TOMBAMENTO DE VEÍCULOS PESADOS:MODELAGEM MATEMÁTICA E APLICAÇÃO

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TOMBAMENTO DE VEÍCULOS PESADOS: MODELAGEM MATEMÁTICA E 
APLICAÇÃO 
 
RESUMO 
 
Constantemente acidentes automotivos acontecem, dentre eles, existem os que envolvem veículos pesados, e 
muitos desses acidentes advém de tombamentos. Esses veículos têm mais facilidade para tombar em comparação 
com veículos leves, um dos motivos para que isso ocorra está na própria estrutura do veículo, seu centro de 
gravidade se encontra numa altura do solo relativamente maior; outro fator é a velocidade incompatível no 
momento em que se realiza uma curva. O objetivo desse estudo é determinar uma lei matemática que consiga 
modelar o comportamento dos veículos pesados nas curvas, de acordo com a velocidade. Para isso elaborou-se 
um procedimento experimental. Com relação à metodologia foi feito um experimento mental onde o veículo foi 
substituído por uma caixa, por questões de praticidade, e a mesma foi examinada, em diferentes referenciais, por 
observadores. Os resultados obtidos foram comparados, analisados e submetidos a alguns conceitos essenciais 
para desenvolvimento, tais como cinemática, forças inerciais, Princípio da Equivalência, algumas abstrações 
matemáticas, entre outros. Pois bem, isso possibilitou a obtenção da equação desejada, bem como a dispensa das 
variáveis inacessíveis que persistem numa situação real. 
 
Palavras-chave: Tombamento. Veículo Pesado. Força Inercial. Princípio da Equivalência. Coriolis. 
 
HEAVY VEHICLES TIPPING: MATHEMATICAL MODELING AND 
APPLICATION 
 
ABSTRACT 
 
Constantly automotive accidents happen, among them, there are those involving heavy vehicles, and many of 
these accidents come from tipping. These vehicles are easier to tip compared to light vehicles, one reason for this 
is in the vehicle's own structure, its center of gravity is at a relatively higher ground height; another factor is the 
incompatible velocity at the moment a curve is made. The purpose of this study is to determine a mathematical 
law that can model the behavior of heavy vehicles in curves according to speed. For this, an experimental 
procedure was elaborated. Regarding the methodology, a mental experiment was carried out where the vehicle 
was replaced by a box, for practical reasons, and it was examined in different references by observers. The 
obtained results were compared, analyzed and submitted to some essential concepts for development, such as 
kinematics, inertial forces, Principle of Equivalence, some mathematical abstractions, among others. Well, this 
made it possible to obtain the desired equation as well as the dispensation of the inaccessible variables that 
persist in a real situation. 
 
Keywords: Tipping. Heavy Vehicles. Inertil Force. Principle of Equivalence. Coriolis. 
 
1 
 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
As pessoas sempre estão propensas a mudanças no movimento que nem ao menos sabem o 
que acontece de fato, uma explicação física seria algo sem importância, apenas vivenciá-las já 
é suficiente. Essas mudanças no movimento é o que se conhece por aceleração, fisicamente 
falando seriam as variações de velocidades de um corpo, pessoas, enfim, algo com massa que 
tem o seu vetor velocidade alterado, seja em módulo e/ou orientação. 
O corpo humano atua como um acelerômetro, por exemplo: o passageiro no interior de um 
carro em movimento, percebe quando o mesmo contorna um anel rotatório, quando aumenta a 
velocidade ou reduz. Essa percepção é sentida na forma de forças. Ele deduz que nas 
situações supracitadas, existem forças que fazem com que ele seja “jogado” pela janela do 
carro, fique “colado” no banco, ou até mesmo “arremessado” em direção ao para-brisa. 
Essas forças experimentadas são conhecidas como Forças Inerciais
1
, que na verdade não são 
forças reais (SELIGMAN, 2006), porém, se manifesta como real na visão do passageiro. 
Enquanto que para um observador que acompanha o movimento do lado de fora do carro, o 
que ocorre é que o passageiro tende a continuar o percurso por inércia, de acordo com 1ª Lei 
de Newton (SERWAY, 2014). Então, não existe força alguma atuando, de fato, nesse 
passageiro, do ponto de vista de alguém parado na calçada. Mas, sabe-se que há uma força 
que atua nos pneus do carro fazendo-o se manter nas curvas, esta é a conhecida força 
centrípeta, que nada mais é do que a força de atrito da borracha do pneu com a superfície, e 
sua origem advém da 2ª Lei de Newton (SERWAY, 2014). 
Todavia, em veículos pesados o efeito da inércia nas curvas faz com que muitas das vezes 
aconteça o tombamento. Enquanto o veículo tenta permanecer na curva por causa do atrito 
dos pneus com a superfície, o restante da carroceria tende a continuar por inércia e logo cede 
ao tombamento, ao contrário dos veículos leves que derrapam nessas circunstâncias. 
Com efeito, os veículos pesados são propícios ao tombamento quando estão em translado. 
Segundo um diagnóstico realizado pela corretora de seguros PAMCARY (2007) os acidentes 
que envolvem tombamento equivalem 47% do total analisado pela corretora, sendo a principal 
causa, a velocidade incompatível e o fator contribuinte, a curva fechada. 
Alguns fabricantes informam a aceleração máxima que esses veículos podem apresentar 
diante das curvas sem que derrapem ou tombem, no pior caso, chamada de Aceleração 
Lateral
2
. De acordo com Serway (2014) os veículos de baixo desempenho têm acelerações 
laterais que podem chegar a 0,62g. O engenheiro mecânico Melo (2008) explica que os 
veículos de carga apresentam valores em média 0,5g, e que nas corridas de Fórmula 1 os 
carros experimentam acelerações de até 5g. Vê-se então a discrepância entre esses universos 
diferentes. Portanto, estudar o comportamento dos veículos pesados nas curvas justifica o 
presente estudo. Contudo, para obter esses resultados de fábrica ou de maneira própria, é 
necessário testes em circuitos controlados que dependem de variáveis externas, por exemplo, 
o raio de curvatura e aceleração centrífuga. 
Assim, esse artigo tem por objetivo geral moldar uma equação em que possa reger o 
comportamento, no que diz respeito à velocidade, dos veículos pesados nas curvas. Como 
objetivo específico mostrar que é possível utilizar essa equação sem que haja a necessidade de 
variáveis externas. 
 
