é igual a 1 e o denominador é um inteiro positivo. Ex.: 
• egípcia: fração que é a soma de frações unitárias, distintas entre si. Ex: 
27
http://pt.wikibooks.org/wiki/N%C3%BAmeros_primos
• decimal: o denominador é uma potência de 10. Ex.: 
• composta: fração cujo numerador e denominador são frações: 
• contínua: fração constituída a partir de uma sequência de inteiros naturais 
(a0,a1,a2,a3,...,ak,...) da seguinte maneira Quando esta 
fração contínua termina, o seu resultado é um número racional, porém quando 
esta fração não termina, o resultado pode ser racional ou irracional.
 Operações
Multiplicação
Multiplicam-se os numeradores entre si e os denominadores entre si. Ex.:
Para multiplicar uma fração por um número inteiro, considera-se que este é uma fração 
cujo denominador é igual a 1. Ex.:
Divisão
Como visto, a divisão é a operação inversa da multiplicação. É importante ter isso em 
mente para resolver uma divisão entre frações:
÷ 
Primeiramente inverte-se o divisor da segunda fração. Com isto, tem-se a inversão da 
operação, isto é, passará a haver uma multiplicação:
Que se resolve como mostrado acima.
28
 Adição
Caso os denominadores não sejam iguais é preciso, antes de efetuar a adição, encontrar 
o menor múltiplo comum (MMC) entre os denominadores:
Encontrado o MMC, este será dividido por cada um dos denominadores, multiplicando-
se o resultado desta divisão pelo respectivo numerador. Como o MMC de 3 e 5 é 15, 
tem-se que:
 ∴ ∴ 
Sendo iguais os denominadores, pode-se efetuar a adição entre os numeradores:
O denominador comum é mantido:
Subtração
A subtração é feita seguindo-se os mesmos passos da adição.
Exponenciação
É indiferente resolver primeiro a exponenciação ou a divisão:
Efetuando-se primeiramente a divisão obtém-se o mesmo resultado:
Radiciação
A radiciação de uma fração é feita seguindo-se os mesmos passos da potenciação.
29
http://pt.wikibooks.org/wiki/Matem%C3%A1tica_elementar/Exponenciais
Expoente fracionário
Da mesma forma que na divisão entre frações, a ocorrência de expoente fracionário 
causa a inversão da operação:
Simplificação de frações
Uma fração pode ser simplificada quando numerador e denominador não são primos 
entre si. Ex.:
Para tanto basta dividi-los pelo máximo divisor comum (MDC) entre eles, obtendo-se 
uma fração que, além de manter a proporção da original, é do tipo irredutível:
Comparação entre frações
Para estabelecer comparação entre frações, é preciso que elas tenham o mesmo 
denominador. Isso é obtido através do menor múltiplo comum, como foi visto na adição.
 ? 
O MMC entre 5 e 7 é 35.
 ∴ ∴ 
Uma vez igualados os denomidores,pode-se fazer a comparação entre as frações:
< ∴ < 
A comparação entre frações com denominadores diversos vale-se do fato de que há 
frações que são equivalentes entre si, pois:
 e 
30
 Conversão entre frações impróprias e mistas
Uma fração do tipo imprópria pode ser convertida para mista e vice-versa.
Para tanto, basta dividir o numerador pelo denominador. O quociente será o numerador 
da fração mista e o resto será o numerador. Como o quociente da divisão 7 ÷ 3 é igual a 
2 e o resto é 1, tem-se que a fração acima, escrita como fração mista, terá a seguinte 
notação:
Para fazer o caminho inverso, basta multiplicar o denominador pela parte inteira e somar 
o resultado ao numerador, mantendo-se o denominador. Como o produto 3 × 2 é igual a 
6 e a soma 6 + 1 é igual a 7, obtém-se novamente a notação sob a forma de fração 
imprópria, como visto acima.
A comparação pela operação inversa 
Toda a gente sabe como se comparam dois números: coloca-se um ao lado do outro, e 
escolhe-se um dos sinais, “maior” > ou “menor” <, que se aplica entre os dois números 
para transmitir o sentido à comparação.
O problema coloca-se, quando se pretende comparar valores, em vez de números. A 
diferença é que há certos valores que não são representados por números simples, mas 
sim por resultados de operações sobre dois ou mais números. Um exemplo simples é a 
comparação de números racionais, representados por fracções que são constituídas por 
um par de números inteiros.
