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CADERNOS DOS CURSINHOS PRÉ- UNIVERSITÁRIOS DA UNESP ANTONIO FRANCISCO MARQUES MARIA DA GRAÇA MELLO MAGNONI E S P 2016 MATEMÁTICA NELSON ANTONIO PIROLA O VOLUME 2 Realização Pró-Reitoria de Extensão – PROEX Rua Quirino de Andrade, 215 – 10° andar São Paulo, CEP 01049-010 – SP Tel (11) 5627-0264 Reitor Julio Cezar Durigan Vice-reitor Eduardo Kokubun Pró-reitora de Extensão Universitária Mariângela Spotti Lopes Fujita Pró-reitora de Pesquisa Maria José Soares Mendes Giannini Pró-reitor de Graduação Laurence Duarte Colvara Pró-reitora de Pós-Graduação Lourdes Aparecida Martins dos Santos-Pinto Pró-reitor de Administração Carlos Antonio Gamero Secretária Geral Maria Dalva Silva Pagotto Produção planejada pelo Projeto "Inovação nos pro- cessos de gestão e pedagógico dos Cursos Pré-Vesti- bulares da Unesp" Diagramação e capa Edevaldo Donizeti dos Santos Impressão e acabamento: Gráica FCL/Araraquara Revisão Élide Feres Maria Luzinete Euclides Rony Farto Pereira Conselho Editorial da PROEX - Unesp Profa. Dra. Maria Candida Soares Del Masso (FFC / Marília) Prof. Dr. Claudio César de Paiva (FCL / Araraquara) Profa. Dra. Márcia Pereira da Silva (FCHS / Franca) Profa. Dra. Rosane Michelli de Castro (FFC / Marília) Sra. Angela de Jesus Amaral (PROEX / Reitoria) Sr. Oscar Kazuyuki Kogiso (ICT / São José dos Campos) Coordenação geral Profa. Dra. Mariângela Spotti Lopes Fujita Editores Prof. Dr. Antonio Francisco Marques Profa. Dra. Maria da Graça Mello Magnoni Organizador Nelson Antonio Pirola Colaboradores Emília de Mendonça Rosa Marques Evandro Tortora Fernanda Pizzigatti Marques Jasinevicius Gabriela Pereira Sander Gilmara Aparecida da Silva José Luciano Santinho Lima Juliana Aparecida da Silva dos Santos Morais Márcio Rogério Ferreira Patrícia Priscilla Ferraz da Costa Souza Richael Silva Caetano hais Regina Ueno Yamada Marcio Rogerio Ferreira Patricia Priscilla Ferraz da Costa Souza Revisor de conteúdo Profa Dra Mara Sueli Simao Moraes M425 Matemática / Nelson Antonio Pirola, organizador. – [2. ed.] – São Paulo : Cultura Acadêmica, 2016. 296 p. : il. - (Cadernos dos cursinhos pré-universitários da Unesp ; 2) Inclui bibliograia ISBN 978-85-7983-821-7 1. Matemática (Ensino médio) – Estudo e ensino. 2. Séries aritméticas. 3. Estatística. 4. Geometria. 5. Trigonometria. 6. Universidades e faculdades - Vestibular. I. Pirola, Nelson Antonio. II. Série. CDD 510.7 3 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX PREFÁCIO A ideia de construção dos conteúdos disciplinares dos 6 cadernos que com- põem a 2° Edição do conjunto do material didático a ser utilizado pelos Cursinhos Pré-Universitários1 surgiu desde o início da gestão, em 2013, durante proveitosas dis- cussões em reuniões com os professores e estudantes na condição, respectivamente, de coordenadores e tutores. Havia, naquela ocasião, uma grande preocupação com relação à disponibilidade do material didático de um ano vigente para um próximo ano, con- siderando-se a provisão orçamentária. Além disso, havia um desejo dos envolvidos por conteúdos que mais se aproximassem do contexto social e educacional dos cursistas provenientes da escola pública e de famílias de baixa renda, para promover, de modo mais abrangente, a inclusão em um contexto de aquisição e de construção de conhe- cimentos necessários ao ingresso em cursos de graduação ou no mercado de trabalho, mediante participação em concursos. O grande desafio da existência dos Cursinhos Pré-Universitários da UNESP sempre foi a oferta do material didático com os conteúdos disciplinares necessários, de um lado, para facilitar o processo comunicativo entre professor e cursista na sala de aula e, de outro, para orientar a aprendizagem do cursista fora da sala de aula. Portanto, o material didático é o instrumento que orienta o processo de aquisição e construção do conhecimento dos cursistas dos Cursinhos Pré-Universitários, em um curto período de tempo, com finalidade definida de ingresso em concursos e, ainda, a fim de propiciar sua inclusão. Nesse sentido, discutiu-se a viabilidade de a UNESP construir material didático próprio, dadas as características únicas de distribuição regional multicampus e da evolução histórica de seus Cursinhos Pré-Universitários, atualmente Subprograma de extensão “Cursinhos Pré-Universitários da UNESP”, do programa de extensão “Divulgação, Orientação e Informação Profissional”. Antes de sua concretização, essa discussão levou em consideração resultados de outras iniciativas da Pró-Reitoria de Extensão - PROEX - na tentativa de realizar 1 Atualmente, existem 27 Cursinhos Pré-Universitários UNESP e 4 Cursinhos em convênios com Prefeituras, em funcionamento, localizados em 23 cidades do interior paulista, junto a Unidades Universitárias da UNESP. O modelo implantado atende a alunos regulares e egressos da rede pública de ensino e oferece aulas ministradas por graduandos dos diversos cursos da UNESP – bolsistas e voluntários –, que visam a suprir lacunas de formação de alunos regulares do 3º ano e egressos do ensino médio, com vistas a oferecer reforço de ensino e preparo para o ingresso e permanência na universidade. Para isso, a UNESP, por meio da Pró-Reitoria de Extensão Universitária, mantém um Programa Institucional com bolsas de extensão universitária para alunos de seus cursos de graduação atuarem como tutores de ensino. 4 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX parcerias com editoras comerciais e de organizações não governamentais, dedicadas a cursinhos populares e comunitários, que, após negociações, revelaram impossibilidade de execução. A proposta de construção do material didático, após debates, foi acolhida por Grupo de Pesquisa da Faculdade de Ciências do Câmpus de Bauru, com inser- ção e experiência na coordenação de Cursinho Pré-Universitário, o qual elaborou o “Projeto de produção, manutenção e atualização de material didático-pedagógico”. O Projeto, coordenado pela Pró-Reitoria de Extensão Universitária e ela- borado pelos Professores Doutores Antonio Francisco Marques e Maria da Graça Mello Magnoni, da Faculdade de Ciências do Campus de Bauru, foi concebido com o objetivo de organizar, adequar e disponibilizar cadernos com os conteúdos curricu- lares das diversas áreas do conhecimento para as atividades pedagógicas nos cursinhos pré-universitários da UNESP, nas seguintes áreas do conhecimento: “Linguagens e Códigos”, “Matemática”, “Biologia”, “Química”, “Física”, “Ciências Humanas” e o “Caderno de Material Complementar e de Apoio”. No