 
 
 
 
1
 Também chamada de força fictícia. 
2
 Valores múltiplos da aceleração da gravidade g. 
2 
 
 
 
2 TEORIA BÀSICA 
 
É crucial que se detenha um arsenal de informações sobre Mecânica Clássica e um pouco de 
Mecânica Relativística, por isso será abordado alguns tópicos pertinentes para o tema dentro 
dessa perspectiva. Isso fornecerá bastante competência para abordar o conteúdo subsequente. 
 
2.1 Equações da Cinemática 
 
Nesta seção serão apresentadas as equações que modelam a cinemática dos corpos. Em 
primeiro lugar considera-se um deslocamento retilíneo de um corpo, a partir de uma posição 
inicial xi para uma posição final xf, isso num intervalo correspondente ao tempo inicial ti para 
um tempo final tf. Logo, podem ser representados por Δx e Δt. 
A velocidade média é a razão entre Δx e Δt. A velocidade instantânea é o limite dessa razão 
com Δt muito pequeno que, por definição, é a derivada de x em relação a t (SERWAY, 2014). 
Fica assim: 
 
 
 
 
 
 (1) 
 
e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (2) 
 
Aceleração média é a razão entre a variação da velocidade em um intervalo de tempo, ela 
pode ser representada assim: 
 
 
 
 
 
 (3) 
 
E de forma análoga a velocidade instantânea, a aceleração instantânea é a seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (4) 
 
Outra forma de representara aceleração média é por meio da média aritmética da aceleração 
inicial e aceleração final (GAUDIO, 2010): 
 
 
 
 
 
 (5) 
 
2.2 Movimento Circular Uniforme (MCU) 
 
De acordo com Serway (2014, grifo do autor p. 83), “como velocidade é uma grandeza 
vetorial, a aceleração pode ser produzida de duas formas [...] por uma mudança no módulo da 
velocidade ou por variação na direção da velocidade”. Vê-se então que para o MCU vale a 
segunda forma, já que o módulo da velocidade continua o mesmo. 
Serway (2014, p. 83), explica por palavras como essa aceleração atua, de fato, mudando a 
direção do movimento: “a aceleração tem de ser perpendicular à trajetória seguida pela 
partícula. Senão, haveria uma componente da aceleração paralela à trajetória e, portanto, 
3 
 
 
 
paralela ao vetor velocidade”. Isso é bem verdade, se o movimento é uniforme, então não é 
permitida uma alteração no módulo dessa velocidade. Além disso, Serway ainda fala que o 
sentido dessa aceleração “aponta na direção do centro do círculo” (2014, p. 83). Claro, já que 
se necessita manter a trajetória sempre curvilínea, é evidente que o vetor velocidade esteja 
sempre sendo empurrado perpendicularmente devido a uma força que advém dessa 
aceleração. 
Por fim, tem-se o módulo dessa aceleração. Negligenciando os cálculos, pois não é de 
interesse deste artigo, Serway (2014) mostra que o módulo desta aceleração é a razão entre o 
quadrado da velocidade e o raio da circunferência. Ele ainda diz que “uma aceleração dessa 
natureza é chamada de aceleração centrípeta” (2014, grifo do autor, p. 84). Esse termo 
significa que a aceleração tem o sentido apontado para o centro, como explicado antes. 
Uma observação que deve ser levada em conta é que, pelo fato da aceleração centrípeta ser 
um vetor, sua orientação está sempre mudando, à medida que a circunferência é executada, 
mas seu módulo continua inalterado, exceto quando a velocidade ou o raio mudam de valor. 
Diante disso, pode-se estender o conceito de aceleração centrípeta para a noção de força 
centrípeta. Ora, com base na explicação de Serway (2014, p.105) sobre a 2ª lei de Newton: 
“quando vista de um referencial inercial, a aceleração de um corpo é diretamente proporcional 
à resultante das forças que agem sobre ele e inversamente proporcional à sua massa”. 
Conclui-se que a força centrípeta não é um novo tipo de força, mas sim uma força resultante, 
que dependendo da natureza do fenômeno observado, pode ter alguns nomes em especial, por 
exemplo, a força gravitacional, afinal, aponta para centro da Terra. 
Com esse raciocínio, pode-se deduzir que a força centrípeta, em módulo, é o produto entre a 
aceleração centrípeta e a massa do corpo em questão (SERWAY, 2014). Vale ressaltar que 
essa força tem o mesmo sentido que o da aceleração centrípeta. Logo, em qualquer 
movimento circular uniforme, a responsável por manter essa trajetória circular é justamente a 
força centrípeta. 
 
