4 Aula - Concreto Armado

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Concreto Armado
Aula 4
Docente: Paulo Vitor C. N. da Gama
1. Reação de Lajes em Vigas
Assim como para o pré-dimensionamento da espessura das lajes, é
fundamental conhecer as condições de contorno das lajes para obter as reações
de apoios e momentos fletores atuantes nas mesmas.
1.1 Condições de apoio de lajes
Esta etapa consiste em determinar as vinculações das bordas de apoio da laje,
sendo separadas basicamente em três tipo: engaste perfeito (borda engastada),
apoio simples (borda simplesmente apoiada) e bordo livre.
Figura – Convenção para condições de apoio
1. Reação de Lajes em Vigas
Exemplo de pavimento com diferentes condições de apoio para cada laje
Figura – Convenção para condições de apoio
Figura – Piso com laje rebaixada
1. Reação de Lajes em Vigas
a) Bordas simplesmente apoiadas:
As lajes com bordas de apoios simples surgem onde não existem ou
não se admite continuidade da laje com outras lajes vizinhas.
O apoio pode ser uma parede ou uma viga de concreto.
No caso de vigas de concreto de dimensões usuais, estas não possuem
rigidez a torção suficiente para não impedir a rotação, deformando-se,
e acompanhando pequenas rotações da laje, o que acaba adquirindo a
concepção teórica do apoio simples.
1. Reação de Lajes em Vigas
a) Bordas simplesmente apoiadas:
Figura – Viga de borda como apoio simples para laje. 
Fonte: BASTOS (2015) 
1. Reação de Lajes em Vigas
b) Engaste perfeito:
O engaste perfeito surge no caso de lajes em balanço, como marquises e
varandas, etc.
É considerado também nas bordas onde há continuidade entre duas lajes
vizinhas.
1. Reação de Lajes em Vigas
b) Engaste perfeito:
Figura – Laje em balanço engastada na viga de apoio. 
Fonte: BASTOS (2015) 
1. Reação de Lajes em Vigas
c) Engaste elástico:
Casos de apoios intermediários de lajes contínuas surgem momentos fletores
negativos devido à continuidade das lajes. A ponderação feita entre os diferentes
valores de momentos fletores que surgem nesses apoios conduz ao engastamento
elástico.
Entretanto, para efeito de cálculo inicial dos momentos fletores ML1 e ML2 , as lajes
que apresentam continuidade devem ser consideradas perfeitamente engastadas nos
apoios intermediários.
Figura – Momento elástico na continuidade das lajes decorrente dos 
momentos fletores negativos diferentes Fonte: BASTOS (2015) 
1. Reação de Lajes em Vigas
c) Engaste elástico:
Pode ocorrer, por exemplo, uma borda com uma parte engastada e a outra apoiada,
como mostrado na figura a seguir, uma possível aproximação pode ser realizada
conforme o seguinte critério.
Figura – Caso específico de vinculação 
Fonte: PINHEIRO (2003) 
Tabela – Critério para bordas parcialmente engastada e/ou 
parcialmente apoiada *
* Alguns autores, como Araújo (2003) em Curso de Concreto
Armado Vol. 2, consideram:
- borda totalmente engastada: 𝒍𝒚𝟏 ≥
𝟐
𝟑
𝒍𝒚
- borda totalmente apoiada: 𝒍𝒚𝟏 <
𝟐
𝟑
𝒍𝒚
1. Reação de Lajes em Vigas
c) Condições de apoio para lajes armadas em 1 direção:
No caso de lajes armadas em uma direção, pode-se considerar uma situação
específica para cada trecho, determinando os momentos no trecho apoiado e
engastado como trechos separados.
Desta forma obteríamos momentos positivos e negativos diferentes em cada trecho,
resultando consequentemente em armaduras diferentes.
1. Reação de Lajes em Vigas
Assim como no cálculo de momentos fletores, o cálculo da reação das lajes nas
bordas é feito em função de serem armadas em uma ou duas direções.
