MANUAL DE FÓRMULAS

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Análise Vetorial A, 
Funções racionais B, 
Transformadas de funções C, 
Equações diferenciais D, 
Análise estatística E' 
Matemática financiera F' 
Teoria de equações G' 
Elementos de máquinas O, 
Análise de esforços P, 
Maquinaria e elementos Q, 
Manufatura e processos R, 
Sistemas elétricos S, 
Radiações T' 
Engenharia de controle U, 
Tabelas z· 
Manual de 
Fórmulas Técnicas 2 
APLICAÇÕES AVANÇADAS 
de K. + R. Gieck 
2005 
ygo 
Edição conjunta 
(Parte 2) 
Boolü5J 
Ba;r,;u· 
Tradução: 
Eng. Guillermo Ruperto Martín Cortés 
Dra. Beatriz Potts Torres 
Revisão: 
Patrizia Zagni 
Equipe técnica Hemus 
Título do original alemão: 
TECHNISCHE FORMELSAMMLUNG (3'o• edição) 
© Copyright 1995, 2005 by GIECK Verlag GmbH, 
D-8211 O Germering - Germany 
ISBN 3 920379 21 7 (30" German Edition) 
© Copyright 2005 by Books Bazar/Hemus 
No total de 79 edições 
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Prefácio 
Esta obra contém as mais importantes fórmulas matemáticas 
e técnicas, em apresentação clara, concisa e ordenada. Nela, 
o engenheiro encontrará rapidamente as fórmulas fundamen-
tais de sua especialidade e saberá utilizar aquelas que lhe são 
menos familiares, graças às explicações sucintas. 
Cada assunto é designado por uma letra maiúscula, conforme 
a lista no frontispício do livro. A seqüência das páginas que tra-
ta de um mesmo assunto é indicada por um respectivo número 
acompanhado da letra característica. A numeração das fórmu-
las é contínua para um mesmo assunto e representada pela 
letra minúscula correspondente, o que facilita a localização 
das fórmulas utilizadas nos cálculos. 
Prefácio da nova edição (Parte 2) 
Em Aplicações avançadas foram incluídos os temas: 
Teoria de equações; 
Elementos de máquinas; 
Engenharia de controle. 
Esses novos tópicos contêm conceitos e fórmulas fundamen-
tais, assim como exemplos de suas aplicações. Em especial, 
complementa-se o tema de Álgebra com conceitos fundamen-
tais da Álgebra superior. A nova seção de Elementos de má-
quinas inclui conteúdos relacionados a projetos de engrena-
gens e a seção Engenharia de controle apresenta elementos 
conceituais e algoritmos necessários para a análise de um sis-
tema. 
Agradecemos aos professores M. Otto e H. W. Z immer, que co-
laboraram na atualização e elaboração desta obra. 
K. Gieck 
R. Gieck 
a7 
Análise vetorial 
Magnitude, direção e componentes de vetores 
Vetor: representação de uma quantidade física com magnitude e direção 
Coordenadas do ponto inicial A do vetor ã : x1, y1, z1 
Coordenadas do ponto final 8 do vetor ã: x2 , y2 , z2 
Vetores unitários sobre os eixos OX, OY, OZ: 7, f, k 
Componentes escalares 
By= y,-y, 
Bz = Z2- Z 1 
_, 
k I Componentes vetoriais : /C..C---"---'--'---'~'--""""' 
·-110Y 
~ -
1
1 /ttox -J. a = ax + a1 + Bz 
B = a, l+ a
1
j +a, k ,~ - __ .!""_=-..:.=-...:1;·-·--Y 
i if;ax 
/ 
,l"x 
17 1 1}1 = l'kl 
Magnitude de um vetor: lã I (ou seja, a) 
(lã I sempre ;e O) 
Co-senos diretores de um vetor: cosa, cos {3, cos Y 
a, {3, r são os ãngulos entre um vetor ã e os eixos OX, OY e 
OZ (a, {3, y = 0° ... 180°}. 
c os p = .!!L . Jãi' 
Bz cos r = 
181 cosa = l~l; 
com cos2 a + c os• P + c os• r = 
Cálculo das componentes. Se forem conhecidas I ã I. a . {3, Y 
a'10 a, = lãl·cos a ; a1 = la l·cos P ; a , = fãlcos r 
Observação: Operações vetoriais como a determinação de magnitudes, 
co-senos diretores, somas e produtos finalizam-se com as componentes 
dos vetores pelos eixos OX, OY e OZ. 
Análise vetorial 
Adição e subtração de vetores 
Soma vetorial s de dois vetores livres ã e 5 
-s 
- -a"11 s = a+ b = Sx · i + s1 ·i + s,·k 
-- - - - - -..if;l7 
. .,... ..... I 
a"12 s, =a,+ b, s1 = a1 + by Sz = a, + b, 
_.. _.. I 
_... I 
I 
I 
a"13 ls l = Vs; + s/+ s/ 
Diferença vetorial s de dois vetores livres ã e 5 8 ~ 
a"14 
a·15 
a"16 
a"17 
a"18 
s = 
S,~; = Bx- bx ; Sy = By - by; Sz = 
I s i= Vs,/ +s/+ s/ 
Valores 
importantes 
151 para 
2 vetores 
rp 
iãhlíil 
I;J=Ib"l 
0°: 360° 
lã"Híi/ 
21;1 
-1>. P-..._ ___ _.a.., 
' 
Bz- bz ' I 
' I 
', ---,' 
-b --- ~---~~,' 
90° 180° 270° 
V1ã1, .. 1;1, 1-;J -lb"/ V!BI2+ibl2 ' 
/;;'"/V2 o la/V2~ 
Soma vetorial s de vetores livres ã, íi, - c etc.: 
~ - - - -a"19 S =a +b -c + .. . =Sx· i+Sy-)+s,·k. 
a"20 S,x=ax+bx-C,r+ . . . ; Sy =By+by-Cy+ ... Sz = a.z + bz- c z + ... · 
a"21 I si = Vs; +s/+ si 
a"22 
a·23 
Produto de um escalar por um vetor 
Escalar: Magnitude física sem direção. 
O produto do escalar k com o vetor â dá o vetor ê. 
c = I<.· a (I< ? O) < 
Cx = k ·a,.. i c,.= k . 8y; Cz = k · 4z c = /(·lãl 
-Se k > O, então c lT ã, pelo que c 
k > O, então c H â, pelo que 
(c ~ o ~ 
â 
Exemplo: Força = massa x aceleração F = m· a 
a'24 m > O; F;;'tt;; F;= m ·;; F, m· a 
") O símbolo 1! significa que os vetores (- b) e b são paralelos e de sentido 
contrário. 
a'25 
a'26 
a'27 
a'28 
Análise vetorial 
Produtos de dois vetores livres 
O produto escalar de dois vetores livres ã e õ dá o escalar k. 
Símbolo do produto escalar: ponto " · " 
Exemplo: Trabalho W de uma força F 
no deslocamento s. 
a '29 W = força x deslocamento F· -; 
a'30 W = F s cos 'P (W ~ O;F,s s O) 
a'31 
a'32 
a'33 
a'34 
a'35 
O produto vetorial de dois vetores livres ã e lJ dá o vetor c. 
_:;imb~lo ~o pro~to-vetorial: cruz '_"x" ê~· o0 ••• 180° b 
c = a x b = -( b • a) 
ICJ= a b sen'P = 1-;;""jl"bl sen ;p (c ~ O) • _ 
cj_a y ;-j_b" . · .., a 
-a , b , c formam uma triade direita 
c, = a, b, - a, by 
c, = a, b, - a, b, 
Cz = a, by - ay b, 
'P >180° ... < 360° -
a 
a'36 1-;-1 = Vc} + cj + Cz2 ' 
~~ ~ 
impor- l-:--:c-:--::----+----+--:-=~::;;-ll----+--:-:=--=-
a·37 lantes -1-;1-l"bl 
a'38 
a'39 
Exemplo: Momento M de uma força F 
referente a um ponlo O: 
/t " Raio velor X 
1f = r F· sen rp (lf f O; r, F ? 
Linha de ação 
> ..... 
b'1 
b'2 
b'3 
b'4 
Funções racionais 
Função de frações racionais. Decomposição 
Função de frações racionais 
(.r) _ P(x) _ a.+a,x+a 1 x1 + ... +a..,x"' n>m 
!/ - Q(rT - b o + b, X + b1 .xl + ... + bn r" n e m in teirOS 
Os coeficientes a,. e b, podem ser reais ou complexos. Se n, são as raizes 
de Q(x), obtém-se a forma fatorial: 
P(x) P(x) 
y(x) = QTXT" a(x-n,)"·(x-n1 )" ... (.r-n,)•• 
Nesta expressão podem se apresentar raízes de multiplicidade k,, I<,, ... k,, 
de Q(x), as quais podem ser reais ou complexas; a é um fator constante. 
Decomposição em frações parciais 
Para lograr uma manipulação mais simples de y(x)- por exemplo, para 
sua integração- é conveniente decompor y(x) em frações parciais: 
( ) P(x) A11 A12 A,., Y x = Q\xT = x-n, + ~ +. · ,+ {x-n,)" + 
... ~ ... 
x-n2 
A11 A,.l 
( x-nz)' + · • · + ( x-nr)' 1 + · · · + 
A,, Aql A, •• 
+ x-n, + (x-nq}l +. · .+ (x-nq) 11q 
Se os coeficientes de Q(x) são reais. aparecem raízes complexas por 
pares (raízes complexas conjugadas). Para efetuar a decomposição 
agrupam-se esses pares em frações parciais reais. Se em b'1, n, = n, 
(complexa conjugada de n,) e em virtude de sua aparição por pares k, = k, 
= k, então as frações parciais de b'2 com as constantes A, ... A,., podem 
agrupar-se nas seguintes frações parciais: 
8" x + c., 81 2 .x + cfZ 8 ,, .r+ c,. 
x1 +ax+b + (x'+ax+b)' + + (.rl+a.x+b)' 
As constantes A, .... A.. .. 8, ... 8 ,. e C, ... C,. determinam-se igualando os 
coeficientes de igual põlência em X em ambos os membros da equacrão, 
depois de que na parte direita, decomposta esta em frações parc1ais, 
toma-se o comum denominador Q(x). 
Exemplo: 
(x)= 2x -1 = 2r-1= 8 11 x+C11 +~+~ 11 (X+1-2iJ(X+1+2iHX+lF Q(rJ .x1+2X+5 X+l l-<+11' 
2.r-1 8".r(x+1)1 +C11 ( x+l)I+A,, ( .r+l) (.x'+2X+5)+A92(.r1+2X+5) QTXT- Q{x) 
2x-1= (A ,,+ 8 11 )x3 + (3A, , + A01 + 2811 + C").r1 + 
+ (7 A,,+ 2A,z + 811 + 2C")r + 5A, , + 5A,, +C" 
Ao igualar os coeficientes das partes esquerda e direita obtêm-se: 
811 = -1/2; C,. = 1/4; A9 , = 1/2; A 0 , = -3/4. 
Quando se têm raizes simples n,, as constantes A,,. A,,. ... , A., da equação 
b'2 podem calcular -se como segue: 
A"= P(n,)/Q'(n 1); A1, = P( n1 )/Q'(n1); ••• A,= P(n, )IQ'(n, ) 
Transformadas de funções 
Transformada de Fourier 
Generalidades 
Com a transformada de Fourier F{s{t)} chega-se, com a ajuda da integral 
de Fourier, a um desenvolvimento da função tempo s(t) num espectro 
continuo (densidade espectral) S(w), na qual a freqüência corresponde á 
densidade do espectro; s(t) deve ter as seguintes propriedades: 
a) ser divisível num número finito de intervalos nos quais s(t) seja 
contínua e monótona; 
b) possuir valores definidos nas descontinuidades s(t +O) e s(t- O) de 
modo que possa expressar-se 
c"1 s(t) • 'h(s(t + O) + s(t) + OJJ 
c·2 c) ser tal que _}ls(LJI dtconvirja. 
-a transformada inversa F'[S(m)) conduz à função tempo. 
Definições 
+00 
-iwr 
=F c·s F{s(t)} S(w) = js( t) e . dt; i 
-co 
. .., 
,.,, 
c·4 F-'{s(w)} = s( t) =....!...Js(w)e . dw; i =F 2Jt-
+00 +<X> 
c·s Energia} Jls(t)J' · dt = 21" Jls(wll ' ·dw 
espectral 
-O> -00 
Regras de operação 
c·6 Deslocamento em tempo F{ s( t -r)} = S(w) ·e- ;.,T; i = F 
.oo 
c7 Convolução s,( t) "s,( t) = f s,(r) · s,( t -r)· dr 
c·g 
c·1o 
c·11 
c·12 
F{s1(t) * s2 (t)} 
F { s( t l} 
F{s(at)) 
F { s 1( t) + s,( t)} 
+00 
= Js2 (r )·s 1(t -r) ·dr 
- oo 
= S,(w) ·52 (w) 
= S(w) 
=~ S(~) sempre que a> O 
St(w) + s,(w) 
(continua em C'2) 
c'13 
c'14 
c'15 
c'16 
Transformadas de funç.ões 
Transformada de Fourier 
(continuação de C'1) 
Em seguida, indicam-se as densidades espectrais calculadas para 
algumas importantes funções de tempo. 