ano de 2015, foram construídos os conteúdos das áreas de conheci- mento que resultaram na publicação da 1° Edição com seus 5 cadernos: Linguagens e Códigos, Matemática, Ciências da Natureza, Ciências Humanas e Material de Apoio. A 2° Edição contemplou a atualização, reformulação e inclusão dos con- teúdos para publicação dos cadernos, em 2016. Nesta nova edição, o Caderno 3 - Ciências da Natureza que reunia as áreas de Biologia, Química e Física, foi seg- mentado em três cadernos e cada uma destas áreas se constituiu em um caderno independente. Não restam dúvidas de que a publicação destes Cadernos representa um passo dado de grande relevância para o aprimoramento dos Cursinhos Pré- Universitários, mas também, de alta responsabilidade social, porquanto deverá in- fluenciar a inclusão, conforme preconiza a Política Nacional de Extensão e a Política de Extensão da UNESP. Dessa forma, os cadernos serão o instrumento principal da política pedagó- gica do Subprograma de Extensão “Cursinhos Pré-Universitários da UNESP”, com a proposta de unificar a orientação pedagógica dos 27 Cursinhos Pré-Universitários e, ao mesmo tempo, dar visibilidade a essa importante ação de extensão universitária de grande espectro eimpacto social, no interior do Estado de São Paulo que, smj, é única no Brasil entre as IES. Pela atuação dos Professores editores Antonio Francisco Marques e Maria da Graça M. Magnoni, dos autores e dos colaboradores, agradecemos o empenho, esforço e dedicação, ao assumirem a responsabilidade de criação e atualização cons- tante dos conteúdos dos Cadernos que, decisivamente, eleva o patamar de qualidade no atendimento das demandas pelos Cursinhos. 5 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX Faz-se mister destacar o apoio incondicional da Reitoria da UNESP, nas pessoas do Prof. Dr. Julio Cezar Durigan, Reitor, e Prof. Dr. Eduardo Kokubun, Vice-Reitor, na idealização e fortalecimento dos Cursinhos Pré-Universitários, o que facilitou a condução de todos os trabalhos de organização da publicação. Finalmente, é preciso salientar a valiosa atuação dos Cursinhos Pré- Universitários na extensão universitária da UNESP, com resultados de impacto na transformação da realidade social da comunidade externa à Universidade. Mariângela Spotti Lopes Fujita Pró-Reitora de Extensão Universitária da Unesp 6 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 7 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX APRESENTAÇÃO Apresentamos a 2ª edição da coletânea de cadernos dos Cursinhos Pré- Vestibulares da Unesp. Considerando a realidade concreta do Ensino Médio e os desafios que ele representa aos poderes públicos, os cursinhos pré-vestibulares apresentam uma ação em prol da democratização do ensino superior brasileiro, na tentativa de minimi- zar uma realidade histórica e socialmente perversa, que exclui milhões de brasileiros das classes desfavorecidas da participação e ou da aprovação nos concursos vestibu- lares para ingresso nas universidades públicas. Orientados pela lógica do direito à educação, os cursinhos pré-universitários constituem, então, situações emergenciais enquanto o Estado e a sociedade brasileira não garantirem uma educação básica de qualidade para todos. Tendo em vista que os Cursos Pré-Universitários da UNESP visam atender às demandas educacionais dos egressos e concluintes do último ano do ensino médio público, os editores e coordenadores dos cadernos optaram pelos conteúdos propos- tos para a avaliação do ENEM. Esta edição é uma revisão da edição anterior com ampliação dos conteúdos nas áreas de conhecimento de Linguagem, Matemática, Ciências Naturais, ficando este último subdividido em três cadernos. Ao permitir à Universidade atender parte dos seus objetivos, o Projeto proporciona ganhos aos seus docentes e discentes. Os alunos dos diferentes cursos ou licenciaturas, na situação de bolsistas e voluntários, têm a possibilidade de ampliar seus conhecimentos ao organizar didaticamente todo o processo de ensino destinado aos cursistas, envolvendo principalmente os conteúdos e as metodologias em função dos diferentes grupos atendidos. Os demais graduandos, não envolvidos diretamen- te com o Cursinho, são beneficiados mediante a socialização das experiências pelos colegas bolsistas do Projeto, quando em sala de aula, ampliando as relações e vínculos com as atividades práticas na Educação Básica, etapa do ensino para a qual muitos estão em processo de formação. A situação de aprendizagem para os discentes direta e indiretamente en- volvidos ultrapassa, então, os limites dos saberes e práticas curriculares dos conheci- mentos específicos, envolvendo experiências relativas às relações que se estabelecem entre todos os envolvidos no processo educativo e que não se restringem aos aspectos cognitivos, mas também afetivos e sociais. 8 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX Os investimentos em recursos humanos e financeiros destinados à pesquisa e produção dos recursos materiais voltados à extensão dos resultados à sociedade, através da divulgação do conhecimento científico, tecnológico, mais que concreti- zar os nossos objetivos de proporcionar o acesso da comunidade à Universidade, nos permite vivenciar a Universidade como perspectiva, como possibilidade para a realização de um trabalho que proporciona o envolvimento pessoal e coletivo, um esforço conjunto de muitas pessoas que assumiram o compromisso da realização, o compromisso com a Universidade Pública e que se auxiliam nas dificuldades, nos contratempos, nas propostas, na coragem para enfrentar as críticas e solucioná-las. Como já colocado na edição anterior, o trabalho executado tem seus limi- tes, porém é possível aperfeiçoá-lo nas próximas edições, com base nas experiências e avaliações dos usuários estudantes e dos monitores das salas de cursinhos espalhados nas dezenas de unidades universitárias da UNESP. O material estará disponível para os alunos matriculados nos Cursinhos da UNESP na forma impressa e online, oportunizando aos estudantes externos e demais interessados o acesso livre e gratuito. Antonio Francisco Marques Maria da Graça Mello Magnoni Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 11 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 12 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX ℚ a b b 0b b a a b 1 33 1 1515 8 12 422 13 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 2 3 48 412 8 12 6 35 6 55 6 35 6 530 6 5 6 65 6 55 6.r denominado com fração em inteiras partes 5 as -semTransforma 14 