unid_1cinematica dos sólidos

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Autor: Prof. Fábio Sevegnani
Cinemática dos Sólidos
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Professor conteudista: Fábio Sevegnani
Doutor e mestre em Engenharia de Produção, especialista em Engenharia de Segurança do Trabalho e bacharel em 
Engenharia de Controle e Automação pela Universidade Paulista (UNIP). 
Trabalhou como engenheiro na área de segurança perimetral de células de manufatura robotizadas e automatizadas, 
bem como na área de sistemas de freios ferroviários. 
Coordenou o ciclo básico dos cursos de Engenharia da Universidade Paulista no campus Tatuapé entre os anos de 
2008 e 2013. Coordenou os cursos de Engenharia de Produção Mecânica e Engenharia de Automação e Controle da 
Universidade Paulista no campus Tatuapé entre os anos de 2011 e 2014.
Atua como professor titular dos cursos de Engenharia da Universidade Paulista em diversos campi, ministrando 
disciplinas ligadas a Mecânica Geral e Mecânica dos Fluidos. Líder da disciplina de Circuitos Fluidomecânicos e 
Acionamentos Fluidomecânicos.
Participa do programa de pesquisa docente da Universidade Paulista atuando em conjunto com o grupo de 
pesquisa de Produção Mais Limpa e Ecologia Industrial do Programa de Pós-graduação da UNIP. Possui publicações em 
revistas e anais de congresso internacionais. 
© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou 
quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem 
permissão escrita da Universidade Paulista.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
Z13 Zacariotto, William Antonio
Informática: Tecnologias Aplicadas à Educação. / William 
Antonio Zacariotto - São Paulo: Editora Sol.
il.
Nota: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e 
Pesquisas da UNIP, Série Didática, ano XXII, n. 2-006/11, ISSN 1517-9230.
1.Informática e tecnologia educacional 2.Informática I.Título
681.3
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Prof. Dr. João Carlos Di Genio
Reitor
Prof. Fábio Romeu de Carvalho
Vice-Reitor de Planejamento, Administração e Finanças
Profa. Melânia Dalla Torre
Vice-Reitora de Unidades Universitárias
Prof. Dr. Yugo Okida
Vice-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Profa. Dra. Marília Ancona-Lopez
Vice-Reitora de Graduação
Unip Interativa – EaD
Profa. Elisabete Brihy 
Prof. Marcelo Souza
Prof. Dr. Luiz Felipe Scabar
Prof. Ivan Daliberto Frugoli
 Material Didático – EaD
 Comissão editorial: 
 Dra. Angélica L. Carlini (UNIP)
 Dra. Divane Alves da Silva (UNIP)
 Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR)
 Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT)
 Dra. Valéria de Carvalho (UNIP)
 Apoio:
 Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD
 Profa. Betisa Malaman – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos
 Projeto gráfico:
 Prof. Alexandre Ponzetto
 Revisão:
 Juliana Maria Mendes
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Sumário
Cinemática dos Sólidos
APRESENTAÇÃO ......................................................................................................................................................7
INTRODUÇÃO ...........................................................................................................................................................7
Unidade I
1 CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS ............................................................................................................................9
1.1 A cinemática ..............................................................................................................................................9
1.2 O sólido e suas propriedades ........................................................................................................... 10
1.3 Classificação dos movimentos ........................................................................................................ 11
2 MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO ................................................................................................................. 11
2.1 Verificação da translação ou da não translação ...................................................................... 12
2.2 Translação retilínea .............................................................................................................................. 13
2.3 Translação curvilínea........................................................................................................................... 16
2.4 Propriedades cinemáticas da translação de sólidos ............................................................... 19
3 MOVIMENTO DE ROTAÇÃO EM TORNO DE EIXO FIXO – ESCALAR ............................................... 22
3.1 Verificação da rotação em torno de eixo fixo........................................................................... 22
3.2 Grandezas e equações cinemáticas escalares do sólido girante ....................................... 29
4 MOVIMENTO DE ROTAÇÃO EM TORNO DE EIXO FIXO – VETORIAL .............................................. 62
4.1 Grandezas e equações cinemáticas vetoriais do sólido girante ........................................ 62
Unidade II
5 MOVIMENTO PLANO ..................................................................................................................................... 86
5.1 Definição ................................................................................................................................................. 86
5.2 Interpretação física e verificação do movimento plano ...................................................... 86
6 MOVIMENTO PLANO – CÁLCULO DE VELOCIDADES PELO MÉTODO GEOMÉTRICO .............. 89
6.1 O Centro Instantâneo de Rotação (CIR) ...................................................................................... 89
6.2 Interpretação simplificada do movimento plano utilizando o CIR .................................. 89
6.3 Métodos geométricos para a determinação do CIR .............................................................. 90
Unidade III
7 MOVIMENTO PLANO – CÁLCULO DE VELOCIDADES PELO MÉTODO VETORIAL ....................122
8 MOVIMENTO PLANO – CÁLCULO DE ACELERAÇÕES PELO MÉTODO VETORIAL ...................143
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APRESENTAÇÃO
Caro aluno,
Cinemática dos Sólidos é a primeira disciplina do curso que estuda as grandezas cinemáticas posição, 
velocidade e aceleração aplicadas ao corpo rígido (sólido).
Temos como objetivo principal desenvolver uma visão factível da mecânica, criando uma “intuição” 
correta dos fenômenos mecânicos e preparando-o para entender os dispositivos mecânicos comuns à 
vida do engenheiro. 
Os sólidos e os mecanismos estudados servem como base para mecanismos mais complexos que 
serão abordados em disciplinas mais avançadas em algumas modalidades do curso de engenharia.
A disciplina Cinemática dos Sólidos terá continuidade na disciplina Dinâmica dos Sólidos. É 
fundamental atentar à dependência que a Dinâmica dos Sólidos possui em relação à disciplina 
Cinemática dos Sólidos. Podemos explicar essa dependência de forma relativamente simples. O Princípio 
Fundamental da Dinâmica (F = m.a) possui a grandeza cinemática aceleração em sua formulação. Dessa 
forma, os conceitos cinemáticos são fundamentais no estudo da dinâmica.
Desenvolvemos os conceitos da disciplina de forma sintética e ao mesmo tempo detalhada, com o 
auxílio de exemplos práticos. 
O leitor deve estudar e focar os conceitos teóricos e em seguida passar aos exemplos de aplicação. 
A melhor forma de entender um assunto é focar o conceito fundamental, pois este é a ferramenta para 
a resolução de qualquer exercício do assunto. 
INTRODUÇÃO
Os três movimentos de sólidos estudados neste livrosão: 
• Movimento de translação. 
• Movimento de rotação em torno de eixo fixo. 
• Movimento plano. 
O movimento de rotação em torno de eixo fixo será estudado de duas maneiras: escalar e vetorial.
O movimento plano será estudado também de duas maneiras: 
• Método geométrico, que utiliza o conceito do Centro Instantâneo de Rotação (CIR), que permite 
apenas calcular velocidades de pontos e velocidades angulares de sólidos. 
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• Método vetorial, que possibilita desenvolver cálculos de velocidades e acelerações de pontos e 
velocidades angulares e acelerações angulares de sólidos. 
O leitor deve ficar atento ao fato de que na disciplina seguinte, Dinâmica dos Sólidos, os mesmos 
movimentos serão estudados, porém sob o foco da dinâmica. Então, é de fundamental importância 
o entendimento completo dos conceitos de cada um dos movimentos para aplicação futura em 
Dinâmica dos Sólidos.
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
Unidade I
1 CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
Neste primeiro tópico iremos entender o nome da disciplina, Cinemática dos Sólidos. Faremos uma 
revisão de conceitos sobre a cinemática e seu escopo de estudo. Em seguida, entenderemos o conceito 
de sólido, fazendo comparações com o conceito de partícula. Ao final, estudaremos a classificação dos 
movimentos que serão estudados para os sólidos. 
1.1 A cinemática
Trata-se da parte da mecânica que estuda o movimento de um corpo sem se preocupar com a causa 
desse movimento. A causa do movimento é a aplicação de força(s) ao corpo. A parte da mecânica que 
estuda o movimento levando em conta sua causa é a dinâmica.
Dessa forma, em resumo, a cinemática estuda a variação das grandezas posição, velocidade e 
aceleração, em função do tempo, para um determinado corpo, seja ele partícula ou sólido. 
O entendimento do escopo de estudo da cinemática é de extrema importância, pois muito 
comumente o aluno perde o foco do estudo procurando, de forma errada, forças em exercícios 
de cinemática. 
É importante lembrar ao leitor que a dinâmica é altamente dependente da cinemática, pois dentro 
do Princípio Fundamental da Dinâmica (2ª Lei de Newton) está presente uma grandeza cinemática, a 
aceleração (a).
Princípio Fundamental da Dinâmica (2ª Lei de Newton): 
F = m.a
 Lembrete
A dinâmica estuda os movimentos sob o foco das causas destes, as 
forças. Por isso, a cinemática é absolutamente necessária para o estudo 
da dinâmica.
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Unidade I
1.2 O sólido e suas propriedades
Antes de falarmos do sólido, vamos relembrar o conceito da partícula. Partícula é um corpo de 
dimensões desprezíveis em relação às distâncias que percorre. O leitor deve estar bastante atento a essa 
definição. Muitos estudantes ficam presos à ideia de que a partícula é um corpo muito pequeno, quando 
na verdade o conceito é relativo às distâncias percorridas pela partícula. 
Por exemplo, um veículo desenvolvendo uma viagem de 400 km de distância pode ser considerado 
como uma partícula. Já o mesmo veículo desenvolvendo uma manobra dentro de uma garagem não 
pode mais receber o mesmo tratamento de partícula.
wO sólido, por sua vez, é um corpo de dimensões consideráveis, ou seja, que não podem ser 
desprezadas e devem ser conhecidas. Além desta, o conceito de sólido tem como principal propriedade a 
rigidez. Em outras palavras, o sólido deve ser entendido como um corpo indeformável. Do ponto de vista 
geométrico, poderemos dizer que um corpo é dito sólido ou rígido quando a distância entre dois pontos 
quaisquer dele for constante. Do ponto de vista matemático, devemos imaginar um vetor que liga dois 
pontos quaisquer O e P do sólido OP
 
