Circuitos RL, RC e RLC (números complexos)

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Eletricidade VI Página 3 Circuitos RL, RC e RLC – nº Complexos 
 
CIRCUITOS EM C.A. - ANÁLISE COM NÚMEROS COMPLEXOS 
 
A análise de circuitos feita nos capítulos anteriores, considerando tensão, corrente e im 
pedância como um fasor, permite uma soluçao gráfica. Através dos números complexos e suas 
propriedades é possível fazer a mesma análise. 
 
4.1 Números Complexos 
Chamamos de número imaginário puro a todo número do tipo ,25,4,1 −−− 
,525,24:,1.10 jjreescritosserpodemanterioresnúmerososjSeja =−=−−=− 
.1010 j=− 
 Da definição de j segue que: 
( ) .,1,1.,1 224232 etcjjjjjjjj ==−==−= 
 Um número complexo genérico é um número do tipo: Z= x + jy onde x e y são reais. 
 Exemplos: Z1 = 4 + j5, Z2 = -2 + j3, Z3 = -4-j3, Z4 = 4-J3, Z5 = j4, Z6 = 4 . 
 Um número complexo pode ser representado através de eixos coordenados. 
 
 Imaginário 
 
 
 
 
 
 
 Real 
 
 
 
 
 
Figura 4.1 
 A forma de representar um número complexo vista anteriormente ( Z = x + jy ), é 
chamada forma cartesiana ou retangular. 
 Seja um número complexo Z = x + jy, representado no plano cartesiano. 
 O segmento OZ = r é o módulo do número complexo e θθθθ é o argumento de Z. 
 j 
 y 
x
y
tgarc
yxr
=
+=
θ
22
 
 x R 
Figura 4.2 
 Na figura 4.2, podemos escrever: Z = r ( cosθ + jsenθ ) que é a forma trigonométri 
ca. Uma maneira de representar um número complexo, muito usada na solução de circuitos, é a 
forma polar 
θ 
Z = r θ 
 
Z 
j1
 
j2
 
j3
 
j4
 
j5
 
-j5
 
-j4
 
-j3
 
-j2
 
-j1
 
-1 -2 -3 -4 -5 -6 5 4 3 2 1 6 
Eletricidade VI Página 4 Circuitos RL, RC e RLC – nº Complexos 
Exemplo 1: 
 Representar os números Z1 = 3 + j4, Z2 = 3 - J4, Z3 = j5, Z4 = 10, Z5 = -10, 
Z6 = -j5 na forma polar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
º535
º53
3
4
534
1
1
22
1
=
≅=
=+=
Z
tgarc
r
θ 
( )
º535
º53
534
2
2
22
2
−=
−=
=+=
Z
r
θ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
º9053 =Z 
º010
10º0
4
44
=
==
Z
rθ
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
º18010
º18010
5
55
=
==
Z
r θ
 
º905
º9010
6
66
−=
−==
Z
r θ
 
 
 
 
 
 
3 
Z1 
r1 
1θ 
j4 
Im 
R 
-j4 
2θ 
r2 
3 R 
Im 
Z3 j5 
Im 
r3=5 
R 
º903 =θ 
Im 
Z4 r4 R 
10 
R 
Z5 
Im 
5θ 
r5 
-10 
Im 
Z6 
6θ 
R 
-j5 
r6 
Eletricidade VI Página 5 Circuitos RL, RC e RLC – nº Complexos 
Exemplo 2: 
 Transformar os números Z1 = 45º , Z2 = 5 30º e Z3 = 4 -20º para a 
forma retangular. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.2 Operações com Números Complexos 
4.2.1 Soma e Subtração 
 Para somar ou subtrair dois números complexos, somam-se ou subtrai-se em separado 
as partes real e imaginária. 
Exemplo 3: 
 Sejam Z1 = 4 + j3 e Z2 = 5 + j4 
 Z3 = Z1 + Z2 = ( 4 + 5) + j( 3 + 4 ) = 9 + j7 
 Z4 = Z1 - Z2 = ( 4 - 5 ) + j( 3 - 4 ) = -1 - j1 
 Z5 = Z2 - Z1 = ( 5 – 4 ) + J(4 - 3 ) = 1 + j1 
4.2.2 Multiplicação e Divisão 
 Para multiplicar ou dividir dois números a maneira mais simples é usando a forma polar. 
Exemplo 4: 
 Sejam Z1 = 3 + j4 = 5 53º e Z2 = 3 + j3 = º4523 
 Z3 = j5 = 5 90º 
 Z4 = Z1 . Z2 = 5 53º . º4523 = º98215 
isto é, multiplicam-se os módulo e somam-se os argumentos. 
 Z5 = Z1 . Z3 = 5 53º . 5 90º = 25 143 
 º535
º4523
º98215
2
4
6 === Z
ZZ 
Na divisão, dividem-se os módulos e subtraem-se os argumentos. 
 º371
º905
º535
3
1
7 −=== Z
ZZ 
y1 = 10 . sen45º = 7,07 
x1 = 10 . cos45º = 7,07 
z1 = 7,07 + j7,07 
y2 = 5 . sen30º = 2,5 
x2 = 5 . cos30º = 4,33 
z1 = 4,33 + j2,5 
 
