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MATEMÁTICA Níveis de LinguagemConjuntos Numéricos ........................................................................................................................................ ..........01 Números e Grandezas Proporcionais - Razções e Proporções; Divisão em partes proporcionais .......................................... 06 Regra de Três .............................................................................................................................................................................................................08 Funções ........................................................................................................................................................................................................................09 Matriz Determinantes e Sistemas Lineares .................................................................................................................................................... 13 Sequências, Progressão Aritmética e Geometrica ...................................................................................................................................... 18 Análise Combinatória e Probabilidade ............................................................................................................................................................ 20 Operações com Conjunto ....................................................................................................................................................................................22 Números Complexos ..............................................................................................................................................................................................25 Polinômios ..................................................................................................................................................................................................................27 Gráficos e Tabelas ....................................................................................................................................................................................................32 Estatística Descritiva, amostragem, Teste de Hipóteses e Análise de Regressão ........................................................................... 33 Geometria Plana .......................................................................................................................................................................................................36 Geometria Espacial .................................................................................................................................................................................................. 40 Geometria Analítica ................................................................................................................................................................................................43 Trigonometria ............................................................................................................................................................................................................49 Exercícios - Provas Anteriores .............................................................................................................................................................................73 1 MATEMÁTICA CONJUNTOS NUMÉRICOS Números Naturais Os números naturais são o modelo matemático neces- sário para efetuar uma contagem. Começando por zero e acrescentando sempre uma unidade, obtemos o conjunto infinito dos números naturais - Todo número natural dado tem um sucessor a) O sucessor de 0 é 1. b) O sucessor de 1000 é 1001. c) O sucessor de 19 é 20. Usamos o * para indicar o conjunto sem o zero. - Todo número natural dado N, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número dado). Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero. a) O antecessor do número m é m-1. b) O antecessor de 2 é 1. c) O antecessor de 56 é 55. d) O antecessor de 10 é 9. Expressões Numéricas Nas expressões numéricas aparecem adições, subtra- ções, multiplicações e divisões. Todas as operações podem acontecer em uma única expressão. Para resolver as ex- pressões numéricas utilizamos alguns procedimentos: Se em uma expressão numérica aparecer as quatro operações, devemos resolver a multiplicação ou a divisão primeiramente, na ordem em que elas aparecerem e so- mente depois a adição e a subtração, também na ordem em que aparecerem e os parênteses são resolvidos primei- ro. Exemplo 1 10 + 12 – 6 + 7 22 – 6 + 7 16 + 7 23 Exemplo 2 40 – 9 x 4 + 23 40 – 36 + 23 4 + 23 27 Exemplo 3 25-(50-30)+4x5 25-20+20=25 Números Inteiros Podemos dizer que este conjunto é composto pelos números naturais, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto pode ser representado por: Z={...-3, -2, -1, 0, 1, 2,...} Subconjuntos do conjunto : 1)Conjunto dos números inteiros excluindo o zero Z*={...-2, -1, 1, 2, ...} 2) Conjuntos dos números inteiros não negativos Z+={0, 1, 2, ...} 3) Conjunto dos números inteiros não positivos Z-={...-3, -2, -1} Números Racionais Chama-se de número racional a todo número que pode ser expresso na forma , onde a e b são inteiros quaisquer, com b≠0 São exemplos de números racionais: -12/51 -3 -(-3) -2,333... As dízimas periódicas podem ser representadas por fração, portanto são consideradas números racionais. Como representar esses números? Representação Decimal das Frações Temos 2 possíveis casos para transformar frações em decimais 1º) Decimais exatos: quando dividirmos a fração, o nú- mero decimal terá um número finito de algarismos após a vírgula. 2º) Terá um número infinito de algarismos após a vír- gula, mas lembrando que a dízima deve ser periódica para ser número racional OBS: período da dízima são os números que se repe- tem, se não repetir não é dízima periódica e assim números irracionais, que trataremos mais a frente. 2 MATEMÁTICA Representação Fracionária dos Números Decimais 1ºcaso) Se for exato, conseguimos sempre transformar com o denominador seguido de zeros. O número de zeros depende da casa decimal. Para uma casa, um zero (10) para duas casas, dois zeros(100) e assim por diante. 2ºcaso) Se dízima periódica é um número racional, en- tão como podemos transformar em fração? Exemplo 1 Transforme a dízima 0, 333... .em fração Sempre que precisar transformar, vamos chamar a dízi- ma dada de x, ou seja X=0,333... Se o período da dízima é de um algarismo, multiplica- mos por 10. 10x=3,333... E então subtraímos: 10x-x=3,333...-0,333... 9x=3 X=3/9 X=1/3 Agora, vamos fazer um exemplo com 2 algarismos de período. Exemplo 2 Seja a dízima 1,1212... Façamos x = 1,1212... 100x = 112,1212... . Subtraindo: 100x-x=112,1212...-1,1212... 99x=111 X=111/99 Números Irracionais Identificação de números irracionais - Todas as dízimas periódicas são números racionais. - Todos os números inteiros são racionais. - Todas as frações ordinárias são números racionais. - Todas as dízimas não periódicas são números irra- cionais. - Todas as raízes inexatas são números irracionais. - A soma de um número racional com um número irra- cional é sempre um número irracional. - A diferença de dois números irracionais, pode ser um número racional. -Os números irracionais não podem ser expressos na forma , com a e b inteiros e b≠0. Exemplo: - = 0 e 0 é um número racional. - O quociente de dois números irracionais, pode ser um número racional. Exemplo: : = = 2 e 2 é um número racional. - O produto de dois números irracionais, pode ser um número racional. Exemplo: . = = 7 é um número racional.Exemplo:radicais( a raiz quadrada de um nú- mero natural, se não inteira, é irracional. Números Reais Fonte: www.estudokids.com.br Representação na reta INTERVALOS LIMITADOS Intervalo fechado – Números reais maiores do que a ou iguais a e menores do que b ou iguais a b. Intervalo:[a,b] Conjunto: {x∈R|a≤x≤b} Intervalo aberto – números reais maiores que a e me- nores que b. 3 MATEMÁTICA Intervalo:]a,b[ Conjunto:{x∈R|a<x<b} Intervalo fechado à esquerda – números reais maiores que a ou iguais a a e menores do que b. Intervalo:{a,b[ Conjunto {x∈R|a≤x<b} Intervalo fechado à direita – números reais maiores que a e menores ou iguais a b. Intervalo:]a,b] Conjunto:{x∈R|a<x≤b} INTERVALOS IIMITADOS Semirreta esquerda, fechada de origem b- números reais menores ou iguais a b. Intervalo:]-∞,b] Conjunto:{x∈R|x≤b} Semirreta esquerda, aberta de origem b – números reais menores que b. Intervalo:]-∞,b[ Conjunto:{x∈R|x<b} Semirreta direita, fechada de origem a – números reais maiores ou iguais a a. Intervalo:[a,+ ∞[ Conjunto:{x∈R|x≥a} Semirreta direita, aberta, de origem a – números reais maiores que a. Intervalo:]a,+ ∞[ Conjunto:{x∈R|x>a} Potenciação Multiplicação de fatores iguais 2³=2.2.2=8 Casos 1) Todo número elevado ao expoente 0 resulta em 1. 2) Todo número elevado ao expoente 1 é o próprio número. 3) Todo número negativo, elevado ao expoente par, resulta em um número positivo. 4) Todo número negativo, elevado ao expoente ím- par, resulta em um número negativo. 