MATEMÁTICA PAROBÉ 2022

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Trabalhando pela sua conquista. 
 
 
Matemática 
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MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Trabalhando pela sua conquista. 
 
Matemática 
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1. Conjuntos numéricos: naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais; 
propriedades, operações, representação geométrica, divisibilidade, 
números primos, fatoração, máximo divisor comum, mínimo múltiplo 
comum. .................................................................................................................. 03 
 
2. Equações e inequações: 1º grau, 2º grau, exponencial, logarítmica. ........... 14 
 
3. Funções: função polinomial do 1º grau, função polinomial do 2º grau, 
função exponencial, função logarítmica, funções trigonométricas. .................... 23 
 
4. Trigonometria: triângulo retângulo, triângulos quaisquer, ciclo 
trigonométrico, relações entre arcos, equações e inequações. .......................... 27 
 
5. Sequências numéricas: progressão aritmética e progressão geométrica. .... 35 
 
6. Matriz, determinante e sistemas lineares. ........................................................... 41 
 
7. Análise combinatória. ............................................................................................ 43 
 
8. Probabilidade. ........................................................................................................ 45 
 
9. Estatística. ............................................................................................................. 48 
 
10. Matemática financeira: juros simples e compostos, descontos, taxas 
proporcionais. ............................................................................................................... 50 
 
11. Razão e proporção, regra de três, porcentagem, taxas de acréscimo e 
decréscimos, taxa de lucro ou margem sobre o preço de custo e sobre o preço 
de venda. ...................................................................................................................... 53 
 
12. Geometria plana: ângulos, polígonos, triângulos, quadriláteros, círculo, 
circunferência, polígonos regulares inscritos e circunscritos, Propriedades, 
perímetro e área. ......................................................................................................... 60 
 
13. Geometria espacial: poliedros, prismas, pirâmide, cilindro, cone esfera, 
elementos, classificação, áreas e volume. .................................................................. 63 
 
14. Geometria analítica: ponto, reta e circunferência, Cônicas: elipse, 
hipérbole, parábola. ..................................................................................................... 69 
 
15. Números complexos. ............................................................................................ 74 
 
16. Polinômios e equações algébricas. ........................................................................ 77 
 
17. Raciocínio lógico. ................................................................................................... 79 
 
COLETÂNEA DE PROVAS DE CONCURSOS E TESTES ............................ 85 
GABARITO .......................................................................................... 95 
 
 
 
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Matemática 
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1.Conjuntos numéricos: naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais; 
propriedades, operações, representação geométrica, divisibilidade, números 
primos, fatoração, máximo divisor comum, mínimo múltiplo comum. 
 
Os conjuntos numéricos reúnem 
diversos conjuntos cujos elementos são 
números. Eles são formados pelos 
números naturais, inteiros, racionais, 
irracionais e reais. O ramo da 
matemática que estuda os conjuntos 
numéricos é a Teoria dos conjuntos. 
 
Conjunto dos Números Naturais (N) 
O conjunto dos números naturais é 
representado por N. Ele reúne os números 
que usamos para contar (incluindo o zero) e 
é infinito. 
Subconjuntos dos Números Naturais 
 N* = {1, 2, 3, 4, 5..., n, ...} ou N* = N – {0}: 
conjuntos dos números naturais não-
nulos, ou seja, sem o zero. 
 Np = {0, 2, 4, 6, 8..., 2n, ...}, em que n ∈ N: 
conjunto dos números naturais pares. 
 Ni = {1, 3, 5, 7, 9..., 2n+1, ...}, em que n ∈ N: 
conjunto dos números naturais ímpares. 
 P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}: conjunto dos 
números naturais primos. 
NÚMEROS NATURAIS 
 
Os Números Naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 
8, 9, 10, 11, 12...} 
são números inteiros positivos (não-
negativos) que se agrupam num conjunto 
chamado de N, composto de um número 
ilimitado de elementos. Se um número é 
inteiro e positivo, podemos dizer que é um 
número natural. 
Quando o zero não faz parte do conjunto, é 
representado com um asterisco ao lado da 
letra N e, nesse caso, esse conjunto é 
denominado de Conjunto dos Números 
Naturais Não-Nulos: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 
9...}. 
 Conjunto dos Números Naturais Pares = 
{0, 2, 4, 6, 8...} 
 Conjunto dos Números Naturais Ímpares 
= {1, 3, 5, 7, 9...} 
O conjunto de números naturais é infinito. 
Todos possuem um antecessor (número 
anterior) e um sucessor (número posterior), 
exceto o número zero (0). Assim: 
 o antecessor de 1 é 0 e seu sucessor é o 2; 
 o antecessor de 2 é 1 e seu sucessor é o 3; 
 o antecessor de 3 é 2 e seu sucessor é o 4; 
 o antecessor de 4 é 3 e seu sucessor é o 5. 
Cada elemento é igual ao número antecessor 
mais um, exceptuando-se o zero. Assim, 
podemos notar que: 
 o número 1 é igual ao anterior (0) + 1 = 1; 
 o número 2 é igual ao anterior (1) + 1 = 2; 
 o número 3 é igual ao anterior (2) + 1 = 3; 
 o número 4 é igual ao anterior (3) + 1 = 4. 
A função dos números naturais é contar e 
ordenar. Nesse sentido, vale lembrar que os 
homens, antes de inventarem os números, 
tinham muita dificuldade em realizar a 
contagem e ordenação das coisas. 
 
Conjunto dos Números Inteiros (Z) 
O conjunto dos números inteiros é 
representado por Z. Reúne todos os elementos 
dos números naturais (N) e seus opostos. 
Assim, conclui-se que N é um subconjunto de 
Z (N ⊂ Z): 
Subconjuntos dos Números Inteiros 
 Z* = {..., –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, ...} ou Z* = Z 
– {0}: conjuntos dos números inteiros não-
nulos, ou seja, sem o zero. 
 Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}: conjunto dos 
números inteiros e não-negativos. Note que 
Z+ = N. 
https://www.todamateria.com.br/numeros-naturais/
https://www.todamateria.com.br/numeros-inteiros/
 
 
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 Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, ...}: conjunto dos números 
inteiros positivos e sem o zero. 
 Z – = {..., –5, –4, –3, –2, –1, 0}: conjunto dos 
números inteiros não-positivos. 
 Z*– = {..., –5, –4, –3, –2, –1}: conjunto dos 
números inteiros negativos e sem o zero. 
NÚMEROS INTEIROS 
 
Os números inteiros são os 
números positivos e negativos, que não 
apresentam parte decimal e, o zero. Estes 
números formam o conjunto dos números 
inteiros, indicado por ℤ. 
Não pertencem aos números inteiros: as 
frações, números decimais, os números 
irracionais e os complexos. 
O conjunto dos números inteiros é infinito e 
pode ser representado da seguinte maneira: 
ℤ = {..., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3,...} 
Os números inteiros negativos são sempre 
acompanhados pelo sinal (-), enquanto os 
números inteiros positivos podem vir ou 
não acompanhados de sinal (+). 
O zero é um número neutro, ou seja, não é 
um número nem positivo e nem negativo. 
A relação de inclusão no conjunto dos 
inteiros envolve o conjunto dos números 
naturais (ℕ). 
Todo número inteiro possui um antecessor e 
um sucessor. Por exemplo, o antecessor de -
3 é -4, já o seu sucessor é o -2. 
Representação na Reta Numérica 
Os números inteiros podemser 
representados por pontos na reta numérica. 
Nesta representação, a distância entre dois 
números consecutivos é sempre a mesma. 
Os números que estão a uma mesma 
distância do zero, são chamados de opostos 
ou simétricos. 
Por exemplo, o -4 é o simétrico de 4, pois 
estão a uma mesma distância do zero, 
conforme assinalado na figura abaixo: 
 
Subconjuntos de ℤ 
O conjunto dos números naturais (ℕ) é um 
subconjunto de ℤ, pois está contido no 
conjunto dos números inteiros. Assim: 
 
Além do conjunto dos números naturais, 
destacamos os seguintes subconjuntos de ℤ: 
 ℤ* : é o subconjunto dos números inteiros, 
com exceção do zero. ℤ* = {..., -3,-2,-1, 1, 
2, 3, 4, ...} 
 ℤ+ : são os números inteiros não-negativos, 
ou seja ℤ+ = {0, 1, 2, 3, 4, ...} 
 ℤ _ : é o subconjunto dos números inteiros 
não-positivos, ou seja ℤ_= {..., -4,-3,-2,-1, 
0} 
 ℤ*+ : é o subconjunto dos números inteiros, 
com exceção dos negativos e do zero. 
ℤ*+ = {1,2,3,4, 5...} 
 ℤ*_ : são os números inteiros, com exceção 
dos positivos e do zero, ou seja ℤ*_= {..., -
4,-3,-2,-1} 
 
Exercícios Resolvidos 
 
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Questão 1 
Represente as seguintes situações com números 
positivos ou negativos. 
a) Em Moscou, os termômetros marcaram cinco 
graus abaixo de zero nesta manhã. 
b) No Rio de Janeiro hoje, os banhistas 
aproveitaram a praia sob uma temperatura de 
quarenta graus Celsius. 
c) Marcos consultou seu saldo bancário e estava 
indicando dever R$150,00. 
 
Questão 2 
Indique o antecessor e o sucessor dos seguintes 
números: 
a) -34 
b) -8 
c) 0 
 
Questão 3 
Determine o oposto (ou simétrico) dos 
seguintes números: 
a) 9 
b) -3 
c) -145 
d) 98 
 
Questão 4 
Construa uma reta numérica e destaque os 
números: 2, -3, -1, 4, -4. 
 
Questão 5 
Faetec - RJ - 2015 
Observe o segmento de reta abaixo, dividido em 5 
segmentos congruentes: 
 
Nele estão representados seis números reais. A 
quantidade de elementos do conjunto {A,B,C,D} que 
representa número inteiro é: 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
 
Gabarito. 
 
1) a) -5°C 
 b) 40°C 
 c) -R$150,00 
 
2) a) -35 e -33 
 b) -9 e -7 
 c) -1 e 1 
 
3) a )-9 
 b) 3 
 c) 145 
 d) -98 
 
4) _____-4______-3______-2______ -1______0______1______ 2______3______4______ 
 
5) Alternativa c: 2 
Temos uma medida de 7,5 que vai de 2 a 9,5. 
9,5 - 2 = 7,5 
Como os segmentos são congruentes, tem a mesma medida, cada um tem 1,5. 
7,5 / 5 = 1,5 
Partindo de 2 e, somando 1,5, temos: 
2 + 1,5 = 3,5. Portanto, A vale 3,5 e não é inteiro. 
Continuando somando 1,5 ao anterior, obtemos: 
 
 
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B vale 5. É inteiro. 
C vale 6,5. Não é inteiro. 
D vale 8, É inteiro. 
Dessa maneira, temos dois números inteiros. 
Alternativa c: 2 
 
Conjunto dos Números Racionais 
(Q) 
O conjunto dos números racionais é 
representado por Q. Reúne todos os números 
que podem ser escritos na forma p/q, 
sendo p e q números inteiros e q≠0. 
Q = {0, ±1, ±1/2, ±1/3, ..., ±2, ±2/3, ±2/5, ..., 
±3, ±3/2, ±3/4, ...} 
Note que todo número inteiro é também 
número racional. Assim, Z é um subconjunto 
de Q. 
Importante ressaltar que as dízimas periódicas 
são números racionais. Elas são números 
decimais que se repetem após a vírgula, por 
exemplo: 1,4444444444... Embora possua 
infinitas casas decimais, pode ser escrito como 
a fração 13/9. 
Subconjuntos dos Números Racionais 
 Q* = subconjunto dos números racionais 
não-nulos, formado pelos números racionais 
sem o zero. 
 Q+ = subconjunto dos números racionais 
não-negativos, formado pelos números 
racionais positivos e o zero. 
 Q*+ = subconjunto dos números racionais 
positivos, formado pelos números racionais 
positivos, sem o zero. 
 Q– = subconjunto dos números racionais 
não-positivos, formado pelos números 
racionais negativos e o zero. 
 Q*– = subconjunto dos números racionais 
negativos, formado números racionais 
negativos, sem o zero. 
 
NÚMEROS RACIONAIS 
 
Os números racionais são os números que 
podem ser escritos na forma de fração. Esses 
números podem também ter representação 
decimal finita ou decimal infinita e periódica. 
Observe que o conjunto dos números 
racionais, representado por , contém o 
conjunto dos números inteiros, que por sua vez 
contém o conjunto dos números naturais, ou 
seja, . 
 
O conjunto dos números racionais pode ser 
representado por: 
 
A definição do conjunto Q pode ser lida como: 
um quociente entre um número a por um 
número b, tal que, a pertença ao conjunto dos 
números inteiros, e b pertença ao conjunto dos 
números inteiros sem o zero. 
Todo número natural N é um número inteiro, 
assim como todo número inteiro Z , é um 
número racional 
 
Exemplos de Números Racionais 
Números Inteiros 
Todo número inteiro pode ser escrito como 
uma divisão de outros dois números inteiros. 
 
Números decimais finitos 
Todo número decimal com um número finito 
de casas depois da vírgula, pode ser escrito 
como uma divisão entre dois números inteiros. 
https://www.todamateria.com.br/numeros-racionais/
 
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Números Periódicos (Dízimas periódicas) 
Todo número decimal com um número infinito 
de casas depois da vírgula, que se repetem 
periodicamente, pode ser escrito como uma 
divisão entre dois números inteiros. 
 
Subconjuntos do conjunto Q 
 
 
 
 
Conjunto dos Números Irracionais 
(I) 
O conjunto dos números irracionais é 
representado por I. Reúne os números 
decimais não exatos com uma representação 
infinita e não periódica, por exemplo: 
3,141592... ou 1,203040... 
 
NÚMEROS IRRACIONAIS 
 
Os Números Irracionais são números 
decimais, infinitos e não-periódicos e não 
podem ser representados por meio de frações 
irredutíveis. 
Interessante notar que a descoberta dos 
números irracionais foi considerada um marco 
nos estudos da geometria. Isso porque 
preencheu lacunas, como por exemplo, a 
https://www.todamateria.com.br/dizima-periodica/
https://www.todamateria.com.br/numeros-irracionais/
 
 
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medida da diagonal de um quadrado de lado 
igual a 1. 
Como a diagonal divide o quadrado em dois 
triângulos retângulos, podemos calcular essa 
medida usando o Teorema de Pitágoras. 
 
Com vimos, a medida da diagonal desse 
quadrado será √2. O problema é que o 
resultado desta raiz é um número decimal 
infinito e não periódico. 
Por mais que tentemos encontrar um valor 
exato, só conseguimos aproximações deste 
valor. Considerando 12 casas decimais essa 
raiz pode ser escrita como: 
√2 = 1,414213562373.... 
Alguns exemplos de irracionais: 
 √3 = 1,732050807568.... 
 √5 = 2,236067977499... 
 √7 = 2,645751311064... 
 
Conjunto dos Números Reais (R) 
O conjunto dos números reais é representado 
por R. Esse conjunto é formado pelos números 
racionais (Q) e irracionais (I). Assim, temos que 
R = Q ∪ I. Além disso, N, Z, Q e I são 
subconjuntos de R. 
Mas, observe que se um número real é 
racional, ele não pode ser também irracional. 
Da mesma maneira, se ele é irracional, não é 
racional. 
Subconjuntos dos Números Reais 
 R*= {x ∈ R│x ≠ 0}: conjunto dos números 
reais não-nulos. 
 R+ = {x ∈ R│x ≥ 0}: conjunto dos números 
reais não-negativos. 
 R*+ = {x ∈ R│x > 0}: conjunto dos números 
reais positivos. 
 R– = {x ∈ R│x ≤ 0}: conjunto dos números 
reais não-positivos. 
 R*– = {x ∈ R│x < 0}: conjunto dos números 
reais negativos. 
Intervalos Numéricos 
Há ainda um subconjunto relacionado com os 
números reais que são chamados de 
intervalos. Sejam a e b números reais e a < b, 
temos os seguintes intervalos reais: 
Intervalo aberto de extremos: ]a,b[ = {x ∈ 
R│a < x < b} 
 
Intervalo fechado de extremos: [a,b] = {x ∈ 
R│a ≤ x ≤ b} 
 
Intervalo aberto à direta (oufechado à 
esquerda) de extremos: [a,b[ = {x ∈ R│a ≤ x < 
b} 
 
Intervalo aberto à esquerda (ou fechado à 
direita) de extremos: ]a,b] = {x ∈ R│a < x ≤ b} 
 
 
Propriedades dos Conjuntos 
Numéricos 
 
 
https://www.todamateria.com.br/numeros-reais/
 
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Diagrama dos conjuntos numéricos 
Para facilitar os estudos sobre os conjuntos 
numéricos, segue abaixo algumas de suas 
propriedades: 
 O conjunto dos números naturais (N) é um 
subconjunto dos números inteiros: Z (N ⊂ Z). 
 O conjunto dos números inteiros (Z) é um 
subconjunto dos números racionais: (Z ⊂ Q). 
 O conjunto dos números racionais (Q) é um 
subconjunto dos números reais (R). 
 Os conjuntos dos números naturais (N), 
inteiros (Z), racionais (Q) e irracionais (I) são 
subconjuntos dos números reais (R). 
NÚMEROS REAIS 
 
Chamamos de Números Reais o conjunto de 
elementos, representado pela letra 
maiúscula R, que inclui os: 
 Números Naturais (N): N = {0, 1, 2, 3, 4, 
5,...} 
 Números Inteiros (Z): Z= {..., -3, -2, -1, 0, 1, 
2, 3,...} 
 Números Racionais (Q): Q = {...,1/2, 3/4, –
5/4...} 
 Números Irracionais (I): I = {...,√2, √3,√7, 
3,141592....} 
Conjunto dos Números Reais 
Para representar a união dos conjuntos, 
utiliza-se a expressão: 
R = N U Z U Q U I ou R = Q U I 
Onde: 
R: Números Reais 
N: Números Naturais 
U: União 
Z: Números Inteiros 
Q: Números Racionais 
I: Números Irracionais 
 
Diagrama dos conjuntos numéricos 
Ao observar a figura acima, podemos 
concluir que: 
 O conjunto dos números Reais (R) engloba 4 
conjuntos de 
números: Naturais (N), Inteiros (Z), Racionais
 (Q) e Irracionais (I) 
 O conjunto dos números Racionais (Q) é 
formado pelo conjuntos dos Números 
Naturais (N) e dos Números Inteiros (Z). Por 
isso, todo Número Inteiro (Z) é Racional (Q), 
ou seja, Z está contido em Q. 
 O Conjunto dos Números Inteiros (Z) inclui 
os Números Naturais (N); em outras 
palavras, todo número natural é um número 
inteiro, ou seja, N está contido em Z. 
 
Exercícios de Vestibular com Gabarito 
 
1. (UFOP-MG) A respeito dos números a = 
0,499999... e b = 0,5, é correto afirmar: 
a) b = a + 0,011111 
b) a = b 
c) a é irracional e b é racional 
d) a < b 
2. (UEL-PR) Observe os seguintes números: 
I. 2,212121... 
II. 3,212223... 
III. π/5 
IV. 3,1416 
V. √– 4 
Assinale a alternativa que identifica os números 
irracionais: 
a) I e II. 
b) I e IV. 
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c) II e III. 
d) II e V. 
e) III e V. 
3. (Cefet-CE) É unitário o conjunto: 
a) {x ∈ Z│x < 1} 
b) {x ∈ Z│x
2
 > 0} 
c) {x ∈ R│x
2
 = 1} 
d) {x ∈ Q│x
2
 < 2} 
e) {x ∈ N│1 < 2x < 4} 
 
Gabarito 
 
1) Alternativa b: a = b 
2) Alternativa c: II e III. 
3) Alternativa e: {x ∈ N│1 < 2x < 4} 
 
 
 
O QUE SÃO NÚMEROS PRIMOS? 
 
Os números primos são aqueles que 
apresentam apenas dois divisores: um e o 
próprio número. Eles fazem parte do conjunto 
dos números naturais. 
Por exemplo, 2 é um número primo, pois só é 
divisível por um e ele mesmo. 
Quando um número apresenta mais de dois 
divisores eles são chamados de números 
compostos e podem ser escritos como um 
produto de números primos. 
Por exemplo, 6 não é um número primo, é um 
número composto, já que tem mais de dois 
divisores (1, 2 e 3) e é escrito como produto de 
dois números primos 2 x 3 = 6. 
Algumas considerações sobre os números 
primos: 
 O número 1 não é um número primo, pois só 
é divisível por ele mesmo; 
 O número 2 é o menor número primo e 
também o único que é par; 
 O número 5 é o único número primo 
terminado em 5; 
 Os demais números primos são ímpares e 
terminam com os algarismos 1, 3, 7 e 9. 
 
 
Como saber se um número é primo? 
 
Uma maneira de localizar um número primo é 
utilizando o Crivo de Eratóstenes. 
1. Crie uma tabela e escreva os números de um 
intervalo, por exemplo de 1 a 100. 
2. O número 1 pode ser eliminado, pois ele não 
é um número primo. 
3. Marque todos os números primos menores 
que 10 (2, 3, 5 e 7) com cores diferentes. 
4. Elimine os múltiplos desses números 
marcando-os com as respectivas cores. 
5. Os números restantes na tabela, que não 
foram marcados, são os números primos. 
 
Pela tabela podemos perceber que existem 25 
números primos entre 1 e 100. São eles: 
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 
47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 e 97. 
Outra maneira de reconhecer um número 
primo é realizando divisões com o número 
investigado. Para facilitar o processo, veja 
alguns critérios de divisibilidade. 
https://www.todamateria.com.br/criterios-de-divisibilidade/
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
 
Matemática 
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Divisibilidade por 2: todo número cujo 
algarismo da unidade é par é divisível por 2; 
Divisibilidade por 3: um número é divisível 
por 3 se a soma dos seus algarismos é um 
número divisível por 3; 
Divisibilidade por 5: um número será 
divisível por 5 quando o algarismo da unidade 
for igual a 0 ou 5. 
Se o número não for divisível por 2, 3 e 5 
continuamos as divisões com os próximos 
números primos menores que o número até 
que: 
 Se for uma divisão exata (resto igual a zero) 
então o número não é primo. 
 Se for uma divisão não exata (resto diferente 
de zero) e o quociente for menor que o 
divisor, então o número é primo. 
 Se for uma divisão não exata (resto diferente 
de zero) e o quociente for igual ao divisor, 
então o número é primo. 
Exemplo resolvido: verificar se o número 113 
é primo. 
Sobre o número 113, temos: 
 Não apresenta o último algarismo par e, por 
isso, não é divisível por 2; 
 A soma dos seus algarismos (1+1+3 = 5) não 
é um número divisível por 3; 
 Não termina em 0 ou 5, portanto não é 
divisível por 5. 
Como vimos, 113 não é divisível por 2, 3 e 5. 
Agora, resta saber se é divisível pelos números 
primos menores que ele utilizando a operação 
de divisão. 
Divisão pelo número primo 7: 
 
Observe que chegamos a uma divisão não 
exata cujo quociente é menor que o 
divisor. Isso comprova que o número 113 é 
primo. 
Números primos de 1 a 1000 
Confira os 168 números primos existentes 
entre 1 e 1000. 
Números primos de 1 até 10: 
2, 3, 5, 7 
Números primos de 10 até 100: 
11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 
61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 
Números primos de 100 até 200: 
101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 
149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 
193, 197, 199 
Números primos de 200 até 300: 
211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 
263, 269, 271, 277, 281, 283, 293 
Números primos de 300 até 400: 
307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 
359, 367, 373, 379, 383, 389, 397 
Números primos de 400 até 500: 
401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 
457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499 
Números primos de 500 até 600: 
503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 
571, 577, 587, 593, 599 
Números primos de 600 até 700: 
601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 
653, 659, 661, 673, 677, 683, 691 
Números primos de 700 até 800: 
701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 
761, 769, 773, 787, 797 
 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
Matemática 
12 
Números primos de 800 até 900: 
809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 
859, 863, 877, 881, 883, 887 
Números primos de 900 até 1000: 
907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 
971, 977, 983, 991, 997 
Decompor um número em fatores primos ou, 
fatorá-lo, é escrever este número como uma 
multiplicação de números primos. Os fatores 
são termos da multiplicação que, neste caso, 
são números primos. 
Vale lembrar que osnúmeros primos são 
aqueles divisíveis apenas pelo 1 e pelo próprio 
número, além de serem infinitos. Como 
exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 
37, 41, 47 ... 
Como o produto entre números primos 
formam os números compostos, decompor um 
número composto é determinar quais são estes 
fatores. 
Como decompor um número 
Um método simples para decompor um 
número em fatores primos é escrevê-lo à 
esquerda de uma linha vertical. À direita 
escreve-se seu menor divisor primo. Após 
realizar a divisão, o resto fica abaixo do 
número original e o processo continua até o 
resto ser 1. 
Exemplo 
Decompor o número 210 em fatores 
primos. 
 
A forma fatorada de 210 ou, sua 
decomposição em fatores primos é : 
 
MMC E MDC 
O mínimo múltiplo comum (MMC ou M.M.C) 
e o máximo divisor comum (MDC ou M.D.C) 
podem ser calculados simultaneamente 
através da decomposição em fatores primos. 
Por meio da fatoração, o MMC de dois ou 
mais números é determinado pela 
multiplicação dos fatores. Já o MDC é obtido 
pela multiplicação dos números que os 
dividem ao mesmo tempo. 
1º passo: fatoração dos números 
A fatoração consiste na representação em 
números primos, chamados fatores. Por 
exemplo, 2 x 2 é a forma fatorada de 4. 
A forma fatorada de um número é obtida 
seguindo a sequência: 
 Inicia-se com a divisão pelo menor número 
primo possível; 
 O quociente da divisão anterior também é 
dividido pelo menor número primo possível; 
 Repete-se a divisão até que o resultado seja o 
número 1. 
Exemplo: fatoração do número 40. 
 
Portanto, a forma fatorada do número 40 é 2 x 
2 x 2 x 5, que é o mesmo que 23 x 5. 
 
