Microeconomia em Concorrência Perfeita - Livro-Texto - Unidade II

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Unidade II
Unidade II
3 Teoria do Consumidor
Apresentaremos aqui a Teoria Clássica da Demanda. A partir dela, os economistas modelam as 
preferências dos agentes econômicos e formulam suas restrições orçamentárias a fim de otimizar as 
escolhas do consumidor e, dessa forma, determinar a demanda no mercado. Assim, aprenderemos a 
questão central da microeconomia: como os consumidores tomam suas decisões de consumo. 
Além do problema central apontado, também procuraremos as respostas para as seguintes questões: 
qual cesta de bens que maximiza a satisfação de um consumidor (ponto de equilíbrio do consumidor), 
dado o seu poder aquisitivo? Se a renda do consumidor aumenta, qual será o impacto sobre sua 
satisfação?
3.1 Preferências do consumidor
A Teoria Clássica do comportamento dos Consumidores inicia-se com três premissas básicas a 
respeito das preferências:
•	 as	preferências	são	completas;
•	 o	consumidor	atua	de	forma	racional	(além	de	completas,	suas	preferências	são	reflexivas);
•	 mais	é	melhor	do	que	menos.
Essas premissas indicam que os consumidores devem escolher os melhores bens pelos quais podem 
pagar. Para demonstrá-las, inicialmente, consideraremos que os objetos de escolha dos consumidores são 
as cestas de consumo, ou seja, uma lista completa de bens e serviços que o consumidor está disposto 
a adquirir, seja no presente, seja no futuro. Uma cesta de consumo demandada por um consumidor (Qd) 
pode ser composta por infinitas quantidades de bens e serviços (q1, q2, ... qn), ou seja:
Qd = q1, q2, ... qn
Além disso, apresentaremos três símbolos lógicos para formular a análise:
•	 ≻	estritamente	preferível;
•	 ≽	fracamente	preferível;	e
•	 ∼ indiferente.
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MicroeconoMia eM concorrência Perfeita
Sejam duas cestas de consumo A e B composta por dois bens: 1 e 2. Um consumidor pode classificar 
essas cestas de acordo com suas preferências, hierarquizando uma como melhor que a outra ou sendo 
indiferente em relação às duas cestas.
Quando o consumidor prefere a cesta A em relação a B, podemos denotar essa preferência da 
seguinte forma:
A ≻ B
Quando o consumidor se mostrar indiferente entre as duas cestas A e B, representamos da seguinte 
forma:
A ∼ B
Um consumidor também pode acreditar que uma cesta de consumo A é ao menos tão boa quanto a 
cesta B. Nesse caso, dizemos que a cesta A é fracamente preferível a B, cuja representação é:
A ≽ B
Axiomas da Teoria do Consumidor
São três os axiomas básicos da Teoria do Consumidor:
A1 – Preferências completas: as preferências são completas se o consumidor for capaz de 
comparar duas cestas de consumo quaisquer: 
A ≽ B ou B ≽ A
A2 – Preferências reflexivas:	as	preferências	são	reflexivas	quando	todas	as	cestas	de	consumo	
forem pelo menos tão boas quanto elas mesmas:
 A ≽ A ou A ∼ A
A3 – Preferências transitivas: as preferências são transitivas quando um consumidor que 
preferir a cesta de consumo A ao invés de B também preferir B a C, então ele também preferirá A 
a C. Ou seja:
A ≽ B e B ≽ C ⇒ A ≽ C 
Quando tomamos em conjunto as hipóteses A1 e A2 podemos dizer que os consumidores agem de 
forma racional (ou hipótese da racionalidade dos agentes). Com A1, A2 e A3, os consumidores sempre 
irão preferir quantidades maiores de uma mercadoria (mais é melhor que menos), também conhecida 
como hipótese de monotonicidade.
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Unidade II
Curvas de indiferença
Curva de indiferença é a representação gráfica de um conjunto de cestas de mercadorias que têm 
a propriedade de serem indiferentes entre si. É impossível ilustrar graficamente todas as possibilidades 
de consumo de um indivíduo. Por isso, avaliamos em um gráfico de suas dimensões, sempre, dois tipos 
de bens: na figura a seguir apresentamos combinações de consumo de vestuário e alimentação. Cada 
ponto representa uma possibilidade de consumo (cesta) que o consumidor poderá escolher – figura 
20(a). A curva de indiferença é formada pela combinação de todas as cestas com o mesmo nível de 
preferência – figura 20(b).
Vestuário Vestuário
Alimentação Alimentação
Cestas 
indiferentes
a ”G”
Cestas 
indiferentes
a ”E”
Cestas 
indiferentes
a ”A”
(a) (b)
B BF F
G G
A A
E E
D D
U3
U2
U1
H H
Cesta E ≻ Cesta A ≻ Cesta G
U3 ≻ U2 ≻ U1
Figura 20 – Mapa de indiferença para cestas de consumo de vestuário e alimentação
Pode existir uma infinidade de curvas de indiferença. O conjunto de curvas de indiferença forma 
um mapa – o mapa de indiferença – que descreve as preferências do consumidor. Para se comparar 
preferências, é necessário que existam, pelo menos, duas curvas de indiferença. Na figura 20(b), 
ilustramos três curvas de indiferenças (U1, U2 e U3), em que as cestas que estão sobre U3 são preferíveis 
às demais cestas.
No entanto, ao se comparar curvas de indiferença, é preciso estar claro que elas devem cumprir as 
seguintes hipóteses:
•	 continuidade:	 a	hipótese	da	 continuidade	das	preferências	descarta	 a	 existência	de	 curvas	de	
indiferença	descontínuas	que	violariam	a	premissa	da	completude	–	figura	21(a);
•	 curvas	 de	 indiferença	 não	 se	 interceptam:	 já	 que	 curvas	 de	 indiferença	 representam	 níveis	
distintos de preferência, elas não poderão se cruzar – figura 21(b). Se pudessem a premissa da 
transitividade seria violada: as cestas A, B e C teriam que ser indiferentes, e A e B não poderiam 
estar em curvas de indiferença distintas.
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MicroeconoMia eM concorrência Perfeita
Vestuário Vestuário
Alimentação Alimentação
(a) (b)
A
B
U2
U1
C
Figura 21 – Violações às hipóteses sobre curvas de indiferença
 saiba mais
A hipótese de convexidade da curva de indiferença relaciona-se com 
as três premissas relativas às preferências do consumidor: completude, 
racionalidade e monotonicidade. Mais informações a respeito são 
encontradas no capítulo 3 de:
VARIAN, H. R. Microeconomia: uma abordagem moderna. 8. ed. Rio de 
Janeiro: Campus, 2012.
Taxa marginal de substituição
A taxa marginal de substituição (TMS) é usada para medir a quantidade de determinada mercadoria 
na qual um consumidor estaria disposto a deixar de consumir para obter unidade adicional de outro 
bem. Também representa a inclinação da curva de indiferença num determinado ponto, ou seja, a taxa 
à qual o consumidor está propenso a substituir um bem pelo outro. 
Sendo q1 e q2 as quantidades consumidas dos bens 1 e 2, a TMS pode ser definida matematicamente como:
TMS
q
q
q
q
=
-
= -
∆
∆
∆
∆
2
1
2
1
 (3.1)
Ou seja, para permanecer na mesma curva de indiferença, deixando de consumir algumas quantidades 
do bem 2, -∆q2, o consumidor desejará compensar isso consumindo um pouco mais do bem 1, +∆q1. 
A TMS é um número negativo, devido à inclinação negativa das curvas de indiferença. Para variações 
muito pequenas (marginais), a TMS pode ser representada como:
TMS
q
q
= -
∂
∂
2
1 (3.2)
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Unidade II
A TMS, expressa graficamente pela inclinação da curva de indiferença (figura 22), mede a taxaem que o consumidor se encontra na fronteira entre trocar ou não trocar uma determina cesta 
de consumo.
Cestas 
melhores
-∆q2/∆q1 = TMS
Cestas 
piores
A
B
q
1
q
2
q
2
q
2
q
1
q
1
 0
 1
 0 1
∆q2
∆q1
Figura 22 – Curvas de indiferença e taxa marginal de substituição
Exemplo de aplicação
Suponha um indivíduo que consumia 10 unidades de um bem composto A (“alimentação”) e 
15 unidades de um bem composto L (“lazer”). Entretanto, ocorreu uma mudança na sua postura de 
consumo e esse indivíduo passou a consumir 20 unidades de A e 10 de L. Pede-se para calcular a TMS 
desse consumidor.
Resolução
A TMS deve ser calculada com a equação (3.1): 
TMS
q
q
L
A
= - =
∆
∆
∆
∆
2
1
onde ∆q2 refere-se à variação nas quantidades consumidas de L e ∆q1 refere-se à variação nas 
quantidade consumidas de A. Assim:
∆ ∆
∆ ∆
∆
∆
q L
q A
TMS
q
q
2
1
2
1
10 15 5
20 10 10
5
10
0 5
= = - = -
= = - =
= - = - = - ,
O significado da TMS = -0,5 é o seguinte: o consumidor estaria disposto a trocar meia unidade de 
“lazer” por uma unidade de “alimentação” para manter o mesmo nível de preferência. 
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MicroeconoMia eM concorrência Perfeita
Exemplo de aplicação
Seja a seguinte curva de indiferença descrita pela relação entre as quantidades consumidas de 
“alimentação” e “lazer”, respectivamente, A e L: L = A-1.
a) determinar a TMS em um ponto F qualquer da curva de indiferença, tal que a quantidade de 
“alimentação” consumida seja A = 1.
Resolução
Inicialmente, é possível obter o par de A = 1 que compõe o ponto F a partir da equação da curva 
de indiferença: L = A-1 = 1-1 = 1. A TMS no ponto específico da curva de indiferença F(1,1) deve ser 
calculada com a equação (3.2): 
TMS
L
A
= -
∂
∂
Aplicando a fórmula à equação da curva de indiferença proposta no problema, obtemos:
TMS
L
A
A
A
= -
∂
∂ = - -( ) =-2 21
Assim, se A = 1, então obtemos TMS =1/12 = 1. Logo, no ponto F(1,1), o consumidor está disposto a 
trocar uma unidade de L por uma unidade de A.
b) determinar a TMS em um ponto H da curva de indiferença, tal que L = 5.
