Econometria - Slides de Aula Unidade I

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Unidade I
ECONOMETRIA
Prof. Rubens Arakaki
Econometria (análise de regressão)
 Econometria: combinação adequada da teoria econômica, 
da matemática e da estatística.
 Modelo econométrico: estudo de fenômeno econômico, desde 
que se consigam expressar as formulações teóricas em bases 
matemáticas e existam dados amostrais suficientes para 
a criação de um modelo.
 Regressão é uma importante técnica econométrica para medir 
ou estimar relações entre variáveis econômicas.
 Testar as proposições teóricas, explicar o comportamento 
de variáveis já observadas e/ou prever comportamentos ainda 
não observados.
Econometria (análise de regressão)
 Séries temporais: conjunto de observações e valores que uma 
variável assume em diferentes momentos.
Em que Y: Consumo das 
famílias
X1: Ano
C: Consumo das famílias – Brasil
Ano (X1) Consumo (Y) 
1978 8,3
1979 9,0
1980 9,8
𝐘 = 𝛂 + 𝜷𝟏𝑿𝟏 + 𝐞
Econometria (análise de regressão)
 Dados de corte transversal (cross section): dados de variáveis 
coletadas em um mesmo instante de tempo (em um 
único momento).
Y: Consumo das famílias – Brasil
X1: PIB (renda agregada) – Brasil
X2: Consumo industrial de energia elétrica – Brasil
ANO Y X1 X2
1978 8,3 10,6 52
𝐘 = 𝛂 + 𝜷𝟏𝑿𝟏 + 𝜷𝟐𝑿𝟐 + 𝐞
Em que Y: consumo 
das famílias
X1 : PIB (renda 
agregada) 
X2 : Consumo de 
energia elétrica
Econometria (análise de regressão)
 Dados em painel: consiste na observação de n entidades para 
dois ou mais períodos de tempo.
Y: Consumo das famílias – Brasil
X1: PIB (renda agregada) – Brasil
X2: Consumo industrial de energia elétrica – Brasil
ANO Y X1 X2
1978 8,3 10,6 52
1979 9,0 11,3 55
1980 9,8 12,4 61
𝐘 = 𝛂 + 𝜷𝟏𝑿𝟏 + 𝜷𝟐𝑿𝟐 + 𝐞
Em que Y: consumo 
das famílias
X1 : PIB (renda 
agregada) 
X2 : Consumo de 
energia elétrica
Econometria (análise de regressão)
 Dados em painel: consiste na observação de n entidades para 
dois ou mais períodos de tempo. 
Y : Consumo das famílias – Municipal
X1 : PIB (renda agregada) – Municipal
X2 : Consumo industrial de energia elétrica – Municipal
X3 : Dummy (binária)
ANO Município Y X1 X2 X3
1978 Campinas 8,3 10,6 52 0
1979 Campinas 9,0 11,3 55 0
1980 Campinas 9,8 12,4 61 0
1978 Ribeirão Preto 6,2 8,7 43 1
1979 Ribeirão Preto 6,8 9,3 47 1
1980 Ribeirão Preto 7,1 10,4 51 1
𝐘 = 𝛂 + 𝜷𝟏𝑿𝟏 + 𝜷𝟐𝑿𝟐 + 𝐃𝑿𝟑 + 𝐞
Y : consumo das famílias
X1 : PIB (renda agregada)
X2 : consumo industrial de
energia elétrica
X3 : Dummy (binária)
Econometria (análise de regressão)
As propriedades desejáveis de um modelo econométrico são: 
relevância precisão dos coeficientes
simplicidade capacidade explicativa
plausibilidade teórica capacidade preditiva
Modelo econométrico: uma expressão matemática 
de uma determinada teoria.
Econometria (análise de regressão)
 Modelo estocástico (econométrico): é contingencial, não 
depende somente dos dados de entrada, mas também de 
outros fatores, normalmente aleatórios. Assim, para cada 
valor de X a variável Y pode assumir um intervalo específico. 
Exemplos: uma lâmpada nova é ligada e conta-se o tempo 
gasto até queimar. O modelo probabilístico tenta descrever 
o comportamento “aleatório” das entidades.
Y
Econometria (análise de regressão)
 Função Consumo Keynesiana
Econometria (análise de regressão)
Para estimarmos os parâmetros desconhecidos do nosso 
modelo em questão, precisamos elaborar algumas hipóteses. 
São elas:
Linearidade:
𝐘𝐢 = 𝛂 + 𝛃𝐗𝐢 + 𝐞𝐢
Significa dizer que não podemos utilizar modelos da forma
𝐘𝐢 = 𝛂 + 𝐗𝐢
𝛃 + 𝐞𝐢.
Exogeneidade: 
𝐄 𝐞𝐢 | 𝐱𝐢 = 𝟎
A exigência de que o erro e a variável explicativa sejam 
não correlacionados.
Econometria (análise de regressão)
Homocedasticidade: 
Var ei / xi = E ei
2 / xi = σ
2
 A variância do erro é constante.
Não autocorrelação dos erros: 
Cov ei , ej / xi , xj = E ei , ej / xi , xj = 0.
