curso-78032-aula-06-v1+

Prévia do material em texto

Livro Eletrônico
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com
Videoaulas - Pós-Edital
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
 
Sumário
1 ʹ Probabilidade: conceito clássico e abordagem frequentista. Eventos e espaço amostral
.......................................................................................................................................... 2
1.1 ?Conceito clássico da probabilidade .......................................................................................... 2
1.2 ?Abordagem frequensita da probabilidade ............................................................................... 6
2 ʹ Probabilidade condicional ............................................................................................ 7
2.1 ?Introdução ................................................................................................................................ 7
2.2 ?Fórmula da probabilidade condicional................................................................................... 10
3 ʹ Probabilidade da intersecção ..................................................................................... 14
3.1 ?Eventos independentes...........................................................................................................15
3.2 ?Probabilidade da intersecção de três eventos ....................................................................... 15
3.3 ?Resumo do capítulo ................................................................................................................16
4 ʹ Probabilidade da união .............................................................................................. 17
4.1 ?Probabilidade da união de dois eventos ................................................................................ 17
4.2 ?Probabilidade da união de três eventos................................................................................. 25
4.3 ?Resumo do capítulo ................................................................................................................30
5 ʹ Eventos independentes e mutuamente excludentes .................................................. 30
5.1 ?Eventos independentes...........................................................................................................30
5.2 ?Eventos mutuamente excludentes ......................................................................................... 31
6 ʹ Probabilidade do evento complementar .................................................................... 31
6.1 ?Resumo do capítulo ................................................................................................................44
7 ʹ Teorema da probabilidade total ................................................................................. 44
7.1 ?Resumo do capítulo ................................................................................................................62
8 ʹ Teorema de Bayes...................................................................................................... 62
8.1 ?Resumo do capítulo ................................................................................................................69
9 ʹ Probabilidade e análise combinatória ........................................................................ 70
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
1 ʹ PROBABILIDADE: CONCEITO CLÁSSICO E ABORDAGEM FREQUENTISTA.
EVENTOS E ESPAÇO AMOSTRAL
Probabilidade tem relação com a chance de um evento ocorrer.
WĂƐƐĂƌĞŵŽƐ ůŽŶŐĞà? ŵƵŝƚŽ ůŽŶŐĞ ĚĞ ƵŵĂ ĚĞĨŝŶŝĕĆŽ à“ƌŝŐŽƌŽƐĂà? ĚĞ ƉƌŽďĂďŝůŝĚĂĚĞà? sĂŵŽƐ ĚĂƌ ĚƵĂƐ
definições. A primeira nos diz que a probabilidade é a relação entre número de casos favoráveis e
número de casos possíveis. Não é uma definição correta, mas nosso propósito aqui é apenas resolver
questões de concurso, mesmo que para isso tenhamos que deixar um pouco de lado o rigor
matemático. As provas de concurso podem se referir a essa "definição" como o "conceito clássico"
de probabilidade.
Em seguida, melhoraremos um pouco nossa definição, adotando a abordagem frequentista da
probabilidade.
1.1 ʹ CONCEITO CLÁSSICO DA PROBABILIDADE
Quando falamos em probabilidade, podemos basicamente pensar em casos favoráveis e casos
possíveis. Sim, apenas isto: casos favoráveis e casos possíveis.
Vejamos o exemplo do lançamento de um dado.
Queremos calcular a probabilidade de sair um número múltiplo de três. Então a pergunta é: qual a
probabilidade de sair um número múltiplo de três quando se lança um dado de seis faces?
A questão é de probabilidade. Probabilidade lembra casos favoráveis e casos possíveis.
Casos possíveis são todos aqueles que podem ocorrer. No lançamento de um dado, podemos obter
os seguintes resultados:
Casos possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6
Casos favoráveis são todos aqueles em que estamos interessados. Neste exemplo, estamos
interessados nos múltiplos de três.
Casos favoráveis: 3, 6.
Para resolver o problema, primeiro contamos quantos são os casos favoráveis.
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
Quando isso ocorrer, a probabilidade fica:� ൌ � …ƒ•‘•�ˆƒ˜‘”ž˜‡‹•…ƒ•‘•�’‘••À˜‡‹• ൌൌ � ?୭�†‡�…ƒ•‘•�’‘••À˜‡‹• ൌ ?
O número de casos favoráveis, no máximo, é igual ao número de casos possíveis. Quando isso
ocorrer, a probabilidade fica:� ൌ � …ƒ•‘•�ˆƒ˜‘”ž˜‡‹•…ƒ•‘•�’‘••À˜‡‹• ൌ � …ƒ•‘•�’‘••À˜‡‹•…ƒ•‘•�’‘••À˜‡‹• ൌ ?
Com isso, concluímos que a probabilidade de um evento qualquer está sempre entre 0 e 1. ? ൑ � ൑ ?
Antes de continuarmos com a teoria, vou responder a uma pergunta em que provavelmente vocês
estão pensando.
WĞƌŐƵŶƚĂ P�DĂƐ�ƉƌŽĨĞƐƐŽƌ 唀 ǀŽĐġ�ĚŝƐƐĞ�ƋƵĞ�ĞƐƐĂ�ĞdžƉůŝĐĂĕĆŽ�ƐŽďƌĞ�ƉƌŽďĂďŝůŝĚĂĚĞ�ŶĆŽ�Ġ� 币ခ?ƌƌĞƚĂ 弃堀 WŽƌ�
quê?
Resposta: Em primeiro lugar, nem todas as situações de aplicação da probabilidade podem ser
resumidas a casos possíveis e casos favoráveis. Imagine que queremos calcular qual a probabilidade
de, no dia 19/08/2035, chover em Brasília. Não dá para transformar esse problema numa situação
de número casos possíveis e favoráveis. Uma simples tentativa revelaria o quanto isso é absurdo.
Vejam:
x no dia 19/8/2035 pode chover ou não chover (dois casos possíveis)
x estamos interessados no caso em que chove (1 caso favorável)
x como há 1 caso favorável em 2 possíveis, a probabilidade é de 1/2
Concordam que isso é um grande contrassenso?
Você que conhece Brasília sabe que em agosto a cidade é de uma secura imensa, a chance de chuva
é muito baixa.
Problemas como esse nos mostram como a definição clássica de probabilidade é limitada.
O detalhe é que os problemas em que dá para contar quantos são os casos possíveis e quantos são
os casos favoráveis são os mais fáceis para gente começar a se acostumar com probabilidade. Por
ŝƐƐŽà? ĚĞ ŝŶşĐŝŽà? ǀĂŵŽƐ ĨŽĐĂƌ ĂƉĞŶĂƐ ŶĞůĞƐà? KƵ ĞŶƚĆŽà? à“ĚĂƌ Ƶŵ ũĞŝƚŝŶŚŽà? ƉĂƌĂ ƋƵĞ Ă ƋƵĞƐƚĆŽ ƉŽƐƐĂ ƐĞƌ
interpretada como uma relação entre casos favoráveis e possíveis.
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
Outro problema da explicação dada é o que segue. Dissemos que probabilidade é igual à divisão
entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis, mas isso só vale quando todos
os casos têm a mesma probabilidade de ocorrer.
Ou seja, na própria definição de probabilidade estamos usando o conceito de probabilidade. Que
raio de definição é essa? Se utilizarmos na definição o conceito que pretendemos definir, não
estamos definindo nada, certo?
Mas deixemos esses problemas de lado.&ŝŶĂůŵĞŶƚĞà? ĨĂĕĂŵŽƐ Ƶŵ ĂůĞƌƚĂà? YƵĂŶĚŽ ƵƐĂŵŽƐ ĂƐ ĞdžƉƌĞƐƐƁĞƐ à“ĐĂƐŽƐ ĨĂǀŽƌĄǀĞŝƐà?à氃弁?ĂƐŽƐ
ĚĞƐĨĂǀŽƌĄǀĞŝƐà? à縁?u ainda: sucessos e fracassos), estamos apenas nos referindo aos casos em que
estamos ou não interessados. Não estamos fazendo qualquer juízo de valor. Não nos preocupamos
se estamos diante de algo bom ou ruim, certo ou errado.
Para melhor visualização, considere um estudo sobre a relação entre a utilização de um produto e o
desenvolvimento de câncer. Queremos saber qual a probabilidade de uma cobaia que utilizou o
produto por tempo prolongado ter a doença. Nessa situação, os casos favoráveis (=sucesso) seriam
aqueles em que a cobaia adquiriu a doença, independentemente de se considerar que contrair
câncer seja bom ou ruim. Ok?
1.2 ʹABORDAGEM FREQUENSITA DA PROBABILIDADE
Quando um experimento pode ser repetido inúmeras vezes, dizemos que a probabilidade
corresponde à frequência relativa que seria obtida com a repetição do experimento.
Exemplo: seja A o evento que ocorre quando, lançando um dado honesto, obtemos a face 2.
Queremos calcular a probabilidade de A. �ሺ�ሻ ൌ�ǫ
Quando lançamos um dado inúmeras vezes, é razoável esperar que cada face saia em 1/6 das vezes.
Quanto mais vezes lançamos, mais a frequência relativa associada à face 2 se aproxima de 1/6.
Idealmente, se lançássemos o dado infinitas vezes, a frequência relativa seria igual a 1/6.�ሺ�ሻ ൌ � ? ?
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
Por isso dizemos que a probabilidade de A é 1/6.
Probabilidade ʹ abordagem frequentista.
A probabilidade corresponde à frequência relativa que seria obtida em um número muito grande de
experimentos.
2 ʹ PROBABILIDADE CONDICIONAL
2.1 ʹ INTRODUÇÃO
Voltemos ao nosso dado de seis faces. É o mesmo dado honesto, de material homogêneo. Só que
agora vamos pintar as faces. As faces terão as seguintes cores:
Cor azul: faces 1 e 2.
Cor verde: faces 3, 4, 5 e 6.
Maria lançou esse nosso dado. João não viu o resultado e quer calcular qual a probabilidade de ter
saído um múltiplo de 3.
Pergunta: Qual a probabilidade de ter saído um múltiplo de 3?
Resposta: 2/6
É exatamente o mesmo problema visto anteriormente. Todas as faces têm a mesma chance de sair.
Os casos favoráveis são: 3 e 6. Os casos possíveis são: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. A probabilidade fica:� ൌ � ୭�†‡�…ƒ•‘•�ˆƒ˜‘”ž˜‡‹•୭�†‡�…ƒ•‘•�’‘••À˜‡‹•
Ok, agora vamos mudar um pouco o problema. Maria lançou esse nosso dado. João não viu o
resultado. Maria fala para João: à“^ĂŝƵ ƵŵĂ ĨĂĐĞ ĚĞ ĐŽƌ ǀĞƌĚĞà弃?
Aí está a grande diferença: agora João sabe que saiu uma face verde. É uma informação nova! Esta
informação vai mudar completamente o cálculo. Isto porque já sabemos, com certeza, que não saiu
uma face azul.
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
Queremos calcular a probabilidade de ter saído um múltiplo de 3 sabendo que a face que saiu é
verde. Esta questão pode ser enunciada como:
Qual a probabilidade do resultado do lançamento ser múltiplo de três dado que saiu uma face verde?
Ou seja, a informação de que saiu uma face verde é dada, é sabida. É uma informação conhecida e
que deve ser usada.
Se fôssemos escrever os casos possíveis, teríamos:
Casos possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Observe que mudaram os casos possíveis. Isto porque sabemos que não é possível terem saído os
números 1 e 2. Temos certeza de que o resultado foi o de uma face verde.
Já os casos favoráveis são os mesmos. Continuamos interessados nas faces 3 e 6. E estas duas faces
podem ter saído, dado que ambas são da cor verde.
Casos favoráveis: 3,6.
Fazendo o cálculo, temos:
Número de casos possíveis: 4
Número de casos favoráveis: 2
E a probabilidade fica: � ൌ � ୭�†‡�…ƒ•‘•�ˆƒ˜‘”ž˜‡‹•୭�†‡�…ƒ•‘•�’‘••À˜‡‹• ൌ ? ?
A probabilidade agora é de dois quartos. Note como uma informação nova alterou o cálculo da
probabilidade. Dizemos que a probabilidade é condicional porque teve uma condição a ser
obedecida. Não era simplesmente calcular a probabilidade de sair um múltiplo de 3. Foi dada uma
condição, uma informação nova. Justamente esta condição alterou o cálculo da probabilidade.
Agora vejamos alguns exercícios para aplicarmos o que acabamos de aprender.
(CESGRANRIO à?Petrobrás)
Em um grupo de 40 homens e 60 mulheres, a probabilidade de um homem ser míope é 0,05 e a
probabilidade de uma mulher ser míope é 0,1.
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
Selecionando uma pessoa ao acaso, qual é a probabilidade de ela ser míope?
(A) 0,05
(B) 0,06
(C) 0,07
(D) 0,08
(E) 0,09
Resolução.
Temos 100 pessoas, assim distribuídas:
- 40 homens
- 60 mulheres.
5% dos homens são míopes. 眃? ൈ 瘃?ൌ ?
São 2 homens míopes.
10% das mulheres são míopes. 猃爃? ൈ 砃?ൌ ?