2.3 Referenciais Inerciais e Não Inerciais 
 
Em todo assunto discutido dentro da Mecânica Clássica deve-se ter por base o conhecimento 
sobre referenciais. Para tanto, pode-se iniciar com Serway abordando brevemente sobre as 
Leis de Newton. Em seu livro, ele diz que “a Primeira Lei do Movimento de Newton, às 
vezes chamada Lei da Inércia, define um conjunto especial de sistemas de referência 
chamados referenciais inerciais” (2014, grifo autor, p. 103). Ele ainda enuncia essa lei: “se 
um corpo não interage com outros corpos, é possível identificar um sistema de referência em 
que o corpo tem aceleração zero” (2014, p. 103). Logo fica claro que corpos com aceleração 
nula pertencem a referenciais inerciais. 
Para melhor entendimento, Serway (2014) explica através de um exemplo
3
 prático que 
consiste em um disco de hóquei posto sobre uma mesa de ar em funcionamento, este conjunto 
se encontra dentro de um vagão de trem em movimento retilíneo uniforme. E como ele 
afirma, este mesmo experimento pode ser visto de diferentes referenciais: “um corpo em 
movimento pode ser observado de qualquer número de sistemas de referência” (2014, p. 103). 
No entanto, para esse fim, deve haver um observador dentro do vagão, e outro observador 
fora do vagão, parado ao lado do trilho. 
Dessa forma, pode-se afirmar que ambos os observadores pertencem a referenciais inerciais, 
pois no ponto de vista deles o disco não detém aceleração alguma, e isso está de acordo com a 
Lei da Inércia, já que o vagão possui movimento uniforme. Quem observa do lado de fora do 
 
3
 A partir deste parágrafo até o último desta subseção, todo o referido é com base no exemplo do Serway (2014, 
p. 103-104), pois se julga uma ótima abordagem para compreensão do tema. 
4 
 
 
 
vagão, ver o disco passando com a mesma velocidade constante de trem. Já o que está dentro 
do vagão verifica que o disco está parado com relação ao próprio vagão. E assim, a Lei da 
Inércia corrobora para que ambos estejam corretos nos seus respectivos referenciais. 
Pois bem, agora por algum motivo o trem acelera e logo os resultados das observações 
diferem. O observador dentro do vagão percebe que o disco se movimenta, a partir do 
repouso, para trás do vagão. Na visão dele, o disco sofreu uma aceleração. Em contra partida, 
quem está fora do trem observa que, ao invés do disco estar sendo acelerado para trás, na 
verdade ele mantém sua velocidade constante que tinha antes do trem acelerar. Verifica-se 
então que, para o observador parado ao lado do trilho, o disco não possui aceleração, 
enquanto que para o observador dentro do trem, ele percebe que existe uma aceleração que 
modifica o movimento do disco. Dito isso, conclui-se que não há uma concordância com a Lei 
da Inércia por parte do observador dentro do trem. Logo, o mesmo se encontra em um 
referencial não inercial. Em resumo, referenciais acelerados são tidos como não inerciais. 
 
2.4 Forças Inerciais 
 
No item anterior viu-se a diferença entre referencial inercial e não inercial. Verificou-se a não 
conformidade da Lei da Inércia com um referencial não inercial. Contudo, observadores 
nesses referenciais afirmam que há forças, de fato, que aceleram e desaceleram os corpos, em 
consequência disso, advém o que se chama de Forças Inerciais (SEMENZATO et al, 1998). 
São forças não reais que existem somente na perspectiva do observador naquele referencial 
acelerado; esse tipo de força não participa do par ação-reação, significa que não existe contato 
do disco com outro corpo que o faça mudar seu movimento (SERWAY, 2014). 
Além da força inercial apresentada no exemplo anterior do disco, existem outras com essa 
mesma qualidade. São elas, a força centrífuga e a força de Coriolis
4
. A primeira surge no 
movimento circular uniforme (referenciais girantes), sua orientação é radial e perpendicular 
eixo de rotação, o sentido apontado sempre para fora da circunferência. A intensidade dessa 
força é equivalente ao da força centrípeta (SEMENZATO et al, 1998) e é dependente da 
posição da partícula (corpo) nesse referencial girante. No entanto, como foi explicado antes, 
ela é percebida somente por um observador no referencial não inercial – é o exemplo clássico 
do passageiro que se sente empurrado contra a porta diante das curvas. 
A segunda força, Coriolis, também se manifesta em referenciais girantes, só que agora a sua 
orientação é com relação à partícula (corpo) que se movimenta nesse referencial. A força 
sempre terá direção perpendicular ao vetor velocidade com que esse corpo se move no 
referencial girante, causando uma deflexão na trajetória dele (SEMENZATO et al, 1998). O 
principal efeito dessa força pode ser observado na natureza, ela influenciao movimento das 
massas de ar, desvia a trajetória de projéteis de longe alcance, dentre outros (CASTELLANI, 
2009). 
Um corpo no referencial girante pode interagir com essas duas forças em conjunto, ou 
somente com a força centrífuga, pois a de Coriolis depende que o corpo se movimente nesse 
referencial. Verifica-se, portanto, a existência de uma força inercial resultante que equivale à 
soma vetorial dessas duas forças, centrífuga e Coriolis. 
Em resumo, se um corpo, que se encontra num referencial girante, possuir uma velocidade 
relativa a esse referencial, afastando-se ou aproximando-se do centro, então a força de 
Coriolis age, causando uma deflexão juntamente com a força centrífuga. Por outro lado, se 
esse mesmo corpo mantiver-se em repouso com relação a esse referencial girante, então 
somente a força centrífuga age sobre ele (SILVA, 2013). 
 