5) Se o sinal do expoente for negativo, devemos pas- sar o sinal para positivo e inverter o número que está na base. 6) Toda vez que a base for igual a zero, não importa o valor do expoente, o resultado será igual a zero. Propriedades 1) (am . an = am+n) Em uma multiplicação de potências de mesma base, repete-se a base e soma os expoentes. Exemplos: 24 . 23 = 24+3= 27 (2.2.2.2) .( 2.2.2)= 2.2.2. 2.2.2.2= 27 2) (am: an = am-n). Em uma divisão de potência de mes- ma base. Conserva-se a base e subtraem os expoentes. Exemplos: 96 : 92 = 96-2 = 94 4 MATEMÁTICA 3) (am)n Potência de potência. Repete-se a base e mul- tiplica-se os expoentes. Exemplos: (52)3 = 52.3 = 56 4) E uma multiplicação de dois ou mais fatores eleva- dos a um expoente, podemos elevar cada um a esse mes- mo expoente. (4.3)²=4².3² 5) Na divisão de dois fatores elevados a um expoente, podemos elevar separados. Radiciação Radiciação é a operação inversa a potenciação Técnica de Cálculo A determinação da raiz quadrada de um número tor- na-se mais fácil quando o algarismo se encontra fatorado em números primos. Veja: 64=2.2.2.2.2.2=26 Como é raiz quadrada a cada dois números iguais “tira- se” um e multiplica. Observe: ( ) 5.35.35.35.3 2 1 2 1 2 1 === De modo geral, se ,,, *NnRbRa ∈∈∈ ++ então: nnn baba .. = O radical de índice inteiro e positivo de um produto indicado é igual ao produto dos radicais de mesmo índice dos fatores do radicando. Raiz quadrada de frações ordinárias Observe: 3 2 3 2 3 2 3 2 2 1 2 1 2 1 == = De modo geral, se ,,, ** NnRbRa ∈∈∈ ++ então: n n n b a b a = O radical de índice inteiro e positivo de um quociente indicado é igual ao quociente dos radicais de mesmo índi- ce dos termos do radicando. Raiz quadrada números decimais Operações Operações Multiplicação Exemplo Divisão Exemplo 5 MATEMÁTICA Adição e subtração Para fazer esse cálculo, devemos fatorar o 8 e o 20. Caso tenha: Não dá para somar, as raízes devem ficar desse modo. Racionalização de Denominadores Normalmente não se apresentam números irracionais com radicais no denominador. Ao processo que leva à eli- minação dos radicais do denominador chama-se racionali- zação do denominador. 1º Caso:Denominador composto por uma só parcela 2º Caso: Denominador composto por duas parcelas. Devemos multiplicar de forma que obtenha uma dife- rença de quadrados no denominador: MÚLTIPLOS E DIVISORES, MÁXIMO DIVISOR COMUM E MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM Múltiplos Um número é múltiplo de outro quando ao dividirmos o primeiro pelo segundo, o resto é zero. Exemplo O conjunto de múltiplos de um número natural não -nulo é infinito e podemos consegui-lo multiplicando-se o número dado por todos os números naturais. M(3)={0,3,6,9,12,...} Divisores Os números 12 e 15 são múltiplos de 3, portanto 3 é divisor de 12 e 15. D(12)={1,2,3,4,6,12} D(15)={1,3,5,15} Observações: - Todo número natural é múltiplo de si mesmo. - Todo número natural é múltiplo de 1. - Todo número natural, diferente de zero, tem infinitos múltiplos. - O zero é múltiplo de qualquer número natural. Máximo Divisor Comum O máximo divisor comum de dois ou mais números naturais não-nulos é o maior dos divisores comuns desses números. Para calcular o m.d.c de dois ou mais números, deve- mos seguir as etapas: • Decompor o número em fatores primos • Tomar o fatores comuns com o menor expoente • Multiplicar os fatores entre si. Exemplo: O fator comum é o 3 e o 1 é o menor expoente. m.d.c Mínimo Múltiplo Comum O mínimo múltiplo comum (m.m.c) de dois ou mais nú- meros é o menor número, diferente de zero. Para calcular devemos seguir as etapas: • Decompor os números em fatores primos • Multiplicar os fatores entre si 6 MATEMÁTICA Exemplo: Para o mmc, fica mais fácil decompor os dois juntos. Basta começar sempre pelo menor primo e verificar a divisão com algum dos números, não é necessário que os dois sejam divisíveis ao mesmo tempo. Observe que enquanto o 15 não pode ser dividido, continua aparecendo. Assim, o mmc Exemplo O piso de uma sala retangular, medindo 3,52 m × 4,16 m, será revestido com ladrilhos quadrados, de mesma di- mensão, inteiros, de forma que não fique espaço vazio entre ladrilhos vizinhos. Os ladrilhos serão escolhidos de modo que tenham a maior dimensão possível. Na situação apresentada, o lado do ladrilho deverá medir (A) mais de 30 cm. (B) menos de 15 cm. (C) mais de 15 cm e menos de 20 cm. (D) mais de 20 cm e menos de 25 cm. (E) mais de 25 cm e menos de 30 cm. Resposta: A. Devemos achar o mdc para achar a maior medida pos- sível E são os fatores que temos iguais:25=32 Exemplo2 (MPE/SP – Oficial de Promotora I – VUNESP/2016) No aeroporto de uma pequena cidade chegam aviões de três companhias aéreas. Os aviões da companhia A che- gam a cada 20 minutos, da companhia B a cada 30 minutos e da companhia C a cada 44 minutos. Em um domingo, às 7 horas, chegaram aviões das três companhias ao mesmo tempo, situação que voltará a se repetir, nesse mesmo dia, às (A) 16h 30min. (B) 17h 30min. (C) 18h 30min. (D) 17 horas. (E) 18 horas. Resposta: E. Mmc(20,30,44)=2².3.5.11=660 1h---60minutos x-----660 x=660/60=11 Então será depois de 11horas que se encontrarão 7+11=18h NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS - RAZÕES E PROPORÇÕES; DIVISÃO EM PARTES PROPORCIONAIS Razão Chama-se de razão entre dois números racionais a e b, com b 0, ao quociente entre eles. Indica-se a razão de a para b por a/b ou a : b. Exemplo: Na sala do 1º ano de um colégio há 20 rapazes e 25 moças. Encontre a razão entre o número de rapazes e o número de moças. (lembrando que razão é divisão) Proporção Proporção é a igualdade entre duas razões. A propor- ção entre A/B e C/D é a igualdade: Propriedade fundamental das proporções Numa proporção: Os números A e D são denominados extremos enquan- to os números B e C são os meios e vale a propriedade: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é: A x D = B xC 7 MATEMÁTICA Exemplo: A fração 3/4 está em proporção com 6/8, pois: Exercício: Determinar o valor de X para que a razão X/3 esteja em proporção com 4/6. Solução: Deve-se montar a proporção da seguinte for- ma: . Segunda propriedade das proporções Qualquer que seja a proporção, a soma ou a diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro, ou para o segundo termo, assim como a soma ou a diferença dos dois últimos termos está para o terceiro, ou para o quarto termo. Então temos: ou ou ou Terceira propriedade das proporções Qualquer que seja a proporção, a soma ou a diferença dos antecedentes está para a soma ou a diferença dos con- sequentes, assim como cada antecedente está para o seu respectivo consequente. Temos então: ou ou ou Grandezas Diretamente Proporcionais Duas grandezas variáveis dependentes são diretamen- te proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual a razão entre os valores correspondentes da 2ª, ou de uma maneira mais informal, se eu pergunto: Quanto mais.....mais.... Exemplo Distância percorrida e combustível gasto Distância(km) Combustível(litros) 13 1 26 2 39 3 52 4 Quanto MAIS eu ando, MAIS combustível? Diretamente proporcionais Se eu dobro a distância, dobra o combustível Grandezas Inversamente Proporcionais Duas grandezas variáveis dependentes são inversa- mente proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual ao inverso da razão entre os valores correspondentes da 2ª. Quanto mais....menos... Exemplo velocidadextempo a tabela abaixo: Velocidade (m/s) Tempo (s) 5 200 8 125 10 100 16 62,5 20 50 Quanto MAIOR a velocidade MENOS tempo?? Inversamente proporcional Se eu dobro a velocidade, eu faço o tempo pela me- tade. Diretamente Proporcionais Para decompor um número M em partes X1, X2, ..., Xn di-retamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, deve-se montar um sistema com n equações e n incógnitas, sendo as somas X1+X2+...+Xn=M e p1+p2+...+pn=P. 8 MATEMÁTICA A solução segue das propriedades das proporções: Exemplo Carlos e João resolveram realizar um bolão da loteria. Carlos entrou com R$ 10,00 e João com R$ 15,00. Caso ga- nhem o prêmio de R$ 525.000,00, qual será a parte de cada um, se o combinado entre os dois foi de dividirem o prê- mio de forma diretamente proporcional? Carlos ganhará R$210000,00 e Carlos R$315000,00. Inversamente Proporcionais Para decompor um número M em n partes X1, X2, ..., Xn inversamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, basta decom-por este número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a 1/p1, 1/p2, ..., 1/pn.A montagem do sistema com n equações e n incógni- tas, assume que X1+X2+...+ Xn=M e além disso cuja solução segue das propriedades das proporções: REGRA DE TRÊS Regra de três simples Regra de três simples é um processo prático para re- solver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos. Passos utilizados numa regra de três simples: 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. 2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou in- versamente proporcionais. 3º) Montar a proporção e resolver a equação. Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h? Solução: montando a tabela: 1) Velocidade (Km/h) Tempo (h) 400-----------------3 480---------------- x 2) Identificação do tipo de relação: Velocidade----------tempo 400↓-----------------3↑ 480↓---------------- x↑ Obs.: como as setas estão invertidas temos que inver- ter os números mantendo a primeira coluna e invertendo a segunda coluna ou seja o que está em cima vai para baixo e o que está em baixo na segunda coluna vai para cima Velocidade----------tempo 400↓-----------------X↓ 480↓---------------- 3↓ 480x=1200 X=25 Regra de três composta Regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente propor- cionais. Exemplos: 1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m³ de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m³? Solução: montando a tabela, colocando em cada co- luna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem: Horas --------caminhões-----------volume 8↑----------------20↓----------------------160↑ 5↑------------------x↓----------------------125↑ A seguir, devemos comparar cada grandeza com aque- la onde está o x. Observe que: Aumentando o número de horas de trabalho, pode- mos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna). Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o 9 MATEMÁTICA número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igua- lar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Horas --------caminhões-----------volume 8↑----------------20↓----------------------160↓ 5↑------------------x↓----------------------125↓ Obs.: Assim devemos inverter a primeira coluna fican- do: Horas --------caminhões-----------volume 5----------------20----------------------160 8------------------x----------------------125 Logo, serão necessários 25 caminhões FUNÇÕES Diagrama de Flechas Gráfico Cartesiano Muitas vezes nos deparamos com situações que en- volvem uma relação entre grandezas. Assim, o valor a ser pago na conta de luz depende do consumo medido no pe- ríodo; o tempo de uma viagem de automóvel depende da velocidade no trajeto. Como, em geral, trabalhamos com funções numéricas, o domínio e a imagem são conjuntos numéricos, e pode- mos definir com mais rigor o que é uma função matemáti- ca utilizando a linguagem da teoria dos conjuntos. Definição: Sejam A e B dois conjuntos não vazios e f uma relação de A em B. Essa relação f é uma função de A em B quando a cada elemento x do conjunto A está associado um e apenas um elemento y do conjunto B. Notação: f:A→B (lê-se função f de A em B) Domínio, contradomínio, imagem O domínio é constituído por todos os valores que po- dem ser atribuídos à variável independente. Já a imagem da função é formada por todos os valores correspondentes da variável dependente. O conjunto A é denominado domínio da função, indi- cada por D. O domínio serve para definir em que conjun- to estamos trabalhando, isto é, os valores possíveis para a variável x. O conjunto B é denominado contradomínio, CD. Cada elemento x do domínio tem um correspondente y no contradomínio. A esse valor de y damos o nome de imagem de x pela função f. O conjunto de todos os valores de y que são imagens de valores de x forma o conjunto imagem da função, que indicaremos por Im. Exemplo Com os conjuntos A={1, 4, 7} e B={1, 4, 6, 7, 8, 9, 12} criamos a função f: A→B.definida por f(x) = x + 5 que tam- bém pode ser representada por y = x + 5. A representação, utilizando conjuntos, desta função, é: No nosso exemplo, o domínio é D = {1, 4, 7}, o contra- domínio é = {1, 4, 6, 7, 8, 9, 12} e o conjunto imagem é Im = {6, 9, 12} 10 MATEMÁTICA Classificação das funções Injetora: Quando para ela elementos distintos do do- mínio apresentam imagens também distintas no contrado- mínio. Sobrejetora: Quando todos os elementos do contra- domínio forem imagens de pelo menos um elementodo domínio. Bijetora: Quando apresentar as características de fun- ção injetora e ao mesmo tempo, de sobrejetora, ou seja, elementos distintos têm sempre imagens distintas e todos os elementos do contradomínio são imagens de pelo me- nos um elemento do domínio. Função 1 grau A função do 1° grau relacionará os valores numéricos obtidos de expressões algébricas do tipo (ax + b), consti- tuindo, assim, a função f(x) = ax + b. Estudo dos Sinais Definimos função como relação entre duas grandezas representadas por x e y. No caso de uma função do 1º grau, sua lei de formação possui a seguinte característica: y = ax + b ou f(x) = ax + b, onde os coeficientes a e b pertencem aos reais e diferem de zero. Esse modelo de função possui como representação gráfica a figura de uma reta, portanto, as relações entre os valores do domínio e da imagem cres- cem ou decrescem de acordo com o valor do coeficiente a. Se o coeficiente possui sinal positivo, a função é crescente, e caso ele tenha sinal negativo, a função é decrescente. Função Crescente: a > 0 De uma maneira bem simples, podemos olhar no grá- fico que os valores de y vão crescendo. Função Decrescente: a < 0 Nesse caso, os valores de y, caem. Raiz da função Calcular o valor da raiz da função é determinar o valor em que a reta cruza o eixo x, para isso consideremos o valor de y igual a zero, pois no momento em que a reta intersecta o eixo x, y = 0. Observe a representação gráfica a seguir: Podemos estabelecer uma formação geral para o cál- culo da raiz de uma função do 1º grau, basta criar uma ge- neralização com base na própria lei de formação da função, considerando y = 0 e isolando o valor de x (raiz da função). X=-b/a Dependendo do caso, teremos que fazer um sistema com duas equações para acharmos o valor de a e b. 11 MATEMÁTICA Exemplo: Dado que f(x)=ax+b e f(1)=3 e f(3)=5, ache a função. F(1)=1a+b 3=a+b F(3)=3a+b 5=3a+b Isolando a em I a=3-b Substituindo em II 3(3-b)+b=5 9-3b+b=5 -2b=-4 b=2 Portanto, a=3-b a=3-2=1 Assim, f(x)=x+2 Função Quadrática ou Função do 2º grau Em geral, uma função quadrática ou polinomial do se- gundo grau tem a seguinte forma: f(x)=ax²+bx+c, onde a≠0 f(x)=a(x-x1)(x-x2) É essencial que apareça ax² para ser uma função qua- drática e deve ser o maior termo. Considerações Concavidade A concavidade da parábola é para cima se a>0 e para baixo se a<0 Discriminante(∆) ∆=b²-4ac ∆>0 A parábola y=ax²+bx+c intercepta o eixo x em dois pontos distintos, (x1,0) e (x2,0), onde x1 e x2 são raízes da equação ax²+bx+c=0 ∆=0 Quando , a parábola y=ax²+bx+c é tangente ao eixo x, no ponto Repare que, quando tivermos o discriminante , as duas raízes da equação ax²+bx+c=0 são iguais ∆<0 A função não tem raízes reais Raízes Vértices e Estudo do Sinal Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a pa- rábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V. Em qualquer caso, as coordenadas de V são . Veja os gráficos: 12 MATEMÁTICA Equação Exponencial É toda equação cuja incógnita se apresenta no expoen- te de uma ou mais potências de bases positivas e diferen- tes de 1. Exemplo Resolva a equação no universo dos números reais. Solução Função exponencial A expressão matemática que define a função exponen- cial é uma potência. Nesta potência, a base é um número real positivo e diferente de 1 e o expoente é uma variável. Função crescente Se temos uma função exponencial crescente, qualquer que seja o valor real de x. No gráfico da função ao lado podemos observar que à medida que x aumenta, também aumenta f(x) ou y. Grafica- mente vemos que a curva da função é crescente. Função decrescente Se temos uma função exponencial de- crescente em todo o domínio da função. Neste outro gráfico podemos observar que à medida que x aumenta, y diminui. Graficamente observamos que a curva da função é decrescente. A Constante de Euler É definida por : e = exp(1) O número e é um número irracional e positivo e em função da definição da função exponencial, temos que: Ln(e) = 1 Este número é denotado por e em homenagem ao ma- temático suíço Leonhard Euler (1707-1783), um dos primei- ros a estudar as propriedades desse número. 13 MATEMÁTICA O valor deste número expresso com 10 dígitos deci- mais, é: e = 2,7182818284 Se x é um número real, a função exponencial exp(.) pode ser escrita como a potência de base e com expoente x, isto é: ex = exp(x) Propriedades dos expoentes Se a, x e y são dois números reais quaisquer e k é um número racional, então: - ax ay= ax + y - ax / ay= ax - y - (ax) y= ax.y - (a b)x = ax bx - (a / b)x = ax / bx - a-x = 1 / ax Logaritmo Considerando-se dois números N e a reais e positivos, com a ≠1, existe um número c tal que: A esse expoente c damos o nome de logaritmo de N na base a Ainda com base na definição podemos estabelecer condições de existência: Exemplo Consequências da Definição Propriedades Mudança de Base Exemplo Dados log 2=0,3010 e log 3=0,4771, calcule: a)log 6 b) log1,5 c) log 16 Solução a) Log 6=log 2⋅3=log2+log3=0,3010+0,4771=0,7781 b) c) Função Logarítmica Uma função dada por , em que a constante a é positiva e diferente de 1, denomina-se fun- ção logarítmica. MATRIZ, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES Matriz Chama-se matriz do tipo m x n, m ∈N* e n∈N*, a toda tabela de m.n elementos dispostos em m linhas e n colunas. Indica-se a matriz por uma letra maiúscula e colocar seus elementos entre parênteses ou entre colchetes como, por exemplo, a matriz A de ordem 2x3. 