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Livro Eletrônico
Aula 03
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com
Videoaulas - Pós-Edital
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
 
Sumário
1 ʹ Quantis ........................................................................................................................ 2
1.1 ?Introdução ................................................................................................................................ 2
1.2 ?Mediana para dados em Rol .................................................................................................... 3
1.3 ?Mediana para dados agrupados por valor .............................................................................. 8
1.4 ?Demais medidas separatrizes para dados em Rol ou agrupados por valor .......................... 11
1.5 ?Medidas separatrizes para dados em classe.......................................................................... 16
1.6 - Propriedades das medidas separatrizes ................................................................................. 35
2 ʹModa ......................................................................................................................... 37
2.1 ?Introdução ..............................................................................................................................37
2.2 ?Moda para dados em rol ou agrupados por valor ................................................................. 37
2.3 ?Moda para dados em classe................................................................................................... 40
2.4 - Moda bruta, moda de king e moda de pearson ..................................................................... 52
2.5 ?Moda quando as amplitudes de classe são diferentes .......................................................... 57
2.6 - Propriedades da moda ............................................................................................................61
Caderno no Tec Concursos ............................................................................................... 61
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1 ʹQUANTIS
1.1 ʹ INTRODUÇÃO
Medidas separatrizes à?ŽƵà“ƋƵĂŶƚŝƐà弃?são medidas que separam os dados de forma bem específica,
de modo que cada parte tenha a mesma quantidade de elementos das demais.
Uma medida separatriz que nós já mencionamos é a mediana, que separa o conjunto de dados em
ĚƵĂƐ à“ŵĞƚĂĚĞƐà弃? ŽƵ ƐĞũĂà? Ğŵ ĚŽŝƐ ďůŽĐŽƐ ĐŽŵ ŵĞƚĂĚĞ ĚŽƐ ĞůĞŵĞŶƚŽƐ ĐĂĚĂ Ƶŵà?
MedianaÎ divide os dados em 2 partes
Quando a vimos pela primeira vez, dissemos que a mediana era uma medida de tendência central.
�ůĂà? ĂƐƐŝŵ ĐŽŵŽ Ă ŵĠĚŝĂ Ğ Ă ŵŽĚĂà? ŶŽƐ ŝŶĚŝĐĂ Ƶŵ ǀĂůŽƌ Ğŵ ƚŽƌŶŽ ĚŽ ƋƵĂů ŽƐ ĚĂĚŽƐ à“ŐŝƌĂŵà弃?
Mas, além de ser uma medida de tendência central, ela também é uma medida separatriz. Isto
porque ela separa os dados de uma forma bem específica: metade de cada lado. Sendo a mediana
o termo do meio, ela deixa metade dos dados à sua esquerda e a outra metade à sua direita.
Outra medida separatriz é o quartil. São três quartis, dividindo a sequência de dados em quatro
partes iguais (em quatro partes com o mesmo número de termos).
O primeiro quartil separa a sequência de dados de forma que à sua esquerda fiquem 25% dos valores
e à sua direita 75%. Assim, o primeiro quartil é o valor que não é superado por 25% das observações.
O segundo quartil coincide com a mediana, deixando 50% dos valores de cada lado.
O terceiro quartil deixa à sua esquerda 75% dos valores e à sua direita 25%. Logo, o terceiro quartil
é o valor que não é superado por 75% das observações.
QuartisÎ dividem os dados em 4 partes
Outra medida separatriz é o decil. São nove decis que dividem a série em dez partes iguais.
O primeiro decil deixa à sua esquerda 10% dos valores; à sua direita 90% (ou seja, não é superado
por 10% das observações). O segundo decil deixa à sua esquerda 20% dos valores; à sua direita 80%.
E assim por diante.
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1 àWtomamos os dois termos centrais (neste caso, o quinto e o sexto elemento)
2 àWfazemos a média entre eles.
O quinto elemento é 3 (ܺହ � ൌ � ?). O sexto elemento é 4 (ܺ଺ � ൌ � ?).
A mediana fica:
ܦ ൌ � ? ൅ ? ?
Quando a série tem um número ímpar de elementos, fatalmente a mediana fará parte do conjunto
de dados. Como existirá um termo do meio, ele será a mediana.
Quando a série tem um número par de elementos, a mediana não necessariamente fará parte do
conjunto de dados. Ela foi simplesmente resultado de uma conta.
A mediana, além de ser uma medida de tendência central, também é uma medida separatriz. Ela
separa a série de dados de forma bem específica, em duas partes com mesmo número de elementos.
Exemplo
Encontre a mediana para os seguintes conjuntos de dados:
a) 1, 2, 5, 4, 6, 2, 3, 3, 3
b) 2, 8, 5, 1
c) 1, 1, 1, 1, 2, 2 ,2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 8, 9, 19, 40, 40
Resolução:
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a) A sequência tem nove termos. A mediana é simplesmente o termo central, ou seja, o quinto
termo. O quinto termo é o seis. Portanto:
ܦ ൌ ?
Certo???
ERRADO!
Antes de fazermos qualquer coisa com a série de dados, temos que passá-la para um rol, colocando
os termos em ordem crescente.
ROL: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 6
WƌŽŶƚŽà? �ŐŽƌĂ Ă ƐĞƋƵġŶĐŝĂ ĞƐƚĄ ŽƌĚĞŶĂĚĂà? K ƋƵŝŶƚŽ ƚĞƌŵŽ Ġ Ž à‘à嬃?
ܦ ൌ ?
b) Primeiro achamos o rol:
ROL: 1, 2, 5, 8.
A sequência tem quatro termos (número par). Não há termo central. Fazemos a média dos dois
termos centrais.
ܦ ൌ � ? ൅ ? ? ൌ ?ǡ ?
c) ROL: 1, 1, 1, 1, 2, 2 ,2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 8, 9, 19, 40, 40
São vinte e um termos. O do meio é o décimo primeiro.
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ܦ ൌ ?
Apenas por curiosidade, vamos calcular a média deste conjunto.
തܺ ൌ ? ௜ܺ 球? ൌ 猃眃? 球? ൌ ?ǡ 眃?
A mediana deu 3. É uma medida de tendência central. Medidas de tendência central nos dão um
indicativo de valores em torno dos quais os dados giram. Portanto, tomando a mediana, dizemos
que os dados giram em torno de 3.
Mas a média também é uma medida de tendência central. Tomando apenas a média, dizemos que
os dados giram em torno de 7,52.
Como pode? Os dados giram em torno de 3 ou 7,52???
Na verdade, as medidas de tendência central não precisam necessariamente coincidir. Elas
coincidem quando a sequência for simétrica.
Média e mediana são obtidas por meios diferentes. A primeira resulta da soma de todos os valores,
dividido pelo número de dados. A segunda resulta de uma contagem, em que tomamos o termo do
meio. Cada uma delas procura expressar a tendência central, mas de forma distinta.
Suponha que esta série de dados da letra C represente os salários dos funcionários de uma dada
empresa, em números de salários mínimos.
Assim, os quatro primeiros funcionários ganhariam 1 salário mínimo. Os seis seguintes, dois salários
mínimos. E assim por diante, até os dois últimos, que ganham quarenta salários mínimos.
Olha como a coisa é interessante. Nesta empresa, como em qualquer outra, a maior parte dos
funcionários recebe um salário mais baixo. São operários, técnicos, secretárias etc. E poucos
funcionários recebem um salário muito alto. São diretores, gerentes, etc.
Se a empresa quiser fazer uma propaganda sua, dizendo que é um ótimo lugar para trabalhar, diráque o salário médio por ela pago é de mais de 7 salários mínimos. É que, mesmo com a grande
ŵĂŝŽƌŝĂ ĚŽƐ ĨƵŶĐŝŽŶĄƌŝŽƐ ŐĂŶŚĂŶĚŽ Ƶŵ ƐĂůĄƌŝŽ ŵƵŝƚŽ ďĂŝdžŽà? ƚĞŵŽƐ ƵŶƐ ƉŽƵĐŽƐ à‘ĨĞůŝnjĂƌĚŽƐà? ƋƵĞ
ganham um salário tão alto a ponto de fazer com que a média não seja assim tão baixa.
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Por outro lado, se os funcionários quiserem fazer uma campanha para aumento salarial, poderão
dizer que o salário mediano na empresa é de apenas 3 salários mínimos.
Suponha que, por algum motivo, a gente exclua dos nossos dados os dois funcionários que ganham
40 salários mínimos. Ficaríamos com o seguinte conjunto:
1, 1, 1, 1, 2, 2 ,2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 8, 9, 19.
A mediana agora é igual a 2. E a média passa a ser igual a 4,1. A mediana variou bem menos que a
média. Isso porque a mediana é menos influenciada por valores extremos. Ela é pouco sensível a tais
valores. A média, contrariamente, é mais influenciada por valores muito grandes (ou muito
pequenos). Dizemos que a média é mais sensível que a mediana.
Por isso, em pesquisas de distribuição de renda, muitas vezes é utilizada a mediana como medida de
tendência central. Geralmente poucas pessoas têm renda extremamente alta. Estas pessoas
contribuem para aumentar a renda média, num quadro em que grande parte da população tem
renda baixa. A mediana, nesses casos, tende a fornecer valores mais baixos, que descrevem melhor
a população pesquisada.
Vamos praticar agora com uma questão da Esaf:
(Esaf) Determine a mediana do seguinte conjunto de dados:
58, 95, 17, 44, 63, 9, 57, 21, 88, 12, 31, 28, 73, 5 e 56.
a) 28
b) 31
c) 44
d) 50
e) 56
Resolução:
Primeiro ordenamos os valores:
5, 9, 12, 17, 21, 28, 31, 44, 56, 57, 58, 63, 73, 88, 95
São 15 termos. O do meio é o oitavo, destacado em vermelho acima.
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Resposta: C
1.3 ʹMEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS POR VALOR
Relembrando, a mediana é o termo que divide a série em duas partes com o mesmo número de
termos. Ou ainda, é o valor que não é superado por 50% das observações.
Considere como exemplo a pesquisa salarial feita com dez moradores do bairro Alfa.
Salários (em 1.000,00 reais): 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7
Convertendo este Rol em uma tabela de frequências simples:
Salário em R$ 1.000,00 (X) frequência absoluta simples
1 1
2 3
3 1
4 2
5 1
6 1
7 1
Ao contrário da média e da moda, para encontrar a mediana não trabalhamos com frequências
simples. Trabalhamos sempre com frequências acumuladas (tanto faz ser relativa ou absoluta).
Então, o primeiro passo para encontrar a mediana é encontrar a coluna de frequências absolutas
acumuladas.
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Salário em R$ 1.000,00 (X) frequência absoluta simples Frequência absoluta acumulada
1 1 1
2 3 4
3 1 5
4 2 7
5 1 8
6 1 9
7 1 10
Segundo passo: determinar qual o termo do meio (ou quais são). Neste caso, como são 10 elementos
(ou seja, o número total de dados é par), não temos um termo do meio. Temos dois termos centrais.
