apostila-fisica 1 COM EXERCÍCIOS RESOLVIDOS( BASE DO LIVRO TIPLER 6 Edição)

Prévia do material em texto

Universidade Federal do Para´
Campus Universita´rio de Tucuru´ı
Faculdade de Engenharia Sanita´ria e Ambiental
Apostila de FI´SICA FUNDAMENTAL I
Prof. Ce´sar Juan
Baseada nos livros:
© D. Halliday & R. Resnick & J. Walker, Fundamentos de
F´ısica, Vol. 1, 8ed., LTC (2008);
© P.A. Tipler & G. Mosca, F´ısica para Cientistas e Engenhei-
ros, Vol. 1, 6ed., LTC (2009);
© Serway & Jewett, Physics for Scientists and Engineers, 8ed,
Brooks/Cole (2010);
© H.M. Nussenzveig, Curso de F´ısica Ba´sica, Vol. 1, 4ed.,
Edgard Blucher (2002);
© P.G. Hewitt, F´ısica Conceitual, 12ed., Bookman(2015).
Tucuru´ı - Para´
2018
i
Suma´rio
Introduc¸a˜o 1
1 Cinema´tica: movimento retil´ıneo 3
1.1 Movimento Retil´ıneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Movimento retil´ıneo uniforme (MRU) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Movimento retil´ıneo uniformemente acelerado (MRUA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 O problema inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Queda livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Cinema´tica: movimento em um plano 9
2.1 Descric¸a˜o em termos de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Descric¸a˜o em termos de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 A´lgebra vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Posic¸a˜o e deslocamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5 Velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.6 Acelerac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.7 Movimento uniformemente acelerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.8 Movimento dos proje´teis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Dinaˆmica: leis de Newton 20
3.1 Leis de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Aplicac¸o˜es das leis de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Algumas forc¸as especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4 Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4 Trabalho e energia 28
4.1 Energia cine´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2 Teorema trabalho-energia cine´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.3 Trabalho e energia potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.4 Teorema de conservac¸a˜o de energia mecaˆnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
ii
5 Momentum e coliso˜es 33
5.1 Conservac¸a˜o do momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.2 Coliso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6 Sistema de part´ıculas e rotac¸o˜es 36
6.1 O centro de massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.2 Segunda lei de Newton para um sistema de part´ıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.3 O momentum de um sistema de part´ıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.4 Movimento de Rotac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
iii
Introduc¸a˜o
Como todas as outras cieˆncias, a F´ısica1 e´
baseada em observac¸o˜es experimentais e medic¸o˜es
quantitativas. O objetivo principal da f´ısica e´ iden-
tificar um nu´mero limitado de leis fundamentais
que governam os fenoˆmenos naturais e usar elas
para desenvolver teorias que possam predecir o re-
sultado dos futuros experimentos. Para desenvol-
ver uma teoria e´ necessa´rio o uso da matema´tica,
ferramenta que fornece uma ponte entre a teoria e
o experimento.
Atualmente, a f´ısica e´ uma cieˆncia com di-
versas ramificac¸o˜es. Por exemplo, a f´ısica cla´ssica
e´ um ramo que estuda os princ´ıpios da mecaˆnica
cla´ssica, a termodinaˆmica, a o´tica, e o eletromag-
netismo desenvolvido antes de 1900.
Isaac Newton foi o primeiro cientista em
formular os princ´ıpios da mecaˆnica cla´ssica, e foi
tambe´m um dos criadores do ca´lculo infinitesimal
(atualmente conhecido como ca´lculo), ferramenta
que foi usada para desenvolver sua teoria.
Medidas e unidades
Uma lei f´ısica mostra uma relac¸a˜o entre duas
ou mais grandezas f´ısicas2.
Medir uma grandeza f´ısica significa compa-
rar esta grandeza com algum padra˜o (ou unidade)
precisamente definido, para essa grandeza. Por
exemplo, para medir a distaˆncia entre dois pontos,
precisamos de uma unidade de distaˆncia, como a
polegada, o metro, ou o quiloˆmetro. A afirmac¸a˜o
de que uma certa distaˆncia equivale a 25 metros
significa que ela e´ 25 vezes o comprimento da uni-
dade denominada metro.
O sistema internacional de unidades
Em f´ısica, e´ importante utilizar um conjunto
universal de unidades. Em 1960, um comiteˆ inter-
nacional estabeleceu um conjunto de unidades para
a comunidade cient´ıfica, chamado de SI (Syste`me
International).
Definic¸a˜o 1: O Tempo e´ uma grandeza f´ısica as-
sociada ao correto sequenciamento dos fenoˆmenos
naturais (ou eventos), mediante a ordem de
1Do grego antigo physis que significa natureza.
2Denota-se grandeza f´ısica a qualquer atributo da natu-
reza que seja mensura´vel.
ocorreˆncia. Desta forma, o tempo nos permite de-
terminar se um evento aconteceu antes, ou simulta-
neamente, ou depois que outro evento de refereˆncia.
O tempo tambe´m nos permite medir a
durac¸a˜o de um evento, o que permite determinar
se um evento e´ mais, ou igual ou menos demorado
que outro evento de refereˆncia.
Qualquer instrumento que permita medir
o tempo denomina-se cronoˆmetro ou relo´gio. Me-
dir o tempo significa comparar a durac¸a˜o de um
evento com a durac¸a˜o de outro evento considerado
unidade, essa unidade no SI e´ o segundo (s).
Historicamente, o segundo foi definido em
termos da rotac¸a˜o da Terra, e era igual a
(1/60)(1/60)(1/24) do dia solar me´dio. No en-
tanto, os cientistas observaram que a taxa de
rotac¸a˜o da Terra esta´ gradualmente diminuindo,
por esta raza˜o, atualmente, o segundo e´ definido
em termos de uma frequeˆncia caracter´ıstica associ-
ada ao a´tomo de Ce´sio (relo´gio atoˆmico de Ce´sio),
em que um segundo e´ a durac¸a˜o de 9 192 631 770
oscilac¸o˜es da radiac¸a˜o emitida na transic¸a˜o entre
os dois n´ıveis hiperfinos do estado fundamental do
a´tomo de Ce´sio-133.
Definic¸a˜o 2: O Comprimento e´ a medida da
dimensa˜o espacial de um objeto. A unidade do
comprimento e´ o metro (m), que e´ definido como
a distaˆncia percorrida pela luz no va´cuo durante
um intervalo de tempo de 1/299792458 segundos
(≈ 3,3×10−9 s).
Historicamente, o metro foi definido como
o comprimento de uma barra de platina e ir´ıdio
fabricada pela Comissa˜o Internacional de Pesos e
Medidas, e se que encontra guardada no escrito´rio
de Pesos e Medidas em Paris.
Prefixos de unidades
A`s vezes torna-se necessa´rio trabalhar com
medidas que sa˜o muito menores ou muito maio-
res que as unidades SI. Nessas situac¸o˜es podemos
usar outras unidades, relacionadas a`s unidades SI
por um mu´ltiplo ou submu´ltiplo de dez. Prefixos
sa˜o usados para designar as diferentes poteˆncias de
dez. Por exemplo, o prefixo “quilo” significa 103,
enquanto oprefixo “micro” significa 10−6. A se-
guinte tabela lista os prefixos mais usuais.
1
Factor Prefixo Abreviatura
109 giga G
106 mega M
103 quilo k
102 hecto h
101 deca da
10−1 deci d
10−2 centi c
10−3 mili m
10−6 micro µ
10−9 nano n
Estes prefixos podem ser aplicados a qualquer uni-
dade SI; por exemplo, 0,001 s = 10−3 s = 1 ms (um
milissegundo).
Movimento
Denomina-se movimento ao deslocamento
cont´ınuo de um objeto em relac¸a˜o a outro objeto
de refereˆncia. Para falar de movimento e´ impres-
cind´ıvel ter pelo menos dois objetos: o primeiro
move-se em relac¸a˜o ao segundo ou vice-versa. Por
exemplo, imagine que um u´nico objeto seja isolado
no espac¸o, onde na˜o existem outros objetos na sua
proximidade, neste caso, na˜o sera´ poss´ıvel determi-
nar se o objeto esta´ em movimento ou esta´ em re-
pouso, pois na auseˆncia de um objeto de refereˆncia,
na˜o havera´ possibilidade de fazer medic¸o˜es.
Sistema de refereˆncia
Para estudar o movimento de um objeto A
e´ necessa´rio a presenc¸a de um objeto de refereˆncia,
assim todas as medic¸o˜es sobre o movimento do ob-
jeto A, se realizara´ em relac¸a˜o ao objeto de re-
fereˆncia. Logo, um observador que se encontra pa-
rado sobre o objeto de refereˆncia, deve ter os instru-
mentos de medida do comprimento e do tempo. Ao
conjunto {objeto de refereˆncia, observador, instru-
mentos de medida} denomina-se sistema de re-
fereˆncia.
Um sistema de refereˆncia muito usual e´ a
superf´ıcie da Terra, onde se encontra um observa-
dor com seus instrumentos de medic¸a˜o. Logo, este
observador podera´, por exemplo, estudar o movi-
mento de qualquer objeto em relac¸a˜o a` superf´ıcie
da Terra, tal como, o voo dos pa´ssaros, o movi-
mento de um carro, etc.
O movimento de um u´nico corpo em relac¸a˜o
a dois diferentes sistemas de refereˆncia pode ter di-
ferentes caracter´ısticas. Por exemplo, imagine um
carro em movimento, o motorista desse carro es-
tara´ em repouso em relac¸a˜o ao carro, pore´m ele
estara´ em movimento em relac¸a˜o a um poste que
se encontra no lado da estrada. Isto significa que o
movimento e´ relativo.
Exerc´ıcios
(1) Exemplo 1-1 (Pag. 6 - TIPLER3)
(2) Exemplo 1-4 (Pag. 10 - TIPLER)
(3) Exemplo 1-5 (Pag. 10 - TIPLER)
(4) Problema 23 (Pag. 23 - TIPLER)
(5) Problema 34 (Pag. 23 - TIPLER)
(6) Problema 35 (Pag. 23 - TIPLER)
(7) Problema 49 (Pag. 49 - TIPLER)
Para resolver alguns dos exerc´ıcios anterio-
res leve em considerac¸a˜o as transformac¸o˜es de uni-
dades: 1 mi (milha) = 1,609 km; 1 ft (pe´) = 30,48
cm; 1 in (polegada) = 25,4 mm.
3Daqui em frente, TIPLER refere-se ao livro Tipler &
Mosca: F´ısica para Cientistas e Engenheiros, Volume 1
2
Cap´ıtulo 1
Cinema´tica: movimento retil´ıneo
O estudo do movimento e os conceitos relaci-
onados de forc¸a e massa e´ chamado de mecaˆnica.
Neste cap´ıtulo comec¸amos o estudo do movimento
examinando a cinema´tica, o ramo da mecaˆnica
que lida com as caracter´ısticas do movimento.
Um bom entendemento da cinema´tica permitira´
compreender os outros ramos da mecaˆnica. No
Cap´ıtulo 3 comec¸aremos o estudo da dinaˆmica, o
ramo da mecaˆnica que relaciona movimento, forc¸a
e massa.
1.1 Movimento Retil´ıneo
Todo movimento que acontece ao longo de
uma linha reta denomina-se movimento retil´ıneo, e
e´ o tipo de movimento mais simples da cinema´tica.
Neste cap´ıtulo estudaremos as caracter´ısticas deste
tipo de movimento. Como exemplo deste tipo de
movimento podemos citar: o movimento de um
carro em uma estrada reta; o movimento de uma
esfera de ac¸o liberado no ar, ou liberado em um
plano inclinado.
Posic¸a˜o
Em f´ısica, a posic¸a˜o de um objeto define-se
como a localizac¸a˜o desse objeto em relac¸a˜o a ou-
tro objeto de refereˆncia (sistema de refereˆncia). A
posic¸a˜o de um objeto pode ser quantificada como a
distaˆncia entre esse objeto e o objeto de refereˆncia.
No contexto do movimento retil´ıneo, a posic¸a˜o de
um objeto se representa matematicamente medi-
ante um nu´mero real x, a posic¸a˜o x = 0 indica que
o objeto esta´ localizado no mesmo lugar que o ob-
jeto de refereˆncia, a posic¸a˜o x > 0 indica que o ob-
jeto esta´ a uma distaˆncia x do objeto de refereˆncia
em uma determinada direc¸a˜o (arbitrariamente es-
colhida), e a posic¸a˜o x < 0 indica que o objeto
esta´ a uma distaˆncia |x| do objeto de refereˆncia na
direc¸a˜o contra´ria ao anterior.
Quando no´s referimos a posic¸a˜o de um ob-
jeto, na verdade estamos no´s referindo a posic¸a˜o
do centro de massa desse objeto. Uma definic¸a˜o
mais elaborada para o centro de massa sera´ apre-
sentada mais na frente, por agora, por simplicidade
podemos considerar o centro de massa de um ob-
jeto como o centro geome´trico desse objeto.
Em f´ısica, denomina-se part´ıcula (ponto
material) a um objeto fict´ıcio que na˜o possui
nenhuma estrutura interna (sem volume). Na
mecaˆnica, por simplicidade, e´ comum aproximar
um objeto real como uma part´ıcula, e´ dizer como
um ponto material. Isso e´ justificado pela fato de
que em muitas situac¸o˜es a estrutura interna de um
objeto na˜o tem influeˆncia considera´vel nas carac-
ter´ısticas do movimento daquele objeto.
Deslocamento
Definic¸a˜o 1.1: Chama-se deslocamento a` va-
riac¸a˜o de posic¸a˜o de um objeto. Seja xi a posic¸a˜o
inicial do objeto e xf a posic¸a˜o final do mesmo
(veja a Figura 1.1), o deslocamento denotado pelo
s´ımbolo ∆x e´ definido como
∆x = xf − xi (1.1)
O x
xfxi
∆x
Figura 1.1: A diferenc¸a da posic¸a˜o final xf e a
posic¸a˜o inicial xi e´ o deslocamento ∆x.
O s´ımbolo ∆1 e´ com frequeˆncia usado para
indicar variac¸a˜o de alguma quantidade, neste caso
∆x indica variac¸a˜o de posic¸a˜o de algum objeto.
E´ importante distinguir a diferenc¸a entre desloca-
mento e distaˆncia percorrida:
• a distaˆncia percorrida por um objeto e´ o com-
primento do caminho percorrido pelo ob-
jeto, desde sua posic¸a˜o inicial ate´ sua posic¸a˜o
final, a distaˆncia percorrida e´ sempre uma
quantidade real positiva;
• o deslocamento e´ a variac¸a˜o de posic¸a˜o de
um objeto, e pode ser uma quantidade posi-
1Denomina-se delta no alfabeto grego
3
1.2 Movimento retil´ıneo uniforme (MRU) 4
tiva ou negativa, dependendo da direc¸a˜o de
movimento do objeto.
Exemplo 1.1: Voceˆ esta´ exercitando um cachorro.
O cachorro esta´ inicialmente junto a voceˆ. Depois,
ele corre 20 ft (1 feet [ft] ≈ 30 cm) em linha reta
para buscar um graveto e traz o graveto de volta
15 ft pelo mesmo caminho, antes de se deitar no
cha˜o e comec¸ar a mascar o graveto.
(a) Qual a distaˆncia total percorrida pelo ca-
chorro?
(b) Qual o deslocamento final do cachorro?
(c) Mostre que o deslocamento final da viagem e´ a
soma dos sucessivos deslocamentos realizados
na viagem.
0 5 10 15 20 x [ft]
x0 = 0 x2 = 5 ft x1 = 20 ft
Tempo 1Tempo 2Tempo 0
Figura 1.2: As bolinhas pretas representam o ca-
chorro nas diferentes posic¸o˜es.
Soluc¸a˜o:
(a)
(i) Fac¸a um diagrama do movimento (veja a
Figura 1.2), inclua o eixo x;
(ii) Calcule a distaˆncia total percorrida:
s02 = s01+s12 = (20 ft)+(15 ft) = 35 ft,
em que s01 e´ a distaˆncia percorrida entre
o tempo 0 e o tempo 1, e s12 e´ a distaˆncia
percorrida entre o tempo 1 e o tempo 2.
(b) O deslocamento final e´ encontrado a partir de
sua definic¸a˜o, ∆x = xf−xi, em que xi = x0 =
0 e´ a posic¸a˜o inicial do cachorro, e xf = x2 = 5
ft e´ a posic¸a˜o final do cachorro:
∆x02 = x2 − x0 = 5 ft− 0 ft = 5 ft.
(c) O deslocamento final tambe´m e´ encontrado so-
mando o deslocamento da primeira corrida e
o deslocamento da segunda corrida:
∆x01 = x1 − x0 = 20 ft− 0 ft = 20 ft
∆x12 = x2 − x1 = 5 ft− 20 ft = −15 ft
somando obtemos
∆x01 +∆x12 = (x1 − x0) + (x2 − x1)
= x2 − x0
= ∆x02
logo
∆x02 = ∆x01 +∆x12 = 20 ft− 15 ft = 5 ft.
1.2 Movimento retil´ıneo uni-
forme (MRU)
Quando um objeto se desloca amesma quan-
tidade em intervalos de tempo de igual durac¸a˜o, di-
zemos que o objeto realiza um movimento retil´ıneo
uniforme (MRU). Por exemplo, veja a Figura 1.3,
note que por cada segundo transcorrido o objeto
sempre se desloca 20 cm, isto e´ um movimento uni-
forme.
Figura 1.3: Movimento retil´ıneo uniforme.
Velocidade
Definic¸a˜o 1.2: A velocidade de um objeto define-
se como a taxa de variac¸a˜o da posic¸a˜o daquele ob-
jeto em relac¸a˜o ao tempo, e´ dizer, e´ uma medida de
quanto se desloca um objeto por unidade de tempo.
Quantitativamente, a velocidade v de um objeto se
determina da seguinte maneira
v =
∆x
∆t
(1.2)
em que ∆x e´ o deslocamento do objeto no intervalo
de tempo ∆t. A unidade da velocidade no SI e´ o
metro por segundo (m/s ou m·s−1).
Em nosso exemplo o objeto se desloca 20 cm
por cada segundo transcorrido, portanto a veloci-
dade do objeto sera´ 20 cm/s ou no SI 0,2 m/s. Note
que a velocidade mante´m o mesmo valor indepen-
dentemente do intervalo de tempo escolhido, isto e´
a caracter´ıstica principal de um MRU.
A velocidade v de um objeto sempre tem
o mesmo sinal que o deslocamento ∆x do objeto,
devido a que o intervalo de tempo ∆t que aparece
na equac¸a˜o (1.2) e´ sempre uma quantidade positivo
(por definic¸a˜o, o tempo sempre aumenta). O valor
absoluto da velocidade, |v|, denomina-se rapidez
do objeto.
1.3 Movimento retil´ıneo uniformemente acelerado (MRUA) 5
Exemplo 1.2: O cachorro que voceˆ estava exerci-
tando no exemplo anterior correu 20 ft afastando-
se de voceˆ em 1, 0 s, apanhou o graveto e voltou
caminhando 15 ft em 1, 5 s. Calcule a velocidade
me´dia2 do cachorro (a) na ida, (b) na volta, e (c)
para o total da viagem.
Soluc¸a˜o: Por definic¸a˜o, a velocidade e´ dada pela
fo´rmula v = ∆x∆t .
(a) Na ida temos xi = 0 ft e ti = 0 s, xf = 20 ft e
tf = 1 s. Assim a velocidade fica
vida =
20 ft− 0 ft
1 s− 0 s =
20 ft
1 s
= 20 ft/s
= 20 ft · s−1.
(b) Na volta temos xi = 20 ft e ti = 1 s, xf = 5 ft
e tf = 2, 5 s. Assim a velocidade fica
vvolta =
5 ft− 20 ft
2, 5 s− 1 s =
−15 ft
1, 5 s
= −10 ft/s
= −10 ft · s−1.
(c) Para o total da viagem xi = 0 ft e ti = 0 s,
xf = 5 ft e tf = 2, 5 s. Assim a velocidade fica
vviagem =
5 ft− 0 ft
2, 5 s− 0 s =
5 ft
2, 5 s
= 2 ft/s
= 2 ft · s−1.
A velocidade me´dia do trecho total (c) e´ menos in-
formativa que a velocidade me´dia nos trechos par-
ciais (a) e (b).
1.3 Movimento retil´ıneo uni-
formemente acelerado
(MRUA)
O movimento retil´ıneo em que um objeto
se desloca diferentes quantidades em intervalos de
tempo iguais (veja a Figura 1.4) denomina-se mo-
vimento acelerado. Logo em um movimento ace-
lerado a velocidade vai adotar diferentes valores
dependendo do intervalo de tempo adotado, e´ di-
zer, a velocidade varia a medida que transcorre o
tempo. Por exemplo, na Figura 1.4 nota-se que a
pequena esfera sobre um plano inclinado vai per-
correndo distaˆncia maiores a medida que aumenta
o tempo, isso significa que o objeto vai ficando cada
vez mais veloz (aumenta sua velocidade).