, como na figura seguinte. O módulo desse vetor, que representa 
seu comprimento, será constante. Dessa forma, a condição da rigidez do sólido é resumida na seguinte 
realidade matemática: || ||P O− = constante.
O
P
Sólido ou 
corpo rígido
Figura 1 – Propriedade de rigidez do sólido 
Essa definição representa na verdade uma abstração da realidade, porém facilitadora do estudo da 
cinemática e da dinâmica. 
O leitor deve estar muito atento à condição de rigidez do sólido como sua principal propriedade. 
Além disso, esse conceito não pode se confundir com o estado sólido da matéria. Por exemplo: a 
borracha que compõe o pneu de um carro está no estado sólido da matéria. Porém, não possui a 
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
propriedade da rigidez; afinal, quando submetida à compressão ou à tração, muda suas dimensões 
quebrando a realidade matemática ||P - O|| = constante. Dessa forma, a borracha não pode ser 
considerada um corpo rígido. 
Neste ponto, o leitor possivelmente esteja se perguntando sobre outros exemplos. Tomando 
outro caso: a carroceria de um veículo sofre alterações dimensionais momentâneas e reversíveis 
quando o veículo passa em um obstáculo. Então este veículo não é um corpo rígido? A resposta 
é: desconsiderando as alterações dimensionais, que seriam estudadas por outras áreas, o veículo 
é um corpo rígido. 
Finalizamos a definição de sólido ou corpo rígido lembrando que esta é na verdade uma abstração 
da realidade, que não permite a ideia de quaisquer alterações dimensionais do corpo em estudo. 
1.3 Classificação dos movimentos
Os movimentos de um sólido podem ser classificados em:
• Movimento de translação. 
• Movimento de rotação em torno de eixo fixo. 
• Movimento plano.
Os capítulos que seguem tratarão individualmente de cada um desses movimentos, focando a 
identificação, a verificação e o equacionamento dos movimentos.
2 MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO 
O estudo do movimento de translação, do ponto de vista cinemático, é um tanto quanto simples. 
Ao final do estudo da cinemática do movimento de translação, o leitor irá perceber que as propriedades 
desse movimento são quase a observação do óbvio. 
 Observação
Neste tópico, tomaremos uma abordagem inicialmente da classificação 
do movimento como de translação ou de não translação. Quando a não 
translação for observada, não nos preocuparemos em identificar qual o 
real movimento em específico. Nos tópicos seguintes, os casos de não 
translação serão esclarecidos. 
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Unidade I
2.1 Verificação da translação ou da não translação
A verificação do movimento como de translação ou de não translação é feita por meio de observação 
vetorial. Para isso, primeiro precisamos entender quando ocorre a translação. 
“Um sólido desenvolverá movimento de translação quando qualquer vetor imaginário for sempre 
paralelo a ele mesmo no instante de observação anterior.”
Em outras palavras, o segmento orientado (vetor) que liga dois pontos quaisquer não muda a sua 
direção durante o intervalo de observação. 
O leitor deve ter atenção ao trecho grifado no texto que enfatiza que qualquer vetor deve ser 
paralelo a ele mesmo na situação anterior. Dessa forma, em algumas situações, para a confirmação da 
translação, devemos observar mais de um vetor. 
Vamos ao exemplo presente na figura a seguir.
A
P
Q A
P
Q
A
P
Q
Figura 2 – Sólido desenvolvendo a não translação 
Analisamos o sólido em movimento em três instantes, ou, se o leitor preferir, em três “fotos”. 
Observamos que os vetores AP e AQ
   
 possuem em cada um dos três instantes uma direção. Assim, 
nenhum dos dois vetores se manteve paralelo a eles mesmos na situação anterior no intervalo de 
estudo. Basta um vetor do sólido mudar a sua direção durante o intervalo de estudo para caracterizar 
a não translação. 
Vamos agora ao exemplo presente na figura seguinte.
A A A
P P PQ Q Q
Figura 3 – Sólido desenvolvendo movimento de translação 
Analisamos o sólido em movimento em três instantes. Observamos agora que os vetores AP e AQ
   
 
possuem em cada um dos três instantes a mesma direção. Dessa forma, ambos os vetores se mantiveram 
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
paralelos a eles mesmos na situação anterior no intervalo de estudo. Assim, está caracterizado o 
movimento de translação. 
Dando continuidade ao estudo do movimento de translação, uma vez observada e confirmada a 
translação do sólido, esta pode ainda receber a classificação adicional de: 
• Translação retilínea. 
• Translação curvilínea.
2.2 Translação retilínea
Recebe esse nome porque nela todos os pontos do sólido descrevem trajetórias retas (figura a seguir). 
PPP
Q Q Q
Figura 4 – Sólido em translação retilínea 
Exemplos de translação retilínea:
• Pistão de um motor de combustão interna (figura seguinte). 
O
O
O
P
Pistão
P
P
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Unidade I
Figura 5 – Pistão de um motor de combustão interna
• Portas e portões de correr em geral (figura que segue). 
Sentido de 
movimento
Figura 6 – Porta corrediça 
• Movimento de subida de uma caixa em uma escada rolante (figura seguinte). 
Figura 7 – Caixa subindo em uma escada rolante 
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
• Movimento de subida ou descida de um elevador (conforme ilustrado a seguir). 
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Unidade I
Figura 8 – Movimento de um elevador 
2.3 Translação curvilínea
Recebe esse nome porque nela todos os pontos do sólido descrevem trajetórias curvas (conforme 
mostrado nas duas próximas figuras).
P
P
P
Q
Q
Q
Figura 9 – Sólido em translação curvilínea 
A1 B1
D1
B2
D2
A2
C1
C2
Figura 10 – Sólido em translação curvilínea 
Exemplos de translação curvilínea:
• Movimento das gaiolas de uma roda-gigante (figura a seguir). 
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
Figura 11 – Movimento das gaiolas de uma roda-gigante 
Este exemplo é especialmente importante, pois por vezes a translação curvilínea e a rotação são 
confundidas. Essa confusão talvez ocorra pelo fato de que ninguém diz que irá transladar curvilineamente 
na roda-gigante. Normalmente é dito que a pessoa vai girar na roda-gigante. Feita a análise vetorial 
e observados os vetores paralelos na estrutura da gaiola, está caracterizada a translação, que é dita 
curvilínea em razão de as trajetórias dos pontos serem curvas, neste caso em especial, circulares.
Exemplo de aplicação
Imagine que a figura a seguir represente uma porta tradicional de folha simples. O observador está 
posicionado de frente para a porta, que está inicialmente fechada e se abre em sua direção.
Figura 12 – Observação de um movimento de forma limitada (vista frontal) 
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Unidade I
Observe o eixo das dobradiças e o vetor AP
 
. Observando-o nos três instantes, um leitor mais 
apressado poderia concluir que como esse vetor é sempre paralelo a ele mesmo na situação 
anterior, o sólido está desenvolvendo uma translação. Essa é uma visão restrita do movimento. 
Para a observação do movimento de translação, devemos garantir que qualquer vetor permaneça 
paralelo a ele mesmo na situação anterior. A análise do movimento utilizando somente um vetor, 
no caso, o AP
 
, induz ao erro. 
Na figura que segue é mostrado mais um vetor BP

 que descaracteriza a translação. Observe a vista 
superior, que auxilia na visualização da abertura da porta.
Figura 13 – Observação de um vetor adicional no movimento do sólido (vista frontal e superior) 
Fica bem claro que o vetor BP

 muda a sua direção em cada um dos instantes que ilustram a abertura 
da porta. Dessa forma, está descaracterizado o movimento de translação, pois um único vetor do sólido 
mudou sua direção. A classificação desse movimento, como dissemos, está momentaneamente limitada 
à não translação. Nos próximos tópicos voltaremos a comentar esse exemplo. 
Tal exemplo de aplicação visa mostrar ao leitor que em algumas situações a observação de apenas 
um vetor leva a uma classificação precipitada do movimento. O leitor deve atentar-se ao fato de que 
qualquer vetor imaginário do sólido (não apenas um) deve manter sua direção. A atenção a esse ponto 
elimina quaisquer classificações erradas. 
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
 Lembrete
Para que seja verificada a translação de um sólido, é necessário que 
qualquer vetor imaginário do sólido permaneça paralelo a ele mesmo 
no instante de visualização anterior. Basta que um único vetor mude sua 
direção para que se estabeleça a não translação.
2.4 Propriedades cinemáticas da translação de sólidos
Neste tópico será feita a dedução matemática do movimento de translação do sólido e serão 
apresentadas suas propriedades.
A próxima figura mostra um sólido genérico em translação e uma referência externa fixa O. São 
mostrados os vetores posição dos pontos P e Q, r P O e r Q OP Q
 
= − = − .
Figura 14 – Sólido em translação e os vetores posição de dois pontos
Somando os vetores na figura anterior, temos:
( ) ( ) ( )Q O P Q P O− + − = −
r P Q rQ P
 
+ − =( ) eq. 2.1
Derivando a soma vetorial em relação ao tempo, temos: 
d
dt
r
d
dt
P Q
d
dt
rQ P
 
+ − =( ) eq. 2.2
A derivada temporal dos vetores posição dos pontos P e Q resulta no vetor velocidade de cada ponto.
d
dt
r v e
d
dt
r vQ Q P P
    
= =
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Unidade I
A derivada temporal 
d
dt
P Q( )− resulta em zero, pois:
• O vetor QP
 
 possui módulo constante para garantir a condição de rigidez. 
• O vetor QP
 
 deve manter sua direção constante, pois o sólido está em translação.
Sendo d
dt
P Q( )− = 0 , retornamos na equação 2.2 e temos então que:
v
d
dt
P Q vQ P
  