São 6 mulheres míopes.
Com isso, temos 100 pessoas, assim distribuídas:
x 2 homens míopes
x 38 homens não míopes
x 6 mulheres míopes
x 34 mulheres não míopes
Estamos interessados nos míopes. Temos 8 casos favoráveis, assim distribuídos:
x 2 homens míopes
x 6 mulheres míopes
São 8 casos favoráveis em 100 possíveis. � ൌ � ? 猃爃?ൌ 稃?
Gabarito: D
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
(Cesgranrio à?Petrobrás)
Em um grupo de 40 homens e 60 mulheres, a probabilidade de um homem ser míope é 0,05 e a
probabilidade de uma mulher ser míope é 0,1.
Selecionado um míope ao acaso qual é a probabilidade de ele ser homem?
(A) 0,25
(B) 0,27
(C) 0,30
(D) 0,33
(E) 0,40
Resolução.
A condição dada é: o escolhido é míope. Nossos casos possíveis agora são 8, assim distribuídos:
x 2 homens míopes
x 38 homens não míopes
x 6 mulheres míopes
x 34 mulheres não míopes
Em 8 casos possíveis, temos 2 favoráveis. � ൌ � ? ?ൌ ?ǡ 球?
Gabarito: A
2.2 ʹ FÓRMULA DA PROBABILIDADE CONDICIONAL
Outra forma de resolver exercícios de probabilidade condicional é por meio de uma fórmula.
Considere o lançamento de um dado. Antes de ver o resultado, queremos calcular a probabilidade
de ter saído um múltiplo de 3. Qual a probabilidade deste evento?
A probabilidade é de 2/6. Certo? Temos dois casos favoráveis (3 e 6) em seis casos possíveis.
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
Vamos mudar um pouco o exemplo. O dado é lançado. Antes de vermos o resultado, alguém nos
informa: saiu um número maior que 4.
Pronto. Agora temos uma informação nova.
Queremos calcular a probabilidade de ter saído um múltiplo de 3 DADO que saiu um número maior
que 4. Temos uma informação nova, que devemos utilizar.
Agora a probabilidade muda. Temos apenas dois casos possíveis (5 e 6). E, dentre os casos possíveis,
apenas um nos é favorável (6). Neste segundo caso, a probabilidade é igual a 1/2.
Se fôssemos resumir isto em uma fórmula, ficaria assim:�ሺ�ȁ�ሻ ൌ � �ሺ� B? �ሻ�ሺ�ሻ
Nosso espaço amostral pode ser representado pelo seguinte conjunto:
{1, 2, 3, 4, 5, 6}
Temos dois eventos.
Se lançarmos o dado e obtŝǀĞƌŵŽƐ ƵŵĂ ĨĂĐĞ ŵƷůƚŝƉůĂ ĚĞ à? ƚĞŵŽƐ Ž ĞǀĞŶƚŽ à‘�à嬃? K ĞǀĞŶƚŽ à‘�à? Ġ Ƶŵ
subconjunto do espaço amostral.
A = {3, 6}
^Ğ ůĂŶĕĂƌŵŽƐ Ž ĚĂĚŽ Ğ ŽďƚŝǀĞƌŵŽƐ ƵŵĂ ĨĂĐĞ ŵĂŝŽƌ ƋƵĞ à? ƚĞŵŽƐ Ž ĞǀĞŶƚŽ à‘�à嬃?
B = {5, 6}.
A intersecção dos dois conjuntos acima é dada por:ܣ B? ܤ ൌሼ ?ሽ
K ƐşŵďŽůŽ ƋƵĞ ƉĂƌĞĐĞ Ƶŵ à‘hà? ĚĞ ĐĂďĞĕĂ ƉĂƌĂ ďĂŝdžŽ ŝŶĚŝĐĂ Ă ŝŶƚĞƌƐĞĐĕĆŽà? EĞƐƚĞ ĞdžĞŵƉůŽà? ĞƐƚĄ
associado ao resultadodo lançamento do dado que é, simultaneamente, maior que 4 e múltiplo de
3.
As probabilidades relacionadas são:
x P(A) é a probabilidade de o evento A ocorrer.
x P(B) é a probabilidade de o evento B ocorrer.
x �ሺ� B? �ሻ é a probabilidade de A e B ocorrerem simultaneamente. O símbolo que parece um
à“hà? ĚĞ ĐĂďĞĕĂ ƉĂƌĂ ďĂŝdžŽ ŝŶĚŝĐĂ ŝŶƚĞƌƐĞĐĕĆŽà? KƵ ƐĞũĂà? ĞƐƚĂŵŽƐ ŝŶƚĞƌĞƐƐĂĚŽƐ ŶŽƐ ĐĂƐŽƐ Ğŵ ƋƵĞ
os dois eventos ocorrem simultaneamente.
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
x �ሺ�ȁ�ሻ é a probabilidade de o evento A ocorrer, DADO que o evento B ocorreu. É a
probabilidade de A, condicionada ao acontecimento de B.
No caso do lançamento do dado, ficamos com:ܲሺܣሻ ൌ ? ൊ ?(casos favoráveis: 3, 6; casos possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6)ܲሺܤሻ ൌ ? ൊ ?(casos favoráveis: 5, 6; casos possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6)ܲሺܣ B? ܤሻ ൌ ? ൊ ?(caso favorável: 6 à?só o número 6 é, ao mesmo tempo, maior que 4 e múltiplo
de 3; casos possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6)
Aplicando a fórmula: �ሺ�ȁ�ሻ ൌ � �ሺ� B? �ሻ�ሺ�ሻ�ሺ�ȁ�ሻ ൌ � ? ?ൊ ? ?ൌ � ? ?
Portanto, a probabilidade de sair um múltiplo de 3 dado que saiu um número maior que 4 é de 50%.
Um diagrama destes conjuntos ajuda a entender melhor a fórmula.
O nosso espaço amostral é representado pelo retângulo azul. Nele, temos todos os possíveis
resultados do lançamento do dado {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Dentro do espaço amostral temos dois conjuntos destacados. O conjunto vermelho representa o
evento A (múltiplos de 3). O conjunto verde representa o evento B (maiores que 4).
É dado que o resultado do lançamento do dado é maior que 4. Ou seja, já sabemos que o resultado,
qualquer que seja, deve estar dentro do conjunto verde.
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
Todos os resultados fora do conjunto verde são descartados. É como se a condição estabelecida
modificasse nosso espaço amostral.
Nosso espaço amostral modificado se reduziria ao conjunto verde.
Agora, a única possibilidade de o evento A ter ocorrido corresponde ao número que, além de ser
múltiplo de 3, também é maior que 4. Ou seja, corresponde ao elemento que está na intersecção
entre A e B.
Notem que foi dada uma condição: o resultado é maior que 4, ou seja, ocorreu o evento B. Graças a
esta condição, os casos favoráveis estão relacionados à intersecção e os casos possíveis estão
relacionados ao conjunto B.
>ŽŐŽà? Ă ƉƌŽďĂďŝůŝĚĂĚĞ ĨŝĐĂ à“ĐĂƐŽƐ ĨĂǀŽƌĄǀĞŝƐà? ƐŽďƌĞ à“ĐĂƐŽƐ ƉŽƐƐşǀĞŝƐà弃?
sŽƵ ŝŶĚŝĐĂƌ ƉŽƌ à“Ŷà? à)à? Ž ŶƷŵĞƌŽ ĚĞ ĞůĞŵĞŶƚŽƐ ĚĞ ĐĂĚĂ ĐŽŶũƵŶƚŽà?
A probabilidade condicional fica: �ሺ�ȁ�ሻ ൌ � ሺ� B? �ሻሺ�ሻ
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
Dividindo o numerador e o denominador pelo número de elementos do espaço amostral (S):�ሺ�ȁ�ሻ ൌ � ሺ� B? �ሻ ൊ ݊ሺܵሻሺ�ሻ ൊ ݊ሺܵሻ
O que conduz a: �ሺ�ȁ�ሻ ൌ � �ሺ� B? �ሻ�ሺ�ሻ
Fórmula da probabilidade condicional.�ሺ�ȁ�ሻ ൌ � �ሺ� B?�ሻ�ሺ�ሻ
3 ʹ PROBABILIDADE DA INTERSECÇÃO
A partir da fórmula da probabilidade condicional, estudada em tópico anterior, podemos chegar à
fórmula da probabilidade da intersecção de dois eventos.
A chance de ocorrer o evento "A", dado que o evento "B" ocorreu, fica:ܲሺܣȁܤሻ ൌ ܲሺܣ B? ܤሻܲሺܤሻ
Notem que no numerador temos a probabilidade da intersecção. Podemos isolá-la:ܲሺܣ B? ܤሻ ൌ ܲሺܣȁܤሻ ൈ ܲሺܤሻ
Que é a fórmula da probabilidade da intersecção.
Notem que tanto a probabilidade condicional quanto a probabilidade da intersecção no fundo são
dois lados da mesma moeda. A fórmula é basicamente a mesma, muda o termo que é isolado.
vira:
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
Probabilidade da intersecção de dois eventosܲሺܣ B? ܤሻ ൌ ܲሺܣȁܤሻ ൈ ܲሺܤሻ
3.1 ʹ EVENTOS INDEPENDENTES
�ŝnjĞŵŽƐ ƋƵĞ Ž ĞǀĞŶƚŽ à‘�à? Ġ ŝŶĚĞƉĞŶĚĞŶƚĞ ĚŽ ĞǀĞŶƚŽ à‘�à? ƋƵĂŶĚŽ ܲሺܣȁܤሻ ൌ ܲሺܣሻ. Ou seja, o fato de
à‘�à? ƚĞƌ ŽĐŽƌƌŝĚŽ ŶĆŽ ŝŶĨůƵŝ Ğŵ ŶĂĚĂ ŶĂ ƉƌŽďĂďŝůŝĚĂĚĞ ĚĞ à‘�à嬃?
Ou seja, no caso de eventos independentes:ܲሺܣȁܤሻ ൌ ܲሺܣሻ
Repetindo: dois eventos são independentes quando o fato de um deles ocorrer não alterar a
probabilidade do outro.
Um resultado interessante para eventos independentes é o seguinte. Iniciando com a probabilidade
condicional.
�ሺ�ȁ�ሻ ൌ ୔ሺ୅B?୆ሻ୔ሺ୆ሻ (I)
Mas, se os eventos são independentes, então o fato de B ocorrer não altera a probabilidade de A:�ሺ�ȁ�ሻ ൌ �ሺ�ሻ (II)
Substituindo II em I: ܲሺܣȁܤሻ ൌ ܲሺܣ B? ܤሻܲሺܤሻܲሺܣሻ ൌ ܲሺܣ B? ܤሻܲሺܤሻܲሺܣ B? ܤሻ ൌ ܲሺܣሻ ൈ ܲሺܤሻ
Portanto, quando dois eventos são independentes, a probabilidade da intersecção é o produto das
probabilidades.
3.2 ʹ PROBABILIDADE DA INTERSECÇÃO DE TRÊS EVENTOS
Considere três eventos: A, B, C.
Generalizando a fórmula que estudamos acima, temos o seguinte:
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
ܲሺܣ B? ܤ B? ܥሻ ൌ ܲሺܣሻ ൈ ܲሺܤȁܣሻ ൈ ܲሺܥȁܣǡ ܤሻ
Ou seja, a chance de ocorrer A, B e C é dada pelo produto das seguintes probabilidades:
x probabilidade de A ter ocorrido
x probabilidade de B ocorrer, dado que A já ocorreu
x probabilidade de C ocorrer, dado que A e B já ocorreram
Este procedimento pode ser estendido para mais de dois eventos.
Para quatro eventos, teríamos:ܲሺܣ B? ܤ B? ܥ B? ܦሻ ൌ ܲሺܣሻ ൈ ܲሺܤȁܣሻ ൈ ܲሺܥȁܣǡ ܤሻ ൈ ܲሺܦȁܣǡ ܤǡ ܥሻ
E assim por diante.
Exemplo: Jorge vai viajar a trabalho. A probabilidade de sua empresa enviá-lo de avião é 60%.
Chamemos isso de evento A. ܲሺܣሻ ൌ ?ǡ ?
Se ele for de avião, a chance de pegar um voo com escalas (evento B) é de 40%.ܲሺܤȁܣሻ ൌ ?ǡ ?
Se ele fizer escala, a chance de a escala ocorrer no aeroporto JK (evento C) é 30%ܲሺܥȁܣǡ ܤሻ ൌ ?ǡ ?
Pergunta: qual a chance de ele ir de avião, fazer escala e a escala ser no aeroporto JK?
Resolução:
Basta multiplicar todas as probabilidades acima:ܲሺܣ B? ܤ B? ܥሻ ൌ ܲሺܣሻ ൈ ܲሺܤȁܣሻ ൈ ܲሺܥȁܣǡ ܤሻൌ ?ǡ ? ൈ ?ǡ ? ൈ ?ǡ ?ൌ ?ǡ ?