Velocidade instantaˆnea
2Quando o intervalo de tempo ∆t na definic¸a˜o da velo-
cidade (equac¸a˜o (1.2)) na˜o for pequeno, a velocidade recebe
o nome de velocidade me´dia.
Figura 1.4: Movimento retil´ıneo uniformemente
acelerado.
Definic¸a˜o 1.3: A velocidade instantaˆnea define-
se como a velocidade de um objeto em um instante
de tempo dado. Para determinar a velocidade ins-
tantaˆnea no tempo t, se escolhe um intervalo de
tempo [t, t + ∆t], em que ∆t e´ a largura tempo-
ral do intervalo, e calcula-se a velocidade usando
a equac¸a˜o (1.2), logo se realiza o limite ∆t → 0
de modo que o intervalo tenha a apareˆncia pontual
(instantaˆnea) de tempo. Assim, quantitativamente
a velocidade instantaˆnea e´ definida como
v = lim
∆t→0
∆x
∆t
=
dx
dt
(1.3)
que e´ a derivada da func¸a˜o posic¸a˜o x(t) em relac¸a˜o
ao tempo t.
Para determinar a velocidade instantaˆnea
(daqui em frente denominada somente como velo-
cidade) sera´ necessario conhecer a func¸a˜o x = x(t)
da posic¸a˜o em relac¸a˜o ao tempo (lei hora´ria). No
exemplo da Figura 1.4, notamos que os valores da
posic¸a˜o seguem uma lei matema´tica em relac¸a˜o aos
valores do tempo, podemos notar que cumpri-se a
lei
x = αt2
em que α = 10 cm/s2. Logo a velocidade no tempo
t sera´
v =
dx
dt
=
d
dt
(
αt2
)
= 2αt
que tambe´m e´ uma func¸a˜o do tempo, neste caso
uma func¸a˜o linear do tempo. Logo algunos valores
particulares da velocidade sa˜o:
t (s) 0 1 2 3 4
v (cm/s) 0 20 40 60 80
Da tabela anterior notamos que a velocidade
vai aumentando uniformemente (a mesma quanti-
dade por cada unidade de tempo). Um movimento
1.4 O problema inverso 6
retil´ıneo em que a velocidade vai variando unifor-
memente denomina-semovimento retil´ıneo uni-
formemente acelerado (MRUA).
Acelerac¸a˜o
Definic¸a˜o 1.4: A acelerac¸a˜o define-se como a taxa
de variac¸a˜o da velocidade em relac¸a˜o ao tempo, e´
dizer, e´ uma medida de quanto varia a velocidade
de um objeto por unidade de tempo. Quantita-
tivamente, a acelerac¸a˜o a de um objeto se define
como
a =
∆v
∆t
(1.4)
em que ∆v e´ a variac¸a˜o da velocidade do objeto no
intervalo de tempo ∆t. A unidade da acelerac¸a˜o
no SI e´ o metro por segundo ao quadrado (m/s2 ou
m·s−2).
Para o movimento apresentado na Figura
1.4, em que os valores da velocidade sa˜o apresen-
tados na tabela anterior, a acelerac¸a˜o do objeto
sera´ 20 cm/s2, independentemente do intervalo de
tempo adotado, e´ dizer, a acelerac¸a˜o do objeto se
mante´m constante.
Um movimento retil´ıneo em que a acelerac¸a˜o
se mante´m constante, denomina-se movimento re-
til´ıneo uniformemente acelerado.
Acelerac¸a˜o instantaˆnea
Definic¸a˜o 1.5: Da mesma forma que para a ve-
locidade instantaˆnea, para determinar a acelerac¸a˜o
instantaˆnea no tempo t, se escolhe um intervalo de
tempo [t, t+∆t], e calcula-se a acelerac¸a˜o usando
a equac¸a˜o (1.4), logo se realiza o limite ∆t→ 0. E´
dizer,
a = lim
∆t→0
∆v
∆t
=
dv
dt
(1.5)
que e´ a derivada da func¸a˜o velocidade v(t) em
relac¸a˜o ao tempo t.
Combinando as equac¸o˜es (1.3) e (1.5) encon-
tramos
a =
dv
dt
=
d
dt
(
dx
dt
)
=
d2x
dt2
(1.6)
em que a acelerac¸a˜o de um objeto e´ a derivada
segunda da func¸a˜o posic¸a˜o do objeto em relac¸a˜o
ao tempo.
Exerc´ıcio 1.1: A posic¸a˜o de uma part´ıcula no
eixo x e´ dada por x = 4 − 27t + t3, com x em
metros e t em segundos.
(a) Determine a func¸a˜o velocidade v(t) e a func¸a˜o
acelerac¸a˜o a(t) da part´ıcula.
(b) Existe algum instante para o qual v = 0?
Exerc´ıcio 1.2: A posic¸a˜o de uma part´ıcula que se
move em um eixo x e´ dada pela “lei hora´ria”
x = 7, 8 + 9, 2t− 2, 1t3,
com x em metros e t em segundos. Qual e´ a velo-
cidade da part´ıcula em t = 3, 5 s? a velocidade e´
constante ou esta´ variando continuamente?
Exerc´ıcio 1.3: Depois de dirigir uma van em uma
estrada retil´ınea por 8,4 km a 70 km/h, voceˆ pa´ra
por falta de gasolina. No´s 30 min seguintes voceˆ
caminha por mais 2,0 km ao longo da estrada ate´
chegar ao posto de gasolina mais pro´ximo.
(a) Qual e´ o deslocamento total, desde o in´ıcio da
viagem ate´ chegar ao posto de gasolina?
(b) Qual e´ o intervalo de tempo ∆t entre o in´ıcio
da viagem e o instante em que voceˆ chega ao
posto?
(c) Qual e´ a velocidade me´dia v¯ do in´ıcio da via-
gem ate´ a chegada ao posto de gasolina?
Exerc´ıcio 1.4: A posic¸a˜o de um objeto que se
move ao longo de um eixo x e´ dada por x =
2t − t2 + t3, onde x esta´ em metros (m) e t em
segundos (s).
(a) Qual e´ o deslocamento e a velocidade me´dia
do objeto para o intervalo de tempo de t = 0
s a t = 4 s?
(b) Qual e´ o deslocamento e a velocidade me´dia
do objeto para o intervalo de tempo de t = 4
s a t = 7 s?
1.4 O problema inversoVimos como, conhecendo a lei hora´ria de um
objeto, ou seja, a func¸a˜o x = x(t), e´ poss´ıvel cal-
cular a velocidade v(t) e logo a acelerac¸a˜o a(t) do
objeto, para isso usando o Ca´lculo Diferencial.
Pore´m, frequentemente temos de resolver o
problema inverso, em que conhecendo a func¸a˜o ace-
lerac¸a˜o a = a(t) de um objeto, precisamos deter-
minar a velocidade e a posic¸a˜o do objeto.
Para determinar a velocidade vamos partir
da equac¸a˜o (1.5), escrevendo
dv
dt
= a(t)
que e´ uma equac¸a˜o diferencial de primeira ordem,
que devemos resolver integrando ela. Integrando a
equac¸a˜o anterior considerando os limites de inte-
1.5 Queda livre 7
grac¸a˜o t = 0 e t = τ , temos∫ τ
0
dv
dt
dt =
∫ τ
0
a(t)dt
v(τ)− v(0) =
∫ τ
0
a(t)dt
v(τ) = v(0) +
∫ τ
0
a(t)dt (1.7)
em que v(0) e´ a velocidade inicial do objeto. A
equac¸a˜o (1.7) permite encontrar a velocidade a par-
tir da acelerac¸a˜o a(t) e do valor inicial da veloci-
dade v(0).
Uma vez determinada a velocidade, pode-
mos usar novamente a te´cnica de integrac¸a˜o para
determinar a posic¸a˜o de um objeto. Neste caso
vamos integrar a equac¸a˜o (1.3), logo temos∫ τ
0
dx
dt
dt =
∫ τ
0
v(t)dt
x(τ)− x(0) =
∫ τ
0
v(t)dt
x(τ) = x(0) +
∫ τ
0
v(t)dt (1.8)
em que x(0) e´ a posic¸a˜o inicial do objeto
Lei hora´ria do MRU
O MRU e´ um movimento retil´ıneo em que
a velocidade se mante´m constante no tempo, logo
v(t) = v0, em que v0 e´ uma quantidade constante.
Usando a fo´rmula (1.8), temos
x(t) = x(0) + v0 t, (1.9)
logo, a lei hora´ria de um MRU e´ uma func¸a˜o linear.
Lei hora´ria do MRUA
Em umMRUA a acelerac¸a˜o se mante´m cons-
tante, logo a(t) = a0, em que a0 e´ uma quantidade
constante. Usando a fo´rmula (1.7), temos
v(t) = v(0) + a0 t, (1.10)
em que a velocidade e´ uma func¸a˜o linear do tempo.
Para determinar a lei hora´ria usaremos a fo´rmula
(1.8) conjuntamente com o resultado (1.10) para a
velocidade, logo
x(τ) = x(0) +
∫ τ
0
[v(0) + a0 t]dt
x(τ) = x(0) + v(0) τ +
a0
2
τ2
substituindo τ por t, temos
x(t) = x(0) + v(0) t+
a0
2
t2 (1.11)
a lei hora´ria de um MRUA e´ uma func¸a˜o
quadra´tica.
1.5 Queda livre
Figura 1.5: Queda livre de uma bolinha.
Um objeto em queda livre e´ um exemplo
t´ıpico de MRUA, cuja acelerac¸a˜o e´ aproximada-
mente a = −g, em que g = 9, 8 m/s2, neste caso a
direc¸a˜o de posic¸o˜es positivas e´ para cima.
Seja uma bolinha liberada no ar a partir de
uma altura H em relac¸a˜o ao solo e desde o repouso
(velocidade inicial nulo), logo usando a equac¸a˜o
(1.11) temos a lei hora´ria para este caso,
x(t) = H − g
2
t2 (1.12)
No momento em que a bolinha toca o solo a posic¸a˜o
se anula, e´ dizer cumpri-se x(t) = 0, resolvendo
esta equac¸a˜o podemos determinar a durac¸a˜o da
queda t, e´ dizer, fazendo
H − g
2
t2 = 0
2H
g
= t2
t =
√
2H
g
(1.13)
que e´ o tempo que demora a bolinha para chegar
no solo.
Exemplo 1.3: Frequentemente interessa tambe´m
expressar a velocidade no MRUA em func¸a˜o da
posic¸a˜o x (em lugar do tempo t), mostre que esta
1.5 Queda livre 8
relac¸a˜o e´ dada como
v2 = v20 + 2a(x− x0) (1.14)
em que a e´ a acelerac¸a˜o.
Soluc¸a˜o: A partir da fo´rmula (1.10) obtemos
t =
v − v0
a
logo substituindo na relac¸a˜o (1.11) obtemos
x = x0 + v0
v − v0
a
+
1
2
a
(v − v0)2
a2
x− x0 = v − v0
a
[
v0 +
v
2
− v0
2
]
=
(v − v0)(v + v0)
2a
=
v2 − v20
2a
v2 = v20 + 2a(x− x0).
Exerc´ıcio 1.5: Um motorista freia seu carro uni-
formemente, de tal maneira que a velocidade cai de
60 km/h a 30 km/h em 5 s.
(a) Que distaˆncia o carro ainda percorrera´ depois
disso ate´ parar?
(b) E quanto tempo levara´ para percorrer essa
distaˆncia adicional?
Dica: utilize a fo´rmula (1.14) para determinar a
distaˆncia percorrida.
Exerc´ıcio 1.6: Um guepardo pode acelerar de 0
a 96 km/h em 2,0 s, enquanto um automo´vel co-
mum requer 4,5 s. Calcule as acelerac¸o˜es me´dias
do guepardo e do automo´vel e compare-as com a
acelerac¸a˜o de queda livre, g = 9, 8 m/s2.
Exerc´ıcio 1.7: Um part´ıcula se desloca ao longo
de um eixo x com uma acelerac¸a˜o dada pela lei
a(t) = αt
onde α = 5 m/s3, e t e´ o tempo em segundos.
Considere que a part´ıcula parte do repouso e da
posic¸a˜o x0 = 1 m no tempo inicial t = 0 s:
(a) determine a lei hora´ria x(t) e a velocidade em
func¸a˜o do tempo;
(b) determine a posic¸a˜o e a velocidade da
part´ıcula no tempo t = 2 s;
(c) determine o deslocamento, a velocidade me´dia
e a acelerac¸a˜o me´dia da part´ıcula para o inter-
valo de tempo de t = 0 s ate´ t = 3 s.
Exerc´ıcios adicionais
(1) Exemplo 2-9 (Pag. 40 - TIPLER)
(2) Exemplo 2-14 (Pag. 44 - TIPLER)
(3) Problema 54 (Pag. 56 - TIPLER)
(4) Problema 73 (Pag. 57 - TIPLER)
(5) Problema 77 (Pag. 57 - TIPLER)
Cap´ıtulo 2
Cinema´tica: movimento em um plano
Neste cap´ıtulo, vamos passar do estudo de
movimento retil´ıneo ao estudo de movimento num
plano, que inclui muitos casos importantes, como
o movimento dos proje´teis e o movimento da Terra
em torno do Sol.
2.1 Descric¸a˜o em termos de
coordenadas
Pode-se especificar a posic¸a˜o de um objeto
num plano atrave´s de dois paraˆmetros, que sa˜o suas
coordenadas em relac¸a˜o a um dado referencial. Se
adotarmos coordenadas cartesianas, por exemplo,
a posic¸a˜o de um objeto em qualquer tempo t sera´
descrita pelo par de func¸o˜es
(x(t), y(t))
em que x(t) e´ a abscissa e y(t) a ordenada do objeto
no instante t (veja a Figura 2.1).
x
y
x (t)
y (t)
O
P(x,y)
Figura 2.1: Movimento num plano.
A medida que o objeto P se move ao longo
da sua trajeto´ria (veja a Figura 2.1), suas projec¸o˜es
sobre os eixos Ox e Oy se movem correspon-
dentemente, descrevendo movimentos unidimensi-
onais. Assim, podemos decompor o movimento so-
bre um plano em dois movimentos unidimensionais
simultaˆneos e independentes, este fato foi obser-
vado pela primeira vez por Galileu e permitiu-lhe
descrever corretamente o movimento dos proje´teis.
Exemplo 2.1: Se um canha˜o horizontal numa
torre atira paralelamente ao horizonte, na˜o impor-
tando se a carga de po´lvora e´ grande ou pequena,
ou se a bala caia a mil jardas de distaˆncia, ou qua-
tro mil, ou seis mil; todos estes tiros levam o mesmo
tempo para atingir o cha˜o, e este tempo e´ igual ao
que a bala levaria para cair desde a boca do canha˜o
ate´ o solo diretamente sem qualquer velocidade ini-
cial.
2.2 Descric¸a˜o em termos de
vetores
Um objeto que realiza um movimento re-
til´ıneo pode-se deslocar somente em duas direc¸o˜es,
e podemos definir o deslocamento como um nu´mero
real, em que um numero real positivo representa
um deslocamento em uma determinada direc¸a˜o e
um real negativo representa um deslocamento na
direc¸a˜o contra´ria. Pore´m no caso em que um ob-
jeto realize movimento sobre um plano, existe um
nu´mero infinito de direc¸o˜es na qual o objeto pode-
se mover, assim o sinal de um nu´mero real na˜o e´
suficiente para indicar a direc¸a˜o de deslocamento,
neste caso sera´ necessa´rio introduzir um novo ente
matema´tico denominado vetor.
A f´ısica lida com um grande nu´mero de
quantidades que possuem valor e orientac¸a˜o, e
para descrever elas precisa-se de uma a´lgebra ma-
tema´tica especial, que denomina-se a´lgebra veto-
rial.
Vetor e Escalar
Definic¸a˜o 2.1: Um vetor1 e´ um ente matema´tico
que possui mo´dulo (valor ou magnitude) e uma
orientac¸a˜o. Os vetores se somam (combinam) se-
gundo a regra do paralelogramo, que sera´ apresen-
tado mais em frente. Geralmente um vetor e´ repre-
1Um vetor e´ uma classe de equipoleˆncia de segmentos
orientados do espac¸o ou do plano. Se (A,B) e´ um segmento
orientado, o vetor correspondente (ou seja, o vetor cujo re-
presentante e´ (A,B)) sera´ indicado por
−→
AB [I. de Camargo:Geometria Anal´ıtica].
9
2.3 A´lgebra vetorial 10
sentado geometricamente mediante um segmento
orientado.
Uma quantidade f´ısica que seja representada
por um vetor2 denomina-se quantidade vetorial,
sa˜o exemplos de quantidades vetoriais, o desloca-
mento, a velocidade, a acelerac¸a˜o, e a forc¸a. Uma
quantidade f´ısica que seja representada por um
nu´mero real denomina-se quantidade escalar ou
simplesmente escalar, sa˜o exemplos de escalares,
a temperatura, a pressa˜o, a energia, a massa e o
tempo.
2.3 A´lgebra vetorial
Adic¸a˜o de vetores
A cada par de vetores ~u e ~v corresponde o
vetor soma ou resultante ~u+~v, que se determina
geometricamente usando a regra do paralelogramo
(ou a regra do triaˆngulo), tal como me mostra na
Figura 2.2.
~u + ~v
~v
~u
Figura 2.2: Soma ou adic¸a˜o dos vetores ~u e ~v.
Propriedades de vetores
I P1 - PROPRIEDADE COMUTATIVA:
a ordem em que os vetores sa˜o somados e´
irrelevante, somar ~u a ~v e´ o mesmo que somar
~v a ~u, ou seja,
~u+ ~v = ~v + ~u
I P2 - PROPRIEDADE ASSOCIATIVA:
quando existem mais de dois vetores podemos
agrupa´-los em qualquer ordem para soma´-los.
Assim, se queremos somar os vetores ~u, ~v, e ~w,
podemos primeiro somar ~u e ~v e depois somar
o resultado a ~w. Podemos tambe´m somar
primeiro ~v e ~w e depois somar o resultado a
~u, o resultado e´ o mesmo, e´ dizer
(~a+~b) + ~c = ~a+ (~b+ ~c)
2Daqui em diante, denotaremos um vetor mediante uma
seta sobre um s´ımbolo em ita´lico, por exemplo ~u indica um
vetor.
I P3 - EXISTEˆNCIA DO VETOR NULO:
existe o vetor ~0, denominado vetor nulo, tal
que satisfaz
~u+~0 = ~u
para qualquer vetor ~u.
I P4 - EXISTEˆNCIA DO VETOR OPOSTO:
para qualquer vetor na˜o nulo ~u existe outro
vetor −~u, denominado vetor oposto de ~u, tal
que
~u+ (−~u) = ~0
−~u e ~u teˆm o mesmo mo´dulo, pore´m teˆm sen-
tidos opostos, tal como mostra a Figura 2.3.
−~u
~u
Figura 2.3: Os vetores ~u e −~u teˆm o mesmo mo´dulo
e sentidos opostos.
I P5 - SUBTRAC¸A˜O DE VETORES:
dado os vetores ~u e ~v, existe o vetor diferenc¸a
de ~u com ~v denotado como “~u−~v”, e definido
como a soma de ~u e o vetor oposto de ~v, e´
dizer
~u− ~v = ~u+ (−~v)
O vetor diferenc¸a ~u− ~v tem a propriedade de
que ao somar com ~v se simplifica a ~u.
I P6 - MULTIPLICAC¸A˜O COM UM REAL:
para um nu´mero real λ e para um vetor ~u
se associa um novo vetor indicado por λ~u tal
que:
• Se λ = 0 ou ~u = ~0, enta˜o λ~u = ~0, por
definic¸a˜o.
• Se λ 6= 0 e ~u 6= ~0, λ~u e ~u sa˜o vetores
paralelos (tem a mesma inclinac¸a˜o):
(i) se λ > 0, λ~u e ~u teˆm mesmo sentido;
(ii) se λ < 0, λ~u e ~u teˆm sentidos opos-
tos.
O mo´dulo de λ~u e´ definido como,
‖λ~u‖ = |λ| · ‖~u‖
em que o s´ımbolo “‖ ‖” denota o mo´dulo
do vetor e “| |” denota valor absoluto do
nu´mero real.
2.3 A´lgebra vetorial 11
Produto escalar
Definic¸a˜o 2.2: Sejam ~u e ~v vetores na˜o-nulos.
Chama-semedida angular entre ~u e ~v a medida φ
do aˆngulo formado pelos segmentos orientados que
representam esses vetores, em que esses segmen-
tos orientados devem ter a mesma origem. Sobre
o nu´mero φ impo˜e-se a restric¸a˜o 0 ≤ φ ≤ pi se a
unidade adotada for radiano, ou 0 ≤ φ ≤ 180, se
for grau. Indica-se φ por ang(~u,~v).