Numa sequência de 10 termos, os centrais são o quinto e o sexto elementos.
Temos, portanto que determinar quem é o quinto elemento e quem é o sexto elemento. Para tanto,
basta encontrar a quais valores de salários correspondem as frequências acumuladas 5 e 6.
Dirigindo-nos à coluna de frequência acumulada, procuramos pelo número 5 (ver linha em
vermelho).
Qual valor de salário corresponde à frequência acumulada 5?
Resposta: 3 (R$ 3.000,00).
Pronto, encontramos o quinto elemento.
Agora, encontremos o sexto elemento. Dirigindo-nos à coluna de frequência acumulada,
procuramos pelo número 6. Só que não há nenhum valor de frequência acumulada igual a 6.
Adotamos o número imediatamente superior, no caso, 7 (ver linha em azul).
Qual o valor de salário correspondente à frequência acumulada 7?
Resposta: 4 (R$ 4.000,00).
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Pronto, encontramos o sétimo elemento (que é igual ao sexto elemento).
Num caso de número par de dados, a mediana é dada pela média entre os dois termos centrais.
ܦ ൌ � ? ൅ ? ? ൌ ?ǡ ?
Talvez tenha ficado a dúvida de por que utilizamos a frequência acumulada 7 em vez de 6. Tentando
explicar um pouco melhor, podemos pensar o seguinte. A frequência acumulada do valor 3 é 5. O
que significa isto? Significa que 5 pessoas ganham salários menores ou iguais a R$ 3.000,00.
A frequência acumulada do valor 4 é 7. O que significa isto? Significa que 7 pessoas ganham salários
menores ou iguais a R$ 4.000,00.
Ou seja, cinco pessoas ganham até R$ 3.000,00. Sete pessoas ganham até R$ 4.000,00. Eu estou
procurando pela sexta pessoa. Eu sei que esta sexta pessoa ganha mais de R$ 3.000,00, pois apenas
as cinco primeiras ganham até R$ 3.000,00. Logo, a sexta e a sétima pessoas ganham salários de R$
4.000,00. Ou seja, o sexto e o sétimo valores são iguais.
(Universa)
Em uma licitação para aquisição de lotes destinados à construção de residências, quinze
propostas foram apresentadas. Os valores das propostas e a frequência com que apareceram
se encontram na tabela a seguir.
Valor (R$) Frequência
100.000,00 1
105.000,00 2
110.000,00 5
112.000,00 4
115.000,00 3
A mediana de um conjunto de dados é uma medida de tendência central cuja característica
principal é a divisão do conjunto em dois grupos com mesmo número de valores cada. O
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primeiro grupo apresenta valores inferiores à mediana e o segundo, valores superiores. Para o
conjunto de dados apresentados, o valor da mediana é, em R$,
(A) 100.000,00.
(B) 105.000,00.
(C) 110.000,00.
(D) 112.000,00.
(E) 115.000,00.
Resolução:
Calculando as frequências acumuladas:
Valor (R$) Frequência Frequência acumulada
100.000,00 1 1
105.000,00 2 3
110.000,00 5 8
112.000,00 4 12
115.000,00 3 15
São 15 termos. O do meio é o oitavo, ou seja, aquele que tem frequência acumulada 8. Conforme
destaque em vermelho, notamos que este termo é o 110.000,00. Resposta: C.
1.4 ʹDEMAIS MEDIDAS SEPARATRIZES PARA DADOS EM ROL OU AGRUPADOS POR VALOR
Quando os dados estão em ROL ou agrupados por valor, o cálculo das medidas separatrizes pode ser
meio complicado.
Para a mediana, nós vimos no tópico anterior que bastava identificar o termo central. Ou, caso o
conjunto tivesse um número par de termos, bastava identificar os dois termos centrais e fazer a
média.
WĂƌĂ ĂƐ ĚĞŵĂŝƐ ŵĞĚŝĚĂƐà? Ă ŵĂŶĞŝƌĂ ĚĞ ĐĂůĐƵůĂƌ ǀĂƌŝĂ ďĂƐƚĂŶƚĞà? �ŽƐƚƵŵŽ ĚŝnjĞƌ ƋƵĞ à“ǀĂŝ ĚŽ ŐŽƐƚŽ ĚŽ
ĨƌĞŐƵġƐà?à? dĂůǀĞnj ƉŽƌ ŝƐƐŽ ĚŝĨŝĐŝůŵĞŶƚĞ ĐĂŝĂ Ğŵ ƉƌŽǀĂà?
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Vejamos um exemplo. Neste ponto específico, vou utilizar a mesma ideia apresentada no livro
à“�ƐƚĂƚşƐƚŝĐĂ �ƉůŝĐĂĚĂ ă �ĐŽŶŽŵŝĂà? �ĚŵŝŶŝƐƚƌĂĕĆŽ Ğ �ŽŶƚĂďůŝŝĚĂĚĞà弃? ĚŽƐ ĂƵƚŽƌĞƐ :ŽŚŶ &ƌĞƵŶĚ Ğ 'ĂƌLJ
^ŝŵŽŶà? KƐ ĂƵƚŽƌĞƐ ƚƌĂďĂůŚĂŵ ĐŽŵ Ƶŵ ĞdžĞŵƉůŽ ĞŶǀŽůǀĞŶĚŽ ƋƵĂƌƚŝƐà? ĚĞŵŽŶƐƚƌĂŶĚŽ ƋƵĞ à“há vasto
campo para a arbitrariedade na ĚĞĨŝŶŝĕĆŽ�ĚŽ�ƋƵĂƌƚŝů�ŝŶĨĞƌŝŽƌ�Y ?�Ğ�ĚŽ�ƋƵĂƌƚŝů�ƐƵƉĞƌŝŽƌ�Y ? 弃?
Então é isso.O que vem abaixo é uma adaptação dos exemplos do livro citado.
Estamos pesquisando as alturas das crianças de uma escola.
Selecionamos doze crianças. Medimos suas alturas, obtendo o seguinte rol (valores em metros):
1,40; 1,41; 1,44; 1,45; 1,46; 1,47; 1,49; 1,51; 1,52; 1,53; 1,55; 1,56.
Muito bem. Nossa tarefa agora é encontrar os quartis.
São doze valores. Se vamos dividir o ROL em quatro partes iguais, cada parte terá três elementos.
Ficaremos com:
 ?ǡ 瘃?Ǣ ?ǡ 瘃?Ǣ ?ǡ 瘃?ᇣᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇥ Ǣ ?ǡ 瘃?Ǣ ?ǡ 瘃?Ǣ ?ǡ 瘃?ᇩᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇫ Ǣ ?ǡ 瘃?Ǣ ?ǡ 眃?Ǣ ?ǡ 眃?ᇣᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇥ Ǣ ?ǡ 眃?Ǣ ?ǡ 眃?Ǣ ?ǡ 眃?ᇩᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇫ
Acima temos as quatro partes de três elementos. Portanto, quatro partes iguais.
Neste exemplo, uma forma de determinar os quartis poderia ser a que segue: tomamos os números
ƋƵĞ ĨŝĐĂŵ ƉĞƌƚŽ ĚĂƐ à“ĨƌŽŶƚĞŝƌĂƐà? ĞŶƚƌĞ ĂƐ ƉĂƌƚĞƐ Ğ ĨĂnjĞŵŽƐ Ă ŵĠĚŝĂ ĞŶƚƌĞ ĞůĞƐà?
A primeira parte termina no 1,44. A segunda parte começa no 1,45. Fazendo a média entre eles
temos:
� ?ǡ 瘃?൅ ?ǡ 瘃? ? ൌ ?ǡ 瘃瘃?
Assim, o primeiro quartil seria 1,445 (ܳଵ ൌ ?ǡ 瘃瘃?)
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A segunda parte termina no 1,47. A terceira parte começa no 1,49. Fazendo a média entre eles
temos:
� ?ǡ 瘃?൅ ?ǡ 瘃? ? ൌ ?ǡ 瘃?
O segundo quartil (que coincide com a mediana) é 1,48.
ܦ ൌ ܳଶ ൌ ?ǡ 瘃?
A terceira parte termina no 1,52. A quarta parte começa no 1,53. Fazendo a média entre eles temos:
� ?ǡ 眃?൅ ?ǡ 眃? ? ൌ ?ǡ 眃球?
E o terceiro quartil é 1,525 (ܳଷ ൌ ?ǡ 眃球?)
Pronto, descobrimos os três quartis. Três valores que separam a série de dados em quatro partes
iguais.
Agora vamos mudar a situação. Em vez de 12 crianças, medimos altura de apenas 11. A criança mais
baixa, com 1,40, não foi analisada.
O novo ROL, com 11 termos, fica:
1,41; 1,44; 1,45; 1,46; 1,47; 1,49; 1,51; 1,52; 1,53; 1,55; 1,56.
E agora? 11 não é múltiplo de 4. Como separar a sequência em quatro partes iguais?
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Bom, o segundo quartil sempre coincide com a mediana. Agora temos um número ímpar de
elementos. Há um termo do meio, que é o sexto. A mediana é igual a 1,49. Portanto, o segundo
quartil também é igual a 1,49.
O problema é achar os demais quartis.
Neste caso, podemos pensar que:
x à direita do primeiro quartil existem três vezes mais termos que à sua esquerda; à esquerda
do terceiro quartil existem três vezes mais termos que à sua direita;
x o número de elementos entre ܳଵ e ܳଶ é igual ao número de elementos entre ܳଶ e ܳଷ, que é
igual ao número de elementos à esquerda de ܳଵ, que é igual ao número de elementos à
direita de ܳଷ;
x metade dos dados está entre ܳଵ e ܳଷ.
Quando a sequência tinha 12 termos (12 é múltiplo de quatro) todas estas propriedades foram
satisfeitas (pode conferir).
Agora, quando a sequência tem apenas 11 termos, não é possível fazer com que todas sejam
observadas ao mesmo tempo.
Adotando a segunda propriedade, poderíamos determinar os quartis do seguinte modo:
Mas observe que as demais propriedades não foram satisfeitas.
Pois bem, este mesmo problema enfrentado com os quartis acontece com todas as demais medidas
separatrizes (decis e percentis).
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Talvez, devido a este tipo de problema, não seja comum a cobrança de tais medidas em provas de
concursos (para dados em ROL ou agrupados por valor).
No caso específico de quartis, ainda se vê cobrança vez ou outra (seguem exemplos na sequência).
E o método que se costuma utilizar para determinar o valor dos quartis é sempre o mesmo e acaba
correspondendo à aplicação da segunda propriedade. O segundo quartil divide a sequência em duas
partes iguais. Consideramos que o primeiro quartil é a mediana da primeira parte. E o terceiro quartil
é a mediana da segunda parte.