14 MATEMÁTICA Representação da matriz Forma explicita (ou forma de tabela) A matriz A é representada indicando-se cada um de seus elementos por uma letra minúscula acompanhada de dois índices: o primeiro indica a linha a que pertence o elemento: o segundo indica a coluna a que pertence o elemento, isto é, o elemento da linha i e da coluna j é in- dicado por ij. Assim, a matriz A2 x 3 é representada por: Forma abreviada A matriz A é dada por (aij)m x n e por uma lei que fornece aij em função de i e j. A=(aij)2 x 2, onde aij=2i+j Portanto, Tipos de Matriz Matriz linha Chama-se matriz linha a toda matriz que possui uma única linha. Assim, [2 3 7] é uma matriz do tipo 1 x 3. Matriz coluna Chama-se matriz coluna a toda matriz que possui uma única coluna. Assim, é uma matriz coluna do tipo 2 x 1. Matriz quadrada Chama-se matriz quadrada a toda matriz que possui número de linhas igual ao número de colunas. Uma matriz quadrada A do tipo n x n é dita matriz quadrada de ordem n e indica-se por An. Exemplo: Diagonais Diagonal principal é a sequência tais que i=j, ou seja, (a11, a22, a33,..) Diagonal secundária é a sequência dos elementos tais que i+j=n+1, ou seja, (a1n, a2 n-1,...) Matriz diagonal Uma matriz quadrada de ordem n(n>1) é chamada de matriz diagonal se, e somente se, todos os elementos que não pertencem à diagonal principal são iguais a zero. Matriz identidade Uma matriz quadrada de ordem n(n>1) é chamada de matriz identidade se, e somente se, os elementos da diago- nal principal são iguais a um e os demais são iguais a zero. Matriz nula É chamada matriz nula se, e somente se, todos os ele- mentos são iguais a zero. Matriz Transposta Dada a matriz A=(aij) do tipo m x n, chama-se matriz transposta de A a matriz do tipo n x m. Adição de Matrizes Sejam A= (aij), B=(bij) e C=(cij) matrizes do mesmo tipo m x n. Diz-se que C é a soma de A com B, e indica-se por A+B. Dada as matrizes: , portanto 15 MATEMÁTICA Propriedadesda adição Comutativa: A + B = B + A Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) Elemento neutro: A + O = O + A = A Elemento Oposto: A + (-A) = (-A) + A = O Transposta da soma: (A + B)t = At + Bt Subtração de matrizes Sejam A=(aij), B=(bij) e C=(cij), matrizes do mesmo tipo m x n. Diz-se que C é a diferença A-B, se, e somente se, C=A+(-B). Multiplicação de um número por uma matriz Considere: Multiplicação de matrizes O produto (linha por coluna) de uma matriz A = (aij) m x p por uma matriz B = (bij)p x n é uma matriz C = (cij)m x n, de modo que cada elemento cij é obtido multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i de A pelos ele- mentos da coluna j de B, e somando-se os produtos assim obtidos. Dada as matrizes: Matriz Inversa Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Uma matriz B é chamada inversa de A se, e somente se, Exemplo: Determine a matriz inversa de A. Solução Seja Temos que x=3; y=2; z=1; t=1 Logo, Determinante Dada uma matriz quadrada, chama-se determinante o número real a ela associado. Cálculo do determinante Determinante de ordem 1 Determinante de ordem 2 Dada a matriz O determinante é dado por: Determinante de ordem 3 Regra 1: Repete a primeira e a segunda coluna 16 MATEMÁTICA Regra 2 detA= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a32 a21 a13 - a31 a22 a13 -a12 a21 a33 - a32 a23 a11 Sistema de equações lineares Um sistema de equações lineares mxn é um conjunto de m equações lineares, cada uma delas com n incógnitas. Em que: Sistema Linear 2 x 2 Chamamos de sistema linear 2 x 2 o con junto de equa- ções lineares a duas incógnitas, consideradas simultanea- mente. Todo sistema linear 2 x 2 admite a forma geral abaixo: =+ =+ 222 111 cyba cybxa Sistema Linear 3x3 Sistemas Lineares equivalentes Dois sistemas lineares que admitem o mesmo conjunto solução são ditos equivalentes. Por exemplo: São equivalentes, pois ambos têm o mesmo conjunto solução S={(1,2)} Denominamos solução do sistema linear toda sequên- cia ordenada de números reais que verifica, simultanea- mente, todas as equações do sistema. Dessa forma, resolver um sistema significa encontrar todas as sequências ordenadas de números reais que satis- façam as equações do sistema. Matriz Associada a um Sistema Linear Dado o seguinte sistema: Matriz incompleta Classificação 1. Sistema Possível e Determinado O par ordenado (2, 1) é solução da equação, pois Como não existe outro par que satisfaça simultanea- mente as duas equações, dizemos que esse sistema é SP- D(Sistema Possível e Determinado), pois possui uma única solução. 2. Sistema Possível e Indeterminado esse tipo de sistema possui infinitas soluções, os valo- res de x e y assumem inúmeros valores. Observe o sistema a seguir, x e y podem assumir mais de um valor, (0,4), (1,3), (2,2), (3,1) e etc. 3. Sistema Impossível Não existe um par real que satisfaça simultaneamente as duas equações. Logo o sistema não tem solução, por- tanto é impossível. Sistema Escalonado Sistema Linear Escalonado é todo sistema no qual as incógnitas das equações lineares estão escritas em uma mesma ordem e o 1º coeficiente não-nulo de cada equa- ção está à direita do 1º coeficiente não-nulo da equação anterior. 17 MATEMÁTICA Exemplo Sistema 2x2 escalonado. Sistema 3x3 A primeira equação tem três coeficientes não-nulos, a segunda tem dois e a terceira, apenas um. Sistema 2x3 Resolução de um Sistema Linear por Escalonamento Podemos transformar qualquer sistema linear em um outro equivalente pelas seguintes transformações elemen- tares, realizadas com suas equações: -trocas as posições de duas equações -Multiplicar uma das equações por um número real di- ferente de 0. -Multiplicar uma equação por um número real e adi- cionar o resultado a outra equação. Exemplo Inicialmente, trocamos a posição das equações, pois é conveniente ter o coeficiente igual a 1 na primeira equação. Depois eliminamos a incógnita x da segunda equação Multiplicando a equação por -2: Somando as duas equações: Sistemas com Número de Equações Igual ao Núme- ro de Incógnitas Quando o sistema linear apresenta nº de equações igual ao nº de incógnitas, para discutirmos o sistema, ini- cialmente calculamos o determinante D da matriz dos coe- ficientes (incompleta), e: - Se D ≠ 0, o sistema é possível e determinado. - Se D = 0, o sistema é possível e indeterminado ou impossível. Para identificarmos se o sistema é possível, indetermi- nado ou impossível, devemos conseguir um sistema esca- lonado equivalente pelo método de eliminação de Gauss. Exemplos - Discutir, em função de a, o sistema: =+ =+ 12 53 ayx yx Resolução 6060 6 2 31 =⇒=−⇒= −== aaD a a D Assim, para a ≠ 6, o sistema é possível e determinado. Para a ≠ 6, temos: −=+ =+ −←=+ =+ 900 53 ~2162 53 yx yx yx yx Que é um sistema impossível. Assim, temos: a ≠ 6 → SPD (Sistema possível e determinado) a = 6 → SI (Sistema impossível) Regra de Cramer Consideramos os sistema . Suponhamos que a ≠ 0. Observamos que a matriz incompleta desse sistema é , cujo determinante é indicado por D = ad – bc. Se substituirmos em M a 2ª coluna (dos coeficientes de y) pela coluna dos coeficientes independentes, obte- remos ,cujo determinante é indicado por Dy = af – ce. Assim, . Substituindo esse valor de y na 1ª equação de (*) e considerando a matriz , cujo determinante é indi- cado por Dx = ed – bf, obtemos , D ≠ 0. 18 MATEMÁTICA SEQUÊNCIAS, PROGRESSÃO ARITMÉTICA E GEOMÉTRICA Sequências Sempre que estabelecemos uma ordem para os ele- mentos de um conjunto, de tal forma que cada elemento seja associado a uma posição, temos uma sequência. O primeiro termo da sequência é indicado por a1,o se-gundo por a2, e o n-ésimo por an. Termo Geral de uma Sequência Algumas sequências podem ser expressas mediante uma lei de formação. Isso significa que podemos obter um termo qualquer da sequência a partir de uma expressão, que relaciona o valor do termo com sua posição. Para a posição n(n∈N*), podemos escrever an=f(n) Progressão Aritmética Denomina-se progressão aritmética(PA) a sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido adicio- nando-se uma constante r ao termo anterior. Essa constan- te r chama-se razão da PA. Exemplo A sequência (2,7,12) é uma PA finita de razão 5: Classificação As progressões aritméticas podem ser classificadas de acordo com o valor da razão r. r<0, PA decrescente r>0, PA crescente r=0 PA constante Propriedades das Progressões Aritméticas -Qualquer termo de uma PA, a partir do segundo, é a média aritmética entre o anterior e o posterior. -A soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. Termo Geral da PA Podemos escrever os elementos da PA(a1, a2, a3, ..., an,...) da seguinte forma: Observe que cada termo é obtido adicionando-se ao primeiro número de razões r igual à posição do termo me- nos uma unidade. Soma dos Termos de uma Progressão Aritmética Considerando a PA finita (6,10, 14, 18, 22, 26, 30, 34). 6 e 34 são extremos, cuja soma é 40 Numa PA finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. Soma dos Termos Usando essa propriedade, obtemos a fórmula que per- mite calcular a soma dos n primeiros termos de uma pro- gressão aritmética. Exemplo Uma progressão aritmética finita possui 39 termos. O último é igual a 176 e o central e igual a 81. Qual é o pri- meiro termo? 