Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidade

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Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidade:
Variáveis Aleatórias:
Uma variável é dita aleatória quando o valor da mesma é obtido através de observações ou experimentos, e a cada valor estiver associada certa probabilidade. Denota-se uma variável por letra maiúscula e os valores assumidos por ela por letra minúscula.
	Uma variável é dita Discreta quando assume valores em pontos isolados ao longo de uma escala (nº finito ou infinito enumerável de valores).
Exemplo: Nº de alunos na sala
Uma variável é dita Contínua quando assume qualquer valor ao longo de um intervalo (nº infinito não enumerável de valores).
Exemplo: Tempo, temperatura, peso, etc.
3.1. Distribuições Discretas de Probabilidade:
	Seja X uma variável aleatória discreta e sejam x1, x2, ... , xn os valores de X. A função f(x) é uma distribuição de probabilidade (ou função de probabilidade) se:
f(x)=P(X=x)
 0, 
x
Exemplo:
Determine a distribuição de probabilidade da variável aleatória X: ”Número de caras em dois lances de uma moeda equilibrada”.
S={CC, CK, KC, KK}
	x
	f(x)
	0
	0,25
	1
	0,50
	2
	0,25
	Total
	1,00
Função de Distribuição Acumulada:
A função de distribuição acumulada de uma v.a.d. X é definida por
	F(X)=P(X
x)
	 =
Exemplo:
	Considere o experimento que consiste em lançar duas vezes uma moeda. Seja a variável aleatória X: “número de caras”. A função de distribuição de X é dada por:
Parâmetros de uma v.a.d.:
Expectância:
Seja X uma variável aleatória discreta que pode assumir os valores x1, x2, ... , xn , com probabilidades f(x1), f(x2), ..., f(xn), respectivamente. Então, a expectância de X é dada por
	
	 
	 Propriedades:
E(aX) = a.E(X)
E(X±a)=E(X)±a
E(X±Y)=E(X)±E(Y)
2. Variância:
Seja X uma variável aleatória discreta com expectância finita. Então, a variância de X é dada por:
, onde 
 Propriedades:
Var(aX)=a2.Var(X)
Var(X±a)=Var(X)
Var(X±Y)=Var(X)+Var(Y), se X e Y são v.a. independentes.
 3. Desvio Padrão:
 O desvio padrão de X é dado por;
	
3.2. Distribuições Contínuas de Probabilidade:
		Seja X uma variável aleatória contínua. A função f(x) é uma função densidade de probabilidade se:
f(x)
 0, 
 
OBS: P(a<X<b)=
Exemplo:
Considere a função densidade dada abaixo.
 
 
Função de Distribuição Acumulada:
A função de distribuição acumulada de uma v.a.c. X é definida por
	F(X)=P(X
x)
 =
 
Exemplo:
Considerando a função densidade do exemplo anterior, a função de distribuição de X é dada por:
	
OBS:
Parâmetros de uma v.a.c.:
Expectância:
Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade f(x). Então, a expectância de X é dada por
Exemplo:
Para a função densidade dada anteriormente,
	
2. Variância:
Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade f(x). Então, a variância de X é dada por:
 EMBED Equation.3 ��, onde
 