Vejamos como isso foi aplicado numa questão de prova:
(Esaf)
[Conjunto de dados da questão anterior: 58, 95, 17, 44, 63, 9, 57, 21, 88, 12, 31, 28, 73, 5 e 56].
Dado o conjunto de dados da questão anterior, determine a amplitude interquartilica Q3 àWQ1.
a) 33.
b) 37.
c) 40.
d) 46.
e) 51.
Resolução
Primeiro ordenamos os dados e localizamos o termo central, que é a mediana:
5, 9, 12, 17, 21, 28, 31, 44, 56, 57, 58, 63, 73, 88, 95
A mediana é o 44, em vermelho. Ela divide a sequência em dois blocos de 7 elementos cada: um azul
e outro verde.
No bloco azul, o termo do meio é o 4º, que vale 17. Tomaremos este valor como primeiro quartil.ܳଵ ൌ 猃?
No bloco verde, o quarto termo vale 63. Tomaremos este termo como terceiro quartil.ܳଷ ൌ 砃?
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Finalmente: ܳଷ െ ܳଵ ൌ 砃?െ 猃?ൌ 瘃?
Resposta: D
Existe uma forma sistemática de cálculo de medidas separatrizes para dados em rol ou agrupados
por valor, que retira totalmente o caráter arbitrário a que nos referimos acima. Esta forma é muito
bem detalhada no livro "Estatística Básica", dos autores Bussab e Morettin.
No entanto, como nunca vi uma única questão cobrando tal assunto, vou deixar de apresentá-lo.
Quem quiser conhecer tal método, recomendo a leitura deste artigo aqui:
https://www.tecconcursos.com.br/avisos-da-coordenacao/quantis-para-dados-agrupados-por-
valor-ou-dados-em-rol
1.5 ʹMEDIDAS SEPARATRIZES PARA DADOS EM CLASSE
Costumo dizer que este é o tópico mais importante de estatística descritiva. Se você considerar
provas anteriores das mais importantes bancas, este é o assunto mais cobrado.
� ƌĞƉƌĞƐĞŶƚĂĕĆŽ ĚŽƐ ĚĂĚŽƐ ŶĂ ĨŽƌŵĂ à“ĂŐƌƵƉĂĚŽƐ Ğŵ ĐůĂƐƐĞƐà? Ġ ĐŽŵƵŵ ƋƵĂŶĚŽ Ž ŶƷŵĞƌŽ ĚĞ
observações é muito grande. Nestas situações, os problemas que vimos na determinação das
medidas separatrizes tornam-se irrelevantes. Especialmente levando-se em conta que nem acesso
a todos os dados nós temos (ou seja, obrigatoriamente considerações têm que ser feitas). Quando
os dados estão agrupados em classes, não há mais ?ǀĂƐƚŽ�ĐĂŵƉŽ�ĚĞ�ĂƌďŝƚƌĂƌŝĞĚĂĚĞ ?na determinação
dos quartis (ou dos decis, ou dos percentis). O método é sempre o mesmo.
Para resolver exercícios de medidas separatrizes para dados agrupados em classes, utilizamos
interpolação linear. Vai funcionar mais ou menos assim.
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Precisamos trabalhar com valores de frequências acumuladas (não importa se absolutas ou relativas,
importa que sejam acumuladas). Neste ponto a conta é diferente de média e moda. Para média e
moda sempre usamos frequências simples. Para medidas separatrizes (incluindo mediana) é o
contrário: frequências acumuladas.
Para determinados valores de frequências acumuladas, saberemos muito bem quais os valores da
nossa sequência de dados são correspondentes. Para outros, não. Estes outros valores nós
determinaremos por meio da interpolação linear.
Novamente: se tivéssemos que apontar um tópico de estatística descritiva como o mais cobrado em
concursos, seria exatamente este: o cálculo de medidas separatrizes para dados agrupados em
classes utilizando interpolação linear. Vamos a alguns exercícios para ver como fica.
(Esaf) Considere a tabela de frequências seguinte correspondente a uma amostra da variável
X. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.
Classes Frequências acumuladas
2.000 - 4.000 5
4.000 - 6.000 16
6.000 - 8.000 42
8.000- 10.000 77
10.000 - 12.000 89
12.000 - 14.000 100
Assinale a opção que corresponde à estimativa do valor x da distribuição amostral de X que
não é superado por cerca de 80% das observações.
a) 10.000
b) 12.000
c) 12.500
d) 11.000
e) 10.500
Resolução:
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A pergunta pode ser resumida como: qual o valor do oitavo decil? Ou seja, quer se saber qual valor
deixa à sua esquerda 80% dos dados. Ou ainda, qual valor não é superado por 80% das observações.
O primeiro passo é verificar se as frequências dadas são acumuladas. Para medidas separatrizes,
sempre devemos utilizar frequências acumuladas. Não importa se forem absolutas ou relativas.
Basta que sejam acumuladas. Lembre que aqui é o contrário do cálculo para média e moda. Para
média e moda sempre utilizamos frequências simples.
No caso, o exercício já deu as frequências acumuladas. Não temos que fazer nenhuma
transformação.
Antes de responder à pergunta, vamos relembrar um pouco do significado de uma tabela de
frequências acumuladas. Observe a linha em vermelho.
Classes Frequências acumuladas
2.000 - 4.000 5
4.000 - 6.000 16
6.000 - 8.000 42
8.000 - 10.000 77
10.000 - 12.000 89
12.000 - 14.000 100
O que ela significa?
O que significa dizer que a frequência acumulada da classe 8.000 àW10.000 é igual a 77?
Significa que temos 77 valores de X nesta classe ou nas classes anteriores. Significa que temos 77
valores de X entre 2.000 e 10.000.
E se a pergunta fosse: qual o valor que não é superado por 77% das observações?
Se a pergunta fosse essa, não precisaríamos fazer nenhuma conta. Bastaria olhar direto na tabela.
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Se 77 valores de X estão entre 2.000 e 10.000, concluímos que o valor de X que não é superado por
77% das observações é justamente 10.000.
Classes Frequências acumuladas
2.000 - 4.000 5
4.000 - 6.000 16
6.000 - 8.000 42
8.000 - 10.000 77
10.000 - 12.000 89
12.000 - 14.000 100
O valor 10.000 não é superado por 77% das observações
E se a pergunta fosse: qual o valor não é superado por 89% das observações? Novamente, não
precisaríamos fazer nenhuma conta. Bastaria olhar na tabela. Veja a linha em vermelho.
Classes Frequências acumuladas
2.000 - 4.000 5
4.000 - 6.000 16
6.000 - 8.000 42
8.000 -10.000 77
10.000 - 12.000 89
12.000 - 14.000 100
O valor 12.000 não é superado por 89% das observações
Temos 89 valores entre 2.000 e 12.000. Ou seja, 12.000 não é superado por 89% das observações.
O problema é que a pergunta foi qual o valor não é superado por 80% das observações. E na coluna
de frequências acumuladas não temos o valor 80. Logo, não temos como saber qual é o valor de X
que não é superado por 80% das observações.
O que faremos?
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sĂŵŽƐ à“ĐŚƵƚĂƌà弃? sĂŵŽƐ ĨĂnjĞƌ ƵŵĂ ĐŽŶƐŝĚĞƌĂĕĆŽà? sĂŵŽƐ ĐŽŶƐŝĚĞƌĂƌ ƋƵĞ Ž ŐƌĄĨŝĐŽ ĚŽƐ ǀĂůŽƌĞƐ ĚĞ
frequências acumuladas versus valores de X se comporta como um conjunto de segmentos de reta.
Neste curso nós não vamos ficar desenhando gráficos de segmentos de reta. Vamos só utilizar o
resultado destes gráficos.
Classes Frequências acumuladas
2.000 - 4.000 5
4.000 - 6.000 16
6.000 - 8.000 42
8.000 -10.000 77
10.000 - 12.000 89
12.000 - 14.000 100
Sabemos que o valor 10.000 corresponde a uma frequência acumulada de 77. Sabemos que o valor
12.000 corresponde a uma frequência acumulada de 89. A pergunta é: quem corresponde a 80?
(vamos chamar de Z)
Sabemos que 80 está entre 77 e 89. Portanto, o valor que a ele corresponde tem que estar entre
10.000 e 12.000.
10.000 77 10.000 corresponde a 77
Z=? 80 Quem corresponde a 80?
12.000 89 12.000 corresponde a 89
Na interpolação linear, nós vamos fazer o seguinte. Fazemos a segunda linha menos a primeira.
Fazemos a terceira linha menos a primeira.
Primeira linha 10.000 77
Segunda linha Z 80
Terceira linha 12.000 89
Subtraindo, ficamos com:
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ܼ െ 猃?Ǥ 爃爃? 稃?െ 礃? 猃?Ǥ 爃爃?െ 猃?Ǥ 爃爃? 稃?െ 礃?
A interpolação linear nos diz que as diferenças das linhas de baixo com a linha de cima são
proporcionais.
ܼ െ 猃?Ǥ 爃爃? 猃?Ǥ 爃爃?െ 猃?Ǥ 爃爃?ൌ 稃?െ 礃? 稃?െ 礃?
Isolando o Z, temos:
ܼ ൌ 猃?Ǥ 爃爃?൅ ?Ǥ 爃爃?ൈ ? 猃?ܼ ൌ 猃?Ǥ 眃爃?
Concluindo: O valor 10.500 não é superado por 80 observações.
Gabarito: E.
Antes de passarmos para o próximo exercício, vamos mostrar graficamente o que foi feito.
Para os dados fornecidos, podemos construir a seguinte tabela de frequências acumuladas:
Valores F
2.000 0
4.000 5
6.000 16
8.000 42
10.000 77
12.000 89
14.000 100
Podemos plotar estes valores num gráfico.
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Ou seja, para alguns valores, sabemos exatamente as respectivas frequências acumuladas. Mas não
sabemos qual valor corresponde à frequência acumulada 80 (ou qual o oitavo decil).
Assim, supomos que o gráfico acima é composto por diversos segmentos de retas que unem os
pontos conhecidos.
Com esta suposição, passamos a ter, para qualquer frequência acumulada, a respectiva observação.
E vice-versa.
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Esta suposição de que o gráfico é formado por segmentos de reta é justamente a interpolação linear.
O gráfico acima é por vezes chamado de ogiva de Galton. E a interpolação linear acaba sendo
chamada de interpolação da Ogiva. Mas estes são só nomes diferentes para a mesma coisa.
Assim, em vez de resolvermos o exercício da forma como fizemos, poderíamos trabalhar
diretamente com o gráfico. Mas como ficar desenhando gráfico é meio trabalhoso, vou fazer uma
vez só.
A pergunta é: qual valor corresponde à frequência acumulada 80?
Ou ainda: qual o valor de Z da figura acima?
Vamos analisar apenas uma parte do gráfico. Vamos olhar apenas para o penúltimo segmento de
reta.