3.3 ʹ RESUMO DO CAPÍTULO
Probabilidade da intersecção ܲሺܣ B? ܤሻ ൌ ܲሺܣȁܤሻ ൈ ܲሺܤሻ
Eventos independentes:
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
ܲሺܣȁܤሻ ൌ ܲሺܣሻܲሺܣ B? ܤሻ ൌ ܲሺܣሻ ൈ ܲሺܤሻ
4 ʹ PROBABILIDADE DA UNIÃO
4.1 ʹ PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS
Nós até já vimos alguns exercícios em que calculamos a probabilidade da união de dois eventos. Só
que não usamos nenhuma fórmula. Lembram do exemplo do dado, lá do começo do tópico de
ƉƌŽďĂďŝůŝĚĂĚĞƐà? YƵĞƌşĂŵŽƐ ĐĂůĐƵůĂƌ Ă ƉƌŽďĂďŝůŝĚĂĚĞ ĚĞ ƐĂŝƌ Ƶŵ ŵƷůƚŝƉůŽ ĚĞ à? WŽŝƐ ďĞŵà? ƐĞũĂ à‘�à? Ž
evento que ocorre quando, lançando um dado honesto, obtém-se uma face múltipla de 3.
Sabemos que:
A= {3, 6}.
O espaço amostral é dado por:
{1, 2, 3, 4, 5, 6}
EĂ ŽĐĂƐŝĆŽà? ƉĂƌĂ ĐĂůĐƵůĂƌŵŽƐ Ă ƉƌŽďĂďŝůŝĚĂĚĞ ĚĞ à‘�à嬃? ĚŝǀŝĚŝŵŽƐ Ž ŶƷŵĞƌŽ ĚĞ ĞůĞŵĞŶƚŽƐ ĚŽ ĞǀĞŶƚŽ
(=2) pelo número de elementos do espaço amostral (=6).
Haveria outra pŽƐƐŝďŝůŝĚĂĚĞ ĚĞ ƌĞĂůŝnjĂƌŵŽƐ ĞƐƚĞ ĐĄůĐƵůŽà? KďƐĞƌǀĞ ƋƵĞ Ž ĐŽŶũƵŶƚŽ à‘�à? ĂŝŶĚĂ ƉŽĚĞ ƐĞƌ
decomposto em mais conjuntos.
^ĞũĂ à‘�à? Ž ĞǀĞŶƚŽ ƋƵĞ ŽĐŽƌƌĞ ƋƵĂŶĚŽà? ůĂŶĕĂŶĚŽ Ž ĚĂĚŽà? ŽďƚĠŵ-ƐĞ Ă ĨĂĐĞ à? ^ĞũĂ à‘�à? Ž ĞǀĞŶƚŽ ƋƵĞ
ŽĐŽƌƌĞ ƋƵĂŶĚŽ ƐĞ ŽďƚĠŵ Ă ĨĂĐĞ à‘à嬃?
B = {3}
C = {6}
Podemos dizer que: ܣ ൌ ܤ B? ܥ
K ĞǀĞŶƚŽ à‘�à? Ġ ŝŐƵĂů ă ƵŶŝĆŽ ĞŶƚƌĞ ŽƐ ĞǀĞŶƚŽƐ à‘� Ğ à‘�à嬃? KƵ ƐĞũĂà? Ă ƉƌŽďĂďŝůŝĚĂĚĞ ĚĞ ƐĂŝƌ Ƶŵ ŵƷůƚŝƉůŽ
ĚĞ à? à縄?ĞǀĞŶƚŽ �à) Ġ ĞƋƵŝǀĂůĞŶƚĞ ă ƉƌŽďĂďŝůŝĚĂĚĞ ĚĂ ƵŶŝĆŽ ĚŽƐ ĞǀĞŶƚŽƐ à“ƐĂŝƌ à? Ğ à“ƐĂŝƌ à?à?
Assim, em vez de ĐĂůĐƵůĂƌŵŽƐ ĚŝƌĞƚĂŵĞŶƚĞ Ă ƉƌŽďĂďŝůŝĚĂĚĞ ĚŽ ĞǀĞŶƚŽ à‘�à嬃? ƉŽĚĞƌşĂŵŽƐ ƚĞƌ ĐĂůĐƵůĂĚŽ
ĂƐ ƉƌŽďĂďŝůŝĚĂĚĞƐĚĞ à‘�à? Ğ à‘�à? Ğà? Ğŵ ƐĞŐƵŝĚĂà? ƵƐĂŶĚŽ Ă ƉƌŽďĂďŝůŝĚĂĚĞ ĚĂ ƵŶŝĆŽ ĚĞ ĚŽŝƐ ĞǀĞŶƚŽƐà? ŽďƚŝĚŽ
Ă ƉƌŽďĂďŝůŝĚĂĚĞ ĚĞ à‘�à嬃?
Logo abaixo veremos que existe uma fórmula para o cálculo da união de dois eventos. Nem sempre
a gente precisa dela. Aliás, em grande parte dos exercícios, dá para ir bem sem ela. Mas é bom saber
que existe.
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
�ŶƚĞƐ ĚĞ ĞŶƚƌĂƌŵŽƐ ŶĂ ĨſƌŵƵůĂà? ĂůŐƵŶƐ ĐŽŵĞŶƚĄƌŝŽƐà? K ĞǀĞŶƚŽ à‘�à? ƉƀĚĞ ƐĞƌ ĚĞĐŽŵƉŽƐƚŽ Ğŵ ŽƵƚƌŽƐ
dois ĞǀĞŶƚŽƐ à縀B Ğ �à)à? :Ą ŽƐ ĞǀĞŶƚŽƐ à‘�à? Ğ à‘�à? ŶĆŽ ƉŽĚĞŵ ŵĂŝƐ ƐĞƌ ĚĞĐŽŵƉŽƐƚŽƐà? �ĂĚĂ Ƶŵ ĚĞůĞƐ Ġ
formado por um único elemento. Dizemos que B e C são eventos elementares.
Exemplo 1
Uma escola de ensino fundamental oferece cursos de idiomas. São disponibilizados cursos de inglês
e espanhol. Os alunos podem optar por fazer nenhum, um ou os dois cursos.
Atualmente temos a seguinte situação:
x 30 alunos fazem inglês.
x 20 alunos fazem inglês e espanhol.
x 35 alunos fazem espanhol.
x 25 alunos não fazem nem inglês nem espanhol.
Sorteamos um aluno dessa escola. Qual a probabilidade de o aluno sorteado cursar inglês ou
espanhol?
Resolução:
Sorteia-ƐĞ ĂůĞĂƚŽƌŝĂŵĞŶƚĞ Ƶŵ ĂůƵŶŽà? YƵĂŶĚŽ Ž ĂůƵŶŽ ƐŽƌƚĞĂĚŽ ĐƵƌƐĂ ŝŶŐůġƐà? ƚĞŵŽƐ Ž ĞǀĞŶƚŽ à‘/à?à?
Quando o aluno sorteado cursa ĞƐƉĂŶŚŽůà? ƚĞŵŽƐ Ž ĞǀĞŶƚŽ à‘�à嬃?
Queremos calcular a probabilidade do aluno fazer inglês ou espanhol. Ou seja, estamos interessados
naqueles alunos que fazem só inglês, que fazem só espanhol e que fazem inglês e espanhol.
Estamos interessados na união dos evĞŶƚŽƐ à“�à? Ğ à“/à?à?
ܧሺܧ B? ܫሻ ൌ�ǫ
�ƐƐĞ ƐşŵďŽůŽ ƋƵĞ ƉĂƌĞĐĞ Ƶŵ à“hà? Ġ Ž ƐşŵďŽůŽ ĚĞ ƵŶŝĆŽà? /ŶĚŝĐĂ ƋƵĞ ĞƐƚĂŵŽƐ ŝŶƚĞƌĞƐƐĂĚŽƐ ŶŽƐ ĐĂƐŽƐ
em que pelo menos um dos dois eventos ocorra. Neste exemplo, estamos interessados nos alunos
que fazem pelo menos um dos dois idiomas.
Vamos representar graficamente os alunos dessa escola.
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
Dentro do círculo azul temos os trinta alunos que fazem inglês. Dez deles estão dentro do circulo
azul, mas não estão dentro do círculo vermelho.
Dentro do círculo vermelho temos os trinta e cinco que fazem espanhol. Quinze deles estão dentro
do círculo vermelho, mas não estão dentro do círculo azul.
Outros vinte estão nos dois círculos simultaneamente. São os que fazem inglês e espanhol.
E os 25 que estão de fora dos dois círculos não fazem inglês nem espanhol.
Casos favoráveis são aqueles que estão em pelo menos um dos dois círculos. Ou seja, são os alunos
que fazem pelo menos um dos dois idiomas. São 45 casos favoráveis.
E casos possíveis são todos os alunos da escola. São 45, que fazem pelo menos um curso de idioma,
e mais 25, que não fazem nenhum curso de idioma, totalizando 70 alunos.
A probabilidade de o aluno ser sorteado fazer inglês ou espanhol é:ܲሺܧ B? ܫሻ ൌ 瘃? 礃?
Ok, agora vejamos a fórmula para calcular a probabilidade da união de dois eventos.
A probabilidade do aluno sorteado cursar inglês é:ܲሺܫሻ ൌ 甃? 礃?
A probabilidade do aluno sorteado cursar espanhol é:ܲሺܫሻ ൌ 甃? 礃?
A probabilidade do aluno sorteado cursar inglês e espanhol, simultaneamente, é:
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
ܲሺܧ B? ܫሻ ൌ 球? 礃?
Para encontrar a probabilidade do aluno sorteado cursar inglês ou espanhol, precisamos saber
quantos são os casos favoráveis.
São 30 alunos que fazem inglês. São 35 que fazem espanhol. Portanto, para saber quantos alunos
fazem inglês ou espanhol, somamos esses dois valores.
Número de alunos que fazem inglês ou espanhol: 30 + 35 = 65
Só que tem um problema. Quando fazemos esta conta, estamos ignorando que há alunos que fazem,
ao mesmo tempo, inglês e espanhol. Esses alunos foram contados duas vezes. São 20 alunos que
foram contados em duplicidade. Portanto, do total acima, temos que tirar 20.
Número de alunos que fazem inglês ou espanhol: 30 + 35 à?20
Isto nos faz entender porque o número de elementos da união é calculado assim:݊ሺܣ B? ܤሻ ൌ ݊ሺܣሻ ൅ ݊ሺܤሻ െ ݊ሺܣ B? ܤሻ
Continuando.
Achamos o total de casos favoráveis ൫݊ሺܣ B? ܤሻ൯. Se dividirmos esse valor pelo total de casos
possíveis, achamos a probabilidade procurada.ܲሺܧ B? ܫሻ ൌ � 甃?൅ 甃?െ 球? 礃?ܲሺܧ B?ܫሻ ൌ � 甃? 礃?൅ 甃? 礃?െ 球? 礃?ܲሺܧ B?ܫሻ ൌ ܲሺܧሻ ൅ ܲሺܫሻ െ ܲሺܧ B? ܫሻ
Resumindo, quando temos dois eventos quaisquer A e B, a probabilidade da união dos dois eventos
é: ܲሺܣ B? ܤሻ ൌ ܲሺܣሻ ൅ ܲሺܤሻ െ ܲሺܣ B? ܤሻ
YƵĂŶĚŽ à‘�à? Ğ à‘�à? ŶĆŽ ƚġŵ ĞůĞŵĞŶƚŽƐ Ğŵ ĐŽŵƵŵà? ŝƐƚŽ Ġà? ƋƵĂŶĚŽ Ă ŝŶƚĞƌƐĞĐĕĆŽ ĞŶƚƌĞ ĂŵďŽƐ Ġ ŶƵůĂà?
dizemos que são eventos mutuamente excludentes.
Se os dois eventos forem mutuamente excludentes, temos:
ܲሺܣ B? ܤሻ ൌ ?
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
Neste caso, a probabilidade da união fica:ܲሺܣ B?ܤሻ ൌ ܲሺܣሻ ൅ ܲሺܤሻ
Probabilidade da união de dois eventos.ܲሺܣ B? ܤሻ ൌ ܲሺܣሻ ൅ ܲሺܤሻ െ ܲሺܣ B? ܤሻ
Se A e B forem mutuamente excludentes, a fórmula se reduz a:ܲሺܣ B? ܤሻ ൌ ܲሺܣ�ሻ ൅ ܲሺܤሻ
(Esaf à?MPU) Quando Lígia para em um posto de gasolina, a probabilidade de ela pedir para verificar
o nível de óleo é 0,28; a probabilidade de ela pedir para verificar a pressão dos pneus é 0,11 e a
probabilidade de ela pedir para verificar ambos, óleo e pneus, é 0,04.Portanto, a probabilidade de
Lígia parar em um posto de gasolina e não pedir nem para verificar o nível de óleo e nem para
verificar a pressão dos pneus é igual a
a) 0,25
b) 0,35
c) 0,45
d) 0,15
e) 0,65.
Resolução:
Primeiro vamos usar a fórmula.
Vamos calcular a probabilidade de Lígia verificar pelo menos um dos dois (óleo/pneu). Dizendo de
outra forma: vamos calcular a probabilidade de Lígia verificar o óleo ou o pneu.