~u
~v
φ
Figura 2.4: Medida angular entre ~u e ~v.
Definic¸a˜o 2.3: Produto escalar dos vetores ~u e
~v, indicado por ~u · ~v, e´ o nu´mero real tal que:
(a) se ~u ou ~v e´ nulo, ~u · ~v = 0;
(b) se ~u e ~v na˜o sa˜o nulos e φ e´ a medida angular
entre eles, ~u · ~v = ‖~u‖‖~v‖ cosφ.
Componentes de um vetor
Somar vetores geometricamente pode ser
uma tarefa tediosa. Uma te´cnica mais elegante e
mais simples envolve o uso da a´lgebra, mas requer
que os vetores sejam representados em um sistema
de coordenadas retangulares ou cartesianas. Os ei-
xos x e y sa˜o normalmente desenhados no plano do
papel, como na Figura 2.5. O eixo z e´ perpendicu-
lar ao papel; vamos ignora´-lo, por agora, e tratar
apenas os vetores bidimensionais.
Geometricamente, a componente de um
vetor sobre um eixo dado e´ a projec¸a˜o ortogonal
desse vetor sobre aquele eixo. Para determinar a
projec¸a˜o de um vetor sobre um eixo dado, primei-
ramente fac¸a coincidir a origem da seta que repre-
senta o vetor com a origem de sistema de coorde-
nadas, logo trac¸e uma reta perpendicular ao eixo
dado a partir da extremidade da seta, como se mos-
tra na Figura 2.5.
• A projec¸a˜o de um vetor em relac¸a˜o ao eixo x
e´ chamada de componente x do vetor; ana-
logamente, a projec¸a˜o em relac¸a˜o ao eixo y
recebe o nome de componente y.
θ
~u
x
y
ux
uy
O
Figura 2.5: Componentes de um vetor.
• O processo de obter as componentes de um
vetor e´ chamado de decomposic¸a˜o de um
vetor.
Sejam ux e uy as componentes x e y, res-
pectivamente, do vetor ~u, tal como se mostra na
Figura 2.5, logo usando trigonometria e´ poss´ıvel
mostrar as seguintes relac¸o˜es
ux = u cos θ
uy = u sen θ
}
(2.1)
onde θ e´ o aˆngulo que o vetor ~u faz com o semi-eixo
x positivo (inclinac¸a˜o do vetor) e u e´ o mo´dulo de
~u, e´ dizer u = ‖~u‖. Logo, fazendo algumas mani-
pulac¸o˜es na equac¸a˜o (2.1) determina-se as seguin-
tes equac¸o˜es
u =
√
u2x + u
2
y e tan θ =
uy
ux
(2.2)
que permite determinar o mo´dulo e a inclinac¸a˜o
(aˆngulo θ) de qualquer vetor, a partir de suas suas
componentes.
Exerc´ıcio 2.1: Seja ~a um vetor representado pelo
segmento orientado
−−→
OP , em que O e´ o origem de
coordenadas, e P e´ um ponto cujas coordenadas
sa˜o (-2,1). Determine o mo´dulo e a inclinac¸a˜o do
vetor ~a.
Exerc´ıcio 2.2: Um pequeno avia˜o decola de um
aeroporto em um dia nublado e e´ avistado mais
tarde a 215 km de distaˆncia, em um curso que faz
um aˆngulo de 22◦ a leste do norte. A que distaˆncia
a leste e ao norte do aeroporto esta´ o avia˜o no
momento em que e´ avistado?
Vetores unita´rios
Um vetor denomina-se unita´rio se e so-
mente se o vetor tiver mo´dulo igual a unidade. Um
vetor unita´rio na˜o possui dimensa˜o nem unidade;
sua u´nica func¸a˜o e´ especificar uma orientac¸a˜o.
2.3 A´lgebra vetorial 12
O vetor unita´rio uˆ associado a um vetor na˜o-
nulo ~u e´ u´nico e determina-se a partir da seguinte
fo´rmula
uˆ =
~u
‖~u‖ (2.3)
dado que 1/‖~u‖ > 0 enta˜o uˆ e ~u devem ter a mesma
direc¸a˜o, em geral uˆ e ~u teˆm mo´dulos diferentes.
Qualquer vetor unita´rio designa-se pelo s´ımbolo “ˆ
” em vez de uma seta “~ ”.
Exerc´ıcio 2.3: Mostre que o versor (vetor
unita´rio) definido pela equac¸a˜o (2.3) tem mo´dulo
exatamente igual a unidade.
Isolando ~u na equac¸a˜o (2.3) pode-se encon-
trar a seguinte relac¸a˜o muito util,
~u = ‖~u‖ · uˆ
que decompo˜e qualquer vetor em func¸a˜o do seu
mo´dulo e sua orientac¸a˜o.
• Os vetores unita´rios nas direc¸o˜es dos semi-
eixos x e y positivos sa˜o designados pelos
s´ımbolos iˆ e jˆ respectivamente, ou enta˜o por
xˆ e yˆ, tal como se veˆ na Figura 2.6, esse veto-
res unita´rios denominam-se vetores unita´rios
cartesianos.
y
x
uxiˆ
uyjˆ
iˆO
~u
jˆ
Figura 2.6: Descomposic¸a˜o de vetor.
Expressa˜o a´lgebrica de um vetor
Qualquer vetor sobre o plano cartesiano
xy pode ser expressado em func¸a˜o dos vetores
unita´rios cartesianos iˆ e jˆ. A regra do paralelo-
gramo permite mostrar que o vetor ~u da Figura
2.6 pode ser expressado como:
~u = uxiˆ+ uy jˆ (2.4)
em que os vetores uxiˆ e uy jˆ sa˜o denominados com-
ponentes vetoriais de ~u, e os nu´meros ux e uy
sa˜o as componentes escalares ou simplesmente
componentes de ~u.
Usando a esseˆncia da equac¸a˜o (2.4) podemos
somar vetores usando suas componentes. Seja o
par de vetores
~u = uxiˆ+ uy jˆ e ~v = vxiˆ+ vy jˆ
logo enta˜o
~u+ ~v = (ux + vx)ˆi+ (uy + vy)jˆ (2.5)
e´ dizer, para determinar as componentes do vetor
soma basta somar as correspondentes componentes
dos dois vetores,isto e´ verificado geometricamente
na Figura 2.7 usando a regra do triaˆngulo3.
O
~uuy
ux
~v
y
x
vx
vy
ux + vx
uy + vy
Figura 2.7: Componentes da soma.
Da mesma forma pode-se encontrar a multi-
plicac¸a˜o de um vetor por um escalar λ,
λ~v = λ(vxiˆ+ vy jˆ) = λvxiˆ+ λvy jˆ (2.6)
ou seja, as componentes de λ~v sa˜o λvx e λvy.
Exerc´ıcio 2.4: Um explorador polar foi surpreen-
dido por uma nevasca, que reduziu a visibilidade
a praticamente zero, quando retornava ao acam-
pamento. Para chegar ao acampamento ele deve-
ria caminhar 5,6 km para o norte, mas quando o
tempo melhorou percebeu que na realidade tinha
caminhado 7,8 km em uma direc¸a˜o 50◦ ao norte do
leste. (a) Que distaˆncia e (b) em que sentido deve
caminhar para voltar a` base?
Exerc´ıcio 2.5: O oa´sis B esta´ 25 km a leste do
oa´sis A. Partindo do oa´sis A, um camelo percorre
24 km em uma direc¸a˜o 15◦ ao sul do leste e 8,0
3A regra do triaˆngulo consiste em que para somar os ve-
tores ~a e ~b por exemplo, devemos seguir os seguintes passos:
(i) desenhe o vetor ~a em uma escala conveniente e no aˆngulo
apropriado;
(ii) desenhe o vetor ~b na mesma escala, com a origem na
extremidade do vetor ~a, tambe´m no aˆngulo apropri-
ado;
(iii) o vetor soma ~s e´ o vetor que vai da origem de ~a a`
extremidade de ~b.
2.4 Posic¸a˜o e deslocamento 13
km para o norte. A que distaˆncia o camelo esta´ do
oa´sis B?
Exerc´ıcio 2.6: Usando a lei dos cossenos mostre
que o produto escalar dos vetores ~u = uxiˆ+ uy jˆ e
~v = vxiˆ+ vy jˆ e´ dado como
~u · ~v = uxvx + uyvy (2.7)
2.4 Posic¸a˜o e deslocamento
Definic¸a˜o 2.4: A posic¸a˜o de um objeto pode ser
especificada atrave´s de um vetor ~r denominado ve-
tor posic¸a˜o. O vetor posic¸a˜o de um objeto e´ de-
finido como
~r = xiˆ+ yjˆ (2.8)
em x e y sa˜o as coordenadas cartesianas do objeto
no plano xy, e iˆ e jˆ sa˜o os versores4 cartesianos.
Geometricamente o vetor posic¸a˜o pode-se represen-
tar mediante uma seta que comec¸a na origem de
coordenadas e vai ate´ a posic¸a˜o que ocupa o objeto
no plano xy, tal como pode-se ver na Figura 2.8.
~r
x
y
O
(-3 m)ˆi
(2 m)jˆ
Figura 2.8: Vetor posic¸a˜o ~r de um objeto que pos-
sui coordenadas cartesianas (-3 m, 2 m).
Por exemplo, na Figura 2.8 se mostra o vetor
posic¸a˜o ~r de um objeto cujas coordenadas sa˜o (-3
m, 2 m), logo podemos escrever
~r = (−3m)ˆi+ (2m)jˆ
O sinal negativo da componente-x de ~r indica que o
objeto esta´ a 3 m a` esquerda do eixo y: na direc¸a˜o
oposta de iˆ. O sinal positivo da componente-y in-
dica que objeto esta´ a 2 m para cima do eixo x: na
mesma direc¸a˜o que jˆ.
Definic¸a˜o 2.5: Quando um objeto comec¸a se mo-
ver, seu vetor posic¸a˜o comec¸a variar. Seja ~ri o vetor
posic¸a˜o do objeto no tempo inicial ti e ~rf no tempo
4Versor e´ sinoˆnimo de vetor unita´rio.
final tf , logo o vetor deslocamento ∆~r do objeto
durante esse intervalo de tempo e´ definido como
∆~r = ~rf − ~ri (2.9)
Da Figura 2.9 pode-se notar que quando um objeto
se move, a seta que representa seu vetor posic¸a˜o
gira ao redor da origem de coordenadas.
x
y
O
~ri
~rf
∆~r
Figura 2.9: Vetor deslocamento de um objeto.
Suponha que um objeto se desloca de A a
B e depois de B a C, tal como mostra a Figura
2.10(a). O deslocamento total ou resultante
−→
AC sa-
tisfaz a regra do triaˆngulo, tal como pode-se ver na
Figura 2.10, isto caracteriza o deslocamento como
um vetor. Assim podemos escrever
−→
AC =
−−→
AB +
−−→
BC
em que o deslocamento resultante e´ igual a soma
vetorial dos dois deslocamentos sucessivos, inde-
pendentemente da trajeto´ria seguida pelo objeto.
A
B
C
Deslocamento resultante
Trajeto´ria real
(a) (b)
−−→
BC
−→
AB +
−−→
BC
−→
AB
Figura 2.10: (a) Dois deslocamentos sucessivos
−−→
AB
e
−−→
BC; (b) soma geome´trica de dois vetores se-
guindo a regra do triaˆngulo.
Por exemplo, o vetor deslocamento total ~r
de uma pedra que se deixa cair do topo do mastro
de um navio que anda com uma certa velocidade
pode ser considerado como resultante ou soma
do deslocamento ~rx na direc¸a˜o horizontal (que e´ o
deslocamento do navio) e o deslocamento ~ry devido
a` queda livre da pedra na direc¸a˜o vertical, tal como
se mostra na Figura 2.11, e´ dizer ~r = ~rx + ~ry.
2.5 Velocidade 14
~r ~ry
~rx
Figura 2.11: Soma de deslocamentos.
Componentes do vetor deslocamento
Sejam a posic¸a˜o inicial e a posic¸a˜o final de
um objeto dadas em termos dos versores cartesia-
nos
~ri = xiiˆ+ yijˆ
~rf = xf iˆ+ yf jˆ
logo a partir da definic¸a˜o do deslocamento, equac¸a˜o
(2.9), obtemos o deslocamento em termos dos ver-
sores cartesianos
∆~r = (xf − xi)ˆi+ (yf − yi)jˆ
= ∆x iˆ+∆y jˆ (2.10)
em que ∆x representa o deslocamento horizontal
do objeto e ∆y representa o deslocamento vertical.
Exerc´ıcio 2.7: Um coelho atravessa um estacio-
namento, no qual, por alguma raza˜o, um conjunto
de eixos coordenados foi desenhado. As coordena-
das da posic¸a˜o do coelho, em metros, em func¸a˜o do
tempo t, em segundos, sa˜o dadas por:
x = −0, 31t2 + 7, 2t+ 28
y = 0, 22t2 − 9, 1t+ 30
(a) no instante t = 15 s, qual e´ o vetor posic¸a˜o ~r
do coelho na notac¸a˜o de vetores unita´rios e na
notac¸a˜o mo´dulo-aˆngulo?
(b) determine o deslocamento do coelho durante
o intervalo de tempo de t = 0 ate´ t = 15 s;
(c) trace a trajeto´ria do coelho desde t = 0 ate´
t = 25 s.
2.5 Velocidade
Definic¸a˜o 2.6: Se um objeto se move de um ponto
para outro, podemos estar interessados em saber
com que rapidez isso acontece. Se um objeto
sofre um deslocamento ∆~r em um intervalo de
tempo ∆t, definimos a velocidade ou velocidade
me´dia ~v como
~v =
∆~r
∆t
(2.11)
Dado que o fator 1/∆t e´ um real positivo, enta˜o,
notamos que a velocidade e o deslocamento sempre
teˆm a mesma direc¸a˜o.
Velocidade instantaˆnea
Para determinar a velocidade instantaˆnea de
um objeto e´ necessa´rio realizar o limite ∆t→ 0 na
definic¸a˜o da velocidade, equac¸a˜o (2.11).
Definic¸a˜o 2.7: A velocidade instantaˆnea ~v(t)
no tempo t e´ definido como o limite
~v(t) = lim
∆t→0
∆~r
∆t
=
d~r
dt
(2.12)
em que ∆~r = ~r(t+∆t)−~r(t). E´ dizer, a velocidade
instantaˆnea e´ a derivada do vetor posic¸a˜o.
x
y
O
Trajeto´ria
t
t +∆t
∆~r
Tangente
~r(t)
~r(t +∆t)
Figura 2.12: O deslocamento ∆~r de um objeto du-
rante um intervalo de tempo ∆t. Quando ∆t → 0
o vetor ∆~r tende se alinhar com a reta tangente a`
trajeto´ria.
A Figura 2.12 mostra a trajeto´ria de um ob-
jeto no plano xy, em que ~r(t) e´ posic¸a˜o do objeto
no tempo t e ~r(t+∆t) no tempo t+∆t. Logo para
determinar a velocidade instantaˆnea do objeto no
tempo t e´ necessa´rio fazer o limite ∆t→ 0. Quando
realizamos o limite ∆t→ 0, uma coisa interessante
acontece: a inclinac¸a˜o do vetor deslocamento ∆~r
se aproxima a` inclinac¸a˜o da reta tangente a` tra-
jeto´ria do objeto no tempo t. Isto no´s permite
afirmar que em geral, a direc¸a˜o da velocidade
instantaˆnea de um objeto e´ sempre tangente
a` trajeto´ria do objeto no ponto que ocupa o
objeto. Este resultado tambe´m pode ser generali-
zado para o caso de um movimento no espac¸o (treˆs
dimenso˜es).
Componentes da velocidade
Seja ~r = xiˆ+yjˆ o vetor posic¸a˜o de um objeto
que se move em um plano, logo usando a equac¸a˜o
2.6 Acelerac¸a˜o 15
(2.12), podemos obter a velocidade
~v =
d
dt
(
xiˆ+ yjˆ
)
=
dx
dt
iˆ+
dy
dt
jˆ (2.13)
= vxiˆ+ vy jˆ
em que consideramos diˆdt =
~0 e djˆdt =
~0, devido a
que os versores cartesianos sa˜o vetores constante
(independente do tempo). A componente-x da ve-
locidade, vx, e´ a medida da rapidez com que o ob-
jeto se move na direc¸a˜o do eixo x, e vy e´ a medida
da rapidez com que se move na direc¸a˜o do eixo y.
A Figura 2.13 mostra ovetor velocidade ~v e suas
componentes vetoriais.
x
y
O
Trajeto´ria
~v Tangente
vxiˆ
vyjˆ
Figura 2.13: A velocidade ~v de um objeto e suas
componentes vetoriais.
Exerc´ıcio 2.8: Determine a velocidade ~v do coe-
lho do Exerc´ıcio 2.7 no instante t = 15 s.
2.6 Acelerac¸a˜o
Definic¸a˜o 2.8: A acelerac¸a˜o de um objeto
define-se como a taxa de variac¸a˜o da sua velocidade
em relac¸a˜o ao tempo, e´ dizer quantitativamente
~a(t) =
d~v
dt
(2.14)
que e´ a derivada da velocidade em relac¸a˜o ao
tempo. Se o mo´dulo e/ou a direc¸a˜o da velocidade
variar com o tempo, enta˜o o objeto possui uma
acelerac¸a˜o na˜o nula.
Juntando as equac¸o˜es (2.12) e (2.14) pode-
mos obter uma nova fo´rmula para a acelerac¸a˜o ~a,
~a =
d2~r
dt2
(2.15)
A acelerac¸a˜o e´ a derivada segunda do vetor posic¸a˜o
de um objeto.
Componentes da acelerac¸a˜o
Usando a relac¸a˜o (2.13) para a velocidade, e
substituindo na equac¸a˜o (2.14), obtemos
~a =
d
dt
(vxiˆ+ vy jˆ)
=
dvx
dt
iˆ+
dvy
dt
jˆ
=
d2x
dt2
iˆ+
d2y
dt2
jˆ (2.16)
= axiˆ+ ay jˆ
A Figura 2.14 mostra o vetor acelerac¸a˜o e suas
componentes vetoriais para um objeto que se move
em um plano.
x
y
O
Trajeto´ria
axiˆ
ayjˆ
~a
Figura 2.14: A acelerac¸a˜o ~a de um objeto e suas
componentes vetoriais.
Exerc´ıcio 2.9: Para o coelho do Exerc´ıcio 2.7, de-
termine a acelerac¸a˜o ~a no instante t = 15 s, de-
termine suas componentes, seu mo´dulo e sua in-
clinac¸a˜o.
Exerc´ıcio 2.10: Um objeto cuja velocidade e´ ~v0 =
−2ˆi + 4jˆ (em metros por segundo) em t = 0 sofre
uma acelerac¸a˜o constante ~a, de mo´dulo a = 3m/s2,
que faz um aˆngulo θ = 130◦ com o semi-eixo x
positivo. Qual e´ a velocidade ~v do objeto em t = 5
s?
2.7 Movimento uniforme-
mente acelerado
Um movimento e´ uniformemente acele-
rado se a acelerac¸a˜o for uniforme, e´ dizer se for
uma constante (independente do tempo), assim
~a(t) = ~a (2.17)
onde ~a e´ um vetor constante, tanto em mo´dulo e
em direc¸a˜o. Sejam dadas as seguintes condic¸o˜es
2.8 Movimento dos proje´teis 16
iniciais:
~v(0) = ~v0
~r(0) = ~r0
Para determinar a velocidade em func¸a˜o do tempo
devemos resolver a seguinte equac¸a˜o diferencial
(equac¸a˜o (2.14))
d~v
dt
= ~a
integrando em t a partir de 0 ate´ τ , temos∫ τ
0
d~v
dt
dt =
∫ τ
0
~a dt
~v(τ)− ~v(0) = ~a τ
~v(τ) = ~v0 + ~a τ
onde foi considerado que ~a e´ um vetor constante
e a velocidade inicial ~v(0) = ~v0. Fazendo a mu-
danc¸a da varia´vel τ para t, reescrevemos a ultima
equac¸a˜o,
~v(t) = ~v0 + ~a t (2.18)
que e´ a velocidade de um objeto que realiza um
movimento uniformemente acelerado. Agora, para
encontrar a lei hora´ria vamos usar a definic¸a˜o da
velocidade, equac¸a˜o (2.12), escrevendo como
d~r
dt
= ~v
usando a equac¸a˜o (2.18) para ~v e integrando a
equac¸a˜o anterior novamente em t a partir de 0 ate´
τ , temos ∫ τ
0
d~r
dt
dt =
∫ τ
0
[~v0 + ~a t]dt
~r(τ)− ~r(0) = ~v0τ + ~a
2
τ2
~r(τ) = ~r0 + ~v0τ +
~a
2
τ2
onde foi considerado o valor inicial da posic¸a˜o
~r(0) = ~r0. Fazendo a mudanc¸a da varia´vel τ para
t, reescrevemos a ultima equac¸a˜o,
~r(t) = ~r0 + ~v0t+
~a
2
t2 (2.19)
Que e´ a lei hora´ria de um movimento uniforme-
mente acelerado.