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Podemos visualizar dois triângulos no gráfico acima. O primeiro, menor, destacado em verde:
A altura deste triângulo mede 3 ( 稃?� െ � 礃?� ൌ � ?). A base deste triângulo mede ܼ െ 猃?Ǥ 爃爃?.
Há outro triângulo, maior, destacado em azul.
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A altura deste triângulo maior é 12 ሺൌ � 稃?� െ � 礃?ሻǢ
Sua base mede 2.000 ሺൌ 猃?Ǥ 爃爃?� െ � 猃?Ǥ 爃爃?ሻǤ
Estes dois triângulos são semelhantes. Portanto, a relação entre as alturas é igual à relação entre as
bases.
Assim:
„ƒ•‡�–”‹Ÿ‰—Ž‘�˜‡”†‡„ƒ•‡�–”‹Ÿ‰—Ž‘�ƒœ—Ž ൌ ƒŽ–—”ƒ�–”‹Ÿ‰—Ž‘�˜‡”†‡ƒŽ–—”ƒ�–”‹Ÿ‰—Ž‘�ƒœ—Ž
ܼ െ 猃?Ǥ 爃爃? ?Ǥ 爃爃? ൌ ? 猃?
E foi exatamente desta igualdade que partimos para resolver o problema. Ou seja, esta igualdade
nada mais é que o resultado da semelhança de triângulos, triângulos estes obtidos por causa da
interpolação linear.
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Aqui em nosso curso, acho que não é muito proveitoso ficar resolvendo os exercícios diretamente
no gráfico. Portanto, nos próximos exercícios de concursos, faremos o primeiro procedimento visto,
achando as três linhas, subtraindo as duas de baixo pela de cima.
Para encerrar o exercício, destaco que, por causa das alternativas, há uma solução mais rápida.
Olhando a tabela do enunciado, temos que:
10.000 77 10.000 corresponde a 77ܼ ൌǫ 80 Quem corresponde a 80?
12.000 89 12.000 corresponde a 89
80 está entre 77 e 89. O número que a ele corresponde (ൌ ܼ), portanto, está entre 10.000 e 12.000.
Logo, não pode ser o próprio 10.000, nem o próprio 12.000. Já descartamos as letras A e B.
a) 10.000
b) 12.000
c) 12.500
d) 11.000
e) 10.500
Se o número procurado está entre 10.000 e 12.000, então ele também não pode ser igual a 12.500.
Descartamos a letra C.
a) 10.000
b) 12.000
c) 12.500
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d) 11.000
e) 10.500
Como 80 está mais próximo de 77 do que de 89, o número a ele correspondente deve estar mais
próximo de 10.000 do que de 12.000. Assim, descartamos a letra D, pois 11.000 está exatamente no
meio entre 10.000 e 12.000.
a) 10.000
b) 12.000
c) 12.500
d) 11.000
e) 10.500
E marcamos a letra E.
(FCC)
Salários (R$) Frequências simples absolutas
500 a 1.000 100
1.000 a 1.500 300
1.500 a 2.000 500
2.000 a 2.500 400
2.500 a 3.000 300
O valor da mediana dos salários dos empregados, obtido pelo método da interpolação linear,
é igual a
(A) R$ 1.750,00
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(B) R$ 1.800,00
(C) R$ 1.850,00
(D) R$ 1.900,00
(E) R$ 1.950,00
Resolução
Primeiro determinamos as frequências acumuladas:
Salários (R$) f F
500 a 1.000 100 100
1.000 a 1.500 300 400
1.500 a 2.000 500 900
2.000 a 2.500 400 1.300
2.500 a 3.000 300 1.600
O total de observações é 1.600 (vide última frequência acumulada). A mediana corresponde à
frequência acumulada F = 800 (pois ela não é superada por metade das observações.
Notem que na coluna de frequências acumuladas àWF àWnão há o valor 800. Então tomamos os valores
que o circundam, quais sejam, 400 e 900:
1.500 400 1.500 corresponde a F = 400ܦ ൌǫ 800 Quem corresponde a 800?
2.000 900 2.000 corresponde a F = 900
Agora basta subtrair as linhas e montar as frações:ܦ െ ?Ǥ 眃爃? ?Ǥ 爃爃?െ ?Ǥ 眃爃?ൌ 稃爃?െ 瘃爃? 笃爃?െ 瘃爃?ܦ െ ?Ǥ 眃爃? 眃爃? ൌ 瘃爃? 眃爃?
Cancelando 500 com 500: ܦ െ ?Ǥ 眃爃?ൌ 瘃爃?ܦ ൌ ?Ǥ 笃爃?
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Resposta: D
Para encerrar o assunto, falta ver um resultado muito interessante, envolvendo medidas
separatrizes e o histograma.
Vamos tratar disso diretamente nas questões:
(FCC) Considere o histograma da variável X a seguir, em que as frequências simples absolutas
foram anotadas no interior dos retângulos.
O valor do terceiro quartil de X é:
a) 40
b) 35
c) 30
d) 25
e) 12
Resolução:
Vamos achar qual a tabela de frequências simples que corresponde ao histograma acima.
O histograma dado corresponde à seguinte tabela:
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Classes Frequência absoluta simples
20 - 25 5
25 - 30 15
30 - 35 25
35 - 40 8
40 - 45 7
Total 60
O terceiro quartil é o valor que não é superado por 75% das observações. Como são 60 dados, o
terceiro quartil é valor que não é superado a 45 observações. Ou seja, é o valor que corresponde à
frequência acumulada 45.
Abaixo segue a tabela de frequências acumuladas:
Classes Frequência simples Frequência acumulada
20 - 25 5 5
25 - 30 15 20
30 - 35 25 45
35 - 40 8 53
40 - 45 7 60
E nem precisamos fazer a interpolação linear. Na tabela acima temos direto o valor que corresponde
à frequência acumulada 45. Este valor é 35. Ou seja, 35 é o terceiro quartil.
Gabarito: B.
Agora eu queria chamar a atenção para um detalhe. Voltemos ao histograma. Considere apenas a
área à esquerda do terceiro quartil. É a área destacada em verde na figura abaixo.
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Temos três retângulos verdes. O primeiro tem altura igual a 5. O segundo tem altura igual a 15. O
terceiro tem altura igual a 25. Todos eles têm base igual a 5. A área total desses três retângulos fica:
�”‡ƒ�˜‡”†‡ ൌ ? ൈ ? ൅ ? ൈ 猃?൅ ? ൈ 球?ൌ 球球?
Agora vejamos qual a área total de todos os retângulos (área amarela da figura abaixo).
Temos cinco retângulos, todos com base 5. Os três primeiros nós já analisamos. Juntos, eles têm
área de 225.
Os dois últimos têm alturas de 8 e 7. A área dos dois últimos fica:
 ? ൈ ? ൅ ? ൈ ? ൌ 礃?
Portanto, a área amarela é de:
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�”‡ƒ�ƒƒ”‡Žƒ ൌ 球球?൅ 礃?ൌ 甃爃?
Vamos dividir as áreas?
�”‡ƒ�˜‡”†‡�”‡ƒ�ƒƒ”‡Žƒ ൌ 球球? 甃爃?ൌ ?ǡ 礃?ൌ 礃眃?
A área à esquerda de 35 (=área verde) é igual a 75% da área total. E 35 é justamente o terceiro
quartil, ou seja, o valor que não é superado por 75% das observações.
Isso não é coincidência.
Um histograma também pode ser útil para achar medidas separatrizes. As áreas a esquerda de um
dado valor têm íntima relação com a posição que este valor ocupa.
Por exemplo, a área à esquerda da mediana será sempre igual a 50% da área total.
A área à esquerda do primeiro quartil será sempre igual a 25% da área total. A área à esquerda do
terceiro quartil será sempre igual a 75% da área total. E assim por diante.
(FCC) A distribuição dos salários dos 200 funcionários, em R$ 1.000,00, de determinada carreira
profissional em um órgão público está representada pelo histograma abaixo. No eixo vertical
estão assinaladas as respectivas densidaĚĞƐ ĚĞ ĨƌĞƋƵġŶĐŝĂƐà? Ğŵ à縀‘à? à堃?à唃?à?á㸃?à? �ĞĨŝŶĞ-se
densidade de frequência de um intervalo de classe como sendo o quociente da divisão da
respectiva frequência relativa pela correspondente amplitude do intervalo.
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O terceiro retângulo tem base 3 e altura 0,15. Área: ? ൈ � ?ǡ 猃?ൌ ?ǡ 瘃?
O último retângulo tem base 2 e altura 0,05. Área: ? ൈ � ?ǡ 爃?ൌ ?ǡ ?
Somando todas as áreas: ?ǡ ? ൅ ?ǡ 球?൅ ?ǡ 瘃?൅ ?ǡ ? ൌ ?
Isso vale sempre. Se o histograma for baseado em densidades de frequências, a área total é 1.
A área entre os salários de 4.000 e 8.000 está destacada abaixo:
Esta área corresponde à soma das áreas de 0,25 e 0,45.
A área verde é igual a:
 ?ǡ 球?൅ ?ǡ 瘃?ൌ ?ǡ ?
70% dos funcionários têm salários entre R$4.000,00 e R$8.000,00.
Lembrando que ao todo são 200 funcionários.
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 礃爃? �݀݁� 球爃?ൌ ?ǡ ? ൈ 球爃?ൌ 猃瘃?
140 funcionários têm salários entre R$ 4.000,00 e R$8.000,00.
Gabarito: D
Muitos alunos, depois de estudarem o cálculo de quantis para dados em classe, passam a
confundir a matéria. Eles passam a querer usar a interpolação linear para tudo, mesmo para o
caso em que os dados não estiverem em classe.
Não podemos fazer isso, vai dar errado!
Nós vimos formas diferentes e cálculo para dados agrupados por valor e para dados em classe, e
elas devem ser respeitadas.
Para quem tiver interesse em entender o motivo disso, gravei o vídeo a seguir. Ele é totalmente
opcional, é só uma curiosidade. Para a sua prova basta você saber que a interpolação linear só
pode ser usada para o caso de dados em classe.
https://vimeo.com/137722362
1.6 - PROPRIEDADES DAS MEDIDAS SEPARATRIZES
Nós estudamos as seguintes propriedades para a média:
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x somando ou subtraindo uma constante c de cada elemento do conjunto de dados, a média
do novo conjunto fica aumentada ou diminuída de c.
x multiplicando ou dividindo cada elemento do conjunto de dados por uma constante c, a
média do novo conjunto fica multiplicada ou dividida por c.
Estas mesmas propriedades valem para a mediana (e para qualquer outra medida separatriz).
Contudo, as questões só costumam cobrar tais propriedades aplicadas à média aritmética.
Ou seja, se multiplicarmos todo o conjunto de dados por 3, a mediana será triplicada.
Se dividirmos todo o conjunto de dados por 4, a mediana será dividida por 4.
Se somarmos 5 a todos os dados, a mediana será aumentada em 5.
Se subtrairmos 8 de todos os dados, a mediana será reduzida em 8.