Lígia vai ao posto de gasolina em diversos dias. Selecionando-se ao acaso um desses dias, ocorre o
ĞǀĞŶƚŽ à‘�à? ƋƵĂŶĚŽà? ŶŽ ĚŝĂ ĞƐĐŽůŚŝĚŽà? ĞůĂ ǀĞƌŝĨŝĐĂ Ž ſůĞŽà? KĐŽƌƌĞ Ž ĞǀĞŶƚŽ à‘�à? ƋƵĂŶĚŽà? ŶŽ ĚŝĂ ƐŽƌƚĞĂĚŽà?
ela verifica o pneu.
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
Temos: ܲሺܣ B?ܤሻ ൌ ܲሺܣሻ ൅ ܲሺܤሻ െ ܲሺܣ B? ܤሻ
O enunciado disse que: ܲሺܣሻ ൌ ?ǡ 球?ܲሺܤሻ ൌ ?ǡ 猃?ܲሺܣ B? ܤሻ ?ǡ 爃?
Portanto: ܲሺܣ B? ܤሻ ൌ ܲሺܣሻ ൅ ܲሺܤሻ െ ܲሺܣ B? ܤሻܲሺܣ B? ܤሻ ൌ ?ǡ 球?൅ ?ǡ 猃?െ ?ǡ 爃?ൌ ?ǡ 甃?
A probabilidade de Lígia verificar pelo menos um dos dois (óleo ou pneu) é de 35%.
Concluímos que a probabilidade de ela verificar nenhum dos dois é:ܲ ൌ ? െ ?ǡ 甃?ൌ � ?ǡ 砃?ൌ 砃眃?
Gabarito: E.
Outra resolução, agora sem fórmula.
Lígia foi ao posto durante 100 dias.
Em 28 dias ela chegou o óleo. Em 11 dias ela checou os pneus. Em 4 dias ela checou os dois juntos.
Vamos representar graficamente o que ocorreu.
Em 4 dias, Lígia verifica o pneu e o óleo.
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
Em 28 dias ela verifica o óleo. Já assinalamos 4 desses 28 dias. Faltam 24.
Em 11 dias ela verifica os pneus. Já assinalamos 4 desses 11 dias. Faltam 7.
Ao todo são 100 dias. Já assinalamos 35. Faltam 65, em que Lígia não verifica pneus nem óleo.
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
Em 65 dos 100 dias ela não verifica pneus nem óleo. A probabilidade procurada, portanto, é de 65%.
(Fundação Universa)
Quando João vai a um restaurante,a probabilidade de ele consumir alguma sobremesa é igual a
0,58, a probabilidade de ele consumir café expresso é igual a 0,22, e a probabilidade de ele consumir
alguma sobremesa e café expresso é igual a 0,16. Sendo assim, a probabilidade de João ir a um
restaurante e não consumir nenhuma sobremesa nem café expresso está entre:
(A) 0,10 e 0,20.
(B) 0,21 e 0,30.
(C) 0,31 e 0,40.
(D) 0,41 e 0,50.
(E) 0,51 e 0,60
Resolução.
Seja A o evento que ocorre quando, selecionando-se aleatoriamente uma ida de João ao restaurante,
ele come sobremesa. Seja B o evento análogo para o consumo de café.
O exercício nos indica que:
ܲሺܣሻ ൌ ?ǡ 眃?; ሺܲܤሻ ൌ ?ǡ 球?;ܲሺܣ B? ܤሻ ൌ ?ǡ 猃?
Com isso, podemos achar a probabilidade de ele consumir sobremesa ou café:
�ሺ� B? �ሻ ൌ �ሺ�ሻ ൅ �ሺ�ሻ െ �ሺ� B? �ሻ
�ሺ� B? �ሻ ൌ ?ǡ 眃?൅ ?ǡ 球?െ ?ǡ 猃?ൌ ?ǡ 砃?
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
A probabilidade de ele consumir café ou sobremesa é 64%. Ou ainda: a probabilidade de ele
consumir pelo menos um dos dois (café ou sobremesa) é de 64%.
O exercício pede a probabilidade de não consumir café nem sobremesa.
Se a probabilidade de ele consumir alguma coisa é 64%, então a probabilidade de não consumir é:
 猃爃爃? െ 砃瘃? ൌ 甃砃?
Gabarito: C
(Cesgranrio)
Os eventos A e B são independentes e suas probabilidades são ܲሺܣሻ � ൌ � ?ǡ ?e ܲ�ሺܤሻ � ൌ � ?ǡ ?. Quanto
vale ܲሺܣ B? �ܤሻ?
(A) 0,5
(B) 0,6
(C) 0,7
(D) 0,8
(E) 0,9
Resolução.
Como os eventos são independentes, então:ܲሺܣ B? ܤሻ ൌ ܲሺܣሻ ൈ ܲሺܤሻ ൌ ?ǡ ? ൈ ?ǡ ? ൌ ?ǡ ?
Agora podemos achar a probabilidade da união:
�ሺ� B? �ሻ ൌ �ሺ�ሻ ൅ �ሺ�ሻ െ �ሺ� B? �ሻ
�ሺ� B? �ሻ ൌ ?ǡ ? ൅ ?ǡ ? െ ?ǡ ? ൌ ?ǡ ?
Gabarito: C
4.2 ʹ PROBABILIDADE DA UNIÃO DE TRÊS EVENTOS
A fórmula da probabilidade da união pode ser estendida para o caso de mais de três eventos.
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
No caso da união de três eventos, a fórmula do número de elementos da união fica:
݊ሺܣ B? ܤ B? ܥሻ ൌ ݊ሺܣሻ ൅ ݊ሺܤሻ ൅ ݊ሺܥሻ െ ݊ሺܣ B? ܤሻ െ ݊ሺܣ B? ܥሻ െ ݊ሺܤ B? ܥሻ ൅ �݊ሺܣ B? ܤ B? ܥሻ
Dividindo todos os termos pelo número de casos possíveis, temos a probabilidade da união:
ܲሺܣ B? ܤ B? ܥሻ ൌ ܲሺܣሻ ൅ ܲሺܤሻ ൅ ܲሺܥሻ െ ܲሺܣ B? ܤሻ െ ܲሺܣ B? ܥሻ െ ܲሺܤ B? ܥሻ ൅ �ܲሺܣ B? ܤ B? ܥሻ
Vejamos um exemplo de questão:
(Cesgranrio)
Em um posto de combustíveis entram, por hora, cerca de 300 clientes. Desses, 210 vão colocar
combustível, 130 vão completar o óleo lubrificante e 120 vão calibrar os pneus. Sabe-se, ainda, que
70 colocam combustível e completam o óleo; 80 colocam combustível e calibram os pneus e 50
colocam combustível, completam o óleo e calibram os pneus. Considerando que os 300 clientes
entram no posto de combustíveis para executar uma ou mais das atividades acima mencionadas,
qual a probabilidade de um cliente entrar no posto para completar o óleo e calibrar os pneus?
(A) 0,10
(B) 0,20
(C) 0,25
(D) 0,40
(E) 0,45
Resolução.
Primeiro vamos resolver usando a fórmula. Dando nomes aos conjuntos:
A: clientes que colocam combustível
B: clientes que completam óleo
C: clientes que calibram pneu
Agora aplicamos a fórmula do número de elementos da união:
݊ሺܣ B? ܤ B? ܥሻ ൌ ݊ሺܣሻ ൅ ݊ሺܤሻ ൅ ݊ሺܥሻ െ ݊ሺܣ B? ܤሻ െ ݊ሺܣ B? ܥሻ െ ݊ሺܤ B? ܥሻ ൅ �݊ሺܣ B? ܤ B? ܥሻ
 甃爃?ൌ 球猃?൅ 猃甃?൅ 猃球?െ 礃?െ 稃?െ ݊ሺܤ B? ܥሻ ൅ 眃?
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
 甃爃?ൌ 甃砃?െ ݊ሺܤ B? ܥሻ
݊ሺܤ B? ܥሻ ൌ 砃?
Dividindo ambos os lados da igualdade por 300:
ܲሺܤ B? ܥሻ ൌ 砃? 甃爃?ൌ ?ǡ ?
Gabarito: B
Outra possibilidade é usarmos um diagrama para representar os conjuntos.
50 clientes colocam combustível, completam o óleo e calibram pneus:
80 clientes colocam combustível e calibram pneus. Destes 80, já preenchemos 50. Faltam 30.
70 clientes colocam combustível e completam o óleo. Já alocamos 50 destes 70 clientes. Faltam 20.
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
210 clientes colocam combustível. Já alocamos em nosso diagrama 100 destes clientes (=30+50+20).
Faltam 110.
Não sabemos quantos clientes calibram pneu e completam o óleo. Vamos chamar esta quantidade
de x.
130 clientes completam o óleo. Já alocamos 礃?൅ ݔ clientes. Faltam:
 猃甃?െ ሺ 礃?൅ ݔሻ ൌ 砃?െ ݔ
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
120 clientes calibram o pneu. Já alocamos 稃?൅ ݔ. Faltam:
 猃球?െ ሺ 稃?൅ ݔሻ ൌ 瘃?െ ݔ
O total de clientes é 300.ሺ 瘃?െ ݔሻ ൅ ሺ 砃?െ ݔሻ ൅ 猃猃?൅ 甃?൅ 球?൅ ݔ ൅ 眃?ൌ 甃爃?
 甃猃?െ ݔ ൌ 甃爃?
ݔ ൌ 猃?
Ficamos com:
Pede-se a probabilidade de um cliente completar óleo e calibrar pneus.
Os casos favoráveis são:
- 10 clientes que apenas calibram pneus e completam óleo
- 50 clientes que, além das atividades acima, também colocam combustível.
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
São 60 casos favoráveis em 300 possíveis.
Ficamos com: 砃? ? 爃?ൌ ?ǡ ?
Gabarito: B
4.3 ʹ RESUMO DO CAPÍTULO
Probabilidade da união de dois eventos.�ሺ� B? ��ሻ � ൌ ��ሺ�ሻ ൅ �ሺ�ሻ � െ ��ሺ� B? ��ሻ
Se A e B forem mutuamente excludentes, a fórmula se reduz a:
�ሺ� B? ��ሻ � ൌ ��ሺ�ሻ ൅ �ሺ�ሻ
Probabilidade da união de três eventos�ሺ� B? �� B? ��ሻ ൌ �ሺ�ሻ ൅ �ሺ�ሻ ൅ �ሺ�ሻ� െ ��ሺ� B? ��ሻ � െ ��ሺ� B? ��ሻ � െ ��ሺ� B? ��ሻ � ൅ ��ሺ� B? �� B? ��ሻ
5 ʹ EVENTOS INDEPENDENTES E MUTUAMENTE EXCLUDENTES
Os conceitos de eventos independentes e eventos mutuamente excludentes já foram estudados em
capítulos anteriores, mas não custa repetí-los, eis que há questões que exploram especificamente
tais conceitos.
5.1 ʹ EVENTOS INDEPENDENTES
Dois eventos são independentes quando o fato de um ocorrer não interfere na probabilidade do
outro, ou seja: �ሺ�ȁ�ሻ ൌ �ሺ�ሻ
�ሺ�ȁ�ሻ ൌ �ሺ�ሻ
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
Como consequência disso, a probabilidade da intersecção fica reduzida ao produto das
probabilidades.
�ሺ� B? ��ሻ ൌ �ሺ�ሻ ൈ ��ሺ�ሻ
Aqui vale a ida e vale a volta. Se dois eventos são independentes, a probabilidade da intersecção é
o produto das probabilidades. E se a probabilidade da intersecção for o produto das probabilidades,
os eventos são independentes.
5.2 ʹ EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUDENTES
Dois eventos são mutuamente excludentes quando eles não têm intersecção, ou seja, �ሺ� B? ��ሻ ൌ ?
Disto resulta que a probabilidade da união é igual à soma das probabilidades.
�ሺ� B? ��ሻ ൌ �ሺ�ሻ ൅ �ሺ�ሻ
Aqui também vale a ida e vale a volta. Se forem mutuamente excludentes, a probabilidade da união
é a soma das probabilidades. Se a probabilidade da união for igual à soma das probabilidades, então
são mutuamente excludentes.
6 ʹ PROBABILIDADE DO EVENTO COMPLEMENTAR
Quando temos um experimento, dizemos que o conjunto de todos os resultados possíveis é o espaço
amostral.
Por exemplo, o lançamento de um dado pode resultar em 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.
O espaço amostral é:
{1, 2, 3, 4, 5, 6}
Outro exemplo. Temos um tetraedro com faces 1, 2, 3, 4. Lançamo-lo duas vezes. O espaço amostral
é:
{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4)}
Dizemos que dois eventos são complementares quando, simultaneamente, temos:
x a uniãodos dois eventos resulta no espaço amostral
x os dois eventos são mutuamente excludentes (eles não têm elementos em comum; a
intersecção entre ambos é vazia)
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
Ou seja, qualquer resultado possível estará contido em dos dois eventos. Os dois eventos, juntos,
conseguem englobar todos os resultados possíveis. E mais que isso: não há qualquer resultado que
satisfaça, simultaneamente, aos dois eventos.
