Exercícios de Geometria Espacial - Prismas

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Geometria Espacial - Prismas 
 
1) (NOVO ENEM) Em Florença, Itália, na Igreja de Santa 
Croce, é possível encontrar um portão em que aparecem 
os anéis de Borromeo. Alguns historiadores acreditavam 
que os círculos representavam as três artes: escultura, 
pintura e arquitetura, pois elas eram tão próximas quanto 
inseparáveis. 
 
Scientific American, ago. 2008 
Qual dos esboços a seguir melhor representa os anéis de 
Borromeo? 
a) d) 
b) e) 
c) 
 
2) (Mack) Na construção de um dique, foram utilizadas 90 
toneladas de terra, acondicionadas em sacos plásticos de 5 
litros. Considerando que cada cm3 de terra pesa 3 gramas, 
a menor quantidade necessária de sacos para a construção 
do dique foi de 
a) 4000 
b) 6000 
c) 8000 
d) 9000 
e) 10000 
 
 
 
 
 
 
 
3) (UFRN) O banho de Mafalda. 
 
 
Na hora do banho, Mafalda abriu a torneira da banheira de 
sua casa e ficou observando o nível da água subir.Deixou-a 
encher parcialmente para não desperdiçar água. Fechou a 
torneira, entrou, lavou-se e saiu sem esvaziar a banheira. O 
gráfico abaixo que mais se aproxima da representação do 
nível(N) da água na banheira em função do tempo (t) é: 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
4) (ENEM) Representar objetos tridimensionais em uma 
folha de papel nem sempre é tarefa fácil. O artista 
holandês Escher (1898-1972) explorou essa dificuldade 
criando várias figuras planas impossíveis de serem 
construídas como objetos tridimensionais, a exemplo da 
litografia Belvedere, reproduzida ao lado. 
 
Considere que um marceneiro tenha encontrado algumas 
figuras supostamente desenhadas por Escher e deseje 
construir uma delas com ripas rígidas de madeira que 
tenham o mesmo tamanho. Qual dos desenhos a seguir ele 
poderia reproduzir em um modelo tridimensional real? 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
5) (ENEM) Um fabricante de brinquedos recebeu o projeto 
de uma caixa que deverá conter cinco pequenos sólidos, 
colocados na caixa por uma abertura em sua tampa. A 
figura representa a planificação da caixa, com as medidas 
dadas em centímetros. 
 
Os sólidos são fabricados nas formas de 
I. um cone reto de altura 1 cm e raio da base 1,5 
cm. 
II. um cubo de aresta 2 cm. 
III. uma esfera de raio 1,5 cm. 
 
 
 
 
3 
IV. um paralelepípedo retangular reto, de dimensões 
2 cm, 3 cm e 4 cm. 
V. um cilindro reto de altura 3 cm e raio da base 1 
cm. 
O fabricante não aceitou o projeto, pois percebeu que, 
pela abertura dessa caixa, só poderia colocar os sólidos dos 
tipos 
a) I, II e III. 
b) I, II e V. 
c) I, II, IV e V. 
d) II, III, IV e V. 
e) III, IV e V. 
 
6) (Vunesp) Um retângulo de medidas 3cm e 4cm faz uma 
rotação completa em torno de seu lado maior, conforme a 
ilustração. Adotando = 3,14, 
 
a) encontre a área total da figura gerada; 
b) encontre o volume da figura gerada. 
 
 
7) (Vunesp) A água de um reservatório na forma de um 
paralelepípedo retângulo de comprimento 30m e largura 
20m atingia a altura de 10m. Com a falta de chuvas e o 
calor, 1800 metros cúbicos da água do reservatório 
evaporaram. A água restante no reservatório atingiu a 
altura de 
a) 2m. 
b) 3m. 
c) 7m. 
d) 8m. 
e) 9m. 
 
 
8) (Mack) A base do cesto reto da figura é um quadrado de 
lado 25cm. Se a parte lateral externa e o fundo externo do 
cesto devem ser forrados com um tecido que é vendido 
com 50cm de largura, o menor comprimento de tecido 
necessário para a forração é: 
 
a) 1,115m 
b) 1,105m 
c) 1,350m 
d) 1,250m 
e) 1,125m 
 
 
9) (Fatec) A diagonal da base de um paralelepípedo reto 
retângulo mede 8 cm e forma um ângulo de 60° com o 
lado menor da base. Se o volume deste paralelepípedo é 
144 cm3, então a sua altura mede, em centímetros: 
 
a) 5 3 
b) 4 3 
c) 3 3 
d) 2 3 
e) 3 
 
 
10) (UFPE) A figura a seguir ilustra a planificação da 
superfície de um cubo com arestas medindo 10cm. O 
ponto B é o centro de uma de suas faces e o ponto A está 
em outra face distando das arestas de 3cm, 5cm e 7cm. 
 
 
 
 
4 
 
Seja C a curva de menor comprimento ligando A e B e 
totalmente contida nas faces do cubo. Qual o 
comprimento, em cm, de C? 
 
 
 
11) (Cesgranrio) A figura a seguir mostra três dados iguais. 
O número da face que é a base inferior da coluna de 
dados: 
 
a) é 1. 
b) é 2. 
c) é 4. 
d) é 6. 
e) pode ser 1 ou 4. 
 
12) (Unicamp) A figura abaixo é a planificação de uma 
caixa sem tampa: 
 
a) Encontre o valor de x, em centímetros, de modo que a 
capacidade dessa caixa seja de 50 litros. 
b) Se o material utilizado custa R$ 10,00 por metro 
quadrado, qual é o custo de uma dessas caixas de 50 litros 
considerando-se apenas o custo da folha retangular plana? 
 
 
13) (Mack) A figura acima representa uma caçamba com 
água, na qual as laterais oblíquas e o piso são retangulares 
e as laterais paralelas têm o formato de trapézios 
isósceles. Se d = 2 a razão entre o volume de água e o 
volume total da caçamba é 
 
a) 25
17
 
b) 32
21
 
c) 28
25
 
d) 28
17
 
e) 32
25
 
 
 
14) (Unicamp) A figura ao lado apresenta um prisma reto 
cujas bases são hexágonos regulares. Os lados dos 
hexágonos medem 5cm cada um e a altura do prisma 
mede 10cm. 
 
a) Calcule o volume do prisma. 
b) Encontre a área da secção desse prisma pelo plano que 
passa pelos pontos A, C e A’. 
 
 
15) (Mack) A figura ao lado representa a maquete de uma 
escada que foi construída com a retirada de um 
paralelepípedo reto-retângulo, de outro paralelepípedo 
reto-retângulo de dimensões 12, 4 e 6. 
 
 
 
 
5 
 
O menor volume possível para essa maquete é 
a) 190 
b) 180 
c) 200 
d) 194 
e) 240 
 
16) (FUVEST) A partir de 64 cubos brancos, todos iguais, 
forma-se um novo cubo. A seguir, este novo cubo tem 
cinco de suas seis faces pintadas de vermelho. O número 
de cubos menores que tiveram pelo menos duas de suas 
faces pintadas de vermelho é 
 
a) 24 
b) 26 
c) 28 
d) 30 
e) 32 
 
 
17) (Mack) A razão entre os volumes dos cilindros inscritos 
e circunscrito num prisma triangular regular é: 
a) 
2
1
 
b) 
4
1
 
c) 
8
1
 
d) 
3
1
 
e) 
3
2
 
 
 
18) (UECE) A soma do número de faces, com o número de 
arestas e com o número de vértices de um cubo é: 
a) 18 
b) 20 
c) 24 
d) 26 
 
 
 
19) (Uneb) A tinta contida em um recipiente, em forma de 
um prisma de base quadrangular regular, foi distribuída 
em pequenas latas iguais, com o mesmo formato do 
recipiente, de altura igual a 
3
1
 da altura do recipiente e 
lado da base 
2
1
 do lado da base do recipiente. O número 
de latas utilizadas pra esse fim corresponde a: 
1) 8 
2) 10 
3) 12 
4) 14 
5) 16 
 
 
20) (FGV) a) A medida da diagonal de uma face de um cubo 
mede 6 5 cm. Quanto mede a diagonal desse cubo? 
b) Sabendo-se que cosx = k, obtenha em função de k o 
valor de cos4x. 
 