+ − =( ) resultando: v vP Q
  
= eq. 2.3
A eq. 2.3 nos leva à primeira propriedade cinemática do movimento de translação do sólido: “no 
sólido em translação todos os pontos possuem a mesma velocidade (v)”.
Derivando a eq. 2.3 em relação ao tempo, temos:
d
dt
v
d
dt
vP Q
  
=
A derivada temporal dos vetores velocidade dos pontos P e Q resulta no vetor aceleração de 
cada ponto.
d
dt
v a e
d
dt
v aP P Q Q
    
= =
Assim, temos que:
a aP Q
 
= eq. 2.4
A eq. 2.4 nos leva à segunda propriedade cinemática do movimento de translação do sólido: “no 
sólido em translação todos os pontos possuem a mesma aceleração (a)”.
Finalizando o estudo do movimento de translação do sólido, enunciamos a terceira propriedade 
cinemática: “no sólido em translação todos os pontos descrevem trajetórias congruentes”.
Para que fique mais clara essa terceira propriedade, retome a figura anterior. Vamos observar as 
trajetórias dos pontos A, B e C pertencentes à gaiola da roda-gigante mostrada na Figura 11. Cada um 
desses pontos descreve uma trajetória, e todas essas trajetórias possuirão a mesma forma, neste caso, 
circunferências de mesmo diâmetro. As trajetórias de mesma forma são ditas congruentes.
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
Figura 15 – Pontos do sólido em translação curvilínea desenvolvendo trajetórias congruentes
Como foi dito noinício deste tópico, o desenvolvimento matemático da translação mostra conclusões 
um tanto quanto óbvias. Analisemos a primeira propriedade cinemática do movimento de translação do 
sólido já enunciada: “no sólido em translação todos os pontos possuem a mesma velocidade (v)”. 
Imagine o leitor agora um movimento de translação bastante presente no nosso cotidiano, como 
a abertura de uma janela corrediça, ilustrada na figura que segue. Para que a janela mantenha sua 
integridade física e conserve a condição de rigidez do sólido desenvolvendo movimento de translação 
retilíneo horizontal é claramente indispensável que todos os pontos (A, B e C) se movimentem com 
velocidades iguais. Afinal, seria um tanto quanto difícil e absurdo imaginar que cada ponto se movesse 
com uma velocidade diferente no movimento de translação descrito. Dessa forma, observa-se que a 
velocidade dos pontos A, B e C é a própria velocidade de translação da janela. 
Figura 16 – Janela corrediça em movimento de translação retilínea
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Unidade I
 Saiba mais
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BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R.; CORNWELL, J. P. Mecânica vetorial 
para engenheiros: dinâmica. 9. ed. Porto Alegre: McGraw Hill, 2012. 
Cap. 15. p. 922. 
MERIAM, J. L.; KRAIGE, L. G. Mecânica para engenharia: dinâmica. 6. ed. 
Rio de Janeiro: LTC, 2009. Cap. 5. p. 239. 
3 MOVIMENTO DE ROTAÇÃO EM TORNO DE EIXO FIXO – ESCALAR
O movimento de rotação em torno de eixo fixo será estudado de duas formas: escalar e vetorial.
 Observação
O leitor deve estar atento ao fato de que os conceitos são os mesmos 
tanto para a forma escalar quanto para a vetorial. Nesta, que será tratada 
no Tópico 4, os conceitos irão se somar aos da geometria analítica.
3.1 Verificação da rotação em torno de eixo fixo
Comparada à verificação da translação, é muito mais simples, pois basta verificar a existência do eixo 
fixo de rotação do sólido. Vamos a uma definição formal do movimento: 
“Um sólido descreve movimento de rotação em torno de eixo fixo quando pelo menos dois pontos 
do mesmo permanecem parados durante todo o tempo.”
Em outras palavras, a simples observação de dois pontos que possuem velocidade nula já permite a 
visualização de um eixo fixo de rotação no sólido. O eixo será definido pela reta que liga os dois pontos 
identificados (figura a seguir).
Figura 17 – Sólido girante e eixo fixo de rotação
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
Voltando ao exemplo da porta em processo de abertura ilustrada nas Figuras 12 e 13, lembramos que 
a classificação do movimento ainda permanece uma incógnita, descartada a translação. Vamos observá-
las novamente na procura de pelo menos dois pontos que permanecem parados durante todo o tempo. 
A figura que segue mostra que os pontos A e B possuem velocidade nula durante todo o processo de 
abertura da porta. Logo, a reta definida pelos pontos A e B representa o eixo fixo de rotação da porta. 
Vale lembrar que todos os infinitos pontos contidos no eixo de rotação também possuem velocidade 
nula. Dessa forma, encerramos esse exemplo confirmando o movimento de rotação em torno de eixo 
fixo da porta. 
Figura 18 – Porta em rotação em torno de eixo fixo
Importa salientar que o eixo fixo de rotação do sólido pode ser real ou imaginário. No exemplo da 
porta da figura anterior, o eixo de rotação é real e pode ser enxergado nas dobradiças das portas. Já no 
caso do mecanismo ilustrado na próxima figura, o eixo de rotação do anel C não existe fisicamente, mas 
podemos imaginar a sua posição. 
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Unidade I
Figura 19 – Rotação do anel C em torno de um eixo fixo imaginário
Existe uma infinidade de outros exemplos de sólidos desenvolvendo rotação em torno de eixo fixo. 
Podemos citar alguns deles:
• Hélice de um ventilador onde o eixo fixo de rotação é o eixo do motor elétrico (figura a seguir). 
Eixo de rotação 
da hélice
Figura 20 – Rotação da hélice do ventilador em torno do eixo fixo do motor elétrico 
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
• Pedra de esmeril girando acoplada ao motor elétrico onde o eixo fixo de rotação é o eixo do motor 
(próxima figura). 
Figura 21 – Rotação da pedra de esmeril em torno do eixo fixo do motor elétrico 
• Estrutura de uma roda-gigante (figura a seguir). O leitor deve atentar para o fato de que a 
estrutura da roda-gigante gira em torno de eixo fixo, e as gaiolas, como já tratamos no Tópico 2, 
desenvolvem translação curvilínea. 
Figura 22 – Rotação da estrutura de uma roda-gigante em torno de eixo fixo
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Unidade I
• Engrenagens acopladas girando de forma sincronizada (figura que segue).
Figura 23 – Engrenagens girando em torno de eixo fixo de forma sincronizada 
Um exemplo clássico de um movimento que é classificado por estudantes menos atentos 
como rotação em torno de eixo fixo é o exemplo da roda de um veículo. Tomando como condição 
a situação da roda de um carro rolando no piso (condição mais normal), não podemos dizer que 
esta desenvolve rotação em torno de eixo fixo, simplesmente pelo fato de o eixo da roda possuir 
velocidade diferente de zero. Na realidade o eixo da roda do veículo possui a mesma velocidade 
do veículo (próxima figura). Voltaremos a falar deste exemplo no Tópico 5 e classificaremos esse 
movimento.
Figura 24 – Rodas do veículo rolando no piso 
Explorando um pouco mais esse exemplo, existe uma condição particular em que a roda de um veículo 
pode desenvolver rotação em torno de eixo fixo. Imagine uma situação em que o motorista tenha a 
habilidade de combinar o acelerador e a embreagem de forma que a roda do veículo gire patinando sem 
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que seu centro se movimente, mantendo o veículo parado (figura a seguir). Nessa situação particular a 
roda do veículo está desenvolvendo um movimento de rotação em torno de eixo fixo, o próprio eixo da 
roda.
Figura 25 – Roda do veículo desenvolvendo rotação em torno de eixo fixo 
Indo mais além no mesmo exemplo, uma outra condição particular leva a roda a desenvolver 
movimento de translação retilínea. Imagine uma situação de frenagem brusca do veículo que leva a roda 
à condição de bloqueio, em que ela se arrastaria sobre o piso sem girar (próxima figura). Observando os 
vetores, confirmamos o movimento de translação retilínea da roda. Durante o processo de frenagem, 
a roda não gira, e a velocidade do eixo da roda é a mesma do carro. A velocidade tende a diminuir em 
razão do processo de frenagem, mas o vetor OP
 