2º passo: cálculo do MMC 
A decomposição de dois números 
simultaneamente terá como resultado a 
forma fatorada do mínimo múltiplo 
comum entre eles. 
Exemplo: fatoração dos números 40 e 60. 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
 
Matemática 
13 
 
A multiplicação dos fatores primos 2 x 2 x 
2 x 3 x 5 tem como forma fatorada 23 x 3 x 
5. 
Portanto, o MMC de 40 e 60 é: 23 x 3 x 5 = 
120. 
Vale lembrar que as divisões sempre serão 
feitas pelo menor número primo possível, 
mesmo que esse número divida apenas um 
dos componentes. 
 
3º passo: cálculo do MDC 
O máximo divisor comum é encontrado 
quando multiplicamos os fatores que 
dividem simultaneamente os números 
fatorados. 
Na fatoração de 40 e 60, podemos 
perceber que o número 2 foi capaz de 
dividir duas vezes o quociente da divisão e 
o número 5 uma vez. 
 
Portanto, o MDC de 40 e 60 é: 22 x 5 = 20. 
 
 
Exercícios de MMC e MDC resolvidos 
Exercício 1 
Determine simultaneamente o MMC e o 
MDC entre 10, 20 e 30. 
Exercício 2 
Determine simultaneamente o MMC e o 
MDC entre15, 25 e 45. 
Exercício 3 
Determine simultaneamente o MMC e o 
MDC entre 40, 60 e 80. 
GABARITO: 
1) Resposta correta: MMC = 60 e MDC 
= 10. 
1º passo: decomposição em fatores primos. 
Efetue a divisão pelos menores números 
primos possíveis. 
 
2º passo: cálculo do MMC. 
Multiplique os fatores encontrados 
anteriormente. 
MMC: 2 x 2 x 3 x 5 = 22 x 3 x 5 = 60 
3º passo: cálculo do MDC. 
Multiplique os fatores que dividem os 
números ao mesmo tempo. 
 
MDC: 2 x 5 = 10 
 
2) Resposta correta: MMC = 225 e MDC 
= 5. 
1º passo: decomposição em fatores primos. 
Efetue a divisão pelos menores números 
primos possíveis. 
 
 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
Matemática 
14 
2º passo: cálculo do MMC. 
Multiplique os fatores encontrados 
anteriormente. 
MMC: 3 x 3 x 5 x 5 = 32 x 52 = 225 
3º passo: cálculo do MDC 
Multiplique os fatores que dividem os 
números ao mesmo tempo. 
 
3) Resposta correta: MMC = 240 e MDC 
= 20. 
1º passo: decomposição em fatores 
primos. 
Efetue a divisão pelos menores números 
primos possíveis. 
 
2º passo: cálculo do MMC. 
Multiplique os fatores encontrados 
anteriormente. 
MMC: 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 24 x 3 x 5 = 
240 
3º passo: cálculo do MDC. 
Multiplique os fatores que dividem os 
números ao mesmo tempo. 
 
 
2. Equações e inequações: 1º grau, 2º grau, exponencial, logarítmica. 
 
 
EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU 
As equações de primeiro grau são sentenças 
matemáticas que estabelecem relações de 
igualdade entre termos conhecidos e 
desconhecidos, representadas sob a forma: 
ax+b = 0 
Donde a e b são números reais, sendo a um 
valor diferente de zero (a ≠ 0) e x representa o 
valor desconhecido. 
O valor desconhecido é chamado 
de incógnita que significa "termo a 
determinar". As equações do 1º grau podem 
apresentar uma ou mais incógnitas. 
As incógnitas são expressas por uma letra 
qualquer, sendo que as mais utilizadas são x, 
y, z. Nas equações do primeiro grau, o 
expoente das incógnitas é sempre igual a 1. 
As igualdades 2.x = 4, 9x + 3 y = 2 e 5 = 20a 
+ b são exemplos de equações do 1º grau. Já 
as equações 3x2+5x-3 =0, x3+5y= 9 não são 
deste tipo. 
O lado esquerdo de uma igualdade é chamado 
de 1º membro da equação e o lado direito é 
chamado de 2º membro. 
Como resolver uma equação de 
primeiro grau? 
O objetivo de resolver uma equação de 
primeiro grau é descobrir o valor 
desconhecido, ou seja, encontrar o valor da 
incógnita que torna a igualdade verdadeira. 
Para isso, deve-se isolar os elementos 
desconhecidos em um dos lados do sinal de 
igual e os valores constantes do outro lado. 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
 
Matemática 
15 
Contudo, é importante observar que a 
mudança de posição desses elementos deve ser 
feita de forma que a igualdade continue sendo 
verdadeira. 
Quando um termo da equação mudar de lado 
do sinal de igual, devemos inverter a operação. 
Assim, se tiver multiplicando, passará 
dividindo, se tiver somando, passará 
subtraindo e vice-versa. 
Exemplo 
Qual o valor da incógnita x que torna a 
igualdade 8x - 3 = 5 verdadeira? 
Solução 
Para resolver a equação, devemos isolar o x. 
Para isso, vamos primeiro passar o 3 para o 
outro lado do sinal de igual. Como ele está 
subtraindo, passará somando. Assim: 
8x = 5 + 3 
8x = 8 
Agora podemos passar o 8, que está 
multiplicando o x, para o outro lado dividindo: 
x = 8/8 
x = 1 
Outra regra básica para o desenvolvimento 
das equações de primeiro grau determina o 
seguinte: 
Se a parte da variável ou a incógnita da 
equação for negativa, devemos multiplicar 
todos os membros da equação por –1. Por 
exemplo: 
– 9x = – 90 . (-1) 
9x = 90 
x = 10 
Exercícios Resolvidos 
Exercício 1 
Ana nasceu 8 anos depois de sua irmã 
Natália. Em determinado momento da 
vida, Natália possuía o triplo da idade de 
Ana. Calcule a idade das duas nesse 
momento. 
Solução 
Para resolver esse tipo de problema, 
utiliza-se uma incógnita para estabelecer 
a relação de igualdade. 
Assim, denominemos a idade de Ana como 
o elemento x. Como Natália tem oito anos 
a mais que Ana, sua idade será igual a 
x+8. 
Por conseguinte, a idade de Ana vezes 3 
será igual à idade de Natália: 3x = x + 8 
Estabelecida essas relações, ao passar o x 
para o outro lado da igualdade, tem-se: 
3x - x = 8 
2x = 8 
x = 8/2 
x = 4 
Portanto, como x é a idade de Ana, 
naquele momento ela terá 4 anos. 
Enquanto isso, Natália terá 12 anos, o 
triplo da idade de Ana (8 anos a mais). 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
Questão 1 
(CEFET/RJ - 2º fase - 2016) Carlos e Manoela 
são irmãos gêmeos. A metade da idade de 
Carlos mais um terço da idade de Manoela é 
igual a 10 anos. Qual é a soma das idades dos 
dois irmãos? 
Questão 2 
(FAETEC - 2015) Um pacote do biscoito 
Saboroso custa R$ 1,25. Se João comprou 
N pacotes desse biscoito gastando R$ 
13,75, o valor de N é igual a: 
a) 11 
b) 12 
c) 13 
 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
Matemática 
16 
d) 14 
e) 15 
Questão 3 
(IFSC - 2018) Considere a equação 
 
 
 e assinale a alternativa CORRETA. 
a) É uma função do primeiro grau, sua solução 
é = −1 e seu conjunto solução é = {−1}. 
b) É uma equação racional,sua solução é = −4 
e seu conjunto solução é = {−4}. 
c) É uma equação do primeiro grau, sua 
solução é = +4 e seu conjunto solução é = ∅. 
d) É uma equação do segundo grau, sua 
solução é = −4 e seu conjunto solução é = 
{−4}. 
e) É uma equação do primeiro grau, sua 
solução é = −4 e seu conjunto solução é = 
{−4}. 
Questão 4 
(Colégio Naval - 2016) Na divisão exata do 
número k por 50, uma pessoa, distraidamente, 
dividiu por 5, esquecendo o zero e, dessa 
forma, encontrou um valor 22,5 unidades 
maior que o esperado. Qual o valor do 
algarismo das dezenas do número k? 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
GABARITO 
 
1) Resposta correta: 24 anos. 
Como Carlos e Manoela são gêmeos, suas 
idades são iguais. Vamos chamar essa 
idade de x e resolver a seguinte equação: 
 
Portanto, a soma das idades é igual a 12 + 12 
= 24 anos. 
 
 
2) Alternativa correta: a) 11. 
O valor gasto por João é igual ao número de 
pacotes que ele comprou vezes o valor de 1 
pacote, assim podemos escrever a seguinte 
equação: 
 
Portanto, o valor de N é igual a 11. 
 
3) Alternativa correta: e) 
 É uma equação do primeiro grau, sua 
solução é = −4 e seu conjunto solução é = 
{−4}. 
A equação indicada é uma equação do 
primeiro grau. Vamos resolver a equação 
indicada: 
 
 
Portanto, é uma equação do 
primeiro grau, sua solução é = −4 e seu 
conjunto solução é = {−4}. 
 
4) Alternativa correta: b) 2. 
Escrevendo as informações do problema 
na forma de equação, temos: 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
 
Matemática 
17 
 
 
Portanto, o valor do algarismo das dezenas do 
número k é 2. 
 
 
EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU 
 
A equação do segundo grau recebe esse 
nome porque é uma equação polinomial cujo 
termo de maior grau está elevado ao 
quadrado. Também chamada de equação 
quadrática, é representada por: 
 
Numa equação do 2º grau, o x é a incógnita e 
representa um valor desconhecido. Já as 
letras a, b e c são chamadas coeficientes da 
equação. 
Os coeficientes são números reais e o 
coeficiente a tem que ser diferente de zero, 
pois do contrário passa a ser uma equação do 
1º grau. 
Resolver uma equação de segundo grau, 
significa determinar os valores reais de x, que 
tornam a equação verdadeira. Esses valores 
são denominados raízes da equação. 
Uma equação do segundo grau possui no 
máximo duas raízes reais. 
Equações do 2º Grau Completas e 
Incompletas 
As equações do 2º grau completas são 
aquelas que apresentam todos os coeficientes, 
ou seja a, b e c são diferentes de zero (a, b, c ≠ 
0). 
 
 
Por exemplo, a equação 5x2 + 2x + 2 = 0 é 
completa, pois todos os coeficientes são 
diferentes de zero (a = 5, b = 2 e c = 2). 
Uma equação do segundo grau 
é incompleta quando b = 0 ou c = 0 ou b = c 
= 0. 
Exemplo 1 — equações do 2° grau 
incompletas 
 
 
Exemplo 2 
Determine os valores de x que tornam a 
equação 4x2 - 16 = 0 verdadeira. 
Solução: 
A equação dada é uma equação incompleta 
do 2º grau, com b = 0. Para equações deste 
tipo, podemos resolver, isolando o x. Assim: 
 
 
Note que a raiz quadrada de 4 pode ser 2 e - 
2, pois esses dois números elevados ao 
quadrado resultam em 4. 
Assim, as raízes da equação 4x2 - 16 = 0 são x 
= - 2 e x = 2 
Exemplo 3 
Encontre o valor do x para que a área do 
retângulo abaixo seja igual a 2. 
 
 
 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
Matemática 
18 
Solução: 
A área do retângulo é encontrada 
multiplicando-se a base pela altura. Assim, 
devemos multiplicar os valores dados e igualar 
a 2. 
(x - 2) . (x - 1) = 2 
Agora vamos multiplicar todos os termos: 
x . x - 1 . x - 2 . x - 2 . (- 1) = 2 
x2 - 1x - 2x + 2 = 2 
x2 - 3x + 2 - 2 = 0 
x2 - 3x = 0 
Após resolver as multiplicações e 
simplificações, encontramos uma equação 
incompleta do segundo grau, com c = 0. 
Esse tipo de equação pode ser resolvida 
através da fatoração, pois o x se repete em 
ambos os termos. Assim, iremos colocá-lo em 
evidência. 
x . (x - 3) = 0 
Para o produto ser igual a zero, ou x = 0 ou (x 
- 3) = 0. Contudo, substituindo x por zero, as 
medidas dos lados ficam negativas, portanto, 
esse valor não será resposta da questão. 
Então, temos que o único resultado possível é 
(x - 3) = 0. Resolvendo essa equação: 
x - 3 = 0 
x = 3 
Desta forma, o valor do x para que a área do 
retângulo seja igual a 2 é x = 3. 
Fórmula de Bhaskara 
Quando uma equação do segundo grau é 
completa, usamos a Fórmula de Bhaskara para 
encontrar as raízes da equação. 
A fórmula é apresentada abaixo: 
 
Fórmula do Delta 
Na fórmula de Bhaskara, aparece a letra 
grega Δ (delta), chamada discriminante da 
equação, pois conforme o seu valor é possível 
saber qual o número de raízes (soluções) que a 
equação terá. 
Para determinar o delta usamos a seguinte 
fórmula: 
 
Passo a Passo 
Para resolver uma equação do 2º grau, 
usando a fórmula de Bhaskara, devemos 
seguir os seguintes passos: 
1º Passo: Identificar os coeficientes a, b e c. 
Nem sempre os termos da equação aparecem 
na mesma ordem, portanto, é importante 
saber identificar os coeficientes, independente 
da sequência em que estão. 
O coeficiente a é o número que está junto ao 
x2, o b é o número que acompanha o x e o c é 
o termo independente, ou seja, o número que 
aparece sem o x. 
2º Passo: Calcular o delta. 
Para calcular as raízes é necessário conhecer o 
valor do delta. Para isso, substituímos as letras 
na fórmula pelos valores dos coeficientes. 
Podemos, a partir do valor do delta, saber 
previamente o número de raízes que terá a 
equação do 2º grau. Ou seja, se o valor de Δ 
for maior que zero (Δ > 0), a equação terá 
duas raízes reais e distintas. 
Se ao contrário, delta for menor que zero (Δ < 
0), a equação não apresentará raízes reais e se 
for igual a zero (Δ = 0), a equação 
apresentará somente uma raiz. 
3º Passo: Calcular as raízes. 
Se o valor encontrado para delta for negativo, 
não precisa fazer mais nenhum cálculo e a 
https://www.todamateria.com.br/fatoracao/
https://www.todamateria.com.br/formula-de-bhaskara/
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
 
Matemática 
19 
resposta será que a equação não possui raízes 
reais. 
Caso o valor do delta seja igual ou maior que 
zero, devemos substituir todas as letras pelos 
seus valores na fórmula de Bhaskara e calcular 
as raízes. 
Exemplo 4 
Determine as raízes da equação 2x2 - 3x - 5 = 
0 
Solução: 
Para resolver, primeiro devemos identificar os 
coeficientes, assim temos: 
 
a = 2 
b = - 3 
c = - 5 
Agora, podemos encontrar o valor do delta. 
Devemos tomar cuidado com as regras de 
sinais e lembrar que primeiro devemos 
resolver a potenciação e a multiplicação e 
depois a soma e a subtração. 
Δ = (- 3)2 - 4 . (- 5) . 2 = 9 +40 = 49 
Como o valor encontrado é positivo, 
encontraremos dois valores distintos para as 
raízes. Assim, devemos resolver a fórmula de 
Bhaskara duas vezes. Temos então: 
 
 
Assim, as raízes da equação 2x2 - 3x - 5 = 0 
são x = 5/2 e x = - 1. 
 
INEQUAÇÃO 
Inequação é uma sentença matemática que 
apresenta pelo menos um valor desconhecido 
(incógnita) e representa uma desigualdade. 
Nas inequações usamos os símbolos: 
 > maior que 
 < menor que 
 ≥ maior que ou igual 
 ≤ menor que ou igual 
Exemplos 
a) 3x - 5 > 62 
b) 10 + 2x ≤ 20 
Inequação do Primeiro Grau 
Uma inequação é do 1º grau quando o maior 
expoente da incógnita é igual a 1. Podem 
assumir as seguintes formas: 
 ax + b >0 
 ax + b < 0 
 ax + b ≥ 0 
 ax + b ≤ 0 
Sendo a e b números reais e a ≠ 0 
Resolução de uma inequação do primeiro 
grau. 
Para resolver uma inequação desse tipo, 
podemos fazer da mesma forma que fazemos 
nas equações. 
Contudo, devemos ter cuidado quando a 
incógnita ficar negativa. 
Nesse caso, devemos multiplicar por (-1) e 
inverter o símbolo da desigualdade. 
Exemplos 
a) Resolva a inequação 3x + 19 < 40 
Para resolver a inequação devemos isolaro x, 
passando o 19 e o 3 para o outro lado da 
desigualdade. 
Lembrando que ao mudar de lado devemos 
trocar a operação. Assim, o 19 que estava 
somando, passará diminuindo e o 3 que estava 
multiplicando passará dividindo. 
3x < 40 -19 
x < 21/3 
x < 7 
b) Como resolver a inequação 15 - 7x ≥ 2x - 
30? 
 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
Matemática 
20 
Quando há termos algébricos (x) dos dois 
lados da desigualdade, devemos juntá-los no 
mesmo lado. 
Ao fazer isso, os números que mudam de lado 
tem o sinal alterado. 
15 - 7x ≥ 2x - 30 
- 7x - 2 x ≥ - 30 -15 
- 9x ≥ - 45 
Agora, vamos multiplicar toda a inequação 
por (-1). Para tanto, trocamos o sinal de todos 
os termos: 
 
9x ≤ 45 (observe que invertemos o símbolo ≥ 
para ≤) 
x ≤ 45/9 
x ≤ 5 
Portanto, a solução dessa inequação é x ≤ 5. 
Resolução usando o gráfico da inequação 
Outra forma de resolver uma inequação é 
fazer um gráfico no plano cartesiano. 
No gráfico, fazemos o estudo do sinal da 
inequação identificando que valores 
de x transformam a desigualdade em uma 
sentença verdadeira. 
Para resolver uma inequação usando esse 
método devemos seguir os passos: 
1º) Colocar todos os termos da inequação em 
um mesmo lado. 
2º) Substituir o sinal da desigualdade pelo da 
igualdade. 
3º) Resolver a equação, ou seja encontrar sua 
raiz. 
4º) Fazer o estudo do sinal da equação, 
identificando os valores de x que representam 
a solução da inequação. 
Exemplo 
Resolva a inequação 3x + 19 < 40. 
Primeiro, vamos escrever a inequação com 
todos os termos de um lado da desigualdade: 
3x + 19 - 40 < 0 
3x - 21 < 0 
Essa expressão indica que a solução da 
inequação são os valores de x que tornam a 
inequação negativa (< 0) 
Encontrar a raiz da equação 3x - 21 = 0 
x = 21/3 
x = 7 (raiz da equação) 
Representar no plano cartesiano os pares de 
pontos encontrados ao substituir valores 
no x na equação. O gráfico deste tipo de 
equação é uma reta. 
 
Identificamos que os valores < 0 (valores 
negativos) são os valores de x < 7. O valor 
encontrado coincide com o valor que 
encontramos ao resolver diretamente (exemplo 
a, anterior). 
 
Inequação do Segundo Grau 
 
Uma inequação é do 2º grau quando o maior 
expoente da incógnita é igual a 2. Podem 
assumir as seguintes formas: 
 ax2 + bx + c > 0 
 ax2 + bx + c < 0 
 ax2 + bx + c ≥ 0 
 ax2 + bx + c ≤ 0 
Sendo a, b e c números reais e a ≠ 0 
Podemos resolver esse tipo de inequação 
usando o gráfico que representa a equação do 
2º grau para fazer o estudo do sinal, da 
mesma forma que fizemos no da inequação do 
1º grau. 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
 
Matemática 
21 
Lembrando que, nesse caso, o gráfico será 
uma parábola. 
Exemplo 
Resolver a inequação x2 - x - 6 < 0? 
Para resolver uma inequação do segundo grau 
é preciso encontrar valores cuja expressão do 
lado esquerdo do sinal < dê uma solução 
menor do que 0 (valores negativos). 
Primeiro, identifique os coeficientes: 
a = 1 
b = - 1 
c = - 6 
Utilizamos a fórmula de Bhaskara (Δ = b2 - 
4ac) e substituímos pelos valores dos 
coeficientes: 
Δ = (- 1)2 - 4 . 1 . (- 6) 
Δ = 1 + 24 
Δ = 25 
Continuando na fórmula de Bhaskara, 
substituímos novamente pelos valores dos 
nossos coeficientes: 
 
 
 
As raízes da equação são -2 e 3. Como o 
coeficiente a da equação do 2º grau é 
positivo, seu gráfico terá a concavidade 
voltada para cima. 
 
Pelo gráfico, observamos que os valores que 
satisfazem a inequação são: - 2 < x < 3 
Podemos indicar a solução usando a seguinte 
notação: 
 
Um número x que pertence ao conjunto dos 
números Reais, tal que, x seja maior que -2 e 
menor que 3. 
EXERCÍCIOS 
 
 
Questão 1 
Uma loja de utensílios domésticos oferece um 
conjunto de talheres por um preço que depende 
da quantidade comprada. Estas são as opções: 
Opção A: R$ 94,80 mais R$ 2,90 a unidade avulsa. 
Opção B: R$ 113,40 mais R$ 2,75 a unidade avulsa. 
A partir de quantos talheres avulsos comprados a 
opção A é menos vantajosa que a opção B. 
a) 112 
b) 84 
c) 124 
d) 135 
e) 142 
Questão 2 
Carlos está negociando um terreno com uma 
imobiliária. O terreno A, fica em uma esquina e 
possuí a forma de um triângulo. A imobiliária 
também está negociando uma faixa de terra na 
forma de um retângulo determinado pela 
seguinte condição: o cliente pode escolher a 
largura, mas o comprimento deverá possuir 
cinco vezes esta medida. 
 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
Matemática 
22 
 
A medida da largura do terreno B para que 
este tenha uma área maior que a do terreno A 
é 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
Questão 3 
Uma concessionária de automóveis 
decidiu mudar a política de 
pagamentos de seus vendedores. Estes 
recebiam um salário fixo por mês, e 
agora a empresa propõe duas formas 
de pagamentos. A opção 1 oferece um 
pagamento fixo de R$ 1 000,00 mais 
uma comissão de R$ 185,00 por carro 
vendido. A opção 2 oferece um salário 
de R$ 2 045,00 mais uma comissão de 
R$ 90,00 por carro vendido. A partir de 
quantos carros vendidos a opção 1 
passa a ser mais lucrativa que a opção 
2? 
a) 25 
b) 7 
c) 9 
d) 13 
e) 11 
 
GABARITO 
 
 
1) Resposta correta: c) 124. 
Ideia 1: escrever as funções do preço final em 
relação a quantidade de talheres comprados. 
Opção A: PA(n) = 94,8 + 2,90n 
Onde, PA é o preço final da opção A e n é o 
números de talheres avulsos. 
Opção B: PB(n) = 113,40 + 2,75n 
Onde, PB é o preço final da opção B e n é o 
números de talheres avulsos. 
Ideia 2: escrever a inequação comparando as 
duas opções. 
Como a condição é que A seja menos vantajosa, 
vamos escrever a inequação utilizando o sinal 
"maior que", que representará o número de 
talheres a partir do qual essa opção passa a ser 
mais cara. 
 
Isolando n do lado esquerdo da inequação e os 
valores numéricos do lado direito. 
 
 
Desse modo, a partir de 124 talheres, a opção 
A passa a ser menos vantajosa. 
 
2) Resposta correta: d) 4 
Ideia 1: área do terreno triangular. 
A área do triângulo é igual a medida da base 
multiplicada pela altura, dividido por dois. 
 
 
Ideia 2: área do terreno retangular em 
função da medida da largura. 
 
Ideia 3: inequação comparando as 
medidas dos terrenos A e B. 
Área do terreno B > Área do terreno A 
 
 
Conclusão 
O terreno A, retangular, passa a ter uma área 
maior que a do terreno B, triangular, para 
larguras maiores que 4 metros. 
 
 
 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
 
Matemática 
23 
3) Resposta correta: e) 11 
Ideia 1: escrever as fórmulas dos salários 
em função das quantidades de carros 
vendidos para as opções 1 e 2. 
Salário opção 1: 1 000 + 185n 
Salário opção 2: 2 045 + 90n 
Sendo n o número de carros vendidos. 
Ideia 2: escrever a inequação comparando 
as opções, utilizando o sinal de 
desigualdade "maior que". 
 
Conclusão 
A opção 1 passa a ser mais lucrativa para o 
vendedor a partir de 11 carros vendidos. 
 
 
 
3.Funções: função polinomial do 1º grau, função polinomial do 2º grau, 
função exponencial, função logarítmica, funções trigonométricas. 
 
FUNÇÃO POLINOMIAL 
As funções polinomiais são definidas por 
expressões polinomiais. Elas são representadas 
pela expressão: 
f(x) = an . x
n + an – 1 . x
n – 1 + ...+a2 . x
2 + a1 . x + 
a0 
onde, 
n: número inteiro positivo ou nulo 
x: variável 
a0, a1, ....an – 1, an: coeficientes 
an . xn, an – 1 . xn – 1, ... a1 . x , a0: termos 
Cada função polinomial associa-se a um único 
polinômio, sendo assim chamamos as funções 
polinomiais também de polinômios. 
 
 
Valor Numérico de um Polinômio 
 
Para encontrar o valor numérico de um 
polinômio, substituímos um valor 
numérico na variável x. 
Exemplo 
Qual o valor numérico de p(x) = 2x3 + x2 - 
5x - 4 para x = 3? 
Substituindo o valor na variável x temos: 
2 . 33 + 32 - 5 . 3 - 4 = 54 + 9 - 15 - 4 = 44 
 
 
 
 
 
 
Grau dos PolinômiosDependendo do expoente mais elevado 
que apresentam em relação à variável, os 
polinômios são classificados em: 
 Função polinomial de grau 1: f(x) = x + 
6 
 Função polinomial de grau 2: g(x) = 
2x2 + x - 2 
 Função polinomial de grau 3: h(x) = 
5x3 + 10x2 - 6x + 15 
 Função polinomial de grau 4: p(x) = 
20x4 - 15x3+ 5x2 + x - 10 
 Função polinomial de grau 5: q(x) = 
25x5 + 12x4 - 9x3 + 5x2 + x - 1 
Obs: o polinômio nulo é aquele que possui 
todos os coeficientes iguais a zero. Quando 
isso ocorre, o grau do polinômio não é 
definido. 
Gráficos da Função Polinomial 
Podemos associar um gráfico a uma função 
polinomial, atribuindo valores a x na 
expressão p(x). 
Desta forma, encontraremos os pares 
ordenados (x,y), que serão pontos 
pertencentes ao gráfico. 
Ligando esses pontos teremos o esboço do 
gráfico da função polinomial. 
 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
Matemática 
24 
 
Veja alguns exemplos de gráficos: 
Função polinomial de grau 1 
 
Função polinomial de grau 2 
 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
Função Exponencial é aquela que a variável 
está no expoente e cuja base é sempre maior 
que zero e diferente de um. 
Essas restrições são necessárias, pois 1 elevado 
a qualquer número resulta em 1. Assim, em 
vez de exponencial, estaríamos diante de uma 
função constante. 
Além disso, a base não pode ser negativa, nem 
igual a zero, pois para alguns expoentes a 
função não estaria definida. 
Por exemplo, a base igual a - 3 e o expoente 
igual a 1/2. Como no conjunto dos números 
reais não existe raiz quadrada de número 
negativo, não existiria imagem da função para 
esse valor. 
Exemplos: 
f(x) = 4x 
f(x) = (0,1)x 
f(x) = (⅔)x 
Nos exemplos acima 4, 0,1 e ⅔ são as bases, 
enquanto x é o expoente. 
 