y3 = 4 . sen (-20º) = -1,37 
x3 = 4 . cos(-20º) = 3,76 
z1 = 3,76 + j1,37 
 
º45=θ 
º30=θ 
º20=θ 
y1 Z1 
10 
x1 
y2 Z2 
5 
x2 
Z3 
4 
x3 
y3 
Eletricidade VI Página 6 Circuitos RL, RC e RLC – nº Complexos 
4.3 Impedância Complexa 
4.3.1 Circuitos RL 
 
 Consideremos o circuito RL série do capítulo 3.3 e o seu diagrama fasorial.(a) (b) 
Figura 4.3 
 Como vimos, um número complexo tem um módulo e um argumento (ângulo ), um fa 
 
sor também tem módulo e uma fase (ângulo). Isso sugere que elementos de circuito, tensões e 
 
correntes possam ser representados na forma de números complexos. Por exemplo, a tensão no 
 
indutor VL = VL 90º , a tensão no resistor VR = VR 0º e a corrente I = I 0º . 
 
( o ponto em cima significa uma grandeza com módulo e fase). 
 
 Como é valida a 1º Lei de OHM em C.A, para o indutor teremos: 
 
 
0
0
0
90
0
90
L
LL
L XI
V
I
VX === 
como LX L ω= a reatância indutiva é representada como um número complexo puro. 
 
 XL = jωL 
De maneira análoga para o resistor 
 
 
0
0
0
0
0
0
I
V
I
V
I
VR RRR === 
 R
I
VR
= 
 
isto é, um resistor é uma impedância com parte imaginária nula. 
 A impedância do circuito RL série na sua representação complexa é: 
 
R
L
tgarcZLjRZ ωω =+= 
 
VG 
 
 VL L 
R 
VG 
I 
VR 
VL 
ω 
VR 
θ 
Eletricidade VI Página 7 Circuitos RL, RC e RLC – nº Complexos 
Exemplo 5: 
 
 Dar as expressões da corrente e calcular o ângulo de defasagem: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O diagrama fasorial correspondente é: 
 VG ω 
 37º 
 
 I 
 
 
Observe
 
que as expressões da tensão do gerador e da corrente poderiam ser: 
 
 
( ) ( )
( )Ati
Vtvg
ω
ω
sen.2.4
º37sen.2.20
=
+=
 
 
 O diagrama fasorial é: 
 
 VG 
 ω 
 37º 
 
 I 
 
 O que importa é que num caso ou no outro, a corrente está 37º atrasada com relação à 
tensão. 
 
 
VG 
 
 XL=3Ω 
R=4Ω 
VG 
 
 Z 
i 
I 
 
( )
º020
sen.2.20
=
=
G
g
V
Vtv ω
 
nos cálculos usamos o valor eficaz (VG) 
 
 º37534 =+= jZ 
 
 º374
º375
º020
−===
Z
V
I G 
 
 ( ) ( )Ati º37sen.2.4 −= ω 
Dados: 
Eletricidade VI Página 8 Circuitos RL, RC e RLC – nº Complexos 
Exemplo 6: 
 
 Determinar a impedância e a corrente do circuito: 
 
 I I 
 
 
 IR IL 
 
 
 
120 90º 80Ω j60(Ω) 
 
 120 90º Z
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
 Z = R // XL onde R = 80 0º XL = 60 90º 
 
 
º37100
º904800
6080
º9060.º080.
=
+
=
+
= jXR
XRZ
L
L
 
 
 Z = 48 53º 
 º375,2
º5348
º90120
===
Z
VI G 
compare esses resultados com os do primeiro exercício resolvido do capítulo 3.5. 
 