Equac¸a˜o de Torricelli
A partir da equac¸a˜o (2.18) notamos que o
produto escalar de ~v e ~v resulta em
v2 = v20 + 2~v0 · ~a t+ a2t2
v2 − v20 = 2~v0 · ~a t+ a2t2 (2.20)
Por outro lado, a partir da equac¸a˜o (2.19), temos
~d = ~v0 t+
1
2
~a t2
~a · ~d = ~a · ~v0 t+ 1
2
a2t2
2~a · ~d = 2~v0 · ~a t+ a2t2 (2.21)
em que ~d = ~r − ~r0 e´ o vetor deslocamento. Logo
comparando as equac¸o˜es (2.20) e (2.21) obtemos
v2 − v20 = 2~a · ~d
v2 = v20 + 2~a · ~d (2.22)
esta fo´rmula que relaciona a rapidez final v e a ra-
pidez inicial v0 denomina-se equac¸a˜o de Torricelli.
2.8 Movimento dos proje´teis
Qualquer objeto lanc¸ado no ar com uma
certa velocidade inicial denomina-se proje´til, por
exemplo, uma pedra lanc¸ada no ar, uma bala dis-
parada por uma arma de fogo, etc. Quando des-
prezamos a resisteˆncia do ar, o movimento de um
proje´til sempre acontece em um plano vertical, com
uma acelerac¸a˜o constante denominada acelerac¸a˜o
de queda livre ~g, e esta acelerac¸a˜o sempre aponta
para baixo. Este tipo de movimento e´ chamado
movimento bal´ıstico (veja a Figura 2.15).
Um proje´til pode ser uma bola de teˆnis
ou de pingue-pongue, mas na˜o um avia˜o ou um
pato. Em muitos esportes aparecem os movimentos
bal´ısticos; jogadores e te´cnicos esta˜o sempre pro-
curando controlar esses movimentos para obter o
ma´ximo de vantagem.
x
y
θ
~v0
A
QP
ym
xmO
Figura 2.15: Movimento bal´ıstico.
A Figura 2.15 mostra um proje´til lanc¸ado
com uma velocidade inicial ~v0, a qual forma um
aˆngulo θ com a horizontal. O ponto de lanc¸amento
coincide com o origem do sistema de coordenadas,
o eixo x e´ orientado na direc¸a˜o horizontal, e o eixo
y e´ orientado na direc¸a˜o vertical (apontando para
cima). Logo a acelerac¸a˜o da queda livre sera´
~g = −gjˆ (2.23)
2.8 Movimento dos proje´teis 17
onde g = 9, 8 m/s2, e as condic¸o˜es iniciais sera˜o
neste caso
~r0 = ~0, ~v0 = v0 cos θ iˆ+ v0 sen θ jˆ (2.24)
em que v0 = ‖~v0‖ e´ a rapidez inicial. Substi-
tuindo estas informac¸o˜es na equac¸a˜o (2.19) obte-
mos a posic¸a˜o do proje´til em qualquer tempo t,
~r(t) = v0 cos θ t iˆ+ v0 sen θ t jˆ − g
2
t2 jˆ
= [v0 cos θ t] iˆ+ [v0 sen θ t− g
2
t2] jˆ
comparando com ~r = xiˆ + yjˆ, obtemos as coorde-
nadas do proje´til em func¸a˜o do tempo t:
x = v0 cos θ t ; (2.25)
y = v0 sen θ t− g
2
t2 (2.26)
As componentes do vetor velocidade pode-se
determinar facilmente, derivando em relac¸a˜o a t as
equac¸o˜es (2.25) e (2.26), respectivamente, e´ dizer:
vx =
dx
dt
= v0 cos θ; (2.27)
vy =
dy
dt
= v0 sen θ − g t (2.28)
Movimento horizontal
As equac¸o˜es (2.25) e (2.27) indicam que o
movimento horizontal de um proje´til e´ de tipo
MRU, isto e´ devido a que na˜o existe acelerac¸a˜o na
direc¸a˜o horizontal, assim a componente horizontal
da velocidade, vx, permanece inalterada.
Movimento vertical
As equac¸o˜es (2.26) e (2.28) indicam que
o movimento vertical de um proje´til e´ de tipo
MRUA, isto devido a que na direc¸a˜o vertical existe
uma acelerac¸a˜o de valor constante g. A compo-
nente vertical da velocidade, vy, e´ uma func¸a˜o li-
near do tempo, inicialmente ela tem um valor posi-
tivo (o proje´til subi), logo seu valor vai diminuindo
continuamente ate´ se anular (o proje´til alcanc¸a a
altura ma´xima), em seguida muda de sinal para
valores negativos (o proje´til cai). A ordenada do
proje´til, y, e´ uma func¸a˜o quadra´tica do tempo, ca-
racter´ıstica de um MRUA.
Equac¸a˜o da trajeto´ria do movimento
bal´ıstico
Podemos obter a equac¸a˜o do caminho per-
corrido (trajeto´ria) pelo proje´til “eliminando” a
varia´vel tempo t nas equac¸o˜es (2.25) e (2.26). E´
dizer, isolando t na equac¸a˜o (2.25), obtemos
t =
x
v0 cos θ
substituindo este resultado na equac¸a˜o (2.26) e de-
pois de algumas manipulac¸o˜es alge´bricas, obtemos
y = tanθ · x− g
2v20 cos
2 θ
· x2 (2.29)
Dado que g, θ e v0 sa˜o constantes, a equac¸a˜o
(2.29) representa a equac¸a˜o de uma para´bola, e´ di-
zer, a trajeto´ria de um movimento bal´ıstico e´ uma
para´bola, tal como se mostra na Figura 2.15.
Altura ma´xima
Conforme mostra a Figura 2.15, a altura
ma´xima ym atingido pelo proje´til corresponde ao
instante ts em que a componente vertical da velo-
cidade se anula, ou seja a partir da equac¸a˜o (2.28)
obtemos
ts =
v0 sen θ
g
(2.30)
Em que ts e´ o tempo que leva o proje´til para atingir
a altura ma´xima e denomina-se tempo de subida.
Agora a altura ma´xima sera´
ym = y(ts)
ym = v0sen θ · v0sen θ
g
− 1
2g · v
2
0sen
2θ
g2
ym =
(v0 sen θ)
2
2g
(2.31)
em que foi usado a equac¸a˜o (2.26). O fator v0 sen θ
e´ a componente vertical da velocidade inicial, logo
a altura ma´xima depende somente da componente
vertical da velocidade inicial e da acelerac¸a˜o da
queda livre g.
Exemplo 2.2: Quanto tempo o proje´til leva para
atingir o solo no ponto A? (veja a Figura 2.15)
Soluc¸a˜o: Quando o proje´til atinge o solo sua orde-
nada se anula, e´ dizer,
y(tv) = 0
em que tv e´ o tempo que o proje´til leva para atin-
gir o solo, e denomina-se tempo de voo. Para
determinar o tempo de voo precisamos resolver a
equac¸a˜o anterior, e´ dizer,
y(tv) = 0
v0 sen θ tv − g
2
t2v = 0
tv · (v0 sen θ − g
2
tv) = 0
em que foi usado a equac¸a˜o (2.26). A equac¸a˜o
anterior e´ uma equac¸a˜o quadra´tica, que tem duas
2.8 Movimento dos proje´teis 18
soluc¸o˜es
tv = 0, e
tv =
2v0 sen θ
g
a primeira soluc¸a˜o corresponde ao ponto de
lanc¸amento, em que tambe´m a ordenada do proje´til
se anula, pore´m esse resultado na˜o e´ de interesse
neste caso. Logo a segunda soluc¸a˜o deve ser o
tempo de voo ou tempo que o proje´til leva para
atingir o solo, e´ dizer
tv =
2v0 sen θ
g
(2.32)
Neste caso o tempo de voo e´ duas vezes o tempo
de subida, e´ dizer tv = 2 ts, o que poder´ıamos ter
inferido pela simetria da trajeto´ria em relac¸a˜o a
reta x = xm.
Exemplo 2.3: Com que velocidade o proje´til
atinge o solo?
Soluc¸a˜o: Basta fazer t = tv nas equac¸o˜es (2.27) e
(2.28), e´ dizer:
vx = v0 cos θ;
vy = v0 sen θ − gtv = −v0 sen θ.
Logo a velocidade com que atinge o solo e´
~v = v0 cos θiˆ− v0 sen θjˆ
e a rapidez sera´
v = v0
e´ dizer, a rapidez do proje´til no momento em que
atinge o solo e´ exatamente igual a rapidez inicial
do proje´til. Da mesma forma podemos mostrar que
as rapidezes nos ponto P e Q na Figura 2.15 que
esta˜o na mesma linha horizontal (y = constante)
sa˜o iguais.
Alcance horizontal
O alcance horizontal A de um proje´til e´ de-
finido como a distaˆncia horizontal percorrida pelo
proje´til ate´ atingir o solo (veja a Figura 2.15). O
alcance horizontal e´ igual a abscissa do proje´til no
tempo t = tv, e´ dizer,
A = x(tv)
logo usando a equac¸a˜o (2.25), obtemos
A = v0 cos θ · 2v0sen θ
g
=
v20
g
sen 2θ (2.33)
• Atenc¸a˜o: a equac¸a˜o (2.33) na˜o fornece o al-
cance horizontal do proje´til quando a altura de
lanc¸amento e a altura final sejam diferentes.
O alcance horizontal atinge o valor ma´ximo
para sen 2θ = 1, que corresponde a 2θ = 90◦ ou
θ = 45◦. Novamente, este resultado na˜o e´ va´lido
quando a altura de lanc¸amento e´ diferente da altura
final, e´ dizer, na˜o e´ va´lido para o arremesso de peso,
no lanc¸amento de disco, ou em lanc¸amento livre em
basquetebol.
Exerc´ıcio 2.11: Um objeto e´ lanc¸ado de uma al-
tura H em relac¸a˜o ao solo, com uma rapidez ini-
cial v0 e em uma direc¸a˜o θ acima da horizontal.
Ignorando a resisteˆncia do ar em todos os casos,
determine:
(a) a lei hora´ria do objeto;
(b) a velocidade em func¸a˜o do tempo;
(c) o tempo de voo;
(d) o alcance horizontal;
(e) a altura ma´xima em relac¸a˜o ao solo.
Exerc´ıcio 2.12: Um helico´ptero larga um pacote
de suprimentos para v´ıtimas de uma inundac¸a˜o,
que esta˜o dentro de um bote em um lago cheio.
Quando o pacote e´ largado, o helico´ptero esta´ a
100 m diretamente acima do bote e voando com
uma velocidade de 25,0 m/s a um aˆngulo de 36, 9◦
acima da horizontal:
(a) quanto tempo o pacote fica no ar?
(b) a que distaˆncia do bote o pacote cai?
(c) se o helico´ptero continua com a velocidade
constante, onde estara´ o helico´ptero quando
o pacote atingir o lago?
(d) encontre o tempo t1 para o pacote atingir sua
altura ma´xima h acima da a´gua, e encontre
essa altura ma´xima.
Ignore a resisteˆncia do ar em todos os casos.
Exerc´ıcio 2.13: Um avia˜o de salvamento voa ho-
rizontalmente a 198 km/h (= 55,0 m/s), a uma
altura constante de 500 m, rumo a um ponto di-
retamente acima da v´ıtima de um naufra´gio, para
deixar cair uma balsa:
(a) qual deve ser o aˆngulo φ entre a linha de vi-
sada do piloto para a v´ıtima e a horizontal no
instante em que o piloto deixa cair a balsa?
(b) no momento em que a balsa atinge a a`gua,
qual e´ sua velocidade ~v? E qual e´ sua rapidez?
Qual e´ a inclinac¸a˜o da direc¸a˜o do movimento?
Exerc´ıcio 2.14: Um objeto, movendo-se a` veloci-
dade de 4,0 m/s no sentido +x, tem uma acelerac¸a˜o
de 3,0 m/s2 no sentido +y, durante 2,0 s. Encontre
a rapidez final do objeto.
2.8 Movimento dos proje´teis 19
Exerc´ıcio 2.15: Um objeto tem uma acelerac¸a˜o
constante ~a= (6,0 m/s2)ˆi+ (4,0 m/s2)jˆ. No tempo
t = 0, a velocidade e´ zero e o vetor deslocamento e´
~r0 = (10 m)ˆi:
(a) encontre os vetores velocidade e deslocamento
em func¸a˜o do tempo t;
(b) encontre a equac¸a˜o da trajeto´ria do objeto no
plano Oxy e esboce a trajeto´ria.
Cap´ıtulo 3
Dinaˆmica: leis de Newton
Nos cap´ıtulos anteriores discutimos as ca-
racter´ısticas de um movimento sem nos preocupar
das razo˜es pelas quais as part´ıculas se movem de
uma determinada forma, pore´m neste cap´ıtulo es-
tudaremos essas razo˜es. Esta parte da mecaˆnica
que se dedica ao estudo das causas do movimento
denomina-se dinaˆmica.
Forc¸a
Nossa ide´ia intuitiva de forc¸a esta´ relacio-
nada com o esforc¸o muscular que realizamos para
alterar o estado de movimento de um objeto, por
exemplo, para colocar um objeto em movimento
e´ necessa´rio aplicar um puxa˜o sobre o objeto (es-
forc¸o muscular), e para frear um objeto tambe´m
e´ necessa´rio aplicar um empurra˜o sobre o objeto
(esforc¸o muscular).
Definic¸a˜o 3.1: Uma forc¸a, no sentido mais sim-
ples, e´ um empurra˜o ou puxa˜o. Sua origem pode
ser gravitacional, ele´trica, magne´tica ou simples-
mente um esforc¸o muscular. O instrumento de
medida da forc¸a denomina-se dinamoˆmetro. A
unidade no SI da forc¸a e´ newton (N). A forc¸a e´
uma quantidade f´ısica vetorial, pois puxo˜es ou em-
purro˜es em diferentes direc¸o˜es produzem diferentes
movimentos.
Quando mais de uma forc¸a atuar sobre um
objeto, e´ necessa´rio definir a forc¸a resultante,
que define-se como a combinac¸a˜o (soma) dessas
forc¸as.
3.1 Leis de Newton
Isaac Newton (1642-1727), em seu monu-
mental trabalho: Os Princ´ıpios Matema´ticos da
Filosofia Natural, publicado em 1687, formulou treˆs
axiomas ou leis do movimento 1. Essas treˆs leis sa˜o
a base da dinaˆmica.
Primeira lei de Newton (lei da
ine´rcia)
1Um axioma e´ uma premissa que, por considerar-se evi-
dente, e´ aceita sem comprovac¸a˜o.
Primeira lei de Newton: Todo objeto per-
manece em seu estado de repouso ou de rapidez
uniforme em uma linha reta (MRU) a menos que
uma forc¸a resultante na˜o nula seja exercida sobre
ele.
Segundo Aristo´teles (384 a.C. - 322 a.C.),
tanto para colocar um corpo em movimento, como
para manteˆ-lo em movimento, e´ necessa´rio a ac¸a˜o
de uma forc¸a. Isto parece concordar com nossa ex-
perieˆncia dia´ria. Se voceˆ faz um disco de metal
deslizar em uma superf´ıcie de madeira, a veloci-
dade dele realmente diminui ate´ parar. Para que
continue a deslizar indefinidamente deve ser em-
purrado ou puxado continuamente. Pore´m, se o
disco for lanc¸ado em uma pista de patinac¸a˜o, per-
correra´ uma distaˆncia bem maior antes de parar.
E´ poss´ıvel imaginar superf´ıcies mais escorregadias,
nas quais o disco percorreria distaˆncias ainda mai-
ores. No limite, podemos pensar em uma superf´ıcie
extremamente escorregadia, na qual o disco na˜o di-
minuiria de velocidade. Podemos, de fato, chegar
muito perto dessa situac¸a˜o fazendo o disco deslizar
em uma mesa de ar, na qual o disco e´ sustentado
por uma corrente de ar.
Massa
A primeira lei de Newton diz que qualquer
objeto tende permanecer em repouso a menos que
uma forc¸a seja exercida sobre ele, emoutras pala-
vras, um objeto pode ser colocado em movimento
se e somente se for aplicado uma forc¸a sobre ele.
Nossa experieˆncia cotidiana mostra que existem
objetos mais dif´ıceis de ser colocado em movimento
e outros mais fa´ceis. Por exemplo, se voceˆ chutar
uma bola de futebol, ela entra em movimento com
facilidade, agora, se voceˆ chutar uma bola de boli-
che sera´ mais dif´ıcil de ela entrar em movimento, o
que e´ evidenciado pelos seus dedos do pe´ doloridos
depois que voceˆ chutar a bola de boliche.
A grandeza f´ısica associada a dificuldade
de colocar um objeto em movimento denomina-se
inercia. A inercia e´ uma propriedade intr´ınseca de
um objeto, e´ dizer, na˜o depende de nenhum fator
externo.
20
3.1 Leis de Newton 21
Definic¸a˜o 3.2: A massa e´ definida como a quan-
tidade de mate´ria num objeto. E´ tambe´m a medida
da ine´rcia ou lentida˜o com que um objeto responde
a qualquer esforc¸o feito para moveˆ-lo ou alterar de
algum modo o seu estado de movimento. O instru-
mento de medida da massa denomina-se balanc¸a.
A unidade no SI da massa e´ quilograma2(kg). A
massa e´ uma quantidade f´ısica escalar.
Segunda lei de Newton
Segunda lei de Newton: A acelerac¸a˜o de
um objeto e´ diretamente proporcional a` forc¸a
resultante atuando sobre ele; tem o mesmo sentido
que essa forc¸a e e´ inversamente proporcional a`
massa do objeto.
Quantitativamente na forma escalar e na forma ve-
torial, respectivamente:
a =
Fres
m
(3.1)
~a =
~Fres
m
(3.2)
em que ~a e´ a acelerac¸a˜o que sofre o objeto, m e´
a massa do objeto, e ~Fres e´ a forc¸a resultante que
age sobre o objeto.
As equac¸o˜es (3.1) e (3.2) sa˜o simples, pore´m
devem ser usadas com cuidado para na˜o encon-
trar resultados incoherentes. Primeiro, devemos
escolher o objeto cuja acelerac¸a˜o sera´ determinada,
logo ~Fres deve ser a soma vetorial de todas as forc¸as
que agem sobre esse objeto, somente as forc¸as
que agem sobre esse objeto. Se sobre o objeto
esta˜o agindo n forc¸as, enta˜o
~Fres =
n∑
i=1
~Fi = ~F1 + ~F2 + · · ·+ ~Fn
Uma consequeˆncia da equac¸a˜o (3.2) e´ que
se a forc¸a resultante que age sobre um objeto e´
nula, enta˜o a acelerac¸a˜o do corpo tambe´m e´ nula
(~a = ~0). Se o corpo esta´ em repouso, permanece
em repouso; se esta´ em movimento, continua a se
mover com velocidade constante. Naquele caso, em
que as forc¸as que agem sobre um objeto se com-
pensam ou sa˜o nulas, dizemos que o objeto esta´
em equil´ıbrio. Logo podemos escrever a condic¸a˜o
de equil´ıbrio de um objeto como
~Fres = ~0∑
~F = ~0 (3.3)
2Massa de um cilindro feito de uma liga de platina-ir´ıdio
que se encontra guardada em Biroˆ Internacional de Pesos e
Medidas em Se`vres, na Franc¸a.
em que o somato´ria se estende a todas as forc¸as
que agem sobre o objeto.
A segunda lei de Newton no´s permite definir
a unidade da forc¸a, newton (N) como:
1 N = 1 kg ·m/s2
Terceira lei de Newton
Terceira lei de Newton: Sempre que um
objeto exerce uma forc¸a sobre outro objeto, este
exerce uma forc¸a igual e oposta sobre o primeiro.
Por exemplo, se voceˆ apoia um livro L em
uma caixa C, tal como se mostra na Figura 3.1(a),
o livro e a caixa interagem3: a caixa exerce uma
forc¸a horizontal ~FLC sobre o livro e o livro tambe´m
exerce uma forc¸a horizontal ~FCL sobre a caixa,
pore´m esta ultima forc¸a e´ oposta ao primeiro. Esse
par de forc¸as sa˜o mostradas na Figura 3.1(b), em
que tanto o livro e a caixa sa˜o representado como
um ponto.
���
���
���
���
���
���
���
���
���
���
�����������������������
�����������������������
�����������������������
�����������������������
�����������������������
�����������������������
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
�����
L C
(b)
(a)
Livro L
Caixa C
~FLC ~FCL
Figura 3.1: (a) O livro L esta´ apoiado na caixa C.