Neste caso, temos duas opções:
Uma delas é completar as operações que são indicadas pelos valores que se querem 
comparar, e proceder à comparação final entre os números que foram calculados. Este é 
o procedimento mais corrente, mas não é o único, e apresenta o inconveniente de poder 
obrigar a fazer arredondamentos dum lado ou de outro, os quais podem até viciar o 
resultado final da comparação.
Se apenas se pretende o resultado da comparação, e não interessa obter o valor de cada 
um dos comparandos, dispomos de uma opção mais interessante que é a comparação 
pela operação inversa.
Chamei a esta opção por este nome, porque podemos considerar dois casos, que são a 
divisão e a subtracção, as quais se podem substituir pelas operações da multiplicação ou 
da soma, para efeitos de proceder à comparação final.
Assim, se o que pretendo é comparar as fracções 4/3 e 7/5, por exemplo, em vez de 
fazer as divisões posso comparar os produtos 4x5 =20 e 7x3 =21. como 20 <21, logo se 
31
http://pt.wikibooks.org/w/index.php?title=Fra%C3%A7%C3%A3o&action=edit&redlink=1
conclui que 4/3 será menor do que 7/5.
O mesmo procedimento se pode aplicar aos resultados de uma subtracção. Utilizando os 
mesmos números, posso comparar 4 – 3 com 7 – 5 substituindo as subtracções indicadas 
pelas somas 4+5=9 e 7+3=10. Como 9 <10, logo 4 – 3 será menor do que 7 – 5.
Em qualquer um dos casos, o raciocínio é o mesmo: coloca-se num dos lados, a 
contribuição positiva de um dos lados, seguida da contribuição negativa do outro lado; 
aplica-se aos termos a operação inversa, e comparam-se os resultados. O resultado dessa 
comparação, é aplicado à comparação final que se pretende.
Nos exemplos acima, o 4 e o 7 contribuem positivamente para a comparação, ao passo 
que o 3 e o 5 contribuem negativamente para os resultados das comparações.
Problemas envolvendo números fracionários:
A maneira como resolvemos uma situação problema é sempre a mesma, o que as tornam 
diferentes é a estratégia de resolução, pois cada um deles envolve um conteúdo 
diferente. 
Levando em consideração os problemas matemáticos que envolvem números 
fracionários, podemos utilizar como estratégia na sua resolução a construção de figuras 
que representem os inteiros ou partes deles (fração). 
Veja o exemplo de situação problema envolvendo números fracionários. 
Uma piscina retangular ocupa 2/15 de uma área de lazer de 300 m2.A parte 
restante da área de lazer equivale a quantos metros quadrados? 
Resolução: 
Considere o retângulo abaixo como sendo a área de lazer completa. 
Para representarmos 2/15 (área ocupada pela piscina) na região retangular que está 
representando a área de lazer, basta dividir esse retângulo em 15 partes iguais e 
considerar apenas duas como sendo ocupadas pela piscina. 
32
http://www.brasilescola.com/matematica/problemas-envolvendo-numeros-fracionarios.htm
Foi dito no enunciado que a área total é de 300m², portanto, a área que a piscina ocupa 
será de: 
 2 de 300 = 300:15 x2 = 40m2. Dessa forma, cada 1/15 do terreno corresponde a 20m². 
15 
Observando a figura acima percebemos que a fração que irá corresponder à parte 
restante da área de lazer é 13/15, dessa forma, para descobrirmos quanto isso representa 
em metros quadrados basta multiplicar 20 por 13 que será igual a 260m2 de área 
restante.
Razões
A palavra razão vem do latim ratio e significa a divisão ou o quociente entre dois 
números A e B, denotada por:
A
B
Exemplo: A razão entre 12 e 3 é 4 porque:
12
3
= 4
e a razão entre 3 e 6 é 0,5 pois:
3
6
= 0,5
A razão também pode ser expressa na forma de divisão entre duas grandezas de algum 
sistema de medidas. Por exemplo, para preparar uma bebida na forma de suco, 
normalmente adicionamos A litros de suco concentrado com B litros de água. A relação 
entre a quantidade de litros de suco concentrado e de água é um número real expresso 
como uma fração ou razão (que não tem unidade), é a razão:
A = A/B
33
B
Exemplo: Tomemos a situação apresentada na tabela abaixo.
Líquido Situação1 Situação2 Situação3 Situação4
Suco puro 3 6 8 30
Água 8 16 32 80
Suco pronto 11 22 40 110
Na Situação1, para cada 3 litros de suco puro coloca-se 8 litros de água, perfazendo o 
total de 11 litros de suco pronto.
