ACQF Cálculo III - UNIUBE

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A integral dupla ∫ ∫
𝒆𝟐𝒙+𝟑𝒚
𝒆𝟑𝒙+𝟐𝒚
𝐥𝐧 𝟑
𝟎
𝐥𝐧 𝟒
𝐥𝐧 𝟐
𝒅𝒙 𝒅𝒚, é: 
∫
𝑒2𝑥+3𝑦
𝑒3𝑥+2𝑦
𝑙𝑛3
0
𝑑𝑥 => 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 ∫ −𝑒−𝑥+𝑦 + 𝐶 
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 ∫
𝑒2𝑥+3𝑦
𝑒3𝑥+2𝑦
𝑙𝑛3
0
𝑑𝑥 => −
1
2
𝑒𝑦 − (−𝑒𝑦) 
2
3
𝑒𝑦 => ∫
2
3
𝑒𝑦
𝑙𝑛4
𝑙𝑛2
𝑑𝑦 =>
8
3
−
4
3
 =>
𝟒
𝟑
 
 
1. A integral tripla : 𝑉 = ∫ ∫ ∫ 𝒅𝒛 𝒅𝒚 𝒅𝒙
𝟒−𝟐𝒙−𝒚
𝟎
𝟒−𝟐𝒙
𝟎
𝟐
𝟎
 pode ser utilizada para calcular o volume do sólido limitado 
pelos planos coordenados e pelo plano 𝟐𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟒. 
Assim, assinale a alternativa que indica o valor mais próximo de V. 
∫ 𝑑𝑧
4−2𝑥−𝑦
0
 => 𝑧 ∫ 𝑧
4−2𝑥−𝑦
0
 = 4 − 2𝑥 − 𝑦 
 
∫ (4 − 2𝑥 − 𝑦
4−2𝑥
0
)𝑑𝑦 => ∫ 4𝑦 − 2𝑥𝑦 −
𝑦2
2
4−2𝑥
0
 
4(4 − 2𝑥) − 2𝑥(4 − 2𝑥) −
1
2
(4 − 2𝑥)2 
16 − 8𝑥 − 8𝑥 + 4𝑥2 −
1
2
(16 − 16𝑥 + 4𝑥2) 
16 − 16𝑥 + 4𝑥2 − 8 + 8𝑥 − 2𝑥2 
8 − 8𝑥 + 2𝑥2 𝑜𝑟𝑔𝑛𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 2𝑥2 − 8𝑥 + 8 
 
∫ 2𝑥2 − 8𝑥 + 8
2
0
𝑑𝑥 =>
2𝑥3
3
−
8𝑥2
2
+ 8𝑥 
2(2)3
3
− 4(2)2 + 8(2) 
16
3
− 16 + 16 
𝟏𝟔
𝟑
 
2. Quando falamos em campos existem três operações que são indispensáveis: gradiente, divergente e rotacional. 
Considere o campo vetorial F(x,y,z)=xyzi−x
2
yk o divergente vale: 
divergence : 
𝑑𝑖𝑣 �⃗� = ∇⃗⃗⃗ ∗ �⃗� = (
𝛼
𝛼𝑥
,
𝛼
𝛼𝑦
,
𝛼
𝛼𝑧
) ∗ (𝑥𝑦𝑧, 0, −𝑥2𝑦) 
𝐹 =
𝛼
𝛼𝑥
(𝑥𝑦𝑧) +
𝛼
𝛼𝑦
(0) +
𝛼
𝛼𝑧
(−𝑥2𝑦) 
𝐹 = 𝑦𝑧 + 0 + 0 => 𝑭 = 𝒚𝒛 
3. Em matemática, o teorema de Green relaciona a integral de linha ao longo de uma curva fechada no plano com 
a integral dupla sobre a região limitada por essa curva. 
 
O Teorema de Green estabelece uma condição necessária e suficiente para que um campo vetorial derivável, definido 
em seja conservativo. 
 