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 9 12 9 48 9 4 9 8 1 8 8 8 102 8 1075 8 10 8 7 8 5 5 4 3 2 1553 15 10 5 5 3 2 3 2 3 2 15 10 15 12 3 3 5 4 5 4 5 4 15 12 15 22 15 1210 15 12 15 10 5 4 3 2 15 22 5 4 3 2 15 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 28 15 74 53 7 5 4 3 135 48 539 642 5 6 3 4 9 2 20 de 4 3 20 4 3 .15 4 60 4 20320 4 320 de 4 3 78 70 613 710 6 7 13 10 7 6 13 10 10 1 52 11 5 1 2 15 2 1 10 2 10 17 100 35 100 168 1000 5 1000 49 1000 324 1000 5324 5,0 10 5 89,0 100 89 68,3 100 368 621,7 1000 7621 16 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 43,907,836,1 06,154,76,8 154,18576,8858,072,8 + − 17 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 13,639,57,10 412,96,262,3 10 1 .centésimo um 100 1 1010 11 10 1 10 1 01,0 100 1 décimo um 1,0 + 2 ordens decimais 1 ordem decimal 3 ordens decimais + 1 ordem decimal 1 ordem decimal 2 ordens decimais 18 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 5,165,3475,5 0222,75,46,31 65,3475,5 475,5 65,3 1000 5475475,5 100 36565,3 100 365 1000 3650 10100 10365 3650 5475 3650 1000 1000 5475 1000 3650 1000 5475 36505475 3650 5475 1000 3650 1000 547565,3475,5 milésimo.por dividido será milésimo seja,ou igualadas, estão decimais ordens As MilésimosMilésimos − − − − − 19 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX a n , na a n n na n a idênticos fatores n n aaaaa 6444443 na na 256256 256)4()4()4()4(4 256)4()4()4()4(4 4 4 1n aa 1 551 0n 0a 10 a 120 n n n a a 1 0a 9 1 33 11 3 1 3 13 2 22 2 216 1 216 1 666 111 6 1 6 16 3 33 3 20 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX a b m n nmnm aaa 24333333 3333 53232 243279 3333333 32 nm n m a a a 0a 497777 7 7 224 2 4 49 49 2401 77 7777 7 7 2 4 11212 12 12 066 6 6 10 a mmm baba 3241818183636 2222 324936336636 22 21 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 0 com , b b a b a m m m 162 5 10 5 10 4 4 4 4 16 625 10000 5 10 4 4 nmnm aa 64222 63232 6442 332 nma nma .diferentes são resultados os que Observe 6561333 729333 82222 63232 3 a n b a n a abab n de enésima raiz a é ban a n 22 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 366 pois ,636 22 36 273 pois ,327 33 44 pois ,44 11 a 0a n 00 n a n .a a n a a b m n p mmm baba 4444444 5 55 235 235 25 3 66 236 236 26 3 666666 0 com , b b a b a m m m 23 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 327 3 81 3 81 33 3 3 3 4 9 16 9 16 m nnm aa 33 223 1001010 2 2 22 2 22 2 22 2 2 2 2 3 3 3 33 3 3 3 13 3 3 4 3 43 nmm n aa 6322 3 121212 33 5 553 515 22232 pm pnm n aa pm pnm n aa 326 226 2 151515 24 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX aaa a a a a a 222 32 2 64 2 64 55 5555 555 55 5 5 51055 5 10 5 5 5 5 10 5 5 4 348444 79544 795 55625 ccbbaacbacba 4 324 3424 4 344 44444 48444 4444 44 4 34 444 844 44 4 55 5 5 cbacbaccbbaa ccbbaa ccbbaa a m n a n m . n mn m aa 2442 1 55 4 5 45 4 625 1 5 155 623331 2222 25 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX a b c x y comumfator o é produtoalgébrica soma xbaxbxax 2363 comum fator yxxxy xyyxyy 38248 2comum fator 3 yxbabaybaxbyaybxax ba . é comumfator O Grupo .º2Grupo .º1 2.54 é comumfator O Grupo .º2 2 Grupo .º1 23 2545425410854 xyxxxxyxxyxy x . e monômios dos diferença pela soma da Produto e :obtidos Monômios 22 22 ba ba bbaa bababa . 22 22 ba bababababa 26 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX . e 5 monômios dos diferença pela soma da Produto 336 55 2 3 362 555 yx yyxx yxyxyx .4 e monômios dos diferença pela soma da Produto 22 416 42 2 242 4416 xy xyyx xyxyyx 22 bababa Termo .º2 2 2 Termo .º3 BaseBase 2 Termo .º1 4 222 222 yx yyxx bases. das soma da Quadrado 22224 2222 yxyyxx 2242222 2222 2222222 222 yyxxyyxyyxxx yxyxyx 27 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 222222 22 babababababa 222 2 bababababa 222 2 bababababa 2233 bbaababa 1644444464 222333 xxxxxxxx ba 64641641641644 32232 xxxxxxxxx 2233 bbaababa 4102525 225525258125 2 223 3 3 zzz zzzzz ba 81258205020501254102525 32232 zzzzzzzzz 33223 33 bababbaa 3ba 28 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 22 termos.dois de soma da Quadrado 23 2 bababababababababa 3223322223 3322 babbaababbaabbaa 33 3 3 2 33 23 3233 42 4423423241664128 z zzzzzz bbabaa 2332323333 44 4442424242 zzzzzz 41664128 4444442488 3233 33232323233 zzz zzzzz 33223 33 bababbaa 3ba 22 termos.dois de diferença da Quadrado 23 2 bababababababababa 3223322223 3322 babbaababbaabbaa 3 32 23 23 3 1 3 1 3 13 3 13 27 1 3 ttttttt bb a b aa 27 1 327 1 9 3 3 3 27 1 9 2 393 2 9 1 3 2 3 1 3 1 3 1 3 1 23 2 3 22 3 2 23 t tt tt t tttt t t ttttt 29 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 32233 33 babbaaba 32233 33 babbaaba 5 ba 2ab 22 ba 222 2 bababa ab2 abbabaabbaabbaba 2222 222222 5 ba 2ab 22 ba 214252252 22222222 babaabbaba 22 ba 3 102 1 2 1 aa 1 aa 9 100 3 82 9 82 82 100 9 16 3 102 1 2 1 aa 30 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 9 100 3 10 2 2 2 1 2 1 aa 222 110 Potência. de ePropriedad .ª5 2 2 1 Potência. de ePropriedad .ª1 2 1 2 1 Potência. de ePropriedad .ª5 2 2 12 2 1 2 1 aaaaaaaaaaa 9 100 2 2 1 2 1 aa 21 2 2 1 2 1 aaaa 9 10021 aa 9 82 9 18100 2 9 1002 9 10022 9 1002 11 111 aaaa aaaaaa 9 821 aa 1,0x x x 1 13 1,11 11,1 111,0 11,1 1,11 x xxx x x 1 11 1 1 23 1 11 1 1 1 1 11 1 1 1 11 2222 xx xx x xxx x xxx 1,0x 11,111,001,011,01,01 22 xx 31 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 11,1 1 13 x x 5 3 1 12457309396,135 n ma n mna n mna 2 25 2 25 2 2 2 5 2 5 2 2 .2 2 12 122 1 222 3 34 3 34 3 3 3 4 3 4 6 2 6 6 6 2 6 2 6 2 6 46 4 6 23 6 43 6 26 466 4 333 ba 22 bababa 32 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX radical. o se-Elimina 22 Conjugado.r.Denominado radical. o se-Elimina 22 Conjugado.r.Denominado babababa babababa ba ba ba .ba 35 352 35 352 3535 35 2 35 2 22 35 2 352 35 35 2 262 26446 26426 26426 26264264 22 26 26 ba ba ba 5353 53 53 53 53 1 53 1 33 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 2 53 4 53 59 53 53 53 22 10 642 616 642 64 642 6464 642 64 64 64 2 64 2 22 5 6104010 61040210 10642101010 642 2 348 26 2 1 31 1 31 348 348 4864 34826348 34826348 348348 26 2 22 22 16 34826 2 34 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 226 348 16 348348 16 34821226 16 34826 diferença. pela soma da Produto 322 2 16 348 22 1 16 16 16 4864 16 31664 16 3464 16 348 22 22 348 26 2 102 25 253 7 1027 1027 10225 10225 25 253 1027 25 210253 25 210253 25 25 25 253 25 253 3 22 22 35 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 71021027 102 25 253 a b 0aℝ x 0bax 0bax b bbbax 0 bax a a b a ax a b x a bS 0205 x igualdade. da membro os ambos de 20 se-Subtrai 20020205 x 205 x 5.por