Vimos também que outras duas propriedades da média são:
x a média aritmética é o valor em relação ao qual é mínima a soma dos quadrados dos desvios
x a soma dos desvios em relação à média é igual a zero.
Estas propriedades são melhor estudadas dentro de "medidas de dispersão".
Pois bem, para a mediana existe uma propriedade parecida. A soma dos módulos dos desvios é
mínima quando eles são calculados em relação à mediana. Tal propriedade é detalhada dentro de
"medidas de dispersão".
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2 ʹMODA
2.1 ʹ INTRODUÇÃO
A moda é mais uma medida de tendência central. De forma bem simples e direta, dizemos que:
A moda é o termo que mais se repete.
Fácil, não? Podemos até nos lembrar do uso comum da palavra. Geralmente Ž ƋƵĞ ĞƐƚĄ ŶĂ à‘ŵŽĚĂà? Ġ
o que todo mundo usa.
Pois bem, o termo que aparecer mais vezes na nossa série de dados será a moda.
2.2 ʹMODA PARA DADOS EM ROL OU AGRUPADOS POR VALOR
Considere a seguinte pesquisa salarial com dez moradores do bairro Alfa.
Rol (dados em R$ 1.000,00): 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7.
Qual o salário que mais se repetiu? Foi o salário de R$ 2.000,00. Três pessoas ganham um salário de
R$ 2.000,00. Este valor é justamente a moda.
ܯ ൌ ?
Comparada às demais medidas de posição, a moda tem o inconveniente de não se prestar à análise
matemática. Tanto a mediana quanto a média (principalmente a média!) possuem propriedades
matemáticas que as tornam mais úteis.
�ŵ ƌĞůĂĕĆŽ ă ŵŽĚĂà? Ž ĂƵƚŽƌ tŝůůŝĂŵ ^ƚĞǀĞŶƐŽŶà? Ğŵ ƐĞƵ ůŝǀƌŽ à“�ƐƚĂƚşƐƚŝĐĂ �ƉůŝĐĂĚĂ ă �ĚŵŝŶŝƐƚƌĂĕĆŽà弃?
traz:
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à“dŽĚĂǀŝĂà? ĚĞ Ƶŵ ƉŽŶƚŽ ĚĞ ǀŝƐƚĂ ƉƵƌĂŵĞŶƚĞ ĚĞƐĐƌŝƚŝǀŽà? Ă ŵŽĚĂŝŶĚŝĐĂ Ž ǀĂůŽƌ à‘ƚşƉŝĐŽà? Ğŵ ƚĞƌŵŽƐ ĚĂ
maior ocorrência. A utilidade da moda se acentua quando um ou dois valores, ou um grupo de
valores, ocorrem com muito maior frequência que outros. Inversamente, quando todos ou quase
todos os valores ocorrem aproximadamente com a mesma frequência, a moda nada acrescenta em
ƚĞƌŵŽƐ ĚĞ ĚĞƐĐƌŝĕĆŽ ĚŽƐ ĚĂĚŽƐà堃?
Assim como no caso da média, para determinação da moda sempre utilizamos frequências simples.
Tanto faz ser absoluta ou relativa, mas tem que ser simples.
Exemplo:
Encontre a moda para os seguintes conjuntos de dados:
a) 1, 2, 5, 4, 6, 2, 3, 3, 3
b) 1, 2, 2, 3, 3, 4
c) 2, 8, 5, 1
d) 1, 1, 1, 1, 2, 2 ,2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 8, 9, 19, 20, 20
Resolução:
a) O termo que mais se repete é o três.
ܯ ൌ ?
b) Há dois termos que se repetem mais vezes. Tanto o 2 quanto o 3 ocorrem duas vezes. Dizemos
que o conjunto tem duas modas. É bimodal.
Um conjunto não precisar ter uma única moda. Pode ter duas, três, quatro, ou mais modas.
c) Note que todos os termos da sequência ocorrem com a mesma frequência. Dizemos que o
conjunto é amodal. Não tem moda.
d) O termo que mais se repete é o 2. Ocorre cinco vezes.
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ܯ ൌ ?
Exemplo:
Considere a seguinte tabela:
Valor observado Frequência relativa acumulada
10 0,1
15 0,2
18 0,5
20 0,7
21 1
Calcule a moda para os dados agrupados acima representados.
Resolução:
Foram fornecidas frequências acumuladas. Para calcular média e moda, sempre trabalhamos com
frequências simples (relativas ou absolutas, tanto faz).
Encontremos então as frequências relativas simples correspondentes.
Valor
observado
Memória de
cálculo
Frequência relativa
simples
Frequência relativa
acumulada
10 = 0,1 0,1 0,1
15 = 0,2 - 0,1 = 0,1 0,1 0,2
18 = 0,5 - 0,2 = 0,3 0,3 0,5
20 = 0,7 - 0,5 = 0,2 0,2 0,7
21 = 1 - 0,7 = 0,3 0,3 1
Para encontrar a moda, basta tomarmos o valor que corresponde à maior frequência simples. No
caso, as maiores frequências são iguais a 0,3. Há duas modas. O conjunto é bimodal. As modas são
18 e 21.
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2.3 ʹMODA PARA DADOS EM CLASSE
Quando os dados estão agrupados em classes, perdemos informação. Deste modo, a exemplo do
que fizemos com a média, para deterŵŝŶĂĕĆŽ ĚĂ ŵŽĚĂ ƉƌĞĐŝƐĂƌĞŵŽƐ ĚĂƌ Ƶŵ à“ĐŚƵƚĞà?à? /ƐƐŽ ŵĞƐŵŽà?
Precisaremos fazer algumas considerações.
Vejamos como fica por meio de um exercício.
(Fundação Carlos Chagas) Considere a tabela abaixo, que mostra a distribuição de salários (em reais)
de 160 funcionários de determinada empresa, com suas respectivas frequências relativas
acumuladas.
Classes em reais Frequência relativa acumulada (%)
[600, 1.000) 10
[1.000, 1.400) 30
[1.400, 1.800) 70
[1.800, 2.200) 95
[2.200, 2.600) 100
O valor modal dos salários (desprezando os centavos), é:
a) 1784
b) 1666
c) 1648
d) 1636
e) 1628
Resolução:
Antes de mais nada vamos determinar as frequências simples
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Classes em reais Frequência relativa
acumulada (%)
Frequência relativa
simples (%)
Memória de cálculo
[600, 1.000) 10 10 =10
[1.000, 1.400) 30 20 =30-10
[1.400, 1.800) 70 40 =70-30
[1.800, 2.200) 95 25 =95-70
[2.200, 2.600) 100 5 =100-95
Vamos começar o cálculo da moda.
Primeiro passo: encontrar a classe modal.
Classe modal é a classe que contém a moda. Note que não temos como saber em qual classe a moda
está. Isto porque apenas temos acesso à quantidade de salários em cada classe de valores. Não
sabemos quanto, exatamente, cada um dos 160 funcionários desta empresa ganha. Se não sabemos
disto, não temos como ver qual o salário que mais se repete. Portanto, não temos como calcular a
moda.
O que faremos?sĂŵŽƐ à“ĐŚƵƚĂƌà弃? � ŝƐƐŽ ŵĞƐŵŽà? EĆŽ ƚĞŵŽƐ ĐŽŵŽ ƐĂďĞƌ ƋƵĂů Ă ŵŽĚĂ ǀĞƌĚĂĚĞŝƌĂà? K ŵĄdžŝŵŽ ƋƵĞ
podemos fazer é, a partir de algumas cŽŶƐŝĚĞƌĂĕƁĞƐà? ĚĞƚĞƌŵŝŶĂƌ Ƶŵ à“ƉƌŽǀĄǀĞůà? ǀĂůŽƌ ƉĂƌĂ Ă ŵŽĚĂà?
EŽ ĐĄůĐƵůŽ ĚĂ ŵŽĚĂ ƐĆŽ ĚŽŝƐ à“ĐŚƵƚĞƐà? à縁?Ƶ ĚƵĂƐ ĐŽŶƐŝĚĞƌĂĕƁĞƐà?à? � ƉƌŝŵĞŝƌĂ ĚĞůĂƐ Ġ ĚŝnjĞƌ ƋƵĞ Ă ŵŽĚĂ
está na classe [1400;1800).
Por quê?
Porque esta é a classe com maior frequência simples. Chamamos de classe modal.
A classe com maior frequência simples é a classe modal.
Vamos supor que a moda pertence a esta classe.
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EŽǀĂŵĞŶƚĞà? ŝƐƚŽ Ġ ĂƉĞŶĂƐ Ƶŵ à“ƉĂůƉŝƚĞà弃? ^ĞƌŝĂ ƉĞƌĨĞŝƚĂŵĞŶƚĞ ƉŽƐƐşǀĞů ƋƵĞ ƚŽĚĂƐ ĂƐ à? ƉĞƐƐŽĂƐ à縃?à? á?
40% de 160) que pertencem à classe [1400,1800) ganhem cada uma um salário diferente. Ou seja,
cada uma das ocorrências nesta classe teria frequência simples absoluta igual a 1.
E seria possível que todas as oito pessoas (5% de 160) que pertencem à classe [2200,2600) ganhem
exatamente o mesmo salário de R$ 2.300,00. Justamente a classe com menor frequência poderia
conter a moda. Esta situação seria perfeitamente possível.
Contudo, o palpite que se faz, por ser mais razoável, é o de que a moda pertença à classe que tem a
maior frequência.
Classes em reais Frequência relativa simples (%)
[600, 1.000) 10
Classe anterior [1.000, 1.400) 20
Classe modal [1.400, 1.800) 40
Classe posterior [1.800, 2.200) 25
[2.200, 2.600) 5
Uma outra interpretação para classe modal é a que segue. Quando os dados estão agrupados em
classes, perdemos informação. Não sabendo mais quais os valores foram observados, só podemos
nos referir aos intervalos de classe. Considerando os intervalos, aquele que abriga mais ocorrências
ƐĞƌŝĂ Ă à“ŵŽĚĂà? ĚĂƐ Đlasses, ou ainda, a classe modal.
Segundo passo: determinar os valores de amplitude, frequência e limite inferior da classe modal.
A classe modal é a de [1400,1800).
Qual sua amplitude?
A amplitude da classe é a diferença entre o limite superior e o limite inferior. No caso:
݄ ൌ ?Ǥ 稃爃?െ ?Ǥ 瘃爃?ൌ 瘃爃?
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Logo, sua amplitude é de 400 (݄� ൌ � 瘃爃?).
A frequência da classe modal é de 40% ሺ ௠݂௢ � ൌ � ?ǡ ?ሻǤ�Basta olhar na tabela fornecida acima.
O limite inferior da classe modal é 1400 ሺ݈ெ � ൌ � 猃瘃爃?ሻ.
Terceiro passo: determinar os valores das frequências das classes anterior e posterior.