Com alguns exemplos fica mais fácil.
Considere o resultado do lançamento de um dado.
^ĞũĂ à‘�à? Ž ĞǀĞŶƚŽ à“ƐĂŝƌ ŶƷŵĞƌŽ ƉĂƌà弃? ^ĞũĂ à‘�à? Ž ĞǀĞŶƚŽ à“ƐĂŝƌ ŶƷŵĞƌŽ şŵƉĂƌà弃?
KƐ ĞǀĞŶƚŽƐ à‘�à? Ğ à‘�à嬃? ƵŶŝĚŽƐà? ĞŶŐůŽďĂŵ ƚŽĚĂƐ ĂƐ ƉŽƐƐŝďŝůŝĚĂĚĞƐà? EĆŽ ƚĞŵ ĐŽŵŽ ůĂŶĕĂƌ Ƶŵ ĚĂĚŽ Ğ ĚĂƌ
um resultado que não seja um número par e não seja um número ímpar.
Além disso, não há intersecção entre os dois eventos. Não tem nenhum resultado de um dado que
seja, ao mesmo tempo, par e ímpar.
�ŝnjĞŵŽƐ ƋƵĞ ŽƐ ĞǀĞŶƚŽƐ à‘�à? Ğ à‘�à? ƐĆŽ ĐŽŵƉůĞŵĞŶƚĂƌĞƐà?
Ainda em relação ao lançamento do dado.
^ĞũĂ à‘�à? Ž ĞǀĞŶƚŽ à“ƐĂŝƌ Ƶŵ ŶƷŵĞƌŽ ŵĂŝŽƌ ŽƵ ŝŐƵĂů Ă à?à? ^ĞũĂ à‘�à? Ž ĞǀĞŶƚŽ à“ƐĂŝƌ Ƶŵ ŶƷŵĞƌŽ ŵĞŶŽƌ ƋƵĞ
à弃?
Esses dois eventos, unidos, englobam todos casos possíveis. Não dá para lançar um dado e obter um
resultado que não seja maior ou igual a 4 nem menor que 4.
Além disso, não há nenhum resultado que pertença ao mesmo tempo aos dois eventos.
KƐ ĞǀĞŶƚŽƐ à‘�à? Ğ à‘�à? ƐĆŽ ĐŽŵƉůĞŵĞŶƚĂƌĞƐà?
Continuemos com o lançamento do dado.
^ĞũĂ à‘�à? Ž ĞǀĞŶƚŽ à“ƐĂŝƌ Ƶŵ ŶƷŵĞƌŽ ŵĞŶŽƌ ƋƵĞ à弃? ^ĞũĂ à‘&à? Ž ĞǀĞŶƚŽ à“ƐĂŝƌ Ƶŵ ŶƷŵĞƌŽ ŵĂŝŽƌ ƋƵĞ à弃?
Os dois eventos, juntos, englobam todos os casos possíveis.
Mas os dois eventos não são complementares. Existe um resultado que pertence aos dois eventos.
K ƌĞƐƵůƚĂĚŽ à“à? Ġ ŵĂŝŽƌ ƋƵĞ à? Ğ ƚĂŵďĠŵ Ġ ŵĞŶŽƌ ƋƵĞ à?
Ainda em relação ao lançamento do dado.
^ĞũĂ à‘'à? Ž ĞǀĞŶƚŽ à“ƐĂŝƌ Ƶŵ ŶƷŵĞƌŽ ŵĞŶŽƌ ƋƵĞ à弃? ^ĞũĂ à‘,à? Ž ĞǀĞŶƚŽ à“ƐĂŝƌ Ƶŵ ŶƷŵĞƌŽ ŵĂŝŽƌ ƋƵĞ à弃?
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
ܲ൫ܣ B?ܣ൯ ൌ ܲሺܣሻ ൅ ܲ൫ܣ൯ ? ൌܲሺܣሻ ൅ ܲ൫ܣ൯
E é esse resultado que nos interessa.
Probabilidade do evento complementar:
Sejam A e ܣA?dois eventos complementares. Então: ? ൌ ሺܲܣሻ ൅ ܲሺܣA?ሻ�
Ou seja: ܲሺܣA?ሻ ൌ ? െ ሺܲܣሻ
A probabilidade do evento complementar é algo até bem intuitivo. Nós até já a usamos
anteriormente, sem comentar. Uma das vezes em que fizemos foi quando resolvemos a questão do
MPU, em que Lígia ia ao posto de combustíveis verificar óleo e pneu (vide capítulo sobre
probabilidade da união).
Sugiro que vocês parem a leitura do texto e deem uma revisada lá naquele exercício.
Naquela ocasião, encontramos a probabilidade de Lígia verificar pelo menos um dos dois
(óleo/pneu). A probabilidade foi de 35%.
Com isso, concluímos que a probabilidade de ela não verificar nenhum dos dois era de 65%.
Ora, ou Lígia verifica alguma coisa (pneu, óleo ou ambos, pneu e óleo) ou não verifica nada. Não tem
outra possibilidade. Portanto, se há 35% de chance de ela verificar alguma coisa, então há 65% de
chance de ela não verificar nada.
São dois eventos complementares. Somando os dois, tem que dar 100%.
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
- Antônio vivo e Paulo morto ሺ� B? �ഥሻ
ou
- Antônio morto e Paulo vivo ሺ�ഥ B? ��ሻ
Logo, temos que calcular a seguinte probabilidade:
ܲሾሺܣ B? ܤതሻ B?ሺܣA?B? ܤሻሿ
Entre colchetes, temos dois eventos mutuamente excludentes. A probabilidade da união é igual à
soma das probabilidades.
ܲሾሺܣ B? ܤതሻ B?ሺܣA?B? ܤሻሿ ൌ ܲሺܣ B? ܤതሻ ൅ ܲሺܣA?B? ܤሻ
Supondo que os eventos são independentes, ou seja, que o fato de Antônio viver (ou morrer) em
nada influi na vida de Paulo, temos:
ܲሾሺܣ B? ܤതሻ B?ሺܣA?B? ܤሻሿ ൌ ܲሺܣ B? ܤതሻ ൅ ܲሺܣA?B? ܤሻ
ൌ ܲሺܣሻ ൈ ܲሺܤതሻ ൅ ܲሺܣA?ሻ ൈ ܲሺܤሻ
ൌ ?ǡ ? ൈ ?ǡ ? ൅ ?ǡ ? ൈ ?ǡ ? ൌ ?ǡ 球?൅ ?ǡ 猃?ൌ ?ǡ 甃?
Gabarito: D
A probabilidade do evento complementar é muito útil em determinados tipos de problema em que
a probabilidade pedida é muito difícil de ser calculada. Nesses casos, desconfie. Às vezes é mais fácil
calcular a probabilidade do evento complementar, o que nos ajuda a resolver a questão.
Segue um exemplo.
Exemplo 1
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
Lançamos um dado seis vezes. Qual a probabilidade de sair pelo menos uma vez o número 5?
Resolução:
Seja A o evento que ocorre quando, em pelo menos um dos 6 lançamentos, temos o resultado 5.
Uma primeira forma de resolução seria listar todos os casos possíveis e todos os casos favoráveis.
Casos possíveis:
1; 1; 1; 1; 1; 1
1; 1; 1; 1; 1; 2
1; 1; 1; 1; 1; 3
[...]
E a lista continuaria com inúmeras linhas. Ficar listando todos os casos possíveis não dá.
WŽĚĞƌşĂŵŽƐ ƚĞŶƚĂƌ ƌĞƐŽůǀĞƌ ĐŽŶƐŝĚĞƌĂŶĚŽ ƋƵĞ Ž ĞǀĞŶƚŽ à‘�à? Ġà? ŶĂ ǀĞƌĚĂĚĞà? ƵŵĂ ƵŶŝĆŽ ĚĞ ǀĄƌŝŽƐ
eventos.
Precisaríamos calcular a probabilidade de:
x Sair o número 5 exatamente 1 vez
x Sair o número 5 exatamente 2 vezes
x Sair o número 5 exatamente 3 vezes
x Sair o número 5 exatamente 4 vezes
x Sair o número 5 exatamente 5 vezes
x Sair o número 5 exatamente 6 vezes
Depois fazemos a união de todos esses eventos. A probabilidade da união de todos esses eventos é
o resultado procurado.
Só que isso dá um trabalhão. Só para que fique claro como os eventos acima são difíceis de lidar,
tomemos o segundo deles. Trata-se do evento que ocorre quando, lançando o dado seis vezes,
obtém-se o resultado 5 exatamente duas vezes. Para calcular a probabilidade relacionada, teríamos
que dividir este evento em diversos outros eventos:
x Sair o número 5 apenas no primeiro e no segundo lançamento;
x Sair o número 5 apenas no primeiro e no terceiro lançamento;
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
x Sair o número 5 apenas no primeiro e no quarto lançamento;
x Sair o número 5 apenas no primeiro e no quinto lançamento;
x Sair o número 5 apenas no primeiro e no sexto lançamento;
x Sair o número 5 apenas no segundo e no terceiro lançamento;
x Sair o número 5 apenas no segundo e no quarto lançamento;
x Sair o número 5 apenas no segundo e no quinto lançamento;
x Sair o número 5 apenas no segundo e no sexto lançamento;
x Sair o número 5 apenas no terceiro e no quarto lançamento;
x Sair o número 5 apenas no terceiro e no quinto lançamento;
x Sair o número 5 apenas no terceiro e no sexto lançamento;
x Sair o número 5 apenas no quarto e no quinto lançamento;
x Sair o número 5 apenas no quarto e no sexto lançamento;
x Sair o número 5 apenas no quinto e no sexto lançamento.
Depois, teríamos que fazer um procedimento análogo para todos os outros eventos (sair 5
exatamente uma vez; sair 5 exatamente três vezes; etc). É um trabalho braçal interminável,
totalmente incompatível com o curto tempo de que dispomos durante uma prova.
Vamos procurar outra saída.
K ĞǀĞŶƚŽ ƉĞĚŝĚŽ ŶŽ ĞŶƵŶĐŝĂĚŽ ĨŽŝ à“ƐĂŝƌ à?pelo menos à? ǀĞnjà弃?
Qual seu evento complementar?
Em outras palavras: quando é que isso não ocorre? Quando é que não sai 5 pelo menos uma vez?
Resposta: quando, em nenhum dos lançamentos, sair o número 5.
Vamos chamar este evento de ܣA?
Ah, para esse evento complementar é bem mais fácil de calcularmos a probabilidade.
Ele é a intersecção dos seguintes eventos:
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) ComVideoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
(Fundação Carlos Chagas)
Sabe-se que 3/5 dos pacientes submetidos a uma determinada cirurgia sobrevivem. Se 4 pacientes
realizarem a cirurgia, a probabilidade de que pelo menos um não sobreviva é de:
a) 609/625
b) 544/625
c) 96/625
d) 24/625
e) 16/625
Resolução:
Pede-se a probabilidade de que pelo menos um paciente morra.
Este é o caso clássico de utilização do evento complementar: quaŶĚŽ ƚĞŵŽƐ Ă ĞdžƉƌĞƐƐĆŽ à“ƉĞůŽ
ŵĞŶŽƐ Ƶŵà?à?
Sempre que aparecer esta expressão, é mais fácil calcularmos a probabilidade do evento
complementar. Ou seja, vamos pensar justamente no evento que é o contrário do que o solicitado
no enunciado.
^ĞũĂ � Ž ĞǀĞŶƚŽ à“ƉĞůŽ ŵĞŶŽƐ Ƶŵ ƉĂĐŝĞŶƚĞ ŵŽƌƌĞà弃? ^ĞũĂܣA?Ž ĞǀĞŶƚŽ ĐŽŵƉůĞŵĞŶƚĂƌà? ŽƵ ƐĞũĂà? à“ƚŽĚŽƐ
ŽƐ ƉĂĐŝĞŶƚĞƐ ƐŽďƌĞǀŝǀĞŵà弃? K ĞǀĞŶƚŽ ĐŽŵƉůĞŵĞŶƚĂƌ Ġ ƵŵĂ ŝŶƚĞƌƐĞĐĕĆŽ ĚĞ à? ĞǀĞŶƚŽƐàP
x E1 à?o primeiro paciente sobrevive
x E2 à?o segundo paciente sobrevive
x E3 à?o terceiro paciente sobrevive
x E4 à?o quarto paciente sobrevive
Quando todos estes quatro eventos ocorrerem simultaneamente (intersecção), aí nós teremos o
evento ܣA?
Todos esses eventos têm probabilidade de 3/5. E todos eles são independentes. Assim, a
probabilidade da intersecção se resume ao produto das probabilidades.
ܣA?ൌ ܧ ? B? ܧ ? B? ܧ ? B? ܧ ?
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
ܲሺܧ ?B? ܧ ? B? ܧ ? B? ܧ ?ሻ ൌ ܲሺܧ ?ሻ ൈ ܲሺܧ ?ሻ ൈ ܲሺܧ ?ሻ ൈ ܲሺܧ ?ሻ
ܲሺܧ ? B? ܧ ? B? ܧ ? B? ܧ ?ሻ ൌ ?ǡ ? ൈ ?ǡ ? ൈ ?ǡ ? ൈ ?ǡ ? ൌ ?ǡ ?ସ
Ou seja:
ܲሺܣA?ሻ ൌ ?ǡ ?ସ ൌ ?Ǥ 球笃? 猃?Ǥ 爃爃?