1 00 • 
s(t} =-JS(w}·e·w• · dw 
2K_co 
Função tempo s(t) 
Função retângulo A · R, (t) 
r-r---+f-' (-t )-"i A fll tJ ~t I _ (. 
. r r 
Função impulso de Dirac Aõ(t) 
~' A6 (ti 
Função retân-, A ·R1 1 ( t-T/2 l-guio com tro- 1 
cade sinal -A ·R111 ( t•T/2) 
511) 
00 
S(w} = Js(t) ·e·••t · dt 
-oo 
Densidade espectral S(ro) 
2 A 1'· sen (wT)I(wT) 
Sfw) 
S(w) 
S(w) = A 
(Densidade espectral 
constante sobre ro) 
w 
sen (wT) S(w) = 4AT-c o s( 2wT )-w-1'--
AR...,· (w) 
S(w) ( 
Função) 
retângulo 
}n W 
61~-
(coniin'ua em C'3) 
c'1B 
c'19 
c'20 
c'21 
c '22 
c '23 
c'24 
c '25 
c'26 
c'27 
c'28 
Transformadas de funções C'3 Transformada de Fourier 
(continuação de C'2) 
Função tempo s(t) Densidade espectral S(w) 
Função triãngulo A · O, (t) ( ) _ ( sen ( Tw/2) r T 
·1$ SwL .. 
: 21< 2tr .. , w - T r 
-T-T T T 
Retãngulo modulado 2~ 2" 
AR1 (t) cos(w.t) w0 =r.=~ A- sen T(w + w0 ) V\~ff\ 7 ~''!.1' ...... /v(R,,,J S(w) = + W + W0 A sen T(w - w0 ) 
-T vv~ 1 ( .. . W- "'o 
Impulso de Gauss s(tJ -altl 
~[/ ~ A e • .,z A -S(w) = -a·Jiil·e ••' 
( 
) 2/[ lmP"IW~o•-y 
S(w ) = ~- cos({w) 
" l-u>r 
-\ ~ I 
-
I I 2 2 '( ) 2" sen{w{) m'"''~•'>' A T srt J S(w) = 4' 
( w-f) 
X 
";, 
X 
1 
~ 
_ ''t.. r1,_ t 1-1'67 
Impulso s (I) 
exponencial ~r K S(w) = ___ A_ J w +a 
ç'29 
t;'30 
c '31 
c'32 
c'33 
c'34 
c'35 
c'36 
c'37 
c'38 
c'39 
c'40 
c'41 
Transformadas de funções 
Transformada de Laplace 
Generalidades: Com a transformada de Laplace L {tm) se representa 
{ou transforma) a função f(t}, com a ajuda da integral 
"' f'(p) = J f( t) · e-pt ·dt 
o 
em uma função imagem; f(~ deve ser nula para t < O e para t 2! O deve 
estar totalmente definida; e é um fator de amortecimento que faz com 
que a integral convirja para um grande número de funções do tempo. 
Tem-se que p = cr + tül (cr 2! O) é uma variável complexa de operações. 
Neste domínio da imagem podem-se resolver equações diferenciais e 
analisar processos não periódicos (por exemplo, vibrações). O com-
portamento da função tempo se obtém por meio da transformada 
inversa (vide tabela em C'6). 
Definições v,.;, 
L {f (I)} = f'(P) ~Ji<tl e-ptdt I L -'{f'(p)} = f(t) = 2!~J:(P) eP'·dp 
Representação abreviada: Representação abreviada: 
f(t) f'(p) f'(p) f(t) 
Regras de operação 
Linearidade L{ft( t) + /z( t)} Ft (p) + F,(p) 
L{c·f1(tl} c·f', (p) 
Teorema de L{!( t-al} e -•P · F(p) translação 
Teorema de 
' 
convolução ft( t) *f,( t) = Jft(t-r)·f,(r)·dr 
' = J f, (r) ·f,( t- r) ·<'r 
o 
f,(t) *f,( t) <>----41 F, (p) · F,(p) 
Troca de L{~ f(~)} f'(a·p) variável 
Diferenciação L{!'( t )} p · F(p)- f( o•) 
L (f"( t ) } p2·F(p)- P·f(O•)- f'( O•) 
L{f~(t)} ·-· p~·F(p)-L flkl(o•)po-k-1 
.. , 
Integração LL/f(t)·dt} = J._ F(p) p 
c'42 
c'43 
Transformadas de funções 
Transformada de Laplace 
Emprego da transformada de Laplace para a resolução de equações 
diferenciais 
Ersq!!_e~a s!._e ~e!_aÇ!O _ , r _ _ _ _ _ _ 
Domínio de t Operação Domínio de p 
1 de cálculo 
Vide regras 
de derivação 
Transformada 
inversa segundo C'6 
Eqs. ords. para Y(p) 
Solução das eqs. 
'-=,.co=:r;:cds=:. ~se~g~uc..:nd:;:o;..c:Y~~p<.,) =--!:.~ 
O problema de resolver as equações diferenciais se reduz a encontrar 
c'44 uma transformada inversa; esta operação se simplifica expressando 
Y(p) em frações parciais (vide B'1) ou em funções cujas transformadas 
inversas ao domínio do tempo possam se encontrar já organizadas em 
tabelas (vide tabela em C'6). 
c·4s 
Exemplo: 2y' + y = f( t); f( t) é a função de excitação I y (O') = 2, é a condição inicial 
~~c:~~ } 2p·Y(p)-2y(O+)+Y(p) = P(p) g. ~·43 ( )~ Y( ) = P(p)+2y(O') = 1/p+2y(O') 
U) y t p 1 + 2p 1 + 2p 
Sendo f(t) ~ F(p), obtêm-se diferentes soluções para 
y(t). (Suponhamos que f(t) seja a função escalão. Segundo C'SO será, 
então, F{p)= 1/p.) 
, } 1 2y(O') 1 2 2y(O') 
SegundoB1 Y(p)=p( 1+2 p)+ 1+2 p=p- 1+2 p+ 1+2p I 1 - ~ 1 -Y, -~, 
esegundo C'6 y(t)=1-2;;e +2·22e =1 +e 
Aplicação do teorema de convolução da transformada de 
Laplace a redes lineares 
Uma função de excitação f,{t) se transforma por meio de uma rede em 
uma resposta y(t). A rede se caracteriza pela função de transferência F, 
(p); F, (p) tem a transformada inversa f, (t). 
Domínio de t Domínio de p 
f, ( t tr-:::::::-1 y ( t l ~ 
F',(p)~~ Y(p~ 
~ 
c'46 y(t) = f 1 (t)*f•(t).,______.Y(p) = F',( p) · P,(p) 
A resposta y(t). para uma rede dada, depende de f,(t); pode-se calcular 
y(t) segundo o esquema depois de obter Y{p). A transformada inversa 
no domínio de t pode ser obtida em forma fechada se F,(p) está dada 
como função racional de p e a transformada F,(p) pode ser obtida da 
tabela em C'6. 
c '54 
c'55 
c'56 
c'57 
c·sa 
c '59 
c '60 
c'61 
c'62 
c '63 
c'64 
c'65 
c '66 
c'67 
c '68 
c'69 
c'70 
c'71 
c'72 
c'73 
c'74/ 
c'75 
Transformadas de funções 
Transformada de Laplace 
Tabela de correspondência 
QO -pl 
F(p) =J f(t)·e ·dr; 
o 
C0 • ioo 
[{r)= 2~i JF(p)·eP'·dp 
C0 - ico 
con p = i w = i 2 1r f; 
Função imag. Função tempo Função imagem Função tempo 
Flp! /111 ,..lpl /UI 
1 ó ( t) ~ Dirac rl 1 sen(l<t) .. (p2 + 1<2)2 21< lo o 1/p 1 para t >O 'l:l. ~ t c o s ( I<. r) c o +2 Oparar<Dtt gj 
rl c os (l<.r) 
-1 /p2 t (/ + ~<'>' 
_!5., t · sen (I< r ) 
1 l p" 
tl') - 1 2 
(,..- 1)! 1para b * a: 
1 l (p- a) e xp( ar) (p- a )(p-b) eb• _ ear 
b a 
1 /( p- a )2 t exp(at) 1 1 
-·· sen (I<. r) (p+ a )2 .. 1<2 ke 
a 
exp(ar)-1 1 p(p- a) 
'(fi' y;r7 
__ 1 __ 1 
2 vr Te xp(-t / T) 1 1 +r. p Pfp 
a 
senh(at) '{ji' -1 1 ( 2 YJ[ . t l,,) p'- a' 
p PyP 3/( 4YJ' ·t'11) 
"'iT7 c os h ( a r ) ln P + b 1 ( _,, -b') 
p+ a t e -e 
_I<_ 
sen (l<t ) ta n- • ( a l p) 1 / r · sen (a t) p2 + /<.2 
p 
c os (!<. t) para a >O : 
-•' ~ e - • I'P _ a __ -;:r 
1 1 
2 ty;;T e 
(p2 + 1<.2)2 ""20 sen ( !<. t )- para a~O : 
1 1 - •rP a 
- 2 1<2 t c os(/<.r) 
- e e r fc 2 YT p 
p 1 I {Função 
(/ .. l<'l' U sen (I<. r) ~ Jo (l<t) de Bessel 
Equações diferenciais 
Conceitos gerais 
Conceito de equação diferencial (ED) 
ED é uma equação que contém funções, derivadas (ou diferenciais) 
dessas funções e ademais variáveis independentes. Tem de se d istinguir 
entre: 
Equações diferenciais ordinárias (EDO), nas quais as funções pro-
curadas dependem somente de uma variável independente. Por exemplo: 
d'1 y" + 2x2y ~ sen x y =[!.r) 
d'2 
Equações diferenciais parciais (EDP), nas quais as funções procu-
radas dependem de diversas variáveis independentes. Por exemplo: 
~ = x2·v·w~ . õx 
õu·õv ou õv 
x = f(u, v, w) 
As EDP não se expõem aqui de forma separada, já que os métodos das 
EDO podem se aplicar nelas. 
Equações diferenciais ordinárias 
d'3 Forma: F (x, y(x), y'(x), ... ylnJ(xJ) = O. 
Nesta expressão, y(x) é a função procurada; y· .. . /"'são as primeiras e 
sucessivas deriyadas alé de ordem n, com x como variável indepen-
dente. 
d'4 Exemplo:y"'(x) + m(x)·y'(x) + n(x)yl(x) + p(x)y = q(x). 
d'5 Ordem: é aquilo da derivada de maior ordem que aparece na ED. No 
exemplo anterior, a ordem da ED é 3. 
d '6 Grau: é o expoente da derivada de maior ordem que aparece na equação 
ao expressar esta na forma de polinômio, ou seja, ao racionalizá-la. 
d7 ED linear (EDL): é uma ED na qual as funções desconhecidas e suas 
derivadas aparecem somente elevadas à primeira potência; a ED linear é 
sempre de primeiro grau. 
d ·a ED homogênea: nesta, a função forçante ou de perturbação q{x)é igual a O, 
isto é, q(x)= O. 
d'9 EDnãohomogênea: nesta, q(.r),.O. 
d '1 O Solução: é uma função y = y(x) que com suas derivadas satisfaz de maneira 
semelhante a ED. 
A integração de uma equação dilerencial é o processo de encontrar 
soluções. 
Integral geral de uma ED é o conjunto total de suas soluções. As integrais 
gerais de uma ED de ordem n contêm n constantes arbitrárias:.C,, C,, ... , 
c •. Tais constantes adquirem valores definidos quando se especificam as 
condições iniciais y(xJ= r~· ... 
d'11 y'(x0 ) c y'0 .• • y(n- 1) (X o) • y!n- 1). 
A integral particular de uma equação diferencial é uma solução especilica 
da equação. 
Equações diferenciais 
Equações diferenciais lineares 
Métodos para resolver uma ED 
1. Transformando e ordenando a equação de maneira que possa iden-
tificar-se com um certo tipo de equação para o qual existam soluções 
(vide 0'6, 0'8 a 0 '12). 
2. Emprego de uma substituição especial (vide 0'8). 
Efetuando tal substituição, a EO com freqüência pode reduzir-se a uma 
de menor ordem ou grau para a qual exista uma solução conhecida (vide 
0'9a0'12). 
3. Emprego do método dos operadores, em especial da transformada de 
Laplace (vide C'4 a C'6). 
Equações diferenciais lineares (EDL) 
d'12 Forma: Nesta equação, y = y(x) é a função procurada; y' ... y" são a 
primeira e sucessivas derivadas até a de ordem n de y(x): p ,(x) 
p.(x) sã? funções de x. 
d'13 
d'14 
Solução geral da EOL não homogênea 
Solução da ED homogênea: y,...,. 
A y ...... se obtém resolvendo a ED não homogênea na qual q(x) = 
O. Toda ED linear homogênea de ordem n tem n soluções 
independentes y,. y, , ... , y, com n constantes arbitrarias 
independentes C,_ ... C,. 
(Em 0'9 a 0'12 há as soluções de algumas equações 
diferenciais de primeira e segunda ordens). 
Solução particular da ED não homogênea: y,., 
A Y~v• se obtém para q(x) *O. 