4
 Recebe o nome do engenheiro francês Gustave-Gaspar Coriolis (1792-1843). 
5 
 
 
 
2.5 Princípio da Equivalência (PdE) 
 
A Teoria da Relatividade Geral tem como alicerce o Princípio da Equivalência. Esse princípio 
é um dos postulados da teoria que diz: “na vizinhança de qualquer ponto, um campo 
gravitacional é equivalente a um referencial acelerado em um espaço livre de gravidade” 
(SERWAY, 2014, p. 306). Isso quer dizer que, um observador que esteja acompanhando um 
experimento físico local, em um dado referencial, não possui a capacidade de discernir se esse 
experimento está sendo realizado em um local onde há um campo gravitacional de intensidade 
g, ou se esse mesmo experimento está sendo realizado em um local livre de forças 
gravitacionais, porém acelerado com valor de módulo igual a g. Além disso, o PdE fornece 
uma explicação teórica a respeito da equivalência entre a massa inercial e massa 
gravitacional, pois apesar de terem sido empiricamente observadas e registradas, não existia 
uma interpretação no aspecto da mecânica clássica (EINSTEIN,1999). 
Para se compreender esse princípio, Einstein (1999) propôs em um de seus experimentos que 
fosse imaginado uma caixa em forma de aposento no espaço vazio, e que ela se encontrava 
longe o suficiente de qualquer interação gravitacional de corpos celestes. Havia também um 
observador nesse mesmo espaço vazio, assim, ele e o aposento estavam em repouso nesse 
referencial. Pois bem, dentro do aposento encontrava-se outro indivíduo que igualmente era 
considerado estar em um referencial inercial, já que não conseguia diferir se estava em 
movimento uniforme, juntamente com o aposento, ou se estava em repouso, e assim, a Lei da 
Inércia não foi violada. 
Dito isso, imagina-se que esse aposento foi acelerado pelo valor igual a g para “cima”, isso 
implica que o observador dentro da caixa se sentiria imerso em um campo gravitacional, pois 
ele notaria que o “fundo” da caixa pressionara seus pés, assim tendo a percepção de ser 
puxado para “baixo”, igualmente na superfície terrestre. 
Einstein se questionava sobre o que o indivíduo dentro da caixa observaria ao prender a 
extremidade de uma corda no teto do aposento, e na outra extremidade dessa corda um corpo 
de massa arbitrária. O observador concluiu que “o corpo suspenso experimenta no campo uma 
força para baixo, que é equilibrada pela tensão da corda; o que determina o valor da tensão da 
corda é a massa gravitacional do corpo suspenso” (EINSTEIN, 1999, grifo do autor, p. 60). 
Porém, um observador fora da caixa, livre no espaço, tem outra perspectiva: 
A corda é forçada a acompanhar o movimento acelerado da caixa e transmite este 
movimento ao corpo preso a ela. A tensão na corda tem justamente o valor 
necessário para produzir a aceleração deste ultimo. O que determina o valor da 
tensão na corda é a massa inercial do corpo (EINSTEIN, 1999, grifo do autor, p. 
60). 
Portanto, esses exemplos corroboram para a necessidade de se fazer valer a equivalência entre 
massa inercial e massa gravitacional, bem como a equivalência entre campos gravitacionais e 
referenciais acelerados. Desse modo, há um ótimo motivo para que o Princípio da 
Relatividade seja perpetuado a outros referenciais não inerciais, firmando assim, um 
argumento de grande valia para um dos postulados da relatividade geral. 
 