Já calculamos a probabilidade do evento complementar.
Agora fica bem fácil calcular a probabilidade do evento original.
A probabilidade de A fica: ܲሺܣሻ ൌ ? െ ଵǤଶଽ଺ଵ଴Ǥ଴଴଴ ൌ � ଼Ǥ଻଴ସଵ଴Ǥ଴଴଴ ൌ ହସସ଺ଶହ�
Gabarito: B.
(Fundação Carlos Chagas)
Em um determinado dia, a probabilidade de João faltar ao trabalho é de 5% e Carlos de 10%,
independentemente. Então, a probabilidade neste dia que pelo menos um deles NÃO falte ao
trabalho é de
(A) 99,5%.
(B) 95,0%.
(C) 92,5%.
(D) 90,0%.
(E) 85,5%.
Resolução:
Adotando a abordagem frequentista da probabilidade, temos o seguinte Em 5% dos dias João falta
ao trabalho. Em 10% dos dias, Carlos falta ao trabalho.
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
Escolhe-se um dia aleatoriamente.
^ĞũĂ à“�à? Ž ĞǀĞŶƚŽ ƋƵĞ ŽĐŽƌƌĞ ƋƵĂŶĚŽà? ŶŽ ĚŝĂ ĞƐĐŽůŚŝĚŽà? ƉĞůŽ ŵĞŶŽƐ Ƶŵ ĚŽƐ ĚŽŝƐ ǀĂŝ ĂŽ ƚƌĂďĂůŚŽà?
O evento complementar ocorre quando, no dia escolhido, os dois faltam ao trabalho.
A probabilidade do evento complementar é:
ܲሺܣA?ሻ ൌ ?ǡ 爃?ൈ ?ǡ ? ൌ ?ǡ 爃爃?
Logo: ܲሺܣሻ � ൌ ? െ ሺܲܣA?ሻܲሺܣሻ ൌ ? െ ?ǡ 爃爃?ൌ ?ǡ 笃笃?ൌ 笃?ǡ 眃?
Gabarito: A
EĂ ƋƵĞƐƚĆŽ ĂďĂŝdžŽ ŵŽƐƚƌĂŵŽƐ ĐŽŵŽ Ă ďĂŶĐĂ ƉŽĚĞ ƉƌĞƉĂƌĂƌ ƵŵĂ à“ƉĞŐĂĚŝŶŚĂà? ĞŶǀŽůǀĞŶĚŽ Ž ĞǀĞŶƚŽ
complementar. Ela faz isso por meio da amostragem sem reposição.
(Fundação Carlos Chagas)
Um lote contém 20 peças das quais 5 são defeituosas. Colhendo-se uma amostra de 2 peças, ao
acaso e sem reposição deste lote, a probabilidade de se obter pelo menos uma pela defeituosa é:
a) 21/38
b) 19/38
c) 17/38
d) 15/38
e) 13/38
Resolução.
sĂŵŽƐ ĐŚĂŵĂƌ ĚĞ � Ž ĞǀĞŶƚŽ à“ĞƐĐŽůŚĞƌ ƉĞůŽ ŵĞŶŽƐ ƵŵĂ ƉĞĕĂ ĚĞĨĞŝƚƵŽƐĂà弃? sĂŵŽƐ ĐŚĂŵĂƌ ĚĞܣA?o
evento complementar. O evento complementar ocorre quando todas as peças escolhidas são
normais.
Considerem os seguintes eventos:
x E1 à?a primeira peça escolhida é normal
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
x E2 à?a segunda peça escolhida é normal
O evento ܣA?é a intersecção desses dois eventos acima. Para que ܣA?�ocorra, ambos devem ocorrer
simultaneamente. ܣA?ൌ ܧଵ B? ܧଶ
Queremos achar a probabilidade da intersecção.
Mas, agora, diferentemente dos exercícios anteriores, esses eventos não são mais independentes.
A probabilidade da intersecção não é mais o produto das probabilidades.
Na hora de escolhermos a primeira peça, a probabilidade de ela não ser defeituosa é de 15/20.
Temos 15 peças a nosso favor em 20 possíveis.
Na hora de escolhermos a segunda peça, a probabilidade de ela não ser defeituosa vai depender do
resultado da primeira escolha. Se, na primeira escolha, tiver saído uma peça defeituosa, a
probabilidade da segunda peça não ser defeituosa será 15/19. Continuamos tendo 15 peças
normais. São 15 casos favoráveis, em 19 possíveis.
De outro modo, se a primeira peça escolhida for normal, a probabilidade da segunda também ser
normal será de 14/19. Teremos apenas 14 casos favoráveis.
Logo, os eventos não são independentes. O resultado de uma escolha influi na probabilidade da
segunda escolha.
A fórmula da probabilidade da intersecção fica:
ܲሺܣA?ሻ ൌ ܲሺܧଵ B? ܧଶሻ
ܲሺܣA?ሻ ൌ ܲሺܧଵሻ ൈ ܲሺܧଶ�ȁܧଵሻ
Na primeira escolha, a probabilidade de tomarmos uma peça não defeituosa é de 15/20. Temos 15
peças normais (casos favoráveis) num total de 20 (casos possíveis).
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
ܲሺܧଵሻ ൌ 猃? 球?
Já tendo escolhido uma peça não defeituosa, qual a probabilidade da segunda também ser não
defeituosa. Ou seja, qual a probabilidade de ocorrer o evento E2, dado que o evento E1 já ocorreu?
Já tendo retirado uma peça normal, sobram 14 peças normais (casos favoráveis), num total de 19
(casos possíveis). ܲሺܧଶ�ȁܧଵሻ ൌ 猃? 猃?
Portanto: ܲሺܣA?ሻ ൌ ܲሺܧଵሻ ൈ ܲሺܧଶ�ȁܧଵሻ
ܲሺܣA?ሻ ൌ 猃? 球?ൈ� 猃? 猃?ൌ � 球? 甃?
Logo: ܲሺܣሻ ൌ ? െ 球? 甃?ൌ � 猃? ? ?�
Gabarito: C.
6.1 ʹ RESUMO DO CAPÍTULO �ሺ�ഥሻ ൌ ? െ �ሺ�ሻ
7 ʹ TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL
Exemplo
Uma urna tem uma bola branca e uma bola preta (vamos chamá-la de primeira urna). Outra urna
tem três bolas brancas e uma bola preta (vamos chamar de segunda urna).
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
ܲሺܣȁ ଵܷሻ ൌ ?ǡ 球?
Nossa tarefa é agora calcular a probabilidade total de sair bola preta, independente de qual urna
tenha sido escolhida.
Para achar a ƉƌŽďĂďŝůŝĚĂĚĞ ĚŽ ĞǀĞŶƚŽ à‘�à嬃? ƵŵĂ ŝĚĞŝĂ ƋƵĞ ƌĂƉŝĚĂŵĞŶƚĞ ǀĞŵ ă ŵĞŶƚĞ Ġ ƐŽŵĂƌ ĂƐ
probabilidades acima. O resultado seria:
 ?ǡ ? ൅ ?ǡ 球?ൌ ?ǡ 礃?
Com este cálculo, responderíamos que a probabilidade de bola preta é 75%.
O problema é que há um erro grave acima! Infelizmente, muitos candidatos caem nesse tipo de
falha, então cuidado extra para não cometer o mesmo erro.
Para checar o absurdo da afirmação que fizemos, basta trabalharmos com o evento "B", que ocorre
quando a bola sorteada é branca.
Para a bola branca as probabilidades condicionais são:
ܲሺܤȁ ଵܷሻ ൌ ?ǡ ?
ܲሺܤȁ ଶܷሻ ൌ ?ǡ 礃?
Se fosse correto simplesmente somar as probabilidades condicionais para determinar a
probabilidade de bola branca, concluiríamos que:ܲሺܤሻ ൌ ?ǡ ? ൅ ?ǡ 礃?ൌ ?ǡ 球?
ܲሺܤሻ ൌ 猃球眃?
Esse cálculo de P(B) deixa muito claro que há uma falha conceitual em nossa resolução, pois é
impossível que uma probabilidade seja maior que 100%.
texto.
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
Aplicando a fórmula da probabilidade da intersecção:
ܲሺܣሻ ൌ ܲሺܣȁ ଵܷሻ ൈ �ܲሺ ଵܷሻ ൅ �ܲሺܣȁ ଶܷሻ ൈ �ܲሺ ଶܷሻ
É lógico que você não precisa gravar o passo a passo acima. Você estava até autorizado a pular essa
parte, como eu mesmo já havia alertado. Só fiz questão de apresentá-la porque para mim ela foi
muito útil. Somente quando eu vi taldemonstração pela primeira vez foi que eu finalmente
"entendi" o tal do teorema da probabilidade. Então se foi útil para mim, deixo-a registrada aqui, na
esperança de que seja útil também para você.
Teorema da probabilidade total:
Se dois eventos U1 e U2 forem complementares, a probabilidade de ocorrer o evento A é dada
por: ܲሺܣሻ ൌ ܲሺܣȁ ଵܷሻ ൈ �ܲሺ ଵܷሻ ൅ �ܲሺܣȁ ଶܷሻ ൈ �ܲሺ ଶܷሻ
Você não precisa decorar a fórmula acima. Muito menos gravar o procedimento para chegar nela. O
que importa é que você grave a continuação do problema, que vem logo abaixo. Apenas isso.
K ĞǀĞŶƚŽ à‘�à? ƉŽĚĞ ŽĐŽƌƌĞƌ ƚĂŶƚŽ ƋƵĂŶĚŽ ĞƐĐŽůŚĞŵŽƐ Ă hrna 1 quanto quando escolhemos a urna 2.
Temos as seguintes hipóteses:
x Há 50% de chances de escolhermos a urna 1. Escolhida tal urna, há 50% de chances de sair a
bola preta
x Há 50% de chances de escolhermos a urna 2. escolhida tal urna, há 25% de chances de sair a
bola preta
A probabilidade de sair a bola preta fica:
 ?ǡ ? ൈ ?ǡ ? ൅ ?ǡ ? ൈ ?ǡ 球?ൌ ?ǡ 甃礃?
Ou, aplicando a fórmula:
ܲሺܣሻ ൌ ܲሺܣȁ ଵܷሻ ൈ �ܲሺ ଵܷሻ ൅ �ܲሺܣȁ ଶܷሻ ൈ �ܲሺ ଶܷሻ
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
ܲሺܣሻ ൌ ?ǡ ? ൈ � ?ǡ ? ൅ ?ǡ 球?ൈ � ?ǡ ? ൌ ?ǡ 甃礃?
Resposta: a probabilidade de sair bola preta é de 37,5%
Muita gente, em venj ĚĞ ŐƌĂǀĂƌ Ă ĨſƌŵƵůĂà? ĐŽƐƚƵŵĂ ĨĂnjĞƌ Ƶŵ à“ĚŝĂŐƌĂŵĂà? ƉĂƌĞĐŝĚŽ ĐŽŵ ĞƐƚĞàP
A ideia do diagrama é a que segue. Representamos cada possível resultado por um círculo. Primeiro,
ƚĞŵŽƐ ĂƐ ŽƉĕƁĞƐàP à“ƵƌŶĂ à? Ğ à“ƵƌŶĂ à弃? � ƉƌŽďĂďŝůŝĚĂĚĞ ĚĞ ĞƐĐŽůŚĞƌ ƋƵĂůƋƵĞƌ ƵŵĂ ĚĞůĂƐé 50%. Por
isso, escrevemos o número 0,5 em cima da seta correspondente.
�ƐĐŽůŚŝĚĂ Ă à“ƵƌŶĂ à弃? Ă ƉƌŽďĂďŝůŝĚĂĚĞ ĚĞ ĞƐĐŽůŚĞƌ ďŽůĂ ďƌĂŶĐĂ Ġ à?á㤃? KƵ ƐĞũĂà? Ă ƉƌŽďĂďŝůŝĚĂĚĞ ĚĞ
escolher bola branca dado que escolhermos a urna 1 é de 50%. Novamente, escrevemos 0,5 na seta
correspondente. Isso se repete para todas as demais setas.
Feito isso, para calcular a probabilidade de um certo evento, basta multiplicar as probabilidades.
Exemplo: qual a probabilidade de escolher uma bola preta da urna 2?
Basta multiplicar as probabilidades até chegar ao círculo que representa a bola preta da urna 2. No
caso, temos: ?ǡ ? ൈ ?ǡ 球?ൌ ?ǡ 猃球?
Aproveitando o desenho, qual a probabilidade de escolhermos uma bola preta da urna 1? Temos: ?ǡ ? ൈ ?ǡ ? ൌ ?ǡ 球?
A probabilidade de escolher uma bola preta fica:
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
 ?ǡ 球?൅ ?ǡ 猃球?ൌ ?ǡ 甃礃?
Este diagrama é uma forma esquemática de apresentação da fórmula que estudamos.