Em 0 '3, 0'6 e 0'7, indicam-se procedimentos para encontrar 
essas soluções; em 0'9 e 0'12, há algumas soluções para a 
Y~v• de E Os lineares de primeira e segunda ordens. 
Equações diferenciais 
Equações diferenciais lineares 
Métodos para resolver uma ED 
1 . Transformando e ordenando a equação de maneira que possa iden· 
tificar-se com um certo tipo de equação para o qual existam soluções 
(vide 0'6, 0'8a 0'12). 
2. Emprego de uma substituição especial (vide 0'8). 
Efetuando tal substituição, a ED com freqüência pode reduzir-se a uma 
de menor ordem ou grau para a qual exista uma solução conhecida (vide 
0'9a 0'12). 
3. Emprego do método dos operadores, em especial da transformada de 
Laplace (vide C'4 a C'6). 
Equações diferenciais lineares (EDL) 
d'12 Forma: Nesta equação, y = y(x) é a função procurada; y' ... y" são a 
primeira e sucessivas derivadas até a de ordem n de y(x): p,(x). 
p.(x) sã? funções de x. 
d'13 
d'14 
Solução geral da EOL não homogênea 
Y = Yhom + Ypan 
Solução da ED homogênea: y ... ". 
Ay ...... seobtém resotvendoa ED não homogênea na qual q(x)= 
O. Toda ED linear homogênea de ordem n tem n soluções 
independentes y,. y,, ... , y" com n constantes arbitrárias 
independenles c ..... c". 
(Em 0'9 a 0'12 há as soluções de algumas equações 
diferenciais de primeira e segunda ordens). 
Solução particular da ED não homogênea: y,..., 
Ay,..,se obtém para q(x) *O. 
Em 0'3, 0'6 e 0'7, indicam-se procedimentos para encontrar 
essas soluções; em 0'9 e 0'12, há algumas soluções para a 
r- de EDs lineares de primeira e segunda ordens. 
d'15 
d'16 
d'17 
d'18 
d'19 
d'20 
d'21 
d'22 
d'23 
d'25 
d'27 
Equações diferenciais 
Equações diferenciais lineares 
Solução particular 
Obtenção com o método da variação de parâmetros 
Se é conhecida y"""' de uma EDL de ordem n (vide 0'2, 0'6), a seguinte 
substituição conduz sempre a uma solução particular: 
Ypart = Cdx)·y, + Cz(X)·yz + ... + Cn(x)·Yn· 
Método para a determinação de C,(x), C,(x), .. . C,(x): 
Forme-se o sistema de equações simultâneas: 
Cí(x)-y1 + Cí(x)·Y2 + ... + C~(x)·Yn = O 
Cí(X)·y1 + Cí(x)·y2 + ... + C~(x)-y~ =O 
Cí(X)·y1!"-2} + Cí(x)·yz!n-2} + ... + C~(X)·yn(n-2) = 0 
Cí(X)·y1!n-l) + Cí(x)·yz!n-1} + ... + C~(x) ·y/n-1) = q(x) 
Determinem-se ás C,'{.r) para i = 1, 2, ... n do sistema anterior de 
equações simultâneas. 
Integrem-se as C,'(x) para i= 1, 2, ... na fim de obter as C,'{.r) da 
substituição feita para y. 
Exemplo: Çncontrar a y,.,da ED: 
y" + 2. y' = 2x. 
X 
Segundod'111 Yhom = Jc,a-fi·dx .dx +C2 = C1 ·1nlxi+C2 
= C1 · ydx) + C2 · y2(x) 
onde y 1(xj = lnlxl e y2(x) = I 
Substituição Ypart = Cdx)·y1 + Cz(X)·yz 
Sistema de equações { Cí(xJ·Inlxl + Cí(x) · 1 = O 
simultâneas indicado em d'16 q(xJ·} + Cí(x) . o = 2x 
Resolvendo o sistema, obtém-seq(x) = 2x2; q(x) = -2x2·1nlxl 
lntegrando:Cí(x) e Cí(x) 
C!fx) = íx'; C2(x) = - jx3 (tnlxl - t J 
A solução procurada 2 é então: Ypart = 3xJ ·lnlxl - ~xJ (lnlxl - -})·I = ~xJ 
Solução geral: 
Y = Yhom + Ypart = C,· lnlxl + C2 + ~xl, 
Comprovação: y' = c, + ~xz y" = _ c, + ~ x 
x 3 xz 3 
y" +.i_ - 9_ +~X+· 9_ +~X= 2x 
x x2 3 x1 3 
Equações diferenciais 
Equações diferenciais lineares 
Equação diferencial linear de primeira ordem 
d'28 Forma: y' + p(x)y = q(x). 
d'29 
d'30 
d '31 
d'32 
d'33 
d'34 
d'35 
d'36 
d '37 
A forma corresponde à dada em 0'2, d'12 para n = 1; a derivada de 
maior ordem que aparece é y. Em 0'2 e 0'9, há soluções para y, y,..,, 
y""'. 
Exemplo: y' + f = sen x- Y = Yhom + Ypart 
1 Segundo d'1 00, p(x) = x q(x) = sen x. 
Segundo d'99, a solução homogênea é : 
-Jl dz - \nlz\ C 
Yhom = C!'e z = Cl'e =i com C1 zO. 
Segundo d'1 00, a solução particul;u se calculacom a expressão: 
f Jldx -Jldz Yparr sen x·e z ·dx ·e • 
f ( senx·e'"lz') dx·e- lnlzl = f ( senx • x)ctx·t 
= .!.senx- cos x 
X 
1 
Y = Yhom + Yparr = :x(C, + sen x) - cos X. 
Comprovação: y' _ f!. + x cos x2- sen x + sen x x2 x 
então 
y' +f sen x 
c1 ~ O; C1 adquire um valor definido, se, por exemplo, < 
:n: y(xJ = 1 para X 0 = 2 
l 1t :n: 1 = 7!12 (C1 +sen 2)- cos 2. 
" pelo que C1 = I- l. 
Equação diferencial linear de segunda ordem 
d'38 Forma: y" + pdx)·y'+p2(x) ·y = q(x) 
A forma corresponde à dada em 0'2, d'12 para n = 2; a maior derivada 
que aparece é y·. Em 0'11 e d'12, há as soluções para y, y_ . y.,.,. 
Equações diferenciais 
Equações diferenciais lineares 
Equação diferencial linear de segunda ordem com 
coeficientes constantes 
Em virtude da grande importância que tem este tipo de ED nos problemas 
de vibrações, apresentam-se a seguir vários casos especiais dela. 
d'39 Forma: y• + 2ay' + b2·y = q(x). 
d'40 
d'41 
d'42 
d'43 
d'44 
d'45 
d'46 
a e b com constantes, 
q(x) é a função de perturbação. 
Solução geral: segundo 0'2 e d'15 
Y = Yhom + Yport 
Caso aperiódico: k2 = a2 _ b2 > o 
Yhom 
Yparl 
= Ct'e(-a+k)r + c2-e(-u-k)z 
el-aH)z f 
---· el•-kJr . q(x)·dx-
2k 
el-a-k)x f •) 
- 2k. ela+kix . q(x)·dx 
Caso aperiódico limite: k2 = a2- b2 = O 
Yparl -e-ar f x·eax·q(x) ·dx + x·e-ax f eax · q(x)·dx •l 
d'47 Caso periódico: k2 = a2 - b2 <o 
d'48 Yhom = e-ax[ct'sen(wx) + C2·cos (wx) j 
d'49 
d'50 
d'51 
d'52 
com w = Vb2-a2 
Ypart 
e-ax·sen(wx) f w · e••·cos(wx)·q(x)-dx -
- e-ax·c~s(wx) .J e•x·sen(wx)·q(x)·dx •) 
•)Observação: Para o caso especial em que q(x) =A, sem (w,>), 
obtém-se: 
yP"'' = A ·san (W0 X-y), 
onde A = ~~===A~·======= 
V(b2-w0 2)2 + 4a2w02 
e também Y cot-• bLw'l, Za w~ 
Equações diferenciais 
Equações diferenciais lineares 
Equação diferencial linear de ordem n com 
coeficientes constantes 
d'53 Forma: an·ylnl + an_ 1-y!n-JI + ... + a1y' + OoY = q(x) . 
Solução da EDL homogênea de ordem n com coeficientes constantes, 
d"54 q(x)=(O). 
d'55 Substituição:y = erz; y' = r·er.r; .. . y!nl = r"·er.r 
Substituindo essas expressões na ED homogênea dada em d'53, 
obtém-se a equação algébrica 
d'56 a.r.t + an_ 1rn- 1+ ... + a1r + a0 =O. 
Dessa equação podem-se obter as raízes r,. r,, .. . r,; dependendo do 
tipo delas, obtêm-se diferentes soluções para a y.....,: 
Casoa):Todasas r,. r,, ... , r, são reais e diferentes entre si : 
d'57 Yhom = Crer,·x + C2·er,.x + ... + Cn·e·r,·x •I 
Caso b}: Aparecem raízes múltiplas e simples: 
r) ::::: '2 = "' ' = rm; 'm+} I 'm+2l •• • 'n· 
d'58 Yhom = Cfe''·x + C2·x·e•rx + Cy:2-er,·x + ... + 
+ Cm ·xm-l.eq·.r + Cm+fe'"'• l + ... + Cn·er,.·.t •J 
d'59 er, ·x (C1 + C2·x + ... + Cm·xm-1) + 
d'60 
d'61 
+ Cm+t"e'm•l·.r + ... + Cn·er .. ·x. 
Caso c) : Aparecem raizes complexas conjugadas: 
r 1 = a + if3; r2 = a - i/3 = rj. 
Yhom = C f e •r• + C2·e'l·z •I 
= eax·(A·cos f3x + B·sen {Jx) 
A = C1 + C2; B = i(C1-C2l 
.Solução particular da EO não homogênea de ordem ncom coeficientes 
constantes 
Ypart = gJCx} + glx) + ··· + Kk(x). 
Para encontrar soluções particulares, utilizam-se expressões que 
dependem da forma de q(x). Em 0'7, há algumas dessas expressões. 
Uma vez determinada a expressão correspondente para y...,. obtêm-se 
y,..,. y,.,. etc. e se substituem na ED a resolver. Igualando coeficientes 
similares, podem-se determinar as incógnitas a e [:1 (vide exemplo em 
0'7). 
•) C,. C,, .... C, são constantes arbitrárias. 
d"62 
d"63 
d"64 
d "65 
d"66 
d"67 
d "68 
d"69 
d70 
d71 
d72 
d73 
Equações diferenciais 
Equações diferenciais lineares 
Equação diferencial linear de ordem n com coeficientes constantes 
Forma de q(x) Expressão a substituir em y.,., 
A 
X'" 
A 0 + A 1x + A;!X2 + .. . + A..,xm 
A·e-'z 
A ·cos mx 
B ·sanmx 
A ·cos mx + B·san mx 
A· cosh mx 
B· senh mx 
A · Coshmx + B·senh mx 
A ·e-l'·cos m.x 
B · ei-'·sen m.x 
a 
a 0 + a 1x + al-"2 + ... + a..,xm 
ao + a, + ~2 + .. . + a..,xm 
a·e-'z 
a · cos mx + {J·senmx 
" + .. 
+ 
a·cosh mx + {J ·senh mx 
+ 
+ 
a· e-U cos m.x + fJeA" sen m.x 
d74 A·ei-'·cos mx + B·ei-'·san mx " 
+ 
+ 
d75 Exemplo:y .. - y ~ cos 2x; segundo 0 "6, d"55 
d76 
d77 
d78 
d79 
d"SO 
d"81 
d "82 
d"83 
d"84 
y ;::: erx; y' = r·erx; y•=r2·erx 
Substituindo na ED homogênea correspondente (d'75) 
rl-1=0; r2=1; r 1 =I; r 2 =-l 
Yhom = c,-er.-x + C2·6'l"X = C(&' + C2·e-x. 
A expressão a· substituir é da forma: 
Yparr = a · cos 2x + fJ ·sen 2x 
y'P••' = -2a·sen2x + 2/J·cos 2x 
y'pan = -4a·cos 2x- 4,B·sen2x;. 
Substituindo as expressões dadas sem d'79 e d'81 na ED, d'75, 
obtém-se: -5a·cos 2x- 5f3·sen2x = cos 2x. 
Ao igualar coeficientes similares, resulta: 
" = O · a = _]_ por o que y = _]_c os 2x 
" o 5 parl 5 
Solução geral: 1 
y = Yhom + Ypa" = C1·ex + C2·e-• -S cos 2x 
Comprovação: y' = C1·e•-C2 ·e-•+t sen 2x · 2 
y"= C1·e•+C2 ·e-•+t · 4 · cos 2x 
y"- y =C1·e•+C2 ·e-•+t · 4 · cos 2x-C1·e• 
- c2. e-• + lcos 2x = cos 2x 5 
Forma da ED 
d'85 y!n) = J(y, y', · ... y!n-lJ) 
(vide exemplo A) 
d'86 y!•J = f(x, y', ... y<•-1!) 