igualdade da membros os ambos se-Dividem 5 20 5 5 x 36 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 000202002045 :inicial equação da igualdade a satisfaz 4 soluçãoA 4x 4S x y z caçula irmã da idade x meio' do' irmã da idade y velhamais irmã da idade z x 15 xy 5 yz 15 xy 20515 xzxz 5 3 15 3 3153355035353 5035350201550 x x xx xxxxzyx 5x 20155 y 25205 z 37 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX y faltava que valor o teinicialmen ocontribuíd haviam já que pessoas 50 pelas pago valor o pessoas 5 pelas pago valor o 5107505 y 32 5 160 5 5 160535051035035055103505 yy yyy a b c 0aℝ x 02 cbxax 38 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 02 cbxax acb 42 equação. da raízes as são e 2 2 2 21 2 1 x x a b x a b x a b x a b a bS 2 ; 2 1 ,7 ,10 01710 2 cb a xx 9404911047 2 equação. da raízes as são 5 1 e 2 1 5 1 20 4 20 37 2 1 20 10 20 37 102 97 2 1 x x x 5 1 ; 2 1S 5010 2 1 05010 2 2 , c, b a xy 010010050 2 1410 2 39 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX equação. da raiz a é 10 10 1 010 10 1 010 2 12 010 2 1 x x x 10S 312 032 2 , c, b a zz 232413241 2 vazioconjunto ØS 0 0 0 b c 0 e 0 bc a b xbax x baxxbxaxcbxax 0 0 000 comum fator 22 0x a b x 40 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 2 5052 0 052052 2 xx x xxxx 2 5 ;0S 0 e 0 cb a c xcaxcaxcbxax 222 00 a c x a c x 2228 2228 8 4 323240324 3 3 2222 xxx xxx xxxx 22;22 S 0 e 0 cb 0000 222 xxaxcbxax 0x 0S 41 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX y filhos de número o vezes2 menos 8 filhos de número o vezes2 filhos de número do quadrado o 2 28 yy 0822 yy 8 ,2 ,1 0822 cb a yy 3632481422 equação. da raízes as são 4 e 2 4 2 8 2 62 2 2 4 2 62 12 362 2 1 y y y 8 T 0t 400 4 2 ttT t 42 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 400 4 2 ttT 39T 400 4 39 2 t 222 144416001561600156 ttt 1 3814441444 2 membros os ambos de quadrada raiz a seextrai 2 ttt 38 1x 2x 0 ,2 acbxax a b xxS 21 a b x 21 a b x 22 a b a b a bb a b a b xxS 2 2 22221 43 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX a c xxP 21 a b x 21 a b x 22 a c a ac a acbb a b a b a b a b xxP 22 22 2 2 2 Quadrados. de Diferença 22 21 4 4 4 4 4222 m n 01062 xx nm 11 5 3 6 1 nm 11 nm nm nm mn nm nmnm , mmc 11 m n 01062 xx 1a 6b 10c nm nm m n a bSnm a cPnm 6 1 6 a bS 10 1 10 a cP 44 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 5 3 10 6 P S nm nm 5 311 nm v w 02 baxx a b 22 wv ba 22 ba 22 22 2ba 22 2ba 22 ba v w 02 baxx a b wvS a c wvP . awv a wv a b wv 1 bwvbwv a c wv . 1 .. 2222 termos.dois de soma da Quadrado 2 2 awwvvawv bwv . 222222 22 awbvawwvv b b2 bawvbabwbvawbv 22222 222222222 bawv 2222 45 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 85 x 113 2 x 3212 xxx 85 x 595645564585 membros. os ambos de 5 se-Subtraimembros. os ambos quadrado, ao se,-Elevam 22 xxxx 59x 88864855985 x 59x 85 x 113 2 x 221111 1111 1111 2 membros. os ambos a 1 se-Soma 2 2 membros. os ambos quadrado, ao se,-Elevam 2222 membros. os ambos cubo, ao se,-Elevam 3 3 3 2 xxx xxxx 2x 2x 46 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 11111111211211 3333 23 2 x 2x 11111111211211 3333 23 2 x 2x 113 2 x 3212 xxx 3211222 32123212 22 membros. os ambos quadrado, ao se,-Elevam 2 termos.dois de diferença da Quadrado 2 xxxxx xxxxxx 0642 4 162 1624422422 3222123211222 222 2 membros. os ambos quadrado, ao se,-Elevam 2222 2 xxxxxx xxxxxx xxxxxxxxx 6 ;1 ;1 062 cbaxx 252416141 2 equação. da raízes as são 3 e 2 3 2 6 2 51 2 2 4 2 51 12 251 2 1 x x x 3 e 2 xx 47 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 2x 32212223212 xxx 11112114 3x 33213233212 xxx 941 3x 2x 3212 xxx x 399 33 xx 2x 279999399939 2799939939 2799939939 399399 3 termos.dois de diferença pela soma da Produto 3 termos.dois de diferença pela soma da Produto 3 23 2 3323332333 3 termos.dois de diferença da Cubo 33333 xxxxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxx 48 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 181 9 981 93813999813 182798138193 271898138193 3 23 2 3 2 3. a igual é expressão talenunciado, o Conforme 333 2 813 :ComumFator - Fatoração 33 23 23 3 23 2 3 2 xx xxxx xxxx xxxx x 80181181181 22333 23 2 xxxx 802 x 2x x xx 55 0x xy 5 equação .ª25 equação .ª15 yx xy xy 5 equação .ª45 equação .ª35 5 5 5 5 2 2 22 22 yx xy yx xy yx xy 49 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX yx xy 5 5 2 2 yxxy 22 xyxyxyxyxy diferença. pela soma da Produto quadrados. de Diferença 22 xyxyxy 0 xy 0000 xy 0 xy xy 0555 222 xxxxxy 212015141 2 raízes. as são 2 211 e 2 211 2 211 2 211 12 211 2 1 x x x 1 xy xyxyxyxy 1 1 xy xy 1 04521515 2222 xxxxxxxxy 171614141 2 50 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX equação. da raízes as são 2 171 e 2 171 2 171 2 171 12 171 2 1 x x x 0x 2 171 e 2 211 5x 2 211x xx 55 2 211x 51 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX ℕ ℕ 4 3 2 1 0 ;;;;; ℕ 4 3 2 1 ;;;; 53260 2 52 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 60 ;30 ;20 ;15 ;12 ;10 ;6 ;5 ;4 ;3 ;2 ;1)60( Divisores 53 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 112 53260 12223111112 3608176653 54 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 248763 120165 121224 12322 55 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 360532 23 24032220 460240 380240 56 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX g 244g 6 g 33g 1 8g 3 g 24 ℤ 1 ℤ 4 3 2 1 0 1 2 3 4 ; ;;;;;;;;; ℤ+ 4 3 2 1 0 ;;;;; ℕ ℤ 0 1 2 3 4 ; ;;;; ℤ+ = ℕ ℤ ℤ* ;4 ;3 2 1; 1 2 3 4 ; ;;;;; 1 5 1 5 57 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 60 ;30 ;20 ;15 ;12 ;10 ;6 5 ;4 ;3 ;2 ;1)60( Divisores 112 53260 positivos divisores 12223111112 ℚ b a a ℤ b ℤ* 5 1 3125125125,0 58 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 1253,0 431543154315,0 1111,45 263333,5 30982323232,0 9 777777,07,0 99 2525252525,025,0 999 451451451451,0451,0 99000 1330001313131,013000,0 59 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 90 505555,050,0 45 62 90 124 90 7117 90 7 10 130777,03,137777,173,1 Caso. 2.º o seAplica periódica. dízima a se-Decompõe periódica parteperiódica-não parte 3 14 9 42 9 636 9 6 4666,046666,46,4 Caso. 1.º o seAplica periódica. dízima a se-Decompõe periódica parteperiódica-não parte 77777,0 77777,0x 77777,710 x x10 77777,7 x 77777,0 x9 7 x 9 7 2 280168872423730950481,41421356 60 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 33,14159265 84590452,71828182e b a a ℤ b ℤ* ℝ ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ contido. está :se-Lê ℂ 61 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX cba ; ; fed ; ; fed cba f c e b d a fcebda S b d x S 2 2 x dbkS 2x dbkS x dbkS 2 x dbkS 2 x dbkS 2 22 62 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX S b 2d S 2x S 3m 14 3m 2 7 14 241241 bacbac 22 1 cc 21471424 xxxxx 63 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX telhas.6009001500 tijolos48012006001500 x 1200 600 1500 600 12001500 tijolostelhas xx x 64 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX y54 326 (pão) kgdiaspessoas de n.