4.3.2 Circuitos RC 
 
Da mesma forma que fizemos com os circuitos RL, os circuitos RC também podem ser 
representados na forma complexa. Consideremos um circuito RC série e seu diagrama fasorial, 
Figura 4.4. 
 VR 
 R 
 I 
 ω 
 VC VR VG 
 φ 
 
 
C 
 
 VC 
 
 ( a ) ( b ) 
Figura 4.4 
 
 Na figura 4.4b, temos que: 
 
 I = I 90º VC = VC 0º 
I VG 
Eletricidade VI Página 9 Circuitos RL, RC e RLC – nº Complexos 
 Como XC = VC = VC 0º = VC -90º = XC -90º 
 I I 90º I 
 
onde XC = 1 
 ω . C 
logo, a reatância de um capacitor representada na forma complexa é: 
 
 XC = -j 1 
 ω . C 
se multiplicarmos o numerador e o denominador, da última expressão, por j e lembrando que 
j2 = -1, teremos a outra forma complexa da reatância capacitiva. 
 
 XC = 
1 
 j ωC 
 O resistor como já foi visto, na forma complexa não tem parte imaginária. 
 Lembre-se que o diagrama fasorial da figura 4.4b gira com velocidade angular ω e 
que a posição em que foram colocados os fasores é pura conveniência, eles poderiam ser re- 
presentados como na figura 4.5. 
 
 VR I ω 
 
 
φ
 
 VC VG 
 
Figura 4.5 
 O que importa é que, num caso ou no outro, a corrente no circuito está adiantada em 
relação à tensão ( VG ) . 
 A tensão VG , que também pode ser representada na forma complexa, é obtida so- 
mando-se VR com VC, isto é: 
 VG = VR + VC 
se dividirmos esta expressão por I , resulta: 
 
 VG = VR + VC 
 I I I 
 
onde VG = Z = impedância complexa do circuito 
 I 
 
 VR = R = resistência do circuito 
 I 
 
 VC = -j 
1 
= 
1 
= reatância do capacitor
 
 
 
 I 
ωC
 
 jωC 
Eletricidade VI Página 10 Circuitos RL, RC e RLC – nº Complexos 
 
desta forma, a impedância do circuito valerá: 
 
 
 
 
Exemplo 7: 
 
 Com relação ao circuito, pede-se: 
 
a) impedância complexa 
b) expressão matemática da corrente 
c) desenhe o diagrama fasorial 
 
 
 
 
 10 0º XC = 3Ω 10 0º Z 
 
 
 
Solução: 
 
a) Z = 4 - j3 = 5 -37º 
 
 4 
 φ 
 
 
 -j3 Z 
 
 
b)
 I = 
VG 
= 
10 0º 
= 2 37º 
 
 
 
Z 5 -37º 
 ( )º37sen.2.2 += ti ω 
 
 I(2A) 
 
 37º 
 53º VG (10V) 
 
 
 VC(6V) 
 VC = XC . I = 3 -90º . 2 37º = 6 -53º 
 
 Z = R - j 
1 
= 
1 
= R + 
1 
 
 
 
ωCjωC jωC 
 
 R=4Ω 
I I I 
Eletricidade VI Página 11 Circuitos RL, RC e RLC – nº Complexos 
Exemplo 8: 
 No circuito, determinar: 
a) impedância complexa 
b) expressão matemática da corrente do gerador 
c) desenhar o diagrama fasorial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
 
( ) ( )Atseni
Z
VIb
Z
jjXRZ
C
Xa
G
G
G
C
º30.2.84,0
º3084,0
º305,130
º0110)
º305,130
º605,304
º9039750
265150
º90265.º0150//
265
10.1377
11) 6
+=
=
−
==
−=
−
−
=
−
−
==
Ω=
×
==
•
•
•
•
•••
−
•
ω
ω
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hz60
º0110
 R
 
IG 
C Hz60
º0110
 Z
 
 
IG 
 
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Circuitos Mistos 
 
 Na resolução de um circuito com mais de uma malha, é que aparece a vantagem da 
resolução, usando números complexos. 
 