Suposição 
x não está contida 
de forma explícita 
Substituição Observação m 
y' =p =~ ~ .c dx Redução da 
• dn ordem n a n - 1 ê" -y = p' = dy ·p ~. Q; 
y p o . .-
y não está contida Redução da a. .,. ' 
Y• = 2E.dx ordem na n- 1 ~ ~»o ~ 0' de forma explícita v• •• < 
d '87 r~!~J:--:(-;--:;k-:-;-:----:---:-:)+.:..:..~.:..:::.~:....:.=-+-.....:..y-;;!k-+:-:lJQ=Lp----+--------.j 2. a."' S::C. "" y" =f x, y< +1J, .• . y<n-1J As derivadas de or- - ,., 
dem 1 até a ordem k d Redução da· c CD o.(') (/) 
não estão -resentes y!k+ZJ = p' = ~ ordem na n- k ~. 3 111' 
d'88 
d'89 
d'90 
d'91 
d'92 
d'93 
d'94 
d'95 
~--~------------~~~~~·~~~--------~--~~~~~~~o~ o Q. 
Exemplo A: Exemplo B: a. O C. 
CD ~ m -· y·y" - y'2 = O; ym + 2y" - 4x = O. c t/1 ....... 
Substituição: y' = p; y• = p * Substituição: y• = p; y• = ~= p' ~ g ~ ~ 
Y'P·2E.- p2 = O· ,9.e = ~ m ~ ID3 (I) dy ' p Y p' + 2p- 4x =O, segundod'100 C c 
lnlpl = lnlyl + In C a. .n· :::S ~ p = C!'e-2.< + 2x - 1 = dxd ·y' = y• CDO ~~ 0 
lnlpl = In C·y = dx = y' .. a. -· 
p = C·y = y' y' = J (C!'e-z.. + 2x - 1) dx + C2 a. ~» Q) 
y' - C·y = O ~ Q'í -· 
y = C!'e-fC·dz= C!'e-C.z y' = - fl.e-2.< + x2- x +C = ~ ::J ~: (/) 2 2 dx < 
Comprovação: y' = -C1 • e-Cx . c ~ 
y"= C1 ·C2·e-Cx y = J(-~1 ·e-2x+x2 -x+C:Jdx+C3 ~ C 
y ·y"- y'2 = c 1-e-Cx. c 1 . C2 . e-Cx- ~ 1· xl x2 "" 
_ c12 . C2. e-Cx·2 = O Y = 4Cre-2x + C2·x + 3- 2 + C3 !» O) 
Tipo Forma Expressão a Solução Observação _H' m -~~~--~--~~=----t--Js~u~b~s~ti~tu~iLr __ -t----------~----------l---~~~Vêisx~--l c
111 
" 
As variáveis x e -~o~~va2r~~~~~e~~s~y-·-=~~~-=~~~~~J~~--~~~--~tf_g_~_J_·d_y_= __ f_f_~_J_·d_x_+ __ c ____ -i __ Y~P~P:~Ig~~~~~:~le~d!~~~iap~~~~~~r-lH~~·~ ~ ::_ seoaráveis dx g(y) ,_ 
ax + f3y + Y - u Depois de integrar ~ "("') 
De variá- du J d -· 0' 
- = a + f3y' f u + c é necessário - < ~fieis não di y' = fi ax + f3y + y) dx dx = fJ!(u) + a re-substituir ~ (1) 
'O retamente I du (1) 
y' =- (--a) ::l "' _ts:e~p:a~rá~v:ei:s~----------~----~B~d~x----4-----------------------t-----------------j 0 VI 
ED l = u Jdx _ J du + C Verificar se a ED é ~: C. 
co ' '(l) X - - I y 1/l -• ~-~~~si~m~il-ar--~Y_= __ ''_x ________ ~Y_'_= __ u_+ __ x~·~~~L_1-____ x __ -___ J,_~_J_-__ u ________ t-t-ffi_n_sf_o_rm __ áv_e __ e_m_f_(x_>--l~ car 
- ED linear ~ """' 
m homogê- y' + p(x}'y = O y = De-fp(x)·dx = Yhom )' = Yhom 3' (1) ~-L~o~~~~:~m~de~~~------------~----~-----1~--------------------~-----------------l ~· ~ 
Y - Yhom + Ypan f f. s f ] O -• ED linear J y = e- p(xidx.{ + ·q(x)·e p(xldt.d.t_j Y...,, vide d '99 Q) 
0 não hemo Yp= C(x)·e- p(x)dx Obtenção da sol.part. g-
3 
;:• 
;: gêneade y'+ p(x)·y = q(x) y'= C(x)·e-fpfx)dx onde porvariaçãodascons- VI 
'o ordem 1 P -C(x) · p(x)· Yp = f q(x)'efp(x/dx.dx·e-fp(x)dx tantes; vide 0'2 e 0'3 
. e-fp(x)dx 
ED impllci-§ ta de or- y = J(y') y'= p 
'o~em 1, sem 
term.em x 
f ('/nl .dn _ X= ~+L 
y = f(p) 
Eliminando p, obtém-se a 
solução da representação 
paramétrica 
c 
c.o' 
Tipo Forma Expressão a So lução Observação m m substituir ..c 
N ED implicita X = f(p) Eliminando p, i .C ~de ordem t, X = f(y'j y' = p 
y = fpf'(p)·dp +c obtém-se a sol. da 
"(') c u sem term. O• repr. paramétrica (1) Q) emy ~li() 8 ED de d'Aiam
1
l y' = p dx = -...KiEl__x + __fJ,J!l._ ; bert, implícita y = x·g(y') + f(y') ::::;: O• 
-o de ordem 1 dp p - g(p) p - g(p) ~ (t) 
con cl = y': ~ cn oq- EDde y' =p y= x·C1 + f(C1) (integral Repr. paramétrica (') o y = x-y' + f(y') de x e y. Integral iii' Clairaut geral: família de retas) a. 
'O f(y') = f(p) X = -f'(p) sing. (envolvente) c;;· 
-· y = -p-J' (p) + f(p) por elim. de p a. ....... (1) (t) 
1~n z' + p(x)·z = -q(x) "O ~ ... (t) ED de z = yl~n 
e·SII-n/p(x) ·dz[c-(1-n)J q(x)· 3" 
"' Bernoulli 
y' + p(x)y+q(x)y" =O z = Redução a uma ED ~- ::l o y = zl-ii 
';;de ordem 1 com n *O; n * 1 ·ef{l·n)p(xl·dzdx] de ordem 1 em z; ... (") 
y' =-1-·zl~n·z' sol. segundo 0'9, m 
-· e grau n ...L I o Q) 1-n y = zl-n = "F d'100 ... a. 
-· (1) cn 
y(x) = u(x)+y1(x) z'-(p(x) + 2q(x) ·yr(x) ] ·z = q(x) ED não 3 
ED de y (x) é uma 1 homogênea em c (!) Ricatti de y(X) = y1(X) + z; sol. segundo o y' +p(x)y+q(x))'2= r(x) sol. part. e•Jlp(x)+2q(z)·Yr(x)Jcl.r 0'9. Ao menos 
'O ordem 1 e conhecida uma sol. part. 
' grau 2 1 . 1 deve ser ..... 
z(x) = U(x) [C+ f q(xj-e·Jip(x)+2q(x)·y,{x))dz dx] conhecida o 
"1-~~~~----~~:_----i--E~x~pr~e~s~s~a-o~a--~~~~~~S~o~lu~ç~ã~o~~~:---~~O~b~s~e~r~v~aç~ã~o~ = .C Tipo Forma substituir Começar o cálculo ... 
Y C1 + c2 x + f[ff(x)·dx]·dx com a integral '8, S:::::: t; y assim como y• = f(x) interna !!! "' ~~y~n~ã~o~e~st~ão~~~~~------i------------h~):-c~~~Ci-~~~;;===r--~~3;~--l v• ~ 
"O oresentes y(x) c, ·e'•X + C2·ef2X Yhom C,e C,são c. li(') 
~m 
a1 ra;r- constantes it Ol EDL com 'u = - 2 ± v f- -ao arbitrárias (i) (1) ~ homogênea y· + a,y' + a0 y =o y· = r·erx ou seja A = C1 + ~ :::::~0 #ft :- de ordem 2 y• = ,2.erx y(x) = e"" (A . cos f3x + B · sen f3x) B = ; (C1-C2) V' " com coefic. f3 "{3 • li)" 0. 
y = erz 
-~~~~~--------------4------------G~co~m~rt1 ~-~a~+~i~;~r~2;=~a~-~~~=~~11~~~~~~J~· constantes d y(x) C1·e'"' + C2·e"' + Ypart Y.,... depende e c. :::::;; q(x). Cálculo: Vide ("I) (1) EDL não (se r, * r,, vide d'11 O) ou 
0
•
6
, 0'7 e g: ......: ~homogênea y'+ a 1y' + a0 y = q(x) Y = Yhom + Ypart y(x) = eax(A ·cosf3x + B·sen{Jx) + Ypart observação d'110 te "' 
' de ordem 2 ) r:: "" -"~co~m~c~o~et;ic~.+--------------i------------~(s~e~r~1~=Sa~+~i~f3~;~r~2~=~a~-~ijf3~=~~~~~~~~~-- ::I :l 
YtX) cl X'• + C2·x"; 71 * 72 C, e c, são g. o 
1-b /{b1-1)2 b constantes 0 -· com '1.2 = --z-l ±v· 4 - o arbitrárias a ~-ED de Euler ~linear, homo x2·y·+· b1xy'+ b0 y =O :;; gênea, de 
y =X' 
ordem 2 
~ EDL homo-
:= gênea de or- y' + p 1(x)f = O 
'o dem 2; sem 
yexplícito 
y' = r·xr-l 
y• = r(r-l)x'-2 
y' = u 
• du 
Y = dx 
ou seja, y(x) = xa[A ·cos(f3·1nlxl) + A= c
1 
+ ~- ("1)
3 
#ft 
+ B·sen(f3·1nlxl)] VI 
para r1 z a + 1/J e r2 = a i/J 8 = i(C1 - CV 
Solução por 
f J r d.t C redução, primeiro a lil y = Ct·e- P• x) ·dx + 2 = Yhom uma da ordem 1 "'""' 
c 
Tipo Forma Expressão a Solução Observação m 
substituir .em 
"' EDL não ho- y' = u y = J[ãfpdz}dr.(C1+J q(x)·efpdzldr.dx)]dx+C2 Começar o 
;.c 
:;:: mogênea de y'+ p1(x)y' = q(x) y' du cálculo com '8. c: 
'oprdem 2, serr = a:x- Yp = Ie-fp,{z)dr.{f q(x}fpdz}dz.dx)]dx as integrais m S» yexplicito y = Yn + Yp internas 
.,., EDL homo-
y'= u: y' = du J ~~~J = - fp 1(x}·dx + C1 e: li(') ~ 8ênea de Y'+ pdxJ ·f(y')=O -Ot :--pr em 2. serr dx <D f(y') = f(u) y ... = f u·dx + c2 ... (1) :=' _rexplicito <D 
y'- u(y] ::I t/) :! ED de 
= ± J dy + c2 o ordem 2, y• = f(y) y"= u(y] . du X iii' 
u semy dy V2ff(yJ ·dy + C1 iii' c. 
-· ~ EDdeordem y· = f(x, y') y'= u(x) du J É habitualmente a. ..... 
; 2sem y dx ~ f(x,u); y = u(x)-dx + C <D (1) insolúvel (/1 
<O ED de or- y' -u J du . Ju·du <D -c ~ dem 2 sem y' = f(y') y' = u' X = f(u] + Cr· y= f(u} + cl Depois de eliminar u, (Q (1) c: 
u 
x, ou seja, f(y') = f(u) obtém-se a solução ::I :::J sem y a. o y- u 111 
ED de • du du du No fim se substitui o 
-· 1'- y = dx = f(y,u) = udy u dy = f(y,u) y'• dy ... Sl) ~ ordem 2, IY' = f(y,y·; a. 
' -· u sem x u = u(y) x=J..EL+ dx <D t/) c 3 y- y(x} u(y) por u 
v(x) = y;fu Depois de transformá-la em: y,(x), como sol. part., c co EDL ty• + P!(x)-y' + Y1X Y!(x)·w'+[2Y.í(X) + p1(x}·y1(x)jw =O deve ser conhecida. 
:;:: homogênea 
+ p2(x)·y = O 
v'(x) = w 
y = Y!'VC 
Reduzir depois a 
"' 'o de ordem 2 
- d (......L) y = yJ~x) I Cl-1- -e-fp,(z)-dr.dx+C~ uma linear homogê- ...... 
- dx y1(x) y8x) nea de ordem 1 ; Para 1\) y,(x), v1de O 9 
e7 
e·a 
e'9 
e'10 
e '11 
Análise estatística 
Conceitos gerais de probabilidade 
/'!AI 
I'! AI 
P!An/JI 
P(AnÃ) 
Axiomas de probabilidade 
Probabilidade do evento (ou acontecimento) A 
Número de eventos em que ocorre A 
Número de eventos possíveis 
freqüência relativa 
O, o acontecimento A é impossível. 