(b) As forc¸as ~FLC (forc¸a da caixa sobre o livro) e
~FCL (forc¸a do livro sobre a caixa) teˆm o mesmo
mo´dulo e sentidos opostos.
Para o exemplo da Figura 3.1, podemos es-
crever
FLC = FCL
ou na forma vetorial
~FLC = −~FCL
onde o sinal negativo indica que as forc¸as teˆm sen-
tidos opostos. O livro e a caixa esta˜o em repouso,
mas a terceira lei seria va´lida se estivessem em mo-
vimento uniforme ou mesmo acelerado.
3Dizemos que dois corpos interagem quando empurram
ou puxam um ao outro, ou seja, quando cada um exerce
uma forc¸a sobre o outro.
3.2 Aplicac¸o˜es das leis de Newton 22
As forc¸as que existem entre dois objetos que
interagem sa˜o denominados par de forc¸as da ter-
ceira lei.
Exemplo 3.1: Como outro exemplo, vamos exami-
nar os pares de forc¸as da terceira lei que existem
no sistema da Figura 3.2(a), constitu´ıdo por uma
abo´bora, uma mesa e a Terra. A abo´bora interage
com a mesa e esta com a Terra (desta vez, existem
treˆs corpos cujas interac¸o˜es devemos estudar).
������������
������������
������������
������������
������������
������������
������������
������������
������������
������������
������������
������������
������������
������������
������������
������������
������������
������������
������������
������������
������������
������������
������������
������������
������������
������������
������������
������������
�����������
�����������
�����������
�����������
�����������
�����������
�����������
�����������
�����������
�����������
�����������
�����������
�����������
�����������
�����������
�����������
�����������
�����������
�����������
�����������
�����������
�����������
�����������
�����������
�����������
�����������
�����������
�����������
�����������
�����������
�����������
�����������
�����������
�����������
�����������
�����������
�����������
�����������
�����������
�����������
�����������
�����������
(a)
~FAM (forc¸a normal da mesa)
(b)
Abo´bora A
Mesa M
Terra T
~FAT (forc¸a gravitacional)
Abo´bora
~FAT
~FTA
Terra
(c)
(d)
~FMA
~FAM
Figura 3.2: (a) Uma abo´bora esta´ em repouso so-
bre uma mesa na superf´ıcie da Terra. (b) As forc¸as
que agem sobre a abo´bora sa˜o ~FAM e ~FAT . (c) Par
de forc¸as da terceira lei para a interac¸a˜o abo´bora-
Terra. (d) Par de forc¸as da terceira lei para a in-
terac¸a˜o abo´bora-mesa.
Soluc¸a˜o: A Figura 3.2(b) mostra as forc¸as que
agem sobre a abo´bora: a forc¸a ~FAM que a mesa
exerce sobre a abo´bora e a forc¸a ~FAT a Terra exerce
sobre a abo´bora (forc¸a gravitacional). Essas for-
mam um par de forc¸as da terceira lei? Na˜o, pois
sa˜o forc¸as que atuam sobre um mesmo corpo, a
abo´bora, e na˜o sobre os dois corpos que interagem.
Para encontrar um par de terceira lei pre-
cisamos nos concentrar na˜o na abo´bora, mas na
interac¸a˜o entre a abo´bora e outro corpo. Na in-
terac¸a˜o abo´bora-Terra, tal como mostra a Figura
3.2(c), a Terra atrai a abo´bora com uma forc¸a gra-
vitacional ~FAT e a abo´bora atrai a Terra com uma
forc¸a gravitacional ~FTA. Essas forc¸as formam um
par de forc¸as da terceira lei? Sim, porque as forc¸as
atuam sobre os dois corpos que interagem e a forc¸a
a que um esta´ submetido e´ causada pelo outro, as-
sim pela terceira lei de Newton
~FAT = −~FTA
A Figura 3.2(d) mostra a interac¸a˜o abo´bora-
mesa, a forc¸a da mesa sobre a abo´bora e´ ~FAM e a
forc¸a da abo´bora sobre a mesa e´ ~FMA. Essas forc¸as
tambe´m formam um par de forc¸as da terceira lei e,
portanto,
~FAM = −~FMA
3.2 Aplicac¸o˜es das leis de
Newton
Diagrama de corpo livre (DCL)
Para resolver problemas que envolve a se-
gunda lei de Newton frequentemente desenhamos
um diagrama de corpo livre, que consisteem
mostrar somente aquele corpo de interesse, se-
guindo o seguinte roteiro.
(i) Primeiro, vamos desenhar um ponto
geome´trico que representa o corpo de
interesse, logo desenhamos as setas que repre-
sentam as forc¸as que agem sobre o corpo, as
setas devem ter origem no ponto geome´trico
que representa o corpo.
(ii) Segundo, desenhamos um sistema de coorde-
nadas apropriadamente, e usualmente dese-
nhamos a acelerac¸a˜o do corpo mediante outra
seta de outro cor ou de outro tipo.
Forc¸a externa e forc¸a interna
Um sistema e´ formado por um ou mais cor-
pos, qualquer forc¸a que sofre um corpo do sistema
devido a um agente fora do sistema e´ chamada de
forc¸a externa. A forc¸a que sofre um corpo devido
a outro corpo que pertence ao sistema denomina-se
forc¸a interna.
Exerc´ıcio 3.1: A Figura 3.3 mostra duas forc¸as
horizontais atuando em um bloco de massa m = 1
kg apoiado em um piso sem atrito. Se uma terceira
forc¸a horizontal ~F3 tambe´m esta´ agindo sobre o
bloco, determine o mo´dulo e a orientac¸a˜o de ~F3 se
o bloco esta´:
(a) em repouso;
(b) se movendo para a esquerda com uma veloci-
dade constante de 5 m/s;
(c) se movendo com uma acelerac¸a˜o constante de
2 m/s2.
(d) se movendo com uma acelerac¸a˜o constante de
-2 m/s2.
3.3 Algumas forc¸as especiais 23
3 N 5 N
Figura 3.3: Bloco apoiado em um piso sem atrito.
Exerc´ıcio 3.2: Nas Figuras 3.4, uma ou duas
forc¸as agem sobre um disco meta´lico que se move
sobre o gelo sem atrito ao longo do eixo x, em um
movimento unidimensional. A massa do disco e´
m = 0, 20 kg. As forc¸as ~F1 e ~F2 atuam ao longo
do eixo x e teˆm mo´dulos F1 = 4, 0 N e F2 = 2, 0
N. A forc¸a ~F3 faz um aˆngulo θ = 30
o com o eixo x
e tem um mo´dulo F3 = 1, 0 N. Qual e´ a acelerac¸a˜o
do disco em cada situac¸a˜o?
(a)
~F1
A B C
~F1
x
Disco
x
~F1~F2
x
~F2
θ
x~F3
x
~F1
~F2
(b) (c)
(f)
x
θ
(d) (e)
~F2
~F3
Figura 3.4: (a)-(c) Em treˆs situac¸o˜es, forc¸as atuam
sobre um disco que se move ao longo do eixo x. (d)-
(f) Diagramas de corpo livre.
Exerc´ıcio 3.3: A Figura 3.5 mostra a vista su-
perior de uma lata de biscoitos de 2,0 kg que e´
acelerada a 3,0 m/s2 na orientac¸a˜o definida por ~a,
em uma superf´ıcie horizontal sem atrito. A ace-
lerac¸a˜o e´ causada por treˆs forc¸as horizontais, das
quais apenas duas sa˜o mostradas: ~F1, de mo´dulo
10 N, e ~F2, de mo´dulo 20 N. Determine a terceira
forc¸a, ~F3. Qual e´ o mo´dulo e a orientac¸a˜o desta
forc¸a?
3.3 Algumas forc¸as especiais
Forc¸a gravitacional
Qualquer objeto colocado nas proximidades
de nosso planeta Terra sofre uma forc¸a atrativa,
o que causa que todos os objetos tendem cair na
direc¸a˜o do centro da Terra (verticalmente para
baixo). Essa forc¸a denomina-se forc¸a gravitacio-
nal ~Fg, que e´ devido a presenc¸a da Terra. Esse
tipo de forc¸a age a distaˆncia, e´ dizer o objeto na˜o
precisa estar em contato com a Terra para sofrer a
forc¸a da gravidade.
x
y
~F1
y
(a) (b)
~F2
~a
50◦
30◦
−~F2
m~a
~F3
−~F1
Figura 3.5: (a) Vista superior de duas das treˆs
forc¸as que agem sobre uma lata de biscoitos, pro-
duzindo uma acelerac¸a˜o ~a, ~F3 na˜o e´ mostrada. (b)
Um arranjo de vetores m~a, −~F1 e −~F2 para deter-
minar a forc¸a ~F3.
Exemplo 3.2: Determine a forc¸a gravitacional que
sofre um corpo de massa “m”, por simplicidade,
considere que o corpo esta´ em queda livre com ace-
lerac¸a˜o g.
Soluc¸a˜o: Se desprezarmos os efeitos da resisteˆncia
do ar a u´nica forc¸a que age sobre o corpo e´ a forc¸a
gravitacional ~Fg. Logo a forc¸a resultante sera´ igual
a forc¸a gravitacional, enta˜o usando a segunda lei
de Newton podemos encontrar uma relac¸a˜o entre a
forc¸a gravitacional e a acelerac¸a˜o de queda livre g.
x
y
~a
~Fg
Terra
Figura 3.6: Diagrama de corpo livre.
Fazendo o diagrama de corpo livre, tal como
mostra a Figura 3.6, e usando a segunda lei de
Newton (equac¸a˜o (3.1)), temos
g =
Fg
m
mg = Fg
Fg = mg (3.4)
a forc¸a gravitacional sobre um corpo e´ proporcio-
3.3 Algumas forc¸as especiais 24
nal a sua massa. A forc¸a gravitacional na forma
vetorial sera´
~Fg = −mgjˆ
o sinal negativo indica que a forc¸a gravitacional
sempre aponta verticalmente para baixo.
Essa mesma forc¸a gravitacional Fg = mg age
sobre o corpo de massammesmo quando na˜o esteja
em queda livre, por exemplo, quando se encontra
em repouso sobre uma mesa ou movendo-se sobre
a mesa. A forc¸a gravitacional nunca se anula, para
que a forc¸a gravitacional desaparec¸a, a Terra teria
que desaparecer.
Exerc´ıcio 3.4: Se a forc¸a gravitacional sobre um
objeto e´ proporcional a sua massa, por que um ob-
jeto de maior massa na˜o cai com maior acelerac¸a˜o
que um objeto de menor massa?
Peso
Definic¸a˜o 3.3: O peso P define-se como a forc¸a
sobre um objeto devido a` gravidade, quantitativa-
mente define-se como o mo´dulo da forc¸a gravitaci-
onal que age sobre o objeto, e´ dizer,
P = mg (3.5)
O peso de um objeto e´ proporcional a sua massa,
por isso, massa e peso podem com frequeˆncia ser
trocados um pelo outro. Ale´m disso, massa e peso
a`s vezes sa˜o confundidos porque e´ costumeiro medir
a quantidade de mate´ria nas coisas (massa) por
meio da atrac¸a˜o gravitacional da Terra (peso).
O peso de um objeto na˜o e´ equivalente a sua
massa. Se voceˆ levar um objeto para um local onde
o valor de g e´ diferente, o valor do seu peso mudara´,
pore´m sua massa continuara´ a mesma, isto devido
a que a massa e´ uma propriedade intr´ınseca de um
objeto, diferentemente do peso. Por exemplo, o
peso de uma bola de boliche de massa 7,2 kg e´
apropriadamente 71 N na Terra, mas apenas 12 N
na Lua, pois o valor da acelerac¸a˜o de queda livre
na Lua e´ apenas g = 1,6 m/s2. Pore´m, a massa e´
a mesma na Terra e na Lua.
Forc¸a normal
Se voceˆ ficar em pe´ em um colcha˜o, a Terra
puxara´ voceˆ para baixo, mas voceˆ permanecera´ em
repouso. Isso acontece porque o colcha˜o se deforma
sob o seu pe´ e empurra voceˆ para cima. Da mesma
forma, se voceˆ esta´ sobre um piso, ele se deforma
(ainda que imperceptivel) e o empurra para cima.
A forc¸a exercido pelo colcha˜o ou pelo piso sobre o
pe´ de voceˆ denomina-se forc¸a normal e denota-se
por ~FN . O nome vem do termo matema´tico nor-
mal, que significa perpendicular. A forc¸a que o
piso ou colcha˜o exerce sobre o pe´ de voceˆ e´ perpen-
dicular ao piso.
Definic¸a˜o 3.4: Quando um corpo exerce uma
forc¸a sobre uma superf´ıcie, a superf´ıcie se deforma,
ainda que a superf´ıcie seja aparentemente r´ıgida.
Imediatamente depois que comec¸ar a deformac¸a˜o
da superf´ıcie, a superf´ıcie comec¸a exercer uma forc¸a
sobre o corpo, a componente normal ou perpendi-
cular desta forc¸a define-se como a forc¸a normal
e denota-se por ~FN , e a componente tangencial re-
cebe o nome de forc¸a de atrito.
Exemplo 3.3: A Figura 3.7(a) mostra um bloco
de massa “m” que pressiona uma mesa para baixo,
isto devido a forc¸a gravitacional ~Fg que sofre o
bloco. Determine a forc¸a normal sobre o bloco.
x
Bloco
y
~Fg
~FN
(b)(a)
Bloco
Forc¸a normal ~FN
~Fg
Figura 3.7: (a) Um bloco que repousa sobre uma
mesa recebe uma forc¸a normal ~FN perpendicular a`
superf´ıcie da mesa. (b) Diagrama de corpo livre do
bloco.
Soluc¸a˜o: A mesa empurra o bloco para cima com a
forc¸a normal ~FN . A Figura 3.7(b) mostra o DCL
do bloco, as forc¸as ~Fg e ~FN sa˜o as u´nicas forc¸as que
atuam sobre o bloco, e ambas sa˜o verticais. Logo,
a forc¸a resultante sera´:
~Fres = (FN − Fg)jˆ
em que jˆ e´ um versor que aponta verticalmente
para cima. Substituindo na segunda lei de Newton,
temos
~a = (FN − Fg)jˆ/m
de onde reconhecemos que ax = 0 e ay = (FN −
Fg)/m, logo
FN = may + Fg
Dado que Fg = mg, Finalmente obtemos a forc¸a
normal
FN = m(ay + g) (3.6)
em que ay e´ a acelerac¸a˜o verticaldo sistema bloco-
mesa, por exemplo na situac¸a˜o em que eles estejam
em um elevador acelerado.
Se o sistema bloco-mesa estiver em repouso
ou em MRU, ou seja ay = 0, enta˜o a forc¸a normal
3.4 Atrito 25
(equac¸a˜o (3.6)) se simplifica a
FN = mg
ou na forma vetorial ~FN = mgjˆ.
Exerc´ıcio 3.5: Na Figura 3.7 o mo´dulo da forc¸a
normal e´ maior, menor ou igual a mg se o sistema
bloco-mesa esta´ em um elevador que se move para
cima (a) com rapidez constante; (b) com rapidez
crescente? (c) com rapidez decrescente?
Trac¸a˜o
Quando uma corda, cabo, ou fio e´ presa a
um corpo e esticada, aplica ao corpo uma forc¸a ~T
orientada ao longo da corda, por exemplo como se
mostra na Figura 3.8(a). Essa forc¸a e´ chamada
de forc¸a de trac¸a˜o pois a corda esta´ sendo tra-
cionada (esticada), ao mo´dulo da forc¸a de trac¸a˜o
denomina-se tensa˜o.
Em muitos problemas praticos, por simplici-
dade, a massa da corda e´ desconsiderada, isso de-
vido a que na maioria dos casos a massa da corda e´
desprez´ıvel em comparac¸a˜o com a massa do corpo
ao qual esta´ presa. Um corda esticada se deforma,
ainda que imperceptivel, pore´m em muitos casos
essa deformac¸a˜o e´ desprez´ıvel em comparac¸a˜o com
o comprimento da corda, nesse caso dizemos que a
corda e´ inextens´ıvel.
A corda puxa tanto o corpo e a pessoa que
estica a corda, com a mesma magnitude ou valor
T , mesmo que o sistema corpo-corda-pessoa esteja
acelerado, e mesmo que a corda passe por uma po-
lia sem massa e sem atrito, tal como se mostra
na Figura 3.8(b).
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��������������
��������������
��������������
��������������
��������������
��������������
��������������
��������������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
T
−~T~T
(a)
(b)
~T
Figura 3.8: (a) A corda esticada esta´ sob tensa˜o.
(b) Se a massa da corda e´ desprez´ıvel enta˜o a corda
puxa o corpo e a ma˜o com forc¸as da mesma mag-
nitude T , mesmo que a corda passe por uma polia
sem massa e sem atrito.
3.4 Atrito
Quando deslizamos ou tentamos deslizar um
corpo sobre uma mesa, a interac¸a˜o dos a´tomos do
corpo com os a´tomos da mesa faz com que haja
uma resisteˆncia ao movimento. A resisteˆncia e´ con-
siderada como uma u´nica forc¸a ~f , que recebe o
nome de forc¸a de atrito ou simplesmente atrito.
Essa forc¸a e´ paralela ou tangente a` superf´ıcie de
contato entre o corpo e a mesa e aponta no sen-
tido oposto ao do movimento ou tendeˆncia ao mo-
vimento, tal como mostra a Figura 3.9.
Direc¸a˜o do movimento
~f
Figura 3.9: Uma forc¸a de atrito ~f se opo˜e ao mo-
vimento de um corpo sobre uma mesa.
A forc¸a de atrito e´ uma consequeˆncia da ru-
gosidade4 das superf´ıcies em contato, e´ dizer da
rugosidade da superf´ıcie em contato da mesa e do
corpo. Em superf´ıcies escorregadias (sem rugosi-
dade) podemos desprezar o atrito.
Atrito esta´tico
Quando empurramos levemento um bloco
sobre uma mesa, pode acontecer que o bloco ainda
na˜o deslize sobre a mesa, isto e´ devido ao atrito
que sempre se opo˜e ao deslizamento. A este tipo de
atrito que aparece quando uma superf´ıcie (bloco)
ainda na˜o desliza sobre a outra superf´ıcie (mesa)
denomina-se atrito esta´tico e denota-se como ~fe.
O atrito esta´tico pode variar desde um valor
zero ate´ um valor ma´ximo Fe, dependendo da forc¸a
aplicada Fap para tentar deslizar uma superf´ıcie
sobre a outra. Para que na˜o haja deslizamento, o
atrito ~fe sempre deve compensar a forc¸a aplicada
~Fap, e´ dizer
~fe = −~Fap ou fe = Fap
este resultado e´ melhor apresentado na Figura 3.10.
Resultados experimentais mostram que Fe
(forc¸a de atrito ma´ximo) e´ diretamente proporcio-
nal ao valor da forc¸a normal entre as superf´ıcies de
contato, e´ dizer
Fe = µeFN (3.7)
4Denomina-se rugosidade ao conjunto de irregularidades
na superf´ıcie de um objeto.
3.4 Atrito 26
onde a constante de proporcionalidade µe
denomina-se coeficiente de atrito esta´tico.
Este coeficiente depende da rugosidade das su-
perf´ıcies em contato, pore´m na˜o depende da a´rea
das superf´ıcies em contato.
f
Fap
fc = µcFN
fe = Fap
Fe = µeFN
Fe
fc
Figura 3.10: Forc¸a de atrito (f) versus forc¸a apli-
cada (Fap).
Atrito cine´tico
Se voceˆ empurrar o bloco da Figura 3.9 com
suficiente vigor, ele comec¸ara´ deslizar sobre a mesa,
e o valor do atrito tera´ uma leve queda imedia-
tamente, depois dessa queda o valor do atrito se
mantera´ constante independentemente do valor da
forc¸a aplicada para mover o bloco, isto e´ melhor
apresentado na Figura 3.10.
O atrito que aparece quando uma superf´ıcie
desliza em relac¸a˜o a outra superf´ıcie denomina-se
atrito cine´tico e denota-se como ~fc. Os experi-
mentos mostram que a magnitude do atrito cine´tico
fc e´ diretamente proporcional a` magnitude da forc¸a
normal FN entre as superf´ıcies em contato, e´ dizer
fc = µcFN (3.8)
onde a constante de proporcionalidade µc
denomina-se coeficiente de atrito cine´tico
que depende da rugosidade e da temperaturas
das superf´ıcies em contato, pore´m tambe´m na˜o
depende da a´rea das superf´ıcies em contato. Os
experimentos mostram que µc e´ aproximadamente
constante para uma faixa larga de valores da
velocidade do corpo que escorrega.
Quando voceˆ quer manter um objeto des-
lizando com velocidade constante sobre um piso,
voceˆ deve aplicar constantemente uma forc¸a sobre
o objeto, que deve ser igual em valor e oposta em
sentido ao atrito cine´tico exercido pelo piso.