3 METODOLOGIA 
 
O presente estudo teve uma finalidade básica com a intenção de compreender o 
comportamento dos veículos pesados nas curvas. A partir disso, chegar a uma lei matemática 
que governe o referido fenômeno. 
Com respeito aos objetivos, tratou-se de um estudo explicativo onde se mostrou essencial para 
a compreensão do fenômeno, bem como as equações dispostas no decorrer do 
desenvolvimento. Além disso, a familiarização com a problemática proposta. 
6 
 
 
 
A abordagem é de caráter qualitativo. Foi realizada uma análise conceitual dos principais 
assuntos referentes ao estudo, isto é, as ideias pertinentes sobre referenciais inerciais e não 
inerciais, as equações da cinemática, leis de Newton, Princípio da Equivalência de Einstein e 
etc. 
O desenvolvimento se deu pelo método indutivo em que foi analisado, num cenário 
específico, o comportamento de uma caixa em determinadas circunstancias e referenciais. 
Obtendo assim, resultados que se refletiram aos veículos sem nenhuma complicação. 
Para os procedimentos, utilizaram-se pesquisas do tipo bibliográficas e experimentais. As 
principais fontes bibliográficas utilizadas foram obras de Einstein (1999), Halliday (2012), 
Serway (2014), entre outros. As referidas obras formaram a base para a teoria básica para o 
desenvolvimento desse presente estudo. 
A pesquisa experimental teve como alicerce um experimento mental em que se propôs a 
analisar o comportamento da referida caixa em diferentes referenciais e comparar os 
resultados obtidos por cada observador. 
 
 
4 RESULTADOS E DISCUSSÕES 
 
Este é o momento em que as noções sobre o PdE desempenham um papel importante, bem 
como a teoria básica de MCU, referenciais inerciais e não inerciais e por fim algumas 
manipulações das equações de cinemática. 
 
4.1 Apresentando os Referenciais 
 
O estudo se inicia com a ideia de dois referenciais, um deles é a própria Terra, em que a 
superfície da mesma é tida como um referencial inercial; essa consideração só é permitida 
porque os experimentos são locais e de curto alcance, já que na verdade a Terra é um 
referencial não inercial, pois experimenta os efeitos de Coriolis explicados anteriormente 
(HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2012). Portanto, essas implicações podem ser 
negligenciadas. Sendo assim, a Terra será chamada de referencial R, ou seja, os experimentos 
físicos são observados na perspectiva de um observador em repouso na própria Terra. 
O outro referencial é uma caixa grande o suficiente em que possa comportar um observador 
no seu interior, as dimensões dessa caixa não importam, de início. Lembrando que essa caixa 
será usada ate o final do estudo, ela está substituindo um veículo pesado. O principal motivo é 
por conta da praticidade nas ilustrações e para o melhor entendimento. Por fim, essa caixa 
será chamada de referencial R0. 
 
4.2 O Experimento 
 
O experimento consiste em pôr a caixa em MCU e fazer um estudo desse movimento, 
simulando a situação real de uma curva. Sendo assim, a Figura 1(a) mostra a vista superior do 
MCU em questão, onde o mesmo acontece sobre uma circunferência de raio r e comprimento 
L, porém para o estudo, será considerado somente um pequeno trecho dela. De início, supõe-
se que há um objeto de massa qualquer dentro da caixa e que se encontra exatamente no 
centro do piso dela; além disso, supõe-se também que o atrito entre o objeto e o piso da caixa 
é nulo. 
Ao observara Figura 1(a), considera-se que o percurso da caixa de A até B é um movimento 
retilíneo uniforme (MRU). A partir de B, a caixa inicia um MCU e a consequência disso é que 
o objeto no interior dela se mantém com a mesma velocidade v que tinha durante o MRU em 
AB, isso visto por um observador em R, e assim o movimento do objeto continua perpétuo até 
7 
 
 
 
onde se queira ao longo de BC. É claro que numa situação real, em algum momento o objeto 
colidirá com as paredes da caixa, mas isso não interfere no estudo, pois o experimento é local 
e de pequena duração, assim não há tempo suficiente para o objeto colidir em alguma parede. 
 
 
 
 
Figura 1 – Vista superior do MCU com o objeto livre de atrito com o piso 
Fonte: Próprio autor 
 
Em seguida, tomando um trecho da circunferência num instante t pequeno, a caixa se encontra 
em P enquanto que o objeto se encontraria em P’ se caso ele continuasse seu percurso, a 
Figura 1(b) mostra mais detalhes. Isso implica que o deslocamento do objeto visto em R pode 
ser representado pela equação (6). Além de tudo, a Figura 1(b) dá um indício do que o 
observador em R0 perceberia também no instante t. 
 
 (6) 
 
Como se sabe, referenciais girantes são não inerciais, e o resultado disso é que as forças 
inerciais surgem – isso foi elucidado anteriormente na seção 2.4. Com isso, o observador 
dentro da caixa pode deduzir que o objeto se desloca por efeito dessa força resultante, que 
será representada por Fi, e esse deslocamento se dá por Δy, como indicado na Figura 1(b). 
Uma observação crucial é que Fi é equivalente a uma força gravitacional, isso é resultado do 
PdE que permite essa máxima. Logo, se o observador dentro da caixa olha ao seu redor, 
percebe que inicialmente estava parado e que num instante seguinte um campo gravitacional 
surge e o “arremessa”, juntamente com o objeto, em direção às paredes da caixa. Outra 
variável de importância imprescindível é o ângulo θ, dado em graus; ele indica o quanto a 
trajetória foi defletida ou desviada, visto que inicialmente a caixa traçaria um MRU por toda a 
extensão de BC, se não tivesse sido desviada. 
Dessa maneira, todo esse apanhado de informações e dados relevantes permite que seja 
elaborada uma expressão que mostre o comportamento desse objeto, para isso utilizam-se as 
equações da cinemática vistas na seção 2.1, especialmente as equações (3) e (5). Percebe-se 
que essas equações são equivalentes, portanto, ao serem manipuladas e considerando ti igual a 
0 e tf igual a t, encontra-se a expressão a seguir: 
 