1, a soma das probabilidades de todos os possíveis 
eventos A, tem valor 1 
PIAI+ PIBJ- PIAnRI*) 
Caso especial para eventos que se excluem entre si 
PIAI + PIRJ 
I'!An/JI I PIBJ•l, probabilidade condicionante de A 
(probabilidade de A dada a probabilidade de EJ) 
Caso especial para eventos independentes, com P(B), 
ou seja, P(A) "'O: 
PIAIBI PIA) 
PIIJIA) = PIBI 
Pl A) · I'( R 1 para eventos. independentes 
P!AJ ·PIÃJ = o. eventos que se excluem entre si 
") Diagramas de Venn para a representação de eventos 
O retângulo representa a totalidade dos eventos A,: 
Círculo maior: evento A ~ 1 A 1! 
Círculo menor: evento/i ~ tAv 
A superfície hachurada indica cada caso: 
à (não A) 
AvB 
(A "ou" EJ) 
AnB 
(A"e" 8) 
Ãna 
(não A "e' EJ) 
Análise estatística 
Conceitos especiais de probabilidade 
Variável aleatória A 
A variável aleatória A pode assumir diversos valores x,; cada valor x,é 
um evento ou acontecimento aleatório. Diferencia-se entre valores 
discretos e valores contínuos de uma variável aleatória. 
Função de distribuição F(x) 
A função de distribuição F(x) indica a probabilidade de que o valor da 
variável aleatória A seja menor que o valor correspondente da 
abscissa x. A função F(x) é monótona crescente e 
e'12 lim F(x) F(«>) 1 
e'13 
e'14/15 
e '16 
e'17 
F(- co) O; F( x) aumenta de O a 1 
F(x) para valores discretos 
F!xJ de uma variável aleatória 
F(x) para valores contínuos 
de uma variável aleatória 
1 F_!x}- --- - -- - ----------~­
..--
F(x2J 
'·' 
o ' 2 ) lo lj 1:1 7 8 
Função de densidade P,, ou seja, f{x) 
P, para valores discretos 
de uma variável aleatória 
P; 
O, J 
D.l 
'·' 
o ' 1 ) l, s 6 7 8 
o 
f(x) para valores contínuos 
de uma variável aleatória 
f(x; 
o 
X 
A função de densidade de uma variável aleatória A é dada por p,ou por 
f(x); a relação desta com a função de distribuição é : 
' F(x) = L p, F(r) = J f(x) · dx 
-x 
A área da superfície hachurada da função de densidade indica a 
probabilidade de que o valor da variável aleatória A se encontre no 
intervalo de x, a x, (sem excluir x,). 
P(x, :>:A <x1 ) = Jt(x)·dx 
.. 
= F(x 1 ) - F(x,) P(A <x, ) -P(A <x 1 ) 
e·ta 
e'19 
e'20 
e'21 
e'22 
e'23 
e'24 
e'25 
Análise estatística 
Conceitos especiais de probabilidade 
Média x e valor esperado )..l 
Variável aleatória A discreta Variável aleatória A constante 
'"' P. ~ fx·f(x)·dxonde p, e f(x) são valores discretos e contínuos, respectivamente, da 
densidade de probabilidade. 
Variãncia a' 
Variável aleatória A discreta 
G'~ (x, -x )' . p, • (x2 -iê )2·p2 • 
•.. . • ( Xn - x ) 2 . Pn 
i<x, -x) 2 • p, 
i x,' . p, - x 2 
Variável aleatória A constante 
'"' G 2 : f (X - p. )2 ·f( X) · dx 
~ f x 2 • /( x) · dx - / 
onde p, e f(x) são valores discretos e contínuos, respectivamente, da 
densidade de probabilidade. 
e'26 a - V(variancia) é o desvio-padrão 
Teorema do limite central (Lei da adição) 
Se A1 são variáveis aleatórias in_gependentes distribuídas cada uma de 
maneira arbitrária com média (x,), ou seja, com o valor esperado lli e 
variãncia a,', então 
e '27 a variável aleatória A L A, tem 
e'28 
e'29 
e'30 
o valor esperado (ou média il p. L~'• (iê LXt ) 
a variância ç' i v.' 
e ademais A tem aproximadamente uma distribuição normal (vide 
e'48 e e' 54), ou seja: 
P( A ~ X) = ~ (X ; p.) 
Exemplo: O histograma de 1 O medições, cada uma das quais mostra 
um desvio-padrão o= ±0,03 ~·m (micrômetros), tem então em 
conjunto um desvio-padrão o, 
o. 2 ~ l o (Í 2 ; 
Tipo de Densidade de Funs:ão de Valor Variãncia - Obl;iervações -distri· distnbuição esperadQ.LI q2 Forma da funçao Ambito de 
bulção probabilidade acumulada Média X de densidade aplicação )> 
([) 
F(x) • j f(x) ·dx X X k Número de falhas <d Equa- : l x J contínua f x-f(x) dx f x'f(x)·dx-J./ c :::s ção de ·O> ,:ÇI? _______ ·O> n:Tamanho de amostra iii' Q)~ ([) x; Valor discreto de 
-w defini- discreta F(x)= L P. :[X;·P; i:x;'·p;- ;> variável aleatória ... ção p, a: 
-
1\) 
'" 
... , ... , p: Probabilidade de 
-· c (()!')(N(~-p~ (oN)~I ( 1-p)) Plkl falha ..(;' (/) ([) Hiper- :L i<. n-1<. rt·p N-rt (1-p) o.' p•O.Ot. N: Tamanho da O> (1) w P( ), . 'l 1<. rt·p ?.} t"rP' O.l população (1) w geomé- . (~ ) ,,, (~) N-l 1/1 trica O.l 1 , ... f"P ~o.z pN: Partes com a. (1) ., ·. 
P(k) é a probabilidade de que ao coletar n amostras de um total 0.1 •\\ N'\00 defeito em N (1) (/) 
... \ ... /'). 2~ Cálculo exato, "C de N, exatamente k resultem defeituosas 
o 
' 
,, 
• mas laborioso ... r+ ,, o Q) C' 
Plkl Hipótese: Q) r+ 
([) (") ... :r(") p'(l-p)"-· 0•10 População muito 2: -~ w r· (k )' 1<. ""(1- p) n·p fl · p( 1- p) Ol~ (/) .,. Sino- Ir'{ X 0 2 "'\P'O,l O grande. Durante a ã: 
miai 
0.1 ! \("·\.: .. :' amostragem a Q) r+ a. -· P(k) é a probabilidade de que ao coletar n amostras, exatamente coleção é (1) (") 
k destas resultem defeituosas o 
' 
•O ,, mantida Q) 
(\) 
( ) ( np )• -ot·l L ( op)' -oc I I ··~ Hipótese: w Tamanho grande (]\ de f{~ ~-c "~.-1<.-~--c n · p n·p IP(k) é a probabilidade de que ao coletar n amostras, exatamente ~., de amostragem e Pois- O}· I,~_,. "':o pe1ueno número m son ik destas resultem defeituosas. J l 1 }\"''•.::o de alhas Vlplicação: Curvas para avaliação de amostragem (vide E'11) , . ' ·· ... n · p = const. 
' o I 10 ,, n-~:P-0 ~ (Continua em E'5) 
Tipo de Densidade de Fun9.ão de Valor Variãncia - Ob!}ervações -dlstrl· distnbulção esperadQ fJ. a2 Forma da funçao Ambito de 
bulção probabilidade acumulada Médiax. de densidade aplicação )> 
CD " a, IX) n: Tamanho da amostragem w Equa- f(rlcontínuaf(r) :Jf(r)·dr fr-t(r)·dr Jxl·f(r)·dr-p2 
.: Valor discreto de uma S?.::J ~ ção de ·m -._"'._;------ ., • variável aleatória ~tu--w de~nt· P, discreta F(r) : L P; L r;· P; L r- 2 • p· - x 2 p: Probabilidade de falha 
-·-"' çao ,.( J .-~, ,.,., • , g -· f(x) : a-e·•· r I 1•1 Caso especial da ~· tn 
co. expo- 1 - e·•· ..!.. ...!... ~ ,;.,;boção" g· (I) ~ nencial a > O a a2 Poisson para VI 
r ~ O 1 o,s x = O. Pergunta a. (I) 
Aplicação na teoria da confiabilidade. Substituição de a · x pela >.s sobre a probabi· <Dtn ~....., lidade sem falha 
taxa de falhas À multiplicada pelo tempo de prova t (vide E'12} o 0,5 1 z M n-oo:P-0 ~ ..... 
·l•·pJ' Í ", __ , ffV Caso especial da g.Q) !li .... 
co. 1 1T 1 :1'-:;4 1 & '·' ,;,ooo;ç;, C'_, w f(x): yz,; e V2J!e >c ·dt 1J G 2 btnomtnal =tn 
<e normal o " . "'" " O,S n- oo: g: .... v•> p = 0,5 = const. 
Aplicação freqüente na prática, pois muitos valores medidos ~~~ a.-· mostram uma distribuição com forma de sino ao redor de um <D(') 
valor médio. -2 -t 0 1 2 X Q) 
~ f(r) = - 1- para l>'(r} =O para
1
1 fi•! A variável 
o . b -a -oo<r<a a;.b (b-a)• , aleatória x pode 
UOI· a~r'b r a -- --- I/ -r:; assumir valores forme = O para = --- para 2 1 2 somente no m valores de x exter- b-a 11' I intervalo a, b. nos ao intervalo 8 ' r ~ b 
' : Aí todo valor é (Jl' 0 • I' b , também provável 
•Os, e não se tem informação sobre a distribuição intermediária. 
e'41 
e'42 
Análise estatística 
Determinação de a 
Determinação de a para valores discretos dados 
Método de cálculo 
· Segundo a equação e'23, obtém-se: 
G'= f. (X/ 
,., 
-i)'. p; com x .L 
i • I 
x. ·p; 
f r!· P. - i> 
onde .x;: valores da variável aleatória A 
p.: probabilidade associada à sua ocorrência 
Método gráfico 
Supõe-se que os valores medidos x, da variável aleatória A estão 
distribuídos normalmente, cr pode determinar-se facilmente com ajuda 
do papel para probabilidades. Nesse papel se escolhem as divisões 
das escalas de maneira que se obtenha uma linha reta para uma 
distribuição normal. 
Desenvolvimento: O total dos valores medidos da variável aleatória A se 
lixa igual a 100%. Para cada um dos valores x,, calcula-se a freqüência 
percentual. Destes i valores se escolhem, por exemplo, 4, 2 nas 
bordas, e desses quatro valores se calcula que% dos valores medidos 
são menores que os considerados em cada caso e esse valor 
percentual inscreve-se na rede (10% para x,. 38% para x. etc.). Por 
esses pontos se traça uma reta que passa pelas freqüências 
acumuladas de 16% e 84%. A essas abscissas corresponde um valor 
2cr. O valor médio se encontra no 50%. 
'• 
'7 
<( 
'• ~ 
·CU ,, 
-~ 
> '" 
cu 
'O 
o 
~ l 10 16 to 10 ~oo 50 ~o 10 ao 84 90 9!i n w 
(Distribuição acumulada) % menor que X: -
e '43 
e'44 
e'45 
e'46 
e"47/48 
Análise estatística 
Distribuição normal de Gauss 
Distribuição n ormal de Gauss (Densidade de probabilidade) 
A equação e'39 dá para a' = 1 y 
J.l = O a densidade de probabilidade nor- 'I' (A ) 
matizada com medida em À= O. 
·A' 
_l_ ·e' 
ffti 
0 A 
cp(l,) pode-se ler nas tabelas Z'5 e Z'6 para valores O ,; À ,; 1 ,99 ou 
também se calcular diretamente com a equação e'43. 
A relação entre a densidade normalizada cp(À) e a densidade real f(x), 
quandoJ.l ,o O e a' ,o 1, é dada por 
X-!J 
-G- = A segundo 
) :l.!..:..l!.l!. f(x) =~=~-eu' 
(j (j v~n 
Para calculá-la, busca-se em tabelas um valor dete rminado de À, o valor 
correspondente da densidade normalizada cp(À), e encontra-se depois 
de dividir entre a o valor de tal densidade f(x) associada a x. 
Os valores de J.l e a podem ser obtidos com as equações e'26 e e'58. Em 
E'6, mostra-se um método gráfico simples para determinar f(x). 
Distribuição de Gauss normalizada <1>(/,) (Função de distribuição) 
A equação e'39 dá para a'= 1 e J.l =O a cp( 1 ) 
função de distribuição normalizada da 
distribuição de Gauss. 
~()., =_i'l'( ~). dt = b.le -:·. dt 
Como lim <I>(À) = 1 para À-->~. y= cp(t) é uma função simétrica, 
observa-se que 
1}(-A) = 1 -rj;(A ) 
A relação entre a função de distribuição normalizada <l>(À) e a função 
de distribuição real F(x), quando~~ ,o O e a' ,o 1, é dada por 
X 
t -IJ r}(A) 1 f ·(t·';J' 
-- = A segundoF(x) = -- = ~ e 2 • ·dt 
o o tr v2n _., 
e'49 
e'50 
e '51 
e'52 
e'53 
Análise estatística 
Integral de probabilidade 
Integral de probabilidade de Gauss 
A integral de probabilidade baseia-se 
na distribuição normalizada de Gauss 
(e'45) com cr' = 1 e ~ = O e represen-
ta a área da superfície entre -x e +x 
da função simétrica de densidade (<p) . 