Exerc´ıcio 3.6: A Figura 3.11 mostra um bloco D
(o bloco deslizante) de massaM = 3, 3 kg. O bloco
esta´ livre para se mover ao longo de uma superf´ıcie
horizontal sem atrito e esta´ ligado, por uma corda
que passa por uma polia sem atrito, a um segundo
bloco P (o bloco pendente), de massa m = 2, 1
kg. As massas da corda e da polia podem ser des-
prezadas em comparac¸a˜o com a massa dos blocos.
Enquanto o bloco pendente P desce, o bloco des-
lizante D acelera para a direita. Determine (a) a
acelerac¸a˜o do bloco D, (b) a acelerac¸a˜o do bloco P
e (c) a tensa˜o na corda.
���������������������
���������������������
���������������������
���������������������
���������������������
���������������������
���������������������
���������������������
���������������������
���������������������
���������������������
���������������������
���������������������
���������������������
���������������������
���������������������
���������������������
���������������������
���������������������
���������������������
���������������������
���������������������
���������������������
���������������������
���������������������
���������������������
���������������������
���������������������
���������������������
���������������������
���������������������
���������������������
���������������������
���������������������
���������������������
���������������������
���������������������
���������������������
���������������������
���������������������
����������������������
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
Superf´ıcie sem atrito
m
M
Bloco deslizante D
Bloco pendente P
Figura 3.11: Um bloco D de massa M esta´ conec-
tado a um bloco P de massa m por uma corda que
passa por uma polia.Exerc´ıcio 3.7: Na Figura 3.12, uma corda puxa
para cima uma caixa de biscoitos ao longo de um
plano inclinado sem atrito cujo aˆngulo e´ θ = 30◦.
A massa da caixa e´ m = 5, 0 kg, e o mo´dulo da
forc¸a exercida pela corda e´ T = 25, 0 N. Qual e´ a
componente a da acelerac¸a˜o da caixa ao longo do
plano inclinado?
�������������������
�������������������
�������������������
�������������������
�������������������
�������������������
�������������������
�������������������
�������������������
�������������������
�������������������
�������������������
�������������������
�������������������
�������������������
�������������������
�������������������
�������������������
�������������������
�������������������
�������������������
�������������������
�������������������
�������������������
�������������������
�������������������
�������������������
�������������������
�������������������
�������������������
�������������������
�������������������
�������������������
�������������������
�������������������
�������������������
�������������������
�������������������
�������������������
�������������������
�������������������
�������������������
�������������������
�������������������
�������������������
�������������������
�������
�������
�������
�������
�������
�������
�������
�������
�������
�������
�������
�������
�������
�������
�������
�������
θ
Corda
Figura 3.12: Uma caixa sobe um plano inclinado,
que esta´ sendo puxada por uma corda.
Exerc´ıcio 3.8: Em um jogo de taco, o jogador da´
uma tacada no disco que se encontra inicialmente
em repouso sobre o cha˜o, e que tem uma massa de
0,40 kg. O disco parte horizontalmente com uma
rapidez de 8,5 m/s e desliza por uma distaˆncia de
8,0 m antes de parar. Encontre o coeficiente de
atrito cine´tico entre o disco e o cha˜o.
3.4 Atrito 27
Exerc´ıcio 3.9: Na Figura 3.13, um bloco de massa
m = 3, 0 kg escorrega em um piso enquanto uma
forc¸a ~F de mo´dulo 12 N, fazendo um aˆngulo θ para
cima com a horizontal, e´ aplicada ao bloco. O co-
eficiente de atrito cine´tico entre o bloco e o piso e´
µc = 0, 40. O aˆngulo θ pode variar de 0 a 90
◦ (o
bloco permanece sobre o piso). Qual e´ o valor de
θ para o qual o mo´dulo a da acelerac¸a˜o do bloco e´
ma´ximo?
�����������������
�����������������
�����������������
�����������������
�����������������
�����������������
y
x
~F
θ
Figura 3.13: Uma forc¸a e´ aplicada a um bloco em
movimento.
Exerc´ıcio 3.10: Suponha que a abo´bora e a mesa
da Figura 3.2 esta˜o em um elevador que comec¸a
acelerar para cima.
(a) Os mo´dulos de ~FMA e ~FAM aumentam, dimi-
nuem ou permanecem os mesmos?
(b) Essas duas forc¸as continuam a ser iguais em
mo´dulo, com sentidos opostos?
(c) Os mo´dulos de ~FAT e ~FTA aumentam, dimi-
nuem ou permanecem os mesmos?
(d) Essas duas forc¸as continuam a ser iguais em
mo´dulo, com sentidos opostos?
Cap´ıtulo 4
Trabalho e energia
O conceito de energia e´ ta˜o amplo que e´
dif´ıcil achar uma definic¸a˜o concisa. Para nosso in-
teresse, podemos considerar a energia como uma
quantidade associada ao estado de um objeto, por
exemplo, se uma forc¸a comec¸a agir sobre um objeto
parado fazendo-o entrar em movimento, o estado
do objeto muda, assim o valor da energia tambe´m
muda.
Existem va´rios tipos de energia: energia
mecaˆnica (movimento), energia te´rmica (calor),
energia ele´trica (carga ele´trica), energia qu´ımica
(reac¸o˜es qu´ımicas), energia nuclear (desintegrac¸a˜o
do nu´cleo de um a´tomo). A energia pode ser trans-
formada de um tipo para outro, e transferida de um
objeto para outro, mas a quantidade total da ener-
gia do universo sempre permanece igual (a energia
total e´ conservada). A conservac¸a˜o da energia
e´ um dos princ´ıpios mais fundamentais da f´ısica, e
ate´ hoje nunca foi encontrada uma excec¸a˜o a este
princ´ıpio.
Neste cap´ıtulo estudaremos a energia
mecaˆnica, um tipo associada ao movimento de um
objeto. Existem dois tipos de energia mecaˆnica: a
energia energia cine´tica e a energia potencial.
A energia mecaˆnica e´ o tipo mais fundamental da
energia.
4.1 Energia cine´tica
Definic¸a˜o 4.1: A energia cine´tica e´ uma quan-
tidade associada a` rapidez de um objeto. Quanto
mais depressa o objeto se move, maior sera´ a ener-
gia cine´tica, e quando um objeto esta´ em repouso,
sua energia cine´tica sera´ nula. Quantitativamente
a energia cine´tica K e´ definida como
K =
1
2
mv2 (4.1)
em que m e v sa˜o a massa e a rapidez do objeto,
respectivamente. Estritamente falando, a fo´rmula
anterior para a nergia cine´tica somente e´ va´lida
para rapidezes muito menores que a rapidez da luz
no va´cuo c, e´ dizer para v � c. A unidade no SI
da energia cine´tica e´ joule1 (J), que equivale a
J = kg ·m2/s2
Por exemplo, para estabelecer o novo re-
corde mundial da prova dos 100 m rasos e se tor-
nar o corredor mais veloz do mundo, o jamaicano
Usain Bolt chegou a uma velocidade me´dia de 45
km/h. Considerando que ele tenha 86 kg, a energia
cine´tica me´dia que ele ganhou foi
K =
1
2
· 86 kg · 452m2/s2 = 87075 J ≈ 87 kJ
Exemplo 4.1: Em 1896, em Waco, Texas, William
Crush posicionou duas locomotivas em extremida-
des opostas de uma linha fe´rrea com 6,4 km de
extensa˜o, acendeu as caldeiras, amarrou os acelera-
dores para que permanecessem acionados e fez com
que as locomotivas sofressem uma colisa˜o frontal,
em alta velocidade, diante de 30.000 espectadores.
Centenas de pessoas foram feridas pelos destroc¸os;
va´rias morreram. Supondo que cada locomotiva
pesava 1, 2 × 106 N e tinha uma acelerac¸a˜o cons-
tante de 0,26 m/s2, qual era a energia cine´tica das
duas locomotivas imediatamente antes da colisa˜o?
Soluc¸a˜o: Usando a fo´rmula v2 = v20 + 2ad, com
v0 = 0 e d = 3, 2 × 103 m (metade da distaˆncia
inicial), temos:
v2 = 02 + 2(0, 26 m/s
2
)(3, 2× 103 m)
v = 40, 8 m/s (aproximadamente 150 km/h).
Podemos encontrar a massa de cada locomotiva di-
vidindo o peso por g :
m =
1, 2× 106 N
9, 8 m/s
2 = 1, 22× 105 kg.
Logo, usando a equac¸a˜o (4.1), calculamos a energia
cine´tica total das duas locomotivas imediatamente
1Em homenagem a James Prescott Joule, um cientista
ingleˆs do se´culo XIX.
28
4.2 Teorema trabalho-energia cine´tica 29
antes da colisa˜o:
Ktotal = 2Klocomotiva = 2(
1
2
mv2)
= (1, 22× 105 kg)(40, 8 m/s)2
= 2, 0× 108 J
Esta colisa˜o foi como a explosa˜o de uma bomba.
4.2 Teorema trabalho-energia
cine´tica
Trabalho
Quando voceˆ aumenta a velocidade de um
objeto aplicando a ele uma forc¸a, a energia cine´tica
do objeto aumenta, e´ dizer, foi transferido uma
certa quantidade de energia ao objeto. Da mesma
forma, quando voceˆ diminui a velocidade do ob-
jeto aplicando a ele uma forc¸a, a energia cine´tica
do objeto diminui ate´ se anular.
����������������������������������������������������������
Conta
Fio
~F
x
KfKi
vf
φ
vi
d
Figura 4.1: Uma forc¸a constante ~F , que faz um
aˆngulo φ com o deslocamento ~d de uma conta em
um fio, acelera a conta ao longo do fio fazendo sua
velocidade mudar de ~vi para ~vf . Um “medidor de
energia cine´tica” indica variac¸a˜o de energia cine´tica
da conta desde Ki para Kf .
Considere uma conta (esfera furada) que
pode deslizar ao longo de um fio sem atrito, o fio e´
retil´ıneo e orientado horizontalmente (eixo x), tal
como se mostra na Figura 4.1. Uma forc¸a constante
~F , fazendo um aˆngulo φ com o fio, comec¸a agir
sobre a conta, que acelerada horizontalmente ela,
assim aumentando sua energia cine´tica. A compo-
nente horizontal (componente-x) da acelerac¸a˜o e´,
a partir da segunda lei de Newton
ax =
Fx
m
em m e´ a massa da conta. Quando a conta sofre
um deslocamentod, a forc¸a F consegui mudar a
rapidez da conta de um valor inicial vi para o valor
final vf .
Dado que a forc¸a F e´ constante, enta˜o a
acelerac¸a˜o que ela provoca tambe´m e´ constante, e´
dizer, ax e´ uma constante, logo estamos frente a
um MRUA na direc¸a˜o horizontal, assim usando a
equac¸a˜o de Torricelli
v2f = v
2
i + 2axd
v2f = v
2
i + 2
Fx
m
d
mv2f = mv
2
i + 2Fxd
1
2
mv2f −
1
2
mv2i = Fxd
Kf −Ki = F cosφd
∆K = Fd cosφ (4.2)
Em que foi usado a relac¸a˜o Fx = F cosφ. A
equac¸a˜o (4.2) no´s diz que a variac¸a˜o da energia
cine´tica da conta devido a forc¸a F e´ Fd cosφ, e´
dizer que foi transferida a energia Fd cosφ para a
conta pela forc¸a F .
Definic¸a˜o 4.2: O Trabalho (W ) e´ definido como
a quantidade de energia transferida para um ob-
jeto atrave´s de uma forc¸a que age sobre o objeto.
Quantitativamente define-se como
W = Fd cosφ = ~F · ~d (4.3)
em termos do produto escalar. A fo´rmula anterior
para o trabalho somente e´ va´lido quando a forc¸a
seja constante. O trabalho tem a mesma unidade
que a energia e e´ uma grandeza escalar.
Na equac¸a˜o (4.3), se 0 ≤ φ < 90◦, cosφ e´
positivo, assim o trabalho e´ positivo. Se φ = 90◦,
cosφ = 0, assim o trabalho e´ zero. Se 90◦ < φ ≤
180◦, cosφ e´ negativo, assim o trabalho e´ negativo.
Quando duas ou mais forc¸as agem sobre um ob-
jeto, o trabalho total ou trabalho resultante
realizado sobre o objeto e´ a soma dos trabalhos re-
alizados separadamente pelas forc¸as ou e´ igual ao
trabalho realizado pela forc¸a resultante.
Usando a definic¸a˜o do trabalho podemos re-
escrever a equac¸a˜o (4.2) como
∆K =W
de onde notamos que, quando o trabalho for posi-
tivo enta˜o o objeto ganha energia, logo dizemos que
a forc¸a que age sobre o objeto realiza um trabalho
favora´vel. Quando o trabalho for negativo enta˜o o
objeto perde energia, logo dizemos que a forc¸a que
age sobre o objeto realiza trabalho desfavora´vel.
Exemplo 4.2: Por exemplo, se a energia cine´tica
de uma part´ıcula e´ inicialmente 5 J e a part´ıcula
recebe 2 J de energia pela ac¸a˜o de uma forc¸a (W
positivo), a energia cine´tica final sera´ 7 J. Por ou-
tro lado, se a part´ıcula perde 2 J pela ac¸a˜o de
uma forc¸a (W negativo), a energia cine´tica final
da part´ıcula sera´ 3 J.
Exerc´ıcio 4.1: Uma part´ıcula de massa 1 kg esta´
se movendo ao longo do eixo x. A energia cine´tica
4.3 Trabalho e energia potencial 30
aumenta, diminui ou permanece a mesma se a ve-
locidade da part´ıcula varia:
(a) de -3 m/s para -2 m/s, quanto vale o trabalho
realizado sobre a part´ıcula?
(b) de -2 m/s para 2 m/s, quanto vale o trabalho
realizado sobre a part´ıcula?
Teorema W-K
Teorema 4.1: O teorema trabalho-energia
cine´tica no´s diz que a variac¸a˜o da energia cine´tica
de um objeto devido a forc¸as que agem sobre ele e´
dada pela relac¸a˜o:
∆K =Wres, (4.4)
em que Wres e´ o trabalho realizado pela forc¸a re-
sultante que age sobre o objeto. Este teorema e´
uma consequeˆncia da segunda lei de Newton.
Prova: Vamos realizar a prova do teorema para o
caso de um movimento com acelerac¸a˜o constante,
pore´m o teorema continua va´lido para movimen-
tos com acelerac¸a˜o varia´vel. Para movimentos com
acelerac¸a˜o constante cumpri-se a equac¸a˜o de Tor-
ricelli, e´ dizer
v2f = v
2
i + 2~a · ~d
v2f − v2i = 2~a · ~d
m
2
v2f −
m
2
v2i = m~a · ~d
∆K = m~a · ~d (4.5)
A partir da segunda lei de Newton temos,
m~a = ~Fres
logo substituindo na equac¸a˜o (4.6) obtemos
∆K = ~Fres · ~d
∆K = Wres (4.6)
assim fica provado o teorema.
Exerc´ıcio 4.2: Durante uma tempestade, um cai-
xote desliza pelo piso escorregadio de um estaciona-
mento, sofrendo um deslocamento ~d = (−3, 0 m)ˆi
ao ser empurrado pelo vento com uma forc¸a ~F =
(2, 0 N)ˆi + (−6, 0 N)jˆ. A situac¸a˜o e os eixos de
coordenadas esta˜o representados na Figura 4.2.
(a) Qual e´ o trabalho realizado pelo vento sobre o
caixote?
(b) Se o caixote tem uma energia cine´tica de 10
J no in´ıcio do deslocamento ~d, qual e´ a sua
energia ao final do deslocamento?
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
��������
�������
�������
�������
�������
�������
�������
�������
�������
�������
�������
�������
�������
�������
�������
x
~d ~F
y
Figura 4.2: Uma forc¸a ~F desacelera um caixote
durante um deslocamento ~d.
Exerc´ıcio 4.3: Uma moeda desliza sobre um
plano sem atrito em um sistema de coordenadas
xy, da origem ate´ o ponto de coordenadas (3,0 m;
4,0 m), sob o efeito de uma forc¸a constante. A
forc¸a tem um mo´dulo de 2,0 N e faz um aˆngulo de
100◦ no sentido anti-hora´rio com o semi-eixo x po-
sitivo. Qual e´ o trabalho realizado pela forc¸a sobre
a moeda durante esse deslocamento?
Exerc´ıcio 4.4: Um objeto de 8,0 kg esta´ se mo-
vendo no sentido positivo de um eixo x. Quando
passa por x = 0, uma forc¸a constante dirigida ao
longo do eixo x passa a atuar sobre ele. A Fi-
gura 4.3 mostra a energia cine´tica K em func¸a˜o da
posic¸a˜o x quando o objeto se desloca de x = 0 a
x = 5,0 m; K0 = 30, 0 J. A forc¸a continua a agir.
Qual e´ a velocidade do objeto quando ele passa de
volta por x = −3, 0 m?
O
K0
5
K(J)
x(m)
Figura 4.3: Gra´fico K × x.
4.3 Trabalho e energia poten-
cial
Definic¸a˜o 4.3: A energia potencial define-se
como a energia associada a posic¸a˜o que ocupa um
objeto no espac¸o. Existem va´rios tipos de ener-
gia potencial, por exemplo: energia potencial gra-
vitacional, energia potencial ela´stica, e a energia
potencial ele´trica.
Definic¸a˜o 4.4: A energia potencial gravitaci-
onal define-se como a energia associada a altura
de um objeto em relac¸a˜o a um n´ıvel de refereˆncia,
4.4 Teorema de conservac¸a˜o de energia mecaˆnica 31
que geralmente e´ considerado o solo. Quantitati-
vamente a energia potencial denota-se como U e
define-se como
U = mgy (4.7)
em que m e´ a massa do objeto, g e´ a acelerac¸a˜o da
queda livre e y e´ a altura do objeto em relac¸a˜o a
um n´ıvel de refereˆncia.
Exerc´ıcio 4.5: Uma preguic¸a de 2,0 kg esta´ pen-
durada a 5,0 m acima do solo. (a) Qual e´ a energia
potencial gravitacional U da preguic¸a se tomamos
o n´ıvel de refereˆncia (y = 0): (1) o solo; (2) o galho
onde esta´ a preguic¸a; (3) 1,0 m acima do galho? A
preguic¸a desce da a´rvore para o solo, para cada es-
colha do n´ıvel de refereˆncia, qual e´ a variac¸a˜o ∆U
da energia potencial da preguic¸a?
Teorema W-U
yi
yf
θ
d
Figura 4.4: Por causa da forc¸a gravitacional ~Fg, um
bloco de massa m desliza sobre o plano inclinado,
mudando sua altura em relac¸a˜o ao solo.
Se voceˆ libera um objeto sobre um plano in-
clinado, tal como se mostra na Figura 4.4, a forc¸a
da gravidade comec¸a realizar trabalho sobre o ob-
jeto. O trabalho Wg realizado pela forc¸a da gravi-
dade Fg sera´
Wg = ~Fg · ~d
= Fg d cos (90
◦ − θ)
= mg d sen θ
= mg yi −mg yf
Wg = Ui − Uf
em que m e´ a massa do objeto. O trabalho rea-
lizado pela forc¸a da gravidade depende apenas da
variac¸a˜o da altura do objeto.
Teorema 4.2: O trabalho Wg realizado pela forc¸a
da gravidade sobre um objeto e´ independente do
caminho percorrido pelo objeto, dependendo so-
mente da variac¸a˜o da altura do objeto, e cumpri-se
Wg = −∆U (4.8)
em que ∆U e´ a variac¸a˜o da energia potencial gravi-
tacional. Este teorema denomina-se teorema W-
U.
4.4 Teorema de conservac¸a˜o
de energia mecaˆnica
Definic¸a˜o 4.5: A energia mecaˆnica E de um
objeto define-se como a soma da energia cine´tica e
energia potencial do objeto, e´ dizer
E = K + U (4.9)
em que K e U representam a energia cine´tica e
energia potencial, respectivamente.
O teorema trabalho-energia cine´tica para o
bloco da figura 4.4 escreve-se como,
∆K= Wres
∆K = Wg +Watrito +Wn (4.10)
em que Wg, Watrito e Wn sa˜o trabalhos realizados
pelas forc¸as da gravidade, pelo atrito entre o bloco
e o plano e a forc¸a normal do plano sobre o bloco,
respectivamente. Logo considerando que
Wg = −∆U
Wn = 0
em que foi aplicado o teorema W-U e a condic¸a˜o
de que a forc¸a normal e´ sempre perpendicular ao
deslocamento, logo o trabalho realizado pela forc¸a
normal e´ sempre nulo. Logo substituindo este ulti-
mos resultados na equac¸a˜o (4.10) obtemos
∆K = −∆U +Watrito
∆K +∆U = Watrito
∆E = Watrito
A variac¸a˜o da energia mecaˆnica e´ igual ao trabalho
realizado pela forc¸a de atrito, logo como o atrito
sempre realiza um trabalho negativo sobre qual-
quer objeto, isto devido a que o atrito sempre se
opo˜e ao deslocamento, enta˜o a energia mecaˆnica
sempre diminui quando o atrito age sobre o objeto.