º 56012 20 123 5 2 4 63 yy yy 47,0 100 47%47 1,0 10 1 100 10%10 01,0 100 1%1 5,22753,075 100 3075 de %30 65 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 35,0 80 28 %35 100 3535,0 litros de bilhões 5,12 64 800100864 100 648 100 648 (esgoto) %litros) de bilhões (em esgosto de volume xxx x x litros. de bilhões 5,845,12 66 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX %68 100 6868,0 5,12 5,8 xxx 27,127,0 %27 27,01 100 1 p 100 1 p xxx 73,027,0 67 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX reais. 00,4000,508,0 reais 00,400,401,0 equação 2.ª equação 1.ª JCM niCJ niCniCCM 1 68 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 00,24000,200012,0 00,24000,200012,0 00,24000,200012,0 00,720312,000,2000 niCJ y C niCM 1 a.m. %4 12 a.a. %48 meses 2 30 dias 60 08,1204,011 yMyMniCM yM 08,1 a.m. %5 12 a.a. %60 meses 4 30 dias 120 69 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX niCM 1 yMyMyM 296,12,108,1405,0108,1 00,160296,136,207 yy niCM 1 00,224000,24000,2000 00,24000,200012,0 80,250880,26800,2240 80,26800,224012,0 86,280906,30180,2508 06,30180,250812,0 86,809 70 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 86,2809404928,100,200012,100,200012,0100,2000 33 M JCM 86,80900,200086,280900,200086,2089 JJJJCM 00,28595,000,300 71 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 75,3301025,100,30005,100,30005,0100,300 22 M 00,31505,000,30000,300 50,28390,000,315 0526,1 285 300 30,3261449,100,28507,100,28507,0100,285 22 M 25,284 2 50,28300,285 72 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX .221642 73 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 0r 0r ,0r ,15 ,11 ,7 ,3 4r ,4 6, ,8 ,10 2r ,7 ,7 ,7 ,7 0r 1a na rnaan 11 81765419519120 2020120120 aaraaraa 74 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX raa r . de eCoeficient 12315 315 12 cba , , 2 cab cba , , rab .2rarracrbc rara ra ra raa ra cab c b 2 22 2 2 2 7 , ,3 x 7 e 3 2 2 4 2 73 x nn aaaa , , , , 121 75 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX nnn a n a nn aaaaaararaaaaa n 1111 extremos. dos Soma 1 extremos. dos tesequidistan termosdos Soma 12 12 2 1 naaS nn PA. da termosde número o indica e termoenésimo o é termo;primeiro o é 1 n a a n ,42 ,6 ,1 2321 xaxaxa 05112124216 2 421 222 2 31 xxxxxxxx a aa 814012152411 2 76 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX equação. da raízes as são 2 1 e 5 2 1 4 2 4 911 5 4 20 4 911 22 8111 2 1 x x x 2 1 ,510,5111 xa 35,066 2 xa 5,15,1312 aar 100S 1505,1995,199 1001001100 aaraa 7575 2 1001505,1 2 100100 1001 100 SSnaaS 2 1 1q 10 q ,45 ,81 ,6 ,2 3q ,1 ,2 ,4 ,8 2 1q 77 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 10 q 1q ,1 ,2 ,4 ,8 2 1q ,81 ,27 ,9 ,3 3q 1q ,7 ,7 ,7 ,7 1q 0q ,45 ,18 ,6 ,2 3q 0q ,0 ,0 ,0 ,9 0q na 1a 1 1 nn qaa 2 64 128641282128 111 6 1 17 17 aaaaqaa 12 315 qaa 78 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX cba , , cab 2 cba , , qab 2qaqqacqbc 22222 2 2 qaqaqaaqacab cb 15 3 5 153 a 3 5 5 a 4a 52525 3 515 44 2 4 2 453 2 4 aaaaaaa 4a 54 a 3 1 15 5 3 4 a aq 5 3 1 nn aaaa , , , , 121 79 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX nnn a n a nn aaaaaaq aqaaaaa n 1111 extremos. dos Produto 1 extremos. dos tesequidistan termosdos Produto 12 1 2 nP nnn aaP 1 61 ,8 ,4 ,2 10243232162 4244444 PPPP 102416842 4443214 PPaaaaP 1q q q aS n n 1 1 1 1 1 1 q q aS n n 11 onde , 1 1 qq aSn 80 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 2 1 3 e 0 , 2 1 275 aaqS I 112 1 1 2 1 1 1 1 1 5 1 5 1 5 151 qqa q q a q q aS q q aS n n (II) 3133 5116127 27 qqaqaqaaa aa 0663 123 1112 2251 5 1 qqqqq q q qqa qa 062 qq 252416141 2 equação. da raízes as são 2 e 3 2 2 4 2 51 3 2 6 2 51 12 251 2 1 q q q 0q 2q 2 81 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 22 1366312231 11 5 1 5 1 aaaqqa 22 33 22 1 3 9 22 1 3 81 22 1 21 81 22 1 21 21 22 1 1 1 333 33 3 31 SSS SSS q q aS n n 2 22 3 82 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 83 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX A B A B BA yx, Ax By ByAxyxBA e /, 2 ,1A 3 ,2 ,1 B A B 3 ,2,2 ,2,1 ,2,3 ,1,2 ,1,1 ,1 BA R A B BA A B R .xy 2 ,2 ,1 ,1/, xyBAyxR 84 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX f A B x A y B BAf : A A B fD D B f fCD f fIm B A f R 2 ,1Im f 4 ,1 ,0A 5 ,2 ,1 ,0 ,1B A B 1/, xyBAyxR xyBAyxS 2/, xyBAyxT 2/, A B 5 ,4 ,2 ,1 ,1 ,01/, xyBAyxR 2 ,1 ,0 ,02/, xyBAyxS 85 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 2 ,4 ,1 ,1 ,1 ,1 ,0 ,0/, 2 xyBAyxT R Ax By S A4 B .S T B 1 1 A1 652 xxy y x BAf : )( AD )( BCD ( ) {0,1,4} ( ) { 1,0,1,2,5} Im( ) {1,2,5} D f A CD f B f 86 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX A :f ℝ → ℝ xyxf 2 :fℕ → ℝ y ℝ n ℕ 2 ny x xf 2 7 002 xx D ℝ∗ x ℝ/ 0x 42 xxf 2 2042 xx xD ℝ 2/ x 5 3 3 xxf yx, 1/, xyBAyxR NML ,,5 ,4 ,2 ,1 ,1 ,0 87 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX xfy x xfx, xD ℝ 0/ x x 50 para ,505,160 500 para ,60 xx x xf A B y A B 4 yfIm ℝ 4/ y 88 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX A B y fDx 0xf f x 652 xxxf 21 x 32 x 0xf 3 e 2065 212 xxxx 6 ,0 y fDx xfxf 2xxf 89 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 11111 22 ff xxfxxxf ,22 ℝ y fDx xfxf 3xxg 11111 33 gg xgxxxxg 3333 1 xg 90 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 1 xxh 01 h 21 h y f 1x 2x 21 xx 21 xfxf 21 xfxf 21 xfxf kkxf ,ℝ. ,2 2 , 2 ,2 ,2 BAf : 1x 2x 2121 xfxfxx 2121 xxxfxf 91 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX BAf : By Ax yxf fCDf Im BAf : 2121 xxxfxf fCDf Im 92 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX BAf : ABg : f g baf Aa abg Bb xf xf 1 xfxyxfyx 1,, xxf 2)( 2 )( xxg 2)1( f 1)2( g 2 ,1 xf 1 ,2 xg 93 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX f 1f xy BAf : CBg : gDfCD CAh : g f xfgxh xfgxh xxidxffxff 11 xP x xxP 75,010 0x :f ℝℝ baxxf a b a b 94 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 0b axxf 0 ,0 xxf 2 xxg 5,0 0a 0a 1a xxf x baxxf 0xf a b xbaxxf 00 73 xxf 0xf 3 773073 xxx 95 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 0x baxxf bf 0 b ,0 y a b 0a 0a 0b 0b 0b 0a bxf ℝ. 96 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 82 xxf 4 2 8082 xxx 0xf 4x 0xf 4x 0xf 4x 97 Pró-Reitoria de Extensão– PROEX xxP 75,010 0x 10075,010 x :f ℝℝ baxxf 