 mantém sua direção inalterada no intervalo. 
Figura 26 – Roda do veículo desenvolvendo translação retilínea 
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Unidade I
Exemplo de aplicação
Em algumas regiões, o processo de retirada de água de um poço é feito com a ajuda de um dispositivo 
como ilustrado. Com essas considerações, pede-se:
Figura 27 – Esquema de retirada de água de um poço artesiano
a) Classificar o movimento do balde. 
b) Classificar o movimento do contrapeso. 
c) Classificar o movimento do “pau de carga”.
Para a classificação dos movimentos de cada um dos sólidos do sistema, devemos pensar 
primeiramente no movimento do pau de carga. Observe que há claramente um eixo fixo de rotação do 
pau de carga que lhe permite rotacionar (figura a seguir).
Figura 28 – Eixo fixo de rotação do pau de carga
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
Dessa forma, já está respondida o item c). O pau de carga desenvolve um movimento de rotação em 
torno de eixo fixo. 
Para entendimento do movimento do balde e do contrapeso, vamos ilustrar algumas situações 
intermediárias do movimento (figura que segue).
Figura 29 – Verificação dos vetores na translação curvilínea do balde e do contrapeso
Analisando os vetores indicados em cada um dos sólidos nas posições ilustradas, concluímos que o 
balde e o contrapeso desenvolvem movimento de translação curvilínea. 
3.2 Grandezas e equações cinemáticas escalares do sólido girante
Neste livro-texto, o estudo cinemático do movimento de rotação em torno de eixo fixo será 
desenvolvido, primeiramente, neste capítulo, de forma escalar, e no capítulo seguinte, de forma vetorial. 
É importante o leitor entender que os conceitos cinemáticos são válidos para ambas as formas de 
estudo, tanto a escalar quanto a vetorial. Importante também é o leitor entender que os conceitos de 
cinemática da partícula já tratados em disciplinas anteriores serão de extrema importância.
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Unidade I
Tomemos a situação da figura a seguir. Um sólido de forma circular de raio R gira em torno de eixo 
fixo no sentido horário. Um ponto periférico P ocupa a posição P0 em um determinado instante t0. No 
instante t0 o ponto P está no referencial azimutal ou angular. Após um determinado giro do sólido, o 
mesmo ponto ocupa a posição P1 em um determinado instante t1. Entre os instantes t0 e t1, o ponto 
P movimentou-se em uma trajetória que é um arco de circunferência de comprimento ∆S. Nesse 
mesmo intervalo, não somente o ponto P, mas também o sólido de modo geral sofreu uma variação 
de coordenada angular (∆θ) de θ graus. 
Figura 30 – Sólido em rotação em torno de eixo fixo
Onde: 
θ = coordenada angular (rad) (Sistema Internacional – SI). 
S = posição linear (m) (S.I.). 
Relacionamos agora a grandeza cinemática angular θ com a grandeza S. Para isso, lembramos a 
relação entre o arco de circunferência e seu respectivo raio R ilustrado na próxima figura. Qualquer arco 
de circunferência de comprimento S dividido pelo seu respectivo raio R resultará no ângulo θ. 
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
Figura 31 – Relação entre S e θ
Então temos: S = θ. R eq. 3.1
Derivando a eq. 3.1 em relação ao tempo, temos:
dS
dt
d
dt
R
dS
dt
d
dt
R
dR
dt
= ⋅ → = ⋅ + ⋅( )θ θ θ
Mas como R é constante: dR
dt
= 0
Então: 
dS
dt
d
dt
R
dR
dt
= ⋅ + ⋅θ θ
Derivando a posição linear (S) em relação ao tempo, temos: 
dS
dt
v=
Já derivando a coordenada angular (θ) em relação ao tempo, temos: 
d
dt
θ ω=
Onde: 
v = velocidade linear (m/s) (SI). 
ω = velocidade angular (rad/s) (SI). 
Então: 
dS
dt
d
dt
R v R= ⋅ → = ⋅θ ω eq. 3.2
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Unidade I
Juntando os conceitos das duas figuras anteriores, observamos a próxima figura.
Figura 32 – Diferença entre as velocidades de dois pontos
Note que os pontos P e Q desenvolveram arcos de circunferência diferentes enquanto ambos sofreram 
a mesma variação de coordenada angular (θ). Claramente SP é maior que SQ. Como P e Q pertencem ao 
mesmo sólido, obrigatoriamente os dois pontos devem chegar à posição final indicada por P1 e Q1 no 
mesmo instante. Raciocinando de forma bem simples: como SP é maior que SQ, entendemos que o ponto 
P deverá desenvolver o movimento circular com maior velocidade (vP). O ponto Q, por sua vez, pode 
desenvolver o movimento com velocidade (vQ) proporcionalmente menor ao seu percurso (SQ).
Dessa forma, observando a eq. 3.2 e a figura anterior, concluímos que:
• A velocidade angular (ω) é uma propriedade do sólido. 
• A velocidade linear (v) de cada ponto é diretamente proporcional ao raio de giro do ponto. Então, 
quanto mais periféricos os pontos, maiores suas velocidades, pois estes possuirão maior raio de 
giro (R). 
Observe na figura a seguir o perfil de velocidades dos pontos para um sólido girante conforme ocorre 
a variação do raio de giro. 
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
Figura 33 – Perfil de velocidades dos pontos em um sólido girante conforme variação do raio
Voltando à eq. 3.2:
v = ω . R
Derivando: 
dv
dt
d
dt
R
dv
dt
d
dt
R
dR
dt
= ⋅ → = ⋅ + ⋅( )ω ω ω
Mas como R é constante: 
dR
dt
= 0
Então: 
dv
dt
d
dt
R
dR
dt
= ⋅ + ⋅ω ω
Derivando a velocidade linear (v) em relação ao tempo, temos: 
dv
dt
at=
Já derivando a velocidade angular (ω) em relação ao tempo, temos: d
dt
ω α=
Onde: 
at = aceleração tangencial (m/s
2) (SI). 
a = aceleração angular (rad/s2) (SI). 
Então: 
dv
dt
d
dt
R a Rt= ⋅ → = ⋅
ω α eq. 3.3
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Unidade I
Devemos lembrar, da cinemática circular da partícula, que a aceleração total de um ponto girante 
possui duas parcelas (figura a seguir): 
at = aceleração tangencial (m/s
2) (SI); at = a . R
an = aceleração normal ou centrípeta (m/s
2) (SI); an = ω2 . R eq. 3.4
A aceleração tangencial possui direção tangente à trajetória circular descrita pelo ponto e, como 
exposto na eq. 3.3, é o produto da aceleração angular (a) pelo raio de giro do ponto (R). Dessa forma, 
vale salientar que só existirá a parcela de aceleração tangencial quando o sólido estiver em condição 
de aceleração ou frenagem, conhecida como Movimento Uniformemente Variado (MUV). Em outras 
palavras, se o sólido possuir velocidade angular constante, conhecida como Movimento Uniforme (MU), 
não haverá a parcela de aceleração tangencial, pois a aceleração angular será nula. 
Por sua vez, a aceleração normal ou centrípeta possui a direção da linha que define o raio de giro do 
ponto. Seu sentido é sempre para dentro da trajetória circular e, como exposto na eq. 3.4, é o produto 
do quadrado da velocidade angular (ω) pelo raio de giro do ponto (R). Assim, existirá a parcela de 
aceleração normal quando o sólido estiver em movimento, com velocidade angular diferente de zero.
Figura 34 – Componentes intrínsecas da aceleração de um ponto girante
A soma algébrica das duas acelerações (utilizando a regra do paralelogramo) resulta na aceleração 
total do ponto. Assim:
a a aP tP nP
2 2 2= +
a a aP tP nP= +
2 2 eq. 3.5
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
Para a dedução final das equações cinemáticas escalares da rotação em torno de eixo fixo, vamos 
estabelecer a analogia entre a cinemática linear e a cinemática angular: 
Na cinemática linear e na angular temos as seguintes grandezas indicadas no Quadro 1: 
Quadro 1 – Analogia entre as grandezas da cinemática linear e da angular
Cinemática linear Cinemática angular (da rotação)
S = posição linear θ = coordenada ou posição angular
v = velocidade linear ω = velocidade angular
at = aceleração tangencial a = aceleração angular
Para o MU temos as seguintes equações cinemáticas lineares: 
S S v t
v cons te
a zerot
= + ⋅
=
=
0
tan
Sabendo que S = θ . r v = ω . r at = a . r
Substituindo:
S S v t
r r r t r r r t
= + ⋅
= + = +
0
0 0θ θ ω θ θ ω. . . . . . . .
Então, por analogia, temos:
θ θ ω
ω
α
= + ⋅
=
=
0 t
cons te
zero
tan
Para o MUV temos as seguintes equações cinemáticas lineares: 
S S v t a t
v v a t
a cons te
t
t
t
= + ⋅ + ⋅ ⋅
= + ⋅
=
0 0
2
0
1
2
tan
Sabendo que: S = θ . r v = ω . r at = a . r
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Unidade I
Substituindo: 
S S v t a t
r r rt r t r r r t
t= + ⋅ +
= + + = +
0 0
2
0 0
2
0 0
1
2
1
2
. .
. . . . . . . . . . .θ θ ω α θ θ ω ++
= + +
1
2
1
2
2
0 0
2
. . .
. . .
α
θ θ ω α
r t
t t
v v a t
r r r t r r r t
t
cons te
t= +
= + = +
= +
=
0
0 0
0
.
. . . . . . . .
.
tan
ω ω α ω ω α
ω ω α
α
 Saiba mais
Acesse a Minha Biblioteca e consulte os livros: 
BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R.; CORNWELL, J. P. Mecânica vetorial para 
engenheiros: dinâmica. 9. ed. Porto Alegre: McGraw Hill, 2012. Cap. 15. p. 923. 
MERIAM, J. L.; KRAIGE, L. G. Mecânica para engenharia: dinâmica. 6. ed. 
Rio de Janeiro: LTC, 2009. Cap. 5. p. 240. 
Exemplo de aplicação
Os geradores eólicos (próxima figura) funcionam de modo que transformem a energia cinética do 
vento em energia cinética de rotação, que, por sua vez, é transformada em energia elétrica por meio de 
um gerador. 
Figura 35 – Fazenda eólica na Alemanha 
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
Observe o esquema da próxima figura. 
Figura 36 – Esquema das pás de um gerador eólico
O sistema de pás do gerador eólico gira com uma frequência de 300 rpm constante. Sendo R = 7 m 
e r = 3 m, calcular:
a) A velocidade do ponto A. 
b) A aceleração do ponto A. 
c) A velocidade do ponto B. 
d) A aceleração do ponto B. 
Antes de iniciarmos os cálculos do exercício, verificamos que a frequência de rotação não 
entra diretamente nos cálculos. Devemos então calcular a velocidade angular (ω) a partir da 
frequência (f). Assim:
ω π ω π ω= = =2
60
2 300
60
314
. . . .
,
f rad
s
Lembrando que dividimos por 60 para transformar o tempo de minutos para segundos. Afinal, a 
frequência de rotação está expressa em rpm (rotações por minuto). 
a) vA = ?
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Unidade I
O cálculo da velocidade do ponto A é dado por: 
v R v R v
m
sA A A A
= = = =ω ω. . , . ,314 7 219 8
b) aA = ?
O cálculo da aceleração total do ponto A é dado por: 
a a aA tA nA
2 2 2= +
A frequência de rotação (f) do sólido é constante. Então, sua velocidade angular (ω) também é 
constante. O sólido desenvolve MU. Como a velocidade angular é constante, a aceleração angular do 
sólido (a) é zero. 
Dessa forma, a parcela de aceleração tangencial do ponto A (atA) é nula, pois no cálculo da aceleração 
tangencial a aceleração angular entra multiplicando. Assim: 