 
 
 
4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. A integral de linha ∫ (𝑥 + 𝑦2 − 𝑧)𝑐 𝑑𝑠 em que C, é o segmento de reta de equações: x=t; y=1+2t e z=3-2t, com 0 
≤ t ≤ 1 de A(0, 1, 3) e B(1, 3, 1) vale: 
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐵 − 𝐴 = (1, 3, 1) − (0, 1, 3) => 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = (1, 2, −2) 
 𝐶 = {
𝑥 = 𝑥1 + 𝑎𝑡
𝑦 = 𝑦1 + 𝑏𝑡
𝑧 = 𝑧1 + 𝑐𝑡
 => 𝐶 = {
𝑥(𝑡) = 0 + 1𝑡 
𝑦(𝑡) = 1 + 2𝑡 
𝑧(𝑡) = 3 + (−2𝑡) 
 => 𝐶 = {
𝑥 = 𝑡 
𝑦 = 1 + 2𝑡
𝑧 = 3 − 2𝑡
 
∫ (𝑥 + 𝑦2 − 𝑧)
1
0
𝑑𝑠 
∫ 𝑡 + (1 + 2𝑡)2 − (3 − 2𝑡)
1
0
∗ √12 + 22 + (−2)2 𝑑𝑡 
∫ 𝑡 +
1
0
(1 + 4𝑡 + 4𝑡2) − (3 − 2𝑡) ∗ √1 + 4 + 4 𝑑𝑡 
∫ 𝑡 + (1 + 4𝑡 + 4𝑡2) − 3 + 2𝑡
1
0
∗ 3 𝑑𝑡 
3 ∫ 7𝑡 + 4𝑡2 − 2
1
0
𝑑𝑡 => 3 |
7𝑡2
2
+
4𝑡3
3
− 2𝑡 |
1
0
 
3 |(
7(1)2
2
+
4(1)3
3
− 2(1)) − (
7(0)2
2
+
4(0)3
3
− 2) 
3 ∗ (
7
2
+
4
3
− 2) => 3 ∗
17
6
 
𝟏𝟕
𝟐
 => 𝟖, 𝟓 
6. Dentre as alternativas a seguir, qual apresenta o valor da integral de linha ∫ �⃗�𝑐 . 𝑑𝑟, do campo vetorial �⃗� =
(2𝑥𝑧 + 𝑦2)𝑖 + 2𝑥𝑦𝑗 + (𝑥2 + 3𝑧2)�⃗⃗�, ao longo da curva C: 𝑥 = 𝑡2; 𝑦 = 𝑡 − 1; 
𝑧 = 2𝑡, com 0 ≤ 𝑡 ≤ 1: 
𝐼𝑐 = �⃗� = (2𝑥𝑧 + 𝑦2)𝑖 + 2𝑥𝑦𝑗 + (𝑥2 + 3𝑧2)�⃗⃗� 
𝐶 = {
𝑥 = 𝑡2 
𝑦 = 𝑡 − 1
𝑧 = 2𝑡 
 => 0 ≤ 𝑡 ≤ 1 
𝑟𝑡⃗⃗⃗ = 𝑡
2𝑖 (𝑡 − 1)𝑗 2𝑡�⃗⃗� 𝑜𝑢 𝑟𝑡⃗⃗⃗ = (𝑡
2, 𝑡 − 1, 2𝑡) 
 𝑟′𝑡⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (2𝑡, 1, 2) 
𝐹(𝑟)𝑡⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (2𝑥𝑧 + 𝑦
2)𝑖 + 2𝑥𝑦𝑗 + (𝑥2 + 3𝑧2)�⃗⃗� => 
𝐹(𝑟)𝑡⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (2 ∗ 𝑡
2 ∗ 2 ∗ 𝑡 + (𝑡 − 1)2)𝑖 + 2 ∗ 𝑡2 ∗ (𝑡 − 1)𝑗 + ((𝑡2)2 + 3 ∗ (2𝑡)2)�⃗⃗� 
𝐹(𝑟)𝑡⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (4𝑡
3 + 𝑡2 − 2𝑡 + 1)𝑖 + (2𝑡3 − 2𝑡²)𝑗 + (𝑡4 + 12𝑡2)�⃗⃗� 
𝐹(𝑟)𝑡⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ . 𝑟′𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
𝐹(𝑟)𝑡⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (4𝑡
3 + 𝑡2 − 2𝑡 + 1)𝑖 + (2𝑡3 − 2𝑡²)𝑗 + (𝑡4 + 12𝑡2)�⃗⃗� . (2𝑡, 1, 2) 
𝐹(𝑟)𝑡⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ . 𝑟′𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (8𝑡
4 + 2𝑡3 − 4𝑡² + 2𝑡)𝑖 + (2𝑡3 − 2𝑡²)𝑗 + (2𝑡4 + 24𝑡2)�⃗⃗� 
𝐼𝑐 = ∫ (8𝑡4 + 2𝑡3 − 4𝑡² + 2𝑡 + (2𝑡3 − 2𝑡²) + (𝑡4 + 24𝑡2)
1
0
𝑑𝑡 
𝐼𝑐 = ∫ 8𝑡4 + 2𝑡3 − 4𝑡² + 2𝑡
1
0
𝑑𝑡 + ∫ 2𝑡3 − 2𝑡²
1
0
𝑑𝑡 + ∫ 2𝑡4 + 24𝑡2
1
0
𝑑𝑡 
𝐼𝑐 = ∫
8𝑡4+1
4 + 1
+
2𝑡4
4
1
0
−
4𝑡3
3
+
2𝑡2
2
𝑑𝑡 + ∫
2𝑡3+1
3 + 1
−
2𝑡3
3
1
0
𝑑𝑡 + ∫
𝑡5
5
1
0
+
24𝑡³
3
𝑑𝑡 
𝐼𝑐 = ∫
8𝑡5
5
+
2𝑡4
4
1
0
−
4𝑡3
3
+
2𝑡2
2
|
1
0
 + 
2𝑡4
4
−
2𝑡3
3
|
1
0
 + 
𝑡5
5
+
24𝑡³
3
|
1
0
 