0xf 0xf 0xf 0xf 1209075,010075,010 xxx xf xg 0 e 0 ;0 ;0 gfgfgfgf 0 g e 0 g ;0 g ;0 fff g f 07234 xx 3 4034 xxxf 3 4 2 7072 xxxg 2 7 98 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 07234 xxܵ = ݔ ∈ ℝ / 4 3 < ݔ < 7 2 x x2 99 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX :f ℝℝ cbxaxxf 2 a b c 0a a b c x 0xf 02 cbxax a b x 2 .42 acb 0 0 0 aa bV 4 ; 2 xxxf 22 x 0 yxf 022 xx 0x 2x 100 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX a ℝ x 101 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX xxxf 22 0)( xf 0x 2x 0)( xf 0x 2x 0)( xf 20 x :f ℝℝ cbxaxxf 2 a b c ℝ 0a 0 ;0 ;0 xfxfxf 0xf 102 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 0156 2 xx 0156 2 xx , 3 1x 2 1x 0)( xf 3 1x 2 1x 0)( xf 2 1 3 1 x 0156 2 xxܵ = ݔ ∈ ℝ / 1 3 < ݔ < 1 2 x x x 0 se , 0 se , xx xx x 33 444 103 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX :f ℝℝ xxf 0 se , 0 se , xx xx xf 213 x 3 1213213 2213 213 xxx xx x 1 ; 3 1S 104 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX k ℝ+ kxkxkx kxkxkx kxkkx kxkkx ; ; M tiMt 11000: ݐ i :f ℝℝ+∗ xaxf 0a 1a a ℝ+∗ 1a 105 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX ,21 21 xxaa xx 0a 1a 81 3 1 x .4 3 1 3 13 3 181 3 1 44 x xxx 4S 1a ;2121 xxaa xx 10 a .21 21 xxaa xx CM 2 M C 21212 tt iCiCCM 1,0%10 ii .21,1 t 106 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX ba , ℝ+∗ 1a c ℝ bacb ca log a b c ;01log a ;1log aa ;log nana ;loglog cbcb aa ba ba log cba , , ℝ+∗ 1a n ℝ ;logloglog cbbc aaa ;logloglog cb c b aaa ;loglog bnb ana . log loglog a bb c c a :f ℝ+∗ ℝ xxf alog 0a 1a . 107 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 73log3log 22 xx 144733 xxxx 1S 2121 loglog:1 xxxxa aa 2121 loglog:10 xxxxa aa 73log3log 22 xx 108 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 144733 xxxx ܵ = ݔ ∈ ℝ / ݔ > −1 . 109 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 110 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX o o o o 111 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 112 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 113 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX if if i 1f 2f if n i n ffr ii 114 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX if n if ifr %707,0 30 2 %3030,0 30 9 %4343,0 30 13 %1717,0 30 5 %303,0 30 1 %4343,0 30 13 %5757,0 30 17 115 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX xOy o i oi fr n f 360360 if ifr 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Feminino Masculino Fr eq uê nc ia Gênero 116 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX xOy Feminino 43%Masculino 57% 117 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 118 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX NV PTIP 400IP 000.900.321 milhões 9,321 PT NV 000.900.321400 750.804 400 000.900.321 NV 119 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 750.804 441 PT spassageiro 750.894.354750.804441 PT 1P 2P 2 21 PPM 1P 2P 3P 4P 5P 5 54321 PPPPPM nxxxx ,,,, 321 n xxxx x n 321 ix x nxxxx 321 n i ix 1 n 120 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX x n x x n i i 1 30n 43,4 30 0,133 30 0,40,30,50,70,70,50,25,3 30 1 n x x i i 121 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 30n 43,4 30 0,133 x ix ix if ix if ii fx 0,325,1 0,630,2 0,620,3 0,1445,3 0,2460,4 0,3570,5 0,2130,7 122 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 0,1525,7 0,910,9 n fx x N i ii 1 43,4 30 0,133 9 1 n fx x i ii me 0,4me 123 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 5,4 2 0,50,4 me 2 1n 2 n 1 2 n 0,7mo 124 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 125 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX ix if ii fx 050 331 842 933 824 1025 717 n 25,2 20 45 n fx x ii 10 2 20 2 n 111101 2 201 2 n ix if 126 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX n 2 2 22 me 0mo 25,2X x 2Y me 0Z mo XYZ 127 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 5 5 25 n x x i 5md 5 5 25 n x x i 5md x 1 1 2 2 n xx s n i i x n ix 128 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX ix 67,4 9 42 9 9 1 i ix x 2xxi ix ix 2xxi 37,167,45,3 2 13,767,40,2 2 11,067,40,5 2 43,567,40,7 2 43,567,40,7 2 79,267,40,3 2 45,067,40,4 2 43,567,40,7 2 37,167,45,3 2 69,3 19 51,29 1 9 1 2 2 n xx s i i 129 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 1 1 2 2 n fxx s N i ii N ix if ix ii fxx 2 x ix if ii fxx 2 17,17243,45,1 2 71,17343,40,2 2 09,4243,40,3 2 46,3443,45,3 2 11,1643,40,4 2 130 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 27,2743,40,5 2 81,19343,40,7 2 85,18243,45,7 2 88,20143,40,9 2 63,3 130 35,105 1 9 1 2 2 n fxx s i ii 1 1 2 n xx s n i i 1 1 2 n fxx s n i ii 69,32 s 92,169,3 s 131 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX ix if 63,32 s 90,163,3 s 132 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX n n !n 1221! nnnn ǿΝ.n 133 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 720123456!6 1234567891011121314151617181920!20 1!1 !kn ! ! kn 6n 4k 212!2! 46 720!6 241234!4 69624720!4 !6 ! 46 !4 !6 134 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 1n 222 1 4222 2 82222 3 1622222 4 32222222 5 623216842 135 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 43 102610101010262626 34 102610101026262626 6,2 10 26 1026 1026 43 34 6,116,2 6!31233 P letras algarismos letras algarismos 136 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX !nPn 50401234567!77 P 60256 12 456 12!3 !3456 !2!3 !6 6 2,3 P !!! ! ,...,, cba nPn cba 137 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX !310 !10 !7 !10 1234567 123456789108910 7208910!7 !10 !310 !10 3,10 A ! ! , kn nA kn !! ! , knk n k n C kn 138 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 102512 45 !312 !345 !3!2 !5 !25!2 !5 2 5 2,5 C 2107310!61234 !678910 !6!4 !10 !410!4 !10 4 10 4,10 C 5 4 25 20 50 40 100 80%80 139 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 6,5,4,3,2,1S 6,4,2E 6,5F FE 140 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 6,5,4,2FE FE 6FE E cE 5,3,1E EP Sn EnEP En E Sn S 3En 141 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX %5050,02 1 6 3 Sn EnEP %33,333333,03 1 6 2 Sn FnFP 1 Sn SnSP ܲ ∅ = ݊ ∅ ݊ ܵ = 0݊ ܵ = 0 E F S 10 EP EPEP 1 FEPFPEPFEP FE FPEPFEP 142 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX E 2 1 6 3 6 36 6 311 EPEP FE 3 2 6 4 6 123 6 1 6 2 6 3 FEPFPEPFEP FG 3 2 6 4 6 22 6 2 6 2 FPGPFGP 6,5,4,3,2,1S 143 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX F E EP EFPEFP 6,4,2E 6,5F 6EF 3 1 18 6 63 61 6 3 6 1 EP EFPEFP E F S E F EPFEP FPEFP E F FPEPFEP 144 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 1E 2E 21 EEP 4 1 2 1 2 1 2121 EPEPEEP 145 