a R a zerotA A tA= = =α . ,0 7
Como a parcela de aceleração tangencial é nula, o cálculo da aceleração total fica: 
a a a a a a a R R
a
m
A tA nA A nA A nA A
A
2 2 2 2 2 2 2
2314 7 6 90172
= + = = = =
= =
ω ω. .
, . . ,
ss2
c) vB = ?
O cálculo da velocidade do ponto B é dado por:
v R v r v
m
sB B B B
= = = =ω ω. . , . ,314 3 94 2
d) aB = ?
O cálculo da aceleração total do ponto B é dado por:
a a aB tB nB
2 2 2= +
Da mesma forma que no item b), a parcela de aceleração tangencial do ponto B (atB) é nula. Então:
a a a a a a a R r
a
m
B tB nB B nB B nB B
B
2 2 2 2 2 2 2
2314 3 2 957 88
= + = = = =
= =
ω ω. .
, . . ,
ss2
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
O leitor deve observar que a frequência de rotação do gerador eólico desse exemplo será relativamente 
baixa se compararmos, por exemplo, com a de um ventilador de parede que possui frequência de rotação 
máxima de 1.300 rpm. Porém, observe o leitor que, mesmo com uma velocidade angular relativamente 
baixa, a velocidade do ponto A (vA) resultou em um valor bastante alto (vA = 219,8 m/s = 791,3 km/h). Isso 
ocorre em razão de o valor do raio de giro do ponto A (R = 7 m) ser relativamente grande se comparado, 
por exemplo, ao raio de giro de um ponto da borda da pá do ventilador que possui em média 30 cm. 
Exemplo de aplicação
Um ventilador, ilustrado na figura a seguir, parte do repouso e acelera uniformemente atingindo 
frequência de rotação de 900 rpm em 200 voltas. Desse instante em diante, a frequência permanece 
constante, de 900 rpm. Sabendo que R = 20 cm, calcular: 
Figura 37 – Rotor do ventilador
a) A aceleração angular (a). 
b) O tempo necessário para que o ventilador atinja a velocidade de regime. 
c) A velocidade do ponto A, 10 segundos após o início do movimento. 
d) A aceleração do ponto A, 10 segundos após o início do movimento. 
e) O tempo necessário para que 400 voltas sejam dadas. 
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Unidade I
f) A velocidade do ponto A, 30 segundos após o início do movimento. 
g) A aceleração do ponto A, 30 segundos após o início do movimento.
Interpretando o enunciado do exercício, obtemos as seguintes informações:
• “Um ventilador [...] parte do repouso [...]”. Logo: f0 = 0 e ω0 =0;
• “[...] e acelera uniformemente [...]”. Logo, o trecho de aceleração ocorre em MUV.
• “[...] atingindo frequência de rotação de 900 rpm em 200 voltas. Desse instante em diante, 
a frequência permanece constante de 900 rpm, ou seja, o ventilador entra em regime.” 
Logo: f = 900 rpm e n = 200 voltas.
Antes de iniciarmos os cálculos do exercício, lembramos que a frequência de rotação e o número 
de voltas não entram diretamente nos cálculos. Devemos, portanto, calcular a velocidade angular (ω) a 
partir da frequência (f), e a variação de coordenada angular (∆θ), a partir do número de voltas (n). Assim: 
ω π ω π ω
θ π θ π
= = =
= = =
2
60
2 900
60
94 2
2 200 2 1 256
. . . .
,
. . . . .
f rad
s
n rad∆ ∆
Não é obrigatória a construção de um gráfico relacionando as grandezas cinemáticas em questão, mas a 
execução de um esboço facilita bastante o entendimento do exercício. Observe a seguir esse processo.
Vamos relacionar as grandezas número de voltas (n) no eixo x com a frequência de rotação (f) no 
eixo y, mas como essas grandezas foram transformadas em outras para utilização nas equações, estão 
representadas também as grandezas variação de coordenada angular (∆θ) em x e velocidade angular 
(ω) em y. Assim:
Figura 38 – Gráfico relacionando as grandezas cinemáticas
41
EN
G-
C 
 —
 R
ev
isã
o:
 Ju
lia
na
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
/J
ef
er
so
n 
- 
da
ta
CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
Observe que existem dois trechos no gráfico, um em que o sólido parte do repouso acelerando 
de modo uniforme atingindo 900 rpm em 200 voltas (MUV) e outro que representa o ventilador em 
velocidade de regime (MU). O leitor deve lembrar que no MU a velocidade angular (ω) é constante, logo 
a aceleração angular (a) será zero. 
Veja o leitor que a execução de um esboço muda a forma de enxergar um exercício de cinemática. 
Vamos então à resolução das alternativas:
a) a = ?
Para o cálculo da aceleração angular (a) em um MUV dispomos de três equações, que são: 
θ θ ω α
ω ω α
ω ω α θ
= + +
= +
= +
0 0
2
0
2
0
2
1
2
2
. . .
.
. .
t t
t
∆
Veja que não é dada nenhuma informação de tempo no enunciado do exercício. Dessa forma, para 
o cálculo da aceleração angular (a) só nos resta a terceira equação (Equação de Torricelli). Substituindo 
os valores e calculando, temos: 
ω ω α θ
α α
2
0
2
2
2
2
94 2 0 2 1256 3 53
= +
= + =
. .
, . . ,
∆
rad
s
b) t 200 voltas = ?
Veja que a pergunta do item b) é: “o tempo necessário para que o ventilador atinja a velocidade de 
regime”. Observamos no gráfico que a velocidade de regime é atingida ao final da volta número 200. 
Dessa forma, nossa incógnita passa a ser esta: (t 200 voltas).
Calculada a aceleração, podemos utilizar as outras equações para o cálculo do tempo. Assim: 
ω ω α= +
= + =
0
200 20094 2 0 3 53 26 68
.
, , . ,
t
t t svoltas voltas
Lembrando que na equação ω = ω0 + a . t as variáveis relacionadas são ω e t. Dessa forma, 
ω = 94 2, rad
s
 corresponde ao instante de tempo em que a volta número 200 (t 200 voltas) é completada. 
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C 
 —
 R
ev
isã
o:
 Ju
lia
na
 -D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
/J
ef
er
so
n 
- 
da
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Unidade I
Poderíamos ter calculado o tempo de outra forma, utilizando a equação θ θ ω α= + +0 0
21
2
. . .t t . 
Assim: 
θ θ ω α θ ω α− = + = +
=
0 0 200
2
0 200
21
2
1
2
1256 0
. . . . . .
.
t t t t
t
voltas voltas∆
++ =1
2
3 53 26 68200
2
200. , . ,t t svoltas voltas
c) vA p/t=10s = ?
Primeiramente devemos calcular velocidade angular (ω) para t = 10 s. Assim:
ω ω α
ω ω
10 0 10
10 100 3 53 10 35 3
= +
= + =
.
, . ,
t
rad
s
Então calculamos a velocidade do ponto A, antes transformando o raio para metros (R = 0,2 m):
v R v v
m
sA A A A( ) ( ) ( )
. , . , ,10 10 10 1035 3 0 2 7 06= = =ω
d) aA p/t=10s = ?
Calculamos a aceleração tangencial do ponto A (atA) e a aceleração normal do ponto A(anA) 
separadamente. Assim:
a R a
m
s
a R
m
tA A tA
nA A
= = =
= = =
α
ω
. , . , ,
. , . , ,
3 53 0 2 0 706
35 3 0 2 249 22
2
10
2 2
ss2
Substituindo na equação a seguir, temos:
a a a a a
m
s
A tA nA A A
2 2 2 2 2
20 706 249 22 249 22= + = + =( , ) ( , ) ,
e) t = ? para n = 400 voltas
O leitor menos atento multiplicaria a resposta do item por dois, pois 400 é o dobro de 200. Assim: 
Se t200 voltas = 26,68s, então t400 voltas = t200 voltas . 2 = 26,68 . 2 = 53,36s
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gr
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: F
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io
/J
ef
er
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
Esse raciocínio representa um erro gravíssimo. 
Devemos observar que, do total de 400 voltas, 200 serão realizadas em MUV, e as 200 restantes serão 
desenvolvidas em MU, conforme podemos verificar no gráfico. 
Figura 39 – Gráfico relacionando as grandezas cinemáticas
Sabemos portanto que o tempo necessário para completar as 200 primeiras voltas foi de 26,68s. 
Devemos agora calcular o tempo necessário para as 200 voltas restantes que serão realizadas em MU. 
Assim:
θ = θ0 + ω . t
∆θ = ω . t 1.256 =94,2 . t t = 13,33s
Então:
t400 voltas = t200 voltas(MUV) + t200 voltas(MU) t400 voltas = 26,68 + 13,33
t400 voltas = 40,01s
f) vA p/t=30s = ?
O leitor menos atento resolveria da seguinte forma:
ω ω α ω30 0 30 30 0 3 53 30 105 9= + = + =. , . ,t
rad
s
Em seguida, usaria esse valor para fazer o cálculo da velocidade do ponto A, assim: 
v R v
m
sA A A( ) ( )
. , . , ,30 30 30 105 9 0 2 2118= = =ω
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Unidade I
Esse raciocínio representa outro erro gravíssimo. 
Voltando a analisar o gráfico, observamos que o MUV tem uma duração de 26,68 s. Dessa forma, 
o cálculo feito anteriormente está incorreto, pois assume que no instante 30 s o sólido ainda esteja 
em MUV, quando na verdade, a partir do instante 26,68 s, o movimento passa a ser uniforme. Essa 
análise seria muito menos evidente se o aluno optasse por não esboçar o gráfico. Portanto, fica clara a 
importância de esboçar o gráfico. 
Figura 40 – Gráfico relacionando as grandezas cinemáticas
Retomando o raciocínio, agora de forma correta, a incógnita é a velocidade do ponto A para o 
instante 30 s. Para isso precisamos da velocidade angular no instante 30s (ω30). A resposta pode ser 
obtida pela visualização do gráfico. Como a velocidade angular (ω) passa a ser constante após o instante 
26,68 s, temos:
ω ω30 26 68 94 2= =, ,
rad
s
Calculamos agora a velocidade do ponto A para o instante 30 s:
v R v v
m
sA A A A( ) ( ) ( )
. , . , ,30 30 30 3094 2 0 2 18 84= = =ω
g) aA p/t=30s = ?
A fim de não cometer os mesmos erros apresentados nas resoluções dos itens anteriores, iniciamos 
a resolução do item g) com a observação do gráfico e análises já realizadas. Lembrando que após o 
instante 26,68 s o movimento passa a ser uniforme, a parcela de aceleração tangencial do ponto A (atA) 
é nula, pois a = 0 no MU. 
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 —
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/J
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
Figura 41 – Gráfico relacionando as grandezas cinemáticas
Então: 
a a a a a a a R
a a
A tA nA A nA A nA A
A A
2 2 2 2 2
30
2
294 2 0 2 1 774 73
= + = = =
= =
ω .
, . , . ,
mm
s2
Exemplo de aplicação
O rotor de um motor elétrico ilustrado na figura a seguir tem frequência de 1.800 rpm no instante 
em que é desligado. O rotor para após 70 segundos. Uma pedra de esmeril de raio R = 25 cm gira 
acoplada ao rotor. Supondo movimento uniformemente retardado, pede-se: 
a) A aceleração angular do rotor. 
b) O número de voltas desenvolvidas até a parada do rotor. 
c) A velocidade de um ponto periférico da pedra de esmeril 20 segundos após o motor ser desligado. 
d) A aceleração de um ponto periférico da pedra de esmeril 20 segundos após o motor ser desligado. 
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Unidade I
Figura 42 – Pedra de esmeril acoplada ao motor elétrico
Interpretando o enunciado do exercício, obtemos as seguintes informações:
• “O rotor de um motor elétrico tem frequência de 1.800 rpm no instante em que é desligado [...]”. 
Logo: f0 = 1.800 rpm.
• “O rotor para após 70 segundos [...] Supondo movimento uniformemente retardado [...]”. Logo, o 