Na Situação2, para cada 6 litros de suco puro coloca-se 16 litros de água, perfazendo o 
total de 24 litros de suco pronto.
Exemplo: Em uma partida de basquete um jogador faz 20 arremessos e acerta 10.
Podemos avaliar o aproveitamento desse jogador, dividindo o número de arremessos 
que ele acertou pelo total de arremessos, o que significa que o jogador acertou 1 para 
cada dois arremessos, o que também pode ser pensado como o acerto de 0,5 para cada 
arremesso.
10 : 20 = 1 : 2 = 0,5
Proporções
Proporção é a igualdade entre duas razões. A proporção entre A/B e C/D é a igualdade:
A
B
=
C
D
Notas históricas: A palavra proporção vem do latim proportione e significa uma 
relação entre as partes de uma grandeza, ou seja, é uma igualdade entre duas razões. No 
século XV, o matemático árabe Al-Kassadi empregou o símbolo "..." para indicar as 
proporções e em 1.537, o italiano Niccola Fontana, conhecido por Tartaglia, escreveu 
uma proporção na forma
34
6:3::8:4.
Regiomontanus foi um dos matemáticos italianos que mais divulgou o emprego das 
proporções durante o período do Renascimento.
Propriedade fundamental das proporções
Numa proporção:
A
B
=
C
D
os números A e D são denominados extremos enquanto os números B e C são os meios 
e vale a propriedade: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é:
A · D = B · C
Exemplo: A fração 3/4 está em proporção com 6/8, pois:
3
4
=
6
8
Exercício: Determinar o valor de X para que a razão X/3 esteja em proporção com 4/6.
Solução: Deve-se montar a proporção da seguinte forma:
x
3
=
4
6
Para obter X=2.
Razões e Proporções de Segmentos
Consideremos dois segmentos AB e CD, cujas medidas são dadas, respectivamente, por 
2cm e 4cm.
A________B, C ______________ D
Comparando os segmentos AB e CD, estabelecemos uma razão entre as suas medidas.
m(AB)
m(CD)
=
2
4
35
Podemos também afirmar que AB está para CD na razão de 1 para 2 ou que CD está 
para AB na razão de 2 para 1.
Polígonos Semelhantes
Dois polígonos são semelhantes se têm ângulos correspondentes congruentes e os lados 
correspondentes proporcionais.
Exemplo: Sejam os triângulos ABC e RST.
Observamos que os ângulos correspondentes possuem as mesmas medidas, denotadas 
aqui por, A~R, B~S, C~T e os lados correspondentes são proporcionais.
AB/RS=5/(2,5)=2 BC/ST=4/2=2 AC/RT=3/(1,5)=2
Afirmamos que os polígonos (triângulos) ABC e RST são semelhantes e indicamos isto 
por :
ABC ~ DEF
Figuras Semelhantes
Duas figuras são semelhantes quando elas têm a mesma forma com medidas 
correspondentes congruentes, ou seja, quando uma é uma ampliação ou redução da 
outra. Isto significa que existe uma proporção constante entre elas sem ocorrência de 
deformação. A figura final e a figura original são chamadas figuras semelhantes.
As figuras geométricas são semelhantes quando existe uma igualdade entre as razões 
dos segmentos que ocupam as correspondentes posições relativas nas figuras.
Exemplo: Nos triângulos
36
observamos que os ângulos correspondentes possuem a mesma medida, ou seja, A=R, 
B=S e C=T e os lados correspondentes são proporcionais.
AB/RS = BC/ST = CA/TR = 2
Assim, os triângulos ABC e DEF são semelhantes e indicamos por:
ABC ~ DEF
Exemplo: O mapa do Brasil está em duas escalas diferentes.
Os dois mapas possuem a mesma forma mas têm tamanhos diferentes. O mapa verde é 
uma ampliação do mapa amarelo ou o mapa amarelo é uma redução do mapa verde.
Aplicações práticas das razões
Existem algumas razões especiais muito utilizadas em nosso cotidiano, entre as quais: 
velocidade média, escala, densidade demográfica e densidade de um corpo.
1. Velocidade Média: A "velocidade média", em geral, é uma grandeza obtida pela 
razão entre uma distância percorrida (expressa em quilômetros ou metros) e um 
tempo por ele gasto (expresso em horas, minutos ou segundos).
vmédia = distância percorrida / tempo gasto
37
Exemplo: Suponhamos que um carro de Fórmula MAT percorreu 328Km em 
2h. Qual foi a velocidade média do veículo nesse percurso?