 
21) (FGV) Ao desdobrar um cubo, obteve-se a figura plana 
ao lado. Se o montarmos novamente, a face oposta à face 
B será a face: 
 
a) A 
b) C 
c) D 
d) E 
e) F 
 
22) (Unicamp) Ao serem retirados 128 litros de água de 
uma caixa d'água de forma cúbica, o nível da água baixa 20 
centímetros. 
a) Calcule o comprimento das arestas da referida caixa. 
b) Calcule sua capacidade em litros (1 litro equivale a 1 
decímetro cúbico). 
 
 
23) (Vunesp) As arestas do cubo ABCDEFGH, representado 
pela figura, medem 1cm. 
 
 
 
 
6 
 
Se M, N, P e Q são os pontos médios das arestas a que 
pertencem, então o volume do prisma DMNCHPQG é: 
a) 0,625 cm3. 
b) 0,725 cm3. 
c) 0,745 cm3. 
d) 0,825 cm3. 
e) 0,845 cm3. 
 
 
24) (Vunesp) As arestas dos cubos ABCDEFGH medem 1m. 
Seja S1 a parte do cubo quea face AEHD geraria se sofresse 
uma rotação de 90° em torno do DH até coincidir com 
DCGH. E seja S2 a parte do cubo que a face ABFE geraria se 
sofresse uma rotação de 90° em torno de BF até coincidir 
com BCGF. 
 
Nessas condições: 
a) Determine o volume de S1 e o de S2. 
b) Determine o volume de S1 2. 
 
 
 
25) (UFMG) As dimensões de uma caixa retangular são 
3cm, 20mm e 0,07m. 
O volume dessa caixa, mililitros, é: 
a) 0,42 
b) 4,2 
c) 42 
d) 420 
e) 4200 
 
 
26) (OMU) As medidas, em centímetros, das arestas de um 
paralelepípedo são números inteiros ímpares consecutivos 
e a área lateral total do mesmo é de 142cm2. Qual é o 
volume do paralelepípedo? 
 
27) (ETEs) As tecnologias atuais, além de tornar os 
equipamentos eletroeletrônicos mais leves e práticos, têm 
contribuído para evitar desperdício de energia. Por 
exemplo, o ENIAC (Eletronic Numerical Integrator and 
Computer) foi o primeiro computador eletrônico digital e 
entrou em funcionamento em fevereiro de 1946. Sua 
memória permitia guardar apenas 200 bits, possuía 
milhares de válvulas e pesava 30 toneladas, ocupando um 
galpão imenso da Universidade da Pensilvânia – EUA. 
Consumia energia correspondente à de uma cidade 
pequena. 
O ENIAC utilizava o sistema numérico decimal, o que 
acarretou grande complexidade ao projeto de construção 
do computador, problema posteriormente resolvido pelo 
matemático húngaro John Von Neumann, que idealizou a 
utilização de recursos do sistema numérico binário, 
simplificando o projeto e a construção dos novos 
computadores. 
 
Considere o formato do ENIAC um bloco retangular de 
volume igual a 396 m3. Sabendo que o ENIAC tinha 5,5 
metros de altura e 30 metros de comprimento, a medida 
de sua largura, em metros, é igual a 
a) 2,4. 
b) 2,8. 
c) 3,0. 
d) 3,3. 
e) 4,0. 
 
 
28) (Vunesp) Aumentando em 2cm a aresta a de um cubo 
C1, obtemos um cubo C2, cuja área da superfície total 
aumenta em 216cm2, em relação à do cubo C1. 
 
Determine: 
a) a medida da aresta do cubo C1; 
b) o volume do cubo C2. 
 
 
 
29) (UEL) Aumentando-se em 1 m a altura de um 
paralelepípedo, seu volume aumenta 35 m3 e sua área 
total aumenta 24 m2. Se a área lateral do paralelepípedo 
original é 96 m2, então o volume original é 
 
a) 133 m3 
b) 135 m3 
c) 140 m3 
d) 145 m3 
e) 154 m3 
 
 
 
 
 
7 
 
30) (PUC-RJ) Calcule a maior distância entre dois pontos de 
um cubo de aresta 3 cm. 
 
 
31) (UNIFESP) Colocam-se n3 cubinhos de arestas unitárias 
juntos, formando um cubo de aresta n, onde n > 2. Esse 
cubo tem as suas faces pintadas e depois é desfeito, 
separando-se os cubinhos. 
a) Obtenha os valores de n para os quais o número de 
cubinhos sem nenhuma face pintada é igual ao número de 
cubinhos com exatamente uma face pintada. 
b) Obtenha os valores de n para os quais o número de 
cubinhos com pelo menos uma face pintada é igual a 56. 
 
 
32) (UFBA) Com relação a um prisma reto de base 
quadrada, é correto afirmar: 
01. Cada diagonal de uma face divide-a em dois 
triângulos congruentes. 
02. Existem exatamente 8 segmentos que ligam pares 
de vértices não pertencentes a uma mesma face. 
04. Dadas duas faces não adjacentes e quatro 
vértices, dois em cada uma dessas faces, existe um plano 
que contém esses quatro vértices. 
08. 
{1,3,5,7} existe um caminho poligonal que liga esses 
vértices e é formado por n arestas, cada uma percorrida 
uma única vez. 
16. Se a medida do lado da base e a altura do prisma 
são números inteiros consecutivos, e o volume é um 
número primo p, então p é único. 
32. Existem exatamente 24 pirâmides distintas cujas 
bases são faces do prisma e cujos vértices são também 
vértices do prisma. 
 
 
33) (UFPR) Considerando o paralelepípedo reto-retângulo 
representado , no qual AB = 4 cm, AE = 3 cm e AD = 5 
cm, é correto afirmar: 
 
01. O número de segmentos cujas extremidades são 
dois vértices do paralelepípedo é igual ao número de 
arranjos simples de 8 elementos tomados 2 a 2. 
02. Quando são escolhidos aleatoriamente dois 
vértices do paralelepípedo, a probabilidade de que eles 
pertençam à mesma face é 6/7. 
04. O plano que contém as arestas BC e EH divide o 
paralelepípedo em dois prismas de volumes iguais. 
08. Quando são escolhidos aleatoriamente dois 
vértices do paralelepípedo, a probabilidade de que a 
distância entre eles seja 5 cm é 1/7. 
16. O comprimento de qualquer diagonal da face 
ABFE é 5 cm. 
 
Marque como resposta a soma dos itens corretos. 
 
 
34) (UNIUBE) Considere o cubo representado na figura 
abaixo, cuja base é o quadrado ABCD. Qual das figuras, a 
seguir, representa uma planificação deste cubo na qual a 
linha em negrito representa a sua intersecção com um 
plano, que passa por uma das diagonais do quadrado 
ABCD e por exatamente um vértice da face paralela à 
base? 
 
 
 
 
 
 
35) (Vunesp) Considere o sólido da figura (em cinza), 
construído a partir de um prisma retangular reto. 
 
 
Se AB = 2 cm, 
AD = 10 cm, 
FG = 8 cm e 
 
 
 
 
8 
BC = EF = x cm, 
o volume do sólido, em cm3, é: 
 
a) 4x.(2x + 5). 
b) 4x.(5x + 2). 
c) 4.(5 + 2x). 
d) 4x2(2 + 5x). 
e) 4x2(2x + 5). 
 