3. Desvio Padrão:
 O desvio padrão de X é dado por:
	
Exemplo:
Considerando a função densidade dada por
 
 Então,
 Var(X) = 5,40 – (2,25)2
	 = 0,3375
 e
 
Distribuições Discretas de Probabilidade:
4.1. Distribuição Binomial:
A distribuição Binomial é o modelo probabilístico adequado para casos em que se consideram repetidas provas de Bernoulli, isto é sucessões de experimentos aleatórios independentes, em cada um dos quais se observa a ocorrência (“sucesso”) ou não (“fracasso”) de um determinado acontecimento, de probabilidade p, constante de observação para observação. Seja a v.a.d. X: número de sucessos em n provas. A distribuição de probabilidade f(x) é dada por:
 		f(x) = P(X=x) = Cnx .px.q n-x , onde x= 0,1,2,3,......n e p: probabilidade de sucesso
Então, X tem distribuição Binomial e escreve-se simbolicamente X~B(n, p), para indicar que à diferentes valores de n e p, correspondem diferentes distribuições.
Propriedades:
E(X)=n.p
Var(X)=n.p.(1-p)
4.2. Distribuição de Poisson:
Seja X uma variável aleatória discreta que designa o número de sucessos que ocorrem durante um dado intervalo de tempo ou em uma região especificada, cuja função de probabilidade f(x) é dada por:
P(X=x)= e-( (x
 		 x! 
onde ( ( 0, constante, e designa o número médio de sucessos ocorrendo em um dado intervalo de tempo ou região especificada e X pode assumir os particulares valores 0,1,2,3,...
A função f(x) assim definida é denominada de distribuição de Poisson, e escreve-se simbolicamente X~P (( ).
Propriedades:
O número de sucessos em um intervalo de tempo ou região especificada é independente daquele que ocorre em qualquer outro intervalo de tempo exclusivo ou região do espaço.
A probabilidade de um único sucesso ocorrer durante um intervalo de tempo muito curto ou em uma região pequena é diretamente proporcional ao “comprimento” desse intervalo ou do tamanho da região e não depende do número de sucessos ocorrendo fora desse intervalo de tempo ou região.
A probabilidade de termos mais de um sucesso em um intervalo de tempo pequeno ou em uma região pequena é desprezível.
Parâmetros de uma v.a.d. que segue o modelo de Poisson, com parâmetro (:
E(X) = (
Var (X) = ( 
Aproximação Binomial-Poisson:
	Quando, numa distribuição Binomial, n(50 e n.p<5, podemos determinar as probabilidades através da distribuição de Poisson, com (=n.p.
5. Distribuições Contínuas de Probabilidade:
		
Distribuição Exponencial:
A v.a.c. X tem distribuição Exponencial com parâmetro ( se sua função densidade de probabilidade é dada por:
		A função de distribuição de X é dada por
		
		Propriedades:
E(X)=
 
Var(X)=
Exemplo:
O tempo de vida de certo tipo de lâmpada tem distribuição Exponencial com média de 1500 h. Qual a probabilidade de uma lâmpada queimar antes de 3000h?
P(X<3000)=F(3000)
	 = 1-
 ( 0,86
	
Distribuição Normal:
Seja X uma v.a.c. tal que E(X)=( e Var(X)=
, onde 
 e σ > 0. Então, X tem distribuição Normal com média ( e variância 
, se sua função densidade de probabilidade é dada por:
		
		 
Notação: X~N(( ; σ)
 Distribuição Normal Padrão:
	Seja X uma v.a.c. tal que X~N(( ; σ). Então, a v.a.c. 
 tem distribuição Normal com média 0 (zero) e desvio padrão 1 (um), isto é, Z~N(0;1). A função densidade de Z é dada por:
	
 	 		 0
Teorema da Combinação Linear:
	Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes com distribuição Normal, tal que E(X)=(x Var(X)=
, E(Y)=(y , Var(Y)=
, a, b e c constantes. Então, a variável aleatória Z=aX+bY+c tem distribuição Normal com
	(z = E(Z)=a(x + b(y + c 
	Var(Z)=a2 
 + b2 
	Em particular, a soma ou a diferença de duas ou mais variáveis aleatórias Normais é também uma variável aleatória Normal.
 
Teorema do Limite Central:
	Sejam X1, X2, X3, ... , Xn, variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, com média ( e variância (2, finitas. Então, se Sn=X1+X2+ X3+ ... +Xn ,
	