A classe que vem logo antes da classe modal é a classe [1000,1400). Esta é a classe anterior. A
frequência da classe anterior é 20%
௔݂௡௧ � ൌ � ?ǡ ?
A classe que vem logo depois da classe modal é a classe [1800,2200). Esta é a classe posterior. A
frequência da classe posterior é 25%
௣݂௢௦௧ � ൌ � ?ǡ 球?
Identificados todos esses elementos, basta aplicar uma fórmula. É a chamada fórmula de Czuber.
Esta fórmula é fruto de uma segunda consideração. Ela considera que os valores das frequências se
comportam segundo uma parábola. É claro que nós não vamos ficar desenhando gráficos de
parábola. Para concurso, é muito mais prático gravar logo a fórmula de Czuber.
Resumindo: quando os dados estão em classes, o cálculo da moda se resume à aplicação da seguinte
fórmula (de Czuber):
ܯ ൌ ݈ெ ൅ ݄ ൈ� ெ݂ െ ௔݂௡௧ሺ ெ݂ � െ � ௔݂௡௧ሻ � ൅ ൫ ெ݂ � െ � ௣݂௢௦௧൯
Onde:
x ݈ெ é o limite inferior da classe modal
x ݄ é a amplitude da classe modal
x ெ݂ é a frequência da classe modal
x ௔݂௡௧ é a frequência da classe anterior
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x ௣݂௢௦௧ é a frequência da classe posterior
Substituindo os valores:
ܯ ൌ ?Ǥ 瘃爃?൅ 瘃爃?ൈ� ?ǡ ? െ ?ǡ ?ሺ ?ǡ ? െ ?ǡ ?ሻ ൅ ሺ ?ǡ ? െ ?ǡ 球?ሻൎ ?Ǥ 砃球?ǡ 眃?���
Gabarito: E
Vamos tentar entender um pouquinho da fórmula, pois assim fica mais fácil gravá-la. Sabemos que
a moda está na classe [1400; 1800), que é a classe modal. Na figura abaixo, representamos o
intervalo que contém a moda:
Assim, a moda será igual a 1400 mais alguma coisa. Por isso a fórmula começa com o limite inferior
da classe modal.
ܯ ൌ ݈ெ ൅ ڮ
ܯ ൌ ?Ǥ 瘃爃?൅ ڮ
(a moda é igual a 1400 mais alguma coisa)
Em seguida, temos a amplitude de classe.
ܯ ൌ ݈ெ � ൅ �݄ ൈ�ǫ
ܯ ൌ ?Ǥ 瘃爃?൅ 瘃爃?ൈ�ǫ
Assim, ao 1400 nós somaremos a amplitude de classe, que será multiplicada por um número ainda
desconhecido (é a interrogação da equação acima).
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Esse número desconhecido varia entre 0 e 1. Se ele valesse zero, então a moda seria exatamente
igual a 1.400.
ܯ ൌ ?Ǥ 瘃爃?� ൅ � 瘃爃?ൈ � ?� ൌ � ?Ǥ 瘃爃?
(se a interrogação valesse 0, a moda seria igual a 1.400)
Se o número desconhecido valesse 1, a moda seria exatamente igual a 1.800:
ܯ ൌ ?Ǥ 瘃爃?൅ 瘃爃?ൈ � ?� ൌ � ?Ǥ 稃爃?
(se a interrogação valesse 1, a moda seria 1.800)
Sabemos que a moda vai estar no intervalo entre 1.400 e 1.800. O valor da interrogação pode variar
entre zero e 1. À medida que ele varia, a moda pode assumir qualquer valor nesse intervalo, partindo
de um extremo (1.400) ao outro (1.800).
E, finalmente, vamos ver quem é a tal da interrogação. O número que multiplica a amplitude de
ĐůĂƐƐĞ ǀĂŝ ƌĞƉƌĞƐĞŶƚĂƌ ƵŵĂ à“ďĂƚĂůŚĂà? ĞŶƚƌĞ ĂƐ ĐůĂƐƐĞƐ ĂŶƚĞƌŝŽƌ Ğ ƉŽƐƚĞƌŝŽƌà? �ŵďĂƐ ǀĆŽ ƚĞŶƚĂƌ à“ƉƵdžĂƌà?
a moda para o seu lado.
E quem ganha a batalha? Aquela que apresentar uma frequência mais próxima da frequência da
ĐůĂƐƐĞ ŵŽĚĂůà? WŽƌ ŝƐƐŽà? Ž ŵƵůƚŝƉůŝĐĂĚŽƌ ƋƵĞ ĞƐƚĄǀĂŵŽƐ ƉƌŽĐƵƌĂŶĚŽ Ġ ďĂƐĞĂĚŽ Ğŵ à“ĚŝĨĞƌĞŶĕĂƐà?à? �ůĞ Ġ
baseado nas diferenças entre a frequência da classe modal e as frequências anterior e posterior.
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ǫ ൌ ெ݂ െ ௔݂௡௧ሺ ெ݂ � െ � ௔݂௡௧ሻ � ൅ ൫ ெ݂ � െ � ௣݂௢௦௧൯
E a fórmula da moda fica:
ܯ ൌ ݈ெ ൅ ݄ ൈ� ெ݂ െ ௔݂௡௧ሺ ெ݂ � െ � ௔݂௡௧ሻ � ൅ ൫ ெ݂ � െ � ௣݂௢௦௧൯
Para este exercício, temos:
Frequência da classe anterior 20
Frequência da classe modal 40
Frequência da classe posterior 25
Ok, isso é o que foi dado na questão.
Agora, vamos mudar um pouquinho esses valores. Vamos pensar nos casos extremos. Se a
frequência da classe anterior fosse bem próxima de 40, como ficaria o cálculo da moda? Ou seja,
estamos imaginando a seguinte situação:
Frequência da classe anterior 39,999
Frequência da classe modal 40
Frequência da classe posterior 25
Nesse caso, a frequência da classe anterior seria bem próxima da frequência da classe modal. Assim,
a classe anterior puxaria a moda para seu lado.
ெ݂ െ ௔݂௡௧ ൌ 瘃?െ 甃?ǡ 笃笃?ൎ ?
Assim:
ܯ ൌ ݈ெ ൅ ݄ ൈ� ெ݂ െ ௔݂௡௧ሺ ெ݂ � െ � ௔݂௡௧ሻ � ൅ ൫ ெ݂ � െ � ௣݂௢௦௧൯
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ܯ ൌ ?Ǥ 瘃爃?൅ 瘃爃?ൈ � ?ሺ ெ݂ � െ � ௔݂௡௧ሻ � ൅ ൫ ெ݂ � െ � ௣݂௢௦௧൯ ൌ ?Ǥ 瘃爃?
A classe anterior ganharia a batalha, trazendo a moda para algo bem próximo de 1400.
Por definição, a maior frequência deve ser a da classe modal. Mas se fosse possível ter a frequência
anterior exatamente igual a 40, aí a moda seria exatamente igual a 1400. A classe anterior ganharia
Ă ďĂƚĂůŚĂà? ĐŽŵ ĨŽůŐĂà? à“ƉƵdžĂŶĚŽà? Ă ŵŽĚĂ ƉĂƌĂ ƵŵĂ ĚĂƐ ĞdžƚƌĞŵŝĚĂĚĞƐà?
Pensemos agora no outro caso extremo. Vamos imaginar a seguinte situação:
Frequência da classe anterior 20
Frequência da classe modal 40
Frequência da classe posterior 39,999
Se a frequência posterior fosse bem próxima de 40, aí aclasse posterior é que puxaria a moda para
o seu lado. Ficaria assim:
ெ݂ െ ௣݂௢௦௧ � ൌ � 瘃?െ 甃?ǡ 笃笃?ൎ � ?
Logo:
ܯ ൌ ݈ெ ൅ ݄ ൈ� ெ݂ െ ௔݂௡௧ሺ ெ݂ � െ � ௔݂௡௧ሻ � ൅ ൫ ெ݂ � െ � ௣݂௢௦௧൯
ܯ ൌ ?Ǥ 瘃爃?൅ 瘃爃?ൈ � ெ݂ െ ௔݂௡௧ሺ ெ݂ � െ � ௔݂௡௧ሻ � ൅ ?
ܯ ൌ ?Ǥ 瘃爃?൅ 瘃爃?ൈ � ெ݂ െ ௔݂௡௧ሺ ெ݂ � െ � ௔݂௡௧ሻ� ൌ ?Ǥ 瘃爃?൅ 瘃爃?ൈ ? ൌ ?Ǥ 稃爃?
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Nessa segunda situação, a classe posterior ganha a batalha, trazendo a moda para próximo de 1800.
Se fosse possível ter a frequência posterior igual a 40, aí a moda seria exatamente igual a 1800. A
classe posterior ganharia a batalha com folga, puxando a moda para a sua extremidade.
Um terceiro caso notável acontece quando as frequências anterior e posterior são iguais. Vamos
imaginar o seguinte quadro:
Frequência da classe anterior 28
Frequência da classe modal 40
Frequência da classe posterior 28
Agora, as duas classes empatam na batalha. Ninguém ganha a briga. Ninguém puxa a moda para o
seu lado. Assim, a moda ficará exatamente no meio do intervalo entre 1400 e 1800.
ܯ ൌ ݈ெ ൅ ݄ ൈ� ெ݂ െ ௔݂௡௧ሺ ெ݂ � െ � ௔݂௡௧ሻ � ൅ ൫ ெ݂ � െ � ௣݂௢௦௧൯
ܯ ൌ ?Ǥ 瘃爃?൅ 瘃爃?ൈ � 瘃?െ 球?ሺ 瘃?� െ � 球?ሻ � ൅ ሺ 瘃?� െ � 球?ሻ
ܯ ൌ ?Ǥ 瘃爃?� ൅ � 瘃爃?ൈ � ?ǡ ? ൌ ?Ǥ 砃爃?
Acontece que, neste exercício (como acontece na grande maioria das questões), não temos
ŶĞŶŚƵŵĂ ĚĂƐ ƐŝƚƵĂĕƁĞƐ à“ŶŽƚĄǀĞŝƐà弃? �ƉĞƐĂƌ ĚŝƐƐŽà? ĞŶƚĞŶĚġ-las pode ser bem útil para resolver as
questões com maior rapidez. Em geral, as questões apresentam números que se aproximam mais
desta última situação apresentada, o que pode facilitar bastante as coisas para gente.
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No próximo exercício veremos um caso muito interessante, em que dava para matar a questão sem
fazer conta alguma.