Exemplo 9: 
 
 Para o circuito determinar: 
a) impedância complexa 
b) corrente do gerador em cada ramo 
c) diagrama fasorial 
 
Solução: 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( )
º8,346,35
º45141
º8,795026
100100
º583,94.º8,795026
80502050
º583,94.º8,213,53
º583,948050
º8,213,532050
2
1
21
1
=
=
+
=
+++
=
=+=
=+=
+
×
=
•
•
•
•
••
••
•
Z
jjjZ
jZ
jZ
ZZ
ZZ
Z
 
 
b) º8,3409,3
º8,346,35
º0110
−===
•
•
•
Z
V
I GG c) 
 ( ) ( )Atsenig 8,34.2.09,3 −= ω 
 º8,2106,2
º8,213,53
º0110
1
1 −===
•
•
•
Z
V
I G 
 ( ) ( )Atseni º8,21.2.06,21 −= ω 
 º5816,1
º583,94
º0110
2
2 −===
•
•
•
Z
V
I G 
R1=50Ω 
XL1=20Ω 
I1 I2 
IG 
VG 
Z1 Z2 
I1 I2 
IG 
110 0º
 
Z 
IG 
VG 
 
R2=50Ω 
XL2=80Ω ( )Vtsenvg ω.2.110= 
I1=(2,06A) 
I =(2,06A) 
I2=(1,16A) 
 
VG=110V 
IG=(3,09A) 
 
º8,21=α 
º8,34=β 
º58=θ 
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Exemplo 10: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( )
( )Ω−=−=
−
−
=
−
−
=
−++
−
=
−=−=
=+=
+
×
=
•
•
•
•
••
••
•
5,049,3º2,853,3
º1,807,7
º3,1625
17
º13,1625
4334
º1,535.º8,365
º1,53543
º8,36534
2
1
21
21
jZ
jjjZ
jZ
jZ
ZZ
ZZZ
 
 
b) º2,9811,31
º2,853,3
º90110
−=
−
==
•
•
•
Z
VI GG c) 
 ( )A
Z
VI G º2,5322
º8,365
º90110
1
1 −===
•
•
•
 
 ( ) ( )Atseni º2,53.2.221 −= ω 
 ( )A
Z
VI G º1,14322
º1,535
º90110
2
2 =
−
==
•
•
•
 
 ( ) ( )Atseni º1,143.2.222 += ω 
R1=4Ω 
XL1=3Ω 
I1 I2 
IG 
VG 
Z1 Z2 
I1 I2 
IG 
110 90º
 
Z 
IG 
VG 
 
R2=3Ω 
XC1=4Ω 
( ) ( )Vtvg º90.2.110 += ω 
No circuito, determinar: 
 
a) impedância do circuito 
b)
•••
21, IeIIG 
c) diagrama fasorial 
d) expressão matemática de I1 e I2 
I2=(22A) 
I1=(22A) 
IG=(31,11A) VG=110V 
 
º2,8=φ 
α=143º 
θ=98,2º 
 λ=53,2º 
Eletricidade VI Página 14 Circuitos RL, RC e RLC – nº Complexos 
 
 
 
 
 
 
Eletricidade VI Página 15 Circuitos RL, RC e RLC – nº Complexos 
 NÚMEROS COMPLEXOS 
 EXERCÍCIOS CIRCUITOS RL, RC e RLC Série e Paralelo 
 
CIRCUITOS RL Série 
 
01 – Determinar a impedância, a corrente, a tensão no resistor, a tensão no indutor, a expressão 
 matemática da corrente e complete o diagrama fasorial, do circuito RL Série a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02 – Determinar a impedância, todas as correntes do circuito e fazer o diagrama fasorial. 
 
 
 IR IL 
 VG=220 0º 
 200Ω XL= 400Ω VG= ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dados: ( ) ( )Vtsenvg º90250 +⋅⋅= ω 
 
 VG = 50 90º 
 
R = 25Ω 
XL = 40Ω 
 
VG = 50V 
 
I 
VG 
 
 
θ=32,1º 
Φ= λ=90º 
VG= 220 0º Z 
Φ= 
 VG IR 
 
Eletricidade VI Página 16 Circuitos RL, RC e RLC – nº Complexos 
03 – Com relação ao circuito, pede-se: 
 
 
 
 
 
 VG= ? 
 