19 MATEMÁTICA Solução Como esta sucessão possui 39 termos, sabemos que o termo central é o a20, que possui 19 termos à suaesquerda e mais 19 à sua direita. Então temos os seguintes dados para solucionar a questão: Sabemos também que a soma de dois termos equidis- tantes dos extremos de uma P.A. finita é igual à soma dos seus extremos. Como esta P.A. tem um número ímpar de termos, então o termo central tem exatamente o valor de metade da soma dos extremos. Em notação matemática temos: Assim sendo: O primeiro termo desta sucessão é igual a -14. Progressão Geométrica Denomina-se progressão geométrica(PG) a sequência em que se obtém cada termo, a partir do segundo, multi- plicando o anterior por uma constante q, chamada razão da PG. Exemplo Dada a sequência: (4, 8, 16) q=2 Classificação As classificações geométricas são classificadas assim: - Crescente: Quando cada termo é maior que o ante- rior. Isto ocorre quando a1 > 0 e q > 1 ou quando a1 < 0 e 0 < q < 1. - Decrescente: Quando cada termo é menor que o an- terior. Isto ocorre quando a1 > 0 e 0 < q < 1 ou quando a1 < 0 e q > 1. - Alternante: Quando cada termo apresenta sinal con- trário ao do anterior. Isto ocorre quando q < 0. - Constante: Quando todos os termos são iguais. Isto ocorre quando q = 1. Uma PG constante é também uma PA de razão r = 0. A PG constante é também chamada de PG estacionaria. - Singular: Quando zero é um dos seus termos. Isto ocorre quando a1 = 0 ou q = 0. Termo Geral da PG Pelo exemplo anterior, podemos perceber que cada termo é obtido multiplicando-se o primeiro por uma po- tência cuja base é a razão. Note que o expoente da razão é igual à posição do termo menos uma unidade. Portanto, o termo geral é: Soma dos Termos de uma Progressão Geométrica Finita Seja a PG finita de razão q e de soma dos termos Sn: 1º Caso: q=1 2º Caso: q≠1 Exemplo Dada a progressão geométrica (1, 3, 9, 27,..) calcular: a) A soma dos 6 primeiros termos b) O valor de n para que a soma dos n primeiros ter- mos seja 29524 Solução a) b) 20 MATEMÁTICA Soma dos Termos de uma Progressão Geométrica Infinita 1º Caso:-1<q<1 Quando a PG infinita possui soma finita, dizemos que a série é convergente. 2º Caso: A PG infinita não possui soma finita, dizemos que a sé- rie é divergente 3º Caso: Também não possui soma finita, portanto divergente Produto dos termos de uma PG finita ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE Análise Combinatória A Análise Combinatória é a área da Matemática que trata dos problemas de contagem. Princípio Fundamental da Contagem Estabelece o número de maneiras distintas de ocorrên- cia de um evento composto de duas ou mais etapas. Se uma decisão E1 pode ser tomada de n1 modos e, a decisão E2 pode ser tomada de n2 modos, então o número de maneiras de se tomarem as decisões E1 e E2 é n1.n2. Exemplo O número de maneiras diferentes de se vestir é:2(cal- ças). 3(blusas)=6 maneiras Fatorial É comum nos problemas de contagem, calcularmos o produto de uma multiplicação cujos fatores são números naturais consecutivos. Para facilitar adotamos o fatorial. Arranjo Simples Denomina-se arranjo simples dos n elementos de E, p a p, toda sequência de p elementos distintos de E. Exemplo Usando somente algarismos 5, 6 e 7. Quantos números de 2 algarismos distintos podemos formar? Observe que os números obtidos diferem entre si: Pela ordem dos elementos: 56 e 65 Pelos elementos componentes:56 e 67 Cada número assim obtido é denominado arranjo sim- ples dos 3 elementos tomados 2 a 2. Indica-se Permutação Simples Chama-se permutação simples dos n elementos, qual- quer agrupamento(sequência) de n elementos distintos de E. O número de permutações simples de n elementos é indicado por Pn. Exemplo Quantos anagramas tem a palavra CHUVEIRO? 21 MATEMÁTICA Solução A palavra tem 8 letras, portanto: Permutação com elementos repetidos De modo geral, o número de permutações de n ob- jetos, dos quais n1 são iguais a A, n2 são iguais a B, n3 são iguais a C etc. Exemplo Quantos anagramas tem a palavra PARALELEPIPEDO? Solução Se todos as letras fossem distintas, teríamos 14! Per- mutações. Como temos uma letra repetida, esse número será menor. Temos 3P, 2A, 2L e 3 E Combinação Simples Dado o conjunto {a1, a2, ..., an} com n objetos distin-tos, podemos formar subconjuntos com p elementos. Cada subconjunto com i elementos é chamado combinação sim- ples. Exemplo Calcule o número de comissões compostas de 3 alunos que podemos formar a partir de um grupo de 5 alunos. Solução Números Binomiais O número de combinações de n elementos, tomados p a p, também é representado pelo número binomial . Binomiais Complementares Dois binomiais de mesmo numerador em que a soma dos denominadores é igual ao numerador são iguais: Relação de Stifel Triângulo de Pascal Binômio de Newton Denomina-se binômio de Newton todo binômio da forma , com n∈N. Vamos desenvolver alguns bi- nômios: Observe que os coeficientes dos termos formam o triângulo de Pascal. Probabilidade Considere um experimento aleatório de espaço amos- tral E com n(E) amostras equiprováveis. Seja A um evento com n(A) amostras. Eventos complementares Seja E um espaço amostral finito e não vazio, e seja A um evento de E. Chama-se complementar de A, e indica-se por , o evento formado por todos os elementos de E que não pertencem a A. 22 MATEMÁTICA Note que Exemplo Uma bola é retirada de uma urna que contém bolas coloridas. Sabe-se que a probabilidade de ter sido retira- da uma bola vermelha é Calcular a probabilidade de ter sido retirada uma bola que não seja vermelha. Solução são complementares. Adição de probabilidades Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral E, finito e não vazio. Tem-se: Exemplo No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de se obter um número par ou menor que 5, na face superior? Solução E={1,2,3,4,5,6} n(E)=6 Sejam os eventos A={2,4,6} n(A)=3 B={1,2,3,4} n(B)=4 Probabilidade Condicional É a probabilidade de ocorrer o evento A dado que ocorreu o evento B, definido por: E={1,2,3,4,5,6}, n(E)=6 B={2,4,6} n(B)=3 A={2} Eventos Simultâneos Considerando dois eventos, A e B, de um mesmo espa- ço amostral, a probabilidade de ocorrer A e B é dada por: OPERAÇÕES COM CONJUNTO Representação -Enumerando todos os elementos do conjunto: S={1, 2, 3, 4, 5} -Simbolicamente: B={x∈ N|2<x<8}, enumerando esses elementos temos: B={3,4,5,6,7} - por meio de diagrama: Quando um conjunto não possuir elementos chamares de conjunto vazio: S=∅ ou S={ }. Igualdade Dois conjuntos são iguais se, e somente se, possuem exatamente os mesmos elementos. Em símbolo: 23 MATEMÁTICA Para saber se dois conjuntos A e B são iguais, precisa- mos saber apenas quais são os elementos. Não importa ordem: A={1,2,3} e B={2,1,3} Não importa se há repetição: A={1,2,2,3} e B={1,2,3} Relação de Pertinência Relacionam um elemento com conjunto. E a indicação que o elemento pertence (∈) ou não pertence (∉) Exemplo: Dado o conjunto A={-3, 0, 1, 5} 0∈A 2∉A Relações de Inclusão Relacionam um conjunto com outro conjunto. Simbologia: ⊂(está contido), ⊄(não está contido), ⊃(contém), (não contém) A Relação de inclusão possui 3 propriedades: Exemplo: {1, 3,5}⊂{0, 1, 2, 3, 4, 5} {0, 1, 2, 3, 4, 5}⊃{1, 3,5} Aqui vale a famosa regrinha que o professor ensina, boca aberta para o maior conjunto Subconjunto O conjunto A é subconjunto de B se todo elemento de A é também elemento de B. Exemplo: {2,4} é subconjunto de {x∈N|x é par} Operações União Dados dois conjuntos A e B, existe sempre um terceiro formado pelos elementos que pertencem pelo menos um dos conjuntos a que chamamos conjunto união e represen- tamos por: A∪B. Formalmente temos: A∪B={x|x∈A ou x B} Exemplo:A={1,2,3,4} e B={5,6} A∪B={1,2,3,4,5,6} Interseção A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que são ao mesmo tempo de A e de B, e é representada por : A∩B. Simbolicamente: A∩B={x|x∈A e x∈B} Exemplo: A={a,b,c,d,e} e B={d,e,f,g} A∩B={d,e} Diferença Uma outra operação entre conjuntos é a diferença, que a cada par A, B de conjuntos faz corresponder o conjunto definido por: A – B ou A\B que se diz a diferença entre A e B ou o complementar de B em relação a A. A este conjunto pertencem os elementos de A que não pertencem a B. A\B = {x : x∈A e x∉B}. B-A = {x : x∈B e x∈A}. Exemplo: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e B = {5, 6, 7} Então os elementos de A – B serão os elementos do conjunto A menos os elementos que pertencerem ao con- junto B. Portanto A – B = {0, 1, 2, 3, 4}. Complementar O complementar do conjunto A( ) é o conjunto for- mado pelos elementos do conjunto universo que não per- tencem a A. 24 MATEMÁTICA Fórmulas da união n(A ∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B) n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)+n(A∩B∩C)-n(A∩B)-n(A∩- C)-n(B C) Essas fórmulas muitas vezes nos ajudam, pois ao invés de fazer todo o digrama, se colocarmos nessa fórmula, o resultado é mais rápido, o que na prova de concurso é in- teressante devido ao tempo. Mas, faremos exercícios dos dois modos para você en- tender melhor e perceber que, dependendo do exercício é melhor fazer de uma forma ou outra. (MANAUSPREV – Analista Previdenciário – FCC/2015) Em um grupo de 32 homens, 18 são altos, 22 são barbados e 16 são carecas. Homens altos e barbados que não são carecas são seis. Todos homens altos que são carecas, são também barbados. Sabe-se que existem 5 ho- mens que são altos e não são barbados nem carecas. Sa- be-se que existem 5 homens que são barbados e não são altos nem carecas. Sabe-se que existem 5 homens que são carecas e não são altos e nem barbados. Dentre todos es- ses homens, o número de barbados que não são altos, mas são carecas é igual a (A) 4. (B) 7. (C) 13. (D) 5. (E) 8. Primeiro, quando temos 3 diagramas, sempre come- çamos pela interseção dos 3, depois interseção a cada 2 e por fim, cada um Se todo homem careca é barbado, não teremos apenas homens carecas e