\P(t) 
~0 (:r) = h Í e.:j-·d t 
o 
-X +I 
Nas tabelas Z'5 e Z'6 se dão valores de <l>,(x) para O ,; x ,; 1 ,99; para 
valores maiores de x, vide a aproximação indicada na próxima seção. A 
relação entre <l>{x) e a função de erro é dada por 
<P0 IX J = erf (xj0). 
Função de erro 
s 
erf(:r) = 1}0(:r·~) = :nJe-''·dt 
o 
2 _,2 00 2" 
= rn·e ·n~ 1 ·}· ... ·(2n + 1) ln+l ·:r 
Nas tabelas Z'5 e Z'6 se dão valores de erf (x para O ,; x ,; 1 ,99). Para 
x ~ 2, pode-se calcular ert(x) com a série anterior ou também com a 
seguinte expressão aproximada: 
erf (x) = , __ a_ com a = 0.515 para 2 :S x :5 3 
•' a = 0.535 para 3 :5 x :5 4 :r - e 
A demais área abaixo da curva do a = 0.545 para 4 ~x::;7 
sino é igual a: a = 0.56 para 7Sx < oo 
00 
e '54 erfc ( x) = 1 - erf (:r) = ~ J e-'' · d t 
X 
e'55 
<l>o(x) y [1 - <l>o(x)) em% da área 
total para valores especiais de x 
(segundo e'49) 
X <P0 Ix)/% [1 - <1>0 (XJ)/% 
±a 68,26 31,74 
±2a 95,44 4,56 
± 2,58 a 99 1 
±3a 99,73 0,27 
± 3,29 a 99,9 0,1 
\P(t) 
e'56 
e'57 
Análise estatística 
Amostragem - Distribuições E's 
Amostragem: Por razões de economia, com freqüência se renuncia a 
verificar 100% todos os elementos de uma população. Esse procedi-
mento é substituído por amostragens. Para que os elementos sejam 
representativos do total, devem ser arbitrários e ter a mesma 
probabilidade de ser escolhidos (exemplo, por meio de uma boa 
mistura). 
Objetivo da amostragem: Estimativa da possibilidade da proporção 
verdadeira de elementos com defeito de uma população, com base no 
número de elementos com defeito ou falhas detectadas em uma amostra. 
Distribuição hipergeométrica: A probabilidade P(k) de encontrar 
exatamente k elementos com defeito em uma amostra de tamanho n, 
tomada de uma população N, calcula-se com a expressão: 
(pi<N)( N~ 1_ -/)) 
P( I<) ; (~) pN: número inteiro 
onde pé a probabilidade suposta de ter um elemento com defeito e pN 
é, por conseguinte, o número de elementos com defeito em N. A 
probabilidade de encontrar como máximo kdefeituosos, ou seja, O, 1, 2, 
... , k, pode-se calcular com a distribuição hipergeométricacumulativa: 
i P(l<) P(O) + P(l) + . . . + P(i<) 
,., 
, (TJN)(N( 1 - p)) 
L x n- x 
'•0 ( ~) pN: número inteiro 
Exemplo: 
Em uma população N de 300 parafusos, podem no máximo serdes-
cartáveis p = 3%, ou seja, pN = 3. Tomam-se as amostras de n = 20. 
Quantos defeituosos são admissíveis, se a probabilidade '[P(k) é 
590%? • 
r P( r) IP(x) 
... 
o 0,508 0,508 
~T :~;?_9_;_-_- -----~;§WJ 
2 0,094 0,993 
3 0,007 1,000 
O cálculo mostra que só há um exemplar defeituoso. 
Outras distribuições especiais: Além da distribuição hipergeométrica, 
a qual exige grande quantidade de trabalho de cálculo, têm-se obtido 
outras distribuições para determinadas hipóteses e condições de 
fronteira. Em E'4 e E'5 se mostram, além da hipergeométrica, algumas 
dessas distribuições com suas principais características. 
Análise estatística 
Seguridade de uma amostragem - Curvas de aceitação 
Seguridade de uma amostragem: Em uma amostra de tamanho ntoma-
da de uma população de magnitude N, encontram-se k elementos defei-
tuosos. Seja p a probabilidade de ter um defeituoso na população. A 
probabilidade de encontrar mais do que k defeituosos na amostra é 
obtida com a equação e' 57: 
e'58 P(x>k) = P ( k + 1) + P(k +2) + ... + P(rt) = f P(:r) 
e'59 
11-'"• ' 
No suposto caso de que N é muito grande e p < O, 1 -o que acontece 
num grande número de processos industriais-, pode-se efetuar o cál-
culo com (vide E'7) a ajuda da distribuição de Poisson: 
''" {rt p)' -op '"{rt p )' -np P ( n k) = "L--,-·e =1-"L--1- -e 
••"•' X, ~~ 0 X. 
Esta probabilidade, para valores pequenos de k, calcula-se facilmente 
com a seguinte equação: 
e '60 { ) '(rtp)' -np 1 -np[1 rtp (rtp)' (rtp)'] p x>k = 1- "L---:rr-·e = -e •rr• ~ • ... •--x;--
··• 
e'61 
e'62 
e'63 
P(x>k} é denominada também seguridade da amostragem. Com ajuda da 
equação e'60, pode-se determinar com qual seguridade P(x>k}, com 
uma amostra de tamanho n e k defeituosos nela, a porcentagem de 
partes defeituosas na população total assume o valor p = kln, ou seja, 
determina quão grande deve ser a amostra n para que com k defeituo-
sos aceitáveis e uma pequena seguridade desejada a probabilidade de 
falhas seja igual a p. 
Curva característica de aceitação: Um usuário se questiona se uma 
população de objetos que recebe satisfaz os seus requisitos de qualida-
de, ou seja, se o fabricante entregou tal população com a qualidade 
condizente. O teste do 1 00% da população é muito custoso e nem sem-
pre é possível efetuar ensaios não destrutivos. Supondo-se uma proba-
bilidade de falhas é aceita p ,; P. na população, tem de se determinar se 
tal população é aceita quando ao efetuar uma amostragem de tamanho 
n se encontram até k =c partes defeituosas. A probabilidade de aceita-
ção L (p, c)~ 1 - cr., onde cr. é o risco do fabricante, pode-se calcular em 
função da probabilidade simples P(k) dada pela equação e'57 (também 
se conhece esta curva como "CO"): 
L(p,c) = P(O)+P(1 ) + ... + P(k=c) 
Supondo uma } , 
distribuição = Í (n~) ~-op = ~-op[l•np+ 
de Po1sson, , . , · k . 
segundo e'44 
( ";,>' + . + ( ~t J 
(continua em E'11) 
Análise estatística 
Curvas de aceitação- Valor AQL 
(Continuação de E'1 O) 
Com esta fórmula, podem se calcular as diferentes curvas características 
de aceitação L(p,c) em função da porcentagem de partes defeituosas p na 
população. Distingue-se principalmente entre dois tipos de curvas: 
Ti o A Ti o B 
~o ~o m~ m~ 
~áf ~áf 
~~ ~~ -g~ oco 
~m ~~ 
~u ~uL-~--+-~--~--+-_.--J 
o 1 2 3 " o 1 2 ) 4 
Defeituosos na popul. - p'l. Defeituosos na popul. - p% 
e '64 Observação: Quanto menor for o Observação: Quanto mais inclina-
número máximo de defeituosos c da é a curva de aceitação, tanto 
na amostra, tanto maior será a maior é o tamanho da amostra. 
aproximação da curva de aceita- Como curva limite é obtido um re-
ção à porcentagem de defeituosos !ângulo quando n é o tamanho da 
<D na população; c deve ser n. população. Quanto mais inclinada 
é a curva de aceitação, tanto mais 
estrita é a prova; n deve ser c. 
Valor AQL (acceptable quality levei= nível aceitável de qualidade) 
O acordo entre o fabricante e o comprador implica fixar o valor de AQL 
sobre a curva de aceitação. O ponto indica a porcentagem de defeituosos 
p. de uma população para a qual é ainda aceitável com base numa amos-
tra cuja probabilidade seja (usualmente) de 90% (como L (p, c)<: 1-a é, 
neste caso, igual a 0,1, ou seja, a 1 0%). Com referência à curva de aceita-
ção tipo A, isso significa que, por exemplo, em uma amostra de tamanho 
n, C2 partes defeituosas serão aceitáveis como máximo. Para receber 
menos partes rejeitadas, o fabri- L (p_c A 99011 cante manterá a qualidade(% de 1oo'!. prox. 0 
defeituosos da população) muito 90'1. ., . 0 
abaixo do valor AQL prometido : '~ 
por ele, p;, onde somente se : : , 
permitem c, defeituosos. O que <D g · : ', 
se refere à curva original corres- "lij ·~ · ',~ 
ponde a uma probabilidade de ;g "" , , __ _ 
aceitação próxima de 99%. Na jg ~ ---
prática, com freqüência se exige e ~ 
um valor de AQL com P. = 0,65%. ~ u '---i-t-:::-:--:---------,---...J 
P." Po Defeit. na popul. -p~. 
n:Tamanho de amostra. 
c: Número máximo de defeituosos aceitável. 
e'65 
e'66 
e'67 
e'68 
e'69 
e70 
e71 
e 72 
Análise estatística 
Confiabilidade- Definições 
Definições gerais 
Confiabilidade R(t) =~= 
l'lo 
1- R(t) 
dR 
I 
- J l./T'J • 4T 
e • 
Probabilidade de falhas 
Densidade de falhas 
F(t) 
f( t) 
- dt I 
-J ).(T) • d T 
A ( t). e o 
f f( t) 1 dR Taxa de falhas ou unção de risco A ( t) = RfíT = - lf(TI"d! 
MTIF (mean time to fai/ure, ou tempo médio até a falha)é o tempo mé-
dio que transcorre até que ocorra uma falha. 
MTIF z ft(t)·t · dt = jR(t)·dt 
o p r o 
Em sistemas capazes de reparação, substitui-se o MTif pelo MTBF, 
(mean time between failures), que é o tempo médio entre duas falhas, ou 
seja, MTBF = m. O MTIF e o MTBF possuem valores numéricos iguais. 
MTIF = MTBF = m = jR(t)·dt 
o 
Teorema do produto das confiabilidades 
Se R,. R,, ... , R,sãoasconfiabilidades dos elementos 1, ... , n, a confiabi-
lidade do sistema total é dada por: 
Observação: 
R, = R, R, · ... . ·R~ = frR; 
I ,· .. 
-J[A,trl • A1 (T} ... ÀntrJ]·tl-:" 
e' 
Como modelos para a função de confiabilidade R(tJ. podem-se consi-
derar as funções de distribuição F(x) dadas em E 4 e E'5 (cálculo se-
gundo e'66). A distribuição exponencial, de manipulação matemática 
simples, cumpre em geral de maneira satisfatória os requisitos (/.. = 
constante. 
n(t): Condição no tempo t considerado. 
n, : Condição inicial. 
Análise estatística 
Confiabilidade - Distribuição exponencial 
Distribuição exponencial como função de confiabilidade 
e73 Confiabilidade R( t) e_., 
e74 
e75 
e76 
Probabilidade de falhas 
Densidade de falhas 
Taxa de falhas ou 
função de risco 
F(t) 
f(t) 
f(t) 
A ( t ) = 71\tT = A - const. 
(Dimensão: 1/tempo) 
"' 
e77 MTBF(tempomédioentrefalhas}m = fe.). 1·dt = T 
e78 
e79 
e·so 
e'81 
e'82 
Produto de confiabilidade 
Taxa de falhas totais 
Rs = ~-J..~t.e~A~r ... . ·e_..,, 
e-f.4. 1 • Az• ...• A,.Jr 
.A,+ Az + ... + .AI'I MTBF 
Para valores pequenos, pode-se calcular a taxa de falhas com a seguin-
te expressão de aproximação: 
À= falhas 
(condição inicial} (horas de serviço) 
Os valores de À se referem em geral a horas de serviço: 
Unidade: 1 fit = 1 faiha/1 O' horas 
Exemplos típicos para taxas de falha À em fit (I C= circuito integrado) 
IC digital bipolar (SSI} 
JC analógico bipolar 
(OpAmp) 
Transistor (Si) universal 
Transistor (Si) de potência 
Diodo (Si) 
Tântalo com eletrólito líquido 
Tântalo com eletrólito sólido 
Alumínio, eletrolítico 
Capacitar de cerâmica; 
capas múltiplas 
Capacitar de papel 
Capacitar de mica 
Resistor de capas de carvão 
100 
Resistor de capas de carvão 
100 
15 Resistor de folhas metálicas 1 
Resistor de fio em bobina 1 O 
100 Transformador pequeno 5 
20 lndutor de alta freqüência 1 
200 Quartzo 1 O 
5 Diodo emissor de luz (falha: 
20 diminuição da luminosidade 
5 em até 50%) 500 
20 União soldada (manual) 0,5 
União enrolada 0,0025 
10 União com abraçadeira 0,26 
2 Contato de cavilha 0,3 
1 Receptáculo de contato 04 
5 
0,5 
Interruptor giratório 5 ... 30 
Observação: Pode-se encontrar numerosos dados sobre conliabilidade 
nas normas DIN 29500, parte 1, DIN 40040 e DIN 41611. 