𝐼𝑐 = (
8(1)5
5
−
8(0)5
5
) + (
2(1)4
4
−
2(0)4
4
) − (
4(1)3
3
−
4(0)3
3
) + (
2(1)2
2
−
2(0)2
2
) 𝑖 + 
+𝐼𝑐 = (
2(1)4
4
−
2(0)4
4
) − (
2(1)3
3
−
2(0)3
3
) 𝑗 + 
+𝐼𝑐 (
2(1)5
5
−
(0)5
5
) + (
24(1)3
3
−
24(0)3
3
) �⃗⃗� 
𝐼𝑐 = (
8
5
+
2
4
−
4
3
+
2
2
) + (
2
4
−
2
3
) + (
2
5
+
24
3
) 
𝑰𝒄 = (
𝟓𝟑
𝟑𝟎
−
𝟏
𝟔
+
𝟒𝟐
𝟓
) 
𝑰𝒄 = 𝟏𝟎 
 
 
 
 
7. 
∫ 𝑥2𝑖
1
0
+ 𝑦𝑧𝑗 + 𝑦2�⃗⃗� => ∫ 02
1
0
𝑖 + (3𝑡 ∗ 4𝑡)𝑗 + 3𝑡2 
 ∫ 𝐹
𝑐
. 𝑑𝑟 = ∫ 𝐹(𝑟(𝑡))
𝑏
𝑎
. (𝑟′(𝑡))𝑑𝑡 
∫ 02
1
0
𝑖 + (3𝑡 ∗ 4𝑡)𝑗 + 3𝑡2�⃗⃗� . (0, 3, 4)𝑑𝑡 
∫ 02𝑖 + 12𝑡2
1
0
𝑗 + 3𝑡2�⃗⃗� . (0, 3, 4) => ∫ 36𝑡2
1
0
+ 12𝑡2𝑑𝑡 
36𝑡3
3
|
1
0
+
12𝑡3
3
|
1
0
 =>
36
3
(12 − 02) +
36
3
(12 − 02) 
𝟑𝟔
𝟑
+
𝟑𝟔
𝟑
= 𝟐𝟒 
 
8. 
 
