020V12_juros_simples

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Matema´tica
Financeira
Conceito de
juros simples
Fo´rmula do
Juro(J)
Fo´rmulas
derivadas
Plano
financeiro
Fo´rmula do
montante(S)
Fo´rmulas
derivadas
Usando a
Calculadora
Exemplos
Bibliografia
Matema´tica Financeira
Semana 2: Juros simples
Manuela Longoni de Castro
Wili Dal Zot
Departamento de Matema´tica Pura e Aplicada
UFRGS
Matema´tica
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Conceito de
juros simples
Fo´rmula do
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Fo´rmulas
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Fo´rmulas
derivadas
Usando a
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Exemplos
Bibliografia
Conceito de juros simples
No regime ou sistema de juros simples as func¸o˜es exercidas pelo
capital e pelo juro sa˜o bem definidas e distintas uma da outra:
a func¸a˜o do capital e´ dar origem ao juro;
enquanto que o juro e´ o fruto do capital.
O ca´lculo dos juros sempre se da´ a partir do principal original.
Logo na˜o ha´ a possibilidade de juros renderem juros.
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Fo´rmula do
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Fo´rmulas
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montante(S)
Fo´rmulas
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Usando a
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Exemplos
Bibliografia
Fo´rmula do Juro(J)
Considerando que a taxa de juros e´ definida como a relac¸a˜o
entre os juros e o principal na unidade de tempo,
i =
J
P
⇐⇒ J = P .i
Como mencionamos, no sistema de juros simples, o juro sempre
e´ calculado a partir do principal original. Em outras palavras, o
valor dos juros no primeiro periodo e´ igual ao valor dos juros no
segundo periodo e assim por diante. Se denominarmos J1 o
valor dos juros no primeiro per´ıodo, J2 o valor dos juros no
segundo per´ıodo e assim por diante, teremos:
J1 = J2 = ... = Jn = P .i
onde n representa o prazo do empre´stimo.
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Fo´rmula do
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Usando a
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Exemplos
Bibliografia
Fo´rmula do Juro(J)
E quanto ao total J dos juros? Temos:
Ao final do 1o. per´ıodo:
J = J1 = P .i
Ao final do 2o. per´ıodo:
J = J1 + J2 = P .i + P .i = P .i .2
Ao final do 3o. per´ıodo:
J = J1 + J2 + J3 = P .i + P .i + P .i = P .i .3
...
o que nos conduz a` fo´rmula (1):
Juros Simples: valor total dos juros apo´s n per´ıodos
J = P.i .n (1)
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Exemplos
Bibliografia
Exemplo 1
Exemplo 1. Calcular o valor dos juros pagos pelo empre´stimo
de um capital de R$ 2.500,00, a` taxa de juros simples de 2%
ao meˆs, apo´s 4 meses.
Dados:
J =?
P = 2.500, 00 (principal = capital emprestado)
i = 2% = 0, 02 ao meˆs (na equac¸a˜o deve-se usar a forma unita´ria da taxa)
n = 4 meses
Soluc¸a˜o:
J = P .i .n⇒ J = 2500x0, 02x4 = 200, 00
Resposta: Os juros sa˜o de R$ 200,00.
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Bibliografia
Fo´rmulas derivadas
A fo´rmula J = P .i .n relaciona 4 varia´veis: o total dos juros J,
o principal P , a taxa i e o prazo n. Conhecendo-se P , i , e n
podemos utilizar esta fo´rmula para calcular J. Da mesma
forma, conhecendo quaisquer 3 das varia´veis J, P , i ou n
podemos utilizar a fo´rmula J = P .i .n para calcular a inco´gnita
determinada pela 4a varia´vel. Por exemplo: Se conhecemos o
valor de J, i e n, podemos calcular P isolando esta varia´vel na
fo´rmula J = P .i .n:
J = P .i .n⇔ P =
J
i .n
Exerc´ıcio
Obtenha fo´rmulas para i e n a partir da fo´rmula J = P .i .n.
Verifique sua resposta no livro texto [1].
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Exemplos
Bibliografia
Plano financeiro: exemplo
Considere o financiamento de R$ 10.000,00, a uma taxa de
juros simples de 70% ao ano, a ser pago ao final de 4 anos.
