Cálculo Diferencial E Integral (60)

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-A-
Questa˜o 1. Calcule as seguintes integrais:
a)
∫ 3
1
x+ 1
x2 − 2x+ 5
dx =
∫ 3
1
x+ 1
(x− 1)2 + 4
dx =
1
4
∫ 3
1
x+ 1
(x−1
2
)2 + 1
dx
(∗)
=
1
4
∫ 1
0
2 + 2u
u2 + 1
2du
(∗) x = 1 + 2u⇒ dx = 2du e x+ 1 = 2 + 2u
=
1
2
∫ 1
0
[
2
u2 + 1
+
2u
u2 + 1
]
du =
∫ 1
0
1
u2 + 1
du+
1
2
∫ 1
0
2u
u2 + 1
du = arctg(u)
∣∣∣∣
1
0
+
1
2
∫ 1
0
2u
u2 + 1
du
(∗∗)
=
(∗∗) v = u2 + 1 ⇒ dv = 2u du
= (arctg(1)− arctg(0)) +
1
2
∫ 2
1
1
v
dv =
pi
4
+
1
2
ln|v|
∣∣∣∣
2
1
=
pi
4
+
1
2
(ln|2| − ln|1|) =
pi
4
+
ln2
2
·
b)
∫
arctg(7x)
x3
dx
(∗)
= −
arctg(7x)
2x2
+
7
2
∫
1
x2(1 + 49x2)dx
= −
arctg(7x)
2x2
+
7
2
∫ [
A
x
+
B
x2
+
Cx+D
1 + 49x2
]
dx
(∗∗)
=
(∗)
u = arctg(7x) du = 7
1+49x2
dx
dv = 1
x3
dx v = − 1
2x2
(∗∗) A = 0 B = 1 C = 0 D = −49
= −
arctg(7x)
2x2
+
7
2
∫ [
1
x2
+
−49
1 + 49x2
]
dx
(∗∗∗)
= −
arctg(7x)
2x2
−
7
2x
+
7
2
∫
−7
1 + u2
du
(∗ ∗ ∗) u = 7x du = 7 dx
= −
arctg(7x)
2x2
−
7
2x
−
49
2
arctg(u) + k = −
arctg(7x)
2x2
−
7
2x
−
49
2
arctg(7x) + k.
-A-
Questa˜o 2.
a) Esboce o gra´fico de f(x) = (x2 + 2) e−x
2
Df = R e f e´ cont´ınua ⇒ na˜o existem ass´ıntotas verticais.
f ′(x) = (−2x3 − 2x)e−x
2
= −2x(x2 + 1)e−x
2
⇒ x = 0 e´ o u´nico ponto cr´ıtico de f .
f ′′(x) = (4x4 − 2x2 − 2)e−x
2
= 0 ⇒ x2 = 1 ⇒ x = −1 ou x = 1.
ր ց f
+ | − f ′
0
∪ ∩ ∪ f
+ | − | + f ′′
−1 1
⇒ x = −1 e x = 1 sa˜o pontos de inflexa˜o.
lim
x→−∞
f(x) = lim
x→+∞
f(x) = 0 ⇒ y = 0 e´ uma ass´ıntota horizontal ⇒ 6∃ ass´ıntotas obl´ıquas.
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−2
−1
1
2
x
y
b) Para que valores de k a curva y =
√
ln(x2 + 2)− ln(k) corta a reta y = x?
Se x e´ um ponto de intersecc¸a˜o das duas curvas, temos:
x=
√
ln(x2+2)− ln(k)⇒ x2 = ln(x2+2)−ln(k)⇒ x2 = ln(x
2+2
k
)⇒ ex
2
= x
2+2
k
⇒ k = (x2+2) e−x
2 .
Ou seja, 0 < k ≤ (c2 + 2) e−c
2
, onde c e´ o ponto de ma´ximo de (x2 + 2) e−x
2
= f(x).
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−2
−1
1
2
x
y
y=k 
Pelo item (a) temos que c = 0, portanto 0 < k ≤ f(0) = 2.
-A-
(2,0) Questão 3. Um edifício com base retangular de 2000m2 deve ser construído num lote com
lados paralelos ao do edifício, sendo exigido recuos de óm na frente e no fundo, e recuos de 4rn nas
laterais. Ache as dinwnsões do lotc~ com mcnor r1rca onde esse edifício pod(~ ser constrnído.
X'Q ~~~ dw~di5
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A~ (X+IO)(ÔtO) = (x+/o).(:k;O +8)
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Questão 4. Seja F(x:)
= 1 ;yX sen(l'2)dt.o
(1,0) a) Calcule F'(l:) para x =f. O.
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