36) (Vunesp) Considere o sólido resultante de um 
paralelepípedo retângulo de arestas medindo x, x e 2x, do 
qual um prisma de base quadrada de lado 1 e altura x foi 
retirado. O sólido está representado pela parte escura da 
figura. 
 
O volume desse sólido, em função de x, é dado pela 
expressão: 
a) 2x3 - x2. 
b) 4x3 - x2. 
c) 2x3 - x. 
d) 2x3 - 2x2. 
e) 2x3 - 2x. 
 
 
 
37) (IBMEC) Considere um cubo ABCDEFGH cujas arestas 
medem 8cm. Tomam-se os pontos J, K, L e M sobre as 
arestas AE, BF, CG e DH, respectivamente, de modo que AJ 
= BK = 2dcm e GL = HM = dcm, em que 0 < d < 4, como 
mostra a figura. 
 
Seja S a área, em cm2, do quadrilátero JKLM. 
a) Calcule S para que d seja igual a 1. 
b) Calcule S para que d seja igual a 3. 
c) Determine d para que S seja a menor possível. 
 
 
38) (Vunesp) Considere um pedaço de cartolina retangular 
de lado menor 10 cm e lado maior 20 cm. Retirando-se 4 
quadrados iguais de lados x cm (um quadrado de cada 
canto) e dobrando-se na linha pontilhada conforme mostra 
a figura, obtém-se uma pequena caixa retangular sem 
tampa. 
 
O polinômio na variável x, que representa o volume, em 
cm3, desta caixa é 
a) 4x3 - 60x2 + 200x. 
b) 4x2 - 60x + 200. 
c) 4x3 - 60x2 + 200. 
d) x3 - 30x2 + 200x. 
e) x3 - 15x2 + 50x. 
 
 
39) (Vunesp) Considere um prisma hexagonal regular, 
sendo a altura igual a 5cm e a área lateral igual a 60cm2. 
a) Encontre o comprimento de cada um de seus lados. 
b) Calcule o volume do prisma. 
 
40) (FAZU) Considere uma piscina retangular de 10m x 
15m e cujo fundo horizontal está com água até 1,5m de 
altura. Um produto químico deve ser misturado à água à 
razão de um pacote a cada 4500 litros. O número de 
pacotes a serem usados é: 
 
a) 75 
b) 55 
c) 45 
d) 50 
e) 60 
 
 
41) (UFPE) Constrói-se uma pirâmide sobrepondo-se 15 
blocos, cada qual na forma de um paralelepípedo 
retângulo de altura igual a 1m e base quadrada cujos lados 
medem 15m, 14m, 13m, 12m, 11m, 10m, 9m, 8m, 7m, 6m, 
5m, 4m, 3m, 2m, e 1m, respectivamente (veja um corte 
desta pirâmide, na figura a seguir, obtido através de um 
 
 
 
 
9 
ponto dos seus planos de simetria). 
 
Sabendo que 12+22+32+...+n2= 6
1)n1)(2n(n 
e que o 
volume da pirâmide é V m3, determine 31
V
. 
 
 
 
42) (ITA) Dado um prisma hexagonal regular, sabe-se que 
sua altura mede 3cm e que sua área lateral é o dobro da 
área de sua base. O volume deste prisma, em cm3, é: 
a) 27 3 
b) 13 2 
c) 12 
d) 54 3 
e) 17 5 
 
 
43) (OBM) De quantas maneiras diferentes podemos 
construir um paralelepípedo usando exatamente 216 
 
consideradosiguais. 
 
 
44) (ESPM) De um cubo com 4 cm de aresta retira-se um 
paralelepípedo reto-retângulo, resultando no sólido 
mostrado na figura, com as medidas indicadas em 
centímetros. O volume desse sólido varia conforme o valor 
de x. O menor valor que esse volume poderá ter é: 
 
a) 52 cm3 
b) 36 cm3 
c) 48 cm3 
d) 40 cm3 
e) 32 cm3 
 
 
 
45) (FEI) De uma viga de madeira de seção quadrada de 
lado 10cm extrai-se uma cunha de altura h=15cm, 
conforme a figura. 
 
O volume da cunha é: 
a) 250cm3 
b) 500cm3 
c) 750cm3 
d) 1000cm3 
e) 1250cm3 
 
 
46) (OBM) Diga como dividir um cubo em 1999 cubinhos. A 
figura mostra uma maneira de dividir um cubo em 15 
cubinhos. 
 
 
 
47) (Fuvest) Dois blocos de alumínio, em forma de cubo, 
com arestas medindo 10cm e 6cm são levados juntos à 
fusão e em seguida o alumínio líquido é moldado como um 
paralelepípedo reto de arestas 8cm, 8cm e x cm. O valor de 
x é: 
a) 16 
b) 17 
c) 18 
d) 19 
e) 20 
 
 
48) (UFPE) Dois cubos C1 e C2 são tais que a aresta de C1 é 
igual à diagonal de C2. Se V1 e V2 são, respectivamente, os 
volumes dos cubos de C1 e C2, então, a razão V1/V2 é igual 
a: 
a) 3 3 
 
 
 
 
10 
b) 27 
c) 27
1
 
d) 3 3
1
 
e) 3 9 
 
 
49) (Mack) Dois paralelepípedos retângulos de mesmas 
dimensões cortam-se conforme a figura, sendo igual a 1 o 
volume da região assinalada. 
Se ABCD é um quadrado, e o volume total do sólido obtido, 
incluindo a região assinalada, é 9, a dimensão b é igual a 
 
a) 2 
b) 6 
c) 5 
d) 3 
e) 4 
 
 
50) (ENEM) Eclusa é um canal que, construído em águas de 
um rio com grande desnível, possibilita a navegabilidade, 
subida ou descida de embarcações. No esquema abaixo, 
está representada a descida de uma embarcação, pela 
eclusa do porto Primavera, do nível mais alto do rio Paraná 
ate o nível da jusante. 
 
A câmara dessa eclusa tem comprimento aproximado de 
200 m e largura igual a 17 m. A vazão aproximada da água 
durante o esvaziamento da câmara e de 4.200 m3 por 
minuto. 
Assim, para descer do nível mais alto até o nível da 
jusante, uma embarcação leva cerca de 
a) 2 minutos. 
b) 5 minutos. 
c) 11 minutos. 
d) 16 minutos. 
e) 21 minutos. 
 
 
51) (Fatec) Em certa região árida prevê-se construir um 
açude, cuja superfície tem aproximadamente a forma de 
um losango, conforme a vista superior apresentada. 
 
A capacidade do açude em litros pode ser estimada 
multiplicando-se a área de sua superfície pela 
profundidade, lembrando que 1m3 corresponde a 103 
litros. Se a profundidade média do açude é 2m e ele estiver 
completamente cheio, aproximadamente quantas famílias 
com consumo mensal de 2 x 104 litros de água cada uma 
poderiam ser atendidas em um mês? A resposta correta é 
 
a) 640 
b) 1 600 
c) 6 400 
d) 16 000 
e) 64 000 
 
 
52) (SpeedSoft) Em reportagem sobre a Casa dos Artistas 
2, foi escrito: “...Outra inovação é a piscina aquecida com 
61 mil litros (9m x 4,5m), que vai ter uma parede de 
vidro...”. De acordo com o que foi escrito na reportagem, 
qual é a profundidade média dessa piscina ? 
 
53) (Fuvest) Em um bloco retangular (isto é, 
paralelepípedo reto retângulo) de volume 
8
27
, as medidas 
das arestas concorrentes em um mesmo vértice estão em 
progressão geométrica. Se a medida da aresta maior é 2, a 
medida da aresta menor é: 
a) 
8
7
 
b) 
8
8
 
c) 
8
9
 
d) 
8
10
 
 
 
 
 
11 
e) 
8
11
 
 
 
54) (Vunesp) Em um camping, sobre uma área plana e 
horizontal, será montada uma barraca com a forma e as 
dimensões dadas de acordo com a figura. Em cada um dos 
quatro cantos do teto da barraca será amarrado um 
pedaço de corda, que será esticado e preso a um gancho 
fixado no chão, como mostrado na figura. 
 
a) Calcule qual será o volume do interior da barraca. 
b) Se cada corda formará um ângulo de 30° com a 
lateral da barraca, determine, aproximadamente, quantos 
metros de corda serão necessários para fixar a barraca, 
desprezando-se os nós. (Use, se necessário, a aproximação 
3 = 1,73). 
 