rotor está freando em MUV e ω = 0 após 70 segundos. 
A frequência de rotação inicial de 1.800 rpm nos leva ao cálculo da velocidade angular inicial: 
ω π ω π ω0 0 0 0
2
60
2 1800
60
188 4= = =. . . . ,f rad
s
Executando a construção do esboço de um gráfico de modo que facilite o entendimento do 
exercício, temos:
Figura 43 – Gráfico relacionando as grandezas cinemáticas
47
EN
G-
C 
 —
 R
ev
isã
o:
 Ju
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gr
am
aç
ão
: F
ab
io
/J
ef
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
Vamos à resolução: 
a) a = ?
Para o cálculo da aceleração angular (a) em um MUV dispomos de três equações: 
θ θ ω α
ω ω α
ω ω α θ
= + +
= +
= +
0 0
2
0
2
0
2
1
2
2
. . .
.
. .
t t
t
∆
Veja que número de voltas é uma incógnita do exercício. Dessa forma, podemos eliminar a primeira 
e a terceira equações, que dependem de coordenada angular. Para o cálculo da aceleração angular (a), 
só nos resta a segunda equação. 
Lembrando que a velocidade angular final é zero, pois o sólido irá parar. Substituindo os valores e 
calculando, temos:
ω ω α
α α
= +
= + = −
0
20 188 4 70 2 69
.
, . ,
t
rad
s
b) n = ? até o instante de parada. 
Lembrando que o número de voltas não é obtido diretamente em uma equação cinemática, nossa 
incógnita passa a ser a variação de coordenada angular (∆θ).
Substituindo os valores na terceira equação (Equação de Torricelli), temos:
ω ω α θ
θ
θ
2
0
2
2
2
0 188 4 2 2 69
6 597 5
= +
= + −
=
. .
, .( , ).
. ,
∆
∆
∆ rad
Partindo da variação de coordenada angular, calculamos o número de voltas:
∆θ π π= = =n n n voltas. . . , . . . ,2 6 597 5 2 1 050 55
c) vP = ? para t = 20 s. 
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 —
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io
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Unidade I
Calculamos a velocidade angular do rotor para o instante 20 segundos.
ω ω α
ω ω
( )
( ) ( )
.
, , . ,
20 0
20 20188 4 2 69 20 134 6
= +
= − =
t
rad
s
Calculamos então a velocidade do ponto P no instante 20 segundos.
v R v v
m
sP P P P( ) ( ) ( ) ( )
. , . , ,20 20 20 20134 6 0 25 33 65= = =ω
d) aP=? para t = 20 s. 
Calculamos a aceleração tangencial do ponto P (atP) e a aceleração normal do ponto P (anP) 
separadamente. Assim: 
a R a
m
s
a R
tP P tP
nP P
= = − = −
= = =
α
ω
. , . , ,
. , . ,( )
2 69 0 25 0 672
134 6 0 25
2
20
2 2 44 529 29 2. ,
m
s
Substituindo na equação a seguir, temos:
a a a a a
m
s
P tP nP P P
2 2 2 2 2
20 672 4 529 29 4 529 29= + = − + =( , ) ( . , ) . ,
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
Exemplo de aplicação
O mecanismo de três engrenagens ilustrado na figura a seguir é utilizado para transmissão de 
movimento. A engrenagem Aé acionada por um motor elétrico que gira com frequência de rotação de 
250 rpm constantes no sentido horário. 
Figura 44 – Engrenagens girando sincronizadas
Sabendo que RA = 0,24 m, RB = 0,16 m e RC = 0,32 m, calcular: 
a) A velocidade angular de cada uma das engrenagens. 
b) A aceleração angular de cada uma das engrenagens. 
c) A velocidade de um ponto periférico da engrenagem C. 
d) A aceleração de um ponto periférico da engrenagem B. 
e) O número de voltas realizadas por cada uma das engrenagens num intervalo de 5 segundos. 
Este exercício se baseia no conceito de corpos que giram de forma sincronizada. O sincronismo de 
giro das engrenagens A, B e C se dá pelo engrenar entre uma e outra. A engrenagem A é a engrenagem 
motora do sistema, pois está acoplada ao motor elétrico e está engrenada em B, transmitindo o 
movimento de rotação. A engrenagem B, por sua vez, está engrenada em C. 
Além disso, o sincronismo de giro entre as três engrenagens é garantido pelo engrenar perfeito 
entre elas que não permite escorregamento entre os corpos girantes. Assim, o conceito cinemático 
fundamental do exercício é de que como não há escorregamento entre os corpos girantes, as velocidades 
dos pontos de contato de uma engrenagem com a outra são iguais. Então as velocidades dos pontos 
periféricos de cada uma das engrenagens são iguais:
v v vPA PB PC= =
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G-
C 
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 R
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Unidade I
O leitor deve ter muita atenção a esse conceito, sem o qual o exercício não se resolveria. 
Agora verifique os sentidos de rotação de cada uma das engrenagens na próxima figura. 
Figura 45 – Sentidos de rotação das engrenagens girando sincronizadas
Observe que os sentidos de rotação são inversos de uma engrenagem para a outra. A engrenagem 
A gira no sentido horário, a engrenagem B no anti-horário e a engrenagem C no horário. Essa é uma 
característica cinemática de corpos que giram sincronizados, por contato direto, correia, corrente ou 
similares. Sempre ocorrerá a inversão de sentido de rotação entre um e outro, em razão do ponto de 
contato. 
a) ωA = ?; ωB = ?; ωC = ?
Partindo do conceito fundamental já explicado e sabendo que a velocidade de um ponto periférico 
é dada por vP = ωsólido . RP, temos:
v v v
R R R
PA PB PC
A A B B C C
= =
= =ω ω ω. . .
Calculando ωA:
ω π π ωA A A
f rad
s
= = =2
60
2 250
60
26 17
. . . .
,
Substituindo os valores: 
26 17 0 24 0 16 0 32
39 25 19 63
, . , . , . ,
, ,
= =
= =
ω ω
ω ω
B C
B C
rad
s
rad
s
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
Finalizado o cálculo desse primeiro item, são válidos alguns comentários. Se dividirmos a velocidade 
angular da engrenagem B pela da engrenagem C, teremos: 
ω
ω
B
C
= =39 25
19 63
2
,
,
Se dividirmos o raio da engrenagem C pelo da engrenagem B, teremos:
R
R
C
B
= =0 32
0 16
2
,
,
A partir desses cálculos, observamos outra propriedade cinemática dos corpos que giram sincronizados. 
Os corpos que possuem menor raio ou diâmetro devem girar proporcionalmente mais rápido do que 
aqueles que possuem maior raio. Isso ocorre em razão da diferença de perímetro de circunferência de 
cada corpo girante. Como não pode haver escorregamento entre os pontos de contato para manter a 
igualdade v v vPA PB PC= = verdadeira, os corpos menores são forçados a girar mais rápido e também 
em maior número de voltas do que os maiores.
Podemos pensar em uma situação análoga para entendermos melhor esse conceito. Imaginemos 
três pessoas andando em uma calçada uma ao lado da outra. As pessoas são: um homem muito alto, 
um homem de estatura média e uma criança. Para que essas três pessoas andem à mesma velocidade, 
a criança, que possui uma passada mais curta, deve dar um número de passos maior do que o do 
homem muito alto, que tem uma passada mais larga. O homem de estatura média, por sua vez, deve 
dar um número de passos maior do que o do homem muito alto, mas menor do que o número de 
passos da criança. 
b) aA = ?; aB = ?; aC = ?
Conforme o enunciado, a frequência de rotação do motor elétrico que movimenta a engrenagem A é 
constante. Assim, a velocidade angular da engrenagem A (ωA) é constante. Então, todas as engrenagens 
do sistema terão suas velocidades angulares constantes, cada uma com seu valor, como já calculado no 
item a). Em outras palavras, todo o sistema está desenvolvendo MU. 
Observado isso, concluímos que se todas as velocidades angulares forem constantes, as acelerações 
angulares de todas as engrenagens serão nulas. 
Se ωA = cte, ωB = cte, ωC = cte , então aA = zero, aB = zero, aC = zero.
c) vPC = ?
v R v v
m
sPC C C PC PC
= = =ω . , . , ,19 63 0 32 6 28
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Unidade I
Lembrando que se fôssemos calcular a velocidade de um ponto periférico das engrenagens A ou B, 
teríamos o mesmo valor em razão da igualdade v v vPA PB PC= = . 
d) aPC = ?
Como a aceleração angular da engrenagem C é nula, a parcela de aceleração tangencial ( atPC ) 
também é nula. Então:
a a a a a a a R
a
PC tPC nPC PC nPC PC nPC C C
PC
2 2 2 2 2 2 2 2
219 63 0 32
= + = = =
=
ω .
, . , aa
m
s
PC
= 123 31 2,
e) nA = ?; nB = ?; nC = ? em 5 s
Para o cálculo das rotações de cada uma das engrenagens em 5 s, devemos voltar ao conceito já 
discutido no item a). A engrenagem A será aquela que dará o maior número de voltas, e a engrenagem 
C, a que dará o menor número de voltas. Podemos utilizar um conceito relativamente simples para a 
resolução deste item. O conceito de relação de transmissão é dado pela relação (divisão) entre os raios 
(ou diâmetros) das engrenagens. 
Assim, a relação de transmissão entre as engrenagens A e B é: 
R
R
A
B
= =0 24
0 16
15
,
,
,
Em outras palavras, a engrenagem B, que é a menor, dará 1,5 vezes mais voltas que a engrenagem A. 
Calculando o número de voltas da engrenagem A (que desenvolve MU) em 5 s, temos: 
θA = θ0A + ωA . t θA - θ0A = ωA . t
Mas: θA - θ0A = ∆θA
∆θA = ωA . t ∆θA = 26,17 . 5 ∆θA = 130,85 rad
∆θA = nA . 2 . p 130,85 = nA . 2 . p nA = 20,84 voltas
Sabendo o número de voltas de A e lembrando que a engrenagem B é a menor, por isso realizará 
mais voltas, temos:
nB = 1,5 . nA nB = 1,5 . 20,84 nB = 31,26 voltas
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
Usando o mesmo raciocínio entre as engrenagens B e C, temos:
R
R
n n n n voltasC
B
B C C C= = = = =
0 32
0 16
2 2 3126 2 15 63
,
,
. , . ,
Essa maneira de cálculo é bastante prática e válida, porém poderíamos realizar uma resolução mais 
teórica. Lembrando que partindo da velocidade periférica do ponto (vP) e integrando chegamos à posição 
(S), temos:
v v vPA PB PC= =
Integrando, temos: 
S S SPA PB PC= =
Como S = θ.R, temos: 
∆θA . RA = ∆θB . RB = ∆θC . RC
Sabendo que ∆θ = n . 2 . p e substituindo, temos: 
n R n R n R n R n R n RA A B B C C A A B B C C. . . . . . . . . . . . . . . . . .2 2 2 2 2 2π π π π π π= = = =
nn R n R n RA A B B C C. . .= =
O número de voltas da engrenagem A (nA) já foi calculado (nA = 20,84 voltas):
20,84 . 0,24 = nB . 0,16 = nC . 0,32
nB = 31,26 voltas nC = 15,63 voltas
Exemplo de aplicação
O sistema de engrenagens ilustrado na figura que segue deve suspender o bloco, alçando-o 
por 6,10 m. A engrenagem A parte do repouso e, mantendo aceleração angular constante, atinge 
frequência de 120 rpm em 5 s, mantendo-a constante após atingi-la. Pede-se:
a) O número de rotações da engrenagem A.
b) O tempo gasto na operação.
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Unidade I
Figura 46 – Engrenagens gerando elevação do bloco
Interpretando o enunciado do exercício,obtemos as seguintes informações:
• Operação: elevar o bloco de 6,10 metros a partir do repouso. 
• “A engrenagem A parte do repouso [...]”. Logo: foA = 0 .