1'2 
1'3 
1'4 
rs 
Matemática financeira 
Conceitos principais 
1. Taxas de juros 
Taxa de juros: 
Taxa efetiva de 
juros: 
Taxa nominal 
de juros: 
Quantidade que é paga por unidade de capital 
investido em um intervalo de tempo unitário. 
Taxa atual de acréscimo por unidade de inves-
timento durante o período contratado 
Taxa do juro total que se paga num ano sobre uma 
unidade investida no começo do ano, considerando 
que qualquer juro percebido durante o ano não é 
reinvestido. 
Taxa de crescimento Taxa de crescimento contínuo segundo uma certa 
composta anual: operação de juros. 
Notação Taxa efetiva de juro anual. 
i'm': Taxa nominal de juro por ano, pagável m vezes ao 
ano. 
cr: Força de juros por ano. 
Relações entre i, r' e cr: 
e!J • (1 + I) • (1 + C )m 
2. Acumulação e juros compostos 
Juros compostos: Se o tempo total de investimento é dividido em 
vários períodos e, no final de cada um, o juro 
gerado é acrescentado ao capital para ser 
investido à mesma taxa, obtém-se um investimento 
em juro composto. 
Notação n: Número de períodos de investimento. 
P: Valor presente ou principal de um capital investido no 
início dos n períodos de investimento. 
S: Valor futuro ou montante do capital depois de n 
períodos de investimento. 
Relação entre S, P e n: 
s a P (1 + i)" para taxa efetiva de juro i 
· (In) 
s - p (1 + 7n-> ... para taxas nominais de juros, 
pagáveis m vezes ao ano r' 
S • Pe" para força de juro a 
p-Sv"sl v ~ (1 + i)-1 
Matemática financeira 
Conceitos principais 
3. Taxas de desconto 
Taxa de 
desconto: 
Taxa efetiva de 
desconto: 
Taxa nominal 
de desconto: 
Taxa composta 
de desconto: 
Notação 
É a quantia paga antecipadamente em relação à 
quantia que se deve restituir no final do período con· 
tratado, quando há juros pagos antecipadamente. 
Taxa atual de decréscimo por unidade de dívida 
durante o período contratado. 
Desconto total efetuado num ano sobre um montante 
a ser pago no final do período, considerando que o 
desconto é aplicado em m prestações. 
Taxa de decréscimo contínuo sob uma operação 
de desconto. 
d: Taxa efetiva de desconto anual. 
dm': Taxa nominal de desconto por ano, efetuado em m 
prestações iguais. 
a: Força de desconto. 
Relações entre 
d, d{m) e a: 
ó d(m) 
a· = (1 - d) ~ (1 - ""iil )m 
Matemática financeira 
Relações diversas 
4. Relações entre juro e desconto 
Juro e desconto são dois pontos de vista diferentes referentes a um mes-
mo problema. A cada taxa de juro corresponde uma taxa de desconto e 
vice-versa. Um pagamento de i no fim de um ano corresponde a um paga-
mento dno início dele, isto é: 
f6 d (1 + i) ~ i, ou seja, i (1 - d) - d 
n 
f8 
f9 
1'10 
1'11 
1'12 
onde 
1- d = --1-. 1 + I 
Relações entre taxas de juro e de desconto: 
Montante de uma 
unidade no final 
de n anos 
Taxa composta de juro ou de desconto a"' 
Taxa efetiva de juros (1 + ;)" 
Taxa nominal de juros ( 1 ;<m))mn + --nr 
Taxa efetiva de desconto (1- dt 
Taxa nominal de desconto ( 1 d(m))-m" 
- rrr 
Valor presente 
de uma unidade 
antes de n anos 
e"' 
v" •) 
( 1 ·(m)tmn +l,n 
(1 - d)" 
(, d(m) )'"" 
- rrr 
f13 ·l v - (1 +W' 
Equação de Consiste em duas séries de obrigações vinculadas 
valor por um sinal de igualdade e avaliadas na mesma 
data, chamada "data de avaliação". 
Exemplo: Uma pessoa deve $30.000.000,00 pagáveis em 
.5 anos e $25.000.000,00 pagáveis em 8 anos. Ela 
deseja mudar essas dívidas fazendo dois pagamen-
tos iguais no final de 1 e 2 anos, a partir de agora. De 
quanto será cada pagamento requerido, se o juro é 
de 9% anual, capitalizável semestralmente. 
Solução: Seja x a quantidade a pagar no final do primeiro e 
segundo anos, i= 0,09. 
Pode-se estabelecer como período fundamental o 
semestre e, então, trabalhar com taxa efetiva semes-
tral i = 0,045. A equação de valor obtida adotando-se 
como data de avaliação o final do segundo ano é: 
30 000 000 V6 + 25 000 000 V12 = x + x (1,045)2 
30 000 000 (0,767896) + 25 000 000 (0,589664) )( + (1 ,092025) )( 
onde 
)( - $18 058 331,04 
1"15 
1'16 
1"17 
1"18 
1'19 
Matemática financeira 
Anuidades e amortização 
5. Anuidades 
Anuidade: 
Anuidade certa: 
Anuidade 
contingente: 
Anuidade 
ordinária: 
Série de pagamentos periódicos, de somas geral-
mente iguais, que se efetuam durante a existência de 
uma situação dada. 
Série de pagamentos periódicos que devem efetuar-
secom certeza e independentemente de qualquer 
acontecimento fortuito durante um determinado 
período. 
Série de pagamentos periódicos que se efetuam 
sujeitos a algum evento. 
Série de pagamentos unitários efetuados em um pe-
ríodo após a sua contratação e pagáveis durante n 
anos. 
Notação an~: · Valor presente de uma anuidade ordinária pagável 
durante n períodos. 
A: 
s,.: 
Valor presente de uma anuidade com série de paga-
mentos iguais a R. 
Montante de uma anuidade ordinária pagável duran-te n períodos. 
S: Montante de uma anuidade com série de paga-
mentos iguais a R. 
Relações entre a111, A, S111 e S. 
A - R am 
s"' _ (1 + i)" -1 
s - R s"' 
sii - (1 + n· aii 
Exemplo: Uma pessoa deseja dispor de um capital de $1.000,000, dentro 
de 1 O anos, formado mediante depósitos mensais em um banco que lhe 
oferece 9% de juros anuais, capitalizados mensalmente. De quanto deve 
ser o depósito mensal para atingir o seu objetivo? 
(continua em F'5) 
Matemática financeira 
Anuidades e amortização 
(Continuação de F'4) 
Solução: o depósito mensal deve ser R. , com p = 12, onde aplicando 
a fórmula do montante se tem: P 
e a renda mensal: 
6. Amortização 
Amortização: 
Tabela de 
amortização: 
Capital insoluto: 
s 
R a 
S"""r 0,09 p I " 12 
R• = SP 
s,..,.r 
R• - 12 000 000 000 Sooo.oo1s 
R. c 12 000 000 000 ~ $62 010 900 193,514281 
R. $5 166 741,66 l2-
Método para extinguir uma divida por meio de paga-
mentos periódicos, geralmente iguais, nos quais são 
incluídos tanto juros como capital. 
Registro do destino de juros e capital referentes ao 
pagamentos periódico de uma amortização. 
Dívida contraída em cada período. 
TABELA DE AMORTIZAÇÃO PARA UMA ANUIDADE ORDINÁRIA, 
PAGÁVEL DURANTE n PERÍODOS 
Número do 
pagamento 
2 
3 
n 
Capital insoluto 
no início do 
período 
8/11 
Bn=n 
8n=2J 
8 n-(t - 1)1 
a, 
-
v 
Distribuição do pagamento 
Juros Capital 
contidos no contido no 
pagamento pagamento 
1 - V" V" 
- vn-1 vn - 1 
1 - vn - 2 vn - 2 
1 _ vn - (t - 1) vn - (1 - 1) 
1 - v v 
Matemática financeira 
Casos especiais 
7. Casos especiais de anuidades 
Anuidade Anuidade na qual o primeiro pagamento efetua-se no 
antecipada: início do período. 
Anuidade Anuidade ordinária na qual se estabelece que o 
diferida: primeiro pagamento efetuar-se-á depois de uma cer· 
ta quantidade de períodos. 
Perpetuidade: Anuidade na qual se estipula efetuar pagamentos em 
forma indefinida. 
Anuidade 
crescente: 
Anuidade 
decrescente: 
Notação: 
(Ja)iil 
SIP) 
ii1 
Anuidade na qual o montante dos pagamentos au· 
menta a cada período. 
Anuidade na qual o montante dos pagamentos dimi· 
nu i de período. 
Valor presente de uma anuidade unitária antecipada. 
Montante de uma anuidade unitária antecipada 
pagável durante n períodos. 
Valor presente de uma anuidade unitária diferida m 
períodos. 
Valor presente de uma perpetuidade unitária. 
Valor presente de uma anuidade unitária com 
primeiro pagamento unitário e que aumenta aritme· 
ticamente uma unidade por período. 
Valor presente de uma anuidade unitária com primei· 
ro pagamento n e que decresce aritmeticamente 
uma unidade por período. 
Valor presente de uma anuidade unitária com p 
pagamentos iguais por período. 
Mo(ltan!e de uma, anuidade unitária com ppagamen-
tos tguaiS por penodo. 
Relações entre diferentes tipos de anuidades 
1'20 ""' - (1 + i) a"' 
1'21 
1'22 
1'23 
1'24 
1'25 
1'26 
1'27 
ãrn-
sm = 
siil -
sm-
miam= 
miam . 
a .. ; 
1 + Bn--:-j! 
(1 + i )Siil 
v sm 
s,i.+fl-
vmafil 
a....,.- a"" 
1 
(continua em F7) 
1'28 
1'29 
1'30 
1'31 
1'32 
1'33 
1'34 
1'35 
1'36 
1'37 
1'38 
1'39 
Matemática financeira 
(la)"' B 
Anuidades e amortização 
(Continuação de F'6) 
•n-1 + 1 - n yn 
I 
. {
0
, a" para taxa efetiva anual i 
I 
S1~ ... -I~> sn para taxa efetiva anual i. No que segue: ,-
1 
a IPI 
"' 
SIPI ;o 
aiPl 
"' 
+8nm1· { 
-+ snnti. 
• 1 ; · a { m ;-(k) iM'r 1 ;· m r(k} amfil;· 
1 ainiil { pS.,,. 1 S;;;rn ;· 
pSilr ( ., .. ,r .. " 
1- 1+~ 
a 
[( j, .. ,r I p 1+--;n -1 
{ ;lm)r 
1 +In -
para taxa nominal de juro 
/"'com m = p 
para taxa nominal de juro 
r' com m < p e p = mk para 
kinteiro. 
para taxa nominal de juro 
r' com m > p e p = kp para 
k inteiro. 
s ~ 
para taxa nominal de juro i, 
na qual não coincidem as 
freqüências dos pagamentos 
com a convertibilidade da 
taxa de juro. 
[( ;'m')""P p 1+ -;;:;-- - 11 
Exemplo: Encontrar o valor presente de 4 pagamentos anuais iguais 
de R$5.000.000,00; o primeiro deles efetua-se imediata-
mente e a taxa de juro efetiva anual é de 8%. 
Solução: Deseja-se determinar o valor presente de uma quantidade 
antecipada para 4 anos; A= 5.000.000,00 ã;v Isto é: 
A - 5 000 000 ã;;~ = 5 000 000 [(1 + i) a,.J 
= 5 000 000 [(1,08) a;v0,08) = 5 000 000 (1 ,08) (3,31213) 
$17 885 502 
Teoria de equações· 
Equação algébrica de qualquer grau 
DEFINIÇÃO DE UMA EQUAÇÃO ALGÉBRICA 
Uma equação algébrica tem a forma: 
G , 1 
g'1 /n(x) = a.,...n + a0_1 xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0 . 
g'2 
g'3 
g '4 
Todos os termos cujos coeficientes a, são iguais a zero, quando 11 < O, 
podem-se omitir. 
A solução de uma equação algébrica implica a determinação dos zeros 
(raízes) da equação, para os quais f,(x) =O. 
Características 
1. A equação algébrica f.(x) =O de grau ntem exatamente nzeros (raízes). 
2. Se todos os coeficientes a, são reais, somente existem zeros reais ou 
complexos conjugados como soluções. 
3. Se todos os coeficientes a, são 2: O, não há soluções cuja parte real 
seja> O. 
4. Se n é ímpar, pelo menos um zero é real, supondo que todos os 
coeficientes a, são reais. 
5. As relações entre os zerosx, e os coeficientes são: 
:Ex, = - 8 0 _ 1/80 para i = 1, 2, .. . n 
:Ex1·x1 Bn-21Bn-1 para l,j = 1, 2, . .. n 
onde I= j 
:Ex1• x1 • Xn = - Bn-3/Bn-2 para I, f, k = 1, 2, n 
onde I = j- k 
g'5 X 1 •X2 •X3 • ... •Xn - (-1)0 • a0 /a1• 
g7 
6. A quantidade de raízes reais positivas da equação em questão é igual à 
quantidade de mudanças de sinal da série de coeficientes. 
an, ao-1o Bn- 2• ·· · , Bz ,B, ,Bo. 
ou este valor menos um número par (teorema de Descartes). 