K ĚŝĂŐƌĂŵĂ Ğ Ă ĨſƌŵƵůĂ ƌĞƉƌĞƐĞŶƚĂŵ Ž ƋƵĞ Ġ ĐŚĂŵĂĚŽ ĚĞ à“ƚĞŽƌĞŵĂ ĚĂ ƉƌŽďĂďŝůŝĚĂĚĞ ƚŽƚĂůà弃?
Para consolidarmos o entendimento, vamos resolver novamente a questão, mas agora iremos para
uma solução INCORRETA. O objetivo é cometer propositalmente um erro, para depois nos
concentrarmos neste erro e com isso acertarmos na prova. Afinal, é errando que se aprende, e se
você puder aprender com o erro dos outros (no caso, do professor), melhor ainda.
Vamos dar nomes às bolas:
B11 é a bola branca da urna 1
P11 é a bola preta da urna 1
B21 é a primeira bola branca da urna 2
B22 é a segunda bola branca da urna 2
B23 é a terceira bola branca da urna 2
P21 é a primeira bola preta da urna 2.
Seja S o espaço amostral.
S = {B11, P11, B21, B22, B23, P21}
K ĞǀĞŶƚŽ à‘�à? Ġ ĚĂĚŽ ƉŽƌàP
A = {P11, P21}
No início do capítulo de probabilidades aprendemos que a probabilidade é dada pela divisão entre
o número de casos favoráveis pelo número de casos possíveis. Se fôssemos aplicar tal procedimento
a este problema, teríamos:
x casos favoráveis: P11, P21
x casos possíveis: B11, P11, B21, B22, B23, P21
São 2 casos favoráveis em 6 possíveis.
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
ܲሺܣሻ ൌ � ? ?ൌ ? ?
O valor obtido foi de 1/3, que é totalmente diferente do valor correto (0,375), dado pelo teorema
da probabilidade total.
Qual o erro desta solução?
O grande problema é que os resultados não são equiprováveis. A título de exemplo, a bola preta da
primeira urna tem uma chance maior de ser escolhida do que a bola preta da urna 2. Quando os
eventos elementares não são equiprováveis, para achar a probabilidade, não podemos
simplesmente dividir número de casos favoráveis por número de casos possíveis.
Para usar esta segunda solução, precisamos de uma pequena adaptação, que reflita as diferentes
probabilidades de cada evento. Precisamos da abordagem frequentista da probabilidade, já
mencionada em nosso curso.
Para usar a abordagem frequentista da probabilidade, temos que supor que repetimos o
experimento várias vezes. Por exemplo, considere que fizemos 80 sorteios. Como a chance de
escolha de cada uma das urnas é de 50%, vamos supor que escolhemos a primeira urna 40 vezes e
que escolhemos a segunda urna, também, 40 vezes.
Das 40 vezes em que escolhemos a primeira urna, em 20 sorteamos a bola preta (P11). Em outras
20, sorteamos a bola branca (B11).
Das 40 vezes em que escolhemos a segunda urna, em 10 sorteamos a bola preta (P21). Em 10
escolhemos a bola branca B21. Em outras 10 escolhemos a bola branca B22. E nas outras 10
escolhemos a bola branca B23.
Os oitenta sorteios estão assim distribuídos (casos possíveis):
x Em 20 vezes a bola P11 é sorteada
x Em 20 vezes a bola B11 é sorteada
x Em 10 vezes a bola P21 é sorteada
x Em 10 vezes a bola B21 é sorteada
x Em 10 vezes a bola B22 é sorteada
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
x Em 10 vezes a bola B23 é sorteada
Os casos favoráveis são aqueles em que uma bola preta é sorteada:
x 20 vezes a bola P11 é sorteada
x 10 vezes a bola P21 é sorteada.
Agora sim, podemos fazer a divisão entre casos possíveis e favoráveis. Com o artifício acima,
conseguimos levar em consideração que as bolas da urna 1 têm probabilidade maior de serem
escolhidas que as bolas da urna 2.
� ൌ � ୭�†‡�…ƒ•‘•�ˆƒ˜‘”ž˜‡‹•୭�†‡�…ƒ•‘•�’‘••À˜‡‹• ൌ 甃? ? ?ൌ ?ǡ 甃礃?
(Fundação Carlos Chagas)
Uma rede local de computadores é composta por um servidor e 2 (dois) clientes (Z e Y). Registros
anteriores indicam que dos pedidos de certo tipo de processamento, cerca de 30% vêm de Z e 70%
de Y. Se o pedido não for feito de forma adequada, o processamento apresentara erro. Sabendo-se
que 2% dos pedidos feitos por Z e 1% dos pedidos feitos por Y apresentam erro, a probabilidade do
sistema apresentar erro é:
a) 5%
b) 4,1%
c) 3,5%
d) 3%
e) 1,3%
Resolução:
Escolhe-se um pedŝĚŽ ĂŽ ĂĐĂƐŽà? ^ĞũĂ à‘à? Ž ĞǀĞŶƚŽ ƋƵĞ ŽĐŽƌƌĞ ƋƵĂŶĚŽ Ž ƉĞĚŝĚŽ ĞƐĐŽůŚŝĚŽ Ġ ĨĞŝƚŽ ƉĞůŽ
ĐůŝĞŶƚĞ à? ^ĞũĂ à‘zà? Ž ĞǀĞŶƚŽ ƋƵĞ ŽĐŽƌƌĞ ƋƵĂŶĚŽ Ž ƉĞĚŝĚŽ ĞƐĐŽůŚŝĚŽ Ġ ĨĞŝƚŽ ƉĞůŽ ĐůŝĞŶƚĞ zà? ^ĞũĂ à需Eà? Ž
evento que ocorre quando o pedido escolhido apresentar erro. Foi dado que:
x Há 30% de chances de o pedido vir de Z. Quando o pedido vem de Z, a probabilidade de
apresentar erro é de 2%
x Há 70% de chances de o pedido vir de Y. Quando o pedido vem de Y, a probabilidade de
apresentar erro é de 1%
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
Portanto, a probabilidade de erro é:ܲሺܧሻ ൌ ?ǡ ? ൈ ?ǡ 爃?൅ ?ǡ ? ൈ ?ǡ 爃?ൌ ?ǡ 甃?
Gabarito: E.
KƵƚƌĂ ŽƉĕĆŽ Ġ ƵƐĂƌ Ă ĨſƌŵƵůĂ ǀŝƐƚĂà? à‘à? Ğ à‘zà? ƐĆŽ ĞǀĞŶƚŽƐ ĐŽŵƉůĞŵĞŶƚĂƌĞƐà? >ŽŐŽàP
ܲሺܧሻ ൌ ܲሺܧȁܼሻ ൈ �ܲሺܼሻ ൅ ܲሺܧȁܻሻ ൈ �ܲሺܻሻ
ܲሺܧሻ ൌ ?ǡ 爃?ൈ � ?ǡ ? ൅ ?ǡ 爃?ൈ � ?ǡ ? ൌ ?ǡ 甃?
Uma terceira opção é usar a abordagem frequentista da probabilidade.
Podemos pensarque são feitos 1000 pedidos. São 300 do cliente Z e 700 do cliente Y.
Dos 300 pedidos do cliente Z, 6 apresentam erro (=2% de 300).
Dos 700 pedidos do cliente Y, 7 apresentam erro (=1% de 700).
Desta forma, dos 1000 pedidos, 13 apresentam erro (=6+7).
São 13 pedidos com erro num total de 1000 pedidos.
A probabilidade de erro fica: ܲ ൌ � 猃? ?Ǥ 爃爃?ൌ ?ǡ 甃?
Uma quarta possibilidade é usar o diagrama:
A probabilidade de erro fica: ?ǡ 爃爃?൅ ?ǡ 爃爃?ൌ ?ǡ 爃猃?
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
Poderíamos já agora preencher esse diagrama com as probabilidades associadas a cada "seta", e
responder à questão.
No entanto, vamos aproveitá-lo para estudar algumas características importantes relacionadas à
aplicação do teorema da probabilidade total.
O diagrama acima parece com uma árvore, em que vamos percorrendo diversos galhos. A cada
ponto de divisão, temos que fazer uma escolha. Primeiro temos as possibilidades de perfil A, B ou C.
Escolhido o perfil, temos as opções de "entra no sistema" ou "não entra".
Ao montarmos a árvore, temos que ter a certeza de:
1 - ter representado todos os casos possíveis
2 - que os possíveis caminhos ao longo da árvore sejam mutuamente excludentes.
Só assim a árvore estará correta, só assim responderemos à questão.
As características "1" e "2" estão associadas à chamada partição do espaço amostral.
Em outras palavras, os eventos A, B e C formam uma partição do espaço amostral.
Isto ocorre porque, juntos, eles englobam todos os casos possíveis. Ou seja, a união dos três eventos
corresponde ao espaço amostral S.
ܣ B? �ܤ B? �ܥ� ൌ �ܵ
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
Além disso, A, B e C não têm intersecção:
ܣ B?�ܤ ൌ �B?ܣ B? �ܥ� ൌ �B?ܤ B? �ܥ� ൌ �B?
Quando tudo isso ocorre, dizemos que A, B e C formam uma partição do espaço amostral.
O evento X (entrar no sistema previdenciário) pode ocorrer tanto para pessoas no perfil A (evento
A), quanto para pessoas nos perfis B ou C (eventos B e C). Como A, B e C formam uma partição,
podemos escrever a probabilidade de X assim:
ܲሺܺሻ ൌ ܲሺܺȁܣሻ ൈ �ܲሺܣሻ ൅ ܲሺܺȁܤሻ ൈ �ܲሺܤሻ ൅ �ܲሺܺȁܥሻ ൈ �ܲሺܥሻ
Este é justamente o teorema da probabilidade total para o caso em que nossa partição tem três
eventos.
Substituindo os valores:
ܲሺܺሻ ൌ ?ǡ ? ൈ� ? 猃?൅ ?ǡ ? ൈ ? 猃?൅ ?ǡ ? ൈ � ? 猃?ൎ � ?ǡ 甃礃?
Outra forma de resolver é a que segue. Esperamos que, das 3 milhões de pessoas do grupo "A", 80%
entrem para o sistema previdenciário:
 ? ൈ � ?ǡ ? ൌ ?ǡ ?
Ou seja, esperamos que 2,4 milhões de pessoas do grupo "A" entrem para o sistema. Analogamente,
das 8 milhões de pessoas do grupo "B", esperamos que 50% entrem para o sistema previdenciário:
 ? ൈ � ?ǡ ? ൌ ?
Finalmente, das 8 milhões de pessoas do grupo "C", esperamos que 10% entrem para o sistema
previdenciário:
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
 ? ൈ� ?ǡ ? ൌ ?ǡ ?
Somando tudo, a quantidade de pessoas que devem entrar para o sistema é:
 ?ǡ ? ൅ ? ൅ ?ǡ ? ൌ ?ǡ ?
São 7,2 milhões de pessoas em um universo de 19 milhões. A probabilidade de escolher uma pessoa
aleatoriamente e ela entrar para o sistema previdenciário é:
 ?ǡ ? ൊ � 猃?ൎ � ?ǡ 甃礃?
No exemplo acima vimos a aplicação do teorema da Probabilidade Total para o caso em que partição
do espaço amostral era formada por três eventos.
E isso pode ser generalizado ainda mais.
Se tivéssemos "n" perfis diferentes: A1, A2, ..., An, e se o evento X (entrar para o sistema
previdenciário) pudesse ocorrer para pessoas de qualquer um destes perfis, a fórmula ficaria assim:
ܲሺܺሻ ൌ ܲሺܺȁܣଵሻ ൈ �ܲሺܣଵሻ ൅ ܲሺܺȁܣଶሻ ൈ �ܲሺܣଶሻ ൅ C?�൅ � ሺܲܺȁܣ௡ሻ ൈ �ܲሺܣ௡ሻ
�ሺ�ሻ ൌ ෍ ܲሺܺȁܣ௜ሻ௡௜ୀଵ ൈ �ሺܣ௜ሻ
Que é a generalização do teorema da probabilidade total quando a partição do espaço amostral tem
"n" eventos: A1, A2, ..., An.
Mas em provas de concursos geralmente a partição tem dois ou três eventos, no máximo.
Outro exemplo:
(Fundação Carlos Chagas)
Em uma repartição pública, três setores A, B e C são responsáveis pela análise de todos os processos
autuados, recebendo cada um o mesmo número de processos para analisar independentemente.
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
Pela complexidade de tais processos, sabe-se que em A, B e C, respectivamente, 6%, 4,5% e 1,5%
não são analisados dentro do tempo estipulado pela Administração. Escolhendo aleatoriamente um
processo entre todos autuados, a probabilidade dele ser analisado dentro do tempo estipulado é de
(A) 94,0%.
(B) 94,5%.
(C) 95,0%.
(D) 96,0%.
(E) 98,5%.
Resolução:
Vejam que a partição tem três eventos - a análise é feita por A, B ou C.
Podemos montar a seguinte tabela:
Setor Probabilidade de atraso Probabilidade de análise dentro do tempo
A 6% 94%
B 4,5% 95,5%
C 1,5% 98,5%
Sabemos que:
- há 1/3 de chance de um processo ser analisado em A. Quando isso ocorrer, há 94% de chance de
ser analisado dentro do tempo.