 O erro de uma observação não pode estar correlacionado 
com o erro de outra observação. Portanto, a covariância é 
igual a zero (o resultado em qualquer experimento não tem 
efeito no termo do erro de qualquer outro experimento). 
Eles devem ser independentes.
Econometria (análise de regressão)
 Método dos Mínimos Quadrados (MMQ)
Minimizar 
i=1
N
(Yi − Yi)
2
 Método dos Mínimos Quadrados (MMQ)
𝒆𝒊 = Yi − Yi
é o termo de 
perturbação e pode 
representar todos os 
fatores que afetam o 
consumo, mas que não 
são considerados 
explicitamente. 
Minimizar 
i=1
N
(Yi − Yi)
2
Econometria (análise de regressão)
Econometria (análise de regressão)
 Método dos Mínimos Quadrados (MMQ) os três tipos de 
variação em torno de uma regressão:
Minimizar 
i=1
N
(Yi − Yi)
2
Vamos compreender os três tipos de variação em torno de uma 
regressão:
Econometria (análise de regressão)
Variação 
total
Variação 
explicada
Variação 
inexplicada
 𝒚𝒊 − 𝒚
𝟐 𝒚𝒊 − 𝒚
𝟐 𝒚𝒊 − 𝒚𝒊
𝟐
Soma do 
quadrado 
total
Soma do 
quadrado
da regressão
Soma do 
quadrado
do resíduo
SQTot SQReg SQRes
𝐒𝐲𝐲 𝐛𝐒𝐱𝐲 = 𝐛
𝟐𝐒𝐱𝐱 𝐒𝐲𝐲 − 𝐛𝐒𝐱𝐲 = 𝐒𝐲𝐲 − 𝐛
𝟐𝐒𝐱𝐱
 Exemplo: Função Consumo Keynesiana. Consumo das 
famílias (Y) sendo explicado pela Renda agregada (X).
Econometria (análise de regressão)
Econometria (análise de regressão)
Análise de Variância (ANOVA)
 É a análise dos pressupostos básicos e validação dos 
testes estatísticos no grau de ajustamento de um modelo 
de regressão.
Fonte: livro-texto
Interatividade
Assinale a frase incorreta (falsa).
a) O que necessitamos quando elaboramos um modelo é 
descobrir princípios gerais que proporcionam conhecimentos 
úteis da realidade econômica.
b) Modelo econômico é uma expressão matemática de uma 
determinada teoria.
c) Erro é o termo de perturbação e pode representar todas os 
fatores que afetam a variável dependente, mas que não são 
considerados explicitamente no modelo.
d) Na análise de regressão, as ideias de causação na relação entre 
variáveis (X e Y) devem se originar dentro da estatística.
e) A utilização do diagrama de dispersão pode nos auxiliar a 
decidir qual a melhor transformação indicada para cada 
fenômeno em estudo.
Econometria (análise de regressão)
 Análise de Variância (ANOVA), resultado de Análise de Dados 
pelo software Excel.
Econometria (análise de regressão)
 Análise de Variância (ANOVA) 
Econometria (análise de regressão)
Análise de Variância (ANOVA) 
 A partir do resultado dos diversos testes, encontramos uma 
especificação de modelo que resista bem a todos eles e pareça 
fazer sentido do ponto de vista da teoria e da experiência 
prévia do pesquisador. 
 Nesta etapa atingimos o objetivo de uma representação 
“exata” da relação entre determinadas variáveis, que 
podemos utilizar para fins de controle ou de formulação 
de políticas.
Econometria (análise de regressão)
y = 0,6991x - 15,477
R² = 0,9816
100
120
140
160
180
200
220
170 190 210 230 250 270 290 310 330
C
o
n
su
m
o
Renda
Renda e consumo – Brasil
Ciclo completo do consumo em relação à renda
Período: 1996 a 2014
Econometria (análise de regressão)
Econometria (análise de regressão)
 Análise de Variância (ANOVA) 
Análise residual: heterocedasticidade (variância não 
é constante) e autocorrelação residual (erros não são 
independentes).
y = 1,0252x + 98,584
R² = 0,9176
0
50
100
150
200
250
0 20 40 60 80 100 120
C
O
N
S
U
M
O
Percentil da amostra
Plotagemde probabilidade 
normal
y = 0,0026x2 - 1,2805x + 151,09
R² = 0,765
-8,00
-6,00
-4,00
-2,00
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
100 150 200 250 300 350R
es
íd
u
o
s
RENDA
RENDA Plotagem de resíduos
2004
2009
Econometria (análise de regressão)
Matriz de correlação
Xi Yi ei
Xi 1
Yi 0,9907 1
ei 0,0000 0,1358 1
Matriz de covariância
Xi Yi ei
Xi 1.911,73
Yi 1.336,43 951,82
ei 0,00 17,56 17,56
Econometria (análise de regressão)
Havendo problemas na não confirmação da hipótese de 
homocedasticidade, podemos utilizar, por exemplo, as 
transformações de dados, isto é, utilizar uma segunda variável 
independente X2 no modelo, assumindo os valores de X1 elevado 
ao quadrado. Ficaríamos com uma função polinomial de ordem 
2 representada pela equação 𝐘 = 𝛂 + 𝛃𝟏𝐗𝟏 + 𝛃𝟐𝐗𝟏
𝟐, conforme 
apresentado a seguir:
 β1 β2
1996 - 2014 Yi = 135,61 - 0,5815.X1 + 0,0026.X1
2 R2 = 0,9957
Se = 2,21 (6,24) (-3,27) (7,22)
R2ajustado = 
0,9951
(estatística t entre parênteses) F= 1.837,28
 Análise residual: homocedasticidade (variância residual 
constante)
Econometria (análise de regressão)
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
150 200 250 300 350
R
e
sí
d
u
o
s
RENDA
RENDA Plotagem de resíduos
2009
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
25.000 45.000 65.000 85.000 105.000
R
e
sí
d
u
o
s
RENDA2
RENDA2 Plotagem de resíduos
2009
 Os procedimentos de teste partem da definição de uma 
“hipótese nula” a ser testada (estimar a probabilidade, 
na suposição de que a hipótese nula é verdadeira). 