 
55) (UFBA) Em um paralelepípedo retângulo P, a altura h, a 
diagonal da base d e a diagonal D são, nessa ordem, os 
termos consecutivos de uma progressão aritmética de 
razão r =1. Sendo a base do paralelepípedo P um 
quadrado, pode-se afirmar: 
 
(01) h.d.D = 60 cm3 
(02) O volume de P é V = 16 cm2 
(04) A área total de P é S = 4(4+3 2 ) cm2 
(08) A área do círculo inscrito na ba 2 
(16) O perímetro do triângulo cujos lados coincidem 
com h, d, D é p =12cm 
 
A resposta é a soma dos pontos das alternativas corretas 
 
 
56) (Unicamp) Em um sistema de piscicultura 
superintensiva, uma grande quantidade de peixes é 
cultivada em tanques-rede colocados em açudes, com alta 
densidade populacional e alimentação à base de ração. Os 
tanques-rede têm a forma de um paralelepípedo e são 
revestidos com uma rede que impede a fuga dos peixes, 
mas permite a passagem da água. 
 
a) Um grupo de 600 peixes de duas espécies foi posto em 
um conjunto de tanques-rede. Os peixes consomem, no 
total, 800 g de ração por refeição. Sabendo-se que um 
peixe da espécie A consome 1,5 g de ração por refeição e 
que um peixe da espécie B consome 1,0 g por refeição, 
calcule quantos peixes de cada espécie o conjunto de 
tanques-rede contém. 
b) Para uma determinada espécie, a densidade máxima de 
um tanque-rede é de 400 peixes adultos por metro cúbico. 
Suponha que um tanque possua largura igual ao 
comprimento e altura igual a 2 m. Quais devem ser as 
dimensões mínimas do tanque para que ele comporte 
7200 peixes adultos da espécie considerada? 
 
57) (UFPB) Foram feitas embalagens de presente em forma 
de prisma regular de altura 36H cm e base triangular 
de lado L = 8 cm, conforme ilustra a figura ao lado. 
Sabendo-se que as embalagens não têm tampa e que o 
custo para a sua produção, por cm2, é de R$ 0,05, o custo 
total de fabricação de cada unidade é: 
 
Dado: Considere 713 , 
 
a) R$ 12,30 
b) R$ 13,60 
c) R$ 8,16 
d) R$ 15,20 
e) R$ 17,30 
 
 
58) (UFSC) Na figura a seguir, que representa um cubo, o 
perímetro do quadrilátero ABCD mede 8(1+ 2 )cm. 
Calcule o volume do cubo em cm3. 
 
 
59) (UFPR) Na figura abaixo está representado um cubo de 
aresta 6 m, com a face ABCD na posição horizontal. Um 
plano contém a aresta EH e o ponto médio M da aresta 
BF. Assim, é correto afirmar: 
 
 
 
 
12 
 
 
 
paralelos 
a) O comprimento do segmento EM é 3 3 m 
pirâmide 
c) A área do trapézio ABME é 27 m2 
igual a 162 m3. 
 
60) (Fuvest) Na figura abaixo, X e Y são, respectivamente, 
os pontos médios das arestas AB e CD do cubo. A razão 
entre o volume do prisma AXFEDYGH e o do cubo é: 
 
a) 3/8. 
b) 1/2. 
c) 2/3. 
d) 3/4. 
e) 5/6. 
 
 
61) (Fuvest) Na figura abaixo: 
 
a) ABCD e EFGH são trapézios de lados 2, 8, 5 e 5. 
b) Os trapézios estão em planos paralelos cuja distância é 
3. 
c) As retas AE, BF, CG e DH são paralelas. 
 
 
62) (UECE) Na figura, as arestas do cubo medem 1m e 
estão divididas em 4 parte iguais. A poligonal ABCDE 
construída sobre as faces do cubo mede: 
a) m13 
b) m15 
c) m17 
d) m19 
 
63) (UFMG) Nesta figura, estão representados o cubo 
ABCDEFGH e o prisma ACRPQO : 
 
Sabe-se que: 
 
» P, Q e R são, respectivamente, os pontos médios das 
arestas AE, CG e CD; 
» o ponto O é o centro da face CDHG; e 
» o volume do prisma ACRPQO é 24 cm3. 
 
Então, é CORRETO afirmar que o comprimento de cada 
aresta desse cubo é 
a) 4. 3 2 cm 
b) 2. 3 3 cm 
c) 4. 3 3 cm 
d) 2. 3 2 cm 
 
64) (UFPE) No cubo da figura a seguir, as arestas medem 
4cm. Quanto mede a diagonal AB? 
a) 4 3 cm 
 
 
 
 
 
13 
 
b) 2 3 cm 
c) 4 2 cm 
d) 2 2 cme) 2 cm. 
 
 
65) (Mack) No cubo da figura dada , a distância do vértice 
A à diagonal PQ é 6 . Então, o volume do cubo é: 
 
a) 27 
b) 64 
c) 125 
d) 9 3 
e) 8 3 
 
 
66) (Fuvest) No paralelepípedo reto retângulo da figura 
abaixo, sabe-se que AB = AD = a, AE = b e que M é a 
intersecção das diagonais da face ABFE. Se a medida de 
MC também é igual a b, o valor de b será: 
 
a) 2 a 
b) 2
3
a 
c) 5
7
a 
d) 3 a 
e) 3
5
a 
 
 
67) (Fuvest) No paralelepípedo reto retângulo mostrado na 
figura, AB=2cm e AD=AE=1cm. 
 
Seja X um ponto de segmento AB e x a medida do 
segmento AX. 
a) Para que valor de x, CX = XH? 
b) Para que valor de x, o ângulo CXH é reto ? 
 
 
68) (Mack) Num paralelepípedo retângulo a soma das 
medidas de todas as arestas é 52 e a diagonal mede 91 . 
Se as medidas das arestas estão em progressão 
geométrica, então o seu volume é: 
a) 216. 
b) 108. 
c) 81. 
d) 64. 
e) 27. 
 
 
69) (Fuvest) Numa caixa em forma de paralelepípedo reto-
retângulo, de dimensões 26 cm, 17 cm e 8 cm, que deve 
ser tampada, coloca-se a maior esfera que nela couber. O 
maior número de esferas iguais a essa que cabem juntas 
na caixa é: 
a) 1 
b) 2 
c) 4 
d) 6 
e) 8 
 
 
70) (Mack) O cubo da figura tem aresta 2 2 . Se P e Q 
área do quadrilátero PQDE é 
 
 
 
 
14 
 
a) 9 
b) 10 
c) 7 
d) 12 
e) 6 
 
 
71) (FUVEST) O cubo de vértices ABCDEFGH, indicado na 
figura, tem arestas de comprimento a. Sabendo-se que M 
é o ponto médio da aresta AE, então a distância do ponto 
M ao centro do quadrado ABCD é igual a 
 
 
a) 5
3a
 
b) 3
3a
 
c) 2
3a
 
d) a 3 
e) 2a 3 
 
72) (Emescam) O figura abaixo representa um sólido que 
foi construído seccionando-se um cubo de aresta a por um 
plano que contém os pontos A, B, C, D. Esses pontos são 
pontos médios de arestas do cubo. O volume desse sólido 
é dado por: 
 
a) a3/3 
b) a3/2 
c) 3a3/4 
d) 7a3/8 
e) 15a3/16 
 
 
73) (ESPM) O seno do ângulo que a diagonal de um cubo 
forma com uma das arestas concorrentes a ela tem como 
valor: 
 
a) 3
22
 
b) 2
6
 
c) 3
6
 
d) 3
3
 
e) 3
2
 
 
 
74) (UEL) O sólido representado na figura a seguir é 
formado por um cubo de aresta de medida x/2 que se 
apóia sobre um cubo de aresta de medida x. 
 