- há 1/3 de chance de o processo ser analisado em B. Quando isso ocorrer, há 95,5% de chance de
ser analisado dentro do tempo.
- há 1/3 de chance de o processo ser analisado em C. Quando isso ocorrer, há 98,5% de chance de
ser analisado dentro do tempo.
A probabilidade de ser analisado dentro do tempo fica:ܲ ൌ � ? ?ൈ ?ǡ 笃?൅ ? ?ൈ ?ǡ 笃眃?൅ ? ?ൈ ?ǡ 笃稃?�ܲ ൌ � ? ?ൈ ሺ ?ǡ 笃?൅ ?ǡ 笃眃?൅ ?ǡ 笃稃?ሻ ൌ � ? ?ൈ ?ǡ 稃?ൌ ?ǡ 笃?�
Gabarito: D
E, lembrando, você sempre pode optar por fazer o diagrama, em vez de aplicar a fórmula. Exemplo:
(Fundação Getúlio Vargas)
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
Um torneio será disputado por 4 tenistas (entre os quais A e B) de mesma habilidade, isto é, em
qualquer jogo entre dois dos quatro jogadores, ambos têm a mesma chance de ganhar. Na primeira
rodada, eles se enfrentarão em dois jogos, com adversários definidos por sorteio. Os vencedores
disputarão a final. A probabilidade de que o torneio termine com A derrotando B na final é:
(A) 1/2.
(B) 1/4.
(C) 1/6.
(D) 1/8.
(E) 1/12.
Resolução:
Indo direto para o diagrama:
A probabilidade de A iniciar jogando com C, vencer sua partida, enfrentar B na final e ganhar é dada
por: ? ?ൈ ? ?ൈ ? ?ൈ ? ?ൈൌ ? 球?
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
A probabilidade de A iniciar jogando com D, vencer sua partida, enfrentar B na final e ganhar é dada
por: ? ?ൈ ? ?ൈ ? ?ൈ ? ?ൈൌ ? 球?
Somando as duas probabilidades: ? 球?൅ ? 球?ൌ ? 猃?
Gabarito: E
Outro exemplo de questão em que podemos usar o diagrama:
(Esaf)
Uma caixa contém 3 moedas de um real e 2 moedas de cinquenta centavos. 2 moedas serão
retiradas dessa caixa ao acaso e obedecendo às condições: se a moeda retirada for de um real, então
ela será devolvida à caixa e, se for de cinquenta centavos, não será devolvida à caixa. Logo, a
probabilidade de pelo menos uma moeda ser de um real é igual a
a) 80%
b) 75%
c) 90%
d) 70%
e) 85%
Resolução:
Representando as probabilidades em um diagrama:
Na primeira extração temos 3 moedas de 1 real, num total de cinco moedas. Logo, a chance
correspondente é de 3/5.
Se há 3/5 de chance de extrairmos moeda de um real, há então 2/5 de chance de extrairmos moeda
de cinquenta centavos.Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
Se tivermos extraído uma moeda de 50 na primeira extração, então ela não é reposta. Sobrarão 4
moedas na caixa, sendo 3 de um real. Logo, a chance de moeda de um real nessa segunda extração
será de 3/4. A chance de moeda de cinquenta será 1/4.
Multiplicando as probabilidades ao longo de determinado caminho, temos a chance de determinado
resultado.
Abaixo destacamos os dois caminhos que nos interessam:
Chance de 1 real na primeira extração (caminho vermelho) ? ?
Se não conseguirmos a moeda de 1 real na primeira extração, ela pode ocorrer na segunda (caminho
laranja). A chance de isso ocorrer é: ? ?ൈ ? ?ൌ ? ? ?
Somando as duas probabilidades: ? ?൅ ? 猃? ? ൅ ? 猃? ? 猃?ൌ 笃爃?
Gabarito: C
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
7.1 ʹ RESUMO DO CAPÍTULO
�ሺ�ሻ ൌ ෍ ܲሺܺȁܣ௜ሻ௡௜ୀଵ ൈ �ሺܣ௜ሻ
Obs: A1, A2, ..., An formam uma partição do espaço amostral
8 ʹ TEOREMA DE BAYES
Neste tópico veremos que existe uma fórmula que serve para resolvermos alguns tipos de problema
de probabilidade.
Mas já adianto: para a maior parte das questões que caem em prova, dava para dispensar o teorema
e usar apenas a abordagem frequentista da probabilidade.
Então fica a seu critério: se preferir gravar a fórmula, grave. Se preferir ir de abordagem frequentista,
vá e seja feliz!
(Fundação Carlos Chagas)
Uma rede local de computadores é composta por um servidor e 2 clientes (A e B). Registros
anteriores indicam que, dos pedidos de certo tipo de processamento, cerca de 30% vêm de A e 70%
de B. Se o pedido não for feito de forma adequada, o processamento apresentará erro. Sabe-se que
2% dos pedidos feitos por A e 5% dos feitos por B apresentam erro. Selecionando um pedido ao
acaso, a probabilidade dele ser proveniente de A, sabendo que apresentou erro, é
(A) 5/41
(B) 6/41
(C) 3/5
(D) 2/35
(E) 1/35
Resolução.
Primeiro vamos resolver sem usar a fórmula do teorema de Bayes, para mostrar que, nas questões
usualmente cobradas em prova, a fórmula é desnecessária.
Vamos considerar que são feitos 1000 pedidos. 30% é proveniente de A e 70% é proveniente de B.
- 300 pedidos de A
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
- 700 pedidos de B
Dos pedidos de A, 2% apresentam erro. ?ǡ 爃?ൈ 甃爃?ൌ ?
6 pedidos de A apresentam erro.
Dos pedidos de B, 5% apresentam erro. ?ǡ 爃?ൈ 礃爃?ൌ 甃?
Com isso, os 1.000 pedidos são assim discriminados:
- 6 são de A e apresentam erro
- 294 são de A e não apresentam erro
- 35 são de B e não apresentam erro.
- 665 são de B e não apresentam erro
É dado que o pedido selecionado apresentou erro. Precisamos rever nossa lista de casos possíveis:
- 6 são de A e apresentam erro
- 294 são de A e não apresentam erro
- 35 são de B e não apresentam erro.
- 665 são de B e não apresentam erro
Queremos saber a probabilidade de o pedido ter vindo de A. São 6 casos favoráveis em 41 possíveis
(=35 + 6).
A probabilidade fica: ܲ ൌ � ? 瘃?
Gabarito: B
Agora vamos resolver de outra forma, para mostrar a fórmula correspondente ao teorema de Bayes.
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
^ĞũĂ à“�à? Ž ĞǀĞŶƚŽ ƋƵĞ ŽĐŽƌƌĞ ƋƵĂŶĚŽ ƐĞ ƐĞůĞĐŝŽŶĂ Ăleatoriamente um pedido e verifica-se que ele
provém do cliente A.
^ĞũĂ à“�à? Ž ĞǀĞŶƚŽ ĂŶĄůŽŐŽ ƉĂƌĂ Ž ĐůŝĞŶƚĞ �à?
^ĞũĂ à“�à? Ž ĞǀĞŶƚŽ ƋƵĞ ŽĐŽƌƌĞ ƋƵĂŶĚŽ Ž ƉĞĚŝĚŽ ĞƐĐŽůŚŝĚŽ ĂƉƌĞƐĞŶƚĂ ĞƌƌŽà?
Do enunciado, temos: ܲሺܣሻ ൌ ?ǡ ?
ܲሺܤሻ ൌ ?ǡ ?
ܲሺܧȁܣሻ ൌ ?ǡ 爃?
ܲሺܧȁܤሻ ൌ ?ǡ 爃?
A pergunta é: qual a probabilidade de o pedido ter vindo de A, dado que apresenta erro? Ou seja:
ܲሺܣȁܧሻ ൌǫ
Usando a fórmula da probabilidade condicional:
ܲሺܣȁܧሻ ൌ ܲሺܣ B? ܧሻܲሺܧሻ
Mas sabemos que: ܲሺܣ B? ܧሻ ൌ ܲሺܧȁܣሻ ൈ ܲሺܣሻ. Substituindo este resultado na equação acima:
ܲሺܣȁܧሻ ൌ ܲሺܧȁܣሻ ൈ ܲሺܣሻܲሺܧሻ
Do teorema da probabilidade total, sabemos que:
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
ܲሺܧሻ ൌ ܲሺܧȁܣሻ ൈ ܲሺܣሻ ൅ ܲሺܧȁܤሻ ൈ ܲሺܤሻ
Substituindo este resultado na equação acima:
ܲሺܣȁܧሻ ൌ ܲሺܧȁܣሻ ൈ ܲሺܣሻܲሺܧሻ
ܲሺܣȁܧሻ ൌ ܲሺܧȁܣሻ ൈ ܲሺܣሻܲሺܧȁܣሻ ൈ ܲሺܣሻ ൅ ܲሺܧȁܤሻ ൈ ܲሺܤሻ
Esta é a fórmula do teorema de Bayes.
Substituindo os valores:
ܲሺܣȁܧሻ ൌ ?ǡ 爃?ൈ ?ǡ ?� ?ǡ 爃?ൈ ?ǡ ? ൅ ?ǡ 爃?ൈ ?ǡ ?ൌ ? ? ൅ 甃?ൌ ? 瘃?
ZĞƐƵŵŝŶĚŽàP ĞdžŝƐƚĞ ƵŵĂ ĨſƌŵƵůĂ ƋƵĞ ƌĞƉƌĞƐĞŶƚĂ Ž ĐŚĂŵĂĚŽ à“ƚĞŽƌĞŵĂ ĚĞ �ĂLJĞƐà弃? WĂƌĂ ƌĞƐŽůǀĞƌŵŽƐ
grande parte das questões de concurso, a fórmula é desnecessária. Podemos ficar apenas com a
abordagem frequentista da probabilidade.
Mais um exemplo:
(Fundação Carlos Chagas)
Considere que 60% do total dos títulos que um investidor possui é do tipo X e o restante do tipo Y.
A probabilidade do título X apresentar uma taxa de retorno igual ou superior à taxa de inflação é
igual a 80% e do título Y igual a 50%. Selecionando ao acaso um título entre estes em poder do
investidor e verificando que a taxa de retorno apresentada foi inferior à taxa de inflação, a
probabilidade dele ser um título do tipo Y é igual a
(A) 37,5%
(B) 50,0%
(C) 56,5%
(D) 62,5%
(E) 65,0%
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
Resolução:
Suponha que são 100 títulos. Temos a seguinte distribuição:
- 60 títulos são do tipo X
- 40 títulos são do tipo Y.
80% dos títulos X têm retorno igual ou superior à inflação ?ǡ ? ൈ 砃?ൌ 瘃?
50% dos títulos Y têm retorno igual ou superior à inflação.
 ?ǡ ? ൈ 瘃?ൌ 球?
Ficamos com:
- 48 títulos do tipo X têm retorno igual ou superior à inflação
- 12 títulos do tipo X não têm retorno igual ou superior à inflação.
- 20 títulos do tipo Y têm retorno igual ou superior à inflação.
- 20 títulos do tipo Y não têm retorno igual ou superior à inflação.
Escolhe-se um título ao acaso. É dado que seu retorno é inferior à inflação. Nossos casos possíveis
ficam:
- 48 títulos do tipo X têm retorno igual ou superior à inflação
- 12 títulos do tipo X não têm retorno igual ou superior à inflação.
- 20 títulos do tipo Y têm retorno igual ou superior à inflação.
- 20 títulos do tipo Y não têm retorno igual ou superior à inflação.
São 32 casos possíveis.
Os casos favoráveis são aqueles em que o título é do tipo Y. São 20 casos favoráveis.
A probabilidade fica:
Vitor Menezes, Gustavo Menezes Santana
Aula 06
Estatística e Probabilidade p/ BANRISUL (Escriturário) Com Videoaulas - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
4
 
ܲ ൌ � 球? 甃?ൌ 砃?ǡ 眃?
Gabarito: D
A fórmula do Teorema de Bayes pode ser estendida para o caso em que temos mais de dois eventos.
Segue um exemplo:
(Fundação Carlos Chagas)
A caixa A tem 5 cartas numeradas de 1 a 5. A caixa B tem 8 cartas numeradas de 1 a 8. A caixa C tem
10 cartas numeradas de 1 a 10. Uma caixa é selecionada ao acaso e uma carta é retirada. Se o número
da carta é ímpar, a probabilidade de a carta selecionada ter vindo da caixa B é
a) 5/16
b) 7/32
c) 1/6
d) 5/32
e) 1/4
Vamos dar nomes aos eventos:
x A: a carta escolhida é da caixa "A"
x B: a carta escolhida é da caixa "B"
x C: a carta escolhida é da caixa "C"
x I: a carta escolhida é ímpar
Subentende-se que todas as caixas são equiprováveis:�ሺ�ሻ ൌ �ሺ�ሻ ൌ �ሺ�ሻ � ൌ � ? ?
A probabilidade de a carta ser ímpar, dado que foi escolhida a