Os testes de regressão são de três tipos: 
 de coeficientes
 de resíduos e 
 de estabilidade* 
(*): se os parâmetros da regressão são estáveis ao longo do 
intervalo de estimativa.
Econometria (análise de regressão)
Econometria (análise de regressão)
Testes de coeficientes
 Tipos de testes sobre os coeficientes de uma regressão:
Variável omitida: determina se uma ou mais variáveis omitidas 
de uma regressão deveriam ter sido incluídas ou não (através de 
uma regressão auxiliar incluindo as variáveis omitidas). 
 Variável redundante: determina se uma ou mais variáveis da 
regressão podem ser excluídas sem maiores consequências. 
A hipótese nula é que os coeficientes das variáveis 
selecionadas na regressão não são todos estatisticamente 
diferentes de zero. Se a hipótese for rejeitada, as variáveis 
não são redundantes, isto é, não podem ser excluídas da 
regressão sem comprometer o nível de explicação 
da variável dependente.
Teste de resíduos
 Tipos de testes sobre os resíduos de uma regressão:
 Normalidade: em geral, os testes existentes para modelos de 
regressão só são válidos em amostras pequenas quando se 
assume que os distúrbios aleatórios têm distribuição normal, 
mas há sempre que se ter cuidados com a possibilidade de 
viés em amostras pequenas.
 Correlograma do resíduo (do resíduo quadrado): esta opção 
apresenta as autocorrelações e autocorrelações parciais dos 
resíduos (ao quadrado) da equação estimada para 
um número especificado de defasagens. 
Econometria (análise de regressão)
Teste de resíduos
 Tipos de testes sobre os resíduos de uma regressão:
 Heterocedasticidade: uma das hipóteses do modelo de 
regressão é a de homocedasticidade, isto é, a de que a 
variância teórica do termo de distúrbio aleatório, condicional 
em relação às variáveis independentes, seja constante. Caso 
contrário, se a variância muda ao longo de diferentes 
intervalos de tempo ou em função de variáveis independentes, 
temos o caso de heterocedasticidade, que acaba invalidando 
todos os testes de hipóteses baseados em estatísticas 
t (Student), F (Snedecor) e Qui-quadrado.
Econometria (análise de regressão)
Teste de estabilidade
 Tipos de teste para avaliar se os parâmetros da regressão 
são estáveis ao longo do intervalo de estimativa:
 Teste Chow: a estabilidade dos parâmetros é verificada 
dividindo-se o intervalo da amostra em duas partes e 
estimando-se novamente os parâmetros em cada subamostra. 
O teste compara a soma dos quadrados dos resíduos da 
regressão original com a soma dos quadrados dos resíduos
das novas regressões feitas a partir das subamostras. Caso 
haja uma diferença significativa nas estimativas, pode-se 
concluir que houve, a partir do ponto de quebra da amostra, 
uma mudança estrutural no relacionamento entre as variáveis 
do modelo.
Econometria (análise de regressão)
Teste de estabilidade
 Tipos de teste para avaliar se os parâmetros da regressão são 
estáveis ao longo do intervalo de estimativa:
 Teste de estabilidade Ramsey RESET: é um teste geral para 
erros de especificação que pode ter diversas origens, como 
variáveis independentes omitidas, forma funcional incorreta, 
erros de medida em variáveis, erros de simultaneidade e 
inclusão de valores defasados da variável dependente 
quando os resíduos têm correlação serial.
Econometria (análise de regressão)
Interatividade
(Petrobrás – Economista Pleno, 2005). O estimador linear não 
tendencioso de mínimos quadrados ordinários de 𝛽0 é igual a:
a) 𝑌 + 𝛽1 𝑋
b) 𝑌 + 𝛽0 𝑋
c) 𝑌
d) 𝑌 − 𝛽1 𝑋
e) 𝑌 − 𝛽0 𝑋
Econometria (análise de regressão)
Passos para a
elaboração de um
Modelo Econométrico
Análise de regressão para melhor compreender de que maneira 
está se processando a expansão da indústria açucareira 
brasileira voltada ao mercado interno e basicamente para 
o mercado externo no período entre 2005 e 2015.
Econometria (análise de regressão)
 A variável preço no mercado externo 
explica a variação ou incremento da 
produção de açúcar no mercado 
interno.