 
 
 
15 
 
 
O volume de sólido representando é dado por 
a) 9x3/8 
b) x3/8 
c) 3x3 
d) 3x3/2 
e) 7x3 
 
 
75) (Fuvest) O volume de um paralelepípedo reto 
retângulo é de 240 cm3. As áreas de duas de suas faces são 
30 cm2 e 48 cm2. A área total do paralelepípedo, em cm2, 
é: 
a) 96 
b) 118 
c) 236 
d) 240 
e) 472 
 
 
76) (UFMG) O volume de uma caixa cúbica é 216 litros. A 
medida de sua diagonal, em centímetros, é: 
a) 0,8 3 
b) 6 
c) 60 
d) 60 3 
e) 900 3 
 
 
77) (UFMG) Observe a figura. 
 
 Nessa figura, está representado um cubo de aresta 10. 
Sabendo que AP = QC = 4, calcule a distância de P e Q. 
 
78) (UFMG) Observe a figura. 
 
Essa figura representa uma piscina retangular com 10 m de 
comprimento e 7 m de largura. As laterais AEJD e BGHC 
são retângulos, situados em planos perpendiculares ao 
plano que contém o retângulo ABCD. O fundo da piscina 
tem uma área total de 77 m2 e é formado por dois 
retângulos, FGHI e EFIJ. O primeiro desses retângulos 
corresponde à parte da piscina onde a profundidade é de 4 
m e o segundo, à parte da piscina onde a profundidade 
varia entre 1 m e 4 m. A piscina, inicialmente vazia, recebe 
água à taxa de 8.000 litros por hora. 
 
Assim sendo, o tempo necessário para encher totalmente 
a piscina é de: 
 
a) 29 h e 30 min 
b) 30 h e 15 min 
c) 29 h e 45 min 
d) 30 h e 25 min 
 
 
79) (UERJ) Observe as figuras a seguir: 
 
(I) 
 
 
 
 
16 
 
(II
) 
A figura I mostra a forma do toldo de uma barraca, e a 
figura II, sua respectiva planificação, composta por dois 
trapézios isósceles congruentes e dois triângulos. 
Calcule: 
a) a distância h da aresta AB ao plano CDEF; 
b) o volume do sólido de vértices A, B, C, D, E e D, 
mostrado na figura I, em função de h. 
 
 
 
80) (UEMG) Observe o desenho a seguir: 
 
 
 
O vasilhame I é cúbico com a medida da aresta igual a 10 
cm. O vasilhame II tem a forma de um paralelepípedo 
retangular com dimensões 10 cm, 12 cm e 40 cm. 
Enchendo o vasilhame I de água e despejando esse líquido 
na II, que está vazia, esta terá sua capacidade ocupada em, 
aproximadamente, 
a) 20,8% 
b) 28% 
c) 22,2% 
d) 12,5% 
 
 
81) (PUC-SP) Para obter a peça esboçada na figura abaixo, 
um artesão deve recortar 8 cubos iguais, a partir dos 
vértices de um bloco maciço de madeira que tem as 
seguintes dimensões: 25cm x 18cm x 18cm 
 
Se ele pretende que o peso da peça obtida seja 6,603 kg e 
sabendo que a densidade da madeira é 0,93 g/cm3, a 
aresta de cada cubo recortado deverá medir, em 
centímetros: 
a) 6,5 
b) 6 
c) 5,5 
d) 5 
e) 4,5 
 
82) (PUC-SP) Para obter a peça esboçada na figura ao lado, 
um artesão deve recortar 8 cubos iguais, a partir dos 
vértices de um bloco maciço de madeira que tem as 
seguintes dimensões: 25cm x 18cm x 18cm. 
Se ele pretende que o peso da peça obtida seja 6,603kg e 
sabendo que a densidade da madeira é 0,93g/cm3, a aresta 
de cada cubo recortado deverá medir, em centímetros, 
 
a) 6,5 
b) 6 
c) 5,5 
d) 5 
e) 4,5 
 
 
83) (UNICAMP) Por norma, uma folha de papel A4 deve ter 
210mm x 297mm. Considere que uma folha A4 com 
0,1mm de espessura é seguidamente dobrada ao meio, de 
forma que a dobra é sempre perpendicular à maior 
dimensão resultante até a dobra anterior. 
a) Escreva a expressão do termo geral da progressão 
geométrica que representa a espessura do papel dobrado 
em função do número k de dobras feitas. 
b) Considere que, idealmente, o papel dobrado tem o 
formato de um paralelepípedo. Nesse caso, após dobrar o 
papel seis vezes, quais serão as dimensões do 
paralelepípedo? 
 
 
 
 
 
17 
 
84) (ENEM) Prevenindo-se contra o período anual de seca, 
um agricultor pretende construir um reservatório fechado, 
que acumule toda a água proveniente da chuva que cair no 
telhado de sua casa, ao longo de um período anual 
chuvoso. As ilustrações a seguir apresentam as dimensões 
da casa, a quantidade média mensal de chuva na região, 
em milímetros, e a forma do reservatório a ser construído. 
 
Sabendo que 100 milímetros de chuva equivalem ao 
acúmulo de 100 litros de água em uma superfície plana 
horizontal de um metro quadrado, a profundidade (p) do 
reservatório deverá medir 
a) 4m 
b) 5m 
c) 6m 
d) 7m 
e) 8m 
 
 
85) (AFA) Qual deve ser a medida da altura de um prisma 
reto, cuja base é um triângulo equilátero de lado a, para 
que seu volume tenha valor a3? 
 
a) 
a 3
4 
b) 
3 3
4
a
 
c) 
a 3
3 
d) 
4 3
3
a
 
 
86) (PUC-PR) Qual o número de diagonais das faces e das 
bases de um prisma de 2n vértices? 
 
a) 
2
3) -n(n 
 
b) n(n + 3) 
c) 
2
3) n(n 
 
d) n(n - 1) 
e)
2
1) -n(n 
 
 
 
87) (Unifesp) Quando se diz que numa determinada região 
a precipitação pluviométrica foi de 10mm, significa que a 
precipitação naquela região foi de 10 litros de água por 
metro quadrado, em média. Se numa região de 10km2 de 
área ocorreu uma precipitação de 5cm, quantos litros de 
água foram precipitados? 
 
a) 5 x 107. 
b) 5 x 108. 
c) 5 x 109. 
d) 5 x 1010. 
e) 5 x 1011. 
 
88) (PUC-RJ) Quantos azulejos de 30cm x 30cm são 
necessários para forrar as paredes laterais e o fundo de 
uma piscina de 9m x 7,5m x 3m ? 
 
89) (UFSCar) Se a soma das medidas de todas as arestas de 
um cubo é 60cm, então o volume desse cubo, em 
centímetros cúbicos, é 
a) 125. 
b) 100. 
c) 75.d) 60. 
e) 25. 
 
 
90) (PUC-PR) Se aumentarmos de 0,5 m a aresta de um 
cubo, o seu volume aumentará 2375 dm3. Qual era o valor 
da aresta do primeiro cubo? 
a) 1 m 
b) 2 m 
c) 3 m 
d) 4 m 
e) 5 m 
 
 
91) (Unitau) Se dobrarmos convenientemente as linhas 
tracejadas das figuras a seguir, obteremos três modelos de 
figuras espaciais cujos nomes são: 
 
 
 
 
 
18 
a) tetraedro, octaedro e hexaedro. 
b) paralelepípedo, tetraedro e octaedro. 
c) octaedro, prisma e hexaedro. 
d) pirâmide, tetraedro e hexaedro. 
e) pirâmide pentagonal, prisma pentagonal e hexaedro. 
 