 
 
 
 
 (7) 
 
8 
 
 
 
Integrando os dois lados da equação anterior em relação a t, e usando os limites de integração 
adequados de 0 até t, obtém-se: 
 
 
 
 
 
 
 (8) 
 
Essa última equação mostra a posição de um corpo em função da aceleração e do tempo. 
Desse modo, o deslocamento Δy da Figura 1(b) é representado por: 
 
 
 
 
 (9) 
 
A aceleração inicial e final são as necessárias para que se realize a deflexão θ no intervalo de 
tempo, que tem início em zero – dado a configuração do problema – até o tempo indicado por 
t. Importante deixar claro que essas acelerações da equação (9) é uma representação genérica 
do que seria a intensidade de um campo gravitacional sentido por um observador no interior 
da caixa, isso reflete diretamente em Fi. Contudo, antes da caixa chegar em B, não há 
aceleração que modifique sua direção, pois se trata de um MRU. Mas a partir de B, quando se 
inicia a deflexão, a aceleração aumenta linearmente. Desse modo, pode-se afirmar que, na 
visão de R0 e pelo PdE, o corpo que estava em repouso detinha uma aceleração inicial nula 
que se elevou até atingir um valor final e constante, isso implica diretamente na determinação 
de um θ visto em R. Então, na equação (9) a aceleração inicial é substituída por zero e retira-
se o subíndice da aceleração final; em resumo fica assim: 
 
 
 
 
 (10) 
 
Todavia, há outro cenário complementar que deve ser integrado ao estudo, é o de quando o 
objeto detém um atrito estático com o piso, de forma que não deslize e se mantenha em 
repouso visto em R0. 
Como é sabido, o corpo que se encontra com velocidade nula no referencial girante sofre 
influência somente da aceleração (força) centrífuga, que será representada por acf. Assim, a 
Figura 2(a) mostra como seria essa configuração; vê-se que a aceleração centrífuga aponta 
perpendicularmente à trajetória. Com base nessa observação, pode-se utilizar um conceito de 
“abstração matemática” (MÉRAY, 1903 apud DIAS, 2004, p. 19), em que as propriedades 
geométricas de um corpo sólido são invariantes; com isso, emprega-se a superposição dos 
referenciais, já que representam um “molusco de referência” (EINSTEIN, 1999, p. 82). Esse 
processo não deve violar a “penetrabilidade perfeita dos corpos” (MÉRAY, 1903 apud DIAS, 
2004, p. 19). 
Em rigor, todas as propriedades geométricas devem coincidir, quando superpostas. Resultado 
disso pode ser entendido na Figura 2(b), onde há a superposição da Figura 1(b) e a Figura 
2(a); o local P de R coincide com o local P de R0. Observa-se que para o mesmo instante t, o 
objeto seria “deslocado” por Δw devido à acf, que resultaria em uma nova posição Q ao invés 
de P’. 
 
 
9 
 
 
 
 
 
Figura 2 – Vista superior do MCU com o objeto em atrito estático com o piso 
FONTE: Próprio autor 
 
Diante dos fatos, percebe-se claramente que a possui uma componente coincidente com acf, 
além disso, nota-se que entre as duas acelerações o ângulo θ aparece (Figura 3), logo, a 
relação entre elas é representada pela equação (11): 
 
 (11) 
 
Por semelhança de triângulos, é possível deduzir as outras relações importantes, a Figura 3 
auxilia no raciocínio; ressaltando que, por ser um experimento que toma um pequeno trecho 
da circunferência com t pequeno, as linhas curvas podem ser aproximadas por linhas retas. 
 
 
 
 
Figura 3 – Triângulos semelhantes. 
FONTE: Próprio autor. 
 
Por conseguinte, segue a proporção entre os lados dos triângulos retângulos BPP’ e BPQ: 
 
 
 
 
 
 
 
 (12) 
 
 
 
 
 
 
 
 (13) 
 
 
 
 
 (14) 
 
10 
 
 
 
 
 
 
 (15) 
 
Em seguida, substitui-se a equação (15) na equação (11), ficando assim: 
 
 
 
 
 
 
(16) 
 
Por fim, simplificando as funções trigonométricas, resulta em: 
 
 
 
 
 
 (17) 
 
Essa última implica que ao se realizar uma curva, deve existir necessariamente uma 
aceleração – num intervalo de tempo t pequeno – e consequentemente uma força, que faz com 
que um corpo saia de um MRU para um MCU, como foi visto na Figura 1(a) e (b). Além 
disso, essa aceleração cresce linearmente em t, visto que nesse mesmo intervalo o raio da 
circunferência era inicialmente um valor no infinito e em t passa a ser um valor finito igual a 
r. Ao final dessa variação, af ou a - da equação (9) e (10), respectivamente - estagna e se torna 
a aceleração que já é de conhecimento de todos, centrípeta ou centrifuga, dependendo do 
ponto de vista. 
Outro fato que deve ser abordado é a respeito da componente a∙senθ (Figura 3), ela é 
contrária ao sentido da trajetória. No entanto essa componente logo se extingue ao final do 
intervalo de tempo t, e a acf passa a ser a única aceleração atuante em R0. No fim, essa 
componente não influencia no propósito desse experimento, visto que os corpos em R0 estarão 
preferencialmente em repouso. Logo, a força de Coriolis não atua. 
 