 , isto é, 
~N(0;1)
OBS: O teorema vale também quando X1, X2, X3, ... , Xn são variáveis aleatórias independentes com mesma média e mesma variância, mas não necessariamente a mesma distribuição.
6. Estatística Descritiva:
 6.1. Principais tipos de séries estatísticas:
Para classificar a série, devemos levar em consideração três elementos: o local, a época e o fenômeno.
Série Temporal:
Permanecem fixos o local e o fenômeno. Os valores da variável são registrados cronologicamente, em períodos de interesse.
Série Geográfica:
Permanecem fixos a época e o fenômeno. Os valores da variável são coletados em locais geográficos diferentes.
Série Específica:Permanecem fixos o local e a época. O fenômeno varia.
Distribuições de Freqüências:
Permanecem fixos o local, a época e o fenômeno. 
 6.2. Distribuição de Freqüências:
É uma tabela na qual se encontram os possíveis valores de uma variável aleatória, agrupados em classes ou não, com as respectivas freqüências observadas.
Distribuição de freqüências por ponto:
			Tabela... : Título
	Nº de filhos
	Nº de casais
	0
	14
	1
	18
	2
	9
	3
	6
	4
	3
	Total
	50
			Fonte: ...
Distribuição de freqüências por intervalo:
			Tabela... : Título
	Tempo (min)
	Nº de alunos
	 0 |( 20
	4
	20 |( 40
	9
	40 |( 60
	15
	60 |( 80
	17
	 80 |( 100
	5
	Total
	50
			Fonte: ...
Elementos característicos de uma distribuição de freqüências:
Freqüência absoluta: fi: nº de observações de cada valor ou intervalo de valores.
Freqüência relativa:
Freqüência acumulada:
Ponto médio:
Amplitude de um intervalo:
-
Tipos de intervalos:
Aberto: 0 ( 10
Fechado: 0 |(| 10
Aberto à direita e fechado à esquerda: 0 |( 10
Aberto à esquerda e fechado à direita: 0 (| 10
Regras para elaborar uma distribuição de freqüências:
Localizar o maior (M) e o menor (m) valor observado.
Determinar o nº de intervalos k, onde 
. Observar 5
.
Calcular a amplitude aproximada de cada intervalo
	4. Determinar as freqüências.
6.3. Representação Gráfica:
Histograma de freqüências:
Gráfico de Linhas:
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Excel.Sheet.8 ���
� EMBED Excel.Sheet.8 ���
_1060069556.unknown
_1081231800.unknown
_1081235097.unknown
_1092723547.unknown
_1141818479.unknown
_1173772481.unknown
_1175434907.unknown
_1175434995.unknown
_1175435331.unknown
_1248281803.unknown
_1175435155.unknown
_1175434946.unknown
_1173772635.unknown
_1173772652.unknown
_1154242516.unknown
_1154245282.unknown
_1141818487.unknown
_1092723919.unknown
_1110033644.xls
Gráfico4
		0.0044318484
		0.0051426409
		0.0059525324
		0.0068727667
		0.0079154516
		0.0090935625
		0.0104209348
		0.0119122436
		0.0135829692
		0.0154493471
		0.0175283005
		0.0198373544
		0.0223945303
		0.0252182199
		0.0283270377
		0.0317396518
		0.0354745928
		0.0395500416
		0.043983596
		0.0487920186
		0.0539909665
		0.0595947061
		0.0656158148
		0.0720648743
		0.0789501583
		0.0862773188
		0.0940490774
		0.1022649246
		0.1109208347
		0.1200090007
		0.1295175957
		0.1394305664
		0.1497274656
		0.1603833273
		0.171368592
		0.1826490854
		0.194186055
		0.2059362687
		0.217852177
		0.2298821407
		0.2419707245
		0.2540590565
		0.2660852499
		0.2779848861
		0.2896915528
		0.3011374322
		0.3122539334
		0.3229723597
		0.3332246029
		0.342943855
		0.3520653268
		0.3605269625
		0.3682701403
		0.3752403469
		0.3813878155
		0.3866681168
		0.391042694
		0.3944793309
		0.3969525475
		0.3984439141
		0.3989422804
		0.3984439141
		0.3969525475
		0.3944793309
		0.391042694
		0.3866681168
		0.3813878155
		0.3752403469
		0.3682701403
		0.3605269625
		0.3520653268
		0.342943855
		0.3332246029
		0.3229723597
		0.3122539334
		0.3011374322
		0.2896915528
		0.2779848861
		0.2660852499
		0.2540590565
		0.2419707245
		0.2298821407
		0.217852177
		0.2059362687
		0.194186055
		0.1826490854
		0.171368592
		0.1603833273
		0.1497274656
		0.1394305664
		0.1295175957
		0.1200090007
		0.1109208347
		0.1022649246
		0.0940490774
		0.0862773188
		0.0789501583
		0.0720648743
		0.0656158148
		0.0595947061
		0.0539909665
		0.0487920186
		0.043983596
		0.0395500416
		0.0354745928
		0.0317396518
		0.0283270377
		0.0252182199
		0.0223945303
		0.0198373544
		0.0175283005
		0.0154493471
		0.0135829692
		0.0119122436
		0.0104209348
		0.0090935625
		0.0079154516
		0.0068727667
		0.0059525324
		0.0051426409
		0.0044318484
Plan1
		-3		0.0044318484				-3		0.0044318484
		-2.9		0.0059525324				-2.95		0.0051426409