Uma forma de demonstrar a evoluc¸a˜o da d´ıvida e´ apresentar
todas as datas em que possa ocorrer uma alterac¸a˜o de valor nos
saldos. Essa forma de apresentac¸a˜o tem diversas denominac¸o˜es:
Plano Financeiro, Conta Gra´fica ou Memo´ria de Ca´lculo.
ano saldo inicial juros simples saldo final
1 10.000 10.000× 0, 70 = 7.000 17.000
2 17.000 10.000× 0, 70 = 7.000 24.000
3 24.000 10.000× 0, 70 = 7.000 31.000
4 31.000 10.000× 0, 70 = 7.000 38.000
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Exemplos
Bibliografia
Plano financeiro: generalizac¸a˜o
Tomando-se a mesma evoluc¸a˜o de um empre´stimo e mudando
os valores pelas varia´veis matema´ticas que os representam
teremos o quadro abaixo que levado exaustivamente para uma
data focal n nos dara´ a fo´rmula do montante S = P(1 + ni)
ano saldo inicial juros saldo final
1 P P .i P + P .i = P(1 + i)
2 P(1 + i) P .i P(1 + i) + P .i = P(1 + 2i)
3 P(1 + 2i) P .i P(1 + 2i) + P .i = P(1 + 3i)
4 P(1 + 3i) P .i P(1 + 3i) + P .i = P(1 + 4i)
... ... ... ...
n P(1 + (n − 1)i) P .i P(1 + (n − 1)i) + P .i
= P(1 + ni)
No exemplo: S = P .(1 + i .n) = 10.000(1 + 4.0.70) = 38.000
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Exemplos
Bibliografia
Montante em juros simples
Equivalentemente, da fo´rmula (1) e da equac¸a˜o de valor
S = P + J temos S = P + P .i .n o que tambe´m nos leva a
fo´rmula do montante:
Fo´rmula do Montante em Juros Simples
S = P(1 + i .n) (2)
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Exemplos
Bibliografia
Fo´rmulas derivadas do montante
Exerc´ıcio
Obtenha fo´rmulas para P , i e n a partir da fo´rmula do
montante S = P(1 + i .n). Verifique sua resposta no livro texto
[1].
Exerc´ıcio
Dados S , i e n; obtenha uma fo´rmula para J.
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derivadas
Usando a
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Exemplos
Bibliografia
Usando a calculadora I
A maioria dos problemas que envolvem Matema´tica Financeira
exigem recursos de ca´lculo que sa˜o encontrados nas
calculadoras financeiras. Elas possuem fo´rmulas
pre´-programadas que simplificam enormemente a resoluc¸a˜o de
problemas financeiros. Quanto a` forma de alimentar os
nu´meros no teclado existem dois sistemas:
modo alge´brico (ALG): forma tradicional comum na
maioria das calculadoras
notac¸a˜o polonesa reversa (RPN): pro´prio das calculadoras
HP
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Usando a calculadora II
Por exemplo, o ca´lculo 2500 × 0, 02 × 4 pode ser resolvido de
maneiras diferentes, conforme o sistema empregado:
Usando a calculadora para computar 2500 × 0, 02 × 4
RPN ALG
2500
✄
✂
�
✁
ENTER 2500
✄
✂
�
✁
×
.02
✄
✂
�
✁
× .02
✄
✂
�
✁
×
4
✄
✂
�
✁
× 4✄
✂
�
✁
=
200,00 200,00
Nos exemplos a seguir,apresentaremos os ca´lculos para ambos
os sistemas.
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Exemplo 2
Exemplo 2. Qual o rendimento de uma aplicac¸a˜o financeira de
R$ 3.589,00, apo´s 139 dias, a uma taxa de 1,90% ao meˆs?
Dados:
J =? (rendimento = juro)
P = 3.589, 00 (principal = valor da aplicac¸a˜o financeira)
i = 1, 9%(0, 019) ao meˆs
n = 139 dias
Antes de prosseguirmos, perguntamos:
A taxa e´ mensal e o prazo e´ em dias ... o que fazemos?
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Resposta:
O prazo e a taxa devem sempre estar na mesma unidade
de tempo e e´ sempre o prazo que deve ser convertido, e
na˜o a taxa.
Para converter o prazo de dias para meses, utilizamos a
regra do banqueiro.
Pela regra do banqueiro, um meˆs tem 360 dias, logo, o
prazo n = 139 dias corresponde a
n =
139
30
= 4, 633333... meses
Agora podemos voltar ao exemplo.