Cálculo da Reação – Lajes Armadas em 1 Direção
As reações de apoio de lajes armadas em 1 direção são determinadas do 
mesmo modo que uma viga suposta de largura 𝑏 = 100 𝑐𝑚 = 1 𝑚 com um vão 
de comprimento 𝑙𝑥 (menor vão).
Cálculo da Reação – Lajes Armadas em 2 Direções
As reações de apoio de lajes armadas em 2 direções podem ser determinadas 
pelo método das áreas.
1. Reação de Lajes em Vigas
1.2 Método das Áreas – Charneiras Plásticas (ou também Linhas de Ruptura)
A NBR 6118, item 14.7.6, permite as aproximações de distribuição de cargas para o
cálculo das reações de apoio das lajes conforme o método de charneiras plásticas,
também conhecido como método das áreas.
A teoria das linhas de ruptura (teoria das charneiras plásticas) considera o equilíbrio da
laje no momento que antecede sua ruína, ou seja, no estado limite último (ELU). Essa
teoria é uma das alternativas para o cálculo de reações e esforços nas lajes.
Ainda, nessa teoria, o cálculo dos esforços é feito a partir das seguintes hipóteses
básicas:
- Na iminência da ruína da laje, formam-se linhas de ruptura nas regiões de momento
máximo, ao longo das quais atuam momentos de intensidade constante;
- as deformações elásticas da laje podem ser desprezadas;
- A laje é dividida em partes planas que só experimentam movimentos de rotação.
1. Reação de Lajes em Vigas
1.2 Método das Áreas – Charneiras Plásticas (ou também Linhas de Ruptura)
O item 14.7.6.1 da NBR-6118, para o cálculo das reações de apoio das lajes maciças
retangulares com carga uniforme, podem ser feitas as seguintes aproximações:
a) as reações em cada apoio são correspondentes às cargas atuantes nos triângulos 
ou trapézios determinados através das charneiras plásticas correspondentes à 
análise efetivada com os critérios de análise plástica, sendo que essas reações 
podem ser, de maneira aproximada, consideradas uniformemente distribuídas 
sobre os elementos estruturais que lhe servem de apoio; 
b) quando a análise plástica não for efetuada, as charneiras podem ser aproximadas 
por retas inclinadas, a partir dos vértices, com os seguintes ângulos:
- 45° entre dois apoios do mesmo tipo;
- 60° a partir do apoio considerado engastado, se o outro for considerado 
simplesmente apoiado;
- 90° a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre. 
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1.2 Método das Áreas – Charneiras Plásticas (ou também Linhas de Ruptura)
Figura – Definição das áreas de influência de carga para cálculo das reações de apoio nas 
vigas de borda das lajes armadas em duas direções. Fonte: BASTOS (2015) 
1. Reação de Lajes em Vigas
1.2 Método das Áreas – Charneiras Plásticas (ou também Linhas de Ruptura)
As reações das lajes nas vigas podem ser determinadas de acordo com a
seguinte expressão:
𝑅𝑖 =
𝐴𝑖 . 𝑃
𝐿𝑒𝑓
Onde:
𝑅𝑖 reação da laje referente a área indicada, em kN/m;
𝑃 carga distribuída uniformemente, em kN/m²;
𝐴𝑖 área de influência para a referida viga, em m²;
𝐿𝑒𝑓 vão efetivo da viga 𝑖 a ser carregada, em metros (m).