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 5 1 4 1 5 2 5 3 4 3 4Sn Suburbano lResidencia Urbano,lResidencia Rural,E 3En 146 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 4 3 Sn EnEP 147 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX %9595,0 100 95 200 100 200 95 Sn Fn Sn FEn FP FEPFEP 148 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 20 1 242 3 22 5 25 6 15 7 FEP 149 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX FPEPFEP EP FP Sn EnEP En Sn 30En 100603010 Sn 10 3 100 30 Sn EnEP Sn EnEP Fn Sn 20Fn 120802020 Sn 6 1 120 20 Sn FnFP 20 1 60 3 6 1 10 3 FPEPFEP 150 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 151 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 152 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 153 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 154 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX x 60 7050180 1807050 x x x y 1807560 y 457560180 yy 155 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 451353451803180453 xxxx 156 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 157 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 158 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 159 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 160 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX θ 161 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX S 5401803180251802 SSSnS 108 5 540 θ θ 36θ324360θ3108θ360 162 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 163 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 164 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 165 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 166 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 167 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 168 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX x 3 5 2 152 x 5,7x 6 124 4 44 xx 4124644 xx 48162424 xx 728 x 9 8 72 x 169 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 170 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 171 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 172 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 173 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 6,0 15 9 asen 8,0 15 12 a cos 75,0 12 9 a tg 8,0 10 8bsen 6,0 10 6b cos 33,1 6 8b tg 174 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 32h 12h 416h 4h16 2h4 2 lhr 2 2 222 222 175 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 176 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 177 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 178 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 179 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 180 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 181 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 182 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 183 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX xAE AE 2x 250105 xxx 184 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 185 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX rπ2C 2 3 25 63 5 12 25 58 25 56 5 11 5 6 186 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 10 21 25 63 4 π33 2 π3 2 π32 π234 π338 cpbpapp 2 cbap 3 2 π 2 π3 187 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 188 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX A V F 2FAV 6VA 189 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 2FAV 8F62F2F62F6VV 6 3 a 2 3 h 4 32 A 1:2 2 3 4 3 442 2 2 2 2 2 2 22 2 22 hh hhh ha 3 6 3 2 33 2 3 aah 2 a a 2a B 190 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX hbA 2 1 4 3 2 3 2 1 2 1 2 AAhbA 2 a 2A 2 3 a 2 33 2A LB AAA 2T TA BA LA hAV B V BA a a 191 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 2 B aA BA 2 L 4 aA LA 2 T 6 aA TA 2 ad d 3 aD D 3aV V 2 ad 33 22 22 222222 222 aDaD aaDaaD adD 222 cbaD D cbcabaA 2T cbaV V c b a a D a d 192 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX (sólido) Arestaou planas) (figuras Apótema a Altura h Meridiana Seccão da Área SM A Geratriz g Base da Raio r Base da Aresta Sólido do Diagonal D Face da Diagonal d Base da Área B A Lateral Área L A Total Área T A Volume V cbaV 1 a25,1 b25,1 hbacbaV 5625,125,125,12 193 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX chchchhbacbaVV 64,0 5625,1 5625,15625,121 138243 aV cm 24a cm 12622 drd 8222 222 ahb b r. triangula face cada de Área L 2 b nA n LBT AAA hAV B3 1 a h b 194 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX bAA 2 1 alturabase 2 1 . 2L b nA 3 6 h 2 3 g 4 32 B A 4 32 LB AA 32T A 12 23 V 222 ch 3 2c 3 3 c 3 6 3 2 333 3 22222222 2 22 hhhhh c h 195 Pró-Reitoria de Extensão– PROEX 34 m 1088,1 78,64,12,2 2 2,188,126,2 hAV B3 1 366 1010 2 78,6 22 Altura Base da Área 2 m 1026,210 3 78,6 1001004,12,2 3 11004,11002,2 3 1140220 3 1 24 V 120102,1 1088,1 1026,2 2 dias. 60 em construída Capacidade 4 Volume 6 anos 20meses 240meses 2120 196 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX hrhAV 2B 2 B rA hrA 2L hrA 2SM LBT 2 AAA hrrA 22 2T hrrA 2T rh 2 3 m 2,0cm 20 322 m 72,012,0366 hrV h r 2r 197 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 3m 64,872,012 60,21 R$50,264,8 222 rhg 2 B rA hrA SM 33 1 2 B hrhAV g r 2 grA L LBT AAA grrA 2T grrA T rg 2 g r 2 L 2 A º3602 g grA L g 2r r g g 2r h 198 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 3 3 22 B cm 1443 10439,0 3 9,0 3 19,0 hrhAV g 4,5014435,0 m 24 rA 33 4 rV r 199 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 1V 33232 1 mm 1250533 41053 3 4 rhrV 2V 33232 2 mm 736433 41043 3 4 rhrV 200 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 201 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 8,0 5 4 OP QP OG HG OE FE OC DC OA BA 6,0 5 3 OP OQ OG OH OE OF OC OD OA OB 3,1 3 4 OQ QP OH HG OF FE OD DC OB BA α α 202 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX β β 71429,0 80,2 2 a bβ sen 7,0 80,2 96,1 a cβ cos 02041,1 96,1 2 c bβ tg 203 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX c bβ sen β sencb c aβ os c β cos ca 2c 22 β sβ cos en 2222 2222 22222 222 222 222 β sβ cos c c β sβ coscc β scβ coscc β scβ coscc bac CatetoCatetoHipotenusa en en en en 1β sβ cos 22 en β cos β sen β β cos β tg a b c a c b sen β cos β β sentg 2 204 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 2 245 sen 2 245 os c 145 g t 2 3l 2 306 sen 2 106 os c 306 g t 205 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 2 103 sen 2 303 os c 3 303 g t x xsen xc os xt g 30 2 1 2 3 3 3 45 2 2 2 2 1 60 2 3 2 1 3 206 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX x x 12 30 xsen 30 sen 6122 122 1 xxx x α α x 207 