 
 
 
 a) 
 
 
 
 
 b) 
 
 
 
 c) 
 
 c) 
 
 
 d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 0º I XC=15Ω 
 
R=15Ω 
a) impedância complexa 
b) corrente 
c) tensão VR e VC 
d) expressões matemáticas da tensão, 
 VG , VR e VC 
e) completar o diagrama fasorial 
Ø=59º 
 VR 
 
Ø1= 
Eletricidade VI Página 17 Circuitos RL, RC e RLC – nº Complexos 
04 – No circuito determinar:VG=127 60º 
 60Hz VG= ? 
 
 
 
 
 a) 
 
 
 
 
 
 
 b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 d) 
 
 
 
 
 
 e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R 900Ω 
I 
 
IC IR 
C 20µF 
a) reatância capacitiva 
b) impedância complexa 
c) corrente I , IR e IC 
d) expressões matemáticas das corrente 
 I , IR, IC e VG. 
e) completar o diagrama fasorial 
i 
Ø3=60º 
 
Ø3=150º 
 
vG 
 
Eletricidade VI Página 18 Circuitos RL, RC e RLC – nº Complexos 
05 – No circuito determinar: 
 
 
 
 
VG=110 0º 
 60Hz VG= ? 
 
 
 
 
 a) 
 
 
 
 
 
 
 b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 c) 
 
 
 
 
 
 
 d) 
 
 
 e) 
 
 
 
 
 f) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R 150Ω 
I 
 
IC IR 
C 10µF 
a) reatância capacitiva 
b) impedância complexa 
c) corrente I , IR e IC 
d) ângulo de defasagem Φ
 
e) potência aparente, real e reativa 
f) fazer o diagrama fasorial 
 
Eletricidade VI Página 19 Circuitos RL, RC e RLC – nº Complexos 
06 – No circuito, determinar: a) Impedância complexa. 
 b) IG , I1 , I2.. 
 c) diagrama fasorial. 
 IG 
 
 I 1 I 2 vG = 150 . √ 2 . sen ωt (V) 
 
 VG = 150 30º 
 150 30º 
 
 XL1 XC1 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
a) 
 IG IG 
 
 I 1 I 2 
 
 150 30º 150 30º Z 
 
 
 
 
 
 a) 
 
 Z2 = 25 - j12 → Z2 = 27,73 -25,64º 
 
 
 Z1 x Z2 26,9 48º x 27,73 -25,64º 729,02 22,36º 
 Z = → Z = → Z = → 
 Z1 + Z2 (18+j20) + (25-j12) 43 + j8 
 
 729,02 22,36º
 
 Z = → Z = 16,67 11,83º c c) c 
 43,73 10,53 
 
 
 
 
 b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
σ
 
= 18º 
 
VG 
DADOS: 
 
R 1 = 18 Ω X L 1 = 20 Ω 
 
R 2 = 25 Ω X C 2 = 12 Ω 
R1 R2 
Z1 Z2 
Φ= 11,83º 
α= 30º 
λ=55º 
 
θ= 18,17º 
 
Ø =11,83º 
Eletricidade VI Página 20 Circuitos RL, RC e RLC – nº Complexos 
 
07 – Determinar VG no circuito. 
 
 R 
 
 10 0º 
 
 
 60Hz 
 
 
 
 
 R 
 
 IZ3=10 0º 
 
 
 60Hz 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10
 
 
 
 20 -j10 
J20 
10 
valores em ohms 
Z 3
=
 
 
 
 Z1= 
Z 2
=
 
 
 
V
A
B
 
I 
 Z1= 
Z 4
=
 
Z 2
 
// 
Z 3
 
j20
 
A 
B 
Seqüência de cálculos: 
 
1 – extrair do circuito as equações das impedân- 
 cias na forma retangular e, convertê-las para 
 a forma polar. 
2 – calcular a tensão VAB. 
3 – calcular a impedância Z4. 
4 – calcular a correntetotal ( I ) do circuito.
 
5 – calcular a impedância total ( ZT ) do circuito. 
6 – calcular VG. 
 
Eletricidade VI Página 21 Circuitos RL, RC e RLC – nº Complexos 
BIBLIOGRAFIA 
_________________________________________________________ 
 
 
 - Albuquerque, Rômulo Oliveira – Análise de circuitos em corrente alternada 
 5º EDIÇÃO - Editora ÉRICA