 O que se espera é que aumentos de 
preço no produto provoquem 
aumento na produção – como o 
açúcar para exportação é negociado 
em dólar, isso representa mais reais 
para os vendedores no momento da 
conversão de moedas –, o que 
explica a prioridade dada ao 
alimento (açúcar) em detrimento 
do etanol. 
Econometria (análise de regressão)
 Premissas da regressão (MMQO) e o grau de ajuste 
do modelo econométrico.
Hipótese Teste Pressuposto
Linearidade
Linearidade 
da função
A relação entre X e Y é linear.
Independência dos erros ou
autocorrelação residual
Durbin-
Watson
Os valores dos erros são estatisticamente 
independentes, os resíduos devem estar 
distribuídos aleatoriamente em torno da 
reta de regressão, não devem estar 
correlacionados entre si.
Normalidade dos erros
Kolmogorov-
Smirnov
Os erros são normalmente distribuídos para 
cada valor de X.
Igualdade de variâncias ou
homocedasticidade
Pesaran-
Pesaran
A variância dos erros é constante para 
todos os valores de X.
Econometria (análise de regressão)
 Análise de Variância (ANOVA)
Econometria (análise de regressão)
 Análise residual: sugere variância constante. Pressupondo que 
não haja autocorrelação, utilizaremos o teste Durbin-Watson.
O modelo pressupõe que:
 correlação entre os resíduos é zero;
 o efeito de uma observação é nulo sobre a outra;
 não há causalidade entre os resíduos e a variável X e, por 
consequência, a variável Y.
-4.000
-2.000
0
2.000
4.000
0 5 10 15 20 25 30R
e
sí
d
u
o
s
Preço do açúcar VHP (X1)
Preço do açúcar VHP (X1) plotagem de 
resíduos
Econometria (análise de regressão)
 A estatística de Durbin-Watson analisa a dispersão dos 
resíduos em torno da sua média. Detectar se há presença 
significativa de autocorrelação entre os resíduos em um 
modelo de regressão. 
O coeficiente de Durbin-Watson mede a correlação entre cada 
umdos resíduos e o resíduo da observação anterior: 
 H0: não existe correlação serial dos resíduos.
 H1: existe correlação serial dos resíduos.
𝐃𝐖 =
 𝐢=𝟐
𝐧 𝐞𝐢−𝐞𝐢−𝟏
𝟐
 𝐢=𝟏
𝐧 𝐞𝐢𝟐
onde 𝐞𝐢 é o resíduo para o período de tempo 𝐢.
 Se os resíduos forem correlacionados, significa que as 
estimativas dos parâmetros não são eficientes e apresentam 
maior erro padrão.
Econometria (análise de regressão)
Seq. Ano Xi observado Yi observado Yi previsto ei = ( Yi prev - Yi ob) ei
2 ei-1 ei - ei-1 (ei - ei-1)
2
1 2005/06 8,90 26.420,1 29.410,6 -2.990,55 8.943.375,88
2 2006/07 14,45 30.223,6 33.090,2 -2.866,65 8.217.663,21 -2.990,55 123,90 15.351,48
3 2007/08 10,13 31.279,7 30.227,0 1.052,67 1.108.107,36 -2.866,65 3.919,31 15.361.018,06
4 2008/09 11,15 31.620,2 30.905,2 714,95 511.153,51 1.052,67 -337,72 114.052,62
5 2009/10 14,53 33.074,7 33.143,9 -69,16 4.783,50 714,95 -784,11 614.832,96
6 2010/11 19,68 38.168,4 36.565,3 1.603,05 2.569.776,79 -69,16 1.672,22 2.796.303,61
7 2011/12 25,24 38.271,8 40.250,5 -1.978,69 3.915.219,38 1.603,05 -3.581,74 12.828.887,70
8 2012/13 23,34 38.336,9 38.988,6 -651,70 424.714,03 -1.978,69 1.326,99 1.760.903,66
9 2013/14 17,53 37.878,3 35.133,7 2.744,52 7.532.403,18 -651,70 3.396,22 11.534.332,52
10 2014/15 16,41 35.560,2 34.391,4 1.168,77 1.366.032,30 2.744,52 -1.575,75 2.482.983,50
11 2015/16 13,13 33.489,1 32.216,4 1.272,78 1.619.979,43 1.168,77 104,01 10.818,14
 0,00 36.213.208,56 -1.272,78 4.263,33 47.519.484,24
DW =
 i=2
n ei − ei−1
2
 i=1
n ei2
=
47.519.484,24
36.213.208,56
≅ 1,31
Econometria (análise de regressão)
 Tabela de Durbin-Watson
K = 1 K = 2
n di du di du
6 0,610 1,400
7 0,700 1,356 0,467 1,896
8 0,763 1,332 0,559 1,777
9 0,824 1,320 0,629 1,699
10 0,879 1,320 0,697 1,641
11 0,927 1,324 0,758 1,604
12 0,971 1,331 0,812 1,579
13 1,010 1,340 0,861 1,562
14 1,045 1,350 0,905 1,551
15 1,077 1,361 0,946 1,543
16 1,106 1,371 0,982 1,539
17 1,133 1,381 1,015 1,536
18 1,158 1,391 1,046 1,535
19 1,180 1,401 1,074 1,536
20 1,201 1,411 1,100 1,537
Econometria (análise de regressão)
 O primeiro valor 𝐝𝐢 = 𝟎, 𝟗𝟐𝟕 representa o valor crítico inferior. 