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Qual o rendimento de uma aplicac¸a˜o financeira de R$ 3.589,00,
apo´s 139 dias, a uma taxa de 1,90% ao meˆs?
Dados:
J =? (rendimento = juro)
P = 3.589, 00 (principal = valor da aplicac¸a˜o financeira)
i = 1, 9%(0, 019) ao meˆs
n = 139 dias
Soluc¸a˜o:
J = P .i .n = 3589 × 0, 019 ×
139
30
= 315, 951633
Resposta: R$ 315,95
Cuidado com os arredondamentos!
Encontramos n = 13930 = 4, 633333.... Se ao inve´s de utilizar
todas as casas fornecidas pela calculadora arredonda´ssemos
este valor, obter´ıamos uma resposta errada nos centavos. Veja:
Arredondando n = 13930 para ... Resultado de J = Pin
4,6 3589× 0, 019× 4, 6 = 313, 68
4,63 3589× 0, 019× 4, 63 = 315, 72
4,633 3589× 0, 019× 4, 633 = 315, 93
Nos exerc´ıcios e provas, exigimos exatida˜o de ao menos duas
casas decimais. Quaisquer um destes arredondamentos
forneceria uma resposta inexata e seriam avaliadas como
erradas ou parcialmente corretas. Para evitar problemas,
aprenda a utilizar todas as casas da calculadora, seguindo os
passos indicados nos exemplos resolvidos.
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Bibliografia
Usando a calculadora para computar 3589 × 0, 019 × 13930
RPN ALG
3589
✄
✂
�
✁
ENTER 3589
✄
✂
�
✁
×
0.019
✄
✂
�
✁
× 0.019
✄
✂
�
✁
×
139
✄
✂
�
✁
× 139
✄
✂
�
✁
÷
30
✄
✂
�
✁
÷ 30 ✄
✂
�
✁
=
315,9516333... 315,9516333...
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Exemplo 3
Exemplo 3. Um empre´stimo de um capital de R$ 3.700,00, a`
taxa de juros simples de 35,5% ao ano, foi feito no dia
02/01/2011 e pago em 02/03/2011. Calcular os rendimentos
pagos.
Dados:
J =?
P = 3.700, 00 (principal = capital emprestado)
i = 35, 5% = 0, 355 ao ano
n = 59 dias =
59
360
anos (Regra do banqueiro para conversa˜o)
Soluc¸a˜o:
J = P .i .n = 3700 × 0, 355 ×
59
360
= 215, 268056
Resposta: Foram pagos rendimentos de R$ 215,27.
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Usando a calculadora para computar 3700 × 0, 355 × 59360
RPN ALG
3700
✄
✂
�
✁
ENTER 3700
✄
✂
�
✁
×
.355
✄
✂
�
✁
× .355
✄
✂
�
✁
×
59
✄
✂
�
✁
× 59
✄
✂
�
✁
÷
360
✄
✂
�
✁
÷ 360 ✄
✂
�
✁
=
⇒ 215, 268056 ⇒ 215, 268056
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Exemplo 4
Exemplo 4. Calcular o valor necessa´rio para aplicar em um
fundo que remunera a` taxa de juros simples de 26% ao ano,
para se conseguir rendimentos no valor de R$ 400,00, apo´s 45
dias.
Dados:
P =?
J = 400
i = 26% = 0, 26 ao ano
n = 45 dias =
45
360
anos (Regra do Banqueiro para conversa˜o)
Soluc¸a˜o:
P =
J
i .n
=
400
0, 26 45360
= 12.307, 6923077
Resposta: E´ necessa´ria uma aplicac¸a˜o de R$ 12.307,69
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Usando a
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Exemplos
Bibliografia
Usando a calculadora para computar 400
0,26 45
360
RPN ALG
400
✄
✂
�
✁
ENTER 400
✄
✂
�
✁
÷
.26
✄
✂
�
✁
ENTER
✄
✂
�
✁
(
45
✄
✂
�
✁
× .26
✄
✂
�
✁
×
360
✄
✂
�
✁
÷ 45
✄
✂
�
✁
÷
✄
✂
�
✁
÷ 360✄
✂
�
✁
=
⇒12.307,6923077 ⇒12.307,6923077
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Exemplo 5
Exemplo 5. Uma aplicac¸a˜o de R$ 3.000,00 rende juros de R$
340,00, apo´s 320 dias. Calcular a taxa anual de juros simples
utilizada.