Resolução
De acordo com a curva de indiferença, se L = 5, então:
L A A A= ⇒ = ⇒ =- -1 15
1
5
Dessa forma, a TMS no ponto H(5,1/5) será:
TMS
A
= = ( ) =
1 1
1 5
252 2/
Portanto, no ponto H(5,1/5), o consumidor está disposto a abrir mão de 25 unidades de L por uma 
de A.
c) determinar a TMS em um ponto D da curva de indiferença, tal que A = 5.
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Unidade II
Resolução
O ponto D é definido como L = A-1 = 5-1 =1/5, ou seja, D(5,1/5). Aplicando a fórmula da TMS obtida 
anteriormente:
TMS
A
= = ( ) =
1 1
5
0 042 2 ,
Portanto, no ponto D(5,1/5), o consumidor está disposto a abrir mão de apenas 0,04 unidade de L 
por uma unidade de A.
O gráfico a seguir mostra que quando o consumidor possui uma quantidade elevada de 
um produto relativamente ao outro, como no caso do ponto H, ele admite perder uma grande 
quantidade desse produto para ser recompensado pelo ganho de uma unidade do outro. Além 
disso, observa-se que à medida que se caminha para baixo, ao longo da curva de indiferença, a 
TMS decresce, tendendo a zero.
TMS = 25
TMS = 1
TMS = 0,04
H
D
F
A
L
5
1/5
1
1,5 1 5
Figura 23 – Diferentes TMSs em uma curva de indiferença bem-comportada
Preferências monotônicas
Vimos que a TMS é decrescente para certos tipos de curvas de indiferença. Essas preferências são 
também chamadas de monotônicas ou estritamente convexas. Nesse tipo de preferência, a inclinação 
da curva de indiferença diminuirá, em valor absoluto, quando o consumidor aumentar o consumo do 
bem 1. A TMS será decrescente, pois à medida que o consumidor aumentar q1, a taxa à qual ele deseja 
trocar o bem 1 pelo bem 2 diminuirá (vide figura 22). 
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MicroeconoMia eM concorrência Perfeita
 observação
Preferências monotônicas ou estritamente convexas também são 
conhecidas como preferências bem-comportadas.
Com preferências monotônicas, portanto, quanto mais o consumidor tiver de um bem, mais ele 
estará propenso a abrir mão de um pouco dele em troca de outro. A característica principal de curvas 
de indiferença monotônicas é que o consumidor deseja consumir cestas mais diversificadas, ou seja, ele 
tem preferência pela diversidade. Logo, a especialização não deverá ser a regra para o consumidor.
Curvas de indiferença típicas
Há diversos formatos de curvas de indiferença que mostram distintas combinações de bens. A seguir 
apresentamos alguns exemplos típicos dessas preferências:
•	 Bens	 substitutos	 perfeitos:	 dois	 bens	 são	 substitutos	 perfeitos	 quando	 o	 consumidor	 aceita	
diminuir o consumo de um bem por outro bem à mesma taxa, ou seja, substituir certa 
quantidade do bem 2 pela mesma quantidade do bem 1 (∆q1 = ∆q2). Assim, o consumidor só se 
importa com o número total de bens e as curvas de indiferença são linhas retas com inclinação 
constante igual a -1.
-∆q2/∆q1 = -1
TMS = -1
A
B
q
1
q
2
q
2
q
2
q
1
q
1
 0
 1
 0 1
∆q2 = ∆q1
∆q1 = ∆q2
Figura 24 – Curva de indiferença: preferência entre bens substitutos perfeitos
•	 Bens	 complementares	 perfeitos:	 são	 bens	 consumidos	 sempre	 em	 conjunto,	 ou	 seja,	 eles	 se	
complementam. Nesse caso, os dois bens só geram benefício quando consumidos em uma dada 
proporção fixa. Qualquer bem consumido em excesso a essa proporção não gera nenhum benefício 
adicional. Isso faz com que as curvas de indiferença tenham forma de “L” e com possibilidade de 
TMS nula ou infinita dependendo do ponto da curva
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Unidade II
A
TMS = 0
B C
q
1
q
2
q
2
q
2
q
1
q
1
 0
 1
 0 1
TMS → ∞
Figura 25 – Curva de indiferença: preferência entre bens complementares perfeitos
•	 Bens	neutros:	um	bem	é	neutro	quando	a	quantidade	adquirida	de	um	bem	não	afeta	o	grau	de	
satisfação do consumidor relativamente ao outro bem. Em ouras palavras, o consumidor não se 
importa com um tipo de bem. A curva de indiferença, nesse caso, toma a forma da figura a seguir, 
com TMS infinita em qualquer ponto da curva.
A
B
q
1
q
2
q
2
q
2
q
1
 0
 1
 0
TMS → ∞
Figura 26 – Curva de indiferença: bens neutros
•	 Males:	são	tipos	de	bens	que	os	consumidores	desejam	sempre	em	menor	quantidade,	em	vez	de	
maiores quantidades. A curva de indiferença será positivamente inclinada e a TMS será sempre 
positiva, porque menos quantidades de um mal aumentam a satisfação do consumidor.
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MicroeconoMia eM concorrência Perfeita
A
TMS > 0B
q
1
q
2
q
2
q
2
q
1
q
1
 0
 1
 1 0
Figura 27 – Curva de indiferença: preferência entre males
•	 Saciedade:	nesse	caso,	há	uma	cesta	de	consumo	melhor	que	todas	as	outras	para	o	consumidor,	
e quanto mais perto ele estiver dela, melhor ele estará, de acordo com suas preferências. Na figura 
a seguir, há uma quantidade de bens 1 e 2 (ponto A)que representa a completa satisfação para o 
consumidor: nesse ponto ele não deseja nem mais nem menos dos dois bens.
A
Ponto de saciedade
q
1
q
2
q
2
q
1
 0
 0
Figura 28 – Curva de indiferença: preferências com saciedade
•	 Preferências	 côncavas:	 tipo	 de	 preferência	 que	 mostra	 a	 propensão	 do	 consumidor	 à	
especialização do consumo de uma mercadoria. Na figura a seguir, o consumidor prefere apenas 
um de cada bem das cestas extremas. Um exemplo desse tipo seria um bem que provoque vício. 
Nesse caso, o desejo de substituir qualquer outra mercadoria por uma droga viciante poderia 
tornar-se maior à medida que fosse aumentando o consumo da droga. Por isso, a TMS para 
preferências côncavas é crescente.
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Unidade II
A
TMS > 0
Cesta 
média
B
q
1
q
2
q
2
q
1
 0
 0
Figura 29 – Curva de indiferença: preferências côncavas
3.2 restrição orçamentária
Os consumidores escolhem sempre a melhor cesta de bens que podem adquirir, mas nem sempre 
podem escolher o que eles julgam melhor. A restrição orçamentária do consumidor identifica quais 
combinações de bens e serviços o consumidor pode comprar com um orçamento limitado, a preços 
determinados.
Supondo que podemos observar os preços de dois bens de consumo 1 e 2 (p1 e p2, respectivamente), 
a quantidade consumida desses bens (q1 e q2) e o montante de renda que o consumidor tem para gastar 
com eles (R), a restrição orçamentária do consumidor é dada por meio da fórmula: 
p q p q R1 1 2 2+ = (3.3)
 saiba mais
Restrições orçamentárias não necessariamente devem ser lineares. 
Intervenções governamentais (impostos, subsídios ou transferências de 
renda) ou benefícios trabalhistas tornam a restrição orçamentária não 
linear. A esse respeito, ver o capítulo 2 de:
VARIAN, H. R. Microeconomia: uma abordagem moderna. 8. ed. Rio de 
Janeiro: Campus, 2012.
A restrição orçamentária do consumidor pode ser visualizada graficamente na figura a seguir. Este 
gráfico mostra que a restrição orçamentária requer que a quantidade de dinheiro (R) gasta nos dois 
bens não exceda a quantidade total de dinheiro que o consumidor dispõe para gastar. As cestas de 
consumo que o consumidor pode adquirir, portanto, são aquelas cujo custo não é maior que R. Por esse 
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MicroeconoMia eM concorrência Perfeita
aspecto, a cesta A não pode ser adquirida pelo consumidor dada a sua renda. Apenas as cestas B e C 
estariam disponíveis. O conjunto de cestas que custam exatamente R situa-se sobre a reta orçamentária 
(ou linha do orçamento). São essas cestas de bens (por exemplo, a B na figura a seguir) que esgotam a 
renda do consumidor. As cestas abaixo da linha do orçamento compõem o conjunto de possibilidades 
de consumo ou conjunto orçamentário.
A
C
Linha do orçamento:
p1q1 + p2q2 = R
Inclinação: -p1/p2 
Conjunto 
orçamentário
B
q
1
q
2
R/p2
R/p1
Figura 30 – Restrição orçamentária do consumidor para dois bens
Rearranjando a equação (3.3) em termos de q2, obtemos: 
q
R
P
p
p
q2
2
1
2
1= - (3.3)
A equação (3.3) mostra quantas unidades do bem 2 o consumidor precisa consumir para satisfazer 
exatamente a restrição orçamentária se consumir q1 unidades do bem 1. Assim:
•	 a	quantidade	q2 que o consumidor poderia comprar se gastasse todo o seu dinheiro no bem 2 é 
dada por R/p2;
•	 a	quantidade	q1 que o consumidor poderia comprar se gastasse todo o seu dinheiro no bem 1 é 
dada por R/p1. 