Gráfico da função exponencial 
O gráfico desta função passa pelo ponto 
(0,1), pois todo número elevado a zero é 
igual a 1. Além disso, a curva exponencial 
não toca no eixo x. 
Na função exponencial a base é sempre 
maior que zero, portanto a função terá 
sempre imagem positiva. Assim sendo, não 
apresenta pontos nos quadrantes III e IV 
(imagem negativa). 
Abaixo representamos o gráfico da função exponencial. 
 
Função Crescente ou Decrescente 
A função exponencial pode ser crescente ou 
decrescente. 
Será crescente quando a base for maior que 1. 
Por exemplo, a função y = 2x é uma função 
crescente. 
Para constatar que essa função é crescente, 
atribuímos valores para x no expoente da 
função e encontramos a sua imagem. Os 
valores encontrados estão na tabela abaixo. 
 
Observando a tabela, notamos que quando 
aumentamos o valor de x, a sua imagem 
também aumenta. Abaixo, representamos o 
gráfico desta função. 
 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
 
Matemática 
25 
 
 
Por sua vez, as funções cujas bases são valores 
maiores que zero e menores que 1, são 
decrescentes. Por exemplo, f(x) = (1/2)x é uma 
função decrescente. 
Calculamos a imagem de alguns valores de x e 
o resultado encontra-se na tabela abaixo. 
 
Notamos que para esta função, enquanto os 
valores de x aumentam, os valores das 
respectivas imagens diminuem. Desta forma, 
constatamos que a função f(x) = (1/2)x é uma 
função decrescente. 
Com os valores encontrados na tabela, 
traçamos o gráfico dessa função. Note que 
quanto maior o x, mais perto do zero a curva 
exponencial fica. 
 
 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
A função logarítmica de base a é definida 
como f (x) = loga x, com a real, positivo e a ≠ 
1. A função inversa da função logarítmica é a 
função exponencial. 
O logaritmo de um número é definido como o 
expoente ao qual se deve elevar a base a para 
obter o número x, ou seja: 
 
Exemplos 
 f (x) = log3 x 
 g (x) = 
 h (x) = log10 x = log x 
Domínio da função logarítmica 
O domínio de uma função representa os 
valores de x onde a função é definida. No caso 
da função logarítmica, devemos levar em 
consideração as condições de existência 
do logaritmo. 
Portanto, o logaritmando deve ser positivo e a 
base também deve ser positiva e diferente de 
1. 
Exemplo 
Determine o domínio da função f (x) = log2 (x 
+ 3). 
Solução 
Para encontrar o domínio, devemos considerar 
que (x + 3) > 0, pela condição de existência do 
logaritmo. Resolvendo essa inequação, temos: 
x + 3 > 0 ⇒ x > - 3 
Assim, o domínio da função pode ser 
representado por: 
 
Gráfico da função logarítmica 
De uma forma geral, o gráfico da função y = 
loga x está localizado no I e IV quadrantes, pois 
a função só é definida para x > 0. 
Além disso, a curva da função logarítmica não 
toca o eixo y e corta o eixo x no ponto de 
abscissa igual a 1, pois y = loga1 = 0, para 
qualquer valor de a. 
Abaixo, apresentamos o esboço do gráfico da 
função logarítmica. 
https://www.todamateria.com.br/logaritmo/
 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
Matemática 
26 
 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
As funções trigonométricas, também 
chamadas de funções circulares, estão 
relacionadas com as demais voltas no ciclo 
trigonométrico. 
As principais funções trigonométricas são: 
 Função Seno 
 Função Cosseno 
 Função Tangente 
No círculo trigonométrico temos que cada 
número real está associado a um ponto da 
circunferência. 
 
Figura do Círculo Trigonométrico dos ângulos expressos em 
graus e radianos 
Funções Periódicas 
As funções periódicas são funções que 
possuem um comportamento periódico. Ou 
seja, que ocorrem em determinados intervalos 
de tempo. 
O período corresponde ao menor intervalo de 
tempo em que acontece a repetição de 
determinado fenômeno. 
Uma função f: A → B é periódica se existir um 
número real positivo p tal que 
f(x) = f (x+p), ∀ x ∈ A 
O menor valor positivo de p é chamado de 
período de f. 
Note que as funções trigonométricas são 
exemplos de funções periódicas visto que 
apresentam certos fenômenos periódicos. 
Função Seno 
A função seno é uma função periódica e seu 
período é 2π. Ela é expressa por: 
f(x) = sen x 
No círculo trigonométrico, o sinal da função 
seno é positivo quando x pertence ao primeiro 
e segundo quadrantes. Já no terceiro e quarto 
quadrantes, o sinal é negativo. 
 
 
 
Além disso, no primeiro e quarto quadrantes a 
função f é crescente. Já no segundo e terceiro 
quadrantes a função f é decrescente. 
O domínio e o contradomínio da função 
seno são iguais a R. Ou seja, ela está definida 
para todos os valores reais: Dom(sen)=R. 
Já o conjunto da imagem da função seno 
corresponde ao intervalo real [-1, 1]: -1 < sen 
x < 1. 
Em relação à simetria, a função seno é 
uma função ímpar: sen(-x) = -sen(x). 
O gráfico da função seno f(x) = sen x é uma 
curva chamada de senoide: 
 
Gráfico da função seno 
 
Função Cosseno 
 
A função cosseno é uma função periódica e 
seu período é 2π. Ela é expressa por: 
f(x) = cos x 
No círculo trigonométrico, o sinal da função 
cosseno é positivo quando x pertence ao 
primeiro e quarto quadrantes. Já no segundo e 
terceiro quadrantes, o sinal é negativo. 
 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
 
Matemática 
27 
 
 
Além disso, no primeiro e segundo 
quadrantes a função f é decrescente. Já no 
terceiro e quarto quadrantes a 
função f é crescente. 
O domínio e o contradomínio da função 
cosseno são iguais a R. Ou seja, ela está 
definida para todos os valores reais: 
Dom(cos)=R. 
Já o conjunto da imagem da função cosseno 
corresponde ao intervalo real [-1, 1]: -1 < cos 
x < 1. 
Em relação à simetria, a função cosseno é 
uma função par: cos(-x) = cos(x). 
O gráfico da função cosseno f(x) = cos x é 
uma curva chamada de cossenoide: 
 
 
Gráfico da função cosseno 
 
Função Tangente 
A função tangente é uma função periódica e 
seu período é π. Ela é expressa por: 
f(x) = tg x 
No círculo trigonométrico, o sinal da função 
tangente é positiva quando x pertence ao 
primeiro e terceiro quadrantes. Já no segundo 
e quarto quadrantes, o sinal é negativo.Além disso, a função f definida por f(x) = tg x é 
sempre crescente em todos os quadrantes do 
círculo trigonométrico. 
O domínio da função tangente é: 
Dom(tan)={x ∈ R│x ≠ de π/2 + kπ; K ∈ Z}. 
Assim, não definimos tg x, se x = π/2 + kπ. 
Já o conjunto da imagem da função tangente 
corresponde a R, ou seja, o conjunto dos 
números reais. 
Em relação à simetria, a função tangente é 
uma função ímpar: tg(-x) = -tg(x). 
O gráfico da função tangente f(x) = tg x é uma 
curva chamada de tangentoide: 
 
 
Gráfico da função tangente 
 
 
4.Trigonometria: triângulo retângulo, triângulos quaisquer, ciclo 
trigonométrico, relações entre arcos, equações e inequações. 
 
TRIÂNGULO RETÂNGULO 
O triângulo retângulo é uma figura 
geométrica formada por três lados. Ele possui 
um ângulo reto, cuja medida é de 90º, e dois 
ângulos agudos, menores que 90º. 
 
Representação de um triângulo retângulo 
 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
Matemática 
28 
 
Principais Características 
 
Lados do Triângulo Retângulo 
O lado oposto ao ângulo de 90º é 
chamado hipotenusa. Esse é o maior dos três 
lados da figura. 
Os demais lados são denominados de cateto 
adjacente e cateto oposto. 
Note que a hipotenusa no triângulo ABC 
acima, é representada como a (lado BC) e os 
catetos como b (lado AC) e c (lado AB). 
Em relação aos lados dos triângulos, temos a 
classificação: 
 Triângulo Equilátero: possui os três lados 
iguais. 
 Triângulo Isósceles: possui dois lados 
iguais, e um diferente. 
 Triângulo Escaleno: possui os três lados 
diferentes. 
Ângulos do Triângulo Retângulo 
Como ocorre em todos os triângulos, a soma 
dos ângulos internos do triângulo retângulo é 
de 180º. 
Os vértices dos ângulos são representados 
por (A), (B) e (C). Já o "h" é a altura relativa à 
hipotenusa. 
Portanto, conforme a figura acima temos: 
 A é um ângulo reto: 90º 
 B e C são ângulos agudos, ou seja, são 
menores que 90º 
Feita essa observação, o triângulo retângulo 
possui dois ângulos complementares, donde 
a soma dos dois ângulos medem 90º. 
A + B = 90°. 
Em relação aos ângulos internos dos 
triângulos, temos a classificação: 
 Triângulo Retângulo: possui um ângulo 
interno reto (90º). 
 Triângulo Acutângulo: todos os ângulos 
internos são agudos, ou seja, as medidas dos 
ângulos são menores que 90º. 
 Triângulo Obtusângulo: Um ângulo interno 
é obtuso, ou seja, possui um ângulo com 
medida maior do que 90º. 
Área do Triângulo Retângulo 
Para calcular a área de um 
triângulo retângulo, utiliza-se a seguinte 
expressão: 
 
Onde, 
A: área 
b: base 
h: altura 
Perímetro do Triângulo Retângulo 
O perímetro de uma figura geométrica, 
corresponde a soma de todos os lados. Ela é 
calculada pela seguinte fórmula: 
 
P = L+L+L 
ou 
P = 3L 
Onde, 
P: perímetro 
L: lados 
Trigonometria no Triângulo 
Retângulo 
 
A trigonometria é a área que estuda as 
relações existentes nos triângulos que possuem 
um ângulo reto (90º). As relações 
trigonométricas num triângulo retângulo são: 
https://www.todamateria.com.br/triangulo-equilatero/
https://www.todamateria.com.br/triangulo-isosceles/
https://www.todamateria.com.br/triangulo-escaleno/
https://www.todamateria.com.br/area-do-triangulo/
https://www.todamateria.com.br/area-do-triangulo/
https://www.todamateria.com.br/trigonometria/
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
 
Matemática 
29 
 
Seno 
 
 
Teorema de Pitágoras 
 
TEOREMA DE PITÁGORAS 
O Teorema de Pitágoras relaciona o 
comprimento dos lados do triângulo retângulo. 
Essa figura geométrica é formada por um 
ângulo interno de 90°, chamado de ângulo 
reto. 
O enunciado desse teorema é: 
"A soma dos quadrados de seus catetos 
corresponde ao quadrado de sua hipotenusa." 
Fórmula do teorema de Pitágoras 
Segundo o enunciado do Teorema de 
Pitágoras, a fórmula é representada da 
seguinte maneira: 
a2 = b2 + c2 
Sendo, 
a: hipotenusa 
b: cateto 
c: cateto 
 
A hipotenusa é o maior lado de um triângulo 
retângulo e o lado oposto ao ângulo reto. Os 
outros dois lados são os catetos. O ângulo 
formado por esses dois lados tem medida igual 
a 90º (ângulo reto). 
Identificamos ainda os catetos, de acordo com 
um ângulo de referência. Ou seja, o cateto 
poderá ser chamado de cateto adjacente ou 
cateto oposto. 
Quando o cateto está junto ao ângulo de 
referência, é chamado de adjacente, por outro 
lado, se está contrário a este ângulo, é 
chamado de oposto. 
 
Veja a seguir três exemplos de aplicações do 
teorema de Pitágoras para as relações 
métricas de um triângulo retângulo. 
Exemplo 1: calcular a medida da hipotenusa 
Se um triângulo retângulo apresenta 3 cm e 4 
cm como medidas dos catetos, qual a 
hipotenusa desse triângulo? 
 
Portanto, os lados do triângulo retângulo são 3 
cm, 4 cm e 5 cm. 
 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
Matemática 
30 
Exemplo 2: calcular a medida de um dos 
catetos 
Determine a medida de um cateto que faz 
parte de um triângulo retângulo, cuja 
hipotenusa é 20 cm e o outro cateto mede 16 
cm. 
 
Portanto, as medidas dos lados do triângulo 
retângulo são 12 cm, 16 cm e 20 cm. 
Exemplo 3: comprovar se um triângulo é 
retângulo 
Um triângulo apresenta os lados com medidas 
5 cm, 12 cm e 13 cm. Como saber se é um 
triângulo retângulo? 
Para provar que um triângulo retângulo é 
verdadeiro as medidas dos seus lados devem 
obedecer ao Teorema de Pitágoras. 
 
Como as medidas dadas satisfazem o teorema 
de Pitágoras, ou seja, o quadrado da 
hipotenusa é igual a soma do quadrado dos 
catetos, então podemos dizer que o triângulo é 
retângulo. 
Triângulo Pitagórico 
Quando as medidas dos lados de um triângulo 
retângulo são números inteiros positivos, o 
triângulo é chamado de triângulo pitagórico. 
Neste caso, os catetos e a hipotenusa são 
denominados de “terno pitagórico” ou “trio 
pitagórico”. Para verificar se três números 
formam um trio pitagórico, usamos a relação 
a2 = b2 + c2. 
O mais conhecido trio pitagórico é 
representado pelos números: 3, 4, 5. Sendo a 
hipotenusa igual a 5, o cateto maior igual a 4 
e o cateto menor igual a 3. 
 
 
Observe que a área dos quadrados desenhados 
em cada lado do triângulo relacionam-se tal 
como o teorema de Pitágoras: a área do 
quadrado no lado maior corresponde à soma 
das áreas dos outros dois quadrados. 
É interessante notar que, os múltiplos desses 
números também formam um terno 
pitagórico. Por exemplo, se multiplicarmos por 
3 o trio 3, 4 e 5, obtemos os números 9, 12 e 
15 que também formam um terno pitagórico. 
Além do terno 3, 4 e 5, existe uma infinidade 
de outros ternos. Como exemplo, podemos 
citar: 
 5, 12 e 13 
 7, 24, 25 
 20, 21 e 29 
 12, 35 e 37 
O Teorema de Pitágoras é, talvez, o mais 
importante da matemática. Esse teorema 
afirma que para qualquer triângulo retângulo, 
o quadrado da hipotenusa equivale à soma 
dos quadrados dos catetos. É representado da 
seguinte forma: 
https://www.todamateria.com.br/triangulo-retangulo/
https://www.todamateria.com.br/triangulo-retangulo/
https://www.todamateria.com.br/teorema-de-pitagoras/
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
 
Matemática 
31 
 
Exercícios de triângulo retângulo com gabarito. 
 
Exercício 1 
(Cesgranrio) Uma rampa plana, de 36 m de 
comprimento, faz ângulo de 30° com o plano 
horizontal. Uma pessoa que sobe a rampa inteira 
eleva-se verticalmente de: 
a) 6√3 m. 
b) 12 m. 
c) 13,6 m. 
d) 9√3 m. 
e) 18 m. 
Exercício 2 
(Enem-2013) As torres Puerta de Europa são duas 
torres inclinadas uma contra a outra, construídas 
numa avenida de Madri, na Espanha. 
A inclinação das torres é de 15° com a vertical e 
elas têm, cada uma, uma altura de 114 m (a altura 
é indicada na figura como o segmento AB). 
Estas torres são um bom exemplo de um prisma 
oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser 
observada na imagem. 
 
Utilizando 0,26 como valor aproximado paraa 
tangente de 15° e duas casas decimais nas 
operações, descobre-se que a área da base desse 
prédio ocupa na avenida um espaço 
a) menor que 100 m
2
. 
b) entre 100 m
2
 e 300 m
2
. 
c) entre 300 m
2
 e 500 m
2
. 
d) entre 500 m
2
 e 700 m
2
. 
e) maior que 700 m
2
. 
Exercício 3 
(UFAM) Se um cateto e a hipotenusa de um 
triângulo retângulo medem 2a e 4a, 
respectivamente, então a tangente do ângulo 
oposto ao menor lado é: 
a) 2√3 
b) √3/3 
c) √3/6 
d) √20/20 
e) 3√3 
GABARITO 
QUESTÃO 1 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
Matemática 
32 
QUESTÃO 2 
 
 
QUESTÃO 3 
 
 
 
 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
 
Matemática 
33 
triângulos quaisquer. 
 
 
Os problemas envolvendo trigonometria são resolvidos através da comparação com triângulos 
retângulos. Mas no cotidiano geralmente não encontramos tamanha facilidade, algumas 
situações envolvem triângulos acutângulos ou triângulos obtusângulos. Nesses casos 
necessitamos do auxílio da lei dos senos ou dos cossenos. 
 
 
CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO 
O Círculo Trigonométrico, também chamado de Ciclo ou Circunferência Trigonométrica, é uma 
representação gráfica que auxilia no cálculo das razões trigonométricas. 
 
Círculo trigonométrico e as razões trigonométricas 
De acordo com a simetria do círculo trigonométrico temos que o eixo vertical corresponde 
ao seno e o eixo horizontal ao cosseno. Cada ponto dele está associado aos valores dos ângulos. 
Ângulos Notáveis 
No círculo trigonométrico podemos representar as razões trigonométricas de um ângulo 
qualquer da circunferência. 
Chamamos de ângulos notáveis aqueles mais conhecidos (30°, 45° e 60°). As razões 
trigonométricas mais importantes são seno, cosseno e tangente: 
Relações Trigonométricas 30° 45° 60° 
Seno 1/2 √2/2 √3/2 
Cosseno √3/2 √2/2 1/2 
Tangente √3/3 1 √3 
 
Radianos do Círculo Trigonométrico 
A medida de um arco no círculo 
trigonométrico pode ser dada em grau (°) 
ou radiano (rad). 
 1° corresponde a 1/360 da circunferência. 
A circunferência é dividida em 360 partes 
iguais ligadas ao centro, sendo que cada 
uma delas apresenta um ângulo que 
corresponde a 1°. 
 1 radiano corresponde à medida de um 
arco da circunferência, cujo comprimento 
é igual ao raio da circunferência do arco 
que será medido. 
 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
Matemática 
34 
 
Figura do Círculo Trigonométrico dos ângulos expressos em 
graus e radianos 
Para auxiliar nas medidas, confira abaixo 
algumas relações entre graus e radianos: 
 π rad = 180° 
 2π rad = 360° 
 π/2 rad = 90° 
 π/3 rad = 60° 
 π/4 rad = 45° 
Obs: Se quiser converter essas unidades de 
medidas (grau e radiano) utiliza-se a regra 
de três. 
Exemplo: Qual a medida de um ângulo de 
30° em radianos? 
π rad -180° 
x – 30° 
x = 30° . π rad/180° 
x = π/6 rad 
Quadrantes do Círculo 
Trigonométrico 
Quando dividimos o círculo trigonométrico 
em quatro partes iguais, temos os quatro 
quadrantes que o constituem. Para 
compreender melhor, observe a figura 
abaixo: 
 
 1.° Quadrante: 0º 
 2.° Quadrante: 90º 
 3.° Quadrante: 180º 
 4.° Quadrante: 270º 
Círculo Trigonométrico e seus Sinais 
De acordo com o quadrante em que está 
inserido, os valores do seno, cosseno e 
tangente variam. 
Ou seja, os ângulos podem apresentar um 
valor positivo ou negativo. 
Para compreender melhor, veja a figura 
abaixo: 
 
Como Fazer o Círculo 
Trigonométrico? 
Para fazer um círculo trigonométrico, 
devemos construí-lo sobre o eixo de 
coordenadas cartesianas com centro em O. 
Ele apresenta um raio unitário e os quatro 
quadrantes. 
 
 
 
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
As relações trigonométricas são relações entre 
valores das funções trigonométricas de um 
mesmo arco. Essas relações também são 
chamadas de identidades trigonométricas. 
https://www.todamateria.com.br/regra-de-tres-simples-e-composta/
https://www.todamateria.com.br/regra-de-tres-simples-e-composta/
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
 
Matemática 
35 
Inicialmente a trigonometria tinha como 
objetivo o cálculo das medidas dos lados e 
ângulos dos triângulos. 
Nesse contexto, as razões trigonométricas sen 
θ , cos θ e tg θ são definidas como relações 
entre os lados de um triângulo retângulo. 
Dado um triângulo retângulo ABC com um 
ângulo agudo θ, conforme figura abaixo: 
 
Definimos as razões trigonométricas seno, 
cosseno e tangente em relação ao ângulo θ, 
como: 
 
Sendo, 
a: hipotenusa, ou seja, lado oposto ao ângulo 
de 90º 
b: cateto oposto ao ângulo θ 
c: cateto adjacente ao ângulo θ 
 
5. Sequências numéricas: progressão aritmética e progressão geométrica. 
 
 
SEQUÊNCIA NUMÉRICA 
Na matemática, a sequência numérica ou 
sucessão numérica corresponde a uma 
função dentro de um agrupamento de 
números. 
De tal modo, os elementos agrupados numa 
sequência numérica seguem uma sucessão, ou 
seja, uma ordem no conjunto. 
Classificação 
As sequências numéricas podem ser finitas ou 
infinitas, por exemplo: 
SF = (2, 4, 6, ..., 8) 
SI = (2,4,6,8...) 
Note que quando as sequências são infinitas, 
elas são indicadas pelas reticências no final. 
Além disso, vale lembrar que os elementos da 
sequência são indicados pela letra a. Por 
exemplo: 
1° elemento: a1 = 2 
4° elemento: a4 = 8 
O último termo da sequência é chamado de 
enésimo, sendo representado por an. Nesse 
caso, o an da sequência finita acima seria o 
elemento 8. 
Assim, podemos representá-la da seguinte 
maneira: 
SF = (a1, a2, a3,...,an) 
SI = (a1, a2, a3, an...) 
Lei de Formação 
A Lei de Formação ou Termo Geral é utilizada 
para calcular qualquer termo de uma 
sequência, expressa pela expressão: 
an = 2n
2 - 1 
Lei de Recorrência 
A Lei da Recorrência permite calcular qualquer 
termo de uma sequência numérica a partir de 
elementos antecessores: 
an = an-1, an-2,...a1 
 
 
https://www.todamateria.com.br/razoes-trigonometricas/
 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
Matemática 
36 
Progressões Aritméticas e 
Progressões Geométricas 
Dois tipos de sequências numéricas muito 
utilizadas na matemática são as progressões 
aritmética e geométrica. 
A progressão aritmética (PA) é uma 
sequência de números reais determinada por 
uma constante r (razão), a qual é encontrada 
pela soma entre um número e outro. 
A progressão geométrica (PG) é uma 
sequência numérica cuja razão (r) constante é 
determinada pela multiplicação de um 
elemento com o quociente (q) ou razão da PG. 
Para compreender melhor, veja abaixo os 
exemplos: 
PA = (4,7,10,13,16...an...) PA infinita de razão 
(r) 3 
PG (1, 3, 9, 27, 81, ...), PG crescente de razão (r) 
3 
 
A Progressão Aritmética (P.A.) é uma 
sequência de números onde a diferença entre 
dois termos consecutivos é sempre a mesma. 
Essa diferença constante é chamada de razão 
da P.A.. 
Sendo assim, a partir do segundo elemento da 
sequência, os números que surgem são 
resultantes da soma da constante com o valor 
do elemento anterior. 
Isso é o que a diferencia da progressão 
geométrica (P.G.), pois nesta, os números são 
multiplicados pela razão, enquanto na 
progressão aritmética, eles são somados. 
As progressões aritméticas podem apresentar 
um número determinado de termos (P.A. 
finita) ou um número infinito de termos (P.A. 
infinita). 
Para indicar que uma sequência continua 
indefinidamente utilizamos reticências, por 
exemplo: 
 a sequência (4, 7, 10, 13, 16, ...) é uma P.A. 
infinita. 
 a sequência (70, 60, 50, 40, 30, 20, 10) é uma 
P.A. finita. 
Cada termo de uma P.A. é identificado pela 
posição que ocupa na sequência e para 
representar cada termo utilizamos uma letra 
(normalmente a letra a) seguida de um 
número que indica sua posição na sequência. 
Por exemplo, o termo a4 na P.A (2, 4, 6, 8, 10) 
é o número 8, pois é o número que ocupa a 4ª 
posição na sequência. 
Classificação de uma P.A. 
De acordo com o valorda razão, as 
progressões aritméticas são classificadas em: 
 Constante: quando a razão for igual a zero. 
Por exemplo: (4, 4, 4, 4, 4...), sendo r = 0. 
 Crescente: quando a razão for maior que 
zero. Por exemplo: (2, 4, 6, 8,10...), sendo r = 
2. 
 Decrescente: quando a razão for menor que 
zero (15, 10, 5, 0, - 5,...), sendo r = - 5 
Propriedades da P.A. 
1ª propriedade: 
Em uma P.A. finita, a soma de dois termos 
equidistantes dos extremos é igual à soma dos 
extremos. 
Exemplo 
 
2ª propriedade: 
Considerando três termos consecutivos de uma 
P.A., o termo do meio será igual a média 
aritmética dos outros dois termos. 
https://www.todamateria.com.br/progressao-aritmetica/
https://www.todamateria.com.br/progressao-geometrica/
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
 
Matemática 
37 
Exemplo 
 
3ª propriedade: 
Em uma P.A. finita com número de termos 
ímpar, o termo central será igual a média 
aritmética entre termos equidistantes deste. 
Esta propriedade deriva da primeira. 
 