altos. Homens altos e barbados são 6 Sabe-se que existem 5 homens que são barbados e não são altos nem carecas. Sabe-se que existem 5 homens que são carecas e não são altos e nem barbados Sabemos que 18 são altos 25 MATEMÁTICA Quando somarmos 5+x+6=18 X=18-11=7 Carecas são 16 7+y+5=16 Y=16-12 Y=4 Então o número de barbados que não são altos, mas são carecas são 4. Nesse exercício ficará difícil se pensarmos na fórmula, ficou grande devido as explicações, mas se você fizer tudo no mesmo diagrama, mas seguindo os passos, o resultado sairá fácil. (SEGPLAN/GO – Perito Criminal – FUNIVERSA/2015) Suponha que, dos 250 candidatos selecionados ao cargo de perito criminal: 1) 80 sejam formados em Física; 2) 90 sejam formados em Biologia; 3) 55 sejam formados em Química; 4) 32 sejam formados em Biologia e Física; 5) 23 sejam formados em Química e Física; 6) 16 sejam formados em Biologia e Química; 7) 8 sejam formados em Física, em Química e em Bio- logia. Considerando essa situação, assinale a alternativa cor- reta. (A) Mais de 80 dos candidatos selecionados não são físicos nem biólogos nem químicos. (B) Mais de 40 dos candidatos selecionados são forma- dos apenas em Física. (C) Menos de 20 dos candidatos selecionados são for- mados apenas em Física e em Biologia. (D) Mais de 30 dos candidatos selecionados são forma- dos apenas em Química. (E) Escolhendo-se ao acaso um dos candidatos selecio- nados, a probabilidade de ele ter apenas as duas forma- ções, Física e Química, é inferior a 0,05. Resolução A nossa primeira conta, deve ser achar o número de candidatos que não são físicos, biólogos e nem químicos n(F ∪B∪Q)=n(F)+n(B)+n(Q)+n(F∩B∩Q)-n(F∩B)-n(F∩- Q)-n(B∩Q) n(F ∪B∪Q)=80+90+55+8-32-23-16=162 Temos um total de 250 candidatos 250-162=88 Resposta: A. NÚMEROS COMPLEXOS Algumas equações não tem solução no conjunto dos números reais. Exemplo Mas, se tivermos um conjunto para o qual admita a existência de , a equação passará a ter solução não- vazia. Esse conjunto é o dos números complexos e conven- ciona-se que . Solucionando então, o exemplo acima: O número , foi denominado unidade imaginária, devido à desconfiança que os matemáticos tinham dessa nova criação. Para simplificar a notação: Assim, no conjunto dos números complexos, as equa- ções do 2º grau com possuem solução não-vazia. Conjunto dos números complexos O conjunto C dos números complexos é aquele for- mado pelos números que podem ser expressos na forma: 26 MATEMÁTICA A forma z=a+ bi é denominada forma algébrica de um número complexo em que a é a parte real e b a parte imaginária. Se a parte imaginária do número complexo é nula, en- tão o número é real. Se a parte real do número complexo é nula e a parte imaginária é diferente de zero, então o número é imaginá- rio puro. Igualdade de números complexos Dois números complexos são iguais se, e somente se, suas partes reais e imaginárias forem respectivamente iguais. Conjugado de um número complexo Sendo z=a+ bi, chama-se conjugado de z o número complexo que se obtém trocando o sinal da parte ima- ginária de z. Exemplo Operações com números complexos 1. Adição Para somarmos dois números complexos basta somar- mos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z=a+bi e z2=c+di, temos que:z1+z2=(a+c) + (b+d)i 2. Subtração Para subtrairmos dois números complexos basta sub- trairmos, separadamente, as partes reais e imaginárias des- ses números. Assim, se z=a+bi e z2=c+di, temos que:z1-z2=(a-c) + (b-d)i 3. Multiplicação Para multiplicarmos dois números complexos basta efetuarmos a multiplicação de dois binômios, observando os valores das potência de i. Assim, se z1=a+bi e z2=c+di, temos que: z1.z2 = a.c + adi + bci + bdi2z1.z2= a.c + bdi2 = adi + bciz1.z2= (ac - bd) + (ad + bc)i Observar que : i2= -1 4. Divisão Para dividirmos dois números complexos basta multi- plicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Assim, se z1= a + bi e z2= c + di, temos que: 5. Potenciação Efetuando algumas potências de in, com n∈N, pode- mos obter um critério para determinar uma potência ge- nérica de i: i0 = 1 i1 = i i2 = -1 i3 = i2.i = -1.i = -i i4 = i2.i2=-1.-1=1 i5 = i4. 1=1.i= i i6 = i5. i =i.i=i2=-1 i7 = i6. i =(-1).i=-i ...... Assim, para obter a potência in, basta calcular ir em que r é o resto da divisão de n por 4. Exemplo i 23⇒23/4=5 e resto 3 então:i23=i3=-i Módulo e Argumento de um Número Complexo Do triângulo retângulo, temos: A distância de ρ de P até a origem O é denominada módulo de z, e indicamos: Denomina-se argumento do complexo z não-nulo, a medida do ângulo formado por com o semi-eixo real Ox. O argumento que pertence ao intervalo [0,2π[ é deno- minado argumento principal e é representado por: 27 MATEMÁTICA Observe que: Os números ρ e θ são as coordenadas polares do pon- to P(a,b). Forma Trigonométrica Todo número complexo z=a+bi, não0nulo, pode ser expresso em função do módulo, do seno e do cosseno do argumento z: Substituindo, temos: z=a+bi Operações com Complexos na Forma Trigonométri- ca Dados os complexos: Multiplicação Divisão Potenciação Sendo: e n um número inteiro maior que 1, temos: Radiciação Denomina-se raiz enésima do número complexo a todo número complexo w, tal que wn=z, para n=1, 2, 3,... Para k=0,1, 2, 3,...temos: POLINÔMIOS Polinômios Denomina-se polinômio a função: Grau de um polinômioSe an ≠0, o expoente máximo n é dito grau do polinô-mio. Indicamos: gr(P)=n Exemplo P(x)=7 gr(P)=0 P(x)=7x+1 gr(P)=1 Valor Numérico O valor numérico de um polinômio P(x), para x=a, é o número que se obtém substituindo x por a e efetuando todas as operações. Exemplo P(x)=x³+x²+1 , o valor numérico para P(x), para x=2 é: P(2)=2³+2²+1=13 O número a é denominado raiz de P(x). Igualdade de polinômios Os polinômios p e q em P(x), definidos por: P(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxnQ(x) = bo + b1x + b2x² + b3x³ +...+ bnxn São iguais se, e somente se, para todo k = 0,1,2,3,...,n: ak = bk Redução de Termos Semelhantes Assim como fizemos no caso dos monômios, também podemos fazer a redução de polinômios através da adição algébrica dos seus termos semelhantes. No exemplo abaixo realizamos a soma algébrica do primeiro com o terceiro termo, e do segundo com o quarto termo, reduzindo um polinômio de quatro termos a um outro de apenas dois. 3xy+2a²-xy+3a²=2xy+5a² 28 MATEMÁTICA Polinômios reduzidos de dois termos também são de- nominados binômios. Polinômios reduzidos de três termos, também são denominados trinômios. Ordenação de um polinômio A ordem de um polinômio deve ser do maior para o menor expoente. 4x4+2x³-x²+5x-1 Este polinômio não está ordenado: 3x³+4x5-x² Adição e Subtração de Polinômios Para somar dois polinômios, adicionamos os termos com expoentes de mesmo grau. Da mesma forma, para ob- ter a diferença de dois polinômios, subtraímos os termos com expoentes de mesmo grau. Exemplo Propriedades Associativa Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que: (p + q) + r = p + (q + r) Comutativa Quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que: p + q = q + p Elemento neutro Existe um polinômio po (x) = 0 tal que: po + p = p, qualquer que seja p em P[x]. Elemento oposto Para cada p em P[x], existe outro polinômio q = -p em P[x] tal que p + q = 0 Com estas propriedades, a estrutura (P[x],+) é denomi- nada um grupo comutativo. Multiplicação de Polinômios Para obter o produto de dois polinômios, multiplica- mos cada termo de um deles por todos os termos do outro, somando os coeficientes. Exemplo Propriedades Associativa Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que: (p · q) · r = p · (q · r) Comutativa Quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que: p · q = q · p Elemento nulo Existe um polinômio po(x) = 0 tal quepo · p = po, qualquer que seja p em P[x]. Elemento Identidade Existe um polinômio p1(x) = 1 tal quepo · p = po, qualquer que seja p em P[x]. A unidade po-linomial é simplesmente denotada por p1 = 1. Existe uma propriedade mista ligando a soma e o pro- duto de polinômios: Distributiva Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que: p · (q + r) = p · q + p · r Com as propriedades relacionadas com a soma e o produto, a estrutura matemática (P[x],+,·) é denominada anel comutativo com identidade. Divisão de Polinômios Considere P(x) e D(x), não-nulos, tais que o grau de P(x) seja maior ou igual ao grau de D(x). Nessas condições, podemos efetuar a divisão de P(x) por D(x), encontrando o polinômio Q(x) e R(x): P(x)=D(x)⋅Q(x)+R(x) P(x)=dividendo Q(x)=quociente D(x)=divisor R(x)=resto 29 MATEMÁTICA Método da Chave Passos 1. Ordenamos os polinômios segundo as potências decrescentes de x. 2. Dividimos o primeiro termo de P(x) pelo primeiro de D(x), obtendo o primeiro termo de Q(x). 3. Multiplicamos o termo obtido pelo divisor D(x) e subtraímos de P(x). 