Translação e Rotação

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Mec. Ger. II – Cinemática do corpo – translação e rotação (2D/3D) – A. R. Alvarenga / 2012 1/2 
 
 
MECÂNICA GERAL II 
Cinemática do corpo – translação e rotação (2D/3D) 
 
Sistema fixo – sistema coordenado global e inerte (parado/fixo) com eixos X/Y/Z, de 
unitários direcionais (I, J, K). 
 
Sistema móvel – sistema coordenado local e que acompanha à translação e à rotação do 
corpo estudado, dependendo da análise, com eixos x/y/z de unitários direcionais 
(i, j, k). 
 
Translação – movimento linear ou curvilíneo com as seguintes características: 
Quaisquer pontos A–B selecionados do corpo guardam a mesma posição relativa 
entre si e ângulos em relação a um sistema coordenado que acompanhe o 
movimento (x/y/z). 
 
Trajetória – de um ponto (P) descreve a trajetória de todos os pontos, (o Centro de 
Massa G descreve todo o movimento): r(P) = rG 
Deslocamento – todos os pontos sofrem o mesmo deslocamento: s(P) = sG 
Velocidade – de um ponto (P) é a mesma de todos os pontos: v(P) = vG 
Aceleração – de um ponto (P) é a mesma de todos os pontos: a(P) = aG 
 
Rotação – giro do corpo em torno de um eixo A, no qual todos os pontos possuem a 
mesma velocidade zero (vA = 0). 
 
Trajetória – de um ponto (P) descreve um arco (ou um círculo) em torno do eixo A, de 
raio definido pela distância do ponto ao eixo rP = dAP (visto no plano que contém 
os pontos (A, P) e que é perpendicular ao eixo A. 
Deslocamento – medida do arco descrito: ds = r. dθ → s–s0 = r(θ–θ0) {escalar} 
Rotação – ângulo de giro θ: não é vetor (possui módulo, direção e sentido), mas não 
aceita a propriedade comutativa da adição vetorial: θ + Φ ≠ Φ + θ. Na forma 
infinitesimal: aceita-se, aproximadamente, que dθ + dΦ ≈ dΦ + dθ; desprezando-
se a diferença (como se fosse um vetor). Rotação anti-horária (+). 
Unidades: [radianos, graus, grados, giro/volta, rotações] 
Velocidade angular – vetor taxa de variação do ângulo de giro em função do tempo: 
 ω = dθ/dt, direção: mesma do eixo de rotação, sentido anti-horário (+). 
Unidades: [rad/s, cps (ciclos por segundo), rpm (rotações por minuto)] 
Relações extras: ω = 2πn/T = 2πnf, T = período, tempo de uma volta; n = número 
de voltas (rotações por minuto) quando T = 60 s; f = frequência [Hz] ciclos por s. 
Todos os pontos do corpo, exceto o eixo, possuem a mesma velocidade angular ω. 
Aceleração angular – vetor taxa de variação da velocidade angular em função do tempo: 
α = dω/dt, direção: em geral, não coincide do eixo de rotação, sentido anti-horário 
(+). Unidades: [rad/s2] 
Velocidade (instantânea) – tangente ao círculo descrito no plano do movimento. Dado 
raio vetor rP (P) = (rx i + ry j + rz k) que sai de qualquer ponto A do eixo 
atingindo o ponto P, e a velocidade angular ω = (ωx i + ωy j + ωz k), define-se a 
velocidade v = (vx i + vy j + vz k) como o produto vetorial v = ω × rP, conforme: 
 
( ) ( ) ( )kji
kji
rωv rωrω rωrω rωrω
rrr
ωωω xyyxzxxzyzzy
zyx
zyxP −+−+−==×= 
Mec. Ger. II – Cinemática do corpo – translação e rotação (2D/3D) – A. R. Alvarenga / 2012 2/2 
 
 
 
 Obs.: Escalar: v = ω.rP.sen(Ф) = ω.r [pois, r = rP.sen(Ф)]. Perpendicular aos 
vetores rP e ω, tangente à trajetória (círculo de raio r). 
 
Aceleração – a = dv/dt = d[rp × ω]/dt = α × rp + ω ×(ω × rp) = α × rp – ω2 rp, (parcela 
tangencial: depende da aceleração angular α + parcela normal = centrípeta). 
Direção: em geral, não coincide do eixo de rotação, sentido anti-horário (+). 
 
Equações gerais (para problemas de rotação com αc constante): 
1) ω = ω0 + αc (t – t0) (vetor) 
2) θ = θ0 + ω0 (t – t0) + αc (t – t0)2/2 (escalar) 
3) ω2 = ω02 + 2αc (θ – θ0) (escalar) 
4) v = ω.r (escalar) ou v = ω × rP (vetor) 
 
Teorema de Chasles: todo movimento (geral) pode ser analisado como a combinação 
(soma) de movimento(s) de translação e de rotação. 
Enunciado: O campo de velocidades de um corpo (sólido) rígido cumpre a condição 
).().( kikkii rrvrrv −=− apenas quando o movimento do corpo é descrito por uma 
translação v0 e uma rotação ω0, conforme: rωvrv ×+= 00).( 
 
Procedimento (geral) 
1) Definir sistemas coordenados: origem e direção dos movimentos (para um 
ponto P): definir posição s (translação) e θ (rotação). 
2) Relacionar pela trigonometria/condições do problema: s = f(θ). 
3) Encontrar as derivadas temporais que relacionam as grandezas lineares e 
angulares, aplicando a regra da cadeia: 
 
ωvs )θ( θ)θ( ff ′=→′= &&
 
αωas )θ( )θ( θ)θ( θ)θ( 22 ffff ′+′′=→′+′′= &&&&&
 
4) Aplicar as equações gerais (quando for o caso). 
5) Fazer as integrações temporais (no tempo) dessas grandezas. 
 
 
 
Referências: 
HIBBELER, R.C.; Dinâmica – Mecânica para Engenharia Cap. 16/20. 
 
 
 Prof. ARTHUR/2012 
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