Se DW = 1,31 estiver abaixo de 𝐝𝐢, conclui-se que existem 
evidências de autocorrelação positiva entre os resíduos 
(MMQ não é apropriado).
 O segundo valor 𝐝𝐮 = 1,324 representa o valor crítico superior 
de DW, acima do qual conclui-se que não existe nenhuma 
evidência de autocorrelação positiva entre os resíduos. 
 Caso DW se posicione entre 𝐝𝐢 e 𝐝𝐮, fica-se impossibilitado de 
chegar a uma conclusão definitiva, que é o nosso caso.
Econometria (análise de regressão)
 O teste de Pesaran-
Pesaran consiste em 
detectar a presença de 
heterocedasticiade com 
base nos resultados da 
regressão em que a 
variável dependente 
representa os valores 
dos quadrados dos 
resíduos (𝐞𝟐) e a variável 
independente é 
constituída pelos valores 
estimados da variável 
dependente ( 𝐲).
Seq. Ano Yi projetado ei
2
1 2005/06 29.410,6 8.943.375,9 
2 2006/07 33.090,2 8.217.663,2 
3 2007/08 30.227,0 1.108.107,4 
4 2008/09 30.905,2 511.153,5 
5 2009/10 33.143,9 4.783,5 
6 2010/11 36.565,3 2.569.776,8 
7 2011/12 40.250,5 3.915.219,4 
8 2012/13 38.988,6 424.714,0 
9 2013/14 35.133,7 7.532.403,2 
10 2014/15 34.391,4 1.366.032,3 
11 2015/16 32.216,4 1.619.979,4 
Econometria (análise de regressão)
RESUMO DOS RESULTADOS
Estatística de regressão
R múltiplo 0,3318
R-Quadrado 0,1101
R-quadrado ajustado 0,0112
Erro padrão 3.344.547,78
Observações 11
ANOVA
gl SQ MQ F F de significação
Regressão 1 12.451.856.314.319,30 12.451.856.314.319,30 1,113164 0,3189
Resíduo 9 100.673.998.540.018,00 11.185.999.837.779,80
Total 10 113.125.854.854.337,00
Coeficientes Erro padrão Stat t valor-P 95% inferiores 95% superiores Inferior 95,0%
Interseção 12.851.370,77 9.116.289,57 1,41 0,19223 -7.771.108,99 33.473.850,53 -7.771.108,99
Yi observado -280,91 266,25 -1,06 0,3189 -883,21 321,39 -883,21
O coeficiente de determinação, ou R-
Quadrado nos diz que há pouca correlação 
entre as variáveis e o valor-P = 0,3189 ou 
31,89% (e o F de significação) > 5%. 
Portanto, podemos aceitar a hipótese nula 
(β = 0) e ausência de hetorocedasticidade.
Teste não paramétrico do Kolmogorov-Smirnov para avaliar a 
normalidade e testar a diferença entre a frequência observada 
e esperada. 
 Hipóteses: H0: distribuição normal
H1: distribuição não é normal
A estatística do teste de Kolmogorov-Smirnov usa 
a distribuição D:
𝐃𝐧 = 𝐦á𝐱 (𝐢/𝐧 − 𝐙𝐢 ) em que
Econometria (análise de regressão)
𝐧 = tamanho da amostra, sendo 𝐢 = 𝟏, 𝟐, 𝟑. . . . 𝐧;
𝐙𝐢 = probabilidade acumulada da distribuição normal 
padronizada, considerando os valores 𝐡𝐢 =
𝐞𝐢
𝐧
, onde 𝐞𝐢 são os 
resíduos ordenados de forma crescente e 𝐒𝐞 é o desvio padrão 
dos 𝐞𝐢. (𝐙𝐢 = DISTNORMP(hi) calculado pela função no Excel).
 Se 𝐃𝐧 ≤ 𝐃𝐜𝐫𝐢𝐭𝐢𝐜𝐨, aceita a hipótese nula.
 Geralmente, quando 𝐃𝐧 for menor que 0,3, isso indica que a 
distribuição está apropriada (aproxima de uma normal).
Econometria (análise de regressão)
Econometria (análise de regressão)
Teste de Komolgorov Smirnov
 Portanto, como o valor de 𝑫𝒏 = 𝟎, 𝟒𝟖𝟕𝟏 é maior que o 𝑫𝒄𝒓í𝒕𝒊𝒄𝒐 =
𝟎, 𝟒𝟏 (da tabela) para um nível de confiança de 5%, concluímos 
que os resíduos não se comportam seguindo uma distribuição 
normal de probabilidade.