Os interceptos horizontal e vertical medem, portanto, quanto o consumidor poderia obter caso 
gastasse toda sua renda nos bens 1 e 2, respectivamente. Para traçar a reta orçamentária, basta unir 
esses dois pontos por uma linha reta. A inclinação da reta orçamentária (-p1/p2) mede a taxa pela qual 
o mercado está disposto a “substituir” o bem 2 pelo bem 1. Portanto, diferenciando (3.3) em relação à 
q1, obtemos:
∂
∂ = -
q
q
p
p
2
1
1
2
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Unidade II
Dessa forma, a inclinação da reta orçamentária mede o custo de oportunidade de se consumir o bem 
1 relativamente ao bem 2.
Variação na renda
Quando os preços e renda variam, o conjunto de bens que o consumidor pode adquirir – o 
conjunto orçamentário – também varia. Um aumento ou uma redução na renda (de R para R’ ou R’’, 
respectivamente) irá modificar o intercepto da reta orçamentária, mas não acontecerá nada com a 
inclinação da reta, como na figura a seguir. Assim, o aumento ou a redução da renda provoca um 
deslocamento paralelo da reta para fora (caso tenha sido um aumento) ou para dentro (caso tenha sido 
uma redução).
q
1
q
2
R’/p2
R’’/p2
-p1/p2 -p1/p2 -p1/p2
-∆R
+∆R
R/p2
R’/p1R/p1R’’/p1
R’’ < R < R’
Figura 31 – Efeito da variação na renda sobre a linha de restrição orçamentária
Variação nos preços
Quando o preço do bem 1 aumenta e tanto o preço do bem 2 quanto a renda permanecem fixos, o 
aumento de p1 não alterará o intercepto vertical, mas diminuirá a inclinação da reta orçamentária, uma 
vez que a razão p1/p2 decrescerá. Por outro lado, quando o preço do bem 1 cai e as demais variáveis 
(p2 e R) permanecem constantes, a queda de p1 não alterará o intercepto vertical, mas aumentará a 
inclinação da reta orçamentária, uma vez que a razão p1/p2 crescerá. O gráfico da figura 32 mostra 
exatamente esses efeitos. A figura 33, por sua vez, mostra os efeitos na linha de orçamento devido a 
alterações no preço do bem 2.
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q
1
q
2
-p’’1/p2 -p1/p2 -p’1/p2
+∆p1
-∆p1
R/p2
R/p’1R/p1R/p’’1
p’1 < p1 < p’’1
Figura 32 – Efeito da variação em p1 sobre a linha de restrição orçamentária
q
1
q
2
+∆p2
-∆p2
R/p2
R/p1
p’2 < p2 < p’’2
Figura 33 – Efeito da variação em p2 sobre a linha de restrição orçamentária
Exemplo de aplicação
Suponha que determinado consumidor utilize toda sua renda disponível mensal de R$ 100 na 
aquisição de dois produtos quaisquer. O primeiro tem preço unitário de R$ 10 e o segundo de R$ 20.
a) escreva a equação da restrição orçamentária do consumidor em termos do bem 2.
Resolução
A equação da restrição orçamentária pode ser definida igualando-se a renda total ao custo de 
aquisição dos dois produtos, como na equação (3.3):
p q p q R q q1 1 2 2 1 210 20 100+ = ⇒ + =
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Unidade II
Para obtermos a restrição orçamentária em termos de q2:
q
R
P
p
p
q q q q q2
2
1
2
1 2 1 2 1
100
20
10
20
5 0 5= - ⇒ = - ⇒ = - ,
b) caso o preço do primeiro produto tenha um aumento de 20%, qual a nova equação da restrição 
orçamentária?
Resolução
Um aumento de 20% em p1 torna o preço igual a $12:
10(1 + 0,2) = R$12
Assim, a nova equação da restrição orçamentária será:
12 20 100
100
20
12
20
5 0 6
1 2
2 1 2 1
q q
q q q q
+ =
= - ⇒ = - ,
c) suponha que, além do aumento de preço em p1, a renda do consumidor se reduza em 30%. Qual 
a nova equação da restrição orçamentária?
Resolução
Uma redução de 30% em R torna a renda igual a $70:
100(1 - 0,3)= R$70
Dessa forma, a nova equação da restrição orçamentária será:
12 20 70
70
20
12
20
3 5 0 6
1 2
2 1 2 1
q q
q q q q
+ =
= - ⇒ = -, ,
O gráfico a seguir ilustra os deslocamentos da restrição orçamentária após as variações em p1 e R. Os 
efeitos combinados de redução na renda e aumento de preços provocam uma diminuição no conjunto 
orçamentário do consumidor.
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MicroeconoMia eM concorrência Perfeita
q
1
q
2
-p’’1/p2 -p1/p2 -p’1/p2
+∆p1
-∆R
R/p2 = 5
R’/p2 = 3,5
R’/p’1 = 5,8 R/p’1 = 8,3 R/p1 = 10
Figura 34 – Deslocamentos da restrição orçamentária
Restrição orçamentária para n bens
A restrição orçamentária mostrou ser uma limitação imposta ao consumo pelo poder de compra do 
consumidor. Logo, ele não pode gastar mais do que possui em termos de renda, mas não necessariamente 
ele precisa esgotar sua renda no consumo dos bens. Dessa forma, podemos descrever a versão geral da 
equação da restrição orçamentária para n bens: 
p q p q p q R
p q R
n n
i
n
i i
1 1 2 2
1
+ + + ≤
≤
=
∑
�
 (3.4)
A aplicação da equação (3.4) pode ser muito difícil, uma vez que existem infinitos bens na 
economia. Entretanto, se desejamos estudar a demanda do consumidor por um bem específico 
(por exemplo, gastos com saúde), podemos considerar q1 como seu consumo de litros de leite e q2 
como tudo o mais que ele gostaria de consumir, ou seja, um bem composto. Podemos, também, 
imaginar que o bem composto 2 é a quantidade de dinheiro que pode ser gasta nos outros 
bens e, assim, p2 = 1, considerando o preço da unidade monetária fixo e igual a $1. A restrição 
orçamentária (3.4), nesse caso, fica sendo:
p1 q1 + q2 < R (3.5)
Ou seja, a quantidade de dinheiro gasta no bem 1, p1 q1 , mais a quantidade de dinheiro gasta nos 
outros bens, q2 , não pode ser maior do que R.
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Unidade II
3.3 utilidade
Vimos, no início, que as curvas de indiferença permitem descrever graficamente as preferências 
do consumidor, com base na hipótese de que ele é capaz de classificar suas alternativas de consumo. 
Utilidade é um índice numérico que representa a satisfação que um consumidor obtém com cada cesta 
de consumo situada sobre uma curva de indiferença (figura a seguir).
Vestuário
Alimentação
U3 = 100
U2 = 50
U1 = 25
C
A
B
Cesta A ≻ Cesta B ≻ Cesta C
U3 > U2 > U1
Figura 35 – Curvas de indiferença e níveis de utilidade
No gráfico, observamos a seguinte relação para as cestas de consumo: A ≻ B ≻ C com isso temos 
que U3 > U2 > U1. A utilidade, portanto, refere-se a um valor numérico que representa o “benefício” ou 
“bem-estar”: quanto maior esse valor, maior o grau de satisfação. Para retratar essa relação, lançaremos 
mão do conceito de função de utilidade – ou função-utilidade.
A função-utilidade U(·) é a relação matemática que associa níveis de utilidade a cada cesta consumida 
sobre uma curva de indiferença, de modo que as cestas preferidas recebem os maiores números. Para 
exemplificar, vejamos os dados da tabela a seguir, que consideram o nível de utilidade de três cestas 
calculado de acordo com a fórmula:
U(A, V) = A + 2V
Tabela 5 – Nível de utilidade para cestas de consumo de alimentos e vestuário
Cesta de 
consumo
Quantidades consumidas do bem 
composto “Alimentos” (A)
Quantidades consumidas do bem 
composto “Vestuário” (V)
Nível de utilidade:
U(A,V) = A + 2V
C 8 3 14
D 6 4 14
E 4 4 12
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MicroeconoMia eM concorrência Perfeita
Observa-se que a função de utilidade U(A, V) apresenta para esse consumidor um peso maior 
(o dobro) no consumo de vestuários. De acordo com os dados da tabela apresentada, as cestas 
C e D contribuem com o mesmo nível de utilidade para o consumidor, mesmo com quantidades 
diferentes de consumo de A e V.
Funções de utilidade típicas
Substitutos perfeitos: para dois bens substitutos perfeitos, o que interessa é a quantidade total de 
bens consumidos e não a sua qualidade. A função utilidade para esses tipos de bens é dada por:
U(q1,q2) = aq1 + bq2;	a,b	>	0
onde a e b são parâmetros positivos que medem a importância dada pelo consumidor aos bens 1 e 
2, respectivamente.
Complementares perfeitos: para dois bens complementares perfeitos, o que interessa é o consumo 
em conjunto e, dessa forma, o acréscimo de uma unidade de um bem não fará diferença para o 
consumidor. A função utilidade para esses tipos de bens é dada por:
U(q1,q2) = min{a(q1;q2)};		a>	0
onde a é um parâmetro (positivo) que representa a proporção em que cada bem é consumido.
 observação
O operador min significa “escolha o menor valor dos dois números 
correspondentes a q1 e q2.”
Preferências quase-lineares: nesse caso, a função-utilidade é linear com relação ao bem 2, mas 
possivelmente não linear com relação ao bem 1. Exemplos:
U q q q q
U q q q q
1 2 1 2
1 2 1 2
,
, ln
( ) = +
( ) = +
Preferências bem-comportadas: as preferências são consideradas “bem-comportadas” se 
apresentarem, ao mesmo tempo, as características de monotonicidade e convexidade. A função-
utilidade mais comum que descreve essas preferências é a Cobb-Douglas:
U q q q qa b1 2 1 2,( ) =
onde a e b são parâmetros (positivos) que descrevem as preferências dos consumidores.