 
92) (FMTM) Seja ax3 + bx2 + cx + d = 0 uma equação 
algébrica que possui 3 raízes reais positivas. Se as raízes 
dessa equação são numericamente iguais às dimensões de 
um paralelepípedo reto retângulo, o quadrado da diagonal 
desse prisma é igual a 
a) 2
2 2
a
bca 
 
b) 2
2 2
a
acb 
 
c) 2
2 2
a
cdb 
 
d) 2
2 2
a
abc 
 
e) 2
2 2
a
adc 
 
 
 
 
93) (UFPE) Seja C um cubo cujo lado mede 5cm e 
plano contendo duas diagonais de C. Particiona-se C em 
125 cubos com lado medindo 1cm através de planos 
quantos destes 125 cubos com lado medindo 1cm? 
 
 
94) (PUC-SP) Suponha que o bolo mostrado na tira abaixo 
apóie-se sobre um suporte circular feito de chocolate que, 
por sua vez, encontra-se sobre uma mesa de madeira de 
tampo retangular, cujas dimensões são 0,90m de 
comprimento, 0,80m de largura e 0,02m de espessura. 
Assim, a parte dura que o Cebolinha mordeu diz respeito 
apenas a um pedaço do tampo da mesa. 
 
Se o pedaço de madeira na fatia tem a forma de um prisma 
regular triangular, cuja aresta da base mede 6cm, o 
volume de madeira do pedaço equivale a que 
porcentagem do volume do tampo da mesa? (Use 3 = 
1,7) 
a) 0,2125% 
b) 0,425% 
c) 2,125% 
d) 4,25% 
e) 21,25% 
 
 
 
95) (NOVO ENEM) Suponha que, na escultura do artista 
Emanoel Araújo, mostrada na figura a seguir, todos os 
prismas numerados em algarismos romanos são retos, 
com bases triangulares, e que as faces laterais do poliedro 
II são perpendiculares à sua própria face superior, que, por 
sua vez, é um triângulo congruente ao triângulo base dos 
prismas. Além disso, considere que os prismas I e III são 
perpendiculares ao prisma IV e ao poliedro II. 
 
Disponível em: www.escritosriodearte.com.br. Acesso em: 28 jul. 
2009. 
Imagine um plano paralelo à face  do prisma I, mas que 
passe pelo ponto P pertencente à aresta do poliedro II, 
indicado na figura. A interseção desse plano imaginário 
com a escultura contém 
a) dois triângulos congruentes com lados correspondentes 
paralelos. 
b) dois retângulos congruentes e com lados 
correspondentes paralelos. 
c) dois trapézios congruentes com lados correspondentes 
perpendiculares. 
d) dois paralelogramos congruentes com lados 
correspondentes paralelos. 
e) dois quadriláteros congruentes com lados 
correspondentes perpendiculares. 
 
96) (UFMG) Todos os possíveis valores para a distância 
entre dois vértices quaisquer de um cubo de aresta 1 são: 
a) 1, 2 e 3 
b) 1 e 2 
c) 1, 3 e 2 
d) 1, 2 e 3 
 
 
 
 
 
19 
 
97) (SpeedSoft) Um aquário de 20x30x10 cm, totalmente 
fechado, está com água dentro de modo que quando ele 
fica apoiado no retângulo de 30x10 cm, o nível da água 
atinge 15cm. Virando o aquário, de modo que ele fique 
apoiado pelo retângulo de 20x10 cm, que altura atingirá o 
nível d’água? 
 
 
98) (CPCAR) Um aquário tem formato de um 
paralelepípedo retângulo com as arestas da base medindo 
20 cm e altura medindo 40 cm. O aquário receberá uma 
quantidade de água equivalente a 80% de sua capacidade 
máxima. Para preparar a água para receber os peixes 
recomenda-se 1 gota de antifungo para cada 256 ml de 
água. O número de gotas de antifungos necessário para a 
preparação desse aquário é 
 
a) 50 
b) 40 
c) 30 
d) 20 
 
99) (FGV) Um arquiteto tem dois projetos para construção 
de uma piscina retangular com 1m de profundidade: 
Projeto 1: dimensões do retângulo: 16m x 25m 
Projeto 2: dimensões do retângulo: 10m x 40m 
Sabendo-se que as paredes laterais e o fundo são 
revestidos de azulejos cujo preço é R$ 10,00 por m2. 
a) Qual a despesa com azulejos em cada projeto? 
b) Se a área do retângulo for de 400m2, e x for uma de suas 
dimensões, expresse o custo dos azulejos em função de x. 
 
 
100) (Fuvest) Um bloco retangular (isto é, um 
paralelepípedo reto-retângulo) de base quadrada de lado 
4cm e altura 20 3 cm, com 
3
2
 de seu volume cheio de 
água, está inclinado sobre uma das arestas da base, 
formando um ângulo de 30° com o solo (ver seção lateral 
abaixo). Determine a altura h do nível da água em relação 
ao solo. 
 
 
101) (Unirio) Um engenheiro vai projetar uma piscina, em 
forma de paralelepípedo reto-retângulo, cujas medidas 
internas são, em m, expressas por x, 20-x, e 2. O maior 
volume que esta piscina poderá ter, em m3, é igual a: 
 
a) 240 
b) 220 
c) 200 
d) 150 
e) 100 
 
 
102) (UFRJ) Um marceneiro cortou um cubo de madeira 
maciça pintado de azul em vários cubos menores da 
seguinte forma: dividiu cada aresta em dez partes iguais e 
traçou as linhas por onde serrou, conforme indica a figura . 
 
a) Determine o número de cubos menores que ficaram 
sem nenhuma face pintada de azul. 
b) Se todos os cubos menores forem colocados em um 
saco, determine a probabilidade de se retirar, ao acaso, 
um cubo com pelo menos duas faces azuis. 
 
 
103) (UNICAMP) Um pluviômetro é um aparelho utilizado 
para medir a quantidade de chuva precipitada em 
determinada região. A figura de um pluviômetro padrão é 
exibida ao lado. Nesse pluviômetro, o diâmetro da 
abertura circular existente no topo é de 20cm. A água que 
cai sobre a parte superior do aparelho é recolhida em um 
tubo cilíndrico interno. Esse tubo cilíndrico tem 60cm de 
 
 
 
 
20 
altura e sua base tem 1/10 da área da abertura superior do 
pluviômetro. (Obs.: a figura ao lado não está em escala). 
 
a) Calcule o volume do tubo cilíndrico interno. 
b) Supondo que, durante uma chuva, o nível da água no 
cilindro interno subiu 2cm, calcule o volume de água 
precipitado por essa chuva sobre um terreno retangular 
com 500m de comprimento por 300m de largura. 
 
 
104) (UFMG) Um recipiente cúbico, sem tampa, com 
arestas medindo 12 cm, está apoiado em um plano 
horizontal e contém água até um nível de h cm. Ao se 
inclinar esse recipiente sobre uma de suas arestas, de 
maneira que a face inferior faça um ângulo de 30o com o 
plano horizontal, são derramados 300 cm3 de água, 
conforme mostrado nestas figuras. 
 
DETERMINE o valor de h. 
 
105) (Vunesp) Um reservatório de água de uma creche tem 
a forma de um paralelepípedo retângulo com área da base 
igual a 2 m2 e altura de 2 m. O reservatório estava 
completamente vazio e às 0 horas (quando a creche estava 
fechada) ele começou a encher de água. A altura do nível 
de água no reservatório ao final de t horas, após começar a 
encher, é dada por h(t) = 6t
5t
 com h(t) em metros. 
a) Determine a capacidade total de água do reservatório e 
o volume V(t) de água no reservatório no instante t (em 
m3). 
b) Determine entre quais horários da madrugada o volume 
V(t) do reservatório será maior que 2m3 e menor que sua 
capacidade total. 
 