i Ano ei hi = ei / s Zi i / n D = (i / n - Zi)
1 2005/06 -2.990,55 -1,5715 0,0580 0,0909 0,0329
2 2006/07 -2.866,65 -1,5064 0,0660 0,1818 0,1158
3 2007/08 1.052,67 0,5532 0,7099 0,2727 -0,4372
4 2008/09 714,95 0,3757 0,6464 0,3636 -0,2828
5 2009/10 -69,16 -0,0363 0,4855 0,4545 -0,0310
6 2010/11 1.603,05 0,8424 0,8002 0,5455 -0,2548
7 2011/12 -1.978,69 -1,0398 0,1492 0,6364 0,4871
8 2012/13 -651,70 -0,3425 0,3660 0,7273 0,3613
9 2013/14 2.744,52 1,4422 0,9254 0,8182 -0,1072
10 2014/15 1.168,77 0,6142 0,7305 0,9091 0,1786
11 2015/16 1.272,78 0,6688 0,7482 1,0000 0,2518
 0,00
desvio 
padrão (s)
1.902,98
 Para a identificação da normalidade nos resíduos, compara-se a 
distribuição dos resíduos com a curva normal através do Teste 
de Jarque-Bera envolvendo a estatística qui-quadrado com 2 
graus de liberdade, sendo: JB = n . [A2/6 + (C-3)2/24] onde A = 
assimetria e C= curtose. Neste nosso caso, temos:
n = 11; A = Assimetria (A= - 0,3757); C = Curtose (C= - 0,9185)
Econometria (análise de regressão)
𝐉𝐁 = 𝐧 ×
𝐀𝟐
𝟔
+
(𝐂 − 𝟑)𝟐
𝟐𝟒
= 𝟏𝟏 ×
(−𝟎, 𝟑𝟕𝟓𝟕)𝟐
𝟔
+
(−𝟎, 𝟗𝟏𝟖𝟓 − 𝟑)𝟐
𝟐𝟒
≅ 𝟕, 𝟑
 Consultando a tabela da distribuição qui-quadrado obtemos 
JBcrítico = estatística Qui-quadrado ( 𝑿𝟎,𝟎𝟓; 𝟐
𝟐 ) ao nível de 
significância de 5% e com 2 graus de liberdade = 0,10. 
 Se 𝐉𝐁𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐 ≤ JBcrítico aceita a hipótese nula. Portanto, 
rejeitamos a hipótese nula, ou seja, a distribuição dos 
resíduos não se comporta como uma distribuição 
de probabilidade normal.
Econometria (análise de regressão)
Econometria (análise de regressão)
Características do modelo de regressão linear simples (MRLS):
Yi é uma variável aleatória (Yi = β0 + β1 X1 + ei);
E(Yi) = E β0 + β1 X1 + ei = μi = β0 + β1 Xi;
σ2(Yi) = σ
2 β0 + β1 X1 + ei = σ
2 ei = σ
2(variância constante);
Yie Yj não são correlacionados.
 O modelo de regressão linear simples mostra que as 
respostas Yi são oriundas de uma distribuição de 
probabilidades com média E(Yi) = α + Xi e cujas variâncias 
são 2, a mesma para todos os valores de X. Além disso,quaisquer duas respostas Yi e Yj não são correlacionadas. 
Interatividade
Na relação entre duas variáveis X e Y, se o coeficiente de 
correlação amostral for de -0,73. Ao ajustarmos aos dados uma 
reta de regressão linear, podemos afirmar que a porcentagem da 
variação total dos dados que não é explicada pela regressão 
será próximo de:
a) 15%
b) 27%
c) 47%
d) 73%
e) 85%
Econometria (análise de regressão)
O modelo de regressão linear múltipla (MRLM), por exemplo, 
com k variáveis independentes, é expresso na equação:
𝐲𝐢 = 𝛂 + 𝛃𝟏𝐱𝟏𝐢 ++𝛃𝟐𝐱𝟐𝐢 + 𝛃𝟑𝐱𝟑𝐢 +⋯+ 𝛃𝐤𝐱𝐤𝐢 + 𝐞𝐢 , 𝐢 = 𝟏,… . . , 𝐧
em que:
 y é a variável dependente;
 x1, x2, . . . , xk são as variáveis independentes;
 k é o número de variáveis independentes no modelo;
 i denota as n observações da amostra.
 Os parâmetros 𝛃𝟏,𝛃𝟐, 𝛃𝟏… . 𝛃𝐤 são desconhecidos e teremos 
que estimá-los utilizando novamente o método dos mínimos 
quadrados ordinários (MMQO), que busca os valores dos 𝛃´𝐬
que minimizam a soma dos quadrados dos erros.
Econometria (análise de regressão)
 Linearidade: 𝐲𝐢 = 𝛂 + 𝛃𝟏𝐱𝟏𝐢 ++𝛃𝟐𝐱𝟐𝐢 +⋯+ 𝛃𝐤𝐱𝐤𝐢 + 𝐞𝐢 , 𝐢 =
𝟏,… . . , 𝐧
 Exogeneidade: a exigência de que o erro e a variável 
explicativa sejam não correlacionados.
 Homocedasticidade: a variância do erro é constante, 
igualdade de variâncias, ou homocedasticidade. 
 Não autocorrelação dos erros: o erro de uma observação não 
pode estar correlacionado com o erro de outra observação. 
Os erros ( 𝐞𝐢 ) devem ser independentes entre si. 
Devemos incluir mais uma hipótese:
 Não existe colinearidade entre as variáveis explicativas. Ou 
seja, uma variável explicativa não é função linear perfeita da 
outra. Não podemos ter, por exemplo, 𝐱𝟏 = 𝟑 𝐱𝟐 𝐨𝐮 𝐱𝟑 = 𝟐𝐱𝟏 +
𝐱𝟐
𝟑
.