• “[...] e mantendo aceleração angular constante, atinge frequência de 120 rpm em 5 s, mantendo-a 
constante após atingi-la”. Logo, o movimento é uniformemente variado até 5 s e, após este 
instante, passa a ser uniforme. 
Figura 47 – Sentidos de rotação das engrenagens gerando elevação do bloco
55
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gr
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ab
io
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so
n 
- 
da
ta
CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
Note que o corpo girante B é uma engrenagem que tem acoplada em sua estrutura uma polia. O raio 
da engrenagem é de 457 mm e o da polia é de 381 mm.
A frequência de rotação final de 120 rpm nos leva ao cálculo da velocidade angular final da 
engrenagem A:
ω π ω π ωA A A A
f rad
s
= = =2
60
2 120
60
12 56
. . . .
,
Executando a construção do esboço de um gráfico para facilitar o entendimento do exercício, temos: 
Figura 48 – Gráfico do movimento da engrenagem A
O primeiro item coloca como incógnita o número de voltas que a engrenagem A deve dar para a 
realização da operação. Para isso, devemos entender que possivelmente uma parte das voltas será dada 
em MUV e o restante em MU. Essa dúvida será tirada somente por meio de cálculos. Além disso, quem 
efetivamente suspende o bloco é a polia que está acoplada à engrenagem B. Então, o número de voltas 
que a engrenagem A terá de dar é proporcional ao número de voltas que a engrenagem B terá de dar. 
Dessa forma, fica claro que deve ser relacionado o movimento linear do bloco com o movimento 
angular da polia/engrenagem B. A altura de 6,10 m a que o bloco deve ser elevado representa uma 
quantidade de corda a ser enrolada em torno da polia B, de raio 0,381 m. Então, é possível calcular a 
variação de coordenada angular da polia/engrenagem B correspondente aos 6,10 m de corda enrolada. 
Assim: 
∆ ∆θ = S
R
. 
Onde: 
∆S = 6,10m. 
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Unidade I
Então:
∆ ∆ ∆ ∆θ θ θB
poliaB
B B
S
R
rad= = =6 10
0 381
16 01
,
,
,
Esse valor representa a variação de coordenada angular da polia/engrenagem B necessária 
para realizar a operação completa. Transformando variação de coordenada angular em número de 
voltas, temos:
n n voltasB
B
B= = =
∆θ
π π2
16 01
2
2 55
,
,
A engrenagem A deve dar um número de voltas proporcionalmente maior do que a engrenagem 
B para realizar a operação. A medida de proporcionalidade é a relação de transmissão, que pode ser 
deduzida mais formalmente da forma que segue. 
Como a velocidade dos pontos em contato entre as engrenagens é a mesma para não haver 
escorregamento, temos:
v v
R R
t
R
t
R
A B
A A B B
A
A
B
B
=
=
⋅ = ⋅
ω ω
θ θ
. .
∆
∆
∆
∆
Como os ∆t são os mesmos, temos:
∆θA . RA = ∆θB . RB
Mas ∆θ = n . 2p. Então:
nA .2p.RA = nB .2p.RB
Temos: nA . RA = nB . RB
Resposta do item a): 
nA . 76,2 =2,55 . 457 nA = 15,29 voltas
Esse valor é o número de voltas total que a engrenagem A deve dar para completar a operação. 
Lembrando que possivelmente uma parte dessas voltas seja desenvolvida em MUV e outra em MU.
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
Estudando o movimento da engrenagem A, temos de calcular quantas voltas foram desenvolvidas 
nos 5 primeiros segundos do movimento, quando é desenvolvido MUV. Assim: 
ω ω α
α α
A A A
A A
t
rad
s
= +
= + =
0
212 56 0 5 2 51
.
, . ,
Calculada a aceleração angular da engrenagem A durante o MUV, utiliza-se a Equação de Torricelli 
para o cálculo da variação de coordenada angular da engrenagem A. Assim:
ω ω α θ
θ θ
A A A A
A A rad
2
0
2
2
2
12 56 2 2 51 3142
= +
= =
. .
, . , . ,
∆
∆ ∆
Assim, tem-se o número de voltas em MUV da engrenagem A:
∆θA = nA .2p	 31,42 = nA .2p nA(MUV) = 5	voltas
Retomando o raciocínio, sabemos que a engrenagem A deve dar 15,29 voltas para completar a 
operação. Calculamos que 5 voltas são dadas nos 5 primeiros segundos. Dessa forma, ainda restam 
10,29 voltas que serão dadas em MU. Assim, é necessário calcular o tempo restante. 
θ = θ0 + ω . t θ - θ0 = ω . t
∆θA(MU) = ω . t(MU)
Mas ∆θA(MU) = nA(MU) . 2p. Então:
∆θA(MU) = 10,29 . 2p =64,62 rad
Voltando, temos:
∆θA(MU) = ω . t(MU) 64,62 =12,56 . t(MU)
t(MU) = 5,14s 
Finalizando, temos:
toperação = t(MUV) + t(MU)
toperação = 5 + 5,14
Resposta do item b): 
toperação = 10,14s
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Unidade I
Exemplo de aplicação
Nos motores de combustão interna, a correia dentada é um componente de vital importância 
para o funcionamento do motor e muitas vezes é esquecida. Quando ela se parte, os prejuízos 
são grandes. A correia dentada é responsável por manter o sincronismo entre o virabrequim, 
que transfere o torque do motor às rodas, e o comando de válvulas, responsável pela entrada 
e pela saída de gases do cilindro. Quando a correia se parte, esse sincronismo é quebrado, e 
o pistão, comandado pelo virabrequim, atinge a válvula, que geralmente está aberta e com a 
cabeça dentro do cilindro. Os danos podem se estender ao próprio comando de válvulas, aos 
tuchos, que comandam a abertura e o fechamento das válvulas, e podem até danificar as bielas 
do motor.
Na figura a seguir é mostrada a correia dentada em funcionamento num motor. 
Figura 49 – Esquema de funcionamento da correia dentada de um motor de combustão interna
No esquema, a engrenagem do virabrequim possui uma frequência de rotação inicial de 1.200 rpm 
que aumenta para 4.000 rpm em 2 segundos. Sabendo que a correia está perfeitamente tensionada e 
que não há possibilidade de escorregamento, determinar para o instante final:
a) A velocidade angular da polia do comando de válvulas localizada à esquerda. 
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
b) A aceleração angular da mesma polia. 
c) A velocidade de um ponto da borda da mesma polia. 
d) A aceleração de um ponto da borda da mesma polia. 
Dados: 
• Raio da engrenagem do virabrequim = 30 mm. 
• Raio das polias dos comandos de válvulas = 75 mm. 
Interpretando o enunciado do exercício, obtemos as seguintes informações:
• “a engrenagem do virabrequim possui uma frequência de rotação inicial de 1.200 rpm [...]”. 
Logo: f0 = 1.200 rpm.
• “[...] que aumenta para 4.000 rpm em 2 segundos [...]”. Logo, o rotor está acelerando em MUV e 
f = 4.000 rpm em 2 segundos. 
Nomeando os corpos girantes para maior facilidade, temos:
Figura 50 – Corpos girantes
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Unidade I
A frequência de rotação inicial de 1.200 rpm e a final de 4.000 rpm nos leva ao cálculo das velocidades 
angulares inicial e final da polia do virabrequim: 
ω π ω π ω
ω π ω π
0
0
0 0
2
60
2 1 200
60
125 6
2
60
2 4
D D D
D D
f rad
s
f
= = =
= =
. . . . .
,
. . . . ..
,
000
60
418 67ωD
rad
s
=
Executando a construção do esboço de um gráfico de modo que facilite o entendimento do 
exercício, temos: 
Figura 51 – Gráfico do MUV desenvolvido pela engrenagem do virabrequim
Como não há escorregamento entre os corpos girantes e a correia dentada, temos que as velocidades 
dos pontos periféricos dos corpos girantes é a mesma. Assim: 
v v
R R
R R
PA PD
A A D D
A A D D
=
=
=
ω ω
α α
. .
. .
O item a) pede a velocidade angular final da polia do comando de válvula localizada à esquerda, 
corpo A. 
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aç
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ab
io
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
Resposta do item a): 
ω ωA A
rad
s
. , . ,75 418 67 30 167 47= =
O item b) pede a aceleração angular da polia do comandode válvula localizada à esquerda, corpo A. 
Assim: 
α αA A D DR R. .=
Calculando aD, temos: 
ω ω α
α α
D D D
D D
t
rad
s
= +
= + =
0
2418 67 125 6 2 146 54
.
, , . ,
Então: 
α α
α
A A D D
A
R R. .
. , .
=
=30 146 54 75
Resposta do item b): 
αA
rad
s
= 366 35 2,
O item c) pede a velocidade de um ponto periférico da polia do comando de válvula localizada à 
esquerda, corpo A. Assim:
v R
v
PA A A
PA
=
=
ω .
, . ,167 47 0 075
Resposta do item c): 
v
m
sPA
= 12 56,
O item d) pede a aceleração de um ponto periférico da polia do comando de válvula localizada à 
esquerda, corpo A.
Calculamos a aceleração tangencial do ponto A (atA) e a aceleração normal do ponto A (anA) 
separadamente. Assim:
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Unidade I
a R a
m
s
a R
tA A A tA
nA A A
= = =
= =
α
ω
. , . , ,
. , . ,
366 35 0 075 27 48
167 47 0 075
2
2 2 == 2 013 47 2. ,
m
s
Substituindo na equação a seguir, temos:
a a a aA tA nA A
2 2 2 2 227 48 2 013 47= + = +( , ) ( . , )
Resposta do item d): 
a
m
s
A = 2 013 65 2. ,
4 MOVIMENTO DE ROTAÇÃO EM TORNO DE EIXO FIXO – VETORIAL
Neste tópico estudaremos o movimento de rotação em torno de eixo fixo de forma vetorial. Importa 
o leitor entender que o estudo vetorial parte das equações escalares já deduzidas no Tópico 3, que com 
os conceitos da geometria analítica resultarão nas equações cinemáticas vetoriais.
4.1 Grandezas e equações cinemáticas vetoriais do sólido girante
Para auxiliar na dedução das grandezas cinemáticas vetoriais vamos inicialmente apresentar o 
conceito do Triedro de Frenet (próxima figura). 
Figura 52 – Triedro de Frenet e seus versores
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
O Triedro de Frenet é composto por três versores perpendiculares entre si: 
• τ – Versor tangente: possui direção tangente à trajetória circular; seu sentido é o dos ângulos 
crescentes.
• n – Versor normal: possui direção radial, ou seja, normal (perpendicular) ao versor tangente; seu 
sentido aponta para o centro da trajetória.
• b – Versor binormal – possui direção binormal, ou seja, normal (perpendicular) ao versor tangente 
e normal (perpendicular) ao versor normal; seu sentido é concordante com a propriedade da base 
ou estabelecido pela regra da mão direita. 
Observe a analogia entre o triedro tradicional da geometria analítica e o Triedro de Frenet no Quadro 2: 
Quadro 2 – Analogia entre a geometria analítica e o Triedro de Frenet
Geometria analítica Frenet
i j k  × = τ  × =n b
j k i  × = n b  × = τ
k i j  × = b n  × =τ
O Triedro de Frenet fica fixo ao ponto girante e o acompanha durante o movimento circular (figura 
a seguir). Assim: 
Figura 53 – Triedro de Frenet e seus versores
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Unidade I
Utilizando o Triedro de Frenet e o desenvolvimento já realizado no Subtópico 3.2, vamos à dedução 
das grandezas cinemáticas vetoriais.
Partindo da eq. 3.2 v = ω . R, temos:
• A velocidade escalar (v) passa a ser o vetor velocidade do ponto de interesse P ( vP