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Unidade II
Utilidade marginal
A utilidade marginal (UMg) mede a satisfação adicional obtida mediante o consumo de uma 
quantidade adicional de um bem. À medida que se consome mais de uma determinada mercadoria, a 
satisfação adicional será cada vez menor. Portanto, a utilidade marginal do consumo de dois bens é a 
razão que mede a taxa de variação na utilidade com relação a uma pequena variação na quantidade 
consumida do bem 1, ou seja: 
UMg
U
q
ii
i
=
∂
∂ =; ,12 (3.6)
Se um consumidor consome uma cesta de bens (q1, q2), a taxa de variação da utilidade para esse 
consumidor quando lhe é fornecido um pouco mais do bem 1 é chamada de utilidade marginal com 
respeito ao bem 1. Quando observamos UMg > 0, a preferência do consumidor pelas cestas que compõem 
a mesma curva de indiferença é considerada monotônica, ou seja, ele prefere sempre consumir mais 
desses bens.
 observação
O	 conceito	 de	 utilidade	 marginal,	 bem	 como	 o	 florescimento	 da	
ideia de que os consumidores tomam decisões em termos marginais, foi 
sistematizado e quantificado na já citada obra de Marshall (1881).
Exemplo de aplicação
Seja a função de utilidade Cobb-Douglas especificada para o consumo de dois bens (x e y), como: 
U(x,y) = x1/2y2, qual a utilidade marginal para cada um desses bens? As preferências podem ser classificadas 
como monotônicas?
Resolução
Aplicando-se (3.6), a utilidade marginal em relação ao bem x é calculada da seguinte forma: 
UMg
U
x
x y
y
x
x =
∂
∂ = =
-
1
2
1
2
1 2 2
2
1 2
/
/
A utilidade marginal em relação ao bem y, por sua vez, é dada por: 
UMg
U
y
x yy =
∂
∂ = 2
1 2/
Como o consumidor consome quantidades positivas dos bens x e y, então temos que UMgx > 0 e 
UMgy > 0.
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MicroeconoMiaeM concorrência Perfeita
Utilidade marginal decrescente
É o princípio segundo o qual, à medida que se consome mais de determinada mercadoria, as 
quantidades consumidas geram incrementos menores de utilidade: 
∂
∂ <
∂
∂ <
UMg
q
UMg
q
1
1
2
2
0 0ou
Desse modo, depois de certo ponto, à medida que o consumo de um bem aumenta, a utilidade 
marginal daquele bem começará a diminuir.
Exemplo de aplicação
Suponha que a preferência de um consumidor qualquer por hambúrgueres (H) e por cerveja 
(C) possa ser representada pela seguinte função-utilidade quase-linear: U H C H C( , ) = + . Dessa 
forma:
a) calcule as utilidades marginais de H e C:
Resolução
UMg
U
H
H
H
UMg
U
C
H
C
=
∂
∂ = =
=
∂
∂ =
-
1
2
1
2
1
1
1 2/
b) esse consumidor realmente acredita que é melhor consumir mais unidades de cada bem?
Resolução
Nesse caso, precisamos averiguar se as preferências são monotônicas. Para tanto, avaliamos se, 
ao aumentar as quantidades consumidas de H e C, a utilidade total também cresce. Pelo exemplo:
UMgH > 0
UMgC > 0
Então, a preferência desse consumidor é monotônica, ou seja, ele prefere sempre mais unidades de 
H e C.
c) esse consumidor possui utilidade marginal decrescente por hambúrgueres e por cerveja?
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Unidade II
Resolução
∂
∂ = - = - <
∂
∂ =
-
UMg
H
H
H
UMg
C
H
C
1
4
1
4
1
0
0
3 2
3 2
/
/
Portanto, a UMgH é decrescente, ou seja, o acréscimo de unidades de H, aumenta a utilidade total, 
mas a taxas decrescentes. A UMgC, por sua vez, é constante: aumentos nas unidades consumidas de C 
aumentam a utilidade total sempre a mesma taxa.
Utilidade marginal e Taxa Marginal de Substituição
Vimos que a TMS de q2 por q1 é a taxa que o consumidor está disposto a abrir mão do bem 2 para 
obter mais do bem 1, mantendo o mesmo nível de preferência, ou seja:
TMS
q
q
= -
∂
∂
2
1
 (3.7)
Podemos relacionar o conceito de utilidade marginal ao problema de escolha por parte do consumidor. Seja 
a função-utilidade U(q1,q2), na qual q1 e q2 são as quantidades consumidas dos bens 1 e 2 que um consumidor 
habitualmente adquire. Para buscarmos a variação da função-utilidade em relação a cada um dos produtos, 
devemos investigar as relações ∂ ∂U q q q( , ) /1 2 1 e ∂ ∂U q q q( , ) /1 2 2. Assim, podemos escrever: 
UMg U q q q UMg U q q qe1 1 2 1 2 1 2 2= ∂ ∂ = ∂ ∂( , ) / ( , ) / (3.8)
Dessa forma, ao longo de uma curva de indiferença, o nível de satisfação é constante, ou seja, a 
variação da utilidade ao longo da curva de indiferença é zero. Assim, se o aumento no consumo do 
bem 1, ∆q1, for compensado com uma redução no consumo do bem 2, ∆q2, a utilidade ficará constante 
(∆U = 0) e o consumidor permanecerá na mesma curva de indiferença. Para variações muito pequenas 
podemos descrever essa relação da seguinte forma: 
∂ = ∂( ) + ∂
= ∂( ) + ∂
∂( ) = -
U UMg q UMg q
UMg q UMg q
UMg q UMg
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1 2
0
( )
( )
(( )∂
= -
∂
∂
q
Umg
Umg
q
q
2
1
2
2
1
Considerando que -∂ ∂q q2 1/ representa a taxa marginal de substituição do bem 2 pelo bem 1, 
conforme (3.7), segue que:
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MicroeconoMia eM concorrência Perfeita
TMS
Umg
Umg
=
1
2
 (3.9)
Portanto, a relação entre as utilidades marginais dos bens 1 e 2 é própria TMS. À medida que o 
consumidor desistir de quantidades maiores do bem 2 para obter quantidades adicionais do bem 1, a 
utilidade marginal de 1 cairá e a de 2 aumentará.
Exemplo de aplicação
Suponha a seguinte função-utilidade Cobb-Douglas para os bens x e y: U(x,y) = xy. Assim:
a) determine o nível de utilidade quando x = 20 unidades e y = 5 unidades.
Resolução
Com x = 20 e y = 5, substituindo esses valores na função-utilidade dada:
U(20,5) = 20 x 5 =100
b) calcular a TMS no ponto em que x = 20 e y = 5.
Resolução
Calculando as utilidades marginais de x e y a partir das expressões em (3.8), chegamos a:
UMg
U
x
y
UMg
U
y
x
x
y
=
∂
∂ =
=
∂
∂ =
Aplicando a equação (3.9) e substituindo os valores de x e y:
TMS
Umg
Umg
y
x
= = = =
1
2
20
10
2
c) calcular a TMS quando o nível de utilidade é 200 e o consumo de x = 10 unidades.
Resolução
Quando U(x,y) = 200 e x = 10:
200 200 10 20= ⇒ = ⇒ =xy y y
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Unidade II
Aplicando novamente a equação (3.9) e substituindo os novos valores de x e y:
TMS
Umg
Umg
y
x
= = = =
1
2
20
10
2
É importante ressaltar que a TMS para preferências do tipo Cobb-Douglas depende exclusivamente 
da relação entre as quantidades consumidas dos dois bens.
3.4 o problema da escolha do consumidor
O objetivo do consumidor é maximizar seu grau de satisfação com a escolha de quantidades de itens 
que compõem uma cesta de consumo, considerando o orçamento limitado que dispõe. Para resolver o 
problema do consumidor – a maximização de sua satisfação ou bem-estar –, devemos estar atentos a 
algumas condições:
•	 o	consumidor	é	racional,	ou	seja,	prefere	mais	do	que	menos;
•	 o	consumidor	está	sempre	disposto	a	escolher	uma	cesta	de	consumo	sob	uma	curva	de	indiferença	
mais à direita possível.
Maximizando o bem-estar do consumidor
Quando são combinados a linha do orçamento e o mapa de curvas de indiferença, os consumidores 
maximizam seu grau de satisfação por meio da escolha da cesta (q1, q2). Esse ponto deve ser a tangente 
entre a linha do orçamento e a curva de indiferença. A cesta básica maximizadora do bem-estar do 
consumidor deverá satisfazer pelos menos as duas condições a seguir:
•	 deverá	estar	sobre	a	linha	do	orçamento,	ou	seja,	ele	esgota	sua	renda	no	consumo	da	cesta	de	consumo;
•	 a	cesta	de	consumo	maximizadora	da	satisfação	deverá	dar	ao	consumidor	uma	única	combinação	
preferida de bens e serviços.
A solução gráfica do problema do consumidor pode ser verificada na figura a seguir e, com ela, 
podemos averiguar que:
•	 o	 consumidor	pode	 tomar	a	decisão	de	adquirir	 as	 cestas	A ou B que representam diferentes 
quantidades dos bens 1 e 2, q q e q qA A B B1 2 1 2, ,( ) ( ) . Os pontos A e B estão sobre a linha de orçamento 
e	o	recurso	disponível	atende	as	necessidades	do	consumidor;
•	 no	entanto,	A e B estão sobre a curva de indiferença U0, com nível de satisfação inferior às outras 
curvas de indiferença. Além disso, essas cestas não cumprem o requisito de que devem ser a única 
combinação	escolhida;
•	 a	curva	de	indiferença	mais	à	direita	possível	é	U2. Entretanto, as cestas que estão sobre essa curva 
(C e D)	não	respeitam	a	restrição	orçamentária;
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MicroeconoMia eM concorrência Perfeita
•	 a	curva	de	indiferença	U1 apresenta três cestas (E, F e G). As cestas E e F não atendem a restrição 
orçamentária. Apenas uma cesta representa a solução ótima do consumidor: aquela situada na 
curva de indiferença mais à direita e que tangencia em apenas um ponto a linha de orçamento. 