 De tudo que foi discutido até agora sobre a modelagem, dos 
pressupostos tratados em regressão simples, na regressão 
múltipla devemos atentar para que as variáveis independentes 
não sejam correlacionadas entre si (a utilização de variáveis 
que explicam a mesma coisa, o que prejudica a performance 
do modelo). 
 Isso implica na ocorrência de multicolinearidade, algo 
indesejável na construção de um modelo econométrico. 
 O problema é que os valores dos ’s associados às variáveis 
independentes podem estar viesados (viciados ou parciais), 
portanto, comprometendo as projeções do modelo, 
comprometendo as conclusões e até mesmo não devendo 
realizar os testes de regressão.
Econometria (análise de regressão)
 O procedimento simples e prático de verificar a ocorrência 
de problemas que envolvem a correlação entre variáveis 
(multicolinearidade) se dá pela obtenção da matriz de 
correlação entre as variáveis que compõem o modelo de 
regressão linear múltipla.
 O modelo passa a incluir uma segunda variável X2: produção 
de etanol hidratado. O novo modelo oferece um grau de 
explicação maior, isto é, de um coeficiente de determinação 
(ajustado) de 0,7450 passa para 0,9084 e de um erro padrão de 
estimação de 2.005,91 passa para 1.202,09, uma queda de 40% 
em seu valor, apresentando um grau de explicação (r2) de 
93%, conforme detalhado na tabela a seguir.
Econometria (análise de regressão)
Econometria (análise de regressão)
Econometria (análise de regressão)
 Análise de Variância (ANOVA)
RESUMO DOS RESULTADOS
Estatística de regressão
R múltiplo 0,9627
R-Quadrado 0,9267
R-quadrado ajustado 0,9084
Erro padrão 1.202,09
Observações 11
gl SQ MQ F
F de 
significação
Regressão 2 146.234.837,0 73.117.418,5 50,6 0,00002881
Resíduo 8 11.560.075,7 1.445.009,5
Total 10 157.794.912,7
Coeficientes Erro padrão Stat t valor-P
95%
inferiores
95% 
superiores
Interseção 18.179,93 1.763,9 10,31 0,000007 14.112,4 22.247,5
Preço do Açúcar VHP (X1) 607,23 73,6 8,25 0,000035 437,6 776,9
Prod. Etanol (X2) 0,0004116 0,0001 4,13 0,0032963 0,0002 0,0006
Econometria (análise de regressão)
 Análise de Variância (ANOVA): Teste F_Snedecor
 Ao nível de significância de 5% e para 2 e 8 graus de 
liberdade, o valor crítico de F é 4,6 (vide Tabela A4 -
Distribuição F de Fisher-Snedecor, no AVA). O valor de F 
calculado (50,6), sendo superior ao valor crítico, é significativo 
ao nível de 5%. O coeficiente de determinação ou R-quadrado, 
nos diz que há forte correlação entre as variáveis (0,9267) e 
todos os valores-P (e o F de significação) < 5%. 
Consequentemente, rejeitamos a hipótese H0: β1 = β2 = 0 em 
favor da hipótese alternativa H1: β1 ≠ β2 ≠ 0 a esse nível de 
significância, indicando através do teste F de Snedecor que as 
variáveis explicativas exercem conjuntamente efeito 
significativo sobre a variável dependente Y.
Econometria (análise de regressão)
Análise de Variância (ANOVA)
 Graficamente observamos que os valores estão bem 
dispersos. Podemos concluir que há homocedasticidade, 
isto é, variância constante dos resíduos.
Para o modelo de regressão linear simples (MRLS), valem 
as hipóteses:
 distribuição normal dos resíduos;
 homocedasticidade;
 ausência de autocorrelação;
 linearidade nos parâmetros.
 Para os modelos de regressão linear múltipla (MRLM), 
adicionalmente, devemos incluir a hipótese de 
multicolinearidade. Ela ocorre com duas ou mais variáveis 
independentes do modelo explicando o mesmo fenômeno, 
variáveis contendo informações similares, altamente 
correlacionadas.
Econometria (análise de regressão)
 A multicolinearidade tende a distorcer os coeficientes 
(β’s) estimados. 
 Como consequência, apresentam erros padrões maiores, o 
que significa menor eficiência no modelo e estimativas mais 
imprecisas, estimadores mais sensíveis a pequenas variações 
dos dados e até mesmo a dificuldade na separação 
de seus efeitos. 
 Exemplo: explicar preço de consumo de energia elétrica em 
uma residência com regressão que tenha como variáveis 
explicativas a área da casa e o número de cômodos, 
ou o número de pessoas e o número de camas. 
Econometria (análise de regressão)
 Teste de Farrar & Glauber : identificação de multicolinearidade
onde n: número de observações;
k: número de variáveis independentes;
Ln: logaritmo neperiano;
Det.: determinante;
rij: coeficiente de correlação parcial.