𝑦 = 𝑥2 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝐶 = {
𝑥 = 𝑡 => 𝑑𝑥 = 1𝑑𝑡
𝑦 = 𝑡2 => 𝑑𝑦 = 2𝑡𝑑𝑡
 = (1, 2𝑡)𝑑𝑡 
𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 (0, 0)𝑎(2, 4) => 0 ≤ 𝑡 ≤ 2 
∫ 𝑦2
𝑐
𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 => ∫ 𝐹(𝑥(𝑡))
𝑏
𝑎
 . (𝑦(𝑡)) 
∫ (𝑡2)2
2
0
𝑖 + 𝑡𝑗 . (1, 2𝑡)𝑑𝑡 => ∫ 𝑡4
2
0
𝑑𝑡 + ∫ 2𝑡2
2
0
𝑑𝑡 
𝑡5
5
|
2
0
+
2𝑡3
3
|
2
0
 =>
1
5
(25 − 05) +
2
3
(23 − 03) 
1
5
∗ 32 +
2
3
∗ 8 =>
32
5
+
16
3
 
176
15
 => 𝟏𝟏, 𝟕𝟑 
 
 
9. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. Sabendo que o trabalho realizado por um campo de força é dado por 𝑊 = ∫ �⃗�𝐶 . 𝑑𝑟 = ∫ �⃗�
𝑏
𝑎
𝑟(𝑡) . 𝑟′(𝑡)𝑑𝑡. 
Então, o trabalho, em jaule realizado pelo campo de força �⃗�(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦𝑖 − 𝑥𝑗 para mover uma partícula ao 
longo do arco da parábola de equação: y=1-x², de (0, 0) a (2, 4), vale: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. 
 
 
 
𝑟𝑡 = 𝑡
2𝑖1 − 𝑡𝑗 => 𝑟′𝑡 = 2𝑡𝑖, 1𝑗 
�⃗�𝑟𝑡 = (𝑥
3𝑦2)𝑖 − 𝑦√𝑥𝑗 => �⃗�𝑟𝑡 = ((𝑡
2)3 ∗ (1 − 𝑡)2𝑖 − (1 − 𝑡 ∗ √𝑡2) 
�⃗�𝑟𝑡 = (𝑡
5 ∗ (1 − 2𝑡 + 𝑡2)𝑖 − (1 − 𝑡2)𝑗 
�⃗�𝑟𝑡 = (𝑡
5 − 2𝑡6 + 𝑡7)𝑖 − (1 − 𝑡2)𝑗 
�⃗�𝑟𝑡 . 𝑟′𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
�⃗�𝑟𝑡 . 𝑟′𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑡
5 − 2𝑡6 + 𝑡7)𝑖 − (1 − 𝑡2)𝑗 . (2𝑡, 1) 
�⃗�𝑟𝑡 . 𝑟′𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (2𝑡
6 − 4𝑡7 + 2𝑡8)𝑖 − (1 − 𝑡2)𝑗 
𝐼𝑐 = ∫ (2𝑡6 − 4𝑡7 + 2𝑡8) − (1 − 𝑡2)𝑑𝑡 
1
0
 
𝐼𝑐 = ∫ (2𝑡6 − 4𝑡7 + 2𝑡8)𝑑𝑡 − ∫ (1 − 𝑡2)𝑑𝑡
1
0
 
1
0
 
𝐼𝑐 =
2𝑡7
7
−
4𝑡8
8
+
2𝑡9
9
|
1
0
−
𝑡
2
−
𝑡3
3
|
1
0
 
𝐼𝑐 =
2
7
(17 − 07) −
4
8
(18 − 08) +
2
9
(110 − 010) − 1 − (12 − 0²) 
𝐼𝑐 = −
251
126
 = 𝟏, 𝟗𝟗𝟐12. 
 
∫
2
0 ∫ 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 → 
4−𝑦2
0 ∫ 𝑦(4 − 𝑦
2)𝑑𝑥𝑑𝑦 = 
2
0 ∫ −𝑦
3 + 4𝑦 𝑑𝑦 = 
2
0
[−
𝑦4
4
+ 2𝑦2] = [−
22
4
+ 2(2)2]= 4 
 
13. 
 