 
Fórmula do Termo Geral 
 
Onde, 
an: termo que queremos calcular 
a1: primeiro termo da P.A. 
n: posição do termo que queremos descobrir 
r: razão 
Explicação da fórmula 
Como a razão de uma P.A. é constante, 
podemos calcular seu valor a partir de 
quaisquer termos consecutivos, ou seja: 
 
Sendo assim, podemos encontrar o valor do 
segundo termo da P.A. fazendo: 
 
Para encontrar o terceiro termo utilizaremos o 
mesmo cálculo: 
 
Substituindo o valor de a2, que encontramos 
anteriormente, temos: 
 
Se seguirmos o mesmo raciocínio, podemos 
encontrar: 
 
Observando os resultados encontrados, 
notamos que cada termo será igual a soma do 
primeiro termo com a razão multiplicada pela 
posição anterior. 
Esse cálculo é expresso através da fórmula do 
termo geral da P.A., que nos permite conhecer 
qualquer elemento de uma progressão 
aritmética. 
Exemplo 
Calcule o 10° termo da P.A.: (26, 31, 36, 41, ...) 
Solução 
Primeiro, devemos identificar que: 
a1 = 26 
r = 31 - 26 = 5 
n = 10 (10º termo). 
Substituindo esses valores na fórmula do 
termo geral, temos: 
an = a1 + (n - 1) . r 
a10 = 26 + (10-1) . 5 
a10 = 26 + 9 .5 
a10 = 71 
Portanto, o décimo termo da progressão 
aritmética indicada é igual a 71. 
Fórmula do termo geral a partir de um 
termo k qualquer 
Muitas vezes, para definir um termo genérico 
qualquer, que chamamos de an, não temos o 
 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
Matemática 
38 
primeiro termo a1, mas conhecemos outro 
qualquer, que chamamos de ak. 
Podemos usar a fórmula do termo geral a 
partir de um termo k qualquer: 
 
Repare que a única diferença, foi a mudança 
do índice 1 na primeira fórmula, pelo k, na 
segunda. 
Sendo, 
an: o n-ésimo termo da P.A. (um termo numa 
posição n qualquer) 
ak: o k-ésimo termo de uma P.A. (um termo 
numa posição k qualquer) 
r: a razão 
Soma dos Termos de uma P.A. 
Para encontrar a soma dos termos de uma 
P.A. finita, basta utilizar a fórmula: 
 
Onde, 
Sn: soma dos n primeiros termos da P.A. 
a1: primeiro termo da P.A. 
an: ocupa a enésima posição na sequência 
(uma termo na posição n) 
n: posição do termo 
Exercício Resolvido 
Exercício 1 
PUC/RJ - 2018 
Sabendo que os números da sequência (y, 7, z, 15) 
estão em progressão aritmética, quanto vale a 
soma y + z? 
a) 20 
b) 14 
c) 7 
d) 3,5 
e) 2 
 
 
Exercício 2 
IFRS - 2017 
Na figura abaixo, temos uma sequência de 
retângulos, todos de altura a. A base do primeiro 
retângulo é b e dos retângulos subsequentes é o 
valor da base do anterior mais uma unidade de 
medida. Sendo assim, a base do segundo retângulo 
é b+1 e do terceiro b+2 e assim sucessivamente. 
 
Considere as afirmativas abaixo. 
I - A sequência das áreas dos retângulos é uma 
progressão aritmética de razão 1. 
II - A sequência das áreas dos retângulos é uma 
progressão aritmética de razão a. 
III - A sequência das áreas dos retângulos é uma 
progressão geométrica de razão a. 
IV - A área do enésimo retângulo (An) pode ser 
obtida pela fórmula An = a . (b + n - 1). 
Assinale a alternativa que contém a(as) 
afirmativa(s) correta(s). 
a) I. 
b) II. 
c) III. 
d) II e IV. 
e) III e IV. 
Exercício 3 
UERJ 
Admita a realização de um campeonato de futebol 
no qual as advertências recebidas pelos atletas são 
representadas apenas por cartões amarelos. Esses 
cartões são convertidos em multas, de acordo com 
os seguintes critérios: 
 Os dois primeiros cartões recebidos não geram 
multas; 
 O terceiro cartão gera multa de R$500,00. 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
 
Matemática 
39 
 Os cartões seguintes geram multas cujos valores 
são sempre acrescidos de R$500,00 em relação ao 
valor da multa anterior. 
No quadro, indicam-se as multas relacionadas aos 
cinco primeiros cartões aplicados a um atleta. 
Considere um atleta que tenha recebido 13 cartões 
amarelos durante o campeonato. O valor total, em 
reais, das multas geradas por todos esses cartões 
equivale a: 
 
a)30 000 
b)33 000 
c)36 000 
d)39 000 
 
GABARITO: 
 
 
1) Para encontrar o valor de z, podemos 
usar a propriedade que diz que quando 
temos três termos consecutivos o termo do 
meio será igual a média aritmética dos 
outros dois. Assim, temos: 
 
Sendo z igual a 11, então a razão será igual a: 
r = 11 - 7 = 4 
Desta forma, y será igual a: 
y = 7 - 4 = 3 
Portanto: 
y+z = 3 + 11 = 14 
Alternativa: b) 14 
 
2) Calculando a área dos retângulos, 
temos: 
A = a . b 
A1 = a . (b + 1) = a . b + a 
A2 = a . (b + 2) = a . b. + 2a 
A3 = a . (b + 3) = a . b + 3a 
Pelas expressões encontradas, notamos que a 
sequência forma uma P.A. de razão igual 
a a. Continuando a sequência, encontraremos 
a área do enésimo retângulo, que é dada por: 
An= a . b + (n - 1) .a 
An = a . b + a . n - a 
Colocando o a em evidência, temos: 
An = a (b + n - 1) 
Alternativa: d) II e IV. 
 
3) Resposta correta: b)33 000 
A partir do terceiro cartão amarelo, o valor da 
multa cresce em uma P.A. com razão de 
R$500,00. Considerando o primeiro termo, a1, 
com o valor do terceiro cartão, de R$500,00. 
Para determinar o valor total das multas, 
devemos utilizar a fórmula da soma dos 
termos da P.A. 
Como o atleta possui 13 cartões amarelos 
mas, os dois primeiros não geram multas, 
faremos uma P.A. de 13- 2 termos, ou seja, 11 
termos. 
Dessa forma, temos os seguintes valores: 
a1 = 500 
n = 11 
r = 500 
Para descobrir o valor do n-ésimo termo, a11, 
usamos a fórmula do termo geral. 
an = a1 + (n-1).r 
a21 = 500 +(11-1) x 500 
a21 = 500 + 10 x 500 
a21 = 5500 
Aplicando a fórmula da soma dos termos de 
uma P.A. 
 
 
 
 
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 
 
Progressão Geométrica (PG) corresponde a 
uma sequência numérica cujo quociente (q) ou 
razão entre um número e outro (exceto o 
primeiro) é sempre igual. 
Em outras palavras, o 
número multiplicado pela razão (q) 
estabelecida na sequência, corresponderá ao 
próximo número, por exemplo: 
PG: (2,4,8,16, 32, 64, 128, 256...) 
 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
Matemática 
40 
No exemplo acima, podemos constatar que na 
razão ou quociente (q) da PG entre os 
números, o número que multiplicado pela 
razão (q) determina seu consecutivo, é o 
número 2: 
2 . 2 = 4 
4 . 2 = 8 
8 . 2 = 16 
16 . 2 = 32 
32 . 2 = 64 
64 . 2 = 128 
128 . 2 = 256 
Vale lembrar que a razão de uma PG é 
sempre constante e pode ser qualquer 
número racional (positivos, negativos, frações) 
exceto o número zero (0). 
Classificação das Progressões 
Geométricas 
De acordo com o valor da razão (q), 
podemos dividir as Progressões Geométricas 
(PG) em 4 tipos: 
PG Crescente 
Na PG crescente a razão é sempre positiva (q 
> 0) formada por números crescentes, por 
exemplo: 
(1, 3, 9, 27, 81, ...), onde q = 3 
PG Decrescente 
Na PG decrescente, a razão é sempre positiva 
(q > 0) e diferente de zero (0) formada por 
números decrescentes.Ou seja, os números da sequência são sempre 
menores do que seus antecessores, por 
exemplo: 
(-1, -3, -9, -27, -81, ...) onde q = 3 
PG Oscilante 
Na PG oscilante, a razão é negativa (q < 0), 
formada por números negativos e positivos, 
por exemplo: 
(3,-6,12,-24,48,-96,192,-384,768,...), onde q = -
2 
PG Constante 
Na PG constante, a razão é sempre igual a 1 
formada pelos mesmos números a, por 
exemplo: 
(5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ...) onde q = 1 
Fórmula do Termo Geral 
Para encontrar qualquer elemento da PG, 
utiliza-se a expressão: 
an = a1 . q
(n-1) 
Onde: 
an: número que queremos obter 
a1: o primeiro número da sequência 
q(n-1): razão elevada ao número que queremos 
obter, menos 1 
Assim, para identificar o termo 20 de uma PG 
de razão q = 2 e número inicial 2, calcula-se: 
PG: (2,4,8,16, 32, 64, 128,...) 
a20 = 2 . 2
(20-1) 
a20 = 2 . 2
19 
a20 = 1048576 
Soma dos Termos da PG 
Para calcular a soma dos números 
presentes numa PG, utiliza-se a seguinte 
fórmula: 
 
onde: 
Sn: Soma dos números da PG 
a1: primeiro termo da sequência 
q : razão 
n: quantidade de elementos da PG 
Dessa forma, para calcular a soma dos 10 
primeiros termos da seguinte PG 
(1,2,4,8,16, 32,...): 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
 
Matemática 
41 
 
 
Curiosidade 
Como na PG, a Progressão Aritmética (PA), 
corresponde a uma sequência numérica cujo 
quociente (q) ou razão entre um número e outro 
(exceto o primeiro) é constante. A diferença é que 
enquanto na PG o número é multiplicado pela 
razão, na PA o número é somado. 
 
6. Matriz, determinante e sistemas lineares. 
 
MATRIZES E DETERMINANTES 
 
 
As Matrizes e os Determinantes são 
conceitos utilizados na matemática e em 
outras áreas como, por exemplo, da 
informática. 
São representadas na forma de tabelas que 
correspondem a união de números reais ou 
complexos, organizados em linhas e colunas. 
Matriz 
A Matriz é um conjunto de elementos 
dispostos em linhas e colunas. As linhas são 
representadas pela letra 'm' enquanto as 
colunas pela letra 'n', onde n ≥ 1 e m ≥ 1. 
Nas matrizes podemos calcular as quatro 
operações: soma, subtração, divisão e 
multiplicação: 
Exemplos: 
Uma matriz de ordem m por n (m x n) 
A = | 1 0 2 4 5| 
Logo, A é uma matriz de ordem 1 (com 1 
linha) por 5 (5 colunas) 
Lê-se Matriz de 1 x 5 
 
Logo B é uma matriz de ordem 3 (com 3 
linha) por 1 (1 colunas) 
Lê-se Matriz de 3 x 1 
Determinante 
O Determinante é um número associado a 
uma matriz quadrada, ou seja, uma matriz 
que apresenta o mesmo número de linhas e de 
colunas (m = n). 
Neste caso, é chamada de Matriz Quadrada de 
ordem n. Em outras palavras, toda matriz 
quadrada possui um determinante, seja ele um 
número ou uma função associado à ela: 
Exemplo: 
 
Assim, para calcular o Determinante da Matriz 
Quadrada: 
 Deve se repetir as 2 primeiras colunas 
 
 Encontrar as diagonais e multiplicar os 
elementos, não esquecendo de trocar o sinal 
no resultado da diagonal secundária: 
1. Diagonal principal (da esquerda para a 
direita): (1,-9,1) (5,6,3) (6,-7,2) 
https://www.todamateria.com.br/progressao-aritmetica/
https://www.todamateria.com.br/matrizes-resumo/
https://www.todamateria.com.br/determinantes/
 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
Matemática 
42 
2. Diagonal secundária (da direita para a 
esquerda): (5,-7,1) (1,6,2) (6,-9,3) 
Portanto, o Determinante da matriz 3x3 = 
182. 
Curiosidades 
 Pierre Frédéric Sarrus (1798-1861) foi um 
matemático francês que inventou um 
método para o encontrar os determinantes 
das matrizes quadradas de ordem 3 (3x3) 
conhecido como a "Regra de Sarrus". 
 O "Teorema de Laplace", um método para 
calcular o determinante de qualquer tipo de 
matriz quadrada, foi inventado pelo 
matemático e físico francês Pierre Simon 
Marquis de Laplace (1749-1827). 
 Os determinantes considerados nulos são 
aqueles em que a soma dos elementos de 
qualquer das diagonais seja igual a zero. 
 São tipos de Matrizes Quadradas: Matriz 
Identidade, Matriz Inversa, Matriz Singular, 
Matriz Simétrica, Matriz Positiva Definida e 
Matriz Negativa. Há também as matrizes 
transpostas e opostas. 
SISTEMAS LINEARES 
Sistemas Lineares são conjuntos de equações 
associadas entre elas que apresentam a 
forma a seguir: 
 
A chave do lado esquerdo é o símbolo usado 
para sinalizar que as equações fazem parte de 
um sistema. O resultado do sistema é dado 
pelo resultado de cada equação. 
Os coeficientes am, am2, am3, ... , an3, an2, an1 das 
incógnitas x1, xm2,xm3, ... , xn3, xn2, xn1 são 
números reais. 
Ao mesmo tempo, b também é um número 
real que é chamado de termo independente. 
Sistemas lineares homogêneos são aqueles 
cujo termo independente é igual a 0 (zero): 
a1x1 + a2x2 = 0. 
Portanto, aqueles que apresentam termo 
independente diferente de 0 (zero) indica que 
o sistema não é homogêneo: a1x1 + a2x2 = 3. 
Classificação 
Os sistemas lineares podem ser classificados 
conforme o número de soluções possíveis. 
Lembrando que a solução das equações é 
encontrada pela substituição das variáveis 
por valores. 
 Sistema Possível e Determinado (SPD): há 
apenas uma solução possível, o que 
acontece quando o determinante é 
diferente de zero (D ≠ 0). 
 Sistema Possível e Indeterminado (SPI): 
as soluções possíveis são infinitas. 
 Sistema Impossível (SI): não é possível 
apresentar qualquer tipo de solução. 
As matrizes associadas a um sistema linear 
podem ser completas ou incompletas. São 
completas as matrizes que consideram os 
termos independentes das equações. 
Os sistemas lineares são classificados como 
normais quando o número de equações é o 
mesmo que o número de incógnitas. Além 
disso, quando o determinante da matriz 
incompleta desse sistema não é igual a zero. 
 
 
7. Análise combinatória. 
 
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
A análise combinatória ou combinatória é a 
parte da Matemática que estuda métodos e 
técnicas que permitem resolver problemas 
relacionados com contagem. 
https://www.todamateria.com.br/matrizes-resumo/
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
 
Matemática 
43 
Muito utilizada nos estudos sobre 
probabilidade, ela faz análise das 
possibilidades e das combinações possíveis 
entre um conjunto de elementos. 
Princípio Fundamental da 
Contagem 
O princípio fundamental da 
contagem, também chamado de princípio 
multiplicativo, postula que: 
―quando um evento é composto por n 
etapas sucessivas e independentes, de tal 
modo que as possibilidades da primeira 
etapa é x e as possibilidades da segunda 
etapa é y, resulta no número total de 
possibilidades de o evento ocorrer, dado 
pelo produto (x) . (y)‖. 
Em resumo, no princípio fundamental da 
contagem, multiplica-se o número de 
opções entre as escolhas que lhe são 
apresentadas. 
Exemplo 
Uma lanchonete vende uma promoção de 
lanche a um preço único. No lanche, estão 
incluídos um sanduíche, uma bebida e uma 
sobremesa. São oferecidos três opções de 
sanduíches: hambúrguer especial, sanduíche 
vegetariano e cachorro-quente completo. 
Como opção de bebida pode-se escolher 2 
tipos: suco de maçã ou guaraná. Para a 
sobremesa, existem quatro opções: cupcake 
de cereja, cupcake de chocolate, cupcake de 
morango e cupcake de baunilha. 
Considerando todas as opções oferecidas, 
de quantas maneiras um cliente pode 
escolher o seu lanche? 
Solução 
Podemos começar a resolução do problema 
apresentado, construindo uma árvore de 
possibilidades, conforme ilustrado abaixo: 
 
Acompanhando o diagrama, podemos 
diretamente contar quantos tipos diferentes 
de lanches podemos escolher. Assim, 
identificamos que existem 24 combinações 
possíveis. 
Podemos ainda resolver o problema usando 
o princípio multiplicativo. Para saber quais 
as diferentes possibilidades de lanches, 
basta multiplicar o número de opções de 
sanduíches, bebidas e sobremesa. 
Total de possibilidades:3.2.4 = 24 
Portanto, temos 24 tipos diferentes de 
lanches para escolher na promoção. 
Tipos de Combinatória 
O princípio fundamental da contagem pode 
ser usado em grande parte dos problemas 
relacionados com contagem. Entretanto, em 
algumas situações seu uso torna a resolução 
muito trabalhosa. 
Desta maneira, usamos algumas técnicas 
para resolver problemas com determinadas 
características. Basicamente há três tipos de 
agrupamentos: arranjos, combinações e 
permutações. 
Antes de conhecermos melhor esses 
procedimentos de cálculo, precisamos 
definir uma ferramenta muito utilizada em 
problemas de contagem, que é o fatorial. 
O fatorial de um número natural é definido 
como o produto deste número por todos os 
seus antecessores. Utilizamos o 
símbolo ! para indicar o fatorial de um 
número. 
Define-se ainda que o fatorial de zero é 
igual a 1. 
https://www.todamateria.com.br/principio-fundamental-da-contagem/
https://www.todamateria.com.br/principio-fundamental-da-contagem/
https://www.todamateria.com.br/fatorial/
 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
Matemática 
44 
Exemplo 
O! = 1 
1! = 1 
3! = 3.2.1 = 6 
7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5 040 
10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 3 628 800 
Note que o valor do fatorial cresce 
rapidamente, conforme cresce o número. 
Então, frequentemente usamos 
simplificações para efetuar os cálculos de 
análise combinatória. 
Arranjos 
Nos arranjos, os agrupamentos dos 
elementos dependem da ordem e da 
natureza dos mesmos. 
Para obter o arranjo simples de n elementos 
tomados, p a p (p ≤ n), utiliza-se a seguinte 
expressão: 
 
Exemplo 
Como exemplo de arranjo, podemos pensar 
na votação para escolher um representante 
e um vice-representante de uma turma, com 
20 alunos. Sendo que o mais votado será o 
representante e o segundo mais votado o 
vice-representante. 
Dessa forma, de quantas maneiras distintas 
a escolha poderá ser feita? Observe que 
nesse caso, a ordem é importante, visto que 
altera o resultado final. 
 
Logo, o arranjo pode ser feito 
de 380 maneiras diferentes. 
Permutações 
As permutações são agrupamentos 
ordenados, onde o número de elementos (n) 
do agrupamento é igual ao número de 
elementos disponíveis. 
Note que a permutação é um caso especial 
de arranjo, quando o número de elementos 
é igual ao número de agrupamentos. Desta 
maneira, o denominador na fórmula do 
arranjo é igual a 1 na permutação. 
Assim a permutação é expressa pela 
fórmula: 
 
Exemplo 
Para exemplificar, vamos pensar de quantas 
maneiras diferentes 6 pessoas podem se 
sentar em um banco com 6 lugares. 
Como a ordem em que irão se sentar é 
importante e o número de lugares é igual ao 
número de pessoas, iremos usar a 
permutação: 
 
Logo, existem 720 maneiras diferentes para 
as 6 pessoas sentarem neste banco. 
Combinações 
As combinações são subconjuntos em que a 
ordem dos elementos não é importante, 
entretanto, são caracterizadas pela natureza 
dos mesmos. 
Assim, para calcular uma combinação 
simples de n elementos tomados p a p (p ≤ 
n), utiliza-se a seguinte expressão: 
 
Exemplo 
A fim de exemplificar, podemos pensar na 
escolha de 3 membros para formar uma 
comissão organizadora de um evento, 
dentre as 10 pessoas que se candidataram. 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
 
Matemática 
45 
De quantas maneiras distintas essa comissão 
poderá ser formada? 
Note que, ao contrário dos arranjos, nas 
combinações a ordem dos elementos não é 
relevante. Isso quer dizer que escolher 
Maria, João e José é equivalente à escolher 
João, José e Maria. 
 
Observe que para simplificar os cálculos, 
transformamos o fatorial de 10 em produto, 
mas conservamos o fatorial de 7, pois, desta 
forma, foi possível simplificar com o fatorial 
de 7 do denominador. 
Assim, existem 120 maneiras distintas 
formar a comissão. 
 
8.Probabilidade 
PROBABILIDADE 
A teoria da probabilidade é o campo da 
Matemática que estuda experimentos ou 
fenômenos aleatórios e através dela é possível 
analisar as chances de um determinado evento 
ocorrer. 
Quando calculamos a probabilidade, estamos 
associando um grau de confiança na 
ocorrência dos resultados possíveis de 
experimentos, cujos resultados não podem ser 
determinados antecipadamente. Probabilidade 
é a medida da chance de algo acontecer. 
Desta forma, o cálculo da probabilidade 
associa a ocorrência de um resultado a um 
valor que varia de 0 a 1 e, quanto mais 
próximo de 1 estiver o resultado, maior é a 
certeza da sua ocorrência. 
Por exemplo, podemos calcular a 
probabilidade de uma pessoa comprar um 
bilhete da loteria premiado ou conhecer as 
chances de um casal ter 5 filhos, todos 
meninos. 
Experimento Aleatório 
Um experimento aleatório é aquele que não é 
possível conhecer qual resultado será 
encontrado antes de realizá-lo. 
Os acontecimentos deste tipo quando 
repetidos nas mesmas condições, podem dar 
resultados diferentes e essa inconstância é 
atribuída ao acaso. 
Um exemplo de experimento aleatório é jogar 
um dado não viciado (dado que apresenta 
uma distribuição homogênea de massa) para 
o alto. Ao cair, não é possível prever com total 
certeza qual das 6 faces estará voltada para 
cima. 
Fórmula da Probabilidade 
Em um fenômeno aleatório, as possibilidades 
de ocorrência de um evento são igualmente 
prováveis. 
Sendo assim, podemos encontrar a 
probabilidade de ocorrer um determinado 
resultado através da divisão entre o número de 
eventos favoráveis e o número total de 
resultados possíveis: 
 
Sendo: 
P(A): probabilidade da ocorrência de um 
evento A. 
n(A): número de casos favoráveis ou, que nos 
interessam (evento A). 
n(Ω): número total de casos possíveis. 
 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
Matemática 
46 
O resultado calculado também é conhecido 
como probabilidade teórica. 
Para expressar a probabilidade na forma de 
porcentagem, basta multiplicar o resultado por 
100. 
Exemplo 1 
Se lançarmos um dado perfeito, qual a 
probabilidade de sair um número menor que 
3? 
Resolução 
Sendo o dado perfeito, todas as 6 faces têm a 
mesma chance de caírem voltadas para cima. 
Vamos então, aplicar a fórmula da 
probabilidade. 
Para isso, devemos considerar que temos 6 
casos possíveis (1, 2, 3, 4, 5, 6) e que o evento 
"sair um número menor que 3" tem 2 
possibilidades, ou seja, sair o número 1 ou 2. 
Assim, temos: 
 
Para responder na forma de uma 
porcentagem, basta multiplicar por 100 
 
Portanto, a probabilidade de sair um número 
menor que 3 é de 33%. 
Exemplo 2 
O baralho de cartas é formado por 52 cartas 
divididas em quatro naipes (copas, paus, ouros 
e espadas) sendo 13 de cada naipe. Dessa 
forma, se retirar uma carta ao acaso, qual a 
probabilidade de sair uma carta do naipe de 
paus? 
Solução 
Ao retirar uma carta ao acaso, não podemos 
prever qual será esta carta. Sendo assim, esse é 
um experimento aleatório. 
Neste caso, temos 13 cartas de paus que 
representam o número de casos favoráveis. 
Substituindo esses valores na fórmula da 
probabilidade, temos: 
 
 
Ou, multiplicando o resultado por 100: 
 
Ponto Amostral 
Ponto amostral é cada resultado possível 
gerado por um experimento aleatório. 
Exemplo 
Seja o experimento aleatório lançar uma 
moeda e verificar a face voltada para cima, 
temos os pontos amostrais cara e coroa. Cada 
resultado é um ponto amostral. 
Espaço Amostral 
Representado pela letra Ω(ômega), o espaço 
amostral corresponde ao conjunto de todos os 
pontos amostrais, ou , resultados possíveis 
obtidos a partir de um experimento aleatório. 
Por exemplo, ao retirar ao acaso uma carta de 
um baralho, o espaço amostral corresponde às 
52 cartas que compõem este baralho. 
Da mesma forma, o espaço amostral ao lançar 
uma vez um dado, são as seis faces que o 
compõem: 
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
A quantidade de elementos em um conjunto 
chama-se cardinalidade, expressapela letra n 
seguida do símbolo do conjunto entre 
parênteses. 
Assim, a cardinalidade do espaço amostral do 
experimento lançar um dado é n(Ω)=6. 
Espaço Amostral Equiprovável 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
 
Matemática 
47 
Equiprovável significa mesma probabilidade. 
Em um espaço amostral equiprovável, cada 
ponto amostral possui a mesma probabilidade 
de ocorrência. 
Exemplo 
Em uma urna com 4 esferas de cores: amarela, 
azul, preta e branca, ao sortear uma ao acaso, 
quais as probabilidades de ocorrência de cada 
uma ser sorteada? 
Sendo experimento honesto, todas as cores 
possuem a mesma chance de serem sorteadas. 
Tipos de Eventos 
Evento é qualquer subconjunto do espaço 
amostral de um experimento aleatório. 
Evento certo 
O conjunto do evento é igual ao espaço 
amostral. 
Exemplo 
Em uma delegação feminina de atletas, uma 
ser sorteada ao acaso e ser mulher. 
Evento impossível 
O conjunto do evento é vazio. 
Exemplo 
Imagine que temos uma caixa com bolas 
numeradas de 1 a 20 e que todas as bolas são 
vermelhas. 
O evento "tirar uma bola vermelha" é um 
evento certo, pois todas as bolas da caixa são 
desta cor. Já o evento "tirar um número maior 
que 30", é impossível, visto que o maior 
número na caixa é 20. 
Evento complementar 
Os conjuntos de dois eventos formam todo o 
espaço amostral, sendo um evento 
complementar ao outro. 
Exemplo 
No experimento lançar uma moeda, o espaço 
amostral é Ω = {cara, coroa}. 
Seja o evento A sair cara, A={cara}, o evento B 
sair coroa é complementar ao evento A, pois, 
B={coroa}. Juntos formam o próprio espaço 
amostral. 
Evento mutuamente exclusivo 
Os conjuntos dos eventos não possuem 
elementos em comum. A intersecção entre os 
dois conjuntos é vazia. 
Exemplo 
Seja o experimento lançar um dado, os 
seguintes eventos são mutuamente exclusivos 
A: ocorrer um número menor que 5, A={1, 2, 3, 
4} 
B: ocorrer um número maior que 5, A={6} 
Probabilidade Condicional 
A probabilidade condicional relaciona as 
probabilidades entre eventos de um espaço 
amostral equiprovável. Nestas circunstâncias, 
a ocorrência do evento A, depende ou, está 
condicionada a ocorrência do evento B. 
A probabilidade do evento A dado o evento B é 
definida por: 
 Onde o 
evento B não pode ser vazio. 
Exemplo de caso de probabilidade 
condicional 
Em um encontro de colaboradores de uma 
empresa que atua na França e no Brasil, um 
sorteio será realizado e um dos colaboradores 
receberá um prêmio. Há apenas colaboradores 
franceses e brasileiros, homens e mulheres. 
Como evento de probabilidade condicional, 
podemos associar a probabilidade de sortear 
uma mulher (evento A) dado que seja francesa 
(evento B). 
Neste caso, queremos saber a probabilidade de 
ocorrer A (ser mulher), apenas se for francesa 
(evento B). 
 
