Aula 06 Probabilidades

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ESTATÍSTICA E
PROBABILIDADE
Probabilidades – Diagrama de Venn
Probabilidade Condicional
Probabilidade – Regra do Produto
Exercícios
Representação visual (diagrama de Venn)
A
Ac
S
A → evento de interesse
Ac → evento complementar de A
S → espaço amostral
P(A) + P(AC) = 1  P(A) = 1 - P(AC)
Probabilidade usando o complementar de um evento:
Exemplos:
1) No lançamento de dois dados, qual é a probabilidade de
não sair soma 4?
2) No lançamento de uma moeda 3 vezes sucessivamente,
qual é a probabilidade de sair pelo menos uma cara?
R: 33/36 = 91,7%
R: 7/8 = 87,5%
Representação visual (com dois eventos)
A e B → eventos de interesse
S → espaço amostralA
S
B
A e B são dois eventos MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
se eles não tiverem resultados em comum (ou seja, se
não a intersecção entre eles é o conjunto vazio)
P(A U B) = P(A) + P(B)Nesse caso:
Isso, pois P(A ∩ B) = 0
Representação visual (com dois eventos)
A e B → eventos de interesse
S → espaço amostralA B
S
Lei da adição:
Útil para descobrir a 
probabilidade de pelo 
menos um de dois 
eventos ocorrer
Elementos comuns aos dois 
eventos (intersecção)
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Representação visual (com três eventos)
A, B e C → eventos de interesse
S → espaço amostralA B
S
Lei da adição:
Elementos comuns aos três 
eventos (intersecção)
P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(A ∩ C) – P(B ∩ C) +
P(A ∩ B ∩ C)
C
Exercícios
1) Considere uma pequena fábrica de montagem de equipamentos de
informática com 50 funcionários. Espera-se que cada funcionário
conclua suas obrigações no prazo e que desempenhe de tal maneira
que o produto montado seja aprovado na inspeção final.
Ocasionalmente, algum funcionário deixa de cumprir os padrões de
desempenho, concluindo o trabalho tardiamente ou montando produtos
com defeito. Ao final de um período de avaliação de desempenho, o
gerente de produção descobriu que 5 dos 50 funcionários concluíram o
trabalho atrasados, que 6 dos 50 montavam um produto com defeito e
que 2 dos 50 funcionários tanto concluíam o trabalho tardiamente como
montavam produtos com defeito.
O funcionário cujo trabalho foi concluído atrasado ou apresentando
defeitos tem um desempenho considerado ruim. Qual é a probabilidade
de se sortear um funcionário que receba uma classificação ruim?
R: 9/50 = 18%
Exercícios
2) Retira-se uma carta de um baralho comum de 52 cartas. Qual a
probabilidade desta carta ser um rei ou uma carta de ouros?
3) Três cavalos A, B e C estão numa corrida: A é duas vezes mais provável
de ganhar que B e B é duas vezes mais provável de ganhar do que C.
Quais as probabilidades de vitória de cada um? Isto é, P(A), P(B) e P(C)
OBS.:A corrida não termina empatada.
4) Três revistas de notícias: A, B e C têm leitores com as seguintes
porcentagens: A: 9,8%; B: 22,9%; C: 12,1%; A e B: 5,1%; A e C: 3,7%; B
e C: 6% e 2,4% leem as três. Calcule a probabilidade de que uma
pessoa escolhida ao acaso seja leitor(a) de pelo menos uma revista.
5) Sejam A e B dois eventos tais que: A tem 40% de chance de ocorrer; o
evento A ou o evento B têm 70% de probabilidade de acontecer e a
probabilidade de B acontecer vale p. Para que valor de p os eventos A e
B serão mutuamente exclusivos?
R: 16/52 = 30,8%
R: 4/7 ; 2/7; 1/7
R: 32,4%
R: 30%
Probabilidade Condicional
• Sendo A e B eventos, a probabilidade condicionada do
evento A, dado que B já ocorreu, ou seja, a probabilidade de
A sabendo-se que B ocorreu é dada por 𝑃 𝐴|𝐵 .
𝑃 𝐴|𝐵 =
𝑃 𝐴∩𝐵
𝑃 𝐵
ou 𝑃 𝐵|𝐴 =
𝑃 𝐴∩𝐵
𝑃 𝐴
• O fato de ficarmos sabendo que certo evento ocorreu faz com
que a probabilidade da ocorrência do outro evento se
modifique.
Isso significa a probabilidade de ocorrer 
o evento A uma vez que já ocorreu o 
evento B 
Lembrando: 
P(A) e P(B) > 0 
Exemplo
• Uma urna contêm 15 bolas numeradas de 1 a 15. Retira-se uma
bola ao acaso e vê-se que o número é maior que 6. Qual é a
probabilidade desse número ser múltiplo de 3?
𝑛 𝑆 = 15
𝐴:𝑀 3 = 3,6,9,12,15
𝐵:> 6 = 7,8,9,10,11,12,13,14,15 ⇒ 𝑃 𝐵 =
9
15
𝐴 ∩ 𝐵 = 9,12,15 ⇒ 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 =
3
15
𝑃 𝐴|𝐵 =
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵
𝑃 𝐵
=
 3 15
 9 15
=
3
9
=
1
3
Probabilidade Condicional
• A partir da definição da probabilidade condicional, surge a
“Regra do Produto”:
𝑃 𝐴|𝐵 =
𝑃 𝐴∩𝐵
𝑃 𝐵
ou 𝑃 𝐵|𝐴 =
𝑃 𝐴∩𝐵
𝑃 𝐴
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴|𝐵 ∙ 𝑃 𝐵 ou 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐵|𝐴 ∙ 𝑃 𝐴
• Esta regra é muito útil, pois muitas vezes calcular a probabilidade 
da intersecção entre dois eventos (A e B) é muito difícil.