4.3 Dimensões da Caixa e o Estudo das Forças 
 
Agora as dimensões da caixa são consideradas,bem como seu Centro de Gravidade (CG). 
Importante salientar que CG é diferente de Centro de Massa (CM) por definição, mas como o 
experimento acontece no solo e as dimensões da caixa são relativamente pequenas, pode-se 
considerar que essas duas grandezas são equivalentes, pois, para que houvesse uma diferença 
significativa, o CG teria que ser da ordem de quilômetros de altura (HALLIDAY; RESNICK; 
WALKER, 2012). 
Sendo assim, imagina-se que a caixa tenha as dimensões ao longo dos eixos x, y e z de um 
Sistema de Coordenas Cartesiano (SCC), e que o CG seja dado em função dos mesmos, isto é, 
um ponto M(xCG,yCG,zCG), vê-se Figura 4; nela é mostrada como estão dispostas as dimensões 
da caixa. O eixo x está paralelo ao solo e ao raio r da curva, com sentido positivo apontado 
para o centro da curva. Já o eixo y está perpendicular ao solo, isto é, na vertical, com o sentido 
positivo apontado para cima, desse modo, o solo é o referencial zero. Por fim, o eixo z está 
paralelo à direção do deslocamento, com o sentido positivo coincidindo com o sentido da 
velocidade v; observa-se também que o vetor velocidade está adentrando o plano xy, que esse, 
por sua vez, sempre se encontra paralelo ao raio da curva. Outro fato que deve ser exposto é o 
de que, o plano xy gira em torno de um eixo deslocado y’, que passa pelo centro da curva à 
medida que ocorre o translado da caixa. 
 
 
11 
 
 
 
 
 
Figura 4 – Dimensões da caixa dispostas em um SCC 
FONTE: próprio autor 
 
O próximo passo é a análise das forças que interagem com o sistema em movimento. Na 
Figura 5 são mostradas as forças atuantes, bem como a maneira que elas são percebidas por 
cada observador nos seus respectivos referenciais. Desse modo, para um observador em R, 
verifica-se o que já era esperado: a força atuante é a força centrípeta Fcp, que nada mais é que 
a força resultante, de acordo com a 2ª lei de Newton. Ressaltando que as forças na vertical, ou 
seja, força gravitacional e a normal se anulam, dessa maneira não há movimento ao longo do 
eixo y. 
 
 
 
 
Figura 5 – Forças atuantes indicadas em cada referencial 
FONTE: Próprio autor 
 
12 
 
 
 
Em R0 as forças que atuam no CG da caixa são: a força gravitacional Fg e uma força inercial 
Fi. E assim, como a força inercial atua no CG, pode-se aplicar a 2º Lei de Newton para uma 
massa m da caixa: 
 
 (18) 
 
Substituindo a equação (17) na equação (18), tem-se: 
 
 
 
 
 
 (19) 
 
Portanto, tem-se aqui uma equação que representa a força inercial experimentada por um 
observador em R0, no intervalo de tempo t que ocorre a deflexão θ, bem como qualquer corpo 
fixo no interior da caixa e isso engloba o CG. 
 
4.4 Condições de Equilíbrio e Tombamento 
 
Voltando à Figura 5, observa-se que podem ser aplicadas as condições de equilíbrio no 
sistema. Onde as mesmas afirmam que o somatório das forças que agem sobre o corpo deve 
ser nulo, e que o somatório dos torques (momento) que agem sobre o corpo, medidos em 
relação a qualquer ponto, igualmente deve ser nulo (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 
2012). Entretanto, para aplicação das condições anteriores, tem que ser levado em conta o 
“comportamento tridimensional” do sistema na perspectiva do observador em R0. Sendo 
assim, nota-se à primeira vista, que o movimento na direção de z se dá por um equilíbrio 
estático, pois não há forças atuando nessa direção, o observador não percebe nada, isto é, ele 
não tem acesso a informações exteriores. A única informação, empírica por sinal, que ele tem 
é a de que um campo gravitacional, segundo o PdE, atua sobre ele e quaisquer coisas ao seu 
redor. 
Pois bem, continuando na Figura 5, observa-se que Fi e Fg possuem um torque referente a 
cada uma delas. Porém, o torque de Fi não deve ultrapassar o torque de Fg; isso garante que a 
caixa não tombe, caso contrário, a tendência ao tombamento é iminente. Portanto, os torques 
podem ser relacionados da seguinte maneira: 
 
 (20) 
 
 
 
 
 (21) 
 
Resolvendo para a velocidade, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (22) 
 
Ou ainda: 
 
 
 
 
 
 (23) 
 
Essa última equação exprime o quanto a caixa pode atingir de velocidade para que não tenda 
ao tombamento. 
13 
 
 
 