 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
Matemática 
48 
 
 
9.Estatística. 
 
 
ESTATÍSTICA 
Estatística é uma ciência que estuda a 
coleta, a organização, a análise e registro de 
dados por amostras. 
Utilizada desde a Antiguidade, quando se 
registravam os nascimentos e as mortes das 
pessoas, é um método de pesquisa 
fundamental para tomar decisões. Isso 
porque fundamenta suas conclusões nos 
estudos realizados. 
Fases do método estatístico 
Para tanto, as fases do método estatístico 
são: 
1. Definição do problema: determinar como a 
recolha de dados pode solucionar um 
problema 
2. Planejamento: elaborar como fazer o 
levantamento dos dados 
3. Coleta de dados: reunir dados após o 
planeamento do trabalho pretendido, bem 
como definição da periodicidade da coleta 
(contínua, periódica, ocasional ou indireta) 
4. Correção dos dados coletados: conferir 
dados para afastar algum erro por parte da 
pessoa que os coletou 
5. Apuração dos dados: organização e 
contagem dos dados 
6. Apresentação dos dados: montagem de 
suportes que demonstrem o resultado da 
coleta dos dados (gráficos e tabelas) 
7. Análise dos dados: exame detalhado e 
interpretação dos dados 
Aliada à probabilidade, pode ser aplicada 
nas mais diversas áreas. São exemplos a 
análise dos dados sociais, econômicos e 
demográficos. É o que faz o IBGE - Instituto 
Brasileiro de Geografia e Estatística. 
O IBGE é o órgão que fornece ao nosso país 
os dados necessários para a definição do 
modelo de planejamento mais adequado 
nas políticas públicas. 
As Três Áreas da Estatística 
As fases do método estatístico fazem parte 
de três áreas da estatística: 
Amostragem — A definição do problema, o 
planejamento da pesquisa, a coleta e 
correção dos dados fazem parte desta área. 
A definição da amostra é uma parte de 
fundamental importância para o sucesso da 
pesquisa. A amostra deve ser diversificada e 
representativa. Uma amostra ruim irá 
interferir nos resultados de forma não 
satisfatória. 
Estatística Descritiva — Os dados coletados 
são organizados e diversas medidas são 
computadas, como as de tendência central 
(médias) ou variabilidade (desvios, 
amplitude…). As tabelas de frequência são 
ferramentas úteis para organização dos 
dados, assim como os gráficos que ilustram 
e facilitam a leitura das informações. 
Inferência Estatística — Os dados são 
transformados em informação através das 
análises e afirmações fornecidas aos 
questionamentos da pesquisa. A margem de 
erro também é anunciada. 
Conceitos da Estatística 
População 
A população é o conjunto de todos os 
elementos de que se pretende conhecer 
alguma questão, como uma preferência, 
uma tendência ou determinadas 
características. Ela é o objeto de trabalho da 
pesquisa estatística. São destes elementos 
que a pesquisa estatística pretende levantar 
dados e informações. 
https://www.todamateria.com.br/probabilidade/
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
 
Matemática 
49 
Amostra e Pesquisa Amostral 
A amostra é uma fração da população 
estudada, é um subconjunto. A amostra 
deve representar a população o melhor 
possível e, para isso, a diversidade dos 
elementos da amostra é importante. Caso a 
amostra não seja representativa, as 
informações da pesquisa podem ser 
comprometidas. 
Na pesquisa amostral apenas os indivíduos 
da amostra fornecem dados sobre a 
população. A partir dos dados coletados, 
são realizadas análises que pretendem 
descrever o comportamento e as 
características de toda a população. 
Pesquisa Censitária 
A pesquisa censitária recolhe dados de 
todos os elementos da população. Na 
pesquisa censitária é conhecido as 
características de cada membro da 
população. Caso a população seja muito 
grande, a pesquisa irá requerer maior tempo 
e investimento. Em casos em que o tamanho 
da população é demasiado grande, por 
vezes opta-se por pesquisas amostrais. 
Variável 
Variável em uma pesquisa é cada pergunta 
feita ao entrevistado, ou cada informação e 
aspecto que se pretenda conhecer da 
população. As variáveis se dividem em 
qualitativas e quantitativas. 
Variáveis qualitativas — se referem a 
qualidades ou características, físicas ou 
psicológicas não contáveis. As variáveis 
qualitativas também se destinam a 
investigar comportamentos, intenções e 
preferências. 
São exemplos de variáveis qualitativas: 
intenção de voto, sexo, endereço, curso que 
frequenta, estilo musical preferido, entre 
outras. 
Variáveis quantitativas — associam um 
número, uma medida à informação. 
Expressam quantidade e contagem. 
São exemplos de variáveis quantitativas: 
massa, idade, renda, tempo de uso de 
aparelhos eletrônicos, quantidade de 
produtos consumidos, entre outras. 
Tabelas de Frequência 
As tabelas de frequência são um 
instrumento utilizado para organizar dados. 
Nas tabelas, as variáveis e o número de 
vezes que ocorrem na pesquisa são 
dispostos em linhas e colunas. A função de 
uma tabela de frequência é facilitar a leitura 
e o entendimento dos dados. 
A frequência absoluta (Fa) é o númerode 
vezes que ocorreu aquela variável ou, o 
número de vezes que alguém respondeu 
aquela informação. 
A frequência relativa (Fr), é a relação entre a 
frequência absoluta e o número total de 
dados daquela variável. Geralmente 
apresentada em porcentagem. 
Exemplo 
Variável 
Frequência 
Absoluta 
Frequência 
Relativa 
Cachorro 39 
39/60 = 0,65 ou 
65% 
Gato 21 
21/60 = 0,35 ou 
35% 
Total 60 1 ou 100% 
 
Curiosidades 
A palavra estatística, do latim status + 
pseudo prefixo latino -isticum, relaciona-e 
com ―estado‖. 
No início, a palavra era usada para se referir 
ao "cidadão político". Posteriormente, 
passou a ser utilizada em alemão com o 
sentido de "conjunto de dados do Estado", 
de onde decorre o seu significado desde o 
século XIX. 
 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
Matemática 
50 
 
10. Matemática financeira: juros simples e compostos, descontos, 
taxas proporcionais. 
 
 
A matemática financeira é a área da 
matemática que estuda a equivalência de 
capitais no tempo, ou seja, como se comporta 
o valor do dinheiro no decorrer do tempo. 
Sendo um área aplicada da Matemática, 
estuda diversas operações ligadas ao dia a dia 
das pessoas. Por esse motivo, conhecer suas 
aplicações é fundamental. 
Como exemplos dessas operações podemos 
citar as aplicações financeiras, empréstimos, 
renegociação de dívidas, ou mesmo, tarefas 
simples, como calcular o valor de desconto 
num determinado produto. 
Conceitos Básicos da Matemática 
Financeira 
 
Capital (C) 
Representa o valor do dinheiro no momento 
atual. Este valor pode ser de um investimento, 
dívida ou empréstimo. 
Juros (J) 
Representam os valores obtidos pela 
remuneração de um capital. Os juros 
representam, por exemplo, o custo do dinheiro 
tomado emprestado. 
Ele pode também ser obtido pelo retorno de 
uma aplicação ou ainda pela diferença entre o 
valor à vista e a prazo em uma transação 
comercial. 
Montante (M) 
Corresponde ao valor futuro, ou seja, é o 
capital mais os juros acrescidos ao valor. 
Assim, M = C + J. 
Taxa de Juros (i) 
É o percentual do custo ou remuneração paga 
pelo uso do dinheiro. A taxa de juros está 
sempre associada a um certo prazo, que pode 
ser por exemplo ao dia, ao mês ou ao ano. 
 
Juros simples é um acréscimo calculado 
sobre o valor inicial de um aplicação 
financeira ou de uma compra feita a crédito, 
por exemplo. 
O valor inicial de uma dívida, empréstimo ou 
investimento é chamado de capital. A esse 
valor é aplicada uma correção, chamada de 
taxa de juros, que é expressa em porcentagem. 
Os juros são calculados considerando o 
período de tempo em que o capital ficou 
aplicado ou emprestado. 
Exemplo 
Um cliente de uma loja pretende comprar uma 
televisão, que custa 1000 reais à vista, em 5 
parcelas iguais. Sabendo que a loja cobra uma 
taxa de juros de 6% ao mês nas compras a 
prazo, qual o valor de cada parcela e o valor 
total que o cliente irá pagar? 
Quando compramos algo parcelado, os juros 
determinam o valor final que iremos pagar. 
Assim, se compramos uma televisão a prazo 
iremos pagar um valor corrigido pela taxa 
cobrada. 
Ao parcelamos esse valor em cinco meses, se 
não houvesse juros, pagaríamos 200 reais por 
mês (1000 divididos por 5). Mas foi acrescido 6 
% a esse valor, então temos: 
 
Desta forma, teremos um acréscimo de R$ 12 
ao mês, ou seja, cada prestação será de R$ 
212. Isso significa que, no final, pagaremos R$ 
60 a mais do valor inicial. 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
 
Matemática 
51 
Logo, o valor total da televisão a prazo é de 
R$1060. 
Fórmula: Como Calcular o Juros 
Simples? 
A fórmula para calcular os juros simples é 
expressa por: 
J = C . i . t 
Onde, 
J: juros 
C: capital 
i: taxa de juros. Para substituir na fórmula, a 
taxa deverá estar escrita na forma de número 
decimal. Para isso, basta dividir o valor dado 
por 100. 
t: tempo. A taxa de juros e o tempo devem se 
referir à mesma unidade de tempo. 
Podemos ainda calcular o montante, que é o 
valor total recebido ou devido, ao final do 
período de tempo. Esse valor é a soma dos 
juros com valor inicial (capital). 
Sua fórmula será: 
M = C + J → M = C + C . i . t 
Da equação acima, temos, portanto, a 
expressão: 
M = C . (1 + i . t) 
Exemplos 
1) Quanto rendeu a quantia de R$ 1200, 
aplicado a juros simples, com a taxa de 2% ao 
mês, no final de 1 ano e 3 meses? 
Sendo: 
C = 1200 
i = 2% ao mês = 0,02 
t = 1 ano e 3 meses = 15 meses (tem que 
transformar em meses para ficar na mesma 
unidade de tempo da taxa de juros. 
J = C . i . t = 1200 . 0,02 . 15 = 360 
Assim, o rendimento no final do período será 
de R$ 360. 
2) Um capital de R$ 400, aplicado a juros 
simples com uma taxa de 4% ao mês, resultou 
no montante de R$ 480 após um certo tempo. 
Qual foi o tempo da aplicação? 
Considerando, 
C = 400 
i = 4% ao mês = 0,04 
M = 480 
temos: 
 
 
 
Os Juros Compostos são calculados 
levando em conta a atualização do capital, ou 
seja, o juro incide não apenas no valor inicial, 
mas também sobre os juros acumulados (juros 
sobre juros). 
Esse tipo de juros, chamado também de 
“capitalização acumulada”, é muito utilizado 
nas transações comerciais e financeiras (sejam 
dívidas, empréstimos ou investimentos). 
Exemplo 
Uma aplicação de R$10.000, no regime de 
juros compostos, é feita por 3 meses a juros de 
10% ao mês. Qual o valor que será resgatado 
ao final do período? 
Mês Juros Valor 
1 
10% de 10000 
= 1000 
10000 + 1000 = 11000 
2 
10% de 11000 
= 1100 
11000 + 1100 = 12100 
 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
Matemática 
52 
Mês Juros Valor 
3 
10% de 12100 
= 1210 
12100 + 1210 = 13310 
Note que o juro é calculado usando o valor já 
corrigido do mês anterior. Assim, ao final do 
período será resgatado o valor de R$13.310,00. 
Para compreendermos melhor, é necessário 
conhecer alguns conceitos utilizados 
em matemática financeira. São eles: 
 Capital: valor inicial de uma dívida, 
empréstimo ou investimento. 
 Juros: valor obtido quando aplicamos a taxa 
sobre o capital. 
 Taxa de Juros: expressa em porcentagem (%) 
no período aplicado, que pode ser dia, mês, 
bimestre, trimestre ou ano. 
 Montante: o capital acrescido dos juros, ou 
seja, Montante = Capital + Juros. 
Fórmula: Como Calcular os Juros 
Compostos? 
Para calcular os juros compostos, utiliza-se a 
expressão: 
M = C (1+i)t 
Onde, 
M: montante 
C: capital 
i: taxa fixa 
t: período de tempo 
Para substituir na fórmula, a taxa deverá estar 
escrita na forma de número decimal. Para isso, 
basta dividir o valor dado por 100. Além disso, 
a taxa de juros e o tempo devem se referir à 
mesma unidade de tempo. 
Se pretendemos calcular somente os juros, 
aplicamos a seguinte fórmula: 
J = M - C 
Exemplos 
Para entender melhor o cálculo, vejamos 
abaixo exemplos sobre a aplicação dos juros 
compostos. 
1) Se um capital de R$500 é aplicado durante 
4 meses no sistema de juros compostos sob 
uma taxa mensal fixa que produz um 
montante de R$800, qual será o valor da taxa 
mensal de juros? 
Sendo: 
C = 500 
M = 800 
t = 4 
Aplicando na fórmula, temos: 
 
Uma vez que a taxa de juros é apresentada na 
forma de porcentagem, devemos multiplicar o 
valor encontrado por 100. Assim, o valor da 
taxa mensal de juros será de 12,5 % ao mês. 
2) Quanto receberá de juros, no fim de um 
semestre, uma pessoa que investiu, a juros 
compostos, a quantia de R$5.000,00, à taxa de 
1% ao mês? 
Sendo: 
C = 5000 
i = 1% ao mês (0,01) 
t = 1 semestre = 6 meses 
Substituindo, temos: 
M = 5000 (1 + 0,01)6 
M = 5000 (1,01)6 
M = 5000 . 1,061520150601 
M = 5307,60 
Para encontrar o valor dos juros devemos 
diminuir do montante o valor do capital, 
assim: 
J = 5307,60 - 5000 = 307,60 
O juro recebido será de R$ 307,60. 
3) Qual deve ser o tempo para que a quantia 
de R$20 000,00 gere o montante de R$ 21 
648,64,quando aplicado à taxa de 2% ao mês, 
no sistema de juros compostos? 
Sendo: 
C = 20000 
M = 21648,64 
i = 2% ao mês (0,02) 
https://www.todamateria.com.br/matematica-financeira-conceitos-formulas/
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
 
Matemática 
53 
Substituindo: 
 
O tempo deverá ser de 4 meses. 
 
 
 
 
 
Taxas proporcionais 
 
 Duas taxas de juros são consideradas 
proporcionais quando possuem períodos de 
capitalização diferente e se aplicadas sobre um 
mesmo montante inicial produzem um mesmo 
valor final. Importante lembrarmos que as taxas 
de juros proporcionais são aplicadas somente a 
capitalização ou juros simples (na capitalização 
composta é utilizada a taxa equivalente). Veja 
um exemplo simples: 
Uma taxa de capitalização simples de 12 % ao 
ano é equivalente a 1% ao mês. 
Taxa anual 12% / 12 Meses = 1% ao mês. 
Para a obtenção da taxa de juros proporcional é 
necessário apenas realizarmos a divisão pelo 
período que precisamos converter. 
 
 
 
11. Razão e proporção, regra de três, porcentagem, taxas de acréscimo 
e decréscimos, taxa de lucro ou margem sobre o preço de custo e sobre 
o preço de venda. 
 
 
Na matemática, a razão estabelece 
uma comparação entre duas 
grandezas, sendo o coeficiente entre dois 
números. 
Já a proporção é determinada 
pela igualdade entre duas razões, ou 
ainda, quando duas razões possuem o 
mesmo resultado. 
Note que a razão está relacionada com a 
operação da divisão. Vale lembrar que 
duas grandezas são proporcionais 
quando formam uma proporção. 
Ainda que não tenhamos consciência 
disso, utilizamos cotidianamente os 
conceitos de razão e proporção. Para 
preparar uma receita, por exemplo, 
utilizamos certas medidas proporcionais 
entre os ingredientes. 
Atenção! 
Para você encontrar a razão entre duas 
grandezas, as unidades de medida terão 
de ser as mesmas. 
Exemplos 
A partir das grandezas A e B temos: 
Razão: ou A : B, onde b≠0 
Proporção: , onde todos os 
coeficientes são ≠0 
Exemplo 1 
Qual a razão entre 40 e 20? 
 
Lembre-se que numa fração, o 
numerador é o número acima e o 
denominador, o de baixo. 
 
Se o denominador for igual a 100, temos 
uma razão do tipo porcentagem, também 
chamada de razão centesimal. 
https://www.todamateria.com.br/unidades-de-medida/
https://www.todamateria.com.br/fracoes/
https://www.todamateria.com.br/porcentagem/
 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
Matemática 
54 
 
Além disso, nas razões, o coeficiente que 
está localizado acima é chamado de 
antecedente (A), enquanto o de baixo é 
chamado de consequente (B). 
 
Exemplo 2 
Qual o valor de x na proporção abaixo? 
 
3 . 12 = x 
x = 36 
Assim, quando temos três valores 
conhecidos, podemos descobrir o quarto, 
também chamado de “quarta 
proporcional”. 
Na proporção, os elementos são 
denominados de termos. A primeira 
fração é formada pelos primeiros termos 
(A/B), enquanto a segunda são os 
segundos termos (C/D). 
Nos problemas onde a resolução é feita 
através da regra de três, utilizamos o 
cálculo da proporção para encontrar o 
valor procurado. 
Propriedades da Proporção 
1. O produto dos meios é igual ao 
produto dos extremos, por exemplo: 
 
Logo: 
A·D = B·C 
Essa propriedade é denominada 
de multiplicação cruzada. 
2. É possível trocar os extremos e os 
meios de lugar, por exemplo: 
 
 
é equivalente 
Logo, 
D. A = C . B 
 
 
 
REGRA DE TRÊS SIMPLES E 
COMPOSTA 
A regra de três é um processo 
matemático para a resolução de muitos 
problemas que envolvem duas ou 
mais grandezas diretamente ou 
inversamente proporcionais. 
Nesse sentido, na regra de três simples, 
é necessário que três valores sejam 
apresentados, para que assim, descubra o 
quarto valor. 
Em outras palavras, a regra de três 
permite descobrir um valor não 
identificado, por meio de outros três. 
A regra de três composta, por sua vez, 
permite descobrir um valor a partir de 
três ou mais valores conhecidos. 
Grandezas Diretamente 
Proporcionais 
Duas grandezas são diretamente 
proporcionais quando, o aumento de 
uma implica no aumento da outra na 
mesma proporção. 
Grandezas Inversamente 
Proporcionais 
Duas grandezas são inversamente 
proporcionais quando, o aumento de 
uma implica na redução da outra. 
 
Exercícios Regra de Três Simples 
 
Exercício 1 
Para fazer o bolo de aniversário 
utilizamos 300 gramas de chocolate. No 
entanto, faremos 5 bolos. Qual a 
quantidade de chocolate que 
necessitaremos? 
Inicialmente, é importante agrupar as 
grandezas da mesma espécie em duas 
colunas, a saber: 
1 bolo 300 g 
5 bolos x 
 Nesse caso, x é a nossa incógnita, ou 
seja, o quarto valor a ser descoberto. 
Feito isso, os valores serão multiplicados 
de cima para baixo no sentido contrário: 
https://www.todamateria.com.br/regra-de-tres-simples-e-composta/
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
 
Matemática 
55 
1x = 300 . 5 
1x = 1500 g 
Logo, para fazer os 5 bolos, precisaremos 
de 1500 g de chocolate ou 1,5 kg. 
Note que trata-se de um problema 
com grandezas diretamente 
proporcionais, ou seja, fazer mais 
quatro bolos, ao invés de um, aumentará 
proporcionalmente a quantidade de 
chocolate acrescentado nas receitas. 
 
Exercício 2 
Para chegar em São Paulo, Lisa demora 3 
horas numa velocidade de 80 km/h. 
Assim, quanto tempo seria necessário 
para realizar o mesmo percurso numa 
velocidade de 120 km/h? 
Da mesma maneira, agrupa-se os dados 
correspondentes em duas colunas: 
80 km/h 3 horas 
120 km/h x 
Observe que ao aumentar a velocidade, o 
tempo do percurso diminuirá e, portanto, 
tratam-se de grandezas inversamente 
proporcionais. 
Em outras palavras, o aumento de uma 
grandeza, implicará na diminuição da 
outra. Diante disso, invertemos os termos 
da coluna para realizar a equação: 
120 km/h 3 horas 
80 km/h x 
120x = 240 
x = 240/120 
x = 2 horas 
Logo, para fazer o mesmo trajeto 
aumentando a velocidade o tempo 
estimado será de 2 horas. 
Exercício Regra de Três 
Composta 
Para ler os 8 livros indicados pela 
professora para realizar o exame 
final, o estudante precisa estudar 6 
horas durante 7 dias para atingir sua 
meta. 
Porém, a data do exame foi 
antecipada e, portanto, ao invés de 7 
dias para estudar, o estudante terá 
apenas 4 dias. Assim, quantas horas 
ele terá de estudar por dia, para se 
preparar para o exame? 
Primeiramente, agruparemos numa 
tabela, os valores fornecidos acima: 
Livros Horas Dias 
8 6 7 
8 x 4 
 
Observe que ao diminuir o número de 
dias, será necessário aumentar o 
número de horas de estudo para a 
leitura dos 8 livros. 
Portanto, tratam-se de grandezas 
inversamente proporcionais e, por 
isso, inverte-se o valor dos dias para 
realizar a equação: 
Livros Horas Dias 
8 6 4 
8 x 7 
6/x = 8/8 . 4/7 
6/x = 32/56 = 4/7 
6/x = 4/7 
4 x = 42 
x = 42/4 
x = 10,5 horas 
Logo, o estudante precisará 
estudar 10,5 horas por dia, durante 
os 4 dias, a fim de realizar a leitura 
dos 8 livros indicados pela professora. 
 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
Matemática 
56 
PORCENTAGEM 
A Porcentagem ou Percentagem repres
enta uma razão cujo denominador é 
igual a 100 e indica uma comparação 
de uma parte com o todo. 
O símbolo % é usado para designar a 
porcentagem. Um valor em 
porcentagem, pode ainda ser expresso 
na forma de fração centesimal 
(denominador igual a 100) ou como 
um número decimal. 
Exemplo: 
 
Para facilitar o entendimento, veja a 
tabela abaixo: 
Porcentagem 
Razão 
Centesimal 
Número 
Decimal 
1% 1/100 0,01 
5% 5/100 0,05 
10% 10/100 0,1 
120% 120/100 1,2 
250% 250/100 2,5 
. 
Como Calcular a Porcentagem? 
Podemos utilizar diversas formas para 
calcular a porcentagem. Abaixo 
apresentamos três formas distintas: 
 regra de três 
 transformação da porcentagem em 
fração com denominador igual a 100 
 transformação da porcentagem em 
número decimal 
Devemosescolher a forma mais 
adequada conforme o problema que 
queremos resolver. 
Exemplo 1: 
Calcule 30% de 90 
Para usar a regra de três no problema, 
vamos considerar que 90 corresponde 
ao todo, ou seja, 100%. O valor que 
queremos encontrar chamaremos x. A 
regra de três será expressa como: 
 
 
Para resolver usando frações, primeiro 
temos que transformar a porcentagem 
em uma fração com denominador igual 
a 100: 
 
Podemos ainda transformar a 
porcentagem em número decimal: 
30% = 0,3 
0,3 . 90 = 27 
O resultado é o mesmo nas três formas, 
ou seja, 30% de 90 corresponde a 27. 
Exemplo 2: 
90 corresponde a 30% de qual valor? 
Note que nesse exemplo, já 
conhecemos o resultado da 
porcentagem e queremos conhecer o 
valor que corresponde ao todo (100%). 
Usando a regra de três, temos: 
 
 
Podemos ainda resolver o problema 
transformando a porcentagem em 
número decimal: 
30% = 0,3 
Então é só resolver a seguinte equação: 
 
Assim, 30% de 300 é igual a 90. 
3) 90 corresponde a quanto por cento 
de 360? 
Podemos resolver esse problema 
escrevendo na forma de fração: 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
 
Matemática 
57 
 
Ou ainda, podemos resolver usando 
regra de três: 
 
 
Desta forma, 90 corresponde a 25% de 
360. 
 
taxas de acréscimo e decréscimos, taxa 
de lucro ou margem sobre o preço de 
custo e sobre o preço de venda. 
 