Portanto, a cesta situada no ponto G, que representa as quantidades consumidas q qG G1 2,( ) , é a 
que maximiza o bem-estar do consumidor.
q
1
q
2
U2
U1
U0
q
2
q
1
q
1
q
1
q
2
q
2
 A
 B G A
 GB
A
E
F
G
B
C
D
Figura 36 – Maximização do bem-estar – solução gráfica
Portanto, o objetivo do consumidor é encontrar, dentro do conjunto orçamentário, a cesta de bens 
de consumo que esteja na curva de indiferença mais elevada. Caso tenhamos uma escolha ótima, as 
inclinações da curva de indiferença e da reta orçamentária devem ser iguais. No caso de serem diferentes, 
com a curva da indiferença cruzando a reta orçamentária, não estará no ponto ótimo. Quando os preços 
e a renda variam, a escolha do consumidor também varia, como vemos na figura a seguir.
q
1
q
2
U2
U1
U0
q
1
q
1
q
2
q
2
 G C
 C
 G
A
E
F
+∆R
G
B
C
D
Figura 37 – Maximização do bem-estar – aumento na renda
80
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Unidade II
A figura traz como exemplo a solução do problema do consumidor após uma elevação na 
sua renda. Assim, somente com um aumento na renda do consumidor (+∆R) será possível 
alcançar a cesta de consumo C, que é preferível a G por estar situada sobre uma curva de 
indiferença superior.
3.5 solução analítica do problema do consumidor
Para resolver o problema do consumidor analiticamente, devemos ter conhecimento tanto da 
sua função-utilidade quanto de sua restrição orçamentária. Suponhamos então um consumidor que 
tenha uma função-utilidade dada por U(q1,q2), onde q1 e q2 são as quantidades consumidas dos bens 
1 e 2. Os preços dessas mercadorias são, respectivamente, p1 e p2. Por hipótese, toda a renda R desse 
consumidor é destinada para o consumo desses dois bens. O objetivo é encontrar as quantidades q1 e 
q2 que maximizam a função-utlidade do consumidor (bem-estar), sujeita às condições de sua restrição 
orçamentária, ou seja: 
max ( , )
. .
,q q
U q q
s a p p q Rq
1 2
1 2
1 2 21 + =
 (3.10)
A solução do problema (3.10) – conhecido matematicamente como problema de otimização 
condicionada – passa pela montagem de uma função de Lagrange (ou lagrangeano) .
 saiba mais
A técnica dos multiplicadores de Lagrange são extremamente poderosas 
para resolver problemas de máximos e mínimos de funções com restrição. 
Para maiores detalhes, ver o capítulo 12 de:
CHIANG,	A.	C.;	WAINWRIGHT,	K.	Matemática para economistas. 4. ed. 
Rio de Janeiro: Campus, 2004.
A função de Lagrange para o problema (3.10) pode ser descrita da seguinte forma:
L q q U q q R p q p q1 2 1 2 1 1 2 2, , ,λ λ( ) = ( ) + - -( )
onde λ reprsenta o multiplicador de Lagrange. As condições de primeira ordem (CPO) para o máximo 
da função U(q1,q2) podem ser obtidas a partir da aplicação das derivadas parciais da função L( , , )q q1 2 λ 
em relação a q1, q2 e λ:
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MicroeconoMia eM concorrência Perfeita
∂
∂ =
∂ ( )
∂ - =
∂
∂ =
∂ ( )
∂ - =
∂
∂ = -
L
L
L
q
U q q
q
p
q
U q q
q
p
R p q
1
1 2
1
1
2
1 2
2
2
1
0
0
,
,
λ
λ
λ 11 2 2
0- =p q
 (3.11)
Pela equação (3.8), podemos substituir os valores de ∂U(q1,q2)/∂ q1 e ∂U(q1,q2)/∂ q2 em (3.11) pelas 
respectivas utilidades marginais. Fazendo essa substituição e resolvendo ambas as equações para UMg1 
e UMg2, obtemos:
∂
∂ = - = ⇒ =
∂
∂ = - = ⇒ =
∂
∂ = -
L
L
L
q
Umg p Umg p
q
Umg p Umg p
R p
1
1 1 1 1
2
2 2 2 2
0
0
λ λ
λ λ
λ 11 1 2 2
0q p q- =
 (3.12)
Fazendo a divisão dos dois primeiros resultados obtidos em (3.12), teremos:
UMg
UMg
p
p
1
2
1
2
= (3.13)
Vimos pela equação (3.10) que a TMS é a relação entre as utilidades marginais. Portanto, no ponto 
ótimo, a relação entre as utilidades marginais será a mesma relação entre os preços:
TMS
UMg
UMg
p
p
= =
1
2
1
2
Portanto, esse é o ponto em que a curva de indiferença tangencia a restrição orçamentária, ou 
seja, quando analisamos o problema do consumidor por meio da solução analítica, estabelecemos que 
a solução ótima ocorre quando a TMS é igual aos preços relativos (a relação entre p1 e p2). Logo, fica 
demonstrado que a inclinação da reta orçamentária é exatamente igual a TMS.
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Unidade II
 saiba mais
Para assegurar que esse ponto encontrado é um máximo, deveríamos 
verificar as condições de segunda ordem (CSO). No entanto, a variável 
λ é diferente das variáveis q1 e q2. Dessa forma, o procedimento para a 
confirmação do máximo seria a montagem de uma matriz hessiana orlada. 
Se o determinante dessa matriz for negativo, teremos um máximo. Esse 
procedimento formal não precisa ser aplicado em nosso exemplo, pois 
temos certeza de que os valores de q1 e q2 são sempre positivos. Para uma 
prova, veja o capítulo 12 de:
CHIANG,	A.	C.;	WAINWRIGHT,	K.	Matemática para economistas. 4. ed. 
Rio de Janeiro: Campus, 2004.
As condições de primeira ordem encontradas em (3.12) para a maximização do bem-estar do 
consumidor permitem encontrar, ainda, a seguinte relação:
UMg
p
UMg
p
1
1
2
2
= = λ (3.14)
Ou seja, as utilidades marginais por unidade de preço de cada produto devem ser iguais entre si. 
Já o multiplicador de Lagrange λ representa a utilidade marginal da renda, isto é, o quanto altera a 
satisfação do consumidor para cada unidade adicional de renda que ele auferir.
Essa análise pode ser extendida para um número maior de produtos. Para o caso de n produtos, a 
condição de primeira ordem para maximização da utilidade do consumidor será:
UMg
p
UMg
p
UMg
p
n
n
1
1
2
2
= = = =� λ (3.15)
Portanto, os resultados encontrados em (3.14) e (3.15) significam dizer que as utilidades marginais 
por unidade de preço de cada produto devem ser constantes e iguais entre si.
Exemplo de aplicação
Suponha que uma determinado consumidor deseja adquirir, com sua renda total disponível, 
quantidades de ingressos para assistir competições de basquetebol (x) e atletismo (y) nos Jogos Olímpicos 
do Rio de Janeiro. A função-utilidade dele é bem comportada – do tipo Cobb-Douglas – com o seguinte 
formato: U(x,y) = xy. O preço da entrada para o basquetebol (px) é R$ 14 e para o atletismo, (py), R$ 4. 
A renda disponível R de R$ 56 será toda empregada na compra dos ingressos. Qual a quantidade de 
ingressos esse consumidor irá adquirir?
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MicroeconoMia eM concorrência Perfeita
Resolução
A resolução do problema da escolha desse consumidor será feita analiticamente, ou seja:
max
,x y
xy
s.a. 14x + 4y = 56
A maximização da função-utilidade pode ser feita por meio do multiplicador de Lagrange. O 
lagrangeano desse problema será:
L x y xy x y, ,λ λ( ) = + - -( )56 14 4
As CPOs para o máximo dessa função serão:
∂
∂ = - = ⇒ =
∂
∂ = - = ⇒ =
∂
∂ = - - =
L
L
L
x
y y
y
x x
x y
14 0 14
4 0 4
56 14 4 0
λ λ
λ λ
λ
Substituindo na terceira CPO os resultados de y e x encontrados nas duas primeiras equações, 
teremos:
56 14 4 4 14 0
0 5
- ⋅ - ⋅ =
=
λ λ
λ ,
Substituindo agora o valor de λ nas duas primeiras equações da CPO, podemos obter:
y
x
= ⋅ =
= ⋅ =
14 0 5 7
4 0 5 2
,
,
Portanto, o consumidor irá adquirir com a renda de R$ 56, 7 ingressos para o atletismo e 2 ingressos 
para o basquetebol.
Exemplo de aplicação
A função de utilidade de um consumidortípico no consumo dos bens x e y é U x y xy x y( , ) = + + 2 . 
Sabendo-se que os preços px e py desses bens são ambos positivos, podemos classificá-los como bens 
substitutos ou complementares?
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Unidade II
Resolução
Ao invés de utilizarmos o lagrangeano, a resolução do problema poderá ser efetuada a partir da TMS 
expressa na equação (3.13). Para tanto, precisamos obter as utilidades marginais de x e y:
UMg
U
x
y
UMg
U
y
x
x
y
=
∂
∂ = +
=
∂
∂ = +
1
2
O preço relativo do bem x em relação ao bem y é px/py. Então, aplicando a equação (3.13):
Umg
Umg
p
p
y
x
p
p
x
y
x
y
x
y
= ⇒
+
+
=
1
2
Adicionando a equação da restrição orçamentária, obtemos o seguinte sistema:
y
x
p
p
p x p y R
x
y
x y
+
+
=
+ =



1
2
Resolvendo esse sistema para x e y, obtemos as seguintes resultados:
x
R p p
p
y
R p p
p
x y
x
x y
y
=
- +
=
- -
2
2
2
2
Essas equações são também chamadas de funções de demanda. Podemos verificar pelas funções 
que x aumenta quando py aumenta e y aumenta quando px cresce. Logo, os bens x e y são substitutos 
entre si.