 
 
 
 
∫
1
0
∫ √4𝑥2 + 5 𝑑𝑦𝑑𝑥 → 
𝑥
0
∫
1
0
∫ √4𝑥2 + 5 . 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 → 
𝑥
0
∫ [√4𝑥2 + 5 . 𝑥] 𝑑𝑥
1
0
 
∫ √4𝑥2 + 5 . 𝑥 𝑑𝑥 → 
1
0
9
4
−
5√5
12
= 𝟏, 𝟑𝟏 
14. Quando falamos em campos existem três operações que são indispensáveis: gradiente, divergente e 
rotacional. Considere o campo vetorial F(x,y,z)=xyzi − x
2
yk o rotacional vale: 
 Rotacional F = (
𝒅𝒉
𝒅𝒚
−
𝒅𝒈
𝒅𝒛
) 𝒊 + (
𝒅𝒇
𝒅𝒛
−
𝒅𝒉
𝒅𝒙
) 𝒋 + (
𝒅𝒈
𝒅𝒙
−
𝒅𝒇
𝒅𝒚
) 𝒌 
 (-x² - 0)i + (xy - (-2xy)j + (0-xz) => rotacional F = -x² i + 3xy j - xz K 
 
15. 
 
 
x de t = 3 y de t = 4 
∫ 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑦, (𝑡)) . ‖𝑜‖ →
𝑏
𝑎
 ∫
3𝑥𝑦2
20
 . √ (𝑥 𝑑𝑒 𝑡)2 + (𝑦 𝑑𝑒 𝑡)2
1
0
 
 ∫
3(3𝑡 − 1)(4𝑡)2
20
 𝑑𝑡 . √ (3)2 + (4)2
1
0
→ ∫
3(3𝑡 − 1)(4𝑡)2
20
𝑑𝑡 . √ (3)2 + (4)2
1
0
 
3
20
∫ 16𝑡2(3𝑡 − 1) 𝑑𝑡 . 5
1
0
→ 16 . 
3
20
∫ 𝑡2(3𝑡 − 1) 𝑑𝑡 . 5
1
0
→= 16. 
3
20
 ∫ 3𝑡3 − 𝑡2
1
0
 
12
5
∫
3𝑡4
4
−
𝑥3
3
 𝑑𝑡 . 5 
1
0
→ 1 . 5 = 𝟓 
 
16. 
 
 Teoria ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑠 = ∫ 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑦, (𝑡))
𝑏
𝑎𝑐
 𝑦 = 𝑡2 → 𝑑𝑦 = 2𝑡 𝑑𝑡 𝑥 = 𝑡 → 𝑑𝑥 = 1𝑑𝑡 
 
𝑦2𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 → (𝑡2)2. 1 + 𝑡. (2𝑡)𝑑𝑡 = 𝑡4 + 2𝑡2 𝑑𝑡 
 
∫ 𝑡4 + 2𝑡2 𝑑𝑡 → [
𝑡5
5
+
2𝑡3
3
]
2
0
 𝑑𝑡 = [
25
5
+
2(2)3
3
] − [
05
5
+
2(0)3
3
] =
176
15
= 𝟏𝟏, 𝟕𝟑 
 
 
 
17. 
 
 
 
∫ 𝐹. 𝑑𝑟 = ∫ 𝑓(𝑟(𝑡)) . 𝑟(𝑡)𝑑𝑡
𝑏
𝑎𝑐
 
∫ 02 + (3𝑡). (4𝑡) + (3𝑡)2 . (0,3,4)
1
0
𝑑𝑡 
∫ 0 + 12𝑡2. 3 + 9𝑡2. 4 𝑑𝑡 → ∫ 72𝑡2 𝑑𝑡 → 
1
0
∫
72𝑡3
3
 𝑑𝑡 → 
72
3
= 𝟐𝟒 
1
0
 
 
18. A integral de linha ∫ 𝒙𝒚𝒅𝒙 + (𝒙 + 𝒚)𝒅𝒚
𝒄
 em que C é o arco de parábola de equações = 
𝒙 = 𝒕 ; 𝒚 = 𝒕𝟐, 𝒅𝒆 𝑨(−𝟏, 𝟏)𝒂 𝑩(𝟐, 𝟒, )𝒄𝒐𝒎 − 𝟏 ≤ 𝒕 ≤ 𝟐, 𝒗𝒂𝒍𝒆: 
 
Teoria ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑠 = ∫ 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑦, (𝑡))
𝑏
𝑎𝑐
 𝑦 = 𝑡2 → 𝑑𝑦 = 2𝑡 𝑑𝑡 𝑥 = 𝑡 → 𝑑𝑥 = 1𝑑𝑡 
 