"Utilizamos a porcentagem para fazer 
acréscimo (aumento ou inflação) ou 
decréscimo (redução, deflação ou 
desconto) e o símbolo que utilizamos 
para representá-la é o % (por cento). 
 
Quando determinado valor sofre 
acréscimo ou diminuição por mais de 
uma vez consecutiva podemos calcular 
a composição de porcentagem. Temos 
então que problemas relacionados à 
composição de porcentagem são 
resolvidos por meio do produto do 
fator de multiplicação. 
 
Esse fator é diferente para acréscimo 
ou decréscimo. No acréscimo, devemos 
somar 1 ao valor referente à taxa de 
aumento; já no decréscimo, temos que 
subtrair 1 da taxa de desconto. 
 
Exemplo: Fator multiplicativo para 
acréscimo: 
 
Um produto aumentou 20%. Qual o 
fator de multiplicação que representa 
esse acréscimo? 
 
Resposta 
 
Taxa de aumento: 20% = 20 = 0,20 = 
0,2 
 100 
 
Fator de multiplicação = 1 + taxa de 
aumento 
 
Fator de multiplicação = 1 + 0,2 
 
Fator de multiplicação = 1,2 
 
Exemplo: Fator multiplicativo para 
decréscimo: 
 
Um produto sofreu um desconto de 
20%. Qual o fator de multiplicação que 
representa esse decréscimo? 
 
Taxa de desconto: 20% = 20 = 0,20 = 
0,2 
 100 
 
Fator de multiplicação = 1 – taxa de 
desconto 
 
Fator de multiplicação = 1 – 0,2 
 
Fator de multiplicação = 0,8 
 
Agora que já sabemos como calcular o 
fator de multiplicação, vamos resolver 
dois problemas que possuem o cálculo 
da composição de porcentagem. 
 
Primeiro problema 
 
Encontre a taxa de aumento, por meio 
do cálculo da composição de 
porcentagem, de um produto que 
sofreu acréscimo de 30% e, em 
seguida, outro acréscimo de 45%. 
 
Resposta: 
 
Devemos calcular o fator de 
multiplicação referente a 30% e 45%. 
 
Taxa de aumento 30% = 30 = 0,3 
 100 
 
 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
Matemática 
58 
Taxa de aumento 45% = 45 = 0,45 
 100 
 
Fator de multiplicação para 30% = 1 + 
0,3 
Fator de multiplicação para 30% = 1,3 
 
Fator de multiplicação para 45% = 1 + 
0,45 
Fator de multiplicação para 45% = 1,45 
 
Cálculo da composição de 
porcentagem = 1,3 x 1,45 = 1,885 
 
Para sabermos a taxa de aumento que 
está embutida no valor da composição 
de porcentagem, faça:" 
"1,885 = 1 + 0,885 = 1 + taxa de 
aumento 
 
Taxa de aumento = 0,885 x 100 = 
88,5% 
 
Segundo problema 
 
Encontre a taxa de diminuição, por 
meio do cálculo da composição de 
porcentagem, de um produto que 
sofreu aumento de 25%, seguido de 
diminuição de 50%. 
 
Resposta: 
 
Taxa de aumento = 25% = 25 = 0,25 
 100 
 
Taxa de diminuição/desconto = 50% = 
50 = 0,5 
 
 100 
 
Fator de multiplicação para 25% = 1 + 
0,25 
Fator de multiplicação para 25% = 1,25 
 
Fator de multiplicação para 50% = 1 - 
0,5 
Fator de multiplicação para 50% = 0,5 
 
Cálculo da composição de 
porcentagem = 1,25 x 0,5 = 0,625 
 
Para sabermos a taxa de diminuição 
que está no valor da composição de 
porcentagem, faça: 
 
1 – 0,625 = 0,375, onde 0,375 
 
Taxa de diminuição = 0,375 x 100 = 
37,5% 
 
Terceiro problema 
 
Um produto sofre em janeiro uma 
inflação de 15% e em fevereiro, 20%. 
Qual a inflação total nesses dois 
meses? 
 
Resposta: 
 
No início de janeiro o produto custava 
x reais. Já no início de fevereiro custava 
x reais mais 15% de x. Podemos montar 
uma equação com essas informações. 
 
Primeira equação 
 
Primeira taxa de aumento = 15% = 
0,15 
 
y = x + 0,15x 
y = 1,15x 
 
Devemos montar outra equação, 
iremos obtê-la pensando no custo 
desse produto no início de março. 
 
Segunda taxa de aumento = 20% = 0,2 
 
z = y + 0,2y 
z = 1,2y 
 
Obtemos as seguintes equações: 
 
y = 1,15x 
z = 1,2y 
 
Pelo método da substituição de 
equações, temos que: 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
 
Matemática 
59 
 
z = 1,2y 
z = 1,2 . 1,15 x 
z = 1,38x 
 
Temos que 1,38 é o fator de 
multiplicação.Como a inflação é uma 
taxa de aumento/inflação, para obtê-la 
faça: 
 
1,38 = 1 + 0,38 = 1 + taxa de aumento 
 
Taxa de aumento/inflação = 0,38 x 100 
= 38% 
 
A resposta final para essa questão é: A 
inflação total desse produto foi de 
38%." 
TAXA DE LUCRO OU MARGEM SOBRE 
O PREÇO DE CUSTO E SOBRE O PREÇO 
DE VENDA. 
Margem de lucro é a porcentagem do 
preço de um produto ou serviço que 
corresponde ao lucro da empresa. 
Isto é: a porcentagem do resultado da 
subtração das despesas e dos custos do 
preço do produto ou serviço, em 
relação a esse preço. 
Ficou difícil de entender? 
Veja, a seguir, um exemplo de como 
calcular margem de lucro. Dessa forma, 
esse conceito ficará bem mais fácil de 
entender. 
 
Como calcular margem de 
lucro? 
Imagine uma empresa que vende um 
determinado produto (ou serviço) por 
R$ 200,00. 
Vamos dizer que o custo direto para 
fazer esse produto, seja de R$ 50,00. 
Isto é, os gastos que foram usados 
diretamente para se produzir o 
produto ou entregar o serviço, como 
matéria prima, por exemplo. 
Quanto às despesas, elas se referem 
aos outros gastos da empresa, como 
aluguéis, manutenção, segurança etc. 
que são rateados para se descobrir o 
quanto desse valor é ―gasto‖ para se 
fazer o produto ou entregar o serviço. 
Digamos que o valor dessas despesas 
também seja de R$ 50,00. 
Para saber como calcular a margem de 
lucro, você deve subtrair os gastos do 
preço final, dividir por esse mesmo 
preço final e multiplicar por 100. 
Vamos definir as seguintes notações, 
antes de vermos a fórmula para 
calcular a margem de lucro: 
 ML = Margem de Lucro 
 C = Custos 
 D = Despesas 
 P = Preço do produto ou serviço 
Com isso definido, a fórmula para 
calcular a margem de lucro é a 
seguinte: 
ML = {[P – (C + D)] / P]} x 100 
Vamos substituir os valores de nosso 
exemplo na fórmula? 
 ML = {[200 – (50 + 50)] / 200]} x 
100 
 ML = [200 – (100)] / 200] x 100 
 ML = (100 / 200) x 100 
 ML = 0,5 x 100 
 ML = 50% 
Ficou claro para você como calcular 
margem de lucro de um produto ou 
serviço? 
Então, confira este vídeo – com mais de 
400 mil visualizações – que também 
ensina como calcular a margem de 
lucro: 
Como saber se sua margem de 
lucro é boa? 
Aparentemente, 50% de margem de 
lucro parece algo bastante alto, não? 
Na verdade,a margem de lucro 
depende muito do ramo de atuação da 
empresa. 
Produtos de luxo costumam ter uma 
margem de lucro alta, enquanto 
produtos de uso diário tendem a ter 
uma margem de lucro menor. 
 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
Matemática 
60 
Portanto, dizer que 50% de margem de 
lucro é alto, vai depender de outros 
fatores que precisam ser analisados. 
 
 
 
 
12. Geometria plana: ângulos, polígonos, triângulos, quadriláteros, círculo, 
circunferência, polígonos regulares inscritos e circunscritos, Propriedades, 
perímetro e área. 
 
 
 
A geometria plana ou euclidiana é a parte da matemática que estuda as figuras que não possuem volume. 
A geometria plana também é chamada de euclidiana, uma vez que seu nome representa uma homenagem 
ao geômetra Euclides de Alexandria, considerado o “pai da geometria”. 
Curioso notar que o termo geometria é a união das palavras “geo” (terra) e “metria” (medida); assim, a 
palavra geometria significa a "medida de terra". 
 
Formas Geometricas 
 
triângulos 
No plano, triângulo (também aceito como trilátero) é a figura geométrica que ocupa o espaço interno 
limitado por três linhas retas que concorrem, duas a duas, em três pontos diferentes formando três lados e 
três ângulos internos que somam 180°. Também se pode definir um triângulo em superfícies gerais. Nesse 
caso, são chamados de triângulos geodésicos e têm propriedades diferentes. Também podemos dizer que 
o triângulo é a união de três pontos não-colineares (pertencente a um plano, em decorrência da definição 
dos mesmos), por três segmentos de reta. 
O triângulo é o único polígono que não possui diagonais e cada um de seus ângulos externos é 
suplementar do ângulo interno adjacente.O perímetro de um triângulo é a soma das medidas dos seus 
lados. Denomina-se a região interna de um triângulo de região convexa (curvado na face externa) e a 
região externa de região côncava (curvado na face interna). 
 
quadriláteros 
 
Um quadrado é um quadrilátero regular, ou seja, uma figura geométrica com quatro lados de mesmo 
comprimento e quatro ângulos retos (de 90º). Todo quadrado é também um retângulo e um losango. 
 
pentágonos 
Em geometria, pentágono é um polígono com cinco lados. A soma dos ângulos internos do pentágono é 
540º, ou seja, num pentágono regular cada ângulo interno tem a medida de 108º. O ângulo central de um 
pentágono regular mede 72°. 
 
 
 
 
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/45/Triangle_illustration.svg/450px-Triangle_illustration.svg.png
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3f/Carre.svg/334px-Carre.svg.png
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9b/Pentagon_Construction.png/571px-Pentagon_Construction.png
https://www.todamateria.com.br/euclides-de-alexandria/
http://pt.wikipedia.org/wiki/Reta
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/45/Triangle_illustration.svg/450px-Triangle_illustration.svg.png
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3f/Carre.svg/334px-Carre.svg.png
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9b/Pentagon_Construction.png/571px-Pentagon_Construction.png
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/45/Triangle_illustration.svg/450px-Triangle_illustration.svg.png
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http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9b/Pentagon_Construction.png/571px-Pentagon_Construction.png
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
 
Matemática 
61 
hexágonos 
Em geometria hexágono é um polígono com seis lados. Caso seja regular, pode ser decomposto em 6 
triângulos equiláteros. O hexágono possui 9 diagonais. 
 
cálculo de área e perímetro. 
Área e perímetro são duas medidas distintas, onde a área é a medida de uma superfície e o perímetro é a 
medida do comprimento de um contorno. 
 
 
 
O contorno do mapa do Brasil é o perímetro que determina sua área total. 
 
Perímetro 
O que é perímetro? E como o calculamos? 
 
Perímetro é a medida do comprimento de um contorno. 
 
Observe um campo de futebol, o perímetro dele é o seu contorno que está de vermelho. 
 
 
 
 
Pra fazermos o cálculo do perímetro devemos somar todos os seus lados: 
P = 100 + 70 + 100 + 70 
P = 340 m 
 
O perímetro da figura abaixo é o contorno dela, como não temos a medida de seus lados, para medir 
o seu perímetro devemos contorná-la com um barbante e depois esticá-lo e calcular a medida. 
 
 
 
 
Por exemplo: 
 
http://2.bp.blogspot.com/-Apim5aV53rY/UJK9KaJuExI/AAAAAAAAfew/nySm-CZJCKQ/s1600/hexagono+regular.jpg
http://2.bp.blogspot.com/-Apim5aV53rY/UJK9KaJuExI/AAAAAAAAfew/nySm-CZJCKQ/s1600/hexagono+regular.jpg
http://2.bp.blogspot.com/-Apim5aV53rY/UJK9KaJuExI/AAAAAAAAfew/nySm-CZJCKQ/s1600/hexagono+regular.jpg
http://2.bp.blogspot.com/-Apim5aV53rY/UJK9KaJuExI/AAAAAAAAfew/nySm-CZJCKQ/s1600/hexagono+regular.jpg
http://2.bp.blogspot.com/-Apim5aV53rY/UJK9KaJuExI/AAAAAAAAfew/nySm-CZJCKQ/s1600/hexagono+regular.jpg
 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
Matemática 
62 
 
 
O perímetro da figura é a soma de todos os seus lados: 
 
P = 10 + 8 + 3 + 1 + 2 + 7 + 2 +3 
 
P = 18 + 4 + 9 + 5 
 
P = 22 + 14 
 
P = 36 
 
A unidade de medida utilizada no cálculo do perímetro é a mesma unidade de medida de 
comprimento: metro, centímetro, quilômetro... 
 
Área 
 
Área é a medida de uma superfície. 
 
A área do campo de futebol é a medida de sua superfície (gramado). 
 
Se pegarmos outro campo de futebol e colocarmos em uma malha quadriculada, a sua área será 
equivalente à quantidade de quadradinho. Se cada quadrado for uma unidade de área: 
 
 
 
Veremos que a área do campo de futebol é 70 unidades de área. 
 
A unidade de medida da área é: m
2
 (metros quadrados), cm
2
 (centímetros quadrados), e outros. 
 
Se tivermos uma figura do tipo: 
 
 
Sua área será um valor aproximado. Cada é uma unidade, então a área aproximada dessa 
figura será de 4 unidades. 
 
No estudo da matemática calculamos áreas de figuras planas e para cada figura há uma fórmula pra 
calcular a sua área. 
 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
 
Matemática 
63 
 Circunferência e Círculo: comprimento da circunferência, área do círculo. 
Quando medimos os lados de uma região, estamos determinando o valor do seu perímetro. No caso das 
regiões circulares não podemos adotar tal metodologia, pois não podemos definir a medida dos lados desse 
tipo de região. Para determinar a medida do comprimento de uma região circular, utilizamos a medida de 
seu raio, mas somente isso não é suficiente. 
 
Devido à relação comprimento/diâmetro nas regiões circulares, conseguimos descobrir um valor constante, 
aproximadamente igual a 3,14. Esse número irracional ficou conhecido por “pi”, o qual é representado pelo 
símbolo π. Em qualquer região circular basta dividirmos o comprimento da mesma, pela medida do 
diâmetro, que encontraremos o valor correspondente a 3,14 aproximadamente. 
 
Com base nessa descoberta, o comprimento de uma região limitada por uma circunferência é calculada 
através da expressão matemática C = 2 * π * r. Por exemplo, se uma região circular possui raio medindo 8 
metros, seu comprimento será calculado da seguinte maneira: 
 
C = 2 * 3,14 * 8 
C = 50,24 m 
 
A descoberta desse número constante, relacionado às regiões circulares, é atribuída ao matemático grego 
Arquimedes. Na fórmula, temos que: 
 
C: comprimento da região circular 
π: aproximadamente igual a 3,14 
r: medida do raio da região circular 
 
 
 
13. Geometria espacial: poliedros, prismas, pirâmide, cilindro, cone esfera, 
elementos, classificação, áreas e volume.Paralelepípedo retângulo 
 Seja o paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c da figura: 
 
 Temos quatro arestas de medida a, quatro arestas de medida b e quatro arestas de medida c; as 
arestas indicadas pela mesma letra são paralelas. 
 
Diagonais da base e do paralelepípedo 
 Considere a figura a seguir: 
 
db = diagonal da base 
dp = diagonal do paralelepípedo 
 Na base ABFE, temos: 
 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
Matemática 
64 
 
 
 No triângulo AFD, temos: 
 
 
Área lateral 
 Sendo AL a área lateral de um paralelepípedo retângulo, temos: 
 
AL= ac + bc + ac + bc = 2ac + 2bc =AL = 2(ac + bc) 
 
Área total 
 Planificando o paralelepípedo, verificamos que a área total é a soma das áreas de cada par de faces 
opostas: 
 
AT= 2( ab + ac + bc) 
 
 
Volume 
 Por definição, unidade de volume é um cubo de aresta 1. Assim, considerando um paralelepípedo de 
dimensões 4, 2 e 2, podemos decompô-lo em 4 . 2 . 2 cubos de aresta 1: 
 
 Então, o volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c é dado por: 
V = abc 
 Como o produto de duas dimensões resulta sempre na área de uma face e como qualquer face pode 
ser considerada como base, podemos dizer que o volume do paralelepípedo retângulo é o produto da área 
da base AB pela medida da altura h: 
 
 
 
Cilindro 
 Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos, , um círculo R contido em e uma 
reta r que intercepta , mas não R: 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
 
Matemática 
65 
 
 Para cada ponto C da região R, vamos considerar o segmento , paralelo à reta r : 
 
 Assim, temos: 
 
 Chamamos de cilindro, ou cilindro circular, o conjunto de todos os segmentos congruentes e 
paralelos a r. 
 
Elementos do cilindro 
 Dado o cilindro a seguir, consideramos os seguintes elementos: 
 
 bases: os círculos de centro O e O'e raios r 
 altura: a distância h entre os planos 
 geratriz: qualquer segmento de extremidades nos pontos das circunferências das bases ( por 
exemplo, ) e paralelo à reta r 
 
Classificação do Cilindro 
 Um cilindro pode ser: 
 circular oblíquo: quando as geratrizes são oblíquas às bases; 
 circular reto: quando as geratrizes são perpendiculares às bases. 
 Veja: 
 
 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
Matemática 
66 
 O cilindro circular reto é também chamado de cilindro de revolução, por ser gerado pela rotação 
completa de um retângulo por um de seus lados. Assim, a rotação do retângulo ABCD pelo lado gera o 
cilindro a seguir: 
 
 A reta contém os centros das bases e é o eixo do cilindro. 
 
 
 
Secção 
 Secção transversal é a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano paralelo às bases. 
Todas as secções transversais são congruentes. 
 
 Secção meridiana é a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano que contém o eixo. 
 
 
Áreas 
 Num cilindro, consideramos as seguintes áreas: 
a) área lateral (AL) 
 Podemos observar a área lateral de um cilindro fazendo a sua planificação: 
 
 Assim, a área lateral do cilindro reto cuja altura é h e cujos raios dos círculos das bases são r é um 
retângulo de dimensões : 
 
 
b) área da base ( AB):área do círculo de raio r 
 
c) área total ( AT): soma da área lateral com as áreas das bases 
 
 
 Volume 
 Para obter o volume do cilindro, vamos usar novamente o princípio de Cavalieri. 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
 
Matemática 
67 
 Dados dois sólidos com mesma altura e um plano , se todo plano , paralelo ao plano , 
intercepta os sólidos e determina secções de mesma área, os sólidos têm volumes iguais: 
 
 
 
 Se 1 é um paralelepípedo retângulo, então V2 = ABh. 
 Assim, o volume de todo paralelepípedo retângulo e de todo cilindro é o produto da área da base pela 
medida de sua altura: 
Vcilindro = ABh 
 No caso do cilindro circular reto, a área da base é a área do círculo de raio r ; 
portanto seu volume é: 
 
 
 
Cilindro eqüilátero 
 Todo cilindro cuja secção meridiana é um quadrado ( altura igual ao diâmetro da base) é 
chamadocilindro eqüilátero. 
 
 
: 
Cone circular 
 Dado um círculo C, contido num plano , e um ponto V ( vértice) fora de , chamamos de cone 
circular o conjunto de todos os segmentos . 
 
 
Elementos do cone circular 
 Dado o cone a seguir, consideramos os seguintes elementos: 
 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
Matemática 
68 
 
 altura: distância h do vértice V ao plano 
 geratriz (g):segmento com uma extremidade no ponto V e outra num ponto da circunferência 
 raio da base: raio R do círculo 
 eixo de rotação:reta determinada pelo centro do círculo e pelo vértice do cone 
 
Cone reto 
 Todo cone cujo eixo de rotação é perpendicular à base é chamado cone reto, também denominadocone 
de revolução. Ele pode ser gerado pela rotação completa de um triângulo retângulo em torno de um de seus 
catetos. 
 
 Da figura, e pelo Teorema de Pitágoras, temos a seguinte relação: 
g
2
 = h
2
 + R
2
 
Secção meridiana 
 A secção determinada, num cone de revolução, por um plano que contém o eixo de rotação é 
chamada secção meridiana. 
 
 Se o triângulo AVB for eqüilátero, o cone também será eqüilátero: 
 
 
 
Áreas 
 Desenvolvendo a superfície lateral de um cone circular reto, obtemos um setor circular de raio g e 
comprimento : 
 
 Assim, temos de considerar as seguintes áreas: 
a) área lateral (AL): área do setor circular 
 
b) área da base (AB):área do circulo do raio R 
 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
 
Matemática 
69 
c) área total (AT):soma da área lateral com a área da base 
 
Volume 
 Para determinar o volume do cone, vamos ver como calcular volumes de sólidos de revolução. Observe 
a figura: 
 
d = distância do centro de 
gravidade (CG) da sua 
superfície ao eixo e 
S=área da superfície 
 Sabemos, pelo Teorema de Pappus - Guldin, que, quando uma superfície gira em torno de um eixo e, 
gera um volume tal que: 
 
 Vamos, então, determinar o volume do cone de revolução gerado pela rotação de um triângulo 
retângulo em torno do cateto h: 
 
 O CG do triângulo está a uma distância do eixo de rotação. Logo: 
 
 
 
14. Geometria analítica: ponto, reta e circunferência, Cônicas: elipse, hipérbole, 
parábola. 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
A Geometria Analítica estuda elementos 
geométricos em um sistema de coordenadas 
num plano ou espaço. Estes objetos 
geométricos são determinados por sua 
localização e posição em relação a pontos e 
eixos deste sistema de orientação. 
Desde povos da antiguidade, como egípcios 
e romanos, a ideia de coordenadas já 
aparece na história. Mas é no século XVII, 
com os trabalhos de René Descartes e Pierre 
de Fermat que este campo da Matemática 
se sistematiza. 
Sistema cartesiano ortogonal 
O Sistema Cartesiano Ortogonal é uma base 
de referência para localização de 
coordenadas. É constituído, em um plano, 
por dois eixos perpendiculares entre si. 
 
 A origem O(0,0) deste sistema é a 
intersecção destes eixos. 
 O eixo x é o das abscissas. 
 O eixo y é o das ordenadas. 
 Convenciona-se a orientação anti-horária 
dos quatro quadrantes. 
Par ordenado 
Um ponto qualquer no plano possui a 
coordenada P(x, y). 
 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
Matemática 
70 
 
x é a abscissa do ponto P e constitui a 
distância entre sua projeção ortogonal no 
eixo x até a origem. 
y é a ordenada do ponto P e constitui a 
distância entre sua projeção ortogonal no 
eixo y até a origem. 
Distância entre dois pontos 
A distância entre dois pontos no plano 
cartesiano é o comprimento do segmento 
que une estes dois pontos. 
Fórmula da distância entre dois pontos 
 quaisquer. 
 
 
Coordenadas do ponto médio 
Ponto médio é o ponto que divide um 
segmentoem duas partes de mesma 
medida. 
Sendo o ponto médio de um 
segmento , suas coordenadas são as 
médias aritméticas das abscissas e 
ordenadas. 
 
Condição de alinhamento de três 
pontos 
Dados os pontos: . 
 
Estes três pontos estarão alinhados se o 
determinante da seguinte matriz for igual a 
zero. 
 
Exemplo 
Coeficiente angular de uma reta 
O coeficiente angular de uma reta é a 
tangente de sua inclinação em relação 
ao eixo x. 
 
 
Para obter o coeficiente angular a partir de 
dois pontos: 
 
Se m > 0 a reta é ascendente, caso 
contrário, se m < 0, a reta é decrescente. 
Equação geral da reta 
 
Onde a, b e c são números reais constantes 
e, a e b não são simultaneamente nulos. 
Exemplo 
Equação da reta conhecendo um ponto e o 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
 
Matemática 
71 
coeficiente angular 
Dado um ponto e o coeficiente 
angular . 
A equação da reta será: 
 
Exemplo 
Forma reduzida da equação da reta 
 
Onde: 
m é o coeficiente angular; 
n é o coeficiente linear. 
n é ordenada em que a reta intersecta o eixo 
y. 
 
Exemplo 
Posição relativa entre duas retas paralelas 
em um plano 
Duas retas distintas são paralelas quando 
seus coeficientes angulares são iguais. 
Se uma reta r possui coeficiente angular , 
e uma reta s possui coeficiente angular , 
estas são paralelas quando: 
 
 
Para isto, suas inclinações devem ser iguais. 
 
As tangentes são iguais quando os ângulos 
são iguais. 
Posição relativa entre duas retas 
concorrentes em um plano 
Duas retas são concorrentes quando seus 
coeficientes angulares são diferentes. 
 
Por sua vez, os coeficientes angulares 
diferem quando seus ângulos de inclinação 
em relação ao eixo x, são diferentes. 
 