(regra do produto) (regra do produto)
Probabilidade Condicional
• Independência de eventos: Se o evento A é independente do
evento B (e vice-versa), então:
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∙ 𝑃 𝐵
• Quando dois eventos são independentes, isso significa que a 
ocorrência de um deles não interfere na ocorrência do outro.
• Generalização:
)()...().()...( 2121 nn APAPAPAAAP 
Exemplos
1) Numa urna há 5 bolas azuis e 3 bolas brancas. Duas bolas são
retiradas sucessivamente com reposição. Qual a probabilidade
que ambas sejam brancas?
2) E se não houvesse reposição?
R: 9/64 = 14,1%
R: 6/56 = 10,7%
Exercícios
1) Uma montagem eletrônica é formada por dois subsistemas, A e B. De
procedimentos de ensaios anteriores, as seguintes probabilidades se admitem
conhecidas:
P (A falhar) = 0,20; P(A e B falhem) = 0,15; P(B falhe sozinho) = 0,15
Preencha nos espaços indicados no diagrama de Venn abaixo o valor das
probabilidades (a figura não necessariamente está em escala)
Além disso, responda:
a) Qual a probabilidade do subsistema A falhar sozinho?
b) Qual a probabilidade do subsistema A falhar, dado que o subsistema B
tenha falhado?
A B
S
R: 0,05
R: 0,50
Exercícios
2) Considere 200 clientes de um banco. Destes, 125 são homens e 75,
mulheres; 110 aplicam o dinheiro em Poupança e 90 aplicam em Renda
Fixa. A tabela abaixo ilustra melhor a situação descrita acima.
Uma pessoa que tem conta nesse banco é selecionada aleatoriamente.
a) Qual a probabilidade dessa pessoa ser do sexo masculino?
b) Qual a probabilidade dessa pessoa aplicar o dinheiro dela em renda
fixa?
c) Qual a probabilidade dessa pessoa ser do sexo masculino e aplicar
o dinheiro dela em renda fixa?
d) Dentre os homens, qual a probabilidade do cliente sorteado aplicar
o dinheiro dele em renda fixa?
Sexo \ Aplicação Poupança (P) Renda Fixa (R) Total
Homem (H) 60 65 125
Mulher (M) 50 25 75
Total 110 90 200
R: 125/200 
R: 90/200 = 45%
R: 65/200 = 32,5%
R: 65/125 = 52%
Exercícios
3) Na eleição presidencial do EUA em 2008, dois candidatos concorreram
à vaga de presidente: Obama e McCain. Foram entrevistados 1000
eleitores. Abaixo são fornecidas alguns dados da pesquisa:
• 51% disseram votar em Obama;
• 26% tinham curso superior;
• Dentre os eleitores com ensino superior, 135/260 diziam votar em
Obama
a) Dentre os eleitores que votariam em Obama, qual a probabilidade
de um eleitor possuir ensino superior?
b) Quantos eleitores possuem ensino superior e disseram votar em
Obama, de acordo com a pesquisa acima? R: 135 eleitores
R: 0,135 = 13,5%
Exercícios
4) Juan mora em uma cidade grande e vai para o trabalho diariamente de
metrô ou de táxi. Ele usa o metrô 80% das vezes porque custa
menos, e no restante das vezes, ele pega um táxi (20%). Quando vai de
metrô, ele chega ao trabalho pontualmente 70% das vezes, enquanto
de táxi, ele é pontual 90% das vezes.
a) Qual a probabilidade de Juan pegar o metrô e chegar no trabalho
pontualmente?
b) Qual é a probabilidade deJuan pegar um táxi e chegar
pontualmente?
c) Obtenha a probabilidade de Juan chegar pontualmente em um dia
qualquer de trabalho.
R: 0,56 = 56%
R: 0,18 = 18%
R: 0,74 = 74%
Exercícios
5) Um alarme de emergência é constituído de três dispositivos
independentes. A probabilidade de cada dispositivo falhar é 2%. Calcule
a probabilidade de:
a) Somente um deles funcionar.
b) Ao menos um falhar.
6) Certo artigo, ao sair da linha de produção pode ter no máximo dois
defeitos, A e B. Os defeitos ocorrem independentemente um do outro
com probabilidade 1/10, cada um. Se um artigo é extraído ao acaso da
linha de produção, qual a probabilidade de :
a) Ser defeituoso.
b) Ter o defeito A, se é defeituoso.
c) Ser perfeito.
R: 0,001176 = 0,1176%
R: 0,0588 = 5,9%
R: 19/100 = 19%
R: 10/19 = 52,6%
R: 81/100 = 81%
Exercícios
7) Oitocentas pessoas foram entrevistadas. Elas responderam com qual
tendência política se identificavam (esquerda, direita ou outra) e a
opinião em relação à mudança que o governo propõe em relação à
mudanças na previdência (favorável ou contrário).
• 28% se identificavam com a esquerda, 65,75% com a direita e o
restante disse ter outra tendência.
• 59,375% foi contrária às propostas de mudança.
• Dentre os “de esquerda”, 60,714% disseram ser contrários às
mudanças na previdência; Dentre os “de direita”, 40,304% disseram
ser favoráveis às mudanças na previdência; Dentre os “outros”,
metade era contrária às mudanças.
a) Dentre os eleitores que são contrários às mudanças na previdência,
qual o percentual que se identifica com uma visão política de
esquerda?
b) Dentre os eleitores que são favoráveis às mudanças na previdência,
qual o percentual que se identifica com outra tendência política?
R: 0,2863 = 28,63%
R: 0,0769 = 7,69%