Dados: P = 3.000
J = 340
n = 320 dias =
320
360
anos
ia =?
Soluc¸a˜o:
ia =
J
P .n
=
340
3.000320360
= 0, 12750000000
Resposta: A taxa anual e´ de 12,75%a.a.
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Bibliografia
Usando a calculadora para computar 340
3.000 320
360
RPN ALG
340
✄
✂
�
✁
ENTER 340
✄
✂
�
✁
÷
3000
✄
✂
�
✁
ENTER
✄
✂
�
✁
(
320
✄
✂
�
✁
× 3000
✄
✂
�
✁
×
360
✄
✂
�
✁
÷ 320
✄
✂
�
✁
÷
⇒ 0,12750000000 360✄
✂
�
✁
=
⇒ 0,12750000000
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Exemplo 6
Exemplo 6. Um empre´stimo de R$ 4.700,00 rende juros de R$
980,00, a uma taxa mensal de juros simples de 5,5% ao meˆs.
Calcular o nu´mero de dias que durou o empre´stimo.
Dados: P = 4.700
J = 980
i = 5, 5% = 0, 055 ao meˆs
n =? em dias
Soluc¸a˜o: n = J
P.i
= 9804.700×0,055 = 3.7911...
Resposta: A durac¸a˜o do empre´stimo foi de 3,79 meses.
Pergunta: A soluc¸a˜o acima atende ao que foi solicitado?
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Foi solicitado o nu´mero de dias que durou o empre´stimo.
Observe que n, quando calculado a partir da taxa mensal,
fornece o prazo em meses. Deve-se converter o resultado para
obter o prazoem dias:
n = 3.7911... meses = 3.7911... × 30 dias = 113, 73 dias
Resposta Correta: O empre´stimo durou 113,73 dias.
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Calculadora
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Usando a calculadora para computar 9804.700×0,055 × 30
RPN ALG
980
✄
✂
�
✁
ENTER 980
✄
✂
�
✁
÷
4700
✄
✂
�
✁
ENTER
✄
✂
�
✁
(
0.055
✄
✂
�
✁
× 4700
✄
✂
�
✁
× 0.055
✄
✂
�
✁
÷
✄
✂
�
✁
)
30
✄
✂
�
✁
×
✄
✂
�
✁
× 30
⇒ 113, 733075435 ⇒ 113, 733075435
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Exemplo 7
Exemplo 7. Um capital no valor de R$ 5.600,00 foi emprestado
a taxa de juros simples de 43% ao ano. Calcular o montante
apo´s 458 dias.
Dados:
P = 5.600, 00
i = 43% = 0, 43 ao ano
n = 458 dias =
458
360
anos
S =?
Soluc¸a˜o:
S = P(1 + i .n) = 5600(1 + 0, 43458360 ) = 8.663, 51111111
Resposta: O montante foi de R$ 8.663,51.
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Usando a
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Exemplos
Bibliografia
Usando a calculadora para computar 5600(1 + 0, 43458360 )
RPN ALG
.43
✄
✂
�
✁
ENTER .43
✄
✂
�
✁
×
458
✄
✂
�
✁
× 458
✄
✂
�
✁
÷
360
✄
✂
�
✁
÷ 360
✄
✂
�
✁
+
1
✄
✂
�
✁
+ 1
✄
✂
�
✁
×
5600
✄
✂
�
✁
× 5600✄
✂
�
✁
=
⇒ 8663, 511111111 ⇒ 8663, 511111111
Matema´tica
Financeira
Conceito de
juros simples
Fo´rmula do
Juro(J)
Fo´rmulas
derivadas
Plano
financeiro
Fo´rmula do
montante(S)
Fo´rmulas
derivadas
Usando a
Calculadora
Exemplos
Bibliografia
Exemplo 8
Exemplo 8. Qual o capital necessa´rio para acumular um
montante de R$ 9.350,00 a taxa de juros simples de 34% ao
ano apo´s 37 meses?