1. Reação de Lajes em Vigas
1.2 Método das Áreas – Charneiras Plásticas (ou também Linhas de Ruptura)
𝐴𝑖
𝐴𝑖
𝐴𝑖
𝐴𝑖
𝐴𝑖
𝐴𝑖
𝐴𝑖
𝐴𝑖
𝑙𝑒𝑓
𝑙𝑒𝑓
𝑙𝑒𝑓
𝑙𝑒𝑓
𝑙𝑒𝑓
𝑙𝑒𝑓
𝑙𝑒𝑓
𝑙𝑒𝑓
1. Reação de Lajes em Vigas
1.2 Método das Áreas – Charneiras Plásticas (ou também Linhas de Ruptura)
1. Reação de Lajes em Vigas
1.2 Método das Áreas – Charneiras Plásticas (ou também Linhas de Ruptura)
1. Reação de Lajes em Vigas
1.2 Método das Áreas – Charneiras Plásticas (ou também Linhas de Ruptura)
1. Reação de Lajes em Vigas
1.2 Método das Áreas – Charneiras Plásticas (ou também Linhas de Ruptura)
1. Reação de Lajes em Vigas
1.2 Método das Áreas – Charneiras Plásticas (ou também Linhas de Ruptura)
1. Reação de Lajes em Vigas
1.2 Método das Áreas – Charneiras Plásticas (ou também Linhas de Ruptura)
1. Reação de Lajes em Vigas
1.2 Método das Áreas – Charneiras Plásticas (ou também Linhas de Ruptura)
1. Reação de Lajes em Vigas
1.2 Método das Áreas – Charneiras Plásticas (ou também Linhas de Ruptura)
1. Reação de Lajes em Vigas
1.3 – Reação para lajes armadas em 1 direção:
As lajes armadas em uma direção, de forma simplificada éconsiderado que os
esforços mais preponderantes atuem apenas na direção de menor vão da laje,
atuando de forma que a laje seja considerada uma viga de largura constante de
um metro (100 cm), segundo a direção principal.
Os momentos fletores na direção secundária são desprezados, por serem de
pouca significância.
Quanto às reações de apoio, assim como para o momento, as mesmas podem
ser determinadas considerando a laje com uma viga de largura constante (1 m).
1. Reação de Lajes em Vigas
1.3 – Reação para lajes armadas em 1 direção
Figura – Momentos fletores em lajes armadas em 1 
direção. Fonte: BASTOS (2015) 
1. Reação de Lajes em Vigas
1.3 – Reação para lajes armadas em 1 direção
Com relação às condições de apoio, têm-se as seguintes reações para as lajes:
a) Laje armada em 1 direção sobre apoios simples e carregamento uniforme:
𝑅𝑦 =
𝑝𝑙𝑥
2
𝑅𝑦 =
𝑝𝑙𝑥
2
1. Reação de Lajes em Vigas
1.3 – Reação para lajes armadas em 1 direção
b) Laje armada em 1 direção sobre apoio simples e engaste perfeito e 
carregamento uniforme:
𝑅𝑦𝑒 =
5𝑝𝑙𝑥
8
𝑅𝑦 =
3𝑝𝑙𝑥
8
1. Reação de Lajes em Vigas
1.3 – Reação para lajes armadas em 1 direção
c) Laje armada em 1 direção biengastada e carregamento uniforme:
𝑅𝑦𝑒 =
𝑝𝑙𝑥
2
𝑅𝑦𝑒 =
𝑝𝑙𝑥
2
1. Reação de Lajes em Vigas
1.3 – Reação para lajes armadas em 1 direção
d) Lajes em balanço: é o caso de varandas e marquises, são lajes armadas em 1 
direção armada, que devem ser calculadas como vigas em balanço com largura 
constantes de um metro (100 cm), e no sentido da menor vão
𝑅𝑦𝑒 = 𝑝𝑙𝑥
𝑙
Laje apoiada em 4 
lados: armada em uma 
direção
1. Reação de Lajes em Vigas
1.3 – Reação para lajes armadas em 1 direção
Importante: em um laje armada em 1 direção, apoiada em 4 lados, se existirem vigas
na direção do menor vão da laje, 𝑙𝑥, é usual considerar um carregamento para o
dimensionamento das mesmas.
Assim, as reações de apoio 𝑅𝑥, nos lados menores das lajes armadas em uma direção,
podem ser avaliadas como:
𝑅𝑥 =
𝑝𝑙𝑥
4
𝑅𝑥 =
𝑝𝑙𝑥
4
𝑙𝑦
𝑙𝑥