Econometria (análise de regressão)
𝐗𝟐𝐭𝐞𝐬𝐭𝐞
= − 𝐧 − 𝟏 −
𝟏
𝟔
× 𝟐 × 𝐤 + 𝟓 × 𝐋𝐧 𝐃𝐞𝐭
𝟏 𝐫𝟏𝟐… . . 𝐫𝟏𝐤
𝐫𝟐𝟏 𝟏… . . 𝐫𝟐𝐤
𝐫𝐤𝟏 𝐫𝐤𝟐… . . 𝟏
 Testes para identificação de multicolinearidade
 Teste de Farrar & Glauber
Calculando o valor da estatística 𝑿𝟐𝒕𝒆𝒔𝒕𝒆, temos:
𝑿𝟐𝒕𝒆𝒔𝒕𝒆 = − 𝒏 − 𝟏 −
𝟏
𝟔
× 𝟐 × 𝒌 + 𝟓 × 𝑳𝒏 𝑫𝒆𝒕
𝟏 𝟎, 𝟖𝟕𝟕𝟕𝟖 𝟎, 𝟓𝟓𝟎𝟒𝟑
𝟎, 𝟖𝟕𝟕𝟕𝟖 𝟏 𝟎, 𝟏𝟖𝟒𝟒𝟗
𝟎, 𝟓𝟓𝟎𝟒𝟑 𝟎, 𝟏𝟖𝟒𝟒𝟗 𝟏
 Pela tabela, encontramos o valor crítico qui-quadrado, em que:
 nível de significância de 5% (𝛂 = 𝟎, 𝟎𝟓); 
 graus de liberdade igual a 𝐤.
𝐤−𝟏
𝟐
, 𝒈𝒍 = 𝒌.
𝒌−𝟏
𝟐
= 𝟐 ×
𝟏
𝟐
= 𝟏
Portanto:
𝑿𝟐𝒄𝒓í𝒕𝒊𝒄𝒐; 𝟎, 𝟎𝟓; 𝟏 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟗
Econometria (análise de regressão)
Testes para identificação de multicolinearidade
𝐗𝟐𝐭𝐞𝐬𝐭𝐞 = − 𝐧 − 𝟏 −
𝟏
𝟔
× 𝟐 × 𝐤 + 𝟓 × 𝐋𝐧 (𝟎, 𝟎𝟕𝟎𝟕𝟔𝟕)
𝐗𝟐𝐭𝐞𝐬𝐭𝐞 = − 𝟖, 𝟓 × −𝟐, 𝟔𝟒𝟖𝟑𝟕 = 𝟐𝟐, 𝟓𝟏
Teste de aceitação – teste de Farrar & Glauber:
𝐇𝟎 : ausência de multicolinearidade
𝐇𝟏 : existe multicolinearidade
 Portanto, se 𝐗𝟐𝐭𝐞𝐬𝐭𝐞 > 𝐗
𝟐
𝐜𝐫í𝐭𝐢𝐜𝐨, rejeita-se a hipótese nula de 
ausência de multicolinearidade (há correlação entre 
as variáveis).
Econometria (análise de regressão)
Econometria (análise de regressão)
Testes para identificação de multicolinearidade
Teste da VIF (VarianceInflation Factor)
𝑽𝑰𝑭𝒌 =
𝟏
(𝟏−𝒓𝒌𝟐)
em que
𝒓𝒌 = coeficiente de correlação da variável 𝒌 com as demais 
variáveis.
𝑽𝑰𝑭𝒌 =
𝟏
(𝟏 − 𝟎, 𝟏𝟖𝟒𝟒𝟗𝟐)
=
𝟏
𝟎, 𝟗𝟔𝟔𝟎
= 𝟏, 𝟎𝟑𝟓𝟐
Regra de decisão VIF:
Econometria (análise de regressão)
Testes para identificação de multicolinearidade
Teste da Tolerance (𝑻𝑳𝒌)
𝑻𝑳𝒌 = (𝟏 − 𝒓𝒌
𝟐) onde
𝒓𝒌 = coeficiente de correlação da variável 𝒌 com as demais 
variáveis.
Calculando o índice 𝑻𝑳𝒌 = 𝟏 − 𝟎, 𝟏𝟖𝟒𝟒𝟗
𝟐 = 𝟎, 𝟗𝟔𝟔𝟎
Regra de decisão 𝑻𝑳𝒌:
Interatividade
Se considerarmos o modelo de regressão linear simples:
𝒀𝒊 = 𝜶 + 𝜷𝑿𝒊 + 𝒆𝒊 podemos afirmar que:
I. A covariância mede a força de relacionamento entre duas 
variáveis em termos percentuais.
II. Os parâmetros  e β não são variáveis aleatórias, 
são constantes.
III. A variância de β diminui conforme aumenta a variância de X.
IV. O Método dos Mínimos Quadrados (MMQ) consiste em 
tornar mínima a soma dos desvios em torno 
da reta estimada.
V. Modelo Estocástico é contingencial, depende somente 
dos dados de entrada.
Interatividade
a) Somente as afirmações I, II, III e IV são verdadeiras.
b) Somente as afirmações II, III e V são verdadeiras.
c) Somente as afirmações II, III e IV são verdadeiras.
d) Somente as afirmações III e IV são verdadeiras.
e) Somente as afirmações III, IV e V são verdadeiras.
ATÉ A PRÓXIMA!