Dados:
S = 9.350, 00
P =?
i = 34% = 0, 34 a. a.
n = 37 meses =
37
12
anos
Soluc¸a˜o: P = S(1+i .n) =
9.350
(1+0,34 37
12
)
= 4.564, 6867
Resposta: E´ necessa´rio um capital de R$ 4.564,69
Matema´tica
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juros simples
Fo´rmula do
Juro(J)
Fo´rmulas
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Plano
financeiro
Fo´rmula do
montante(S)
Fo´rmulas
derivadas
Usando a
Calculadora
Exemplos
Bibliografia
Usando a calculadora para computar
9.350
(1 + 0, 343712 )
RPN ALG
9350
✄
✂
�
✁
ENTER 9350
✄
✂
�
✁
÷
.34
✄
✂
�
✁
ENTER
✄
✂
�
✁
( .34
37
✄
✂
�
✁
×
✄
✂
�
✁
× 37
12
✄
✂
�
✁
÷
✄
✂
�
✁
÷ 12
1
✄
✂
�
✁
+
✄
✂
�
✁
÷
✄
✂
�
✁
+ 1
⇒ 4.564, 6867 ✄
✂
�
✁
= 867
⇒ 4.564, 6867
Matema´tica
Financeira
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juros simples
Fo´rmula do
Juro(J)
Fo´rmulas
derivadas
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financeiro
Fo´rmula do
montante(S)
Fo´rmulas
derivadas
Usando a
Calculadora
Exemplos
Bibliografia
Exemplo 9
Exemplo 9. Qual a taxa anual de juros simples que transforma
um capital de o capital R$ 5.870,00 em um montante de R$
6.340,00 apo´s 270 dias?
Dados:
ia =?
S = 5.870, 00
P = 6.340, 00
n = 270 dias =
270
360
anos
Soluc¸a˜o:
i =
S
P
− 1
n
=
6340
5870 − 1
270
360
= 0, 1067575
Resposta: 10,68% a.a.
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Juro(J)
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derivadas
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Fo´rmula do
montante(S)
Fo´rmulas
derivadas
Usando a
Calculadora
Exemplos
Bibliografia
Usando a calculadora para computar
6340
5870 − 1
270
360
RPN ALG
6340
✄
✂
�
✁
ENTER 6340
✄
✂
�
✁
÷
5870
✄
✂
�
✁
÷ 5870
✄
✂
�
✁
-
1
✄
✂
�
✁
- 1
✄
✂
�
✁
÷
270
✄
✂
�
✁
ENTER
✄
✂
�
✁
( 270
360
✄
✂
�
✁
÷
✄
✂
�
✁
÷ 360
✄
✂
�
✁
÷
✄
✂
�
✁
=
⇒ 0, 1067575 ⇒ 0, 1067575
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Bibliografia
Exemplo 10
Exemplo 10. Uma aplicac¸a˜o de R$ 20.430,00 e´, a uma taxa de
juros simples de 43% a.a., tem um valor de resgate na data do
vencimento de R$ 26.000,00. Quantos dias durou a aplicac¸a˜o ?
Dados:
P = 20.430, 00
i = 43% = 0, 43 a.a.
S = 26.000, 00
nd =?
Soluc¸a˜o:
nd =
S
P
− 1
i
.360 =
26000
20430 − 1
0, 43
.360 = 228, 2553
Resposta: 228 dias
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Usando a
Calculadora
Exemplos
Bibliografia
Usando a calculadora para computar
26000
20430 − 1
0, 43
.360
RPN ALG
26000
✄
✂
�
✁
ENTER 26000
✄
✂
�
✁
÷
20430
✄
✂
�
✁
÷ 20430
✄
✂
�
✁
-
1
✄
✂
�
✁
- 1
✄
✂
�
✁
÷
.43
✄
✂
�
✁
÷ .43 ✄
✂
�
✁
=
✄
✂
�
✁
÷ ⇒ 228, 2553
⇒ 228, 2553
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Financeira
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derivadas
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Exemplos
Bibliografia
Bibliografia
Ale´m da refereˆncia ba´sica [1] os temas tratados neste cap´ıtulo
podem ser encontrados tambe´m em [3, 2]
Wili Dal Zot.
Matema´tica Financeira.
Editora da UFRGS, Porto Alegre, 5a. edition, 2008.
Alexandre Assaf Neto.
Matema´tica financeira e suas aplicac¸o˜es.
Editora Atlas, 11a. edition, 2009.
Jose´ Dutra Vieira Sobrinho.
Matema´tica financeira.
Editora Altlas, 7a. edition, 2000.
	Conceito de juros simples
	Fórmula do Juro(J)
	Fórmulas derivadas
	Plano financeiro
	Fórmula do montante(S)
	Fórmulas derivadas
	Usando a Calculadora
	Exemplos
	Bibliografia