A partir dos dados do problema, teremos:
vmédia = 328 Km / 2h = 164 Km/h
o que significa que a velocidade média do veículo durante a corrida foi de 164 
Km/h, ou seja, para cada hora percorrida o carro se deslocou 164 Km.
2. Escala: Uma das aplicações da razão entre duas grandezas se encontra na escala 
de redução ou escala de ampliação, conhecidas simplesmente como escala. 
Chamamos de escala de um desenho à razão entre o comprimento considerado 
no desenho e o comprimento real correspondente, ambos medidos na mesma 
unidade.
escala = comprimento no desenho / comprimento real
Usamos escala quando queremos representar um esboço gráfico de objetos como 
móveis, plantas de uma casa ou de uma cidade, fachadas de prédios, mapas, 
maquetes, etc.
Exemplo: Observemos as figuras dos barcos:
Base menor barco azul/Base menor barco vermelho = 2/4
Base maior barco azul/Base maior barco vermelho = 4/8
Altura do barco azul/Altura do barco vermelho = 3/6
38
O barco vermelho é uma ampliação do barco azul, pois as dimensões do barco 
vermelho são 2 vezes maiores do que as dimensões do barco azul, ou seja, os 
lados correspondentes foram reduzidos à metade na mesma proporção.
3. Densidade Demográfica: O cálculo da densidade demográfica, também 
chamada de população relativa de uma região é considerada uma aplicação de 
razão entre duas grandezas. Ela expressa a razão entre o numero de habitantes e 
a área ocupada em uma certa região.
Exemplo: Em um jogo de vôlei há 6 jogadores para cada time, o que significa 6 
jogadores em cada lado da quadra. Se, por algum motivo, ocorre a expulsão de 1 
jogador de um time, sendo que não pode haver substituição, observa-se que 
sobra mais espaço vazio para ser ocupado pelo time que tem um jogador 
expulso. Neste caso, afirmamos que a densidade demográfica é menor na quadra 
que tem um jogador expulso e maior na outra quadra.
Exemplo: Um estado brasileiro ocupa a área de 200.000 Km². De acordo com o 
censo realizado, o estado tem uma população aproximada de 12.000.000 
habitantes. Assim:
dens.demográfica=12.000.000 habitantes/200.000 Km²
densidade demográfica= 60 habitantes/ Km2
Isto significa que para cada 1 Km2existem aproximadamente 60 habitantes.
4. Densidade de um Corpo: Densidade de um corpo é mais uma aplicação de 
razão entre duas grandezas. Assim, a densidade (volumétrica) de um corpo é a 
razão entre a massa desse corpo, medida em Kg ou gramas e o seu volume, 
medido em m³, dm³ ou qualquer outra unidade de volume.
Exemplo: Se uma estátua de bronze possui uma densidade volumétrica de 8,75 
kg/dm³ então para cada dm³ há uma massa de 8,75 kg.
Curiosidade:Devido à existência de densidades diferentes, observamos que ao 
colocarmos corpos diferentes em um recipiente com água, alguns afundam e 
outros flutuam.
Uma bolinha de isopor flutuará na água enquanto que uma de chumbo, de 
mesmo volume afundará. Isso ocorre porque a densidade do chumbo é maior que 
a densidade do isopor. Algumas substâncias e suas densidades estão na tabela 
abaixo:
Substância Densidade [g/cm³]
39
madeira 0,5
gasolina 0,7
álcool 0,8
alumínio 2,7
ferro 7,8
mercúrio 13,6
5. Pi: Uma razão muito famosa: Os egípcios trabalhavam muito com certas 
razões e descobriram a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu 
diâmetro. Este é um fato fundamental pois esta razão é a mesma para toda 
circunferência. O nome desta razão é Pi e seu valor é aproximadamente:
Pi = 3,1415926535
Exemplo: Se C é o comprimento da circunferência e D a medida do diâmetro da 
circunferência, temos uma razão notável:
C / D = Pi = 3,14159265358979323846264338327950...
significando que
C = Pi . D
Exemplo: Se a medida do raio de uma circunferência tem 1,5cm então o 
perímetro da circunferência é igual a 9,43cm.
PORCENTAGEM:
 É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, 
números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:
• A gasolina teve um aumento de 15%
Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00
• O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00
• Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques.