(Fundação Carlos Chagas)
Salários dos empregados da empresa XYZ em dezembro de 2005
Salários (R$) Frequências simples absolutas
1.000 ٟ� 2.000 2
2.000 ٟ 3.000 8
3.000 ٟ 4.000 16
4.000 ٟ 5.000 10
5.000 ٟ 6.000 4
O valor da moda, obtida com a utilização da fórmula de Czuber, é igual a (desprezar os
centavos na resposta):
a) R$ 3.201,00
b) R$ 3.307,00
c) R$ 3.404,00
d) R$ 3.483,00
e) R$ 3.571,00
Resolução
Vamos destacar as classes:
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Salários (R$) Frequências simples absolutas
1.000 ٟ� 2.000 2
Classe anterior 2.000 ٟ 3.000 8
Classe modal 3.000 ٟ 4.000 16
Classe posterior 4.000 ٟ 5.000 10
5.000 ٟ 6.000 4
A classe modal vai de 3.000 a 4.000, ou seja, tem seu ponto médio em 3.500.
Notem que a classe posterior ganha o cabo de guerra, pois sua frequência é maior que da classe
anterior (10 > 8). Assim, a moda deve ser um pouco maior que 3.500. Só temos uma alternativa
possível, a letra E.
Resposta: E
Finalmente, é interessante analisarmos o caso em que a classe modal é a primeira classe ou a última
classe.
No primeiro caso, não existe classe anterior, já que a classe modal é a primeira. No segundo caso,
não existe classe posterior, já que a classe modal é a última. Para contornar esse problema, basta
zerar a frequência da classe que não existe.
Veja como foi cobrado!
(Esaf)
A questão diz respeito à distribuição de frequências seguinte associada ao atributo de
interesse X. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.
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Classes Frequências simples
0 - 10 120
10 - 20 90
20 - 30 70
30 - 40 40
40 - 50 20
Assinale a opção que dá a moda no conceito de Czuber.
a) 5
b) 4
c) 8
d) 10
e) 15
Resolução:
O primeiro passo é identificar a classe modal, ou seja, a classe com maior frequência:
Classes Frequências simples
0 - 10 120
10 - 20 90
20 - 30 70
30 - 40 40
40 - 50 20
A classe modal tem frequência 120 ሺ ௠݂ ൌ 猃球?ሻe amplitude 10 ሺ݄ ൌ 猃?ሻ. Seu limite inferior é 0 ሺ݈ ൌ ?ሻ
A classe posterior, ou seja, a classe que vem logo depois, tem frequência 90 ሺ ௣݂௢௦௧ ൌ 笃?ሻ
A classe anterior não existe, já que a classe modal é a primeira. Para contornar isso, basta
considerarmos uma classe fictícia, de -10 a 0, com frequência 0. O que nos dá frequência anterior
igual a 0 ሺ ௔݂௡௧ ൌ ?ሻ
Agora basta aplicar a fórmula:
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ܯ ൌ ݈ ൅ ݄ ൈ � ெ݂ െ ௔݂௡௧ሺ ெ݂ � െ � ௔݂௡௧ሻ � ൅ ൫ ெ݂ � െ � ௣݂௢௦௧൯
ܯ ൌ ? ൅ 猃?ൈ� 猃球? 猃球?� ൅ ሺ 猃球?� െ � 笃?ሻ
ܯ ൌ 猃?ൈ � 猃球? 猃球?� ൅ 甃?
ܯ ൌ ?
Gabarito: C
2.4 - MODA BRUTA, MODA DE KING E MODA DE PEARSON
Além da muda de Czuber, que é a mais cobrada em provas, existem outras: a moda bruta, a moda
de King e a moda de Pearson. Vamos ver duas questões para exemplificar o cálculo.
Exemplo:
Considere a distribuição de frequências abaixo.
Classe Frequência
0 a 5 5
5 a 10 7
10 a 15 12
15 a 20 9
20 a 25 2
Calcule a moda Bruta, a moda de King e a moda de Czuber.
Resolução:
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Nós vimos um único cálculo de moda para dados em classes: a moda de Czuber. E ela, sem dúvidas,
é a mais cobrada em provas. Além da moda de Czuber, há a moda de King, a de Pearson e a Moda
bruta.
A fórmula de Czuber é:
ܯ ൌ ݈ெ ൅ ݄ ൈ� ெ݂ െ ௔݂௡௧ሺ ெ݂ � െ � ௔݂௡௧ሻ � ൅ ൫ ெ݂ � െ � ௣݂௢௦௧൯
Onde:
x M é a moda݈ெ é o limite inferior da classe modal
x ݄ é a amplitude da classe modal
x ெ݂ é a frequência da classe modal
x ௔݂௡௧ é a frequência da classe anterior
x ௣݂௢௦௧ é a frequência da classe posterior
A classe modal é aquela com maior frequência. No caso, é a classe 10 - 15, que tem frequência 12.
ெ݂ ൌ 猃?
A amplitude da classe modal é a diferença entre seus limites superior e inferior:
݄ ൌ 猃?െ 猃?ൌ ?
A classe anterior tem frequência ௔݂௡௧ ൌ ?
A classe posterior tem frequência ௣݂௢௦௧ ൌ ?
O limite inferior da classe modal é 10.
A moda de Czuber fica:
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ܯ ൌ 猃?൅ ? ൈ � 猃?െ ?ሺ 猃?� െ � ?ሻ � ൅ ሺ 猃?� െ � ?ሻ
ܯ ൌ 猃?൅ ? ൈ � ? ?ܯ ൌ 猃?ǡ 猃球?
Ok, agora vamos à moda de King. Ela tem uma fórmula muito parecida com a de Czuber. A diferença
é que no cálculo entram apenas as frequências posterior e anterior, ignorando-se ெ݂. A fórmula é:
ܯ ൌ ݈ெ ൅ ݄ ൈ � ௣݂௢௦௧௔݂௡௧ ൅ ௣݂௢௦௧
ܯ ൌ 猃?൅ ? ൈ� ? ? ൅ ?
ܯ ൌ 猃?ǡ 稃猃球?
A moda Bruta é a mais simples de todas. Basta tomar o ponto médio da classe modal:
ܯ ൌ � 猃?൅ 猃? ? ൌ 猃?ǡ ?
A moda de Pearson tem um cálculo diferente. Vamos deixar para falar dela na questão abaixo,
retirada do concurso do Tribunal de Contas de Minas Gerais, elaborado pela Fundação Carlos
Chagas.
(Fundação Carlos Chagas) O histograma de frequências absolutas a seguir demonstra a
distribuição dos salários dos empregados de uma empresa em dezembro de 2006:
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Classes Frequências
0,5 a 1,5 40
1,5 a 2,5 50
2,5 a 3,5 100
3,5 a 4,5 40
4,5 a 5,5 20
Primeiro vamos calcular a média:
Classes Pontosmédiosሺܺሻ Frequênciasሺ݂ሻ ܺ ൈ �݂
0,5 a 1,5 1 40 40
1,5 a 2,5 2 50 100
2,5 a 3,5 3 100 300
3,5 a 4,5 4 40 160
4,5 a 5,5 5 20 100
Total 250 700
A média de X fica:
തܺ ൌ � 礃爃? 球眃?ൌ ?ǡ ?
Para encontrar a mediana, precisamos das frequências acumuladas.
Classes Frequências Frequências acumuladas
0,5 a 1,5 40 40
1,5 a 2,5 50 90
2,5 a 3,5 100 190
3,5 a 4,5 40 230
4,5 a 5,5 20 250
A mediana não é superada por 125 observações (metade de 250 ൌ�125)
Podemos montar o seguinte quadro:
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Primeira linha 2,5 90 2,5 corresponde a 90
Segunda linha D 125 quem corresponde a 125?
Terceira linha 3,5 190 3,5 corresponde a 190
Agora aplicamos a interpolação linear. Basta subtrair as linhas e montar a proporção:
ܦ െ ?ǡ ? ?ǡ ? െ ?ǡ ?ൌ 猃球?െ 笃? 猃笃?െ 笃?
ܦ െ ?ǡ ? ൌ 甃? 猃爃?ܦ ൌ ?ǡ ? ൅ ?ǡ 甃?ൌ ?ǡ 稃?
A mediana é igual a 2,85.
Portanto, a moda de Pearson fica:
ܯ ൌ ? ൈ � ?ǡ 稃?െ ? ൈ � ?ǡ ? ൌ ?ǡ 笃?
2.5 ʹMODA QUANDO AS AMPLITUDES DE CLASSE SÃO DIFERENTES
Quando os dados estão em classes, não temos acesso a todas as observações. Assim, para calcular
média, mediana e moda, algumas considerações são feitas.
No caso da média, a consideração é sempre a mesma: consideramos que todas as observações
correspondem ao ponto médio de cada classe.
No caso de mediana, a consideração é sempre a mesma: consideramos que o gráfico de frequências
acumuladas é composto por segmentos de reta (interpolação linear).
No caso de moda, há várias formas de cálculo, conforme mencionamos anteriormente. Cada uma
leva em consideração uma coisa diferente. Focamos apenas na moda de Czuber porque é a que é
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cobrada. Pode uma prova exigir outro cálculo de moda? Poder pode. Por enquanto a gente vai se
baseando no que tem caído.
Agora o grande detalhe: os métodos vistos para as modas de Czuber, King e moda bruta só valem se
as amplitudes de classes forem todas iguais.
Pergunta: e se as amplitudes não forem todas iguais?
Vamos ver como fica.
Quando organizamos os dados para montar uma tabela de valores agrupados em classes, é comum
que o façamos de forma que todas as classes tenham a mesma amplitude.
Caso as classes não tenham a mesma amplitude, as fórmulas vistas para a moda perdem um pouco
o sentido. Precisam ser adaptadas.
Para ilustrar o problema, trago um caso exagerado, em que as amplitudes de classes são muito
diferentes. Imaginem a seguinte tabela:
Classes Frequência absoluta simples
1 - 2 10
2 - 10 16
10 - 11 8
11 - 12 6
12 - 13 4
KůŚĂ ƋƵĞ ƚĂďĞůĂ à“ƉŽƵĐŽ ƵƐƵĂůà弃?
Se fôssemos achar a moda, do jeito que vimos anteriormente, diríamos que a classe modal é a 2 àW
10, porque tem a maior frequência.
Mas será que é mesmo adequado considerar que a moda está nesta classe? Esta classe é muito
maior que as demais. Muito mesmo. Tem uma amplitude de 8.
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Não, não é razoável supor que a moda esteja esta classe. É mais razoável supor que a moda esteja
na classe 1 àW2, que, tendo uma amplitude de apenas 1, contém 10 observações.
Talvez a tabela abaixo permita visualizar melhor o porquê disso:
Classes Frequência absoluta simples Amplitude de classe (h) ݂ ൊ �݄
1 - 2 10 1 10
2 - 10 16 8 2
10 - 11 8 1 8
11 - 12 6 1 6
12 - 13 4 1 4
Num caso assim, é mais adequado supor que a moda está na classe com maior valor de ݂ ൊ �݄. Este
valor é denominado densidade de frequência. Assim, quando as classes não têm a mesma amplitude,
a determinação da moda leva em conta não as frequências das classes; sim as densidades de
frequência.
E, para encontrar a moda, podemos usar o conceito de moda bruta (considerando que a moda
corresponde ao ponto médio da classe 1-2).