4. Continuamos até obter um resto de grau menor que o de D(x), ou resto nulo. Exemplo Divida os polinômios P(x)=6x³-13x²+x+3 por D(x)=2x³-3x-1 Método de Descartes Consiste basicamente na determinação dos coeficientes do quociente e do resto a partir da identidade: Exemplo Divida P(x)=x³-4x²+7x-3 por D(x)=x²-3x+2 Solução Devemos encontrar Q(x) e R(x) tais que: Vamos analisar os graus: Como Gr( R) < Gr(D), devemos impor Gr(R )=Gr(D)-1=2-1=1 Para que haja igualdade: Algoritmo de Briot-Ruffini Consiste em um dispositivo prático para efetuar a divisão de um polinômio P(x) por um binômio D(x)=x-a Exemplo Divida P(x)=3x³-5x+x-2 por D(x)=x-2 30 MATEMÁTICA Solução Passos -Dispõem-se todos os coeficientes de P(x) na chave -Colocar a esquerda a raiz de D(x)=x-a=0. -Abaixar o primeiro coeficiente. Em seguida multiplica- se pela raiz a e soma-se o resultado ao segundo coeficiente de P(x), obtendo o segundo coeficiente. E assim sucessiva- mente. Portanto, Q(x)=3x²+x+3 e R(x)=4 Teorema do Resto Um polinômio P(x) é divisível por (x – a) se e somente se P(a) = 0. Teorema de D’Alembert O teorema de D’Alembert é uma consequência imedia- ta do teorema do resto, que são voltados para a divisão de polinômio por binômio do tipo (x – a). O teorema do resto diz que um polinômio G(x) dividido por um binômio x – a terá resto R igual a P(a), para x = a. O matemático francês D’Alembert provou, levando em consideração o teorema citado acima, que um polinômio qualquer Q(x) será divisível por x – a, ou seja, o resto da divisão será igual à zero (R = 0) se P(a) = 0. Esse teorema facilitou o cálculo da divisão de polinô- mio por binômio (x –a). Dessa forma não há necessidade de resolver toda a divisão para saber se o resto é igual ou diferente de zero. Exemplo 1 Calcule o resto da divisão (x² + 3x – 10) : (x – 3). Como diz o Teorema de D’Alembert, o resto (R) dessa divisão será igual a: P(3) = R 32 + 3 * 3 – 10 = R 9 + 9 – 10 = R 18 – 10 = R R = 8 Portanto, o resto dessa divisão será 8. Relação de Girard Dada uma equação polinomial de grau n, podemos estabelecer n relações entre seus coeficientes e as raízes, denominadas relações de Girard. Equação de grau n ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn=0, com an≠0 de raízes valem as n relações: Raízes complexas e reais “Toda equação polinomial, de grau n, com n ≥ 1 possui pelo menos 1 raiz complexa (real ou imaginário)”. Obs.: Lembrar que os números complexos englobam os números reais, ou seja, um número real é também um número complexo. “Toda equação polinomial que possua uma raiz imagi- nária possuirá também o conjugado dessa raiz como raiz”. Ou seja, se z=a+bi é raiz de uma equação polino- mial z=a−bi também será raiz. Sendo a,b∈? e i2=−1 . Exemplo: Sabendo-se que a equação polino- mial x3−2x2+x−2=0 possui uma raiz imaginária igual a i, com i2=−1 encontrar as outras raízes. Se i é uma raiz então -i, seu conjugado, é outra e con- segue-se encontrar a terceira raiz que é 2. Raízes racionais “Se um número racional p/q , com p e q primos entre si, é raiz de uma equação polinomial de coeficientes inteiros do tipo P(x)=anxn+an−1xn−1+…+a2x2+a1x+a0então p é divisor de a0 e q é divisor de an “. Teorema da Decomposição Todo o polinômio de grau n tem exatamente n raízes reais e com plexas. Demonstração Pelo teorema fundamental, P(x) tem pelo menos uma raiz. Seja ela r1. Logo: P(x) = (x - r1) . Q(x) Q(x) é um novo polinômio de grau n-1, que possui, também, pelo menos uma raiz. Seja ela r2. Logo: Q(x) = (x - r2) . Q1(x) Fazendo o mesmo procedimento com q1(x) e conti- nuando até a n-ésima expressão temos Qn-1(x) = (x - rn) . Qn(x) Em Qn o grau do polinômio será zero e Qn será igual a uma constante que chamamos de an Substituindo todas as equações obtidas na decompo- sição de P(x), teremos: P(x) = an.(x-r1).(x-r2). ... (x-rn) Exemplo: Compor o polinômio, sabendo que suas raízes são 1, 2 e 4 31 MATEMÁTICA Como existem 3 raízes, n=3, então o polinômio é da forma: P(x) = an.(x-r1).(x-r2).(x-r3) Fazendo an = 1, temos que: P(x) = 1. (x-1).(x-2).(x-4) P(x) = x3 - 7x2 + 14x – 8 Teorema de Bolzano Seja p(x) um polinômio com coeficientes reais x∈[a,b]. Se p(a)⋅ p(b) < 0 → ∃ um número imparde raízes reais em [a,b]. Se p(a)⋅ p(b) > 0 → ∃ um número par ou não existe raízes reais em [a,b]. Produtos Notáveis 1. O quadrado da soma de dois termos Verifiquem a representação e utilização da proprieda- de da potenciação em seu desenvolvimento. (a + b)2 = (a + b) . (a + b) Onde a é o primeiro termo e b é o segundo. Ao desenvolvermos esse produto, utilizando a proprie- dade distributiva da multiplicação, teremos: Exemplos 2. O quadrado da diferença de dois termos Seguindo o critério do item anterior, temos: (a - b)2 = (a - b) . (a - b) Onde a é o primeiro termo e b é o segundo. Ao desenvolvermos esse produto, utilizando a pro- priedade distributiva da multiplicação, teremos: Exemplos: 3. O produto da soma pela diferença de dois termos Se tivermos o produto da soma pela diferença de dois termos, poderemos transformá-lo numa diferença de qua- drados. Exemplos • (4c + 3d).(4c – 3d) = (4c)2 – (3d)2 = 16c2 – 9d2 • (x/2 + y).(x/2 – y) = (x/2)2 – y2 = x2/4 – y2 • (m + n).(m – n) = m2 – n2 4. O cubo da soma de dois termos Consideremos o caso a seguir: (a + b)3 = (a + b).(a + b)2 → potência de mesma base. (a + b).(a2 + 2ab + b2) → (a + b)2 Aplicando a propriedade distributiva como nos casos anteriores, teremos: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Exemplos: • (2x + 2y)3 = (2x)3 + 3.(2x)2.(2y) + 3.(2x).(2y)2 + (2y)3 = 8x3 + 24x2y + 24xy2 + 8y3 • (w + 3z)3 = w3 + 3.(w2).(3z) + 3.w.(3z)2 + (3z)3 = w3 + 9w2z + 27wz2 + 27z3 • (m + n)3 = m3 + 3m2n + 3mn2 + n3 5. O cubo da diferença de dois termos Acompanhem o caso seguinte: (a – b)3 = (a - b).(a – b)2 → potência de mesma base. (a – b).(a2 – 2ab + b2) → (a - b)2 Aplicando a propriedade distributiva como nos casos anteriores, teremos: (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 Exemplos • (2 – y)3 = 23 – 3.(22).y + 3.2.y2 – y3 = 8 – 12y + 6y2 – y3 ou y3– 6y2 + 12y – 8 • (2w – z)3 = (2w)3 – 3.(2w)2.z + 3.(2w).z2 – z3 = 8w3 – 12w2z + 6wz2 – z3 • (c – d)3 = c3 – 3c2d + 3cd2 – d3 MMC e MDC Mínimo Múltiplo Comum entre polinômios, é formado pelo produto dos fatores com os maiores expoentes. Máximo Divisor Comum é o produto dos fatores pri- mos com o menor expoente. Exemplo X²+7x+10 e 3x²+12x+12 Primeiro passo é fatorar as expressões: X²+7x+10=(x+2)(x+5) 3x²+12x+12=3(x²+4x+4)=3(x+2)² Mmc=3(x+2)²(x+5) Mdc=x+2 32 MATEMÁTICA Equação Polinomial Denomina-se equação polinomial de grau n, na variá- vel x C, toda equação que pode ser reduzida à forma: Exemplos 3x-4=0 X³+x²-x+1=0 Teorema Fundamental da Álgebra Toda equação polinomial de grau n, com n≥1, tem pelo menos uma raiz complexa. GRÁFICOS E TABELAS Os gráficos e tabelas apresentam o cruzamento entre dois dados relacionados entre si. A escolha do tipo e a forma de apresentação sempre vão depender do contexto, mas de uma maneira geral um bom gráfico deve: -Mostrar a informação de modo tão acurado quanto possível. -Utilizar títulos, rótulos, legendas, etc. para tornar claro o contexto, o conteúdo e a mensagem. -Complementar ou melhorar a visualização sobre as- pectos descritos ou mostrados numericamente através de tabelas. -Utilizar escalas adequadas. -Mostrar claramente as tendências existentes nos da- dos. Tipos de gráficos Barras- utilizam retângulos para mostrar a quantidade. Barra vertical Fonte: tecnologia.umcomo.com.br Barra horizontal Fonte: mundoeducacao.bol.uol.com.br Histogramas São gráfico de barra que mostram a frequência de uma variável específica e um detalhe importante que são faixas de valores em x. Setor ou pizza- Muito útil quando temos um total e queremos demonstrar cada parte, separando cada pedaço como numa pizza. Fonte: educador.brasilescola.uol.com.br Linhas- É um gráfico de grande utilidade e muito co- mum na representação de tendências e relacionamentos de variáveis 33 MATEMÁTICA Pictogramas – são imagens ilustrativas para tornar mais fácil a compreensão de todos sobre um tema. Da mesma forma, as tabelas ajudam na melhor visua- lização de dados e muitas vezes é através dela que vamos fazer os tipos de gráficos vistos anteriormente. Podem ser tabelas simples: Quantos aparelhos tecnológicos você tem na sua casa? aparelho quantidade televisão 3 celular 4 Geladeira 1 Até as tabelas que vimos nos exercícios de raciocínio lógico Referências http://www.galileu.esalq.usp.br ESTATÍSTICA DESCRITIVA, AMOSTRAGEM, TESTE DE HIPÓTESES E ANÁLISE DE REGRESSÃO Teste de Hipóteses Definição: Processo que usa estatísticas amostrais para testar a afirmação sobre o valor de um parâmetro populacional. Para testar um parâmetro populacional, você deve afirmar cuidadosamente um par de hipóteses – uma que represente a afirmação e outra, seu complemento. Quan- do uma é falsa, a outra é verdadeira. Uma hipótese nula H0 é uma hipótese estatística que contém uma afirmação de igualdade, tal como ≤, =, ≥ A hipótese alternativa Ha é o complemento da hipó-tese nula. Se H0 for falsa, Ha deve ser verdadeira, e contém afirmação de desigualdade, como <, ≠, >. Vamos ver como montar essas hipóteses Um caso bem simples. Assim, fica fácil, se H0 for falsa, Ha é verdadeira Há uma regrinha para formular essas hipóteses Formulação verbal H0 A média é Formulação Matemática Formulação verbal Ha A média é...maior ou igual a k. ....pelo menos k. ...não menos que k. ...menor que k ... abaixo de k ...menos que k. ...menor ou igual a k. ....no máximo k. ...não mais que k. ..maior que k ... acima de k ...mais do que k.... igual a k. .... k. ...exatamente k. ... não igual a k. .... diferente de k. ...não k. Exemplo: Um fabricante de torneiras anuncia que o índice médio de fluxo de água de certo tipo de torneira é menor que 2,5 galões por minuto. Referências Larson, Ron. Estatística Aplicada. 