Sistemas Numéricos

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Notas de aula #1: Sistemas numéricos 
EL66J 1/7 
 
UTFPR 
Disciplina: EL66J 
Prof. Gustavo B. Borba 
Notas de aula #1 
SISTEMAS NUMÉRICOS 
 
- Notação posicional 
Definição: A posição de cada algarismo no número indica a sua magnitude. 
A magnitude também é chamada de peso. 
Exemplo: 
O sistema numérico que usamos no dia-a-dia é o decimal. O sistema numérico decimal possui 
este nome porque é composto por 10 algarismos (ou símbolos): 0, 1, ..., 9. O sistema decimal 
também é chamado de sistema da base 10. Assim, no sistema decimal, os pesos são 
potências de 10: 100, 101, 102, 103, e assim por diante. Por exemplo, para o número 1328 
decimal (132810): 
 103 102 101 100  pesos 
 1 3 2 8 10  número 
     
 algarismos 
Então: 
132810 = 11000 + 3100 + 210 + 81 
 
- Sistema decimal [base 10] 
Composto por 10 algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 
- Sistema binário [base 2] 
Composto por 2 algarismos: 0, 1. 
Nos circuitos digitais os sinais possuem duas condições válidas, como por exemplo: baixo ou alto, 
carregado ou descarregado, aberto ou fechado, desligado ou ligado. Assim, os sinais nestes 
circuitos são interpretados como os zeros (0) e uns (1) do sistema binário. Portanto, os circuitos 
digitais utilizam o sistema numérico binário para representar os números. Os algarismos do 
sistema binário, 0 e 1, são chamados de bits (binary digits). 
- Sistema octal [base 8] 
Composto por 8 algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 
- Sistema hexadecimal (também chamado de hexa) [base 16] 
Composto por 16 algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. 
 
- Contagem decimal binário decimal octal decimal hexa 
 0 0 0 0 0 0 
 1 1 1 1 1 1 
 2 10 2 2 2 2 
 3 11 3 3 3 3 
 4 100 4 4 4 4 
 5 101 5 5 5 5 
 6 110 6 6 6 6 
 7 111 7 7 7 7 
 8 1000 8 10 8 8 
 9 1001 9 11 9 9 
 10 1010 10 12 10 A 
 11 1011 11 13 11 B 
 12 1100 12 14 12 C 
 13 1101 13 15 13 D 
 14 1110 14 16 14 E 
 15 1111 15 17 15 F 
 16 10000 16 20 16 10 
 17 10001 17 21 17 11 
 18 10010 18 22 18 12 
 19 10011 19 23 19 13 
 ... ... ... ... ... ... 
 Notas de aula #1: Sistemas numéricos 
EL66J 2/7 
- Conversão ‘qualquer base’  decimal 
 Aplicar notação posicional 
Exemplos: 
 
 1. 1001112 = ?10 
 25 24 23 22 21 20  pesos 
 1 0 0 1 1 1 2 
 
132 + 016 + 08 + 14 + 12 + 11 = 
 32 + 0 + 0 + 4 + 2 + 1 = 39 
Resposta: 
1001112 = 3910 
 
 2. 5278 = ?10 
82 81 80  pesos 
5 2 7 8 
 
564 + 28 + 71 = 
 320 + 16 + 7 = 343 
Resposta: 
5278 = 34310 
 
 
 3. 19C16 = ?10 
162 161 160  pesos 
1 9 C16 
 
1256 + 916 + 121 = 
 256 + 144 + 12 = 412 
Resposta: 
19C16 = 41210 
 
 
- Conversão decimal  ‘qualquer base’ 
 Aplicar divisões sucessivas 
Exemplos: 
 
 4. 3910 = ?2 
 39 2 Resposta: 
 
 19 19 2 3910 = 1001112 
 
 1 1 9 2 
 
 1 4 2 
 
 0 2 2 
 0 1 
 
 
 
 5. 34310 = ?8 
 343 8 Resposta: 
 
 23 42 8 34310 = 5278 
 
 7 2 5 
 
 
 
 
 6. 41210 = ?16 
 412 16 Resposta: 
 
 C 92 25 16 41210 = 19C16 
 
 12 9 1 
 
 
 
 
“Pegar” o último 
resultado e os 
restos das divisões 
“Pegar” o último 
resultado e os 
restos das divisões 
“Pegar” o último 
resultado e os 
restos das divisões 
 Notas de aula #1: Sistemas numéricos 
EL66J 3/7 
 