Retas perpendiculares 
Duas restas são perpendiculares quando o 
produto entre seus coeficientes angulares é 
igual a -1. 
Duas retas r e s, distintas, com coeficientes 
angulares e , são perpendiculares se, e 
somente se: 
 
ou 
 
 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
Matemática 
72 
Outro modo de saber se duas retas são 
perpendiculares é a partir de suas equações 
na forma geral. 
Sendo as equações das retas r e s: 
 
Duas retas suas perpendiculares quando: 
 
Circunferência 
Circunferência é o lugar geométrico no 
plano em que todos os pontos P(x, y) estão 
a mesma distância r do seu centro C(a, b), 
onde r é a medida de ser raio. 
Equação da circunferência na forma 
reduzida 
 
Onde: 
r é o raio, a distância entre qualquer ponto 
de seu arco e o centro C. 
a e b são as coordenadas do centro C. 
Equação geral da circunferência 
 
É obtida ao desenvolver os termos elevados 
ao quadrado da equação reduzida da 
circunferência. 
É muito comum aparecer a forma geral da 
equação da circunferência nos exercícios, 
também conhecida como forma normal. 
Cônicas 
A palavra cônica vêm de cone e se refere as 
curvas obtidas ao seccioná-lo. Elipse, 
hipérbole e parábola são curvas chamadas 
de cônicas. 
Elipse 
Elipse é uma curva fechada obtida pela 
secção de um cone circular reto por um 
plano oblíquo ao eixo, que não passa pelo 
vértice e não é paralelo as suas geratrizes. 
Em um plano, o conjunto de todos os 
pontos cuja soma das distâncias a dois 
pontos fixos internos é constante. 
 
Elementos da elipse: 
 F1 e F2 são os focos da elipse; 
 2c é distância focal da elipse. É a distância 
entre F1 e F2; 
 O ponto O é centro da elipse. É o ponto 
médio entre F1 e F2; 
 A1 e A2 são os vértices da elipse; 
 O segmento eixo maior e igual a 
2a. 
 O segmento eixo menor e igual a 2b. 
 Excentricidadeonde 0 < e < 1. 
 
Equação reduzida da elipse 
Considere um ponto P(x, y) contido na 
elipse onde x é a abcissa e y a ordenada 
deste ponto. 
Centro da elipse na origem do sistema de 
coordenadas e eixo maior (AA) no eixo x. 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
 
Matemática 
73 
 
 
 
Centro da elipse na origem do sistema de 
coordenadas e eixo maior (AA) no eixo y. 
 
 
Equação reduzida da elipse com eixos 
paralelos aos eixos coordenados 
Considerando um ponto como a origem do 
sistema cartesiano e, um ponto como 
centro da elipse. 
Eixo maior AA, paralelo ao eixo x. 
 
Eixo maior AA, paralelo ao eixo y. 
 
Hipérbole 
Hipérbole é um conjunto de pontos em um 
plano onde a diferença entre dois pontos 
fixos F1 e F2 resulta em um valor constante 
e positivo. 
 
 
Elementos da hipérbole: 
 F1 e F2 são os focos da hipérbole. 
 2c = é a distância focal. 
 Centro da hipérbole é o ponto O, médio 
do segmento F1F2. 
 A1 e A2 são os vértices. 
 2a = A1A2 é o eixo real ou transverso. 
 2b = B1B2 é o eixo imaginário ou 
conjugado. 
 
 é a excentricidade. 
Pelo triângulo B1OA2 
 
Equação reduzida da hipérbole 
Com eixo real sobre o eixo x e centro na 
origem. 
 
Com eixo real sobre o eixo y e centro na 
origem. 
 
Equação da hipérbole com eixos paralelos 
 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
Matemática 
74 
aos eixos coordenados 
 
Eixo real AA paralelo ao eixo x e centro .
 
Eixo real AA paralelo ao eixo y e centro .
 
 
Parábola 
Parábola é o lugar geométrico em que o 
conjunto de pontos P(x, y) estão a mesma 
distância de um ponto fixo F e de uma reta 
d. 
 
Elementos da parábola: 
 F é o foco da parábola; 
 d é a reta diretriz; 
 Eixo de simetria é a reta que passa pelo 
foco F e é perpendicular à diretriz. 
 V é vértice da parábola. 
 p é o segmento de mesmo comprimento 
entre o foco F e o vértice V e, entre o 
vértice e a diretriz d. 
Equações reduzidas da parábola 
Com vértice na origem e eixo de simetria 
sobre o eixo y. 
 
Se p>0 concavidade para cima. 
Se p<0 concavidade para baixo. 
Com vértice na origem e eixo de simetria 
sobre o eixo x. 
 
Se p>0 concavidade para direita. 
Se p<0 concavidade para esquerda. 
Com eixo de simetria paralelo ao eixo y e 
vértice . 
 
Com eixo de simetria paralelo ao eixo x e 
vértice . 
 
15. Números complexos. 
 
 
NÚMEROS COMPLEXOS 
Os números complexos são números 
compostos por uma parte real e uma 
imaginária. 
Eles representam o conjunto de todos os 
pares ordenados (x, y), cujos elementos 
pertencem ao conjunto dos números reais 
(R). 
O conjunto dos números complexos é 
indicado por , onde se definem as operações: 
 Igualdade: (a, b) = (c, d) ↔ a = c e b = d 
 Adição: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) 
 Multiplicação: (a, b) . (c, d) = (ac – bd, ad + 
bc) 
Unidade Imaginária (i) 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
 
Matemática 
75 
Indicado pela letra i, a unidade imaginária é o 
par ordenado (0, 1). Logo: 
 
Assim, i é a raiz quadrada de –1, pois: 
 
 
 
Exemplo 
 
Forma algébrica de um número 
complexo 
A forma mais usual de representar números 
complexos é utilizando a forma algébrica ou, 
binomial. 
A forma algébrica, de um número complexo z 
é: 
 
Onde: 
 x é um número real indicado por: x = Re (Z), 
sendo a parte real de z. 
 y é um número real indicado por: y = Im (Z), 
sendo a parte imaginária de z. 
Exemplos 
 z = 4 + 3i, onde 4 é a parte real e 3i a 
imaginária 
 z = 8, onde 8 é a parte real e 0 a imaginária 
 z = 16i, onde 0 é a parte real e 16i a 
imaginária. (neste caso chama-se z de 
imaginário puro) 
Conjugado de um Número 
Complexo 
O conjugado de um número complexo z = a 
+ bi é definido por: 
 
Assim, troca-se o sinal de sua parte 
imaginária. 
Exemplos 
Se z = 5 + 2i, então 
Se z = 1 - 3i, então 
Se z = -15i, então 
Se z = 4. então 
Quando multiplicamos um número complexo 
por seu conjugado, o resultado será um 
número real. 
Igualdade entre Números 
Complexos 
Sendo dois números complexos Z1 = (a, b) e 
Z2 = (c, d), eles são iguais quando a = c e b = 
d. Isso porque eles possuem partes reais e 
imaginárias idênticas. Assim: 
a + bi = c + di quando a = c e b = d 
Exemplo 
 
 
Operações com Números Complexos 
Com os números complexosé possível 
realizar as operações de adição, subtração, 
multiplicação e divisão. Confira as definições 
e exemplos: 
Adição 
Z1 + Z2 
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + i (b + d) 
Exemplo 
(2 +3i) + (–4 + 5i) 
(2 – 4) + i (3 + 5) 
–2 + 8i 
Subtração 
Z1 – Z2 
(a + bi) – (c + di) = (a – c) + i (b – d) 
Exemplo 
(4 – 5i) – (2 + i) 
(4 – 2) + i (–5 –1) 
2 – 6i 
Multiplicação 
Usamos a propriedade distributiva: 
(a + bi) . (c + di) = ac + adi + bci + 
bdi2 (lembre que i2 = –1) 
(a + bi) . (c + di) = ac + adi + bci – bd 
Juntando as partes reais e imaginárias: 
(a + bi) . (c + di) = (ac – bd) + i (ad + bc) 
Exemplo 
(4 + 3i) . (2 – 5i) 
8 – 20i + 6i – 15i2 
8 – 14i + 15 
23 – 14i 
 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
Matemática 
76 
Divisão 
Z1/Z2 = Z3 
Z1 = Z2 . Z3 
Na igualdade acima, se Z3 = x + yi, temos: 
Z1 = Z2 . Z3 
a + bi = (c + di) . (x + yi) 
a + bi = (cx – dy) + i (cy + dx) 
Pelo sistema das incógnitas x e y temos: 
cx – dy = a 
dx + cy = b 
Logo, 
x = ac + bd/c2 + d2 
y = bc – ad/c2 + d2 
 
Exemplo: 
2 – 5i/i 
2 – 5i/ . (– i)/ (– i) 
–2i +5i2/–i2 
5 – 2i 
Plano Complexo ou Plano de 
Argand-Gauss. 
Os números complexos podem ser 
representados geometricamente no plano 
complexo. 
Dado um número complexo em sua forma 
algébrica, z = a + bi, um ponto P no plano 
complexo tem as coordenadas P(a, b) 
representa este número complexo. 
 
Módulo de um número complexo 
O módulo ou, medida de comprimento, de 
um número complexo é a distância entre a 
origem do sistema de coordenadas e o ponto 
que o define no plano complexo. É 
representado por entre barras verticais, |z| ou 
pela letra grega e definido como: 
 
Esta definição vem do teorema de Pitágoras, 
aplicado no triângulo retângulo OPa. |z| é a 
hipotenusa do triângulo. 
 
 
Exercícios sobre números complexos com Gabarito 
Exercicio 1 
(UF-TO) Considere i a unidade imaginária dos 
números complexos. O valor a expressão (i + 1)
8
 é: 
a) 32i 
b) 32 
c) 16 
d) 16i 
Exercício 2 
(UEL-PR) O número complexo z que verifica a 
equação iz – 2w (1 + i) = 0 (w indica o conjugado 
de z) é: 
a) z = 1 + i 
b) z = (1/3) – i 
c) z = (1 – i)/3 
d) z = 1 + (i/3) 
e) z = 1 – i 
Exercício 3 
(Vunesp-SP) Considere o número complexo z = 
cos π/6 + i sen π/6. O valor de Z
3
 + Z
6
 + Z
12
 é: 
a) – i 
b) ½ +√3/2i 
c) i – 2 
d) i 
e) 2i 
 
 
GABARITO 
 
 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
 
Matemática 
77 
1) Alternativa c: 16 
2) Alternativa e: z = 1 – i 
3) Alternativa d: i 
 
 
 
 
 
 
16. Polinômios e equações algébricas. 
 
 
POLINÔMIOS 
Os polinômios são expressões algébricas 
formadas por números (coeficientes) e letras 
(partes literais). As letras de um polinômio 
representam os valores desconhecidos da 
expressão. 
Exemplos 
a) 3ab + 5 
b) x3 + 4xy - 2x2y3 
c) 25x2 - 9y2 
Monômio, Binômino e Trinômio 
Os polinômios são formados por termos. A 
única operação entre os elementos de um 
termo é a multiplicação. 
Quando um polinômio possui apenas um 
termo, ele é chamado de monômio. 
Exemplos 
a) 3x 
b) 5abc 
c) x2y3z4 
Os chamados binômios são polinômios que 
possuem somente dois monômios (dois 
termos), separados por uma operação de 
soma ou subtração. 
Exemplos 
a) a2 - b2 
b) 3x + y 
c) 5ab + 3cd2 
Já os trinômios são polinômios que 
possuem três monômios (três termos), 
separados por operações de soma ou 
subtração. 
Exemplos 
a) x2 + 3x + 7 
b) 3ab - 4xy - 10y 
c) m3n + m2 + n4 
Grau dos Polinômios 
O grau de um polinômio é dado pelos 
expoentes da parte literal. 
Para encontrar o grau de um polinômio 
devemos somar os expoentes das letras que 
compõem cada termo. A maior soma será o 
grau do polinômio. 
Exemplos 
a) 2x3 + y 
O expoente do primeiro termo é 3 e do 
segundo termo é 1. Como o maior é 3, o 
grau do polinômio é 3. 
b) 4 x2y + 8x3y3 - xy4 
Vamos somar os expoentes de cada termo: 
4x2y => 2 + 1 = 3 
8x3y3 => 3 + 3 = 6 
xy4 => 1 + 4 = 5 
 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
Matemática 
78 
Como a maior soma é 6, o grau do 
polinômio é 6 
Obs: o polinômio nulo é aquele que possui 
todos os coeficientes iguais a zero. Quando 
isso ocorre, o grau do polinômio não é 
definido. 
Operações com Polinômios 
Confira abaixo exemplos das operações 
entre polinômios: 
Adição de Polinômios 
Fazemos essa operação somando os 
coeficientes dos termos semelhantes 
(mesma parte literal). 
(- 7x3 + 5 x2y - xy + 4y) + (- 2x2y + 8xy - 7y) 
- 7x3 + 5x2y - 2x2y - xy + 8xy + 4y - 7y 
- 7x3 + 3x2y + 7xy - 3y 
Subtração de Polinômios 
O sinal de menos na frente dos parênteses 
inverte os sinais de dentro dos parênteses. 
Após eliminar os parênteses, devemos juntar 
os termos semelhantes. 
(4x2 - 5xk + 6k) - (3xk - 8k) 
4x2 - 5xk + 6k - 3xk + 8k 
4x2 - 8xk + 14k 
Multiplicação de Polinômios 
Na multiplicação devemos multiplicar termo 
a termo. Na multiplicação de letras iguais, 
repete-se e soma-se os expoentes. 
(3x2 - 5x + 8) . (-2x + 1) 
-6x3 + 3x2 + 10x2 - 5x - 16x + 8 
-6x3 + 13x2 - 21x +8 
Divisão de Polinômios 
 
 
Obs: Na divisão de polinômios utilizamos o 
método chave. Primeiramente realizamos a 
divisão entre os coeficientes numéricos e 
depois a divisão de potências de mesma 
base. Para isso, conserva-se a base e 
subtraia os expoentes. 
Fatoração de Polinômios 
Para realizar a fatoração de polinômios 
temos os seguintes casos: 
Fator Comum em Evidência 
ax + bx = x (a + b) 
Exemplo 
4x + 20 = 4 (x + 5) 
Agrupamento 
ax + bx + ay + by = x . (a + b) + y . (a + b) = 
(x + y) . (a + b) 
Exemplo 
8ax + bx + 8ay + by = x (8a + b) + y (8a + 
b) = (8a + b) . (x + y) 
Trinômio Quadrado Perfeito (Adição) 
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 
Exemplo 
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2 
Trinômio Quadrado Perfeito (Diferença) 
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 
Exemplo 
x2 - 2x + 1 = (x - 1)2 
Diferença de Dois Quadrados 
(a + b) . (a - b) = a2 - b2 
Exemplo 
x2 - 25 = (x + 5) . (x - 5) 
Cubo Perfeito (Adição) 
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 
Exemplo 
https://www.todamateria.com.br/fatoracao/
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
 
Matemática 
79 
x3 + 6x2 + 12x + 8 = x3 + 3 . x2 . 2 + 3 . x . 
22 + 23 = (x + 2)3 
Cubo Perfeito (Diferença) 
a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3 
Exemplo 
y3 - 9y2 + 27y - 27 = y3 - 3 . y2 . 3 + 3 . y . 32 - 
33 = (y - 3)3 
 
 
 
17. Raciocínio lógico. 
 
Questões de raciocínio lógico são muito 
frequentes em diversos concursos, vestibulares e 
também na prova do Enem. Por isso, não perca a 
oportunidade de treinar esse tipo de questão 
com os exercícios resolvidos e comentados. 
Questão 1 
Descubra a lógica e complete o próximo 
elemento: 
a) 1, 3, 5, 7, ___ 
b) 2, 4, 8, 16, 32, 64, ____ 
c) 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, ____ 
d) 4, 16, 36, 64, ____ 
e) 1, 1, 2, 3, 5, 8, ____ 
f) 2,10, 12, 16, 17, 18, 19, ____ 
Questão 2 
(Enem) Jogar baralho é uma atividade que 
estimula o raciocínio. Um jogo tradicional é a 
Paciência, que utiliza 52 cartas. Inicialmente são 
formadas sete colunas com as cartas. A primeira 
coluna tem uma carta, a segunda tem duas 
cartas, a terceira tem três cartas, a quarta tem 
quatro cartas, e assim sucessivamente até a 
sétima coluna, a qual tem sete cartas, e o que 
sobra forma o monte, que são as cartas não 
utilizadas nas colunas. 
A quantidade de cartas que forma o monte é 
a) 21. 
b) 24. 
c) 26. 
d) 28. 
e) 31. 
Questão 3 
(UERJ) Em um sistema de codificação, AB 
representa os algarismos do dia do nascimento 
de uma pessoa e CD os algarismos de seu mês 
de nascimento. Nesse sistema, a data trinta de 
julho, por exemplo, corresponderia a: 
 
Admita uma pessoa cuja data de nascimento 
obedeça à seguinte condição: 
 
O mês de nascimento dessa pessoa é: 
a) agosto 
b) setembro 
c) outubro 
d) novembro 
 
Questão 4 
(FGV/TCE-SE) Duas tartarugas estavam juntas e 
começaram a caminhar em linha reta em direção 
a um lago distante. A primeira tartarugapercorreu 30 metros por dia e demorou 16 dias 
para chegar ao lago. A segunda tartaruga só 
conseguiu percorrer 20 metros por dia e, 
portanto, chegou ao lago alguns dias depois da 
primeira. Quando a primeira tartaruga chegou 
ao lago, o número de dias que ela teve que 
esperar para a segunda tartaruga chegar foi: 
a) 8 
b) 9 
c) 10 
d) 12 
e) 15 
Questão 5 
(FGV/TRT-SC) Alguns consideram que a cidade 
de Florianópolis foi fundada no dia 23 de março 
de 1726, que caiu em um sábado. Após 90 dias, 
no dia 21 de junho, a data assinalou o início do 
inverno, quando a noite é a mais longa do ano. 
Esse dia caiu em uma: 
a) segunda-feira 
b) terça-feira 
c) quarta-feira 
d) quinta-feira 
e) sexta-feira 
Questão 6 
 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
Matemática 
80 
 
Questão 7 
 
Questão 8 
(Enem) As figuras a seguir exibem um trecho de 
um quebra-cabeças que está sendo montado. 
Observe que as peças são quadradas e há 8 
peças no tabuleiro da figura A e 8 peças no 
tabuleiro da figura B. As peças são retiradas do 
tabuleiro da figura B e colocadas no tabuleiro da 
figura A na posição correta, isto é, de modo a 
completar os desenhos. 
 
É possível preencher corretamente o espaço 
indicado pela seta no tabuleiro da figura A 
colocando a peça 
a) 1 após girá-la 90° no sentido horário. 
b) 1 após girá-la 180° no sentido anti-horário. 
c) 2 após girá-la 90° no sentido anti-horário. 
d) 2 após girá-la 180° no sentido horário. 
e) 2 após girá-la 270° no sentido anti-horário. 
Questão 9 
(FGV/CODEBA) A figura mostra a planificação 
das faces de um cubo. 
 
Nesse cubo, a face oposta à face X é 
a) A 
b) B 
c) C 
d) D 
e) E 
Questão 10 
(Enem) João propôs um desafio a Bruno, seu 
colega de classe: ele iria descrever um 
deslocamento pela pirâmide a seguir e Bruno 
deveria desenhar a projeção desse deslocamento 
no plano da base da pirâmide. 
 
O deslocamento descrito por João foi: mova-se 
pela pirâmide, sempre em linha reta, do ponto A 
ao ponto E, a seguir do ponto E ao ponto M, e 
depois de M a C. O desenho que Bruno deve 
fazer é 
 
Questão 11 
Quatro suspeitos de praticar um crime fazem as 
seguintes declarações: 
 João: Carlos é o criminoso 
 Pedro: eu não sou criminoso 
 Carlos: Paulo é o criminoso 
 Paulo: Carlos está mentindo 
 
Sabendo que apenas um dos suspeitos mente, 
determine quem é o criminoso. 
a) João 
b) Pedro 
c) Carlos 
d) Paulo 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
 
Matemática 
81 
Questão 12 
(Vunesp/TJ-SP) Sabendo que é verdadeira a 
afirmação ―Todos os alunos de Fulano foram 
aprovados no concurso‖, então é 
necessariamente verdade: 
a) Fulano não foi aprovado no concurso. 
b) Se Roberto não é aluno de Fulano, então ele 
não foi aprovado no concurso. 
c) Fulano foi aprovado no concurso. 
d) Se Carlos não foi aprovado no concurso, 
então ele não é aluno de Fulano. 
e) Se Elvis foi aprovado no concurso, então ele é 
aluno de Fulano. 
Questão 13 
(FGV/ TJ-AM) Dona Maria tem quatro filhos: 
Francisco, Paulo, Raimundo e Sebastião. A esse 
respeito, sabe-se que: 
I. Sebastião é mais velho que Raimundo. 
II. Francisco é mais novo que Paulo. 
III. Paulo é mais velho que Raimundo. 
Assim, é obrigatoriamente verdadeiro que: 
a) Paulo é o mais velho. 
b) Raimundo é o mais novo. 
c) Francisco é o mais novo. 
d) Raimundo não é o mais novo. 
e) Sebastião não é o mais novo. 
Questão 14 
(FGV/Pref. de Salvador-BA) Alice, Bruno, Carlos e 
Denise são as quatro primeiras pessoas de uma 
fila, não necessariamente nesta ordem. João olha 
para os quatro e afirma: 
 Bruno e Carlos estão em posições consecutivas 
na fila; 
 Alice está entre Bruno e Carlos na fila. 
Entretanto, as duas afirmações de João são 
falsas. Sabe-se que Bruno é o terceiro da fila. O 
segundo da fila é 
a) Alice. 
b) Bruno. 
c) Carlos. 
d) Denise. 
e) João. 
Questão 15 
(FGV/TCE-SE) Considere a afirmação: ―Se hoje é 
sábado, amanhã não trabalharei.‖ A negação 
dessa afirmação é: 
a) Hoje é sábado e amanhã trabalharei. 
b) Hoje não é sábado e amanhã trabalharei. 
c) Hoje não é sábado ou amanhã trabalharei. 
d) Se hoje não é sábado, amanhã trabalharei. 
e) Se hoje não é sábado, amanhã não 
trabalharei. 
Questão 16 
(Vunesp/TJ-SP) Em um edifício com 
apartamentos somente nos andares de 1º ao 4º, 
moram 4 meninas, em andares distintos: Joana, 
Yara, Kelly e Bete, não necessariamente nessa 
ordem. Cada uma delas tem um animal de 
estimação diferente: gato, cachorro, passarinho e 
tartaruga, não necessariamente nessa ordem. 
Bete vive reclamando do barulho feito pelo 
cachorro, no andar imediatamente acima do seu. 
Joana, que não mora no 4º, mora um andar 
acima do de Kelly, que tem o passarinho e não 
mora no 2º andar. Quem mora no 3º andar tem 
uma tartaruga. Sendo assim, é correto afirmar 
que 
a) Kelly não mora no 1º andar. 
b) Bete tem um gato. 
c) Joana mora no 3º andar e tem um gato. 
d) o gato é o animal de estimação da menina 
que mora no 1º andar. 
e) Yara mora no 4º andar e tem um cachorro. 
Questão 17 
(IPEFAE 2021) Observando a sequência de 
figuras a seguir, pode se afirmar que a próxima 
(a sexta figura) será: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
Questão 18 
(FUNDEP 2021) Uma pessoa tem à sua frente 
cinco copos idênticos enfileirados. Os três 
primeiros estão cheios, e os outros dois, vazios. 
Essa pessoa deseja posicionar esses copos de 
modo que fiquem alternadamente cheios e 
vazios, movendo apenas um copo. 
 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
Matemática 
82 
 
Para conseguir o que deseja, essa pessoa deverá: 
a) A partir da direita, trocar o primeiro e o 
quarto copo. 
b) A partir da direita, despejar o conteúdo do 
quarto copo no primeiro copo. 
c) A partir da esquerda, colocar no quinto copo o 
conteúdo do primeiro copo. 
d) A partir da esquerda, pegar o segundo copo e 
colocar entre o quarto e o quinto copo. 
Questão 19 
João acordou atrasado para o trabalho, e 
verificou que o tempo restante até o final do dia 
era igual à metade do tempo já decorrido do dia. 
Com base nessas informações, concluímos que 
ele acordou às: 
a) 16 h 
b) 12 h 
c) 8 h 
d) 9 h 
e) 14 h 
GABARITO: 
 
Respostas: QUESTÃO 1 
a) 9. Sequência de números ímpares ou + 2 (1+2=3; 3+2=5; 5+2=7; 7+2=9) 
b) 128. Sequência baseada na multiplicação por 2 (2x2=4; 4x2=8; 8x2=16... 64x2=128) 
c) 49. Sequência baseada na soma em uma outra sequência de números ímpares (+1, +3, +5, +7, +9, 
+11, +13) 
d) 100. Sequência de quadrados de números pares (2
2
, 4
2
, 6
2
, 8
2
, 10
2
). 
e) 13. Sequência baseada na soma dos dois elementos anteriores: 1 (primeiro elemento), 1 (segundo elemento), 
1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13. 
f) 200. Sequência numérica baseada em um elemento não numérico, a letra inicial do número escrito por 
extenso: dois, dez, doze, dezesseis, dezessete, dezoito, dezenove, duzentos. 
É importante estar-se atento à possibilidades de mudanças de paradigma, no caso, os números escritos por 
extenso, que não operam em uma lógica quantitativa como os demais. 
 
 
Respostas: QUESTÃO 2 
Alternativa correta: b) 24 
Para descobrir o número de cartas que sobraram no monte, devemos diminuir do número total de cartas do 
número de cartas que foram utilizadas nas 7 colunas. 
O número total de cartas utilizadas nas colunas é encontrado somando-se as cartas de cada uma delas, deste 
modo, temos: 
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 
Fazendo a substração, encontramos: 
52 - 28 = 24 
 
Respostas: QUESTÃO 3 
Alternativa correta: b) setembro 
As somas dos algarismos relativos ao dias do mês, variam de 1 a 11. 
01 = 0 + 1 = 1 
02 = 0 + 2 = 2 
... 
29 = 2 + 9 = 11 (é a maior soma) 
30 = 3 + 0 = 3 
31 = 3 + 1 = 4 
Já a soma dos algarismos relativos ao mês, varia de 1 a 9. 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
 
Matemática 
83 
janeiro: 01 = 0 + 1 = 1 
fevereiro: 02 = 0 + 2 = 2 
... 
setembro: 09 = 0 + 9 = 9 (é a maiorsoma) 
outubro: 10 = 1 + 0 = 1 
novembro: 11 = 1 + 1 = 2 
dezembro: 12 = 1 + 2 = 3 
Sendo assim, observamos que 11 + 9 = 20, que são os valores máximos da soma. Portanto, essa combinação é 
a única possível para a resolução da questão. Desta forma, a soma do mês igual a 9 é o mês de setembro. 
 