Ou então, poderíamos modificar as fórmulas de Czuber e King, trocando todas as frequências (f) pelo
respectivo valor de (f/h).
Aí vem a pergunta: já caiu alguma questão para cálculo de moda em que as amplitudes de classes
não eram iguais? Não, confesso que nunca vi.
O mais próximo disso foi a questão a seguir, elaborada pelo Cespe no concurso do INSS:
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(Cespe)
i massa do ovo produzido (T) em gramas Percentual (Pi)
1 眃?൑ �ܶ ൑ � 球爃? 48%
2 球爃?� ൏ �ܶ ൑ � 甃爃? 36%
3 甃爃?� ൏ �ܶ ൑ � 眃爃? 12%
4 眃爃?� ൏ �ܶ ൑ � ?Ǥ 爃爃? 4%
Total
Segundo uma associação de indústrias de chocolate, em 2008 serão produzidos 100 milhões de ovos
de Páscoa. A tabela acima apresenta a distribuição dos ovos segundo a massa de cada ovo e as
quantidades produzidas nos anos anteriores.
Com base nessas informações, julgue o item subsequente.
A moda da distribuição T é superior a 49,9 e inferior a 200,1.
Resolução:
Vejas que as classes têm amplitudes diferentes. Quando isso ocorre, a classe modal é aquela que
tem maior densidade de frequência.
Classe Amplitude Frequência Densidade de frequência 眃?൑ �ܶ ൑ � 球爃? 150 48 0,32 球爃?� ൏ �ܶ ൑ � 甃爃? 100 36 0,36 甃爃?� ൏ �ܶ ൑ � 眃爃? 200 12 0,06 眃爃?� ൏ �ܶ ൑ � ?Ǥ 爃爃? 500 4 0,08
Lembrando, a densidade de frequência é a relação entre a frequência e a amplitude de classe.
A maior densidade de frequência ocorre na segunda classe. Logo, a moda está entre 200 e 300. Item
errado.
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Gabarito: errado
2.6 - PROPRIEDADES DA MODA
Nós estudamos as seguintes propriedades para a média:
x somando ou subtraindo uma constante c de cada elemento do conjunto de dados, a média
do novo conjunto fica aumentada ou diminuída de c.
x multiplicando ou dividindo cada elemento do conjunto de dados por uma constante c, a
média do novo conjunto fica multiplicada ou dividida por c.
Estas mesmas propriedades valem para a moda. Ou seja, se multiplicarmos todo o conjunto de dados
por 3, a moda será triplicada. Se dividirmos todo o conjunto de dados por 4, a moda será dividida
por 4. Se somarmos 5 a todos os dados, a moda será aumentada em 5. Se subtrairmos 8 de todos os
dados, a moda também será reduzida em 8.
Contudo, as questões só costumam cobrar tais propriedades aplicadas à média aritmética.
CADERNO NO TEC CONCURSOS
A seguir nossa lista de questões comentadas.
Para quem quiser treinar com um volume ainda maior, segue cadernos no Tec Concursos:
Caderno para Quantis: https://www.tecconcursos.com.br/caderno/QV1AP
Caderno para Moda: https://www.tecconcursos.com.br/caderno/QV3Pc/
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Sumário
Lista de exercícios.............................................................................................................. 2
Quantis .............................................................................................................................................. 2
Moda ...............................................................................................................................................12
Questões mescladas de medidas de posição .................................................................................. 15
Gabaritos.........................................................................................................................21
Questões comentadas ..................................................................................................... 22
Quantis ............................................................................................................................................22
Moda ...............................................................................................................................................60
Questões mescladas de medidas de posição .................................................................................. 68
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LISTA DE EXERCÍCIOS
QUANTIS
1. (FCC / SEFAZ MA - 2016)
Os registros da temperatura máxima diária dos primeiros 6 dias de uma semana foram: 25 °C;
26 °C, 28,5 °C; 26,8 °C; 25 °C; 25,6 °C. Incluindo também o registro da temperatura máxima
diária do 7º dia dessa semana, o conjunto dos sete dados numéricos será unimodal com moda
igual a 25 °C, e terá mediana igual a 26 °C. De acordo com os dados, é correto afirmar que,
necessariamente, a temperatura máxima diária do 7º dia foi
a) inferior a 25 °C.
b) superior a 26,8 °C.
c) igual a 26 °C.
d) inferior a 25,6 °C.
e) superior a 26 °C.
2. (FCC / TRE RR - 2015)
A distribuição dos valores dos salários, em dezembro de 2014, dos 200 funcionários em um
órgão público é representada por uma tabela de frequências absolutas, com todos os intervalos
de classe apresentando a mesma amplitude, sendo fechados à esquerda e abertos à direita. O
valor da mediana, obtido pelo método da interpolação linear, foi igual a R$ 5.600,00 e
pertencente ao intervalo de classe, em reais, [ 5.000,00 ; 6.500,00 ). Se 80 funcionários
possuem um salário inferior a R$ 5.000,00, então a porcentagem dos funcionários que
apresentam um salário igual ou superior a R$ 6.500,00 é, em %, igual a
a) 45.
b) 30.
c) 50.
d) 25.
e) 35.
3. (FCC / TRE RR - 2015)
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O histograma abaixo representa a distribuição dos preços unitários de custo, em R$, de
determinado equipamento de informática no mercado. No eixo das abscissas constam os
intervalos de classe, em R$, e no eixo das ordenadas as respectivas densidades de frequências
em (R$)A?1.
Considerando os intervalos de classe fechados à esquerda e abertos à direita, se 105 preços
apresentam valores menores que R$ 6,00, então o número de preços que apresentam valores
iguais ou superiores a R$ 4,00 é
a) 240.
b) 195.
c) 215.
d) 230.
e) 255.
4. (FCC / TRT 3ª Região - 2015)
A tabela de frequências relativas abaixo refere-se à distribuição dos salários dos empregados
de uma empresa no mês de maio de 2015.
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resultado da divisão da respectiva frequência relativa pela correspondente amplitude do
intervalo.
Considerando que todos os intervalos classe são fechados à esquerda e abertos à direita, a
porcentagem P dos funcionários que ganham no mínimo R$ 2.000,00 e menos que R$ 6.000,00
é tal que
a) W�A䜀 ?A? ?
b) ?A㤀 AM�W�A䜀 ? ?
c) ?A㤀 AM�W�A䜀 ? ?
d) ?A㤀 AM�W�A䜀 ? ?
e) P > 80%.
8. (FCC / SERGAS - 2013)
A tabela a seguir apresenta a distribuição de frequências do consumo mensal de gás natural,
em m3, dos domicílios residenciais de determinado município.
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Salários (em número de SM) Frequência absoluta
4 ٟ 6 48
6 ٟ 8 100
8 ٟ 10 x
10 ٟ 12 y
12 ٟ 16 40
Total 400
Sabe-se que a mediana dos salários desses funcionários calculada por meio dessa tabela pelo
método da interpolação linear é igual a 8,8 SM. Nessas condições, o salário médio desses 400
funcionários, em número de salários mínimos, considerando que todos os valores incluídos em
um intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio do intervalo, é igual a
a) 8,54
b) 8,83
c) 8,62
d) 8,93
e) 8,72
10. (FCC / TRT 5ª Região - 2013)
Atenção: Para resolver a questão considere a tabela abaixo, referente à distribuição de
frequências relativas dos salários dos 400 empregados de uma empresa no mês de agosto de
2013, sabendo-se que (m + n) = 10%.
CLASSE DE SALÁRIOS (R$) FREQUÊNCIA RELATIVA (%)
2.500 |²² 3.500
3.500 |²² 4.500
4.500 |²² 5.500
5.500 |²² 6.500
6.500 |²² 7.500
2 m
5 n
4 m
6 n
3 m
TOTAL 100
Considerando que a mediana (md) e o primeiro quartil (q1) da distribuição foram obtidos pelo
método da interpolação linear, tem-se que a amplitude do intervalo [q1, md] é
a) R$ 1.350,00.
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b) R$ 1.200,00.
c) R$ 1.250,00.
d) R$ 1.300,00.
e) R$ 1.150,00.
11. (FCC / TRT 5ª Região - 2013)
A distribuição das medidas em metros (m) dos comprimentos dos cabos no estoque de uma
fábrica está representada pelo histograma mostrado abaixo, em que no eixo vertical constam
ĂƐ�ĚĞŶƐŝĚĂĚĞƐ�ĚĞ�ĨƌĞƋƵġŶĐŝĂƐ 唀 Ğŵ� 縁甃缄? 唀 Ğ�ŶŽ�ĞŝdžŽ�ŚŽƌŝnjŽŶƚĂů�ŽƐ�ŝŶƚĞƌǀĂůŽƐ�ĚĞ�ĐůĂƐƐĞ ?��ĞĨŝŶĞ-se
densidade de frequência de um intervalo de classe como sendo o resultado da divisão da
respectiva frequência relativa pela correspondente amplitude do intervalo.
Sabendo-se que todos os intervalos de classe são fechados à esquerda e abertos à direita,
então a porcentagem dos cabos que apresentam uma medida de comprimento de pelo menos
igual a 4 m e inferior a 10 m é de
a) 50%.
b) 60%.
c) 70%.
d) 80%.
e) 90%.
12. (FCC / TCE-PR - 2011)
Atenção: Considere as informações a seguir para responder à questão.
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A distribuição dos salários dos 1000 funcionários da companhia A, em número de salários
mínimos, está apresentada na tabela abaixo:
Dados:
md = Mediana dos salários calculada pelo método da interpolação linear;
X = Valor que separa os 15% salários mais altos, calculado pelo método da interpolação linear.
O valor de X-md, em número de salários mínimos, é
a) 4,00.
b) 3,25.
c) 3,50.
d) 3,75.
e) 3,00.
13. (FCC / TRE SP - 2012)
A distribuição de frequências absolutas abaixo refere-se aos salários dos 200 funcionários de
um setor público no mês de dezembro de 2011.
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Sabe-se que C = R$ 2.500,00 e que o valor da mediana, obtido por interpolação linear, é igual
a R$ 2.820,00. Então, utilizando interpolação linear, obtém-se o valor do primeiro quartil da
distribuição que é igual a
a) R$ 1.600,00.
b) R$ 1.700,00.
c) R$ 1.800,00.
d) R$ 1.900,00.
e) R$ 2.000,00.
15. (FCC / BB - 2012)
Nos quatro primeiros dias úteis de uma semana o gerente de uma agência bancária atendeu
19, 15, 17 e 21 clientes. No quinto dia útil dessa semana esse gerente atendeu n clientes. Se a
média do número diário de clientes atendidos por esse gerente nos cinco dias úteis dessa
semana foi 19, a mediana foi
a) 19.
b) 18.
c) 20.
d) 23.
e) 21.
MODA
16. (FCC / SEFAZ MA ʹ 2016)
Atenção: Para responder à questão, considere as informações