106) (PUC-SP) Um tanque de uso industrial tem a forma de 
um prisma cuja base é um trapézio isósceles. Na figura a 
seguir, são dadas as dimensões, em metros, do prisma: 
 
 
O volume desse tanque, em metros cúbicos, é: 
a) 50 
b) 60 
c) 80 
d) 100 
e) 120 
 
 
107) (Fuvest) Um tanque em forma de paralelepípedo tem 
por base um retângulo horizontal de lados 0,8 m e 1,2 m. 
Um indivíduo, ao mergulhar completamente no tanque, 
faz o nível da água subir 0,075 m. Então, o volume doindivíduo, em m3, é: 
 
a) 0.066 
b) 0,072 
c) 0,096 
d) 0,600 
e) 1,000 
 
108) (Vunesp) Um tanque para criação de peixes tem a 
forma da figura 
 
onde ABCDEFGH representa um paralelepípedo retângulo 
e EFGHIJ um prisma cuja base EHI é um triângulo retângulo 
5
3
). A superfície interna do tanque será 
pintada com um material impermeabilizante líquido. Cada 
metro quadrado pintado necessita de 2 litros de 
impermeabilizante, cujo preço é R$ 2,00 o litro. Sabendo-
se que AB = 3 m, AE = 6 m e AD = 4 m, determine: 
 
a) as medidas de EI e HI; 
b) a área da superfície a ser pintada e quanto será gasto, 
em reais. 
 
 
109) (PUCCamp) Um tanque tem a forma de um prisma 
reto de base quadrada e está totalmente cheio d'água. Se 
a aresta de sua base mede 2m e a altura mede 0,9 m, 
quantos litros d'água devem ser retirados do seu interior 
 
 
 
 
21 
para que o líquido restante ocupe os 2/3 de sua 
capacidade? 
 
a) 12000 
b) 2400 
c) 1200 
d) 240 
e) 120 
 
 
110) (Unicamp) Uma caixa d’água cúbica, de volume 
máximo, deve ser colocada entre o telhado e a laje de uma 
casa, conforme mostra a figura ao lado. 
 
Dados: AB = 6m, AC= 1,5m, CD= 4m. 
 
a) Qual deve ser o comprimento de uma aresta da caixa? 
b) Supondo que a altura máxima da água na caixa é de 85% 
da altura da caixa, quantos litros de água podem ser 
armazenados na caixa? 
 
 
111) (Fuvest) Uma caixa d’água tem forma cúbica com 1 
metro de aresta. De quanto baixa o nível d’água ao 
retirarmos 1 litro de água da caixa? 
 
112) (UEL) Uma caixa é totalmente preenchida por 
cinqüenta cubos idênticos. Quantos cubos iguais a esses 
podem ser colocados em uma caixa cujas dimensões 
internas têm, respectivamente, o dobro das dimensões da 
caixa anterior? 
a) 100 
b) 150 
c) 200 
d) 400 
e) 500 
 
 
113) (ENEM) Uma editora pretende despachar um lote de 
livros, agrupados em 100 pacotes de 20 cm x 20 cm x 30 
cm. A transportadora acondicionará esses pacotes em 
caixas com formato de bloco retangular de 40 cm x 40 cm x 
60 cm. A quantidade mínima necessária de caixas para 
esse envio é: 
a) 9 
b) 11 
c) 13 
d) 15 
e) 17 
 
 
114) (Mack) Uma piscina com 5 m de comprimento, 3 m de 
largura e 2 m de profundidade tem a forma de um 
paralelepípedo retângulo. Se o nível da água está 20 cm 
abaixo da borda, o volume de água existente na piscina é 
igual a: 
a) 27000 cm3 
b) 27000 m3 
c) 27000 litros 
d) 3000 litros 
e) 30 m3 
 
 
115) (FGV) Uma piscina com o formato de um 
paralelepípedo retângulo tem dimensões, em metros, 
iguais a 20 por 8 por h, em que h é a profundidade. 
Quando ela está cheia de água até 80% de sua capacidade, 
o volume de água é 256m3. Podemos concluir que a 
medida em metros de h é: 
a) Um número racional não inteiro. 
b) Um número inteiro. 
c) Um número menor que 1,8. 
d) Um número maior que 2,2. 
e) Um número irracional. 
 
116) (Vunesp) Uma piscina de forma retangular tem 8m de 
largura, 15m de comprimento, 0,9m de profundidade num 
de seus extremos e 2,7m de profundidade no outro 
extremo, sendo seu fundo um plano inclinado. Calcule o 
volume da água da piscina quando a altura do nível da 
água é de 0,6m na extremidade mais funda. 
 
117) (UFC) Uma piscina na forma de um paralelepípedo 
retângulo de 9 m de comprimento, 4 m de largura e 2 m de 
altura está sendo abastecida de água à razão constante de 
50 litros por minuto. O tempo necessário, em horas, para 
encher esta piscina, sem desperdício de água, é: 
 
a) 26 
b) 24 
c) 22 
d) 20 
e) 18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
Gabarito 
 
 
1) Alternativa: E 
 
2) Alternativa: B 
 
3) Alternativa: A 
 
4) Alternativa: E 
 
5) Alternativa: C 
 
6) a) 131,88cm2 
b) 113,04cm3 
 
 
 
7) c) A água evaporada tem a forma de um paralelepípedo 
de 20x30xh onde h é a altura de água evaporada. Assim, 
 
 
Sobrou então 10 – 3 = 7m de água. 
 
8) Alternativa: E 
 
9) Alternativa: C 
 
10) C = 8cm. (note que, no cubo montado, os pontos A e B 
ficam em faces adjacentes...) 
 
 
11) Alternativa: D 
 
12) a) 50cm 
b) R$ 8,40 
 
13) Alternativa: E 
 
14) a ) 375. 3 cm3 
b ) 50 3 cm3 
 
 
15) Alternativa: E 
 
16) Alternativa: A 
 
17) Alternativa: B 
 
18) Alternativa: D 
 
19) Alternativa: C 
 
20) a) 3 30 
b) 8k4 - 8k2 + 1 
 
 
21) Alternativa: C 
 
22) a) 80 cm 
b) 512 L 
 
23) Alternativa: A 
 
24) a) Volume de S1 = Volume de S2 = 3 
b) Volume da intersecção de S1 e S2 - 1 m3 
 
25) Alternativa: C 
 
26) Isso nos dá que 2[n(n - 2) + n(n + 2) + (n - 2)(n + 2)] = 
142, isso nos dá que 3n2 - 
que convém é n = 5. Assim o volume será 3 x 5 x 7 = 
105cm3. 
 
27) Alternativa: A 
 
28) a) 8cm 
b) V = 1000 cm3 
 
29) Alternativa: C 
 
30) A maior distância é: .3)3()3()3( 222  
 
 
31) a) n = 8 
b) n = 4 
 
32) Resposta: 57 
 
33) F – V – V – F – V  2+4+16 = 22 
 
34) Alternativa: A 
 
35) Alternativa: A 
 
36) Alternativa: C 
 
37) Resposta: 
a) 8 89 cm2 
b) 8 65 cm2 
c) 3
8
cm 
 
 
38) Alternativa: A 
 
39) a) as arestas da base medem 2cm cada e as arestas 
laterais medem 5cm cada. 
 