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques.
 
 Razão centesimal 
 Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão 
centesimal. Alguns exemplos:
40
 Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:
 
 As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas 
percentuais.
 Considere o seguinte problema:
 João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu?
 Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total 
de cavalos.
 Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada.
 Portanto, 
Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a 
um determinado valor.
 Exemplos:
• Calcular 10% de 300.
 
 
• Calcular 25% de 200kg.
 
Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.
 EXERCÍCIOS:
 1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, 
transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador 
fez?
41
 
 Portanto o jogador fez 6 gols de falta.
 2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por 
R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida?
 Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que 
aumentou em relação a esses R$250,00, resulte nos R$300,00.
 
 Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%.
 Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO.
 Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular 
o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. 
Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela 
abaixo:
Acréscimo ou Lucro
Fator de 
Multiplicação
10% 1,10
15% 1,15
20% 1,20
47% 1,47
67% 1,67
 
 Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00
 No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:
 Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)
 Veja a tabela abaixo:
Desconto
Fator de 
Multiplicação
42
10% 0,90
25% 0,75
34% 0,66
60% 0,40
90% 0,10
 Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00
 
Números Proporcionais:
Os números proporcionais são divididos em diretamente e inversamente proporcionais, 
e são utilizados em situações envolvendo regra de sociedade, abordando as divisões de 
lucros, prejuízos, sociedade em investimentos entre outras situações de repartição de 
capitais. 
Números diretamente proporcionais 
Dados os números a, b, c e d, e, f, dizemos que eles são diretamente proporcionais 
quando a igualdade entre as respectivas razões possuem o mesmo valor. Dessa forma, 
concluímos que: 
 . 
O resultado das divisões é denominado coeficiente de proporcionalidade. E no caso das 
proporções, também é válida a seguinte propriedade:
 . 
Exemplo 1 
Vamos verificar se os números 2, 5, 8 e 10 são diretamente proporcionais aos números 
6, 15, 24 e 30 respectivamente. Para isso, vamos aplicar a regra da igualdade entre as 
43
http://www.brasilescola.com/matematica/numeros-proporcionais.htm
razões. 
Após simplificar as frações à forma irredutível, verificamos que a igualdade entre as 
razões foi comprovada. Dessa forma, dizemos que os números nessa ordem são 
proporcionais e o coeficiente de proporcionalidade é igual a 1/3. 
Exemplo 2 
Vamos determinar os valores de x e y, considerando que os números 6, 8, 16 são 
diretamente proporcionais aos números 30, x, y.
Os valores de x e y são, respectivamente, 40 e 80. 
Números inversamente proporcionais 
Dados os números a, b, c e d, e, f, dizemos que eles são inversamente proporcionais 
quando um número está para o inverso do outro, prevalecendo a igualdade entre as 
respectivas razões. Dessa forma, concluímos que: 
 
Exemplo 3 
Verifique se os números 2, 4, 6 são inversamente proporcionais aos números 90, 45, 30, 
44
respectivamente. 
Para desenvolver as frações acima, devemos conservar o numerador e multiplicar pelo 
inverso do denominador. 
Verificada a igualdade, dizemos que os números são inversamente proporcionais. 
Exemplo 4 
Vamos verificar se os números 2, 4, 8 são inversamente proporcionais aos números 20, 
10, 5. Para que eles sejam inversamente proporcionais, devemos aplicar a regra do 
exemplo 3. 
Os números são inversamente proporcionais, pois possuem o mesmo coeficiente de 
proporcionalidade. 
Regra de três simples:
Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que 
envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, 
determinar um valor a partir dos três já conhecidos.
 Passos utilizados numa regra de três simples:
 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em 
colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em 
correspondência.
45
 2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente 
proporcionais.
 3º) Montar a proporção e resolver a equação.
 Exemplos:
 1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha 
com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de 
energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida?
 Solução: montando a tabela:
Área (m2) Energia (Wh)
1,2 400
1,5 x
 Identificação do tipo de relação:
 Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª 
coluna).
 Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta.
 Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos 
afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, 
colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. 
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, a energiaproduzida será de 500 watts por hora.
 2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um 
determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo 
percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?
 Solução: montando a tabela:
Velocidade 
(Km/h)
Tempo (h)
400 3
46
480 x
 Identificação do tipo de relação:
 Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª 
coluna).
 Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui.
 Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar 
que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos 
uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a 
proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.