Teorema 4.3: Para qualquer objeto em movi-
mento a variac¸a˜o de sua energia mecaˆnica e´ dada
pela lei
∆E =Wdissipativas (4.11)
em que Wdissipativas e´ o trabalho realizado por todas
as forc¸as que opo˜em-se ao deslocamento do objeto,
essas forc¸as denominam-se forc¸as dissipativas, por
exemplo o atrito e a resisteˆncia do ar. Logo na
auseˆncia de forc¸as dissipativas a equac¸a˜o (4.11) se
simplifica a
∆E = 0 (4.12)
4.4 Teorema de conservac¸a˜o de energia mecaˆnica 32
e´ dizer a energia mecaˆnica se conserva na
auseˆncia de forc¸as dissipativas. Este teorema
denomina-se teorema de conservac¸a˜o de ener-
gia mecaˆnica.
O teorema de conservac¸a˜o de energia
mecaˆnica permite resolver problemas que seriam
bastante dif´ıceis de resolver usando apenas as leis
de Newton, pore´m devemos entender que este teo-
rema e´ uma consequeˆncia das leis de Newton.
Exerc´ıcio 4.6: Pro´ximo a` borda de um telhado
de um pre´dio de 12 m de altura, voceˆ chuta uma
bola com uma rapidez inicial vi = 16 m/s a um
aˆngulo de 60 ◦ acima da horizontal. Desprezando a
resisteˆncia do ar, encontre:
(a) A altura ma´xima, acima do telhado do pre´dio,
atingida pela bola;
(b) A rapidez da bola, quando esta´ prestes a tocar
o solo.
Exerc´ıcio 4.7: Voceˆ esta´ descendo, em esquis,
uma colina coberta de neve, tendo partido do re-
pouso de uma altura hi em relac¸a˜o a` base da colina.
Supondo que o atrito e o arraste do ar sejam des-
prez´ıvel, qual e´ sua rapidez quando voceˆ passa por
um sinalizador localizado a um altura h acima da
base? Quanto vale esta rapidez se hi = 120 m e
h = 20 m?
Exerc´ıcio 4.8: Um bloco de 3,0 kg desliza sobre
uma superf´ıcie horizontal sem atrito com uma ra-
pidez de 7,0 m/s (veja a Figura 4.5). Apo´s deslizar
por uma distaˆncia de 2,0 m, o bloco faz uma su-
ave transic¸a˜o para uma rampa sem atrito inclinada
de um aˆngulo de 40 ◦ com a horizontal. Qual a
distaˆncia, ao longo da rampa, que o bloco percorre
ate´ atingir momentaneamente repouso?
���������������������������������������
���������������������������������������
���������������������������������������
���������������������������������������
���������������������������������������
���������������������������������������
���������������������������������������
���������������������������������������
���������������������������������������
���������������������������������������
���������������������������������������
���������������������������������������
���������������������������������������
���������������������������������������
���������������������������������������
���������������������������������������
���������������������������������������
���������������������������������������
���������������������������������������
���������������������������������������
���������������������������������������
���������������������������������������
���������������������������������������
���������������������������������������
���������������������������������������
���������������������������������������
���������������������������������������
���������������������������������������
���������������������������������������
���������������������������������������
Figura 4.5: Bloco viajando em uma superf´ıcie sem
atrito.
Cap´ıtulo 5
Momentum e coliso˜es
Todos no´s sabemos que e´ muito mais dif´ıcil
para um caminha˜o pesado do que um carro que
esteja se movendo com a mesma rapidez. Enunci-
amos este fato dizendo que o caminha˜o tem mais
momentum do que o carro. E se os dois carros
tiverem a mesma massa, o mais ra´pido deles sera´
mais dif´ıcil de parar do que o mais lento. Logo
conclu´ımos tambe´m que o carro mais ra´pido pos-
sui mais momentum do que o mais lento. Mo-
mentum significa ine´rcia em movimento [Hewitt:
F´ısica conceitual].
Definic¸a˜o 5.1: O momentum ou momento li-
near de um objeto define-se como a medida da
ine´rcia em movimento daquele objeto. O momen-
tum e´ uma quantidade vetorial denotado como ~p,
e determina-se a partir da fo´rmula
~p = m~v (5.1)
em que m e ~v sa˜o a massa e velocidade do objeto.
5.1 Conservac¸a˜o do momen-
tum
Impulso
Quando dois corpos colidem, eles usual-
mente se exercem forc¸as muito grandes um sobre o
outro, durante um tempo muito curto. Tais forc¸as
modificam o momentum de cada corpo.
Definic¸a˜o 5.2: O impulso ~I define-se como a
quantidade de momentum transferido sobre um ob-
jeto atrave´s de uma forc¸a. Quantitativamente e´
definido como
~I = ~F ∆t (5.2)
em que ~F e´ a forc¸a aplicada sobre o objeto e ∆t
e´ a durac¸a˜o dessa forc¸a. A fo´rmula (5.2) e´ apenas
va´lida para o caso de uma forc¸a constante.
Teorema impulso-momentum
Teorema 5.1: O teorema impulso-momentum ∆~p
diz que a variac¸a˜o do momentum de uma part´ıcula
e´ igual ao impulso resultante ~Ires que recebe o ob-
jeto, e´ dizer
∆~p = ~Ires (5.3)
Prova: A partir da definic¸a˜o do momentum temos
∆~p = m∆~v
= m~a∆t
em que foi usado a definic¸a˜o da acelerac¸a˜o ~a =
∆~v/∆t. Logo a partir da segunda lei de Newton
temos que m~a = ~Fres, enta˜o
∆~p = ~Fres∆t
= ~Ires
assim fica provado o teorema.
Exerc´ıcio 5.1: Com um eficiente golpe de carateˆ,
voceˆ parte um bloco de concreto. Seja 0,7 kg a
massa da sua ma˜o, que se move a 5 m/s quando
atinge o bloco. Seja 2,4 ms o tempo de colisa˜o. (a)
Qual e´ o impulso que o bloco exerce sobre sua ma˜o?
(b) Qual e´ a forc¸a me´dia que o bloco exerce sobre
sua ma˜o? Rptas: (a) I = 3, 5 N·s; (b) F = 1, 5 kN.
Exerc´ıcio 5.2: Uma bola de borracha dem = 50 g
e´ liberado de repouso a partir de uma altura H =
1 m em relac¸a˜o ao solo, que colide com o solo e
volta subir uma altura h = H/2. (a) Determine a
velocidade imediatamente antes da colisa˜o e depois
da colisa˜o. (b) Determine o impulso que recebe a
bola de borracha. (c) Se a durac¸a˜o da colisa˜o foi
∆t = 1 ms, determine a forc¸a do impacto.
Conservac¸a˜o do momentum
Teorema 5.2: Na auseˆncia de uma forc¸a externa,
o momentum de um sistema na˜o muda de valor.
Por exemplo, as forc¸as moleculares no interior de
uma bola de beisebol na˜o teˆm efeito sobre o mo-
mentum da bola.
Prova: Provaremos o teorema anterior para um
caso particular e logo ser generalizado. Considere
33
5.2 Coliso˜es 34
que a bola branca de um jogo de sinuca colide fron-
talmente com a bola 8. Durante a colisa˜o as bolas
interagem, e´ dizer, a bola branca exerce um forc¸a
sobre a bola 8 e vice-versa, estas duas forc¸as sa˜o
forc¸as internas para o sistema conformada pelas
duas bolas. As forc¸as da gravidade, forc¸as normais
e os atritos que agem sobre cada bola, sa˜o forc¸as
externas. Neste caso, as forc¸as da gravidade e as
forc¸as normais se anulam mutuamente, logo des-
prezando os atritos podemos concluir que a forc¸a
externa resultante sobre o sistema e´ nula.
Seja ∆~P a variac¸a˜o de momentum do sis-
tema, logo
∆~P = ∆~pbranca +∆~p8 (5.4)
em que ∆~pbranca e ∆~p8, sa˜o variac¸o˜es dos momenta
(pluralde momentum) da bola branca e a bola
8, respectivamente. Essas variac¸o˜es de momentum
sera˜o
∆~pbranca = ~Ibranca
∆~p8 = ~I8
em que ~Ibranca e ~I8 sa˜o respectivamente os impul-
sos que recebem a bola branca e a bola 8, devido
a` colisa˜o. Esses impulsos devido a` colisa˜o sera˜o,
respectivamente
~Ibranca = ~Fbranca, 8 ·∆t
~I8 = ~F8, branca ·∆t
pela terceira lei de Newton ~Fbranca, 8 = −~F8, branca,
enta˜o
~Ibranca = −~I8
~Ibranca + ~I8 = ~0
∆~pbranca +∆~p8 = ~0
logo substituindo na equac¸a˜o (5.4), temos
∆~P = ~0
~Pf = ~Pi (5.5)
Assim mostramos que a variac¸a˜o de momentum do
sistema (bola branca e bola 8) e´ nulo, e´ dizer o
momentum do sistema se conserva na auseˆncia de
forc¸as externas. Este resultado pode ser generali-
zado para outros sistemas em que a influeˆncia da
forc¸a externa seja nula.
Exerc´ıcio 5.3: Considere um peixe que nada na
direc¸a˜o de outro peixe menor e em repouso. Se o
peixe maior tem uma massa de 5 kg e nada com
1 m/s, e o peixe menor tem uma massa de 1 kg,
qual sera´ a velocidade do peixe grande logo apo´s
que ele engolir o peixe menor? Despreze os efeitos
da resisteˆncia da a´gua.
Exerc´ıcio 5.4: Uma urna de votac¸a˜o de massa
m = 6 kg desliza com velocidade v = 4 m/s em
um piso sem atrito no sentido positivo de um eixo
x. A urna explode em dois pedac¸os. Um pedac¸o,
de massa m1 = 2 kg, se move no sentido positivo
do eixo x com v1 = 8 m/s. Qual e´ a velocidade do
segundo pedac¸o, de massa m2?
5.2 Coliso˜es
Coliso˜es unidimensionais
Coliso˜es em que os corpos que colidem esta˜o
se movendo sobre uma mesma linha reta, antes, du-
rante e depois da colisa˜o, sa˜o chamadas de coliso˜es
unidimensionais.
Seja um corpo de massa m1 com velocidade
inicial v1i que se aproxima de um segundo corpo,
de massa m2, que se move no mesmo sentido com
velocidade inicial v2i. Se v2i < v1i, os corpos co-
lidira˜o. Sejam v1f e v2f as velocidades apo´s a co-
lisa˜o. Os dois corpos podem ser considerados com
um sistema isolado. A partir do teorema de con-
servac¸a˜o de momentum obtemos uma equac¸a˜o para
as quantidades desconhecidas, v1f e v2f
m1 v1f +m2 v2f = m1 v1i +m2 v2i (5.6)
Para determinar v1f e v2f , uma segunda equac¸a˜o e´
necessa´ria. Esta segunda equac¸a˜o depende do tipo
de colisa˜o.
Coliso˜es perfeitamente inela´sticas
Nas coliso˜es perfeitamente inela´sticas, os
corpos possuem a mesma velocidade depois da co-
lisa˜o, frequentemente porque eles grudam um no
outro. Logo para nosso caso
v1f = v2f = vsis
em que vsis e´ a velocidade do sistema (objetos gru-
dados), substituindo na equac¸a˜o (5.6), obtemos
(m1 +m2)vsis = m1 v1i +m2 v2i
vsis =
m1 v1i +m2 v2i
m1 +m2
(5.7)
que e´ a velocidade do sistema depois da colisa˜o.
Exerc´ıcio 5.5: Para uma colisa˜o perfeitamente
inela´sticas, em que o segundo corpo esta´ inicial-
mente em repouso, a velocidade do sistema depois
da colisa˜o sera´
vsis =
m1
m1 +m2
v1i
Mostre que a energia cine´tica final Kf do sistema
5.2 Coliso˜es 35
e´ dada pela relac¸a˜o
Kf =
m1
m1 +m2
Ki (5.8)
em que Ki e´ a energia cine´tica inicial do sistema.
Verifique que a energia cine´tica do sistema diminui
em uma colisa˜o perfeitamente inela´stica.
Coliso˜es ela´sticas
Em coliso˜es ela´sticas, a energia cine´tica do
sistema e´ a mesma antes e depois da colisa˜o. Co-
liso˜es ela´sticas sa˜o ideais, a`s vezes acontecendo de
forma aproximada, mas nunca de forma exata, no
mundo macrosco´pico. Logo para o sistema descrito
anteriormente, podemos escrever
1
2
m1 v
2
1f +
1
2
m2 v
2
2f =
1
2
m1 v
2
1i +
1
2
m2 v
2
1i (5.9)
As equac¸o˜es (5.6) e (5.9) sa˜o suficientes para de-
terminar as velocidades finais dos dois corpos, se
conhecemos as velocidades iniciais e as massas. No
entanto, a natureza quadra´tica da equac¸a˜o (5.9)
complica a soluc¸a˜o simultaˆnea das equac¸o˜es (5.6) e
(5.9).
Rearranjando as equac¸o˜es (5.6) e (5.9), ob-
temos respectivamente
m2(v2f − v2i) = m1(v1i − v1f ) (5.10)
m2(v
2
2f − v22i) = m1(v21i − v21f )
m2(v2f − v2i)(v2f + v2i) = m1(v1i − v1f )(v1i + v1f )
(5.11)
Substituindo a equac¸a˜o (5.10) na equac¸a˜o (5.11) e
depois simplificando, obtemos
v2f + v2i = v1i + v1f
v2f − v1f = v1i − v2i
v1i − v2i = v2f − v1f (5.12)
em que v1i − v2i e´ a rapidez de aproximac¸a˜o dos
dois corpos antes da colisa˜o e v2f − v1f e´ a rapides
de separac¸a˜o dos corpos apo´s a colisa˜o. Para a
soluc¸a˜o de problemas de coliso˜es ela´sticas e´ mais
recomenda´vel usar as equac¸o˜es (5.6) e (5.12) que
as equac¸o˜es (5.6) e (5.9).
Exerc´ıcio 5.6: Um bloco de 4 kg, movendo-se
para a direita a 6 m/s, sofre uma colisa˜o ela´stica
frontal com um bloco de 2 kg que se move tambe´m
para a direita a 3 m/s. Encontre as velocidades
finais dos dois blocos.
O coeficiente de restituic¸a˜o
Muitas coliso˜es se encontram em algum
ponto entre os casos extremos: ela´stica e perfeita-
mente inela´stica. O coeficiente de restituic¸a˜o e
e´ uma medida da elasticidade de uma colisa˜o. Ele e´
definido como a raza˜o entre a rapidez de separac¸a˜o
e a rapidez de aproximac¸a˜o, e´ dizer
e =
vsep
vapr
=
v1f − v2f
v2i − v1i (5.13)
Para uma colisa˜o ela´stica, e = 1. Para uma colisa˜o
perfeitamente inela´stica, e = 0.
Exerc´ıcios adicionais
(1) Exemplo 8-9 (Pag. 254 - TIPLER)
(2) Exemplo 8-10 (Pag. 255 - TIPLER)
(3) Exemplo 8-11 (Pag. 256 - TIPLER)
(4) Exemplo 8-14 (Pag. 258 - TIPLER)
(5) Problema 57 (Pag. 275 - TIPLER)
(6) Problema 77 (Pag. 276 - TIPLER)
Cap´ıtulo 6
Sistema de part´ıculas e rotac¸o˜es
Se voceˆ arremessa um taco de beisebol sem
imprimir muita rotac¸a˜o nele, o movimento e´ de
certa forma simples, o taco descreve uma trajeto´ria
parabo´lica, como ja´ foi discutido nos cap´ıtulos an-
teriores, e pode ser tratada como uma part´ıcula.
Pore´m, se em vez disso, voceˆ arremessa o taco de
beisebol imprimindo certa rotac¸a˜o nele, enta˜o o
movimento e´ mais complicado, cada parte do taco
segue uma trajeto´ria diferente, na˜o e´ poss´ıvel repre-
sentar o taco como uma part´ıcula. Entretanto, o
taco possui um ponto especial, o centro de massa,
que descreve uma trajeto´ria parabo´lica simples e
as outras partes do taco giram em torno desse
centro de massa. A continuac¸a˜o apresentaremos
uma forma quantitativa de determinar o centro de
massa de um sistema de part´ıculas e objetos.
6.1 O centro de massa
m1 m2
xCM
y
xCM
dx1
x2
Figura 6.1: Duas part´ıculas de massas m1 e m2
esta˜o separadas por uma distaˆncia d. O ponto
marcado com CM representar o centro de massa
do sistema.
Seja um sistema de part´ıculas conformado
por duas part´ıculas, tal como mostra a Figura 6.1.
Sejam m1 e m2 as massas das part´ıculas e com
posic¸o˜es x1 e x2, respectivamente. A posic¸a˜o do
centro de massa xCM e´ definida como a me´dia
ponderada das posic¸o˜es das part´ıculas que consti-
tuem o sistema, e´ dizer
xCM =
m1x1 +m2x2
m1 +m2
=
m1x1 +m2x2
M
(6.1)
onde M = m1 +m2 e´ a massa total do sistema.
Definic¸a˜o 6.1: Seja um sistema conformado por
n part´ıculas, de massas m1, m2, ..., mn e posic¸o˜es
x1, x2, ..., xn, todas posicionadas ao longo de uma
linha reta (eixo x). A posic¸a˜o do centro de massa e´
definida como a me´dia ponderada das posic¸o˜es das
part´ıculas, e´ dizer
xCM =
m1x1 +m2x2 + ...+mnxn
M
=
1
M
n∑
i=1
mixi (6.2)
em que M e´ a massa total do sistema.
Se as part´ıculas esta˜o distribu´ıdas em um
plano, a posic¸a˜o do centro de massa deve ser es-
pecificada por duas coordenadas. Por extensa˜o da
equac¸a˜o (6.2), essas coordenadas sera˜o dadas por
xCM =
1
M
n∑
i=1
mi xi
yCM =
1
M
n∑
i=1
mi yi (6.3)
logo a posic¸a˜o do dentro de massa sera´ (xCM, yCM).
Centro de massa na forma vetorial
Seja um sistema conformado por N
part´ıculas com vetores posic¸o˜es~r1, ~r2, ..., ~rN , logo
o vetor posic¸a˜o do centro de massa sera´
~rCM =
1
M
N∑
i=1
mi ~ri (6.4)
em que novamente M e´ a massa total do sistema.
Exerc´ıcio 6.1: Treˆs part´ıculas de massas m1 =
1, 2 kg, m2 = 2, 5 kg e m3 = 3, 4 kg formam um
36
6.2 Segunda lei de Newton para um sistema de part´ıculas 37
triaˆngulo equila´tero de lado a = 140 cm. Onde fica
o centro de massa desse sistema?
CM de objetos macic¸os
Qualquer objeto, por exemplo um basta˜o
de beisebol, e´ um sistema conformada por um
nu´mero grande de part´ıculas (a´tomos), logo pode-
mos aproximar o objeto como um sistema cont´ınuo
de part´ıculas (objeto macic¸o). Essa aproximac¸a˜o e´
poss´ıvel sempre que um objeto esteja conformado
por um nu´mero grande de part´ıculas e que a se-
parac¸a˜o interpart´ıcula seja muito pequena compa-
rada com as dimenso˜es do objeto.
Para determinar o centro de massa de um
objeto macic¸o de massa M , primeiro, devemos
dividir imaginariamente o objeto em um nu´mero
grande N de porc¸o˜es iguais, em que cada porc¸a˜o
tem massa ∆m e conte´m ainda um nu´mero grande
de a´tomos. As dimenso˜es das porc¸o˜es devem ser
pequenas de modo que podamos considerar des-
prez´ıvel e assim possamos considerar a porc¸a˜o
como uma part´ıcula. Sejam ~r1, ~r2, ..., ~rn as
posic¸o˜es das porc¸o˜es. Logo usando a equac¸a˜o (6.4),
obtemos
~rCM =
1
M
N∑
i=1
∆m~ri
Agora fazendo o limite ∆m → 0, obtemos a
fo´rmula para determinar o centro de massa de um
objeto macic¸o,
~rCM =
1
M
∫
~r dm (6.5)
A expressa˜o para dm depende da forma do objeto
macic¸o. Se o objeto tem uma forma alongada, por
exemplo, um fio, uma corda, um haste, etc., enta˜o
podemos escrever
dm = λ dl (6.6)
em que λ denomina-se massa especificada linear
(kg/m), e dl e´ o diferencial de comprimento. Se o
objeto tiver uma forma plana, por exemplo, uma
folha, uma chapa de ferro, etc., enta˜o podemos es-
crever
dm = σ dA (6.7)
em que λ denomina-se massa especificada superfi-
cial (kg/m2), e dA e´ o diferencial de a´rea. Se o ob-
jeto tiver uma forma tridimensional, por exemplo,
uma bola, um livro, etc., enta˜o podemos escrever
dm = ρ dV (6.8)
em que ρ denomina-se massa especificada vo-
lume´trica (kg/m3), e dV e´ o diferencial de volume.