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 15 60 cos x 60 cos 5,7152 152 1 xxx x y α α x α y x y 30 60en ys 3153302 302 3 yyy 30 60 cos x 15302 302 1 xxx α 208 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX m 36h 6 h3 6 h60 adjacente cateto oposto catetoα tg tg m 7,57 3 3100 31003 1003 3 100 30 xx x x x tg h x m 4,597,5770,170,1 hhxh R sen c sen b sen a 2 C B A 209 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX Aˆcos2222 cbcba Bˆcos2222 cacab Cˆcos2222 babac 2 2 210 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 2 3 2 3 x x xsenxf x xsen −1 1 1 ,1 211 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 11 y π x x xxf cos 1 ,1 11 y π x x xtgxf 2 π 2 3π 212 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX , 2 h π α α2 30α m 2000AB 1000 31000 3 32000 2000 32000 213 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX AP 2000BP dCP 30 cos 60 sen 30 cos m 31000 2 3 m 2000º30cosm 2000 m 2000 º30cos dddd 214 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 2 2 3 34 2 3 1 2 33 60 sen 3 34 3 3 3 4432 2 3260 xxx xx sen 215 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX xBC 15 tg x 64,2926,0114 114 26,0 114 15 xxxxtg 2BASE2BASE2BASE m 5296,878A64,29AA x xysenyxsenyxsen cos cos xysenyxsenyxsen cos cos ysenxsenyxyxc cos cos os 216 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX ysenxsenyxyxc cos cos os ytgxtg ytgxtgyxt 1 g ytgxtg ytgxtgyxt 1 g 2 130 sen 2 360 sen 30 sen 60 sen θ 2θ sen 2θ osc 2θ tg θ 2θ 2θ osC 2θ osc θ θ cosθ θ θcosθ cosθθ osθ2 os 22 sensensencc 2θ osc θ θ cosθ2 os 22 senc 2θen S 2θen s 217 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX θcosθ 2θcosθ θcosθ θθ 2θ sensensensensen 2θen s θcosθ 22θ sensen 2θ gT 2θ gt θ 1 θ 2 θ θ 1 θ θ θθ g2θ 2tg tg tgtg tgtg ttg 2θ gt θ 1 θ 22θ 2tg tg tg 218 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX nm m n m n 33A A 23a ija i j ,A nm j i, j i,a ij f 22A ji2a ij 2121 1211 aa aa A 222122 212112 A 23 01 A 219 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX nm 15 32 A A 118 330 4 2 12 B B nn a,,a,a,a 332211 ija ji ija 1ji n 44434241 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa aaaa A 10 37 C 12c 591 013 004 D 323121 d e d ,d 0a ij ji 0a ij ji 220 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 80 0 5 6 D 300 0100 006 E 0a ij ji nI 10 01 I2 100 010 001 I3 10000 01000 00100 00010 00001 I5 ji para 0,a ji para 1,a ij ij nm0 0000 31 00 00 00 00 0 24 000 000 000 03 n0 A A A A 221 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 84 02 31 A 84 02 31 A A A A B nm mn B A B A jiij tAB ab 045 123 A 01 42 53 AB t A B nm A B BA C nm A B ijijij bacBAC 32A 32B 753 102 A 152 231 B 222 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 175523 213012 152 231 753 102 BA 32C801 133 A B nm A B BA A B C nm ijijij bacBABAC 41A 41B 74 2 11A 8023B 41CBA B A B A 14 2 5287042 2 131 802374 2 11802374 2 11 AB 41DAB A B A B 14 2 527840 2 1213 74 2 11802374 2 118023 ABBA BACDAB 223 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX A nm α αA ijbB nm ijij aαb i j 3333 BA α 16812 016 2102 824262 02 2 1232 125212 846 0 2 13 151 2 21 21 B Aα 1 3 13 3 11 3 131 3 1 A nm B pn A B C pm ijc i A j B C AB pmpnnm C B A 23A 32B 3231 2221 1211 23 aa aa aa A 232221 131211 32 bbb bbb B 224 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 33233213312232123121321131 232213212222122121221121 231213112212121121121111 B 232221 131211 A 3231 2221 1211 C babababababa babababababa babababababa bbb bbb aa aa aa BA 32 23 ABBA 0BA 0A 0B 30 12 A 310 012 B BA AB BA A 2j B 2i 930 334 330013100320 310211120122 310 012 30 12 BA 3222 AB B 3j A 2i C P 1P 2P 3P 225 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX salada carne arroz 2 3 1 C 0 2 2 1 2 1 1 1 2 saladacarnearroz P 1P 2P 3P 8 9 7 4 4 4 4 11 9 8 6 2 4 2 2 1P 2P 3P P C 8 9 7 203212 213211 213112 2 3 1 022 121 112 CP 11a 1111 aAdet 8C 8cC det 11 prato 1P prato 2P prato 3P 226 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX A 2221 1211 aa aa A 21122211 aaaaAdet 21122211 2221 1211 aaaa aa aa 54 32 B 212104552 54 32 2Bdet A 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A 3231 2221 1211 333231 232221 131211 aa aa aa aaa aaa aaa 11 ∙ 22 ∙ 33 a12 ∙ a23 ∙ a31 a13 ∙ a21 ∙ a32 227 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX − 13 ∙ 22 ∙ 31 − 11 ∙ 23 ∙ 32 − 12 ∙ 21 ∙ 33 secundária diagonal da produtos 332112322311312213 principal diagonal da produtos 322113312312332211 aaaaaaaaa aaaaaaaaaA det 413 221 112 B 199284461616 411122321111321422 13 21 12 413 221 112 secundária diagonal da produtosprincipal diagonal da produtos 19B det 00301 00 31 0502031410104035210 450 310 210 228 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 0663232 33 22 0371263152371263152 132 657 132 0112 2 111 1 2 1 21 0138153231312153831 831 531 231 54 12 A 520 110 B B A A det5B det 229 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 702050201510 520 110 Bdet 144104152 54 12 Adet 14570 A det5B det A n n nnn A detA det 641 413 902 A 2 1282 826 1804 B 33333 B A det8B detA det2B detA detA det nnn n A B 73036244911439140612A det 584025672864096 06124881822 86182801224B det 584584738584A det8B det 33 A tA tAdet Adet 230 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX 13 51 A 15 31 A t 14151 13 51 14Adet 1415115 31 14Adet t A B A 574 331 132 A 132 331 574 B A A detB det 4736973630154212B det 4697315421273630A det 44 A detB det 4 302 4 31 4 32 01 principal diagonal da produto 180 2 1130420004038 2 121 2 100 320 481 principal diagonal da produto 231 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX A B AB B detA detAB det 51 43 A 26 18 B 1122 110 AB 2421122110AB det 226161628B det 114154153A det 242242 2211242 B detA detAB det A B A B 52 13 A 2 52 117 52 10143B 2522 A B 13223511257B det 132151253A det B detA det 232 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX A 1a ij i j 1a ij 1a ij ji1 i j 1a ij 4322 0214 9631 1021 M4 4M 1a11 4M − − − 1a ij 233 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX = 3 − 2 ∙ 1 6 − 0 ∙ 1 9 − −1 ∙ 1 1 − 2 ∙ 4 2 − 0 ∙ 4 0 − −1 ∙ 4 2 − 2 ∙ −2 3 − 0 ∙ −2 −4 − −1 ∙ −2 = 1 6 10−7 2 46 3 −6 636 427 1061 M3 4622521212021014412M det 3 462M detM det Chió). de (regra iguais São 34 1a11 3M = 1 6 10−7 2 4 6 3 −6 = 2 − 6 ∙ −7 4 − 10 ∙ −7 3 − 6 ∙ 6 −6 − 10 ∙ 6 = 44 74−33 −66 2M 4622442290433746644 6633 7444 M det 2 3M 4M 1111 211ji ijjiij D1A 234 Pró-Reitoria de Extensão – PROEX ijA ija A ijD A A i j ija 11a 315 173 421 A 11a 111111 D1A 11D D A 315 173 421 A 11D20113731 17 D det 20021A 211 11a A n A 1A n A 1A
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