Soluções de canto
Uma solução de canto ocorre quando o consumidor opta por soluções extremas, comprando apenas 
um tipo de bem (especialização no consumo). Isso ocorre quando as curvas de indiferença são tangentes 
ao eixo horizontal e/ou ao eixo vertical. Nesse caso, há apenas um ponto em que a linha de restrição 
orçamentária é tangenciada por uma curva de indiferença, ou seja, em que a TMS é igual aos preços 
relativos (p1/p2). Entretanto, esse ponto não pertence à curva de indiferença mais distante da origem que 
tangencia a restrição orçamentária, mas à curva de indiferença mais próxima da origem que tem ponto 
em comum com a restrição orçamentária, como vemos na figura a seguir.
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MicroeconoMia eM concorrência Perfeita
q
2
q
1
U2U1
A
U0
q
1
 A
Figura 38 – Maximização do bem-estar – solução de canto
Exemplo de aplicação
Natália planeja comprar artigos de beleza (x) e de vestuário (y) com sua renda disponível R de R$ 10. 
A função-utilidade dela é quase-linear, representada pela seguinte especificação: U(x,y) = xy +10x. Os 
preços unitários dos artigos de beleza e de vestuário são, respectivamente, px = 1 e py = 2. Qual a cesta 
ótima de consumo da Natália?
Resolução
O problema da escolha da consumidora pode ser representado como:
max
,x y
xy x+10
s.a. 1x + 2y = 10
As utilidades marginais dos bens x e y serão dadas por:
UMg
U
x
y
UMg
U
y
x
x
y
=
∂
∂ = +
=
∂
∂ =
10
O preço relativo do bem x em relação ao bem y é px/py = 1/2. Aplicando a equação (3.13):
Umg
Umg
p
p
y
x
x yx
y
x
y
= ⇒
+
= ⇒ = +
10 1
2
2 20
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Unidade II
Pela equação da restrição orçamentária sabemos que:
1 2 10 10 2x y x y+ = ⇒ = -
Igualando os dois resultados obtidos para x, podemos encontrar a quantidade demandada de y:
2 20 10 2
2 5
y y
y
+ = -
= - ,
A quantidade demanda de x, por sua vez, será:
x = - -( ) =10 2 2 5 15,
Portanto, a solução algébrica sugere uma compra negativa para o bem y e isso não é possível! A 
solução então passa pelo consumo nulo de y. Observe na tabela a seguir a utilidade alcançada pela 
consumidora para diversas quantidades consumidas de x considerando y = 0.
Tabela 6 – Possibilidades de consumo em um caso de solução de canto
Quantidades de 
artigos de beleza (x)
Quantidades de 
artigos de vestuário (y)
Utilidade:
U(x,y) = xy + 10x
8 0 80
10 0 100
12 0 120
Qual a quantidade de x que deve ser escolhida? Pela restrição orçamentária, quando y = 0, temos 
que toda a renda da consumidora passará a ser utilizada para consumo das seguintes quantidades de x:
1x + 2(0) = 10 ⇒ x = 10
Portanto, a solução ótima da consumidora será x = 10 e y = 0, representada pelo ponto A no gráfico 
a seguir.
q2
q110
A
5
U0 = 80 U1 = 100 U2 = 120
Figura 39 – Solução de canto
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MicroeconoMia eM concorrência Perfeita
Podemos observar, entretanto, que na cesta A(10,0):
UMg y
UMg x
x
y
= + = + =
= =
10 0 10 10
10
Calculando a TMS a partir de 3.13:
TMS
Umg
Umg
p
p
x
y
x
y
= = = > =
10
10
1
1
2
Logo, a curva de indiferença no ponto A é mais inclinada que a restrição orçamentária. Nesse caso, 
o consumidor gostaria de substituir artigos de vestuário por artigos de beleza. No entanto, nenhuma 
substituição extra é possível, pois nenhum artigo de vestuário é consumido em A.
4 Curva de demanda e exCedenTe do Consumidor
Explicamos anteriormente:
•	 como	 os	 consumidores	 escolhem	 a	 cesta	 de	mercado	 na	 curva	 de	 indiferença	mais	 alta	 que	
tangencia	sua	linha	de	orçamento;
•	 como	a	linha	de	orçamento	se	desloca	em	resposta	a	mudanças	na	renda	e	no	preço.
Agora mostraremos como a curva de demanda de um consumidor individual é determinada a partir 
da análise de equilíbrio do consumidor, ou seja, de suas escolhas em face de suas preferências e a uma 
restrição orçamentária. 
4.1 Funções de demanda
Função de demanda é aquela que relaciona a escolha ótima do consumidor – as quantidades 
demandadas ótimas que maximizam seu bem-estar – com os diferentes valores de preços das 
mercadorias e renda. Assim, supondo-se que o consumidor tenha à disposição uma renda para adquirir 
os bens 1 e 2, pode-se dizer que as quantidades demandadas de cada bem (q1, q2) são funções (fd) dos 
preços (p1, p2) e da renda (R), ou seja: 
q f p p R e q f p p Rd d1 1 1 2 2 2 1 2= =( , , ) ( , , ) (4.1)
As funções em (4.1) são as soluções para o sistema (3.10), proposto anteriormente, que resolve o 
problema de escolha do consumidor. Portanto, q1 e q2 são as funções de demanda pelos bens 1 e 2, 
respectivamente. 
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Unidade II
 observação
Essas funções são conhecidas, também, como funções de demanda 
marshalliana. Elas se diferenciam das funções de demanda hicksiana, que 
tomam a forma de q h p p Ud1 1 1 2 0= ( , , ) e q h p p U
d
2 2 1 2 0= ( , , ).
Função de demanda Cobb-Douglas
Seja a função-utilidade Cobb-Douglas para os bens x e y dada por:
U x y x ya b( , ) = (4.2)
e a restrição orçamentária dada por:
p x p y Rx y+ = (4.3)
A função-utilidade Cobb-Douglas pode ser linearizada aplicando logaritmo natural dos dois lados de (4.2):
 observação
Sempre que uma determinada função for passível de transformação 
monotônica, uma linearização dela será possível. Escolhemos aqui, como 
transformação monotônica, a extração do logaritmo de base natural (ln x) 
da função, mas também é possível a aplicação de logaritmos de qualquer 
base (loga x).
ln ( , ) ln
ln ( , ) ln ln
log log log
log
U x y x y
U x y a x b y
x y x y
a b
a a a
a
= ( )
= +
⋅ = +
xx y x y
x m x
a a
a
m
a
/ log log
log log
= -
=
Assim, o problema de escolha do consumidor pode ser descrito da seguinte forma:maxln ( , ) ln ln
.
,x y
x y
U x y a x b y
s a p x p y R
= +
+ =
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MicroeconoMia eM concorrência Perfeita
Para resolver o sistema basta aplicar o lagrangeano, conforme visto anteriormente, e obter as 
condições de primeira ordem:
L x y a x b y R p x p yx y, , ln lnλ λ( ) = +( ) + - -( )
As CPOs para o máximo dessa função serão:
∂
∂ = - = ⇒ =
∂
∂ = - = ⇒ =
∂
∂ = - - =
L
L
L
x
a
x
p x
a
p
y
b
y
p y
b
p
R p x p y
x
x
y
y
x y
λ
λ
λ
λ
λ
0
0
0
Substituindo os resultados para x e y das duas primeiras CPOs na terceira equação, obtemos:
R p
a
p
p
b
p
R
a b
a b
R
x
x
y
y
- - =
= +
=
+
λ λ
λ λ
λ
0
Substituindo o valor de λ nos resultados das duas primeiras CPOs e rearranjando os termos, chegamos 
à função de demanda Cobb-Douglas pelo bem x: 
x
a
a b
R
p
x
a
a b
R
p
x
x
=
+
⇒ =
+ (4.4)
onde 
a
a b+
 é a participação fixa de gasto com o bem x. 
Por sua vez, a função de demanda Cobb-Douglas pelo bem y é dada por:
y
b
a b
R
p
y
b
a b
R
p
y
y
=
+
⇒ =
+
 (4.5)
onde 
b
a b+
 é a participação fixa de gasto com o bem y. É possível demonstrar que a soma das 
participações nos gastos com os bens x e y deve ser igual a 1 (ou seja, 100%):
a
a b
b
a b
a b
a b+
+
+
=
+
+
=1
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Unidade II
Portanto, nos casos de função-utilidade Cobb-Douglas, em suas funções de demanda – equações 
(4.4) e (4.5) –, a quantidade demandada de cada um dos bens depende da participação de cada item de 
consumo no orçamento do consumidor, definido pelos coeficientes a e b. Por outro lado, a parcela de 
renda despendida com a aquisição de um dos bens – R/px e R/py – independe do preço do outro bem.
Exemplo de aplicação
As preferências de um consumidor que adquire apenas dois bens, x e y, serão representadas pela 
seguinte função-utilidade-Cobb Douglas: U x y x y( , ) / /= 2 3 1 3 . Caso o consumidor possua renda total 
disponível de R$ 300, o preço do bem x seja R$ 5 e o preço do bem y igual a R$ 10, qual o equilíbrio 
ótimo desse consumidor?