- LSB e MSB 
 Em um número binário, o bit “mais da direita” é chamado de Least Significant Bit (LSB)– bit 
menos significativo, pois possui o menor peso. Já o bit “mais da esquerda” é chamado de Most 
Significant Bit (MSB) – bit mais significativo, pois possui o maior peso. 
Exemplo: 
 1 0 1 1 0 0 2 
 MSB LSB 
 
 
- Conversão binário  octal 
A conversão é imediata: agrupar os bits de 
3 em 3 a partir do LSB e substituir cada 
grupo pelo seu octal equivalente. (Tabela 
binário  octal ao lado) 
- Conversão octal  binário 
A conversão é imediata: substituir cada 
algarismo octal pelo seu grupo de 3 bits 
equivalente. (Tabela binário  octal ao lado) 
 
- Conversão binário hexa 
A conversão é imediata: agrupar os bits de 
4 em 4 a partir do LSB e substituir cada 
grupo pelo seu hexa equivalente. (Tabela 
binário  hexa ao lado) 
- Conversão hexa  binário 
A conversão é imediata: substituir cada 
algarismo hexa pelo seu grupo de 4 bits 
equivalente. (Tabela binário  hexa ao lado) 
 
octal 
grupo de 
3 bits 
 
hexa 
grupo de 
4 bits 
 0 000 0 0000 
 1 001 1 0001 
 2 010 2 0010 
 3 011 3 0011 
 4 100 4 0100 
 5 101 5 0101 
 6 110 6 0110 
 7 111 7 0111 
 binário  octal 8 1000 
 9 1001 
 A 1010 
 B 1011 
 C 1100 
 D 1101 
 E 1110 
 F 1111 
 binário  hexa 
 
Exemplos: 
 
 7a. 1010101112 = ?8 7b. 101102 = ?8 7c. 10011111002 = ?8 
 
    
 
 101 010 111 010 110 001 001 111 100 
 5 2 7 2 6 1 1 7 4 
 
 Resposta: Resposta: Resposta: 
 1010101112 = 5278 101102 = 268 10011111002 = 11748 
 
 8a. 5278 = ?2 8b. 148 = ?2 8c. 20608 = ?2 
 
 5 2 7 1 4 2 0 6 0 
          
 101 010 111 001 100 010 000 110 000 
 
 Resposta: Resposta: Resposta: 
 5278 = 1010101112 148 = 11002 20608 = 100001100002 
 
 
 
 
 
 Notas de aula #1: Sistemas numéricos 
EL66J 4/7 
 9a. 1100111002 = ?16 9b. 111100012 = ?16 9c. 10011111002 = ?16 
 
    
 
 0001 1001 1100 1111 0001 0010 0111 1100 
 1 9 C F 1 2 7 C 
 
 Resposta: Resposta: Resposta: 
 1100111002 = 19C16 111100012 = F116 10011111002 = 11748 
 
 10a. 63D16 = ?2 10b. F116 = ?2 10c. A5B16 = ?2 
 
 6 3 D F 1 A 5 B 
         
 0110 0011 1101 1111 0001 1010 0101 1011 
 
 Resposta: Resposta: Resposta: 
 63D8 = 110001111012 F116 = 111100012 A5B16 = 1010010110112 
 
- Conversão binário fracionário  decimal 
Aplicar notação posicional 
Exemplos: 
 
 11a. 0,1012 = ?10 
 20 2-1 2-2 2-3  pesos 
 0 , 1 0 1 
 
00 + 1(1/2) + 0(1/4) + 1(1/8) = 
 0 + 0,5 + 0 + 0,125 = 0,625 
Resposta: 
0,1012 = 0,62510 
 
 11b. 0,01012 = ?10 
 20 2-1 2-2 2-3 2-4  pesos 
 0 , 0 1 0 1 
 
00 + 0(1/2) + 1(1/4) + 1(1/8) + 1(1/16) = 
 0 + 0 + 0,25 + 0 + 0,0625 = 0,3125 
Resposta: 
0,01012 = 0,312510 
 
- Conversão decimal fracionário  binário 
Aplicar multiplicações sucessivas 
Exemplos: 
 
12a. 0,62510 = ?2 
0,625 
2 
 
12b. 0,810 = ?2 
0,8 
2 
 
 1,250 1,6 
   
 0,250 
2 
 0,6 
2 
 
 0,500 
2 
 1,2 
 
 
 1,000 0,2 
2 
 
 Resposta:0,62510 = 0,1012 
 0,4 
2 
 Resposta: 
 0,810 = 0,11001100...2 
 
 
 0,8 
 ... 
 Notas de aula #1: Sistemas numéricos 
EL66J 5/7 
 
- Conversão binário fracionário  octal 
A conversão é imediata: agrupar os bits de 3 em 3 a partir da “,” e substituir cada grupo pelo 
seu octal equivalente. (Tabela binário  octal) 
- Conversão octal fracionário  binário 
A conversão é imediata: substituir cada algarismo octal pelo seu grupo de 3 bits equivalente. 
(Tabela binário  octal) 
 