). Sua direção 
é tangente à trajetória circular e seu sentido é dado pelo sentido de giro do sólido. Então: v vP

= τ
• A velocidade angular (ω) passa a ser o vetor velocidade angular ( ω

). Sua direção é binormal 
e seu sentido é dado pela propriedade da base ou pela regra da mão direita (próxima figura). 
Então: ω ω

= b
Figura 54 – Regra da mão direita para determinação do sentido da velocidade angular
• O raio (R) de giro do ponto passa a ser as coordenadas do ponto P menos as coordenadas do ponto 
O. Então: R = (P - 0)
Dessa forma, a velocidade vetorial de um ponto P girante é dada pela seguinte equação: 
v P OP
 
= × −ω ( ) eq. 4.1
Onde O é qualquer ponto pertencente ao eixo fixo de rotação do sólido.
Da mesma forma, vamos deduzir a equação que define a aceleração de um ponto P girante partindo 
das eq. 3.3, 3.4 e 3.5.
A eq. 3.3 define a aceleração tangencial de um ponto de forma escalar:
at = a . R
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
• A aceleração tangencial escalar (at) passa a ser o vetor aceleração tangencial do ponto de 
interesse P ( atP
 
). Sua direção é tangente à trajetória circular e seu sentido é dado pela condição 
de aceleração ou frenagem do sólido. Então: a atP t
 
= τ
• A aceleração angular (a) passa a ser o vetor aceleração angular ( α

). Sua direção é binormal e seu 
sentido é dado pela condição de aceleração ou frenagem do sólido. Então: α α

= b
Figura 55 – Observação da condição cinemática de aceleração ou frenagem para determinação do sentido da aceleração angular
A aceleração tangencial na forma vetorial é: 
a P OtP
  
= × −α ( ) eq. 4.2
O leitor deve ter atenção para o fato de que o sentido do vetor aceleração angular (α

) só é 
estabelecido após a definição do sentido do vetor velocidade angular ( ω

). Aplica-se a regra da mão 
direita para definição de ω

, e em seguida, verificando a condição de aceleração ou frenagem, é definido 
o sentido de α

. Na condição de aceleração, os dois vetores possuem sentidos coincidentes. Na condição 
de frenagem, os vetores possuem sentidos opostos (figura anterior).
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Unidade I
A eq. 3.4 define a aceleração normal de um ponto de forma escalar:
an = ω2 . R
• A aceleração normal escalar (an) passa a ser o vetor aceleração tangencial do ponto de interesse P 
(anP
 
). Sua direção é radial (normal ao vetor aceleração tangencial) e seu sentido aponta para o centro 
da trajetória circular. Então: a a nnP n
 
=
A aceleração normal na forma vetorial é: 
a P OnP
   
= × × −ω ω( ( )) eq. 4.3
A eq. 3.5 parte da regra do paralelogramo e define a aceleração total de um ponto de forma escalar: 
a a aP tP nP
2 2 2= +
Porém, podemos fazer a soma vetorial para definir a aceleração total de um ponto de forma vetorial: 
a a aP tP nP
    
= +
Substituindo as eq. 4.2 e 4.3 na equação da aceleração total, temos:
a P O P OP
   
= × − + × × −α ω ω( ) ( ( ))
Como estabelecido na eq. 4.1, v P OP
 
= × −ω ( ) . Podemos simplificar a equação da aceleração 
total assim: 
a P O vP P
   
= × − + ×α ω( ) eq. 4.4
Exemplo de aplicação
O sistema ilustra uma estrutura composta por placas soldadas ao eixo fixo AB, que gira em torno 
deste, com velocidade angular ω = 5 rad/s, que cresce à taxa de 4 rad/s2. Quando observada do ponto B, 
a estrutura gira no sentido horário. Determinar: 
a) O vetor velocidade angular ( ω

). 
b) O vetor aceleração angular ( α

). 
c) O vetor velocidade do ponto D ( vD

). 
d) O vetor aceleração do ponto D (aD

).
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
Figura 56 – Placas soldadas girando em torno de eixo fixo
Primeiramente, devemos obter as coordenadas dos pontos de interesse. Estes são os pontos 
pertencentes ao eixo fixo de rotação (A e B) e o ponto do qual se pede a velocidade e aceleração (D). As 
coordenadas já transformadas para metros são:
• A (0; 0,203; 0) m. 
• B (0; 0; 0,152) m. 
• D (0,178; 0; 0) m. 
Agora devemos observar o sentido de giro do sólido e desenhar os vetores velocidade angular ( ω

) e 
aceleração angular ( α

), lembrando que:
• A direção de ambos os vetores é a direção do eixo fixo de rotação. 
• O sentido do vetor velocidade angular é dado pela regra da mão direita. 
• O sentido do vetor aceleração angular é dado pela observação da condição cinemática