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
O desenvolvimento do presente estudo possibilitou uma análise essencial do comportamento 
dos veículos pesados, visto que os mesmos apresentam uma notável tendência ao tombamento 
nas curvas. Com isso foi possível desenvolver uma equação que rege a velocidade desses 
veículos diante das curvas. Além disso, essa equação exclui a necessidade de conhecer as 
variáveis como: a aceleração centrífuga e o raio da curva. 
Em tese, a equação (23) monitora o comportamento do veículo sujeito a qualquer movimento 
que fuja do MRU e passe a ser um MCU; visto que ao mínimo de mudança na direção da 
velocidade do veículo, surge um ângulo θ que implica na conservação ou redução dessa 
velocidade que se limita à equação (23). 
Também vale a contribuição das dimensões do veículo e como elas estão dispostas de acordo 
com a configuração da situação-problema. Elas estão relacionadas com a variável φ. Isso 
explica um dos motivos que causa o tombamento desses veículos pesados nas curvas, pois, 
como o CG deles se encontram mais altos com relação ao solo, então o termo representado 
pela tangente de φ torna-se maior, logo implica numa velocidade menor, isso em comparação 
com veículos leves. 
Em contrapartida, curvas realizadas de maneira abrupta contribuem para o tombamento, visto 
que, para o mesmo tempo, manobras repentinas requerem menores velocidades para que a 
equação (23) não seja violada, e isso nem sempre é possível, pois não há tempo suficiente 
para que o condutor do veículo reduza essa velocidade. 
Através dessa análise, verifica-se então que a manipulação da equação (23) corrobora para o 
que é esperado em teoria. Quanto à prática, pode-se afirmar que também se aplica, pois é um 
experimento mental que segue os preceitos físicos e matemáticos sem que haja algum 
equívoco ou contradição. Sendo assim, os resultados mostram que os objetivos foram 
realmente alcançados. 
Ressalta-se que nesse estudo, substituição do veículo por uma caixa teve grande utilidade, 
pois simplificou o entendimento das ilustrações, e não interferiu no resultado final. Ademais, 
analisar o comportamento dela em referenciais distintos, permitiu um vislumbre a respeito de 
superposição das propriedades geométricas de um corpo, juntamente com o Princípio da 
Equivalência. Como resultado obteve-se a equação (11) que foi crucial para o 
desenvolvimento posterior. 
Igualmente importante, outras relações foram obtidas por meio da semelhança de triângulos 
que resultaram na equação (15) que, em conjunto com equação (11), estabeleceu a equação 
(17); essa última por sua vez auxiliou na inferência da equação (23) mediante as condições de 
equilíbrio exploradas na seção 4.4. 
Os resultados alcançados são consistentes em tese, mas seria interessante a verificação na 
prática utilizando esses resultados. Para a tecnologia automotiva que se tem hoje, acredita-se 
que não seria um trabalho difícil. Determinar o intervalo t exigiria componentes eletrônicos 
precisos já que o tempo em que ocorre o fenômeno é bem pequeno. O ângulo φ é o que detém 
a menor dificuldade para ser determinado, pois o mesmo depende somente da construção do 
veículo, ou seja, é algo que pode ser verificado na própria fabricação dele e posteriormente 
monitorado por sensores dispostos no mesmo, enfim, isso é algo sujeito ao fabricante. Por 
último, tem-se o ângulo θ, a determinaçãodesse é um tanto mais difícil, comparado as outras 
variáveis, visto que é necessário algum dispositivo ligado a estrutura do veiculo, e que dentro 
desse dispositivo se encontre um ponteiro – inicialmente paralelo ao comprimento do veículo 
– que se mova livremente por inércia enquanto suceda as curvas, dessa forma a deflexão pode 
ser constatada. Julga-se ser possível fazer isso de maneira digital também; acredita-se que a 
tecnologia de acelerômetros resolva isso. 
14 
 
 
 
Nessa perspectiva, esse estudo mostra que o comportamento dos veículos pesados nas curvas 
pode ser regido por uma lei matemática, além disso, exclui a necessidade de variáveis que 
dependam de medições externas e que são inacessíveis em tempo real. 
 
 
6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
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uma pia, 2009. Disponível em: <https://www.algosobre.com.br/fisica/a-forca-de-coriolis-
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2019. 
 
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v. 6, nº 2, p. 57-82, 2004. 
 
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1999. 
 
GAUDIO, Anderson C. 6-4: aceleração instantânea || prof. Anderson: aula de física em 
flash. 2010. (5:08). Disponível em: <https://youtu.be/IhyTsd2wDP4>. Acesso em: 03 mar. 
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Janeiro: LTC, 2012. 
 
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Janeiro: LTC, 2012. 
 
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PAMCARY®. Um diagnóstico de acidentes de caminhões. São Paulo: 2007. 
 
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SEMENZATO, Marcus José et al. Construção de um Aparato Experimental Destinado a 
Demonstração do Efeito Provocado pela força de Coriolis. Revista brasileira de ensino de 
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SERWAY, Raymond A.; JEWETT, John W. Princípios de física. 5. ed. São Paulo: Cengage 
Learnig, 2014. 
 
SILVA, Júlio Eloísio Brandão da, Níveis de Landau-Coriolis, 2013. 55f. Dissertação de 
Mestrado em Física. Universidade Federal da Paraíba. Joao Pessoa, 2013.