𝑥𝑦𝑑𝑥 + (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑦 → 𝑡. 𝑡2. 1 + (𝑡 + 𝑡2). 2𝑡 𝑑𝑡 = 𝑡3 + 2𝑡3 + 2𝑡2 𝑑𝑡 → 3𝑡3 + 2𝑡2 𝑑𝑡 
 
∫ 3𝑡3 + 2𝑡2 𝑑𝑡 → [
3𝑡4
4
+
2𝑡3
3
]
2
−1
 𝑑𝑡 = [
3. (2)4
4
+
2(2)3
3
] − [
3(−1)4
4
+
2(−1)3
3
] =
69
4
= 𝟏𝟕, 𝟐𝟓 
 
19. Calcule a integral iterada ∫ ∫ 𝒓. 𝐜𝐨𝐬(𝜽)𝒅𝒓𝒅𝜽
𝒔𝒆𝒏𝜽
𝟎
𝝅
𝟐
𝟎
 utilizando coordenadas polares. 
 
∫ rcos(θ)dr =
1
2
sin2(θ)cos(θ)
sin(θ)
0
 
 
= ∫
1
2
sin2(θ)cos(θ)dθ
π
2
0
 
∫
1
2
sin2(θ)cos(θ)dθ =
1
6
 − −→ 𝟎, 𝟏𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔
π
2
0
 
 
20. O valor aproximado da integral dupla ∫ ∫ 𝐲 𝐬𝐢𝐧 𝐱 𝐝𝐲𝐝𝐱
𝟏
𝟎
𝟐
𝟎
 é: 
 
∫ 𝑦 sin(𝑥)𝑑𝑦 =
1
2
sin 𝑥
1
0
 
= ∫
1
2
sin(𝑥) 𝑑𝑥
2
0
 
∫
1
2
sin(𝑥) 𝑑𝑥
2
0
 
= −
1
2
cos(2) +
1
2
 − − − − − −−→
= 𝟎. 𝟕𝟎𝟖𝟎𝟕 
 
 
21. Quando falamos em campos existem três operações que são indispensáveis: gradiente, divergente e 
rotacional. 
Considere que F = (xz, yz, –x2) um campo vetorial em R3. Analise as informações a seguir sobre o divergente e o 
rotacional de F: 
 
I) rot F = (–y, 3x, 0) 
 
II) div F = 3z 
 
III) rot(div F) = 0 
 
Está correto o que se declara em: ---R- I e II 
 
 
22. Dentre as alternativas a seguir, qual apresenta o valor mais próximo da integral de linha ∫ �⃗� ∗ 𝑑𝑟𝑐 do campo 
vetorial �⃗� = (−𝑦)𝑖 + (𝑥 + 2𝑦)𝑗 𝑎𝑜 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑐: 𝑥 = cos 𝑡: 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑐𝑜𝑚 0 ≤ 𝑡 ≤
𝜋
2
: 
R- 2,57 
 
 
23. Para campos vetoriais conservativos, existe uma função escalar f, cujo 𝛁𝒇 = �⃗⃗⃗� chamamos esta função de 
função potencial. Assim, o valor da função potencial de �⃗⃗⃗�(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒚²𝒄𝒐𝒔 𝒔𝒊 + (𝒔𝒙𝒚 𝒄𝒐𝒔 𝒔 + 𝟑𝒚𝟐)𝒋 −
𝒙𝒚𝟐𝒔𝒆𝒏 𝒔�⃗⃗⃗� no ponto (1,-2,0), é: 
Obs: Nas alternativas, “C” é uma constante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 ∗ (−22) ∗ cos(0) ÷ 𝑐 − −→ −𝟒 ÷ 𝒄 
 
 
 
 
 
24. Dentre as alternativas a seguir, qual apresenta o valor da integral de linha ∫ �⃗�
𝑐
∗ 𝑑𝑟, do campo vetorial 
�⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−4𝑥𝑦)𝑖 + 8𝑦𝑗 + 𝑧�⃗⃗�, 𝑎𝑜 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎: 𝑟(𝑡) = 𝑡𝑖 + 𝑡²𝑗 + �⃗⃗�, 𝑐𝑜𝑚 0 ≤ 𝑡 ≤ 2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27. 
 
 
 
 
 
 
28. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31. 
 
 
 
 
 
32.