- Conversão binário fracionário  hexa 
A conversão é imediata: agrupar os bits de 4 em 4 a partir da “,” e substituir cada grupo pelo 
seu hexa equivalente. (Tabela binário  hexa) 
- Conversão hexa fracionário  binário 
A conversão é imediata: substituir cada algarismo hexa pelo seu grupo de 4 bits equivalente. 
(Tabela binário  hexa) 
 
Exemplos: 
 
 13a. 0,1012 = ?8 13b. 0,10112 = ?8 
 
   
 
 0 , 101 0 , 101 100 
 0 , 5 0 , 5 4 
 
 Resposta: Resposta: 
 0,1012 = 0,58 0,10112 = 0,548 
 
 14a. 0,548 = ?2 14b. 0,078 = ?2 
 
 0 , 5 4 0 , 0 7 
       
 000 , 101 100 000 , 000 111 
 
 Resposta: Resposta: 
 0,548 = 0,10112 0,078 = 0,0001112 
 
 15a. 0,10112 = ?16 15b. 0,1110012 = ?16 
 
   
 
 0 , 1011 0 , 1110 0100 
 0 , B 0 , E 4 
 
 Resposta: Resposta: 
 0,10112 = 0,B16 0,1110012 = 0,E416 
 
 16a. 0,E416 = ?2 16b. 0,0A16 = ?2 
 
 0 , E 4 0 , 0 A 
       
 0000 , 1110 0100 0000 , 0000 1010 
 
 Resposta: Resposta: 
 0,E416 = 0,1110012 0,0A16 = 0,00001012 
 
 Notas de aula #1: Sistemas numéricos 
EL66J 6/7 
 
NA PRÁTICA 
 
- Conversão decimal  binário, através do método ‘soma de pesos’ 
 Exemplo: 3910 = ?2 
 
Passo 1. Fazer campos para os bits e colocar seus respectivos pesos: 
 
 64 32 16 8 4 2 1 
... 2 
 
Passo 2. Colocar bit 1 nos pesos que se deseja somar e bit 0 nos pesos que não se deseja somar, 
até atingir o decimal em questão. Neste exemplo, o objetivo é somar 39, pois estamos 
convertendo 3910 para binário: 
 
 64 32 16 8 4 2 1 
... 0 1 0 0 1 1 1 2 
 
 Concluído! Não foi necessário utilizar o método das divisões sucessivas. 
A resposta é: 3910 = 1001112 
 
- Sistemas octal e hexa 
 Em eletrônica digital, os sistemas numéricos octal e hexadecimal servem para representar os 
números binários de forma compacta. Em outras palavras, servem para facilitar a visualização e a 
documentação dos números binários. 
Um exemplo simples: apesar de E616 e 111001102 representarem o mesmo valor, é mais fácil 
dizer (ou escrever) E616, do que dizer (ou escrever) 111001102. 
 E por que não usar simplemente o decimal para fazer este trabalho? Resposta: porque, como 
vimos anteriormente, as conversões binário  octal e binário  hexa são imediatas, isto é, basta 
uma simples substituição. 
 
 - Contagem em binário 
 
 - Caminhos práticos para as conversões 
 
 
 
 decimal binário 
 0 0 0 0 0 
 1 0 0 0 1 
 2 0 0 1 0 
 3 0 0 1 1 
 4 0 1 0 0 
 5 0 1 0 1 
 6 0 1 1 0 
 7 0 1 1 1 
 8 1 0 0 0 
 9 1 0 0 1 
 10 1 0 1 0 
 11 1 0 1 1 
 12 1 1 0 0 
 13 1 1 0 1 
 14 1 1 1 0 
 15 1 1 1 1 
 LSB 
“Inicia com todos os bits em 0. 
O bit LSB inverte de 1 em 1, o próximo bit inverte 
de 2 em 2, o próximo bit inverte de 4 em 4, e 
assim por diante.” 
 
 
 Notas de aula #1: Sistemas numéricos 
EL66J 7/7 
- Outros detalhes importantes 
 
 Com um número binário de N bits (algarismos) é possível representar 2N números decimais. 
O menor decimal é 0 e o maior decimal é 2N – 1. 
Exemplo: 
 Para um número binário de 8 bits: 
 Menor decimal = 0 
 Maior decimal = 2N – 1 = 28 – 1 = 256 – 1 = 255 
 
 Um grupo de 4 bits é chamado de nibble. 
 
 Um grupo de 8 bits é chamado de byte.