 3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se 
comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?
 Solução: montando a tabela:
Camisetas Preço (R$)
3 120
5 x
 Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta.
 Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos 
afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a 
proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.
47
 4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou 
determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido 
para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?
 Solução: montando a tabela:
Horas por dia
Prazo para término 
(dias)
8 20
5 x
 Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo 
para término aumenta.
 Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar 
que as grandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção e 
resolvendo a equação temos:
Regra de três composta:
A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas 
grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
 Exemplos:
 1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, 
quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?
 Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de 
mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se 
correspondem:
Horas Caminhões Volume
8 20 160
5 x 125
 Identificação dos tipos de relação:
 Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª 
coluna).
48
 A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.
 Observe que:
 Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o 
número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta 
para cima na 1ª coluna).
 Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de 
caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 
3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das 
outras razões de acordo com o sentido das setas.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, serão necessários 25 caminhões.
 2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. 
Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?
 Solução: montando a tabela:
Homens Carrinhos Dias
8 20 5
4 x 16
 Observe que:
 Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. 
Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a 
razão).
 Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. 
Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos 
inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o 
produto das outras razões.
49
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, serão montados 32 carrinhos.
 3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. 
Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo 
necessário para completar esse muro?
 Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. 
Depois colocam-se flechas concordantes para as grandezas diretamente 
proporcionais com a incógnita e discordantes para as inversamente 
proporcionais, como mostra a figura abaixo:
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias.
 Exercícios complementares
 Agora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando fazer esses exercícios:
 1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 
10 torneiras para encher 2 piscinas? Resposta: 6 horas.
 2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de 
carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão 
extrair 5,6 toneladas de carvão? Resposta: 35 dias.
50
 3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para 
construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, 
trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m? Resposta: 15 dias.
 4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por 
dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria 
viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 
km/h? Resposta: 10 horas por dia.
 5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido 
com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 
20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos? Resposta: 2025 metros.
Juros:
Quem nunca ouviu falar do tal dos Juros? Ou das taxas de juros fixadas pelo Copom 
(Banco Central do Brasil), taxas selic e etc?
Primeiramente, passamos o que é juros: Juros é um atributo de uma aplicação 
financeira, ou seja, referimos a uma quantia em dinheiro que deve ser paga por um 
devedor (o que pede emprestado), pela utilização de dinheiro de um credor (aquele que 
empresta).
Existem dois tipos de juros:
Os Juros Simples - São acréscimos que são somados ao capital inicial no final da 
aplicação
Juros Compostos - São acréscimos que são somados ao capital, ao fim de cada 
período de aplicação, formando com esta soma um novo capital.
Capital é o valor que é financiado, seja na compra de produtos ou empréstimos em 
dinheiro.
A grande diferença dos juros é que no final das contas quem financia por juros simples 
obtem um montante (valor total a pagar) inferior ao que financia por juros compostos.
A fórmula do Juro Simples é: j = C. i. t
Onde:
j = juros, C = capital, i = taxa, t = tempo.
Considerando que uma pessoa empresta a outra a quantia de R$ 2.000,00, a juros 
simples, pelo prazo de 3 meses, à taxa de 3% ao mês. Quanto deverá ser pago de juros?
Antes de iniciarmos a resolução deste problema, devemos descobrir, o que é o que, ou 
seja, quais dados fazem parte das contas.
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Capital Aplicado (C) : R$ 2.000,00
Tempo de Aplicação (t) : R$ 3 meses
Taxa (i): 3% ou 0,03 ao mês (a.m.)
Fazendo o cálculo, teremos:
J = c . i. t → J = 2.000 x 3 x 0,03 → R$ 180,00
Ao final do empréstimo, a pessoa pagará R$ 180,00 de juros.
Observe, que se fizermos a conta mês a mês, o valor dos juros será de R$ 60,00 por mês 
e esse valor será somado mês a mês, nunca mudará.
 t
A fórmula dos Juros Compostos é: M = C. (1 + i)
Onde:
M = Montante, C = Capital, i = taxa de juros, t = tempo.
Considerando o mesmo problema anterior, da pessoa que emprestou R$ 2.000,00 a uma 
taxa de 3% (0,03) durante 3 meses, em juros simples, teremos:
Capital Aplicado (C) = R$ 2.000,00
Tempo de Aplicação (t) = 3 meses
Taxa de Aplicação (i) = 0,03 (3% ao mês)
Fazendo os cálculos, teremos:
M = 2.000 . ( 1 + 0,03)³ → M = 2.000 . (1,03)³ → M = R$ 2.185,45
Ao final do empréstimo, a pessoa pagará R$ 185,45 de juros.