		-2.8		0.0079154516				-2.9		0.0059525324
		-2.7		0.0104209348				-2.85		0.0068727667
		-2.6		0.0135829692				-2.8		0.0079154516
		-2.5		0.0175283005				-2.75		0.0090935625
		-2.4		0.0223945303				-2.7		0.0104209348
		-2.3		0.0283270377				-2.65		0.0119122436
		-2.2		0.0354745928				-2.6		0.0135829692
		-2.1		0.043983596				-2.55		0.0154493471
		-2		0.0539909665				-2.5		0.0175283005
		-1.9		0.0656158148				-2.45		0.0198373544
		-1.8		0.0789501583				-2.4		0.0223945303
		-1.7		0.0940490774				-2.35		0.0252182199
		-1.6		0.1109208347				-2.3		0.0283270377
		-1.5		0.1295175957				-2.25		0.0317396518
		-1.4		0.1497274656				-2.2		0.0354745928
		-1.3		0.171368592				-2.15		0.0395500416
		-1.2		0.194186055				-2.1		0.043983596
		-1.1		0.217852177				-2.05		0.0487920186
		-1		0.2419707245				-2		0.0539909665
		-0.9		0.2660852499				-1.95		0.0595947061
		-0.8		0.2896915528				-1.9		0.0656158148
		-0.7		0.3122539334				-1.85		0.0720648743
		-0.6		0.3332246029				-1.8		0.0789501583
		-0.5		0.3520653268				-1.75		0.0862773188
		-0.4		0.3682701403				-1.7		0.0940490774
		-0.3		0.3813878155				-1.65		0.1022649246
		-0.2		0.391042694				-1.6		0.1109208347
		-0.1		0.3969525475				-1.55		0.1200090007
		0		0.3989422804				-1.5		0.1295175957
		0.1		0.3969525475				-1.45		0.1394305664
		0.2		0.391042694				-1.4		0.1497274656
		0.3		0.3813878155				-1.35		0.1603833273
		0.4		0.3682701403				-1.3		0.171368592
		0.5		0.3520653268				-1.25		0.1826490854
		0.6		0.3332246029				-1.2		0.194186055
		0.7		0.3122539334				-1.15		0.2059362687
		0.8		0.2896915528				-1.1		0.217852177
		0.9		0.2660852499				-1.05		0.2298821407
		1		0.2419707245				-1		0.2419707245
		1.1		0.217852177				-0.95		0.2540590565
		1.2		0.194186055				-0.9		0.2660852499
		1.3		0.171368592				-0.85		0.2779848861
		1.4		0.1497274656				-0.8		0.2896915528
		1.5		0.1295175957				-0.75		0.3011374322
		1.6		0.1109208347				-0.7		0.3122539334
		1.7		0.0940490774				-0.65		0.3229723597
		1.8		0.0789501583				-0.6		0.3332246029
		1.9		0.0656158148				-0.55		0.342943855
		2		0.0539909665				-0.5		0.3520653268
		2.1		0.043983596				-0.45		0.3605269625
		2.2		0.0354745928				-0.4		0.3682701403
		2.3		0.0283270377				-0.35		0.3752403469
		2.4		0.0223945303				-0.3		0.3813878155
		2.5		0.0175283005				-0.25		0.3866681168
		2.6		0.0135829692				-0.2		0.391042694
		2.7		0.0104209348				-0.15		0.3944793309
		2.8		0.0079154516				-0.1		0.3969525475
		2.9		0.0059525324				-0.05		0.3984439141
		3		0.0044318484				-0		0.3989422804
								0.05		0.3984439141
								0.1		0.3969525475
								0.15		0.3944793309
								0.2		0.391042694
								0.25		0.3866681168
								0.3		0.3813878155
								0.35		0.3752403469
								0.4		0.3682701403
								0.45		0.3605269625
								0.5		0.3520653268
								0.55		0.342943855
								0.6		0.3332246029
								0.65		0.3229723597
								0.7		0.3122539334
								0.75		0.3011374322
								0.8		0.2896915528
								0.85		0.2779848861
								0.9		0.2660852499
								0.95		0.2540590565
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Plan1
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Plan2
		
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Gráfico1
		1.2084
		1.2114
		1.319
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		1.91
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		1.912
Data
Valor do dólar
Evolução do preço do dólar comercial
Plan1
		A evolução do preço do dólar comercial (venda) em 1999:
		
		Data		Valor dólar
		12/29/98		1.2084
		1/12/99		1.2114
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		8/20/99		1.9120
		
		Fonte: Jornal Zero Hora 22/08/99,
		Caderno de Economia, pág. 4 e 5
Plan1
		1.2084
		1.2114
		1.319
		1.43
		1.71
		2.1
		1.75
		1.91
		2.16
		2.07
		1.8519
		1.72
		1.67
		1.654
		1.672
		1.732
		1.79
		1.754
		1.835
		1.8
		1.859
		1.91
		1.936
		1.912
Data
Valor do dólar
Evolução do preço do dólar comercial
Plan2
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Plan3
		
		
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Gráfico1
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Consumo de água. em m³, de 75 contas da CORSAN
Plan1
		Consumo		f
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Plan1
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Consumo de água. em m3, de 75 contas da CORSAN
Plan2
		
Plan3
		
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