 
 
 
23 
b) 30 3 cm3 
 
 
40) Alternativa: D 
 
41) V/31 = 40 
 
42) Alternativa: D 
 
43) Resp: 19 
 
Resolução: Sejam cba  as medidas do paralelepípedo. 
Temos então que a, b e c são inteiros positivos e 
216abc . 
Como 6 aaaacba e ,216|a temos 
.6ou 4 ,3 2, ,1  aaaaa 
Se ,1a temos .216 cb As possibilidades neste caso 
são ;108 e 2 ;216 e 1  cbcb 
.18 e 12 ;24 e 9 ;27 e 8;36 e 6 ;54 e 4 ;72 e 3  cbcbcbcbcbcb
Se ,2a temos ,108 cb com .2b Temos então as 
possibilidades ;36 e 3;54 e 2  cbcb 
.12 e 9 ;18 e 6 ;27 e 4  cbcbcb 
Se ,3a temos ,72 cb com .3b Temos então as 
possibilidades ;18 e 4;24 e 3  cbcb 
.9 e 8 ;12 e 6  cbcb 
Se ,3a temos ,72 cb com .3b Temos então as 
possibilidades ;18 e 4;24 e 3  cbcb 
.9 e 8 ;12 e 6  cbcb 
Se ,4a temos .4 com ,54  bcb Neste caso, 
temos uma só solução, que é .9 e 6  cb 
Se ,6a a única solução é .6 cb 
Temos, assim, 19 maneiras de construirmos o 
paralelepípedo. 
Observação: pode-se verificar que o número de soluções 
de r, b.c  com cb  naturais, é 
 
,
2 



 nd
 onde 
 x denota o menor número inteiro maior ou igual 
a  ndx e é o número de divisores de n. Assim, 
216 cb tem
 
8
2
216





d
 soluções; 108 cb com 
2b tem 
 
51
2
108





d
soluções (descontamos aqui 
a solução 108 e 1  c b ); 72 cb  com 3b tem 
 
42
2
72





d
 soluções (eliminamos 
36 e 2 e 72 e 5  cbcb ); 54 cb com 
4b tem 
 
13
2
54





d
 solução (eliminamos 
 b, bb 3 e 21  ) e 36 cb com 6b tem 
 
14
2
36





d
 solução (elimina-se b = 1, 2 ,3 ou 4). 
 
 
 
44) Alternativa: C 
 
45) Alternativa: C 
 
46) O cubo deve ser dividido em 1000 cubinhos, ou seja 10 
 10  10, depois, deve-se pegar um deles e dividí-lo 
novamente em 1000 cubinhos para que obtenhamos 1999 
cubinhos. Assim teremos 1000 – 1 (que será dividido) + 
1000 = 1999 cubinhos. 
 
47) Alternativa: D 
 
48) Alternativa: B 
 
49) Alternativa: C 
 
50) Alternativa: D 
 
51) Alternativa: D 
 
52) Resposta: 1,51m 
 
53) Alternativa: C 
Sejam x/q, x e xq as 3 arestas. Assim, o volume é x/q.x.xq = 
x3 = 
8
27
 
2
3
 . Como x é a aresta intermediária entre a 
maior e a menor, ela é a média geométrica dessas duas. 
Então, (
2
3
 )2 
8
954) a) 36m3 
b) 9,23 
 
 
 
55) V - F - F - V - 25 
 
56) Respostas Esperadas • (CONVEST/UNICAMP) 
a) 
Seja xA o número de peixes da espécie A e xB o número de 
peixes da espécie B postos nos tanques-rede. Como o 
número total de peixes é igual a 600, tem-se xA + xB = 600. 
Conhecendo os hábitos alimentícios dos peixes, tem-se 
também a equação 1,5xA + 1xB = 800. Obtemos, assim, um 
sistema linear. Subtraindo a primeira equação da segunda, 
chegamos a 0,5xA = 200. Assim, xA = 400, o que implica xB = 
600 - xA = 600 - 400 = 200. 
 
 
 
 
24 
Resposta: o grupo continha 400 peixes da espécie A e 200 
peixes da espécie B. 
 
b) Para comportar 7200 peixes, o tanque deve ter um 
volume igual a 7200/400 = 18 m3. Sejam L, C e A, 
respectivamente, a largura, o comprimento e a altura do 
tanque-rede. Com base nos dados do problema, 
concluímos que o volume do tanque é V = L.C.A = 2L2. 
Assim, temos 2L2 = 18, ou L2 = 9, ou ainda L = 3m. Desta 
forma, L = C = 3 m. 
Resposta: o tanque deve ter largura e comprimento iguais 
a 3 m e altura igual a 2 m. 
 
 
57) Alternativa: B 
 
58) V = 64 cm3 
 
59) V – V – F – F – V – V 
 
60) Alternativa: D 
 
61) V = 60 
 
62) Alternativa: C 
 
63) Alternativa: C 
 
64) Alternativa: A 
 
65) Alternativa: A 
 
66) Alternativa: E 
 
67) a) x = 0,75 cm 
b) x = 1 cm 
 
68) Alternativa: E 
 
69) Alternativa: D 
 
70) Alternativa: A 
 
71) Alternativa: C 
 
72) Alternativa: D 
 
73) Alternativa: C 
 
74) Alternativa: A 
 
75) Alternativa: C 
 
76) Alternativa: D 
 
77) PQ = 2
38
 
 
78) Alternativa: C 
 
79) a) 
 
 
m 7,1
2
4,3
BM  
m 5,1
2
3
M'B  
h'BB 
h2 + 1,52 = 1,72 m 
 
 
b) 
 
 
 
volume = V = V(prisma) + V(pirâmide) 
h
3
32
AB
2
h3
V 

 h242
h3
V  8hV 
 
 
 
80) Alternativa: A 
 
81) Alternativa: D 
 
82) Alternativa: D 
 
83) a) (0,1) 2kmm 
 
b) 37,125mm; 26,25mm e 6,4mm. 
 
 
 
84) Alternativa: D 
 
85) Alternativa: D 
 
86) Alternativa: D 
(cada base tem n vértices, além de n laterais com 2 
diagonais cada) 
 
87) Alternativa: B 
 
 
 
 
25 
 
88) R: 1850 azulejos 
 
89) Alternativa: A 
 
90) Alternativa: A 
 
91) Alternativa: E 
 
92) Alternativa: B 
 
93) 25 cubos 
 
94) Alternativa: A 
 
95) Alternativa: A (com ressalvas) 
Nota do Editor: A alternativa A é a menos pior. Entretanto, 
há muitas controvérsias. Nota-se pela imagem que há um 
3º sólido sendo interceptado pelo plano, com uma face 
unida com parte da face do prisma IV, e que portanto 
transformaria a intersecção pedida em um triângulo e um 
quadrilátero (provavelmente um losango). 
Teríamos 2 triângulos apenas se a intersecção pedida fosse 
do plano com os prismas II e IV. E ainda assim, Como saber 
se os lados dos triângulos da intersecção são realmente 
paralelos? 
 
96) Alternativa: A 
 
97) 22,5 cm 
 
98) Alternativa: A 
 
99) 2 portanto custo de R$ 4820,00 
 2 portanto custo de R$ 5000,00 
 
b) Custo = 400 + 2x + x
800
 
 
100) h = 21cm 
 
101) Alternativa: C 
 
102) a) 512 cubos 
b) 96/1000 = 0,096 = 9,6% 
 
103) a) 600cm3 
 
b) 300m3 
 
 
104) h = 12
324169
 
 
105) a) V = 4m3 e V(t) = 6t
10t
 
b) entre 1h30min e 4 horas da manhã 
 
 
 
106) Alternativa: D 
 
107) Alternativa: B 
 
108) a) EI = 5m e HI = 4m 
b) A = 104 m2 e o custo será de R$ 416 
 
109) Alternativa: C 
 
110) a) 1,2m = 12dm 
b) 0,85.123 = 1468,8 L 
 
111) baixa 0,001 metro. 
 
112) Alternativa: D 
 
113) Alternativa: C 
Em cada pacote cabem 8 pacotes, de forma que 
precisaríamos de uma quantidade maior que 12,5 caixas. 
 
114) Alternativa: C 
5x3x1,80 = 27 m3 = 27000 litros 
 
115) Alternativa: B 
 
116) 12 m3 
 
117) Alternativa: B