Exemplo: /3(x) = 2x3 _ 15x2 + 16x + 12 = O tem os sinais 
+ + + 
e em virtude das duas mudanças de sinal tem 2 ou 
O raízes reais positivas. 
(continua em G '2) 
g·s 
g'9 
g"10 
g'11 
g"12 
Teoria de equações G , 2 Equação algébrica de qualquer grau 
(Continuação de G "1) 
7. A quantidade de raizes reais negativas da equação em questão se 
determina por meio da substituiçãox = -z: 
Nesse caso, a quantidade de mudanças de sinal na série de 
coeficientes a,•. a,.,•. a,.,• .... a,•. a,•. a,• é igual à quantidade de raizes 
reais negativas ou a esse valor menos um número par. Aplicado no 
exemplo em G'1, ponto 6: 
fl(z) = -2.il- 15:z2- 16z + 12 =o 
tem os sinais + e, por conseguinte, a 
equação g'7 unicamente tem uma raiz real negativa, visto que só tem 
uma mudança de sinal. 
Solução geral 
Se x, é uma raiz de uma equação algébrica de grau n,J.(x) =O, o grau de 
J.(x) pode-se reduzir em uma unidade af._,{x) =O quandof.(x) é dividido 
entre (x -x,). Caso se conheça também outra raiz x,, a equação pode-se 
reduzir mais um grau dividindo-se-a por (x - x,) , e assim sucessi-
vamente. 
fn(X) 
fnl(x -xd 
fn-1/(x-x2l 
= Bnx" + Bn-1 .x"-l + Bn-2 x"-2 + ... + 82 x2 + a,x + 8o 
= fn-1 (x) a Bn' .r"-I + Bn-1' x"-2 + · · · + 82' X + .S1' 
a fn-2 (x) • Bn" x"-2 + Bn-2"x"-3 + .. . + a2"x + a," 
Há um caso especial em que as raizes são complexos conjugados; 
depois da divisão, o grau da equação se reduz em 2 unidades. A divisão 
da equação algébricaf.(xJ entre (x-x.) pode-se concluir com facilidade 
aplicando-se o método de Horner descrito em G'3. 
MÉTODO DE HORNER 
O método de Horner é um algoritmo que se pode aplicar ao polinômio P de 
enésimo grau 
g'14 Pn(X) • Bnx" + Bn_,.x"-1 + .. . + a1 ·x + a0 
para resolver os seguintes problemas: 
* Cálculo do valor de l'.{x) parax = x, 
* Cálculo dos valores das derivadas l''.(x), l'".(x) etc. a té 
1"."' (x) parax =x, 
* Redução do grau de l'.(x) se há raizes conhecidas. 
(continua em G"3) 
Teoria deequações 
Equação algébrica de qualquer grau 
Método de Horner (vide esquema abaixo) 
Igualam-se os coeficientes a. a a.••• e se escrevem os coeficientes do 
polinômio P,(x)- começando com o que se relaciona com o máximo 
expoente - na prime<ra linha. Aquelas posições onde não há 
1! expoentes têm o elemento O. 
:§ Esquema 
g '17 3 
g'18 4 .r0 
g'20 6 .ro 
g '21 -a.-Cl-1 -a-.-_,-Cll--s-._-2Cl-~--a.-_-3Cll-.-.-. -r~a,-Cll-. -b-2 -. -1/-2!. f n"l.ro) 
g '22 
g'23 
g'24 Xo 
g
·2s I Bn1"1 " Bn • bn • 1/n! · Pn l/li (Xo) 
g'26 
g'27 
g'28 
g'29 
g'30 
g'31 
g'32 
g'33 
g'34 
Exemplo 1 do método de Horner 
Cálculo dos valores de P,(x), P, '(x). P, "(x) c 
P, '"(x) parax = x,; x0 = 4 
P n (x) • x3 - 6x2 + 11 x - 6 
83col 82coJ 8,<0l ao<•l 
1 - 6 11 - 6 
xtl- 4~~~8 (2 
1 -2 3 7 _ 6 • Pn(4) 
~~4 f 8 \ 1 z/ l1 = Pn'(4) 
4.., f 4 
' k 7 6 - Pn''(4) · 1/2t; Pn"(4) - 1 · 2 · 6 - 12 
g'35 1 - Pn'"(4)·1/3!; Pn'"(4) ~ 1·2·3·1 = 6 
Teoria de equações 
Equação algébrica de qualquer grau G 
, 
4 
Explicação do método de Horner 
Pretende-se calcular o valor de um polinômio e de suas derivadas 
num pontofixox= x,. 
Os resultados das multiplicações de x, pelos fatores a.''', a.,''' etc. 
indicadas pelas linhas se escrevem na segunda linha (por exemplo, x,a,''' 
=xoanl,>). 
A regra 3 mostra os resultados da soma das regras 1 e 2. 
g'36 Por exemplo Bn-1 111 - Bn-1 101 +.xo·sn111 ; onde Bnl'l- sniOl 
g '37 . Bn-211) - Bn-210) + Xo. Bn-1(1) 
Particularmente 
g'38 Bol1l g a010J + x0 • a111l - b0 - P 0 (x0) 
significa o valor do polinômio no ponto x = x,. 
Usando o mesmo esquema, partindo da linha 3, por meio de 
multiplicações e adições, chega-se à linha 5 com 
g'39 a112l c b1 - P0 ' (x0 ) 
que é o valor da primeira derivada de P.(x) no ponto x = x,. 
Este procedimento pode se repetir n vezes, pois um polinômio de 
grau n tem exatamente n derivadas. 
Esses cálculos dão como resultado: 
g'40 Pn(X) • Bo(1) + 81(2) (X-Xo) + 82(3) (x-xo)2 + . . . 
+ ... + Bn-11"1 (x-xo)"- 1 + a.1"1 (x-xo)" 
g'41 - P0 (x0) + 1/1! · P0 '(x0) · (x-x0) + 1/2! · P0 "(x0) • (t -x0)2 + . • . 
g'42 
g'43 
g '44 
g'45 
g'46 
g'47 
g'48 
+ ..• 1/(n-1)1 · Pn1"-11 (Xo) • (t-xo)"-1 + 1/n! · P."'1(xo)· (t-x0 )" 
Exemplo 2 do método de Horner: 
Redução do grau se há um zero (raiz) conhecidox,, isto é, determinar 
P •. ,(x) usando: 
Pn (x)/(x-xo) = Pn-1 (x). 
Dados: P0 (X) • r- 6x2 + 11x- 6 coma raiz x0 - 1. 
Esquema: a310l a210l 81(0) Bo(O) 
1 -6 11 -6 
1 -5 6 
-5 6 I o • Pn(1). 
Resultado P.(t) = 0 indicaquex,=1 é umaraizdeP.(x). 
EntãoP •. ,(x) =1x' -5x+6 
As raízes dessa última equação (x, = 2 ex, = 3) podem ser determinadas 
facilmente utilizando-se d · 41. 
g"49 
g "50 
Teoria de equações 
Equação aproximada de qualquer grau G , 5 
PROCEDIMENTO GERAL 
Dado que a determinação analitica dos zeros (raizes) das equações algé-
bricas, incluindo as equações transcendentes, somente é possivel com 
restrições, em G'6 e G'8 se apresentarão os seguintes métodos para 
obter soluções aproximadas: 
Método de Newton 
Método da secante 
Método da interpolação linear, falsa posição ou regula falsi 
Começando com um valor inicial aproximado, pode-se conseguir qual-
quer grau de exatidão mediante iteração. 
Exemplo de uma equação algébrica (polinomial): 
x4 - 3x2 + 7x - 5 = O. 
Exemplo de uma equação transcendente: 
x · lg (x) - 1 = O. 
Procedimento: 
• Determinação gráfica da aproximação inicial traçando a curva a par-
tirde uma tabela de valores conhecidos. 
• Selecionar um dos três métodos citados anteriormente. Observe que 
a interpolação linear sempre é convergente. Para os demais méto-
dos, a convergência somente é garantida sob as condições citadas 
em G'6 e G'7. A desvantagem desse exame adicional será compen-
sada geralmente por uma convergência muito mais rápida. 
• Freqüentemente, pode-se obter uma melhor convergência come-
çando com um método e continuando com outro; especialmente 
quando depois de várias iterações já não é observada uma melhora 
nos resultados. 
g"51 
g"52 
g'53 
g'54 
g'55 
g'56 
g'57 
g'58 
g'59 
Teoria de equações 
Equação aproximada de qualquer grau 
MÉTODO DE APROXIMAÇÃO DE NEWTON 
O valor x0 é a primeira aproximação da 
raiz n. da equação /, = O. Traça-se a Y 
tangente em Jrx,); a interseção da tan-
>Jente com o eixo x é um valor melhor que 
o ponto de partida x0 • O cálculo de x, se 
faz como se mostra a seguir: 
x, = xo- f(x0 )/f'(xo)· 
G 
Calcula-se o valor melhorado x, usando x, de forma semelhante: 
etc. 
, 
6 
X 
A repetição múltipla desse método conduz aos resultados de qualquer 
precisão que se deseje. 
Regra geral 
k =O, 1, 2, . .. 
Condições para a convergência neste método: 
• " • é um zero simples (não múltiplo); 
• entre x, e " • não deve haver máximos ou minimos da funçãojfx). 
Convergência: Localmente convergente. 
Comentário: Os valoresjfx,J ef(x,) que são necessários no método de 
Newton podem-se calcular muito facilmente por meio do método de 
Horner descrito em G'3. 
Exemplo:JrxJ = x·log x- 1. O valor inicial para obter um zero que satisfaça 
Jfx)=O pode ser x, = 3. 
1° passo: g'51 requer o cálculo da derivadaf(x.J: 
f'(x)- lg(x) + lg{e) - lg(x) + 0,434294. 
2° passo: Determinação de um valor melhoradox,: 
De acordo com g'51, os valores x. = 3, Jrx,) = 0,431364 e 
f(x,) = 0,911415 proporcionam o valor x,= 2,526710. 
3° passo: Determinação de um valor melhorado x., 
Usando os valores x,= 2,52671 O, Jrx,) = Q-,017141 e 
f(x,) = 0,836849, a partir da equação g'52 obtém-se 
x, =2,506227; erro+ 0,000036. 
Com x,, o zero tem um erro de 0,000036. 
4° passo: Se a exatidão de x, não é suficiente, deve-se efetuar mais 
iterações. 
Teoria de equações 
Equação aproximada de qualquer grau 
MÉTODO DE APROXIMAÇÃO DA SECANTE 
Substitui-se a derivada j'(x) do método 
de Newton pelo quociente diferencial: Y 
unem-se dois pontos adjacentes, ftx.J e 
.trx,), por meio de uma reta. Deve-se 
determinar o valor x, na interseção des-
sa reta com o eixo X, sendo x, a primeira 
aproximação ao zero n, requerido. 
G , 7 
X 
g '60 x - x f( ) x,-xo 2 
-
1 
- x, f (xd - f(xo) 
g'61 
No passo seguinte, une-sej(x,) comj(x,). A interseção desta reta com o 
eixo X é a segunda aproximação. 
Regra geral de iteração 
.l'k- .(k-1 k = 1, 2 , .. 
f(xk) * f(xk-1) 
Comentário: Com freqüência, pode-se obter uma convergência especial-
mente rápida quando são usados de maneira alternada os métodos da 
secante e de Newton. 
Convergência: Localmente convergente. 
g'62 Exemplo: f(x) = x -lg x -1; x 0 - 4; x 1 - 3. 
f(xo) = 1,408240; f(x1) = 0,431364. 
g '63 1' aproximação: x2 = 3 - 0,431 364 (3- 4)/(0,431 364 -1,408 240) 
= 2,558425. 
g'64 Erro f(x2 ) = 0,043 768 
2' aproximação calculada comx,.x,J(x,) ej(x,): 
g'65 x3 - 2,558 425 - 0,043 768 (2.558 425- 3)/ (0,043 768-0,431 364) 
g '66 
g '67 
g'68 
g'69 
g70 
= 2,508 562 
Erro f(x3) = 0,001 982 
Em vez de continuar com o método da secante, pode-se aplicar agora 
o método de Newton: 
Por essa razão, deve-se calcular f'{x2):f'(x) = log x + log (e) 
f' (x2) = lg (2,558 425) + 0.434 294 = 0,842 267 
x3 • = x2 - /(h) I f' (x2) = 2,558 425 - 0,043 768/0,842 267 = 2,506 460. 
Erro:j(x, •)=0,000230. x, • produz um erro menor que x,, o qual foi deter-
minado usando somente o método da secante. 
Teoria de equações 
Equação aproximada de qualquer grau G 
METO DO DE APROXIMAÇAO POR INTERPOLAÇAO LINEAR. 
REGRA FALSA OU REGULA FALS/ 
Escolhem-se dois valores x, e x,. de tal 
modo que f(x,) e f(x,) possuam sinais Y 
diferentes. Entre esses dois pontos deve 
existir pelo menos um zero n,. A interse-
ção da reta que passa por f(x,) e f(x,) com 
o eixo X é a primeira aproximação x,. 
, 
8 
Para