Resolução
Para resolver esses problema, considerando a função-utilidade Cobb-Douglas, basta utilizar as 
funções de demanda demonstradas em (4.4) e (4.5):
x
a
a b
R
p
y
b
a b
R
p
x
y
=
+
=
+
=
=
+
=
+
=
2
3
2
3
1
3
300
5
40
1
3
2
3
1
3
300
10
10
Observe que as quantidades x = 40 e y = 10 atendem à restrição orçamentária do consumidor:
p x p y Rx y+ =
⋅ + ⋅ =4 40 10 10 300
Outras funções de demanda típicas
As funções de demandas mais conhecidas, derivadas das preferências do consumidor típicas vistas 
anteriormente, são as seguintes:
•	 preferências	quase-lineares:	U(x,y)	=	x	+	v(y)
Sempre que a função de utilidade for quase-linear, a quantidade demandada de um bem dependerá 
exclusivamente dos preços relativos, não sendo afetada pela renda do consumidor. Um exemplo é a 
função-utilidade especificada como: 
U(x,y) = x + ln(y)
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MicroeconoMia eM concorrência Perfeita
Para esse caso, as funções de demanda para os bens x e y serão, respectivamente: 
x
R
p
p
x
x= - (4.6)
y
p
p
x
y
= (4.7)
•	 substitutos	perfeitos:	U(x,y)	=	x	+	y
No caso de bens substitutos perfeitos existem dois casos possíveis para a função de demanda:
Sep p
x
R
p
y
x y x< ⇒
=
=


 0
 (4.8)
Sep p
x
y
R
p
x y
y
> ⇒
=
=



0
 (4.9)
Portanto, todas as quantidades dos bens x e y que satisfazem a restrição orçamentária serão uma 
escolha ótima, ou seja, o consumidor não se importará entre comprar um ou outro. Nesse caso, a curva 
de indiferença e a restrição orçamentária coincidem.
•	 complementares	perfeitos:	U(x,y)	=	min{x,y}
No caso dos bens complementares perfeitos, a escolha tem que se situar sempre na diagonal, em 
que o consumidor compra quantidades iguais de ambos os bens, não importando quais sejam os preços. 
Como os dois bens são consumidos sempre em conjunto, é como se o consumidor gastasse todo o seu 
dinheiro em um único bem cujo preço fosse px + py. Assim, a função de demanda torna-se: 
x y
R
p px y
= =
+
 (4.10)
4.2 Curva de demanda e suas propriedades
A curva de demanda, como visto anteriormente, mostra a relação entre a quantidade de um bem 
que o consumidor adquire em função do preço desse bem. Quanto mais baixo o preço do produto maior 
será seu nível de utilidade. Desse modo, o poder aquisitivo do consumidor é aumentado. 
Variações de preço de um bem – por exemplo, do bem 1, mantido o preço do bem 2 constante, como 
na figura a seguir – provocam deslocamentos da restrição orçamentária. A partir dos diversos níveis de 
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Unidade II
utilidade do consumidor é possível obter uma curva de demanda. O consumidor maximiza sua utilidade 
em cada ponto da curva da demanda (pontos F, G e H da figura), ao satisfazer a condição de que a taxa 
marginal de substituição do bem 1 pelo bem 2 iguale a razão entre os preços desses produtos (pontos 
A, B e C da Figura 41). A linha preço-consumo na figura apresenta as combinações maximizadoras 
de utilidades de dois bens pelo consumidor, conforme o preço de um deles se modifica. Em virtude do 
consumidor estar maximizando a utilidade, a TMS cai à medida que o consumidor se move para baixo 
ao longo da curva de demanda.
q1
q1
q2
p1
$2,00
$1,00
$0,50
U2
Queda de preço 
para $0,50
Aumento de 
preço para 
$2,00
Linha 
preço-consumo
U1
U0
4
4
4
5
6 A
F
G
H
Curva de demanda 
individual
12
12
B
C
16
16
Figura 40 – Maximização do bem-estar e curva de demanda individual – variação nos preços de um bem
 Lembrete
Curva de demanda individual: curva que relaciona a quantidade de um 
bem que determinado consumidor comprará dado o preço desse bem.
Se a renda do consumidor variar positivamente e os preços dos bens se manterem fixos, como na 
figura a seguir, a reta orçamentária se deslocará para a direita, paralelamente à reta original. Logo, se a 
renda aumenta, ele irá consumir mais unidades de cada produto. Caso a renda do consumidor diminua, 
ocorre o contrário, a reta orçamentária se desloca para a esquerda, paralelamente à reta original. Assim, 
se a renda está em queda, ele irá consumir menos unidades de cada produto.
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MicroeconoMia eM concorrência Perfeita
q1
q1
q2
p1
$1,00
Aumento de 
renda
Queda de 
renda
Linha 
renda-consumo
U1
U2
U0
4
4
3
5
7
A
F G H
Curva de demanda 
individual
10
10
B
C
16
16
Figura 41 – Maximização do bem-estar e curva de demanda individual – variação na renda
Variações na renda, portanto, mantidos constantes os preços dos bens, fazem com que os 
consumidores alterem suas escolhas de cestas de consumo (pontos A, B e C da figura anterior). A linha 
renda-consumo apresenta as combinaçõesque maximizam a utilidade dos dois bens, conforme se altera 
a renda do consumidor, mantidos os preços dos bens constantes. Dessa forma, podem ser provocados 
deslocamentos da curva de demanda para direita ou para a esquerda (pontos F, G e H da figura anterior) 
em resposta a variações na renda.
Relações entre demanda e renda
A linha renda-consumo vista acima representa a relação entre demanda e renda, mantidos os preços 
constantes. Em alguns casos, os bens podem ser classificados de acordo com a inclinação da linha 
renda-consumo.
•	 bens	normais:	 no	 caso	de	dois	 bens	normais,	 a	 linha	 renda-consumo	 tem	 inclinação	positiva,	
como vemos na figura a seguir. Nesse caso, a quantidade demandada dos dois bens aumenta 
quando há elevação na renda.
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q1
q2 Linha 
renda-consumo
 > 0
U1
U2
A
B
+∆R
q
2
q
2
q
1
q
1
 B
 A
 A B
⦛
Figura 42 – Efeito de aumento na renda nas quantidades demandadas: bens 1 e 2 normais
Quando a curva de renda-consumo apresenta uma inclinação positiva, portanto, a quantidade 
demandada aumenta com a renda, e a elasticidade-renda da demanda é positiva. Quanto maiores 
forem os deslocamentos para a direita, maior será a elasticidade-renda da demanda. Sendo assim, os 
bens podem ser descritos como normais: os consumidores desejam adquirir mais desses bens à medida 
que suas rendas aumentam.
•	 bens	inferiores:	no	caso	de	um	dos	bens	ser	inferior,	a	linha	renda-consumo	apresenta	inclinação	
negativa, como vemos no gráfico a seguir. Desse modo, a demanda de um dos bens cai e do outro 
bem sobe com a elevação da renda.
q
1
q
2
U2
U1
q
2
q
1
q
1
q
2
 B
 B A
 A
A
+∆R
B
Linha renda-consumo
 > 0⦛
Figura 43 – Efeito de aumento na renda nas quantidades demandadas: bem 1 é inferior
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MicroeconoMia eM concorrência Perfeita
Em alguns casos, a quantidade demandada cai à medida que a renda dos consumidores aumenta. 
Nesse caso, a elasticidade-renda da demanda é negativa. O termo “inferior” significa que o aumento 
da renda causa redução do consumo do outro bem. Assim, se for apresentada ao consumidor uma cesta 
de consumo de dois bens e ele gastar sempre toda a sua renda com apenas um deles, o outro bem será 
classificado como inferior. Os dois bens, contudo, não podem ser inferiores ao mesmo tempo.
A classificação de um bem quanto à renda pode diferir em razão de outras variáveis como preferências, 
localização, características demográficas e nível de renda. Um bem como carne de segunda pode ser 
inferior para consumidores de nível de renda mais alto. Por outro lado, se esse consumidor estiver 
situado nos estratos mais baixos de renda, esse bem poderá ser classificado por ele como normal. Dessa 
forma, é possível traçar uma linha renda-consumo quando o bem 1 é inferior para determinados níveis 
de renda e normal para outros níveis de renda, como vemos na figura a seguir. 
q
1
q
2
Bem 1 é 
inferior
Bem 1 é 
normal
Linha renda-
consumo
Figura 44 – Linha renda-consumo: bem 1 é inferior ou normal dependendo do nível de renda
Exemplo de aplicação
João precisa decidir quais as quantidades que deve consumir entre dois bens: itens alimentícios 
(x) e artigos de vestuário (y). A função-utilidade dele é do tipo Cobb-Douglas, representada como 
U(x,y) = xy. As utilidades marginais são, respectivamente, UMgx = y e UMgy = x. O preço dos itens 
alimentícios é px;	o	preço	dos	artigos	de	vestuário,	por	sua	vez,	é	py;	e	a	renda	é	R. Mostre que a 
curva de demanda por alimentos é x = R/(2Px) e que x trata-se de um bem normal.
Resolução
Sabemos que a cesta de consumo ótima que representa a escolha do consumidor deve satisfazer 
duas condições. Em primeiro lugar, uma cesta ótima está localizada:
pxx + pyy = R
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Unidade II
Em segundo lugar, a condição de tangência da curva de utilidade deve ser satisfeita. Sabemos, 
também, que o ponto de tangência é dado por:
Umg
Umg
p
p
x
y
1
2
=
ou que dadas as utilidades marginais apresentadas no problema:
y
x
p
p
y x
p
p
x
y
x
y
= ⇒ =
Substituindo o resultado no valor de y da restrição orçamentária, obteremos:
p x p x
p
p
Rx y
x
y
+ =
Resolvendo a equação em termos da quantidade demandada de alimentos x, chegamos a:
p x xp R xp R x
R
px x x x
+ = ⇒ = ⇒ =2
2
que é a equação da curva de demanda de itens alimentícios.
Para averiguar se x é um bem normal, basta verificar se a demanda por esses bens varia no mesmo 
sentido da renda. Sendo assim, é fácil observar que a quantidade demandada de x aumenta com a 
elevação de R e diminui com a queda de R. Portanto, x é um bem normal.
Curva de Engel
A curva de Engel é a descrição gráfica que mostra a relação entre a renda e a quantidade demandada 
de determinado bem. Essa relação é demonstrada nos gráficos das figuras a seguir.
Quando a curva de Engel apresenta uma inclinação positiva (figura 45), a quantidade demandada 
de um bem aumenta com a renda, e a elasticidade-renda da demanda é positiva. Quanto maior for o 
deslocamento para a direita, maior será a elasticidade-renda da demanda. Dessa forma, os dois bens 
constantes no painel superior da figura 45 são descritos como normais: o consumidor deseja adquirir 
mais desses bens à medida que sua renda aumenta. 