Os limites de integrac¸a˜o da integral da equac¸a˜o
(6.5) sera´ todo o espac¸o que ocupa o objeto.
Quando um objeto possui um ponto, ou uma
reta ou um plano de simetria, na˜o precisa realizar
a integral (6.5), pois, nesse caso, o centro de massa
estara´ naquele ponto, ou linha ou plano de simetria.
Assim, por exemplo, uma esfera uniforme tem um
ponto de simetria, que e´ seu centro, logo o centro
de massa da esfera sera´ o centro da esfera.
O centro de massa de um objeto nem sem-
pre esta´ no interior de um objeto, por exemplo, o
centro de massa de uma rosquinha e uma ferradura
se encontram em um ponto exterior ao objeto.
Exerc´ıcio 6.2: Determinar o centro de massa de:
(a) uma barra uniforme de comprimento L; (b) de
um anel semicircular uniforme de raio R.
6.2 Segunda lei de New-
ton para um sistema de
part´ıculas
Consideremos um sistema formada duas bo-
las de sinuca. Quando acertamos a bola branca em
outra bola que esta´ em repouso, esperamos que o
centro de massa (ponto me´dio do segmento que une
as duas bolas, pois elas teˆm massas iguais) do sis-
tema apo´s a colisa˜o continue a se mover para frente,
sem que o movimento seja alterado pela colisa˜o,
na˜o importa se o choque e´ frontal ou de raspa˜o.
Imagine um sistema de N part´ıculas, consi-
dere que na˜o estejamos interessados nos movimen-
tos individuais dessas part´ıculas, mas apenas no
movimento do centro de massa do sistema. Em-
bora o centro de massa seja apenas um ponto
geome´trico, ele se move como uma part´ıcula, cuja
massa sera´ igual a` massa do sistema, logo podemos
atribuir-lhe uma posic¸a˜o, uma velocidade e uma
acelerac¸a˜o. De acordo com a equac¸a˜o (6.4), temos
M~rCM = m1~r1 +m2~r2 + ...+mn~rN (6.9)
em M e ~rCM sa˜o a massa e o vetor posic¸a˜o do
centro de massa do sistema. Derivando a equac¸a˜o
(6.9) em relac¸a˜o ao tempo, temos
M~vCM = m1~v1 +m2~v2 + ...+mn~vn (6.10)
onde vi (= d~ri/dt) e´ a velocidade da i-e´sima
part´ıcula e ~vCM (= d~rCM/dt) e´ a velocidade do
centro de massa. De novo, derivando em relac¸a˜o
ao tempo, agora a equac¸a˜o (6.10), obtemos
M~aCM = m1~a1 +m2~a2 + ...+mn~an (6.11)
onde ai (= d~vi/dt) e´ a acelerac¸a˜o da i-e´sima
part´ıcula e ~aCM (= d~vCM/dt) e´ a acelerac¸a˜o do
centro de massa. De acordo com a segunda lei de
Newton, mi~ai e´ igual a` forc¸a resultante ~fi que age
sobre a part´ıcula i-e´sima. Assim, podemos reescre-
6.3 O momentum de um sistema de part´ıculas 38
ver a equac¸a˜o (6.11) como
M~aCM = ~f1 + ~f2 + ...+ ~fn (6.12)
Entre as forc¸as que contribuem para o lado direito
da equac¸a˜o (6.12) esta˜o as forc¸as que as part´ıculas
do sistema exercem umas sobre as outras (forc¸as
internas) e forc¸as exercidas sobre as part´ıculas por
agentes de fora do sistema (forc¸as externas). De
acordo com a terceira lei de Newton, as forc¸as in-
ternas formam pares do tipo ac¸a˜o-reac¸a˜o que se
cancelam mutuamente na soma do lado direito da
equac¸a˜o (6.12). O que resta e´ a soma vetorial de
todas as forc¸as externas que agem sobre o sistema.
Assim, obtemos
M~aCM = ~Fres (sistema de part´ıculas) (6.13)
que e´ a segunda lei de Newton para o movimento do
centro de massa de um sistema de part´ıculas. ~Fres
e´ a forc¸a resultante de todas as forc¸as externas
que agem sobre o sistema. Forc¸as de uma parte do
sistema que agem sobre outra parte (forc¸as inter-
nas) na˜o devem ser inclu´ıdas na equac¸a˜o (6.13). E
supomos que nenhuma massa entra ou sai do sis-
tema durante o movimento, de modo que M per-
manece constante (sistema fechado).
Voltemos a examinar o comportamento das
bolas de sinuca. Depois que a bola branca e´ posta
em movimento, nenhuma forc¸a externa age sobre
o sistema formado pelas duas bolas. De acordo
com a equac¸a˜o (6.13), se ~Fres = 0, enta˜o ~aCM =
0, portanto a velocidade do centro de massa das
duas bolas na˜o varia, e´ dizer, o centro de massa
do sistema, que estava se movendo para a frente
antes da colisa˜o, deve continuar a se mover para
a frente apo´s a colisa˜o com a mesma velocidade, e´
dizer com a mesma orientac¸a˜o.
Figura 6.2: Um fogo de artif´ıcio explode no ar.
Na auseˆncia de resisteˆncia do ar o centro de massa
dos fragmentos continuaria a seguir a trajeto´ria pa-
rabo´lica original ate´ que os fragmentos comec¸assem
a atingir o solo.
A Figura 6.2 mostra outro caso interessante.
Suponha que em um espeta´culo de fogos de artif´ıcio
um foguete seja lanc¸ado com um certo aˆngulo com
a horizotal. Em um certo ponto, o foguete explode
em pedac¸os. As forc¸as da explosa˜o sa˜o internas
ao sistema (no ı´nicio, o sistema e´ apenas o foguete;
mais tarde, e´ composto pelos fragmentos do fo-
guete). Se ignorarmos a resisteˆncia do ar, a forc¸a
externa resultante ~Fres que age sobre o sistema e´
unicamente a forc¸a gravitacional Mg, independen-
temente da explosa˜o do foguete. Assim, aCM = g,
e´ dizer que o centro de massa dos fragmentos segue
uma trajeto´ria parabo´lica, a mesma trajeto´ria que
tivesse seguido o foguete se na˜o tivesse explodido.
Em resumo, o centro de massa de um sis-
tema de part´ıculas e´ o ponto que se move como
se toda a massa do sistema estivesse concentrada
nesse ponto e como se todas as forc¸as externas es-
tivessem aplicadas nesse ponto.
Exerc´ıcio 6.3: As treˆs part´ıculas da Figura 6.3
esta˜o inicialmente em repouso. Cada uma sofre a
ac¸a˜o de uma forc¸a externa devido a agentes fora
do sistema das treˆs part´ıculas. As orientac¸o˜es das
forc¸as esta˜o indicadas e os mo´dulos sa˜o F1 = 6 N,
F2 = 12 N e F3 = 14 N. Qual e´ a acelerac¸a˜o do
centro de massa do sistema e em que direc¸a˜o ele se
move?
yx
CM
~F1 ~F2
~F3
4 kg
4 kg
8 kg
-3
-2
-1
0
1
2
3
1 2 3 4 5-1-2-3
45◦
Figura 6.3: Treˆs part´ıculas, inicialmente em re-
pouso nas posic¸o˜es indicadas, sa˜o submetidas a`s
forc¸as externas mostradas. O centro de massa
(CM) do sistema esta´ indicado.
6.3 O momentum de um sis-
tema de part´ıculas
Newton expressou sua segunda lei original-
mente em termos do momento: a taxa de va-
riac¸a˜o em relac¸a˜o ao tempo do momentum de uma
part´ıcula e´ igual a` forc¸a resultante que atua sobre
a part´ıcula, e´ dizer
d~p
dt
= ~Fres (6.14)
6.4 Movimento de Rotac¸a˜o 39
Substituindo ~p = m~v na equac¸a˜o (6.14), obtemos
d~p
dt
= ~Fres
d
dt
(m~v) = ~Fres
m~a = ~Fres
Assim, as relac¸o˜es d~p/dt = ~Fres e m~a = ~Fres sa˜o
expresso˜es equivalentes da segunda lei de Newton
para uma part´ıcula.
Considere um sistema de N part´ıculas de
massas m1, m2, ..., mN e momenta ~p1, ~p2, ..., ~pN .
O momentum do sistema ~P e´ definido como
~P = ~p1 + ~p2 + ...+ ~pN
= m1~v1 +m2~v2 + ...+mN~vN (6.15)
Logo comparando com a equac¸a˜o (6.10), notamos
que
~P =M~vCM = ~PCM (6.16)
e´ dizer o momentum do sistema e´ igual ao momen-
tum do centro de massa do sistema: O momen-
tum de um sistema de part´ıculas e´ igual ao produto
da massa do sistema pela velocidade do centro de
massa. Derivando em relac¸a˜o ao tempo o momen-
tum do centro de massa, obtemos
d~PCM
dt
=M
d~vCM
dt
=M~aCM (6.17)
Comparando as equac¸o˜es (6.13) e (6.17), podemos
escrever a segunda lei de Newton para qualquer
sistema de part´ıculas da seguinte forma
d~PCM
dt
= ~Fres (sistema de part´ıculas) (6.18)
a taxa de variac¸a˜o do momentum do sistema e´ igual
a` forc¸a externa resultante.
Exerc´ıcio 6.4: Um proje´til e´ disparado em uma
trajeto´ria tal que o faria aterrizar 55 m adiante.
No entanto, ele explode no ponto mais alto da tra-
jeto´ria, partindo-se em dois fragmentos de mesma
massa. Imediatamente apo´s a explosa˜o, um dos
fragmentos possui uma rapidez instantaˆnea igual
a zero e, depois, cai na vertical. Onde aterriza o
outro fragmento? Despreze a resisteˆncia do ar.
Exerc´ıcio 6.5: Se o fragmento que cai na verti-
cal no exerc´ıcio anterior tem duas vezes a massa
do outro fragmento, a que distaˆncia do ponto de
lanc¸amento aterriza o fragmento mais leve?
Exerc´ıcios adicionais
(1) Exerc´ıcio 1 (Pag. 247 - HALLIDAY)
(2) Exerc´ıcio 10 (Pag. 248 - HALLIDAY)
(3) Exerc´ıcio 15 (Pag. 248 - HALLIDAY)
(4) Exerc´ıcio 18 (Pag. 248 - HALLIDAY)
(5) Exerc´ıcio 27 (Pag. 249 - HALLIDAY)
(6) Exerc´ıcio 36 (Pag. 250 - HALLIDAY)
(7) Exerc´ıcio 39 (Pag. 250 - HALLIDAY)
(8) Exerc´ıcio 40 (Pag. 250 - HALLIDAY)
(9) Exerc´ıcio 41 (Pag. 250 - HALLIDAY)
(10) Exerc´ıcio 42 (Pag. 251 - HALLIDAY)
6.4 Movimento de Rotac¸a˜o
A rapidez e´ a distaˆncia percorrida por uni-
dade de tempo. Um ponto na borda de fora de um
carrosel ou de uma mesa girato´ria percorre uma
distaˆncia maior a cada volta completada que um
ponto mais interno, logo podemos dizer que a rapi-
dez na borda externa de um objeto que gira e´ maior
que a rapidez no ponto mais interno (pro´ximo a seu
eixo de rotac¸a˜o).
Eixo de rotac¸a˜o
A
B
Figura 6.4: Uma mesa girato´ria que gira em torno
de um eixo vertical (eixo de rotac¸a˜o) que passa
pelo centro da mesa. A porc¸a˜o B que se encontra
na borda de fora da mesa tem rapidez maior que
a porc¸a˜o A, pore´m ambas porc¸o˜es tem a mesma
rapidez angular.
Velocidade angular
A rapidez angular ou algumas vezes cha-
mada de rapidez de rotac¸a˜o se refere ao nu´mero de
voltas ou revoluc¸o˜es por unidade de tempo. To-
das as partes de um carrosel r´ıgido e de uma mesa
girato´ria giram em torno do eixo de rotac¸a˜o no
mesmo intervalo de tempo. Todas essas partes
compartilham a mesma taxa de rotac¸a˜o, ou nu´mero
de rotac¸o˜es ou revoluc¸o˜es por unidade de tempo. E´
comum expressar taxas de rotac¸a˜o em revoluc¸o˜es
por minuto (RPM). Os discos de vinil, comuns
6.4 Movimento de Rotac¸a˜o 40
ate´ alguns anos atra´s, por exemplo, giravam a 33 13
RPM.
Em resumo, as diferentes porc¸o˜es de um ob-
jeto que gira, tal como mostra a Figura 6.4, cir-
culam com diferentes rapidezes (rapidez de cir-
culac¸a˜o), pore´m a rapidez angular das diferentes
porc¸o˜es sa˜o iguais, assim associamos a rapidez an-
gular ao objeto completo. Existe uma relac¸a˜o entre
a rapidez de circulac¸a˜o de uma porc¸a˜o do objeto e
a rapidez angular do objeto, e e´ dada como
v = rω (6.19)
em que v e´ a rapidez de circulac¸a˜o da porc¸a˜o e ω e´
a rapidez de rotac¸a˜o do objeto. r e´ a distaˆncia ra-
dial da porc¸a˜o baixo estudo. Voceˆ se movera´ mais
rapidamente se a taxa de rotac¸a˜o aumentar (maior
ω). Voceˆ tambe´m se movera´ mais rapidamente se
estiver mais afastado do eixo (maior r).
Ine´rcia rotacional
Da mesma maneira que um objeto em re-
pouso tende a permanecer como esta´, e um objeto
em movimento tende a permanecer movendo-se em
linha reta, um objeto que roda em torno de um
eixo tende a permanecer rodando em torno desse
mesmo eixo, a menos que sofra algum tipo de in-
terfereˆncia externa. Corpos que esta˜o em rotac¸a˜o
tendem a permanecer em rotac¸a˜o, enquanto corpos
que na˜o esta˜o em rotac¸a˜o tendem a permanecer
sem rotac¸a˜o.
Definic¸a˜o 6.2: A ine´rcia rotacional ou comu-
mente chamada de momento de ine´rcia define-
se como a propriedade que tem qualquer objeto de
resistir a alterac¸o˜es em seu estado de movimento
rotacional.
Como a ine´rcia para o movimento linear, a
ine´rcia rotacional de um objeto tambe´m depende
de sua massa. Mas, diferentemente do movimento
linear, o momento de ine´rcia depende da distri-
buic¸a˜o de massa em relac¸a˜o ao eixo de rotac¸a˜o.
Quanto maior for a distaˆncia entre a maior parte
da massa de um objeto e seu eixo de rotac¸a˜o, maior
sera´ sua ine´rcia rotacional.
Considere que um objeto pequeno de massa
m circula em torno de um eixo de rotac¸a˜o, tal como
se mostra na Figura 6.5, o objeto e´ presso ao eixo
de rotac¸a˜o mediante um barbante de comprimento
l e de massa desprez´ıvel. O momento de ine´rcia
I de um objeto pequeno que circula ao redor de
um eixo de rotac¸a˜o que esta´ a uma distaˆncia l do
objeto sera´
I = ml2 (6.20)
Isto e´ va´lido somente se o objeto ter dimenso˜es
pequenas, e´ dizer um raio muito pequeno em com-
parac¸a˜o distaˆncia l. Observe que o momento de
m
l
ω
Eixo de rotac¸a˜o
Figura 6.5: Uma pequena bola de massa m circula
o eixo de rotac¸a˜o, devido a que a bola esta´ prendido
com um barbante ao eixo de rotac¸a˜o.
ine´rcia na˜o depende da velocidade angular, de-
pende da massa do objeto e da distaˆncia a que se
encontra do eixo de rotac¸a˜o, maior distaˆncia, maior
momento de ine´rcia.
Exerc´ıcio 6.6: Exemplo 9-3 (pag. 286 - TIPLER)
Ine´rcia rotacional de objetos macic¸os
Seja um objeto macic¸o tal como se mostra
na Figura 6.6, que gira em torno do eixo que passa
pelo ponto O.
∆mO
ω
ri
Figura 6.6: Um objeto macic¸o gira em torno de um
eixo que passa pelo ponto O.
Para determinar o momento de ine´rcia de
um objeto macic¸o, primeiramente, dividimos ima-
ginariamente o objeto em N porc¸o˜es iguais, cada
uma com massa ∆m. Seja ri a distaˆncia da i-
e´sima porc¸a˜o ao eixo de rotac¸a˜o, logo o momento
de ine´rcia desta porc¸a˜o sera´
Ii = mr
2
i
6.4 Movimento de Rotac¸a˜o 41
Logo o momento de ine´rcia I de todo o objeto sera´
I =
N∑
i=1
Ii =
N∑
i=1
mr2i (6.21)
pore´m este resultado e´ aproximado, para encontrar
o resultado correto devemos fazer o limite ∆m→ 0,
logo a fo´rmula fica,
I =
∫
r2dm (6.22)
em que a integrac¸a˜o se realiza sobre todo o espac¸o
que o objeto ocupa. A figura 6.7 mostra o momento
de ine´rcia de alguns objetos macic¸os.
Figura 6.7: Momento de ine´rcia de alguns objetos
macic¸os.
Exerc´ıcio 6.7: Exemplo 9-4 (pag.286 - TIPLER)
Exerc´ıcio 6.8: Exemplo 9-7 (pag. 291 - TIPLER)
Energia cine´tica rotacional
A energia cine´tica de um objeto macic¸o que
gira em torno de um eixo e´ a soma das ener-
gias cine´ticas das porc¸o˜es que conformam o corpo
r´ıgido. A energia cine´tica da i-e´sima porc¸a˜o sera´
Ki =
1
2
∆mv2i (6.23)
em que vi e´ a rapidez de circulac¸a˜o da i-e´sima
porc¸a˜o, logo usando a equac¸a˜o (6.19) temos vi =
riω, em que ri e´ a distaˆncia da porc¸a˜o ao eixo de
rotac¸a˜o e ω e´ a velocidade angular com que gira o
objeto, logo reescrevendo a equac¸a˜o (6.23) temos
Ki =
1
2
∆mr2i ω
2 (6.24)
Logo a energia cine´tica rotacional K do objeto
macic¸o sera´
K =
N∑
i=1
Ki
=
N∑
i=1
1
2
∆mr2i ω
2
=
1
2
(
N∑
i=1
∆mr2i
)
ω2
=
1
2
Iω2 (6.25)
em que I e´ o momento de ine´rcia do objeto.
Exerc´ıcio 6.9: Exemplo 9-2 (pag.285 - TIPLER)
Segunda lei de Newton para rotac¸o˜es
m
φ
F
Ft
r
Extremo fixo O
Barra rigida
Figura 6.8: Quando uma forc¸a tangencial e´ apli-
cada ao sistema bola-barra, o sistema comec¸a girar
em torno do ponto fixo 0.
Seja um objeto pequeno fixado a um barra
rigida de massa desprez´ıvel, tal como se mostra na
Figura 6.8. Se mantermos fixo o extremo 01 da
barra e logo aplicamos uma forc¸a F sobre o objeto,
o sistema objeto-barra comec¸ara´ girar em torno do
extremo fixo. Entretanto, se aplicarmos uma forc¸a
paralelo a` barra, o sistema na˜o vai girar, logo no-
tamos que somente a componente tangencial Ft da
forc¸a vai imprimir uma rotac¸a˜o inicial ao sistema.
Aplicando a segunda lei de Newton na
direc¸a˜o tangencial a` trajeto´ria do objeto, temos
at =
Ft
m
(6.26)
1Devemos manter fixo para movimento translacional,
pore´m para movimento rotacional deve ser livre.
6.4 Movimento de Rotac¸a˜o 42
em que at e´ a componente tangencial da acelerac¸a˜o
e e´ dada como
at =
dv
dt
=
d(rω)
dt
= r
dω
dt
= rα (6.27)
em que α e´ a acelerac¸a˜o angular, e´ dizer α = dω/dt.
Substituindo a equac¸a˜o (6.27) na equac¸a˜o (6.26),
obtemos
r α =
Ft
m
mr2α = r Ft
I α = τ
α =
τ
I
(6.28)
em que τ = r Ft e´ definido como torque realizado
pela forc¸a F , e I = mr2 e´ o momento de ine´rcia
do sistema objeto. A equac¸a˜o (6.28) denomina-se a
segunda lei de Newton para movimento rotacional,
de onde observamos que para modificar o movi-
mento rotacional de um objeto e´ necessa´rio aplicar
um torque.
Exerc´ıcio 6.10: Exemplo 9-9 (pag. 295 - TI-
PLER)
Exerc´ıcio 6.11: Exemplo 10-9 (pag. 277 - HAL-
LIDAY)