Observe, que se fizermosa conta mês a mês, no primeiro mês ela pagará R$ 60,00, no 
segundo mês ela pagará R$ 61,80 e no terceiro mês ela pagará R$ 63,65.
Normalmente quando fazemos uma compra nas "Casas Bahia", por exemplo, os Juros 
cobrados são os Juros Compostos, praticamente todas lojas comerciais adotam os Juros 
sobre Juros (Juros Compostos).
Câmbio:
Entenda como funcionam as operações de câmbio, isto é, trocas de moedas, feitas a cada 
vez que você viaja para fora do Brasil, ou quando compra algum produto importado em 
moeda estrangeira.
Veja a tabela abaixo: 
Moeda Cotação do câmbio
Dólar americano R$ 2,33 
Franco suíço R$ 1,77 
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Libra esterlina R$ 4,04 
Libra síria R$ 0,044 
Peso argentino R$ 0,77 
Ela representa a cotação de 4 moedas estrangeiras em relação ao nosso real em um certo 
dia. 
Analisando a tabela vemos que para comprar 1 dólar americano precisamos de 2,33 
reais; para comprar 1 franco suíço de 1,77; para a libra esterlina (Grã Bretanha) de 4,04. 
Mas para se comprar 1 real precisa-se de 22,73 libras sírias e para 1 peso argentino 1,30 
reais. 
Força e fraqueza
No dia em que essas cotações foram extraídas, o real estava mais forte do que a libra 
síria e do peso argentino e mais fraca do que o dólar, o franco e a libra esterlina. 
Mas é importante lembrar que o que faz uma moeda ser forte ou fraca em relação a uma 
outra não é a sua cotação pontual. A moeda é um espelho da economia de um país, 
então, a questão depende das condições econômicas que os países apresentam. O euro, 
quando foi criado, valia menos que o dólar. Agora vale cerca de 20% mais. Dessa 
maneira pode-se verificar que, ultimamente o dólar tem perdido força. 
Dólar paralelo, oficial e turismo
Existem no Brasil três mercados de dólares, o paralelo, o oficial e o turismo. 
Teoricamente estes mercados são independentes entre si e regulados pelas leis de oferta 
e procura. 
O mercado oficial é onde as empresas importadoras e exportadoras compram e vendem 
os dólares das suas transações com o exterior. Também as empresas multinacionais 
recorrem a este mercado quando querem mandar lucros para o a matriz ou quando 
recebem dinheiro vivo para investimentos. 
O mercado de dólar turismo é usado tanto pelo turista que quer viajar para fora do Brasil 
como para o turista que vem ao Brasil e troca seus dólares por reais. 
O mercado paralelo ou mercado negro é usado por contraventores que usam o caixa 2, 
que agora está sendo chamado eufemisticamente de "dinheiro não contabilizado", para 
mandar ou receber dinheiro vivo do exterior. 
Caixa 2
Só por curiosidade, fique sabendo que toda empresa tinha sua contabilidade, sujeita à 
fiscalização, escriturada em um livro chamado "livro caixa". Para controlar tudo o que 
se queria esconder da fiscalização, e do pagamento de impostos, escriturava-se um 
segundo livro o "livro caixa 2". 
Voltando aos mercados do dólar eles são independentes porque são três tipos de clientes 
e normalmente não há a interferência entre eles. 
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Oferta e procura
Às vezes "pesos pesados" atuam em um deles e afetam a lei da oferta e procura, por 
exemplo, quando o governo federal tem que pagar alguma parcela grande de 
empréstimos feitos em bancos do exterior, o Banco Central compra milhões ou até 
bilhões de dólares no mercado oficial afetando a cotação para cima. 
A lei de oferta e procura diz que se muita gente quer comprar um produto e ele não tem 
uma oferta abundante o preço sobe, e ao contrário se um produto tem muita abundância 
e poucos compradores o preço cai. 