Por outro lado, quando a curva de Engel tem inclinação negativa (figura 46), a quantidade demandada 
do bem 1 cai à medida que a renda dos consumidores aumenta, e a elasticidade-renda da demanda é 
negativa. Nesse caso, o produto que apresenta queda na quantidade demandada é classificado como 
bem inferior.
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MicroeconoMia eM concorrência Perfeita
q1
R0
R1
q1
q2
R
Linha renda-consumo
U1
U0
A
A’
B’
B
q
1
q
1
q
1
q
1
q
2
q
2
 A
 A
 B
 B
 B
 A
Curva de Engel
 > 0⦛
+∆R
Figura 45 – Curva de Engel: bens normais
q1
R0
R1
q1
q2
R
Linha renda-consumo
U1
U1
U0
A
A’
B’
B
q
1
q
1
q
1
q
1
q
2
q
2
 A
 A
 B
 B
 B
 A
Curva de Engel
 > 0⦛
+∆R
Figura 46 – Curva de Engel: bem 1 inferior
4.3 efeito substituição e efeito renda
Vimos anteriormente que a linha preço-consumo representa a união de todos os pontos de equilíbrio 
possíveis de se obter com diferentes preços para determinado bem. A inclinação da linha preço-consumo 
também permite classificar o bem em decorrência de variações no seu preço. O efeito de uma variação 
do preço sobre a quantidade demandada de uma mercadoria pode ser dividido em duas partes: o efeito-
renda e o efeito-substituição.
Efeito renda
O efeito renda ocorre quando as variações na quantidade demandada de um determinado bem 2 
são causadas exclusivamente por variações no poder aquisitivo dos consumidores decorrentes de uma 
variação no preço do bem 1. Em outras palavras, o fato de um dos bens ter se tornado barato ocasionar 
um aumento no poder de compra dos consumidores. 
O efeito renda pode ser positivo ou negativo.
•	 Efeito	renda	positivo:	neste	caso,	poder	aquisitivo	e	quantidade	demandada	são	diretamente	
relacionadas. Ou seja, uma variação no poder aquisitivodecorrente de uma alteração no 
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Unidade II
preço do bem 1 causa uma variação na quantidade demandada na mesma direção. Por 
exemplo, um aumento no poder aquisitivo devido a uma redução no preço do bem 1 causa 
um aumento da quantidade demandada do bem 2, e vice-versa, uma diminuição no poder 
aquisitivo devido a um aumento no preço do bem 1 causa uma diminuição da quantidade 
demandada do bem 2.
•	 Efeito	 renda	 negativo:	 aqui,	 renda	 e	 quantidade	 demandada	 são	 inversamente	 relacionadas.	
Quando o efeito renda é negativo as variações no poder aquisitivo devidas a uma alteração no 
preço do bem 1 provocam variações na quantidade demandada do bem 2 em direção oposta. 
Por exemplo, um aumento no poder aquisitivo decorrente de uma redução no preço do bem 1 
causa uma diminuição da quantidade demandada do bem 2, e vice-versa, uma diminuição no 
poder aquisitivo devida a um aumento no preço do bem 1 causa um aumento da quantidade 
demandada do bem 2. 
Efeito substituição
O efeito substituição corresponde à modificação no consumo de um determinado bem associado 
à variação em seu preço, mantendo-se constante o nível de utilidade. Esse efeito, portanto, capta 
a modificação no consumo de um bem, em consequência da variação no seu preço que o torna 
relativamente mais caro (ou mais barato) que o outro bem.
De modo geral, os consumidores tenderão a comprar mais do bem que se tornou mais barato e 
menos das mercadorias que se tornarão relativamente mais caras. Por isso, o efeito substituição é 
sempre positivo, isto é, qualquer que seja o bem, o efeito substituição implica uma relação direta entre 
preço de um bem e a quantidade demandada do outro bem.
Portanto, é possível decompor a variação do poder aquisitivo, seja devido a uma variação no 
preço de um dos bens, seja devido a uma variação na renda real, em efeito substituição e efeito 
renda.
 saiba mais
Utilizaremos neste livro-texto a abordagem de Hicks (gráfica e analítica) 
para apurar a compensação da demanda devido a uma variação no poder 
aquisitivo. No entanto, existe também a abordagem de Slustky. Para uma 
avaliação dessa técnica e a comparação com a abordagem de Hicks, ver o 
capítulo 6 de:
VARIAN, H. R. Microeconomia: uma abordagem moderna. 8. ed. Rio de 
Janeiro: Campus, 2012.
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MicroeconoMia eM concorrência Perfeita
 Lembrete
Demanda compensada é aquela na qual só existe efeito substituição, não 
possui efeito renda. Portanto, toda demanda compensada é decrescente.
O efeito preço total (EP) representa a soma do efeito-renda (ER) e do efeito-substituição (ES), ou 
seja: 
EP = ES + ER (4.11)
Exemplo de aplicação
Seja a função-utilidade de um consumidor dada pela expressão U(x,y) = x3y. Esse consumidor gasta 
toda a sua renda (R) de R$ 16 na compra de dois produtos x e y, cujos preços são px = $2 e py = $1. 
Determine:
a) o nível de utilidade do consumidor quando ele maximiza seu bem-estar.
Resolução
O consumidor deverá maximizar sua utilidade sujeito à restrição orçamentária. Observe que a 
função-utilidade dada é Cobb-Douglas. Portanto, o problema de escolha é solucionado utilizando-se as 
funções de demanda demonstradas em (4.4) e (4.5):
x
a
a b
R
p
y
b
a b
R
p
x
y
=
+
=
+
=
=
+
=
+
=
3
3 1
16
2
6
1
3 1
16
1
4
Usando esses resultados na função-utilidade, o nível de utilidade do consumidor será:
U 6 4 6 4 8643,( ) = ⋅ =
b) o efeito-renda, o efeito-substituição e o efeito-preço total para queda de 50% no preço do 
produto x.
Resolução
Os efeitos-renda e substituição são obtidos a partir da separação da variação da quantidade 
demanda do bem x do aumento do poder aquisitivo decorrente da queda do preço do bem. 
Matematicamente, isso significa dizer que devemos buscar a renda mínima do consumidor no 
consumo dos bens x e y (pxx + pyy = R), que mantém o nível de satisfação de U(x,y) = 864 obtido 
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Unidade II
na parte a) do exercício. Essa é também a definição da função de demanda hicksiana. Desse modo, 
definimos esse problema como:
minR = pxx + pyy = R 
s.a. U(x,y) = 864
Como o preço de x é 50% menor, ou seja, px = $1, e U(x,y) = x3y, então podemos reescrever o 
problema de minimização da renda da seguinte forma:
minR = 1x + 1y
s.a. x3y = 864
A solução de problemas de minimização com restrição tem o mesmo arcabouço da solução de 
problemas de maximização com restrição, ou seja, devemos desenvolver uma função de Lagrange. O 
lagrangeano para esse problema será:
L x y x y x y, ,λ λ( ) = + + -( )1 1 864 3
As CPOs para o mínimo dessa função serão:
∂
∂ = - = ⇒ =
∂
∂ = - = ⇒ =
∂
∂ = - =
L
L
L
x
x y y
x
y
x
x
x y
1 3 0
1
3
1 0
1
864 0
2
2
3
3
3
λ
λ
λ λ
λ
Substituindo na primeira CPO o resultado da segunda CPO, obteremos:
y
x
x
x y= ⇒ =
1
1
3
3
3
2
Usando esse resultado para x na última CPO, chegaremos a:
864 3 0
864
27
2 3784143 4- ( ) = ⇒ = ⇒ =y y y y , �
Por sua vez, a quantidade demandada de x será:
x y x x= ⇒ = ( )⇒ =3 3 2 378414 7 135243, ,� �
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Portanto, as quantidades demandadas de x e y são, aproximadamente: y = 2,38 e x = 7,14. Com isso, 
a renda mínima necessária para consumir essas quantidades será:
R = ( ) + ( ) =1 7 14 1 2 38 9 52, , ,
Assim, o efeito renda será o resultado do ganho (variação) no poder aquisitivo devido à redução de 
50% no preço do bem x. Logo:
ER = ∆R = 16 - 9,52 = 6,48
O efeito-substituição do bem x, por sua vez, será a diferença entre o consumo de x calculado nos 
itens a) e b), ou seja:
ESx = ∆x = 7,14 - 6 =1,14
Concluímos, assim, que:
•	 o	efeito	renda	é	negativo,	pois	o	aumento	no	poder	aquisitivo	decorrente	da	redução	no	preço	de	
x causou uma diminuição da quantidade demandada de y;
•	 o	efeito-substituição	para	o	bem	x é positivo.
Por fim, o efeito preço total será:
EP = ES + ER = 1,14 + 6,48 = 7,62
4.4 Bem normal, bem inferior e bem de Giffen
Vimos que o efeito renda (ER) ocorre quando após uma queda no preço de um bem (digamos do bem 
1), o consumidor é beneficiado, pois seu poder aquisitivo em relação àquele produto (que ficou mais 
barato) aumenta. O efeito substituição (ES), por sua vez, ocorre quando após o preço do bem 1 diminuir 
em relação ao bem 2 – ou seja, em relação ao bem 1, o bem 2 ficou mais caro – o consumidor diminui a 
demanda pelo produto mais caro e aumenta o consumo do mais barato. Por fim, o efeito total ou efeito 
preço (EP) é a soma dos efeitos substituição e renda devido à variação na quantidade consumida do bem 
que teve alteração no preço, como vimos na equação (4.11).
Essas definições permitem classificar os bens quanto às variações no poder aquisitivo devido a 
mudanças nos preços. A partir dessas alterações, os bens são habitualmente classificados como normais, 
inferiores e de Giffen.
Bem normal
Um bem é normal quando tanto o efeito substituição (ES) quanto o efeito renda (ER) têm 
sinais contrários ao da variação no preço. Por exemplo, se o preço do bem 1 cai (variação negativa) 
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