4ed – São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. Frequências A primeira fase de um estudo estatístico consiste em recolher, contar e classificar os dados pesquisados sobre uma população estatística ou sobre uma amostra dessa população. Frequência Absoluta É o número de vezes que a variável estatística assume um valor. Frequência Relativa É o quociente entre a frequência absoluta e o número de elementos da amostra. Na tabela a seguir, temos exemplo dos dois tipos: 34 MATEMÁTICA Distribuição de frequência sem intervalos de classe: É a simples condensação dos dados conforme as repeti- ções de seu valores. Para um ROL de tamanho razoável esta distribuição de frequência é inconveniente, já que exi- ge muito espaço. Veja exemplo abaixo: Dados Frequência 41 3 42 2 43 1 44 1 45 1 46 2 50 2 51 1 52 1 54 1 57 1 58 2 60 2 Total 20 Distribuição de frequência com intervalos de classe: Quando o tamanho da amostra é elevado é mais racional efetuar o agrupamento dos valores em vários intervalos de classe. Classes Frequências 41 |------- 45 7 45 |------- 49 3 49 |------- 53 4 53 |------- 57 1 57 |------- 61 5 Total 20 Média aritmética Média aritmética de um conjunto de números é o valor que se obtém dividindo a soma dos elementos pelo núme- ro de elementos do conjunto. Representemos a média aritmética por . A média pode ser calculada apenas se a variável envol- vida na pesquisa for quantitativa. Não faz sentido calcular a média aritmética para variáveis quantitativas. Na realização de uma mesma pesquisa estatística entre diferentes grupos, se for possível calcular a média, ficará mais fácil estabelecer uma comparação entre esses grupos e perceber tendências. Considerando uma equipe de basquete, a soma das al- turas dos jogadores é: Se dividirmos esse valor pelo número total de jogado- res, obteremos a média aritméticadas alturas: A média aritmética das alturas dos jogadores é 2,02m. Média Ponderada A média dos elementos do conjunto numérico A relati- va à adição e na qual cada elemento tem um “determinado peso” é chamada média aritmética ponderada. Mediana (Md) Sejam os valores escritos em rol: 1. 1. Sendo n ímpar, chama-se mediana o termo tal que o número de termos da sequência que precedem é igual ao número de termos que o sucedem, isto é, é termo médio da sequência ( ) em rol. 2. Sendo n par, chama-se mediana o valor obtido pela média aritmética entre os termos e , tais que o número de termos que precedem é igual ao número de termos que sucedem , isto é, a mediana é a média arit- mética entre os termos centrais da sequência ( ) em rol. Exemplo 1: Determinar a mediana do conjunto de dados: {12, 3, 7, 10, 21, 18, 23} Solução: Escrevendo os elementos do conjunto em rol, tem-se: (3, 7, 10, 12, 18, 21, 23). A mediana é o termo médio desse rol. Logo: Md=12 Resposta: Md=12. Exemplo 2: Determinar a mediana do conjunto de dados: {10, 12, 3, 7, 18, 23, 21, 25}. 35 MATEMÁTICA Solução: Escrevendo-se os elementos do conjunto em rol, tem- se: (3, 7, 10, 12, 18, 21, 23, 25). A mediana é a média arit- mética entre os dois termos centrais do rol. Logo: Resposta: Md=15 Moda (Mo) Num conjunto de números: , chama-se moda aquele valor que ocorre com maior frequência. Observação: A moda pode não existir e, se existir, pode não ser úni- ca. Exemplo 1: O conjunto de dados 3, 3, 8, 8, 8, 6, 9, 31 tem moda igual a 8, isto é, Mo=8. Exemplo 2: O conjunto de dados 1, 2, 9, 6, 3, 5 não tem moda. Medidas de dispersão Duas distribuições de frequência com medidas de ten- dência central semelhantes podem apresentar característi- cas diversas. Necessita-se de outros índices numéricas que informem sobre o grau de dispersão ou variação dos dados em torno da média ou de qualquer outro valor de concen- tração. Esses índices são chamados medidas de dispersão. Variância Há um índice que mede a “dispersão” dos elementos de um conjunto de números em relação à sua média arit- mética, e que é chamado de variância. Esse índice é assim definido: Seja o conjunto de números , tal que é sua média aritmética. Chama-se variância desse conjunto, e indica-se por , o número: Isto é: E para amostra Exemplo 1: Em oito jogos, o jogador A, de bola ao cesto, apresen- tou o seguinte desempenho, descrito na tabela abaixo: Jogo Número de pontos 1 22 2 18 3 13 4 24 5 26 6 20 7 19 8 18 a) Qual a média de pontos por jogo? b) Qual a variância do conjunto de pontos? Solução: a) a) A média de pontos por jogo é: b) A variância é: Desvio médio Definição Medida da dispersão dos dados em relação à média de uma sequência. Esta medida representa a média das dis- tâncias entre cada elemento da amostra e seu valor médio. Desvio padrão Definição Seja o conjunto de números , tal que é sua média aritmética. Chama-se desvio padrão desse con- junto, e indica-se por , o número: Isto é: Exemplo: As estaturas dos jogadores de uma equipe de basque- tebol são: 2,00 m; 1,95 m; 2,10 m; 1,90 m e 2,05 m. Calcular: 36 MATEMÁTICA a) A estatura média desses jogadores. b) O desvio padrão desse conjunto de estaturas. Solução: Sendo a estatura média, temos: a) Sendo o desvio padrão, tem-se: GEOMETRIA PLANA Ângulos Denominamos ângulo a região do plano limitada por duas semirretas de mesma origem. As semirretas recebem o nome de lados do ângulo e a origem delas, de vértice do ângulo. Ângulo Agudo: É o ângulo, cuja medida é menor do que 90º. Ângulo Obtuso: É o ângulo cuja medida é maior do que 90º. Ângulo Raso: - É o ângulo cuja medida é 180º; - É aquele, cujos lados são semi-retas opostas. Ângulo Reto: - É o ângulo cuja medida é 90º; - É aquele cujos lados se apoiam em retas perpendi- culares. Triângulo Elementos Mediana Mediana de um triângulo é um segmento de reta que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. Na figura, é uma mediana do ABC. Um triângulo tem três medianas. A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo in- tercepta o lado oposto Bissetriz interna de um triângulo é o segmento da bissetriz de um ângulo do triângulo que liga um vértice a um ponto do lado oposto. Na figura, é uma bissetriz interna do . Um triângulo tem três bissetrizes internas. 37 MATEMÁTICA Altura de um triângulo é o segmento que liga um vér- tice a um ponto da reta suporte do lado oposto e é perpen- dicular a esse lado. Na figura, é uma altura do . Um triângulo tem três alturas. Mediatriz de um segmento de reta é a reta perpen- dicular a esse segmento pelo seu ponto médio. Na figura, a reta m é a mediatriz de . Mediatriz de um triângulo é uma reta do plano do triângulo que é mediatriz de um dos lados desse triângulo. Na figura, a reta m é a mediatriz do lado do . Um triângulo tem três mediatrizes. Classificação Quanto aos lados Triângulo escaleno:três lados desiguais. Triângulo isósceles: Pelo menos dois lados iguais. Triângulo equilátero: três lados iguais. Quanto aos ângulos Triângulo acutângulo:tem os três ângulos agudos Triângulo retângulo:tem um ângulo reto Triângulo obtusângulo: tem um ângulo obtuso 38 MATEMÁTICA Desigualdade entre Lados e ângulos dos triângulos Num triângulo o comprimento de qualquer lado é me- nor que a soma dos outros dois. Em qualquer triângulo, ao maior ângulo opõe-se o maior lado, e vice-versa. QUADRILÁTEROS Quadrilátero é todo polígono com as seguintes pro- priedades: - Tem 4 lados. - Tem 2 diagonais. - A soma dos ângulos internos Si = 360º- A soma dos ângulos externos Se = 360º Trapézio: É todo quadrilátero tem dois paralelos. - é paralelo a - Losango: 4 lados congruentes - Retângulo: 4 ângulos retos (90 graus) - Quadrado: 4 lados congruentes e 4 ângulos retos. - Observações: - No retângulo e no quadrado as diagonais são congruentes (iguais) - No losango e no quadrado as diagonais são per- pendiculares entre si (formam ângulo de 90°) e são bisse- trizes dos ângulos internos (dividem os ângulos ao meio). Áreas 1- Trapézio: , onde B é a medida da base maior, b é a medida da base menor e h é medida da altura. 2- Paralelogramo: A = b.h, onde b é a medida da base e h é a medida da altura. 3- Retângulo: A = b.h 4- Losango: , onde D é a medida da diagonal maior e d é a medida da diagonal menor. 5- Quadrado: A = l2, onde l é a medida do lado. Polígono Chama-se polígono a união de segmentos que são chamados lados do polígono, enquanto os pontos são cha- mados vértices do polígono. Diagonal de um polígono é um segmento cujas extre- midades são vértices não-consecutivos desse polígono. Número de Diagonais Ângulos Internos A soma das medidas dos ângulos internos de um polí- gono convexo de n lados é (n-2).180 Unindo um dos vértices aos outros n-3, conveniente- mente escolhidos, obteremos n-2 triângulos. A soma das medidas dos ângulos internos do polígono é igual à soma das medidas dos ângulos internos dos n-2 triângulos. 39 MATEMÁTICA Ângulos Externos A soma dos ângulos externos=360° Teorema de Tales Se um feixe de retas paralelas tem duas transversais, então a razão de dois segmentos quaisquer de uma trans- versal é igual à razão dos segmentos correspondentes da outra. Dada a figura anterior, O Teorema de Tales afirma que são válidas as seguintes proporções: Exemplo 2 Semelhança de Triângulos Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, os seus ângulos internos tiverem, respectivamente, as mesmas medidas, e os lados correspondentes forem proporcionais. Casos de Semelhança 1º Caso:AA(ângulo-ângulo) Se dois triângulos
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