Números inteiros relativos:
Conjuntos de números
Naturais 
Inteiros 
Racionais 
Reais 
Imaginários
Complexos 
Números hiperreais
Números hipercomplexos
Quaterniões 
Octoniões 
Sedeniões 
Complexos hiperbólicos 
Quaterniões hiperbólicos
Bicomplexos
Biquaterniões
Coquaterniões
Tessarines
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http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Tessarines&action=edit&redlink=1
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Coquaterni%C3%B5es&action=edit&redlink=1
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Biquaterni%C3%B5es&action=edit&redlink=1
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Bicomplexos&action=edit&redlink=1
http://pt.wikipedia.org/wiki/Quaterni%C3%B5es_hiperb%C3%B3licos
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complexo_hiperb%C3%B3lico
http://pt.wikipedia.org/wiki/Sedeni%C3%B5es
http://pt.wikipedia.org/wiki/Octoni%C3%B5es
http://pt.wikipedia.org/wiki/Quaterni%C3%B5es
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_hipercomplexo
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_hiperreal
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complexo
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_imagin%C3%A1rio
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_natural
Interseção do conjunto dos naturais e dos inteiros.
Pertencem ao conjunto dos números inteiros os números negativos, os números 
positivos e o zero. Fazendo uma comparação entre os números naturais e os inteiros 
percebemos que o conjunto dos naturais está contido no conjunto dos inteiros.
N = { 0,1,2,3,4,5,6, ... }
Z = { ... , -3,-2,-1,0,1,2,3,4, ... }
N Z 
O conjunto dos números inteiros é representado pela letra Z maiúscula. Os números 
positivos são representados com o sinal de (+) positivo na frente ou com sinal nenhum 
(+2 ou 2), já os números negativos são representados com o sinal de negativo (-) na sua 
frente (-2).
►Os números inteiros são encontrados com freqüência em nosso cotidiano, por 
exemplo:
♦ Exemplo 1:
Um termômetro em certa cidade que marcou 10°C acima de zero durante o dia, à noite e 
na manhã seguinte o termômetro passou a marcar 3°C abaixo de zero. Qual a relação 
dessas temperaturas com os números inteiros?
Quando falamos acima de zero, estamos nos referindo aos números positivos e quando 
falamos dos números abaixo de zero estamos referindo aos números negativos.
+10° C ------------- 10° C acima de zero
- 3° C --------------- 3° C abaixo de zero 
♦ Exemplo 2:
Vamos imaginar agora que uma pessoa tem R$500,00 depositados num banco e faça 
sucessivas retiradas:
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• dos R$500,00 retira R$200,00 e fica com R$300,00
• dos R$300,00 retira R$200,00 e fica com R$100,00
• dos R$100,00 retira R$200,00 e fica devendo R$ 100,00 
A última retirada fez com que a pessoa ficasse devendo dinheiro ao banco. Assim:
Dever R$100,00 significa ter R$100,00 menos que zero. Essa dívida pode ser 
representada por – R$100,00. 
►Oposto de um número inteiro 
O oposto de um número positivo é um número negativo simétrico. Por exemplo: o 
oposto de +2 é -2; o oposto de -3 é +3.
►O conjunto dos números inteiros possui alguns subconjuntos:
- Inteiros não – nulos
São os números inteiros, menos o zero.
Na sua representação devemos colocar * ao lado do Z.
Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3,...}
- Inteiros não positivos
São os números negativos incluindo o zero.
Na sua representação deve ser colocado - ao lado do Z.
Z_ = {..., -3, -2, -1, 0}
- Inteiros não positivos e não – nulos 
São os números inteiros do conjunto do Z_ excluindo o zero.
Na sua representação devemos colocar o _ e o * ao lado do Z.
Z*_ = {..., -3, -2, -1} 
- Inteiros não negativos
São os números positivos incluindo o zero.
Na sua representação devemos colocar o + ao lado do Z. 
Z + = { 0,1 ,2 ,3, 4,...} 
O Conjunto Z + é igual ao Conjunto dos N
- Inteiros não negativos e não - nulos
São os números do conjunto Z+, excluindo o zero.
Na sua representação devemos colocar o + e o * ao lado do Z.
Z* + = {1, 2, 3, 4,...}
O Conjunto Z* + é igual ao Conjunto N*
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OU:
Os números inteiros são constituídos pelos números naturais {0, 1, 2, …} e pelos seus 
opostos {0, -1, -2, …}. Dois números são opostos se, e somente se, sua soma é zero. 
Chamam-se a estes números inteiros relativos.
O conjunto de todos os inteiros é denominado por Z (mais apropriadamente, um Z em 
blackboard bold, ), que vem do alemão die Zahlen, “números”.
 
Os resultados das operações de soma, subtracção e multiplicação entre dois inteiros são 
inteiros. Dois