 
Respostas: QUESTÃO 4 
Alternativa correta: a) 8 
Como a primeira tartaruga andou 30 metros por dia, em 16 dias terá percorrido: 
16 . 30 = 480 metros 
Para descobrir quanto tempo a segunda tartaruga levará para percorrer os 480 metros, basta dividir pelos 20 
metros percorridos por dia, assim temos: 
480 : 20 = 24 dias 
Assim, o tempo de espera da primeira tartaruga será: 
24 - 16 = 8 
 
 
Respostas: QUESTÃO 5 
Alternativa correta: e) sexta-feira 
Como entre um sábado e outro temos o intervalo de 7 dias, vamos dividir os 90 por 7 para saber quantas 
semanas teremos nesse intervalo. O resultado dessa divisão é 12 semanas e sobram 6 dias. 
Contando seis dias a partir de sábado, temos a sexta feira. 
 
Respostas: QUESTÃO 6 
 
 
Respostas: QUESTÃO 7 
 
 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
Matemática 
84 
 
Respostas: QUESTÃO 8 
Alternativa correta: c) 2 após girá-la 90° no sentido anti-horário. 
Observando a figura A, notamos que a peça que deverá ser colocada na posição indicada deverá ter o triângulo 
mais claro, para completar o quadrado mais claro. 
Partindo desse fato, escolhemos a peça 2 da figura B, pois a peça 1 não possui esse triângulo mais claro. 
Contudo, para se encaixar na posição, a peça deverá ser girada em 90º no sentido anti-horário. 
 
Respostas: QUESTÃO 9 
Alternativa correta: b) B 
Para resolver a questão, é importante imaginar a montagem do cubo. Para isso, podemos visualizar por 
exemplo a face C voltada para a nossa frente. A face B ficará voltada para cima e a face X ficará embaixo. 
Portanto, B é a face oposta de X. 
 
Respostas: QUESTÃO 10 
Alternativa correta: C 
Para resolver a questão, devemos considerar que a pirâmide tem base quadrada e é regular. Desta maneira, a 
projeção do ponto E na base da pirâmide, ficará exatamente no ponto central do quadrado da base. 
Feito isso, basta ligar os pontos indicados, conforme o desenho abaixo: 
 
 
Respostas: QUESTÃO 11 
Alternativa correta: c) Carlos. 
Apenas um suspeito mente e os outros dizem a verdade. Assim, há uma contradição entre a declaração de João 
e de Carlos. 
1ª opção: Se João diz a verdade, a declaração de Pedro pode ser verdadeira, a de Carlos seria falsa (por ser 
contraditória) e Paulo estaria falando a verdade. 
2ª opção: Se a declaração de João for a falsa e a declaração de Carlos for verdadeira, a declaração de Pedro 
pode ser verdadeira, mas a declaração de Paulo teria que ser falsa. 
Logo, seriam duas declarações falsas (João e Paulo), invalidando a questão (apenas uma falsidade). 
Assim, a única opção válida é João dizer a verdade e Carlos ser o criminoso. 
 
Respostas: QUESTÃO 12 
Alternativa correta: d) Se Carlos não foi aprovado no concurso, então ele não é aluno de Fulano. 
Vamos analisar cada afirmação: 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
 
Matemática 
85 
As letras a e c indicam informações sobre Fulano. Contudo, a informação que temos é sobre os alunos de 
Fulano, e, portanto, não podemos afirmar nada a respeito de Fulano. 
A letra b fala sobre Roberto. Como ele não é aluno de Fulano, também não podemos afirmar se é verdade. 
A letra d fala que Carlos não foi aprovado. Como todos os alunos de Fulano foram aprovados, logo, ele não 
pode ser aluno de Fulano. Assim, essa alternativa é necessariamente verdadeira. 
Por fim, a letra d também não está correta, pois não nos foi informado que só os alunos de Fulano que foram 
aprovados. 
Respostas: QUESTÃO 13 
Alternativa correta: e) Sebastião não é o mais novo. 
Considerando as informações, temos: 
Sebastião > Raimundo => Sebastião não é o mais novo e Raimundo não é o mais velho 
Francisco < Paulo => Paulo não é o mais novo e Francisco não é o mais velho 
Paulo > Raimundo => Paulo não é o mais novo e Raimundo não é o mais velho 
Sabemos que Paulo não é o mais novo, mas não podemos afirmar que é o mais velho. Assim, a alternativa "a" 
não é obrigatoriamente verdadeira. 
O mesmo podemos dizer das letras b e c, pois sabemos que Raimundo e Francisco não são os mais velhos, mas 
não podemos afirmar que são os mais novos. 
Portanto, a única opção que é obrigatoriamente verdadeira é que Sebastião não é o mais novo. 
 
Respostas: QUESTÃO 14 
Alternativa correta: d) Denise 
Como Bruno é o terceiro da fila e não está em posição consecutiva de Carlos, logo, Carlos só pode ser o 
primeiro da fila. Alice então, só pode ser a última, pois não está entre Bruno e Carlos. 
Com isso, a segunda da fila só pode ser Denise. 
 
Respostas: QUESTÃO 15 
Alternativa correta: a) Hoje é sábado e amanhã trabalharei. 
A questão apresenta uma proposição condicional do tipo "Se..., então", apesar do conectivo "então" não 
aparecer explícito na frase. 
Neste tipo de proposição, podemos apenas assegurar que quando a frase entre o se e o então for verdadeira, a 
frase depois do então também será verdadeira. 
Isso pode ser resumido na tabela-verdade das proposições condicionais indicadas abaixo, onde consideramos p: 
"hoje é sábado" e q:"amanhã não trabalharei". 
 
Na questão, queremos a negação da afirmação, ou seja, a proposição falsa. Pelo quadro, observamos que a 
proposição falsa ocorre quando o p é verdadeiro e o q é falso. 
Desta maneira, vamos escrever a negação de q que é: amanhã trabalharei. 
 
Respostas: QUESTÃO 16 
Alternativa correta: e) Yara mora no 4º andar e tem um cachorro. 
 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
Matemática 
86 
Para resolver esse tipo de questão com vários "personagens" é interessante montar um quadro conforme 
imagem abaixo: 
 
Depois de montar a tabela, iremos ler cada uma das afirmações, buscando informações e completando com N, 
quando identificamos que aquela situação não se aplica ao elemento da linha com a coluna. 
Da mesma forma, completaremos com S, quando podemos concluir que a informação é verdadeira para o par 
linha/coluna. 
Vamos começar, por exemplo analisando a frase: "Quem mora no 3º andar tem uma tartaruga." Usando essa 
informação podemos colocar S na intersecção na tabela do 3º andar com tartaruga. 
Como a tartaruga está no 3º andar, logo não estará no 1º, 2º e 3º andar, então devemos completar com N 
esses espaços correspondentes. 
Assim, como nenhum outro animal estará no 3º andar, então também completaremos com N. Nossa tabela 
ficará então: 
 
Se Bete vive reclamando do barulho do cachorro, esse não é seu animal de estimação, podemos colocar N na 
intersecção da linha de Bete com a coluna de cachorro. 
Também podemos identificar que Bete não mora no 4º andar, pois o cachorro está no andar imediatamente 
acima do seu. Nem mora no 2º andar, pois no andar imediatamente em cima, que seria o 3º andar, mora a 
tartaruga. 
Vamos colocar N na intersecção de Joana e 4º andar. Com relação a Kelly, temos duas informações: ela tem 
um passarinho e não mora no 2º andar; logo, o passarinho também não mora no 2º andar. 
Podemos ainda colocar que Kelly não mora no 4º andar, pois se Joana mora um andar acima de Kelly, ela não 
pode morar no 4º andar. Assim, o passarinho também não mora do 4º andar. 
Ao completar essa informação, vemos que só sobra para o passarinho o 1º andar, logo Kelly mora também no 
1º andar. 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
 
Matemática 
87 
 
Feito isso, vamos olhar para a tabela e completar com N as linhas e colunas onde aparecem S. Quando sobrar 
apenas uma opção, colocar S. Lembrando de colocar S também nos outros quadros correspondentes. 
Ao completar todos os espaços, a tabela estará da seguinte maneira: 
 
Neste ponto, vemos que falta apenas as informações relativas aos bichos de estimação de 
Joana e Iara. 
Para completar o quadro, devemos lembrar que o cachorro está imediatamenteacima do 
andar de Bete. Como já descobrimos que ela mora no 3º andar, logo, o cachorro mora no 
4º andar. 
Agora, é só completar o quadro e identificar a alternativa correta: 
 
 
Respostas: QUESTÃO 17 
Resposta: b) 
Na sequência, temos: 
I. Um triângulo. Três lados. 
II. Um paralelogramo. Quatro lados. 
 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
Matemática 
88 
III. Um triângulo. Três lados. 
IV. Um pentágono. Cinco lados. 
V. Um triângulo. Três lados. 
Após um triângulo, aparece uma figura com mais um lado: 4 lados, 5 lados, ... 
Desta forma, a sexta figura deve possui 6 lados para seguir a sequência, sendo a opção b. 
 
Respostas: QUESTÃO 18 
Resposta: b) A partir da direita, despejar o conteúdo do quarto copo no primeiro copo. 
Respostas: QUESTÃO 19 
Resposta: a) 16 h 
O final do dia é às 24h. Tendo acordado às 16h, a metade do tempo transcorrido foi 8h. Desta forma, 16 + 8 = 
24. 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Uma pessoa recebe R$ 10.000 por 25 dias de 
trabalho. Quanto receberia se tivesse trabalhando 8 
dias a mais? 
a) R$ 12.300,00 
b) R$ 10.400,00 
c) R$ 11.300,00 
d) R$ 13.100,00 
e) R$ 13.200,00 
 
2) No mesmo instante em que um prédio de 4,5m 
de altura projeta uma sombra de 13,5 m, qual a 
sombra projetada por uma torre de 130 m de 
altura? 
a) 290m 
b) 390m 
c) 490m 
d) 590m 
e) 690m 
 
3) A razão das idades de duas pessoas é 2/3. 
Achar estas idades sabendo que sua soma é 35 
anos. 
a) 14 e 20 anos 
b) 14 e 21 anos 
c) 15 e 20 anos 
 
d) 18 e 17 anos 
e) 13 e 22 anos 
 
4) Em 1º.03.95, um artigo que custava R$ 250,00 
teve seu preço diminuído em p% do seu valor. Em 
1º.04.95, o novo preço foi novamente diminuído em 
p% do seu valor, passando a custar R$ 211,60. O 
preço desse artigo em 31.03.95 era: 
a) R$ 225,80 
b) R$ 228,00 
c) R$ 228,60 
d) R$ 230,00 
e) R$ 230,80 
 
5) A razão das áreas de duas figuras é 4/7. Achar 
essas áreas sabendo que a soma é 66 cm². 
a) 22cm² e 44cm² 
b) 20cm² 46cm² 
c) 21cm² e 45cm² 
d) 24cm² e 42 cm² 
e) 23cm² e 43cm² 
 
GABARITO 
1. E 2. B 3. B 4. D 5. D 
 
 
 
Coletânea de Provas 
1. A área de um triângulo é de 4 unidades de 
superfície, sendo dois de seus vértices os pontos A: 
(2, 1) e B: (3, –2). Sabendo que o terceiro vértice 
encontra-se sobre o eixo das abcissas, pode-se 
afirmar que suas coordenadas são 
a) (– 1/2, 0) ou (5, 0). d) (– 1/3, 0) ou (4, 0). 
b) (– 1/2, 0) ou (4, 0). e) (– 1/5, 0) ou (3, 0). 
c) (– 1/3, 0) ou (5, 0). 
 
2. Um capital de R$ 100.000,00 rendeu juros simples 
de R$ 54.000,00, aplicado a 18% ao ano. Em anos, o 
tempo de aplicação foi de: 
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 
 
3. Uma pessoa investiu R$ 8.000,00 em ações. No 
primeiro mês, ela perdeu 40% do total investido e, no 
segundo mês, ela recuperou 50% do que havia 
perdido. Logo após os dois meses, a quantia com que 
ela ficou é igual a: 
a) R$ 7.400,00 c) R$ 6.400,00 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
 
Raciocínio Lógico 
89 
b) R$ 7.000,00 d) R$ 6.000,00 
 
4. A expressão abaixo envolve operações com 
números decimais: 
0,3 x 0,8 – 2 x 0,02 
0,25 x 0,4 
Efetuando corretamente as operações indicadas na 
expressão, encontramos: 
a) 20 b) 2 c) 0,2 d) 0,02 
 
5. De dois cantos opostos do retângulo abaixo de 
base 10 e altura 2x, retiram-se dois quadrados de 
lado x, conforme mostra a figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A área máxima da figura hachurada é 
a) 20 c) 40 
b) 50 d) 70 
 
 
6. No triângulo ABC abaixo, a bissetriz do ângulo 
interno A forma com o lado AB um ângulo de 55º. O 
ângulo  agudo formado pelas retas suporte das 
alturas relativas aos vértices B e C é 
 
a) menor que 70º 
b) o complemento de 20º 
c) igual ao dobro de 25º 
d) o suplemento de 120º 
 
7. O gráfico, a seguir, representa o resultado de 
uma pesquisa sobre a preferência por conteúdo, na 
área de matemática, dos alunos do CPCAR. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabendo-se que no gráfico o resultado por 
conteúdo é proporcional à área do setor que a 
representa, pode-se afirmar que o ângulo central do 
setor do conteúdo MATRIZ é de 
a) 14º c) 50º 24 
b) 57º 36 d) 60º 12 
 
8. Por um ponto P da base BC de um triângulo 
ABC, traça-se PQ e PR paralelos a AB e AC, 
respectivamente. Se AB = 6, AC = 10, BC = 8 e 
BP = 2, o perímetro do paralelogramo AQPR é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) divisível por 3 c) maior do que 40 
b) divisor de 35 d) múltiplo de 7 
 
9. Num mapa, as cidades A, B e C são vértices de 
um triângulo retângulo e o ângulo reto está em A. A 
estrada AB tem 80 km e a estrada BC tem 100 km. 
Um rio impede a construção de uma estrada que 
liga diretamente a cidade A com a cidade C. Por 
esse motivo, projetou-se uma estrada saindo da 
cidade A e perpendicular à estrada BC para que 
ela seja a mais curta possível. Dessa forma, a 
menor distância, em km, que uma pessoa 
percorrerá se sair da cidade A e chegar à cidade C 
é 
a) 84 c) 36 
b) 48 d) 64 
 
10. O reabastecimento em vôo é um procedimento 
que permite abastecer aviões de caça em pleno 
vôo a partir de uma mangueira distendida de uma 
aeronave tanque. 
Um avião A (tanque) e outro B (caça) ao término do 
procedimento descrito acima, em determinado 
ponto P, tomam rumos que diferem de um ângulo 
de 60º. A partir de P as velocidades dos aviões são 
constantes e iguais a h/km400VA  e 
h/km500VB  . Considerando que mantiveram os 
respectivos rumos, a distância, em km, entre eles 
após 2 horas de vôo é 
 
a) 215200 
b) 21300 
c) 21200 
d) 21100 
 
 
 
 x 
 
 
x 
 x 
 
x 
2x 
10 
A 
B C 
GEOMETRIA ESPACIAL: 22% 
PROGRESSÕES: 6% 
COMBINATÓRIA: 47% 
MATRIZ: 14% 
FUNÇÃO: 11% 
FUNÇÃO 
PROGRESSÕES 
COMBINATÓRIA 
GEOMETRIA 
ESPACIAL 
MATRIZ 
B P C 
A 
R 
Q 
 
 
60º 
P 
B 
A 
 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
Raciocínio Lógico 
90 
100 
m 
3 m 
 
 
 
 
40 
m 
 
 
 
 
 
 
3m 
11. AB = 20 cm é um diâmetro de um círculo de 
centro O e T é um ponto da tangente ao círculo em 
A, tal que ABAT  . A reta determinada por O e T 
intercepta o círculo em C e D, tal que TDTC  . O 
segmento TD mede 
a) 10510  c) 10510  
b) 510  d) 51020  
 
 
12. Um avião decola de um ponto B sob inclinação 
constante de 15 com a horizontal. A 2 km de B se 
encontra a projeção vertical C do ponto mais alto D 
de uma serra de 600 m de altura, conforme figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dados: cos 15º  0,97 sen 15º  0,26 tg 15º  0,27 
É correto afirmar que 
a) não haverá colisão do avião com a serra. 
b) haverá colisão do avião com a serra antes de 
alcançar 540 m de altura. 
c) haverá colisão do avião com a serra em D. 
d) se o avião decolar 220 m antes de B, mantendo 
a mesma inclinação, não haverá colisão do avião 
com a serra. 
 
13. A área do losango ABCO da figura abaixo mede 
24 cm
2
. O lado do hexágono regular ABCDEF é, 
em cm, igual a 
 
a) 4 34 
b) 34 
c) 4 
d) 316 
 
 
 
14. Considere dois círculos de raios (r) e (R) 
centrados em A e B, respectivamente, que são 
tangentes externamente e cujas retas tangentes 
comuns formam um ângulo de 60. A razão entre 
as áreas do círculo maior e do menor é 
 
 
 
 
 
 
 
a) 9 c) 
3
1
 
b) 3 d) 
9
1
 
 
15. Em torno de um campo de futebol, conforme 
figura abaixo, construiu-se uma pista de atletismo 
com 3 metros de largura, cujo preço por metro 
quadrado é de R$ 500,00. Sabendo-se que os 
arcos situados atrás das traves dos gols são 
semicírculos de mesma dimensão, o custo total 
desta construção que equivale à área hachurada, é 
Dado: Considere  = 3,14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) R$ 300.000,00 c) R$ 502.530,00 
b) R$ 464.500,00 d) R$ 667.030,00 
 
16. Três pedaços de arame de mesmo 
comprimento foram moldados: um na forma de um 
quadrado, outro na forma de um triângulo 
equilátero e outro na forma de um círculo. Se Q, T 
e C são, respectivamente, as áreas das regiões 
limitadas por esses arames, então é verdade que 
a) Q <T < C c) T < C < Q 
b) C < T < Q d) T < Q < C 
 
17. Em condições ambiente, a densidade do 
mercúrio é de aproximadamente 13g/cm
3
. A massa 
desse metal, do qual um garimpeiro necessita para 
encher completamente um frasco de meio litro de 
capacidade é igual a 
a) 260 g c) 650 g 
b) 2,6 kg d) 6,5 kg 
 
18. Assinale a alternativa que preenche 
corretamente a lacuna abaixo. 
Numa prova de matemática, um aluno deve 
responder a 60 itens do tipo verdadeiro ou falso. 
Para cada item respondido corretamente, o aluno 
vai ganhar 2 pontos e, para cada item que errar, vai 
perder 1 ponto. A nota do aluno é função do 
número de itens que ele acertar. Se o aluno obteve 
30 pontos, ele acertou ____ itens. 
a) 20 c) 30 
b) 25 d) 35 
 
19. Um caixa automático de um banco só libera 
notas de R$ 5,00 e R$ 10,00. Uma pessoa retirou 
desse caixa a importância de R$ 65,00, recebendo 
10 notas. O produto do número de notas de R$ 
5,00 pelo número de notas de R$ 10,00 é igual a: 
a) 16 c) 24 
15 
 
B C 
D 
30 
A r 
B 
R 
E 
D 
F 
C 
A 
B 
O 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
 
Raciocínio Lógico 
91 
a) 25 d) 21 
 
20. Um certo spa anuncia perdas de peso de até 
3kg por semana. Uma pessoa obesa pesando 165 
kg, recolhe-se a este spa. Suponhamos que isso 
realmente ocorreu. Calcule o número mínimo de 
semanas completas que a pessoa deverá 
permanecer no spa para sair de lá com menos de 
120kg de peso. 
(A) 15 (D) 14 
(B) 20 (E) 16 
(C) 17 
 
21. A água usada em nossas casas vem de grandes represas que devem ser 
conservadas sempre limpas. Suas margens não devem ser povoadas, para que 
esgotos não sejam despejados em suas águas. Suponha que numa dessas represas 
o medidor do nível da água consista de uma barra graduada, perpendicular à 
superfície da água, conforme a figura. Sendo 0 m o nível mínimo para o 
abastecimento da região servida pela represa. 
O gráfico abaixo mostra o nível dessa represa em função do tempo, nos dez primeiros dias do mês de maio. 
Supondo que o gráfico em todo o mês de maio seja um segmento de reta, podemos afirmar que: 
 
 
I) a equação que representa esse gráfico é definida por 3
5
)( 
x
xf 
II) no dia 16 de maio, a água atingirá o mínimo necessário para o abastecimento da região. 
III) nos primeiros 14 dias de maio o nível da água se apresentará negativo. 
 
Assinale a alternativa correta: 
(A) I e III são verdadeiras. 
(B) II é verdadeira. 
(C) I e II são verdadeiras. 
(D) II e III são falsas. 
(E) Todas são verdadeiras. 
 
 
 
22. Uma pessoa adquire um carro por R$ 
6000,00 e gasta 5% desse valor com despesas 
de transferência e reparos. Desejando obter um 
lucro de 12% sobre o capital empregado, deverá 
vender esse veículo por: 
 (A) R$ 6305,00 
(B) R$ 7056,00 
(C) R$ 7120,00 
(D) R$ 7200,00 
(E) R$ 7800,00 
 
23. De quanto será a economia feita pelo 
comprador que efetuar a compra à vista? 
 
 
(A) R$ 150,00 
(B) R$ 224,00 
(C) R$ 156,00 
(D) R$ 80,00 
(E) R$ 327,00 
 
24. Empurra-empurra, tumulto e gritaria: esse é o 
cenário mais comum durante um pregão da Bolsa 
Tempo(dias) 
Nível da 
água(m) 
-3 
10 
-1 
 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
Raciocínio Lógico 
92 
de Valores. Um corretor grita que está comprando 
ou vendendo ações de determinada empresa e, 
imediatamente, é cercado por dezenas de 
operadores que disputam a negociação, também 
aos gritos. A bolsa de valores reflete as 
expectativas de lucros das empresas. Se uma 
empresa vai bem, todos os acionistas ganham. Isso 
porque uma pessoa que compra ações torna-se 
sócia da empresa e, portanto, recebe parte dos 
lucros. 
Um investidor da bolsa de valores compra 
ações por R$ 4000,00 e depois de um certo tempo 
as vende com um prejuízo de 23%. Quanto perde 
esse investidor? 
(A) R$ 646,00 
(B) R$ 748,00 
(C) R$ 590,00 
(D) R$ 920,00 
(E) R$ 1023,00 
 
25. Leia a notícia: 
 
 
 
Com base nas informações podemos afirmar que o número de delegados(homens) na Bahia é de 
aproximadamente: 
(A) 250 
(B) 240 
(C) 230 
(D) 205 
(E) 247 
 
 
 
 
26. Observe o gráfico abaixo: 
 
Ele ilustra duas funções: 
f: a porcentagem de famílias nucleares em função do ano; 
g: a porcentagem de famílias resultantes de separações e de divórcios, também em função do 
ano. 
 
Após a análise do gráfico, responda em que ano a quantidade dos dois tipos de famílias será a 
mesma. 
(A) 1987 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
 
Raciocínio Lógico 
93 
(B) 1999 
(C) 2017 
(D) 2020 
(E) 2022 
 
 
 
 
 
27. Rafael fez um exame de seleção para disputar uma vaga numa empresa. O quadro mostra quantas 
questões ele acertou em cada prova. 
MATÉRIA TOTAL DE 
QUESTÕES 
RESPOSTA
S CERTAS 
Português 50 39 
Matemática 40 32 
Inglês 25 21 
Computação 35 28 
Com base nos dados informados, podemos concluir que Rafael obteve o melhor desempenho em: 
(A) Matemática (80%) 
(B) Computação (83%) 
(C) Inglês (84%) 
(D) Português (78%) 
(E) Todas as anteriores possuem valores percentuais incorretos. 
 
28. O salário de Pitágoras equivale a 90% do de Euler. A diferença entre os salários é de R$ 500,00. Qual é 
o salário de Pitágoras? 
(A) R$ 3500,00 
(B) R$ 2600,00 
(C) R$ 3900,00 
(D) R$ 4500,00 
(E) R$ 5500,00 
 
 
 
 
 
29. Uma empresa possui 16 funcionários 
administrativos, dos quais serão escolhidos três 
para os cargos de: diretor, vice-diretor e tesoureiro. 
De quantas maneiras pode ser feita a escolha? 
(A) 3360 (D) 6033 
(B) 3630 (E) 6330 
(C) 6303 
 
30. Um caminhão baú pode levar, no máximo, 58 
caixas do tipo A ou B, de mesmo tamanho. Elas 
têm, respectivamente 56 kg e 72 kg. A carga 
máxima para esse caminhão é de 3,84 toneladas 
em cada viagem. 
Quantas caixas do tipo de cada tipo, 
respectivamente, A e B pode transportar esse 
caminhão estando ele com carga máxima? 
(A) 15 e 43 (D) 30 e 28 
(B) 21 e 37 (E) 48 e 10 
(C) 29 e 29 
 
31. Ao comprar um aparelho eletrônico, um jovem 
pagou com 
8
7
 do dinheiro que tinha em sua 
carteira. O vendedor, por sua vez, lhe devolveu R$ 
35,00, referentes a 10% de desconto, por ter ele 
efetuado o pagamento a vista. 
Ao somar o dinheiro que ficara em sua carteira com 
aquele que lhe foi devolvido pelo vendedor, o 
jovem encontrou a quantia de 
(A) R$ 65,00 
(B) R$ 75,00 
(C) R$ 85,00 
(D) R$ 95,00 
(E) R$ 105,00 
 
32. A soma de um número com sua sexta parte é 
63. Ao subtrair desse número sua nona parte, 
obtém-se 
(A) 46 (B) 48 (C) 50 (D) 52 (E) 54 
 
33. Seja a função definida por f(x)= 
5x
2x

. O 
domínio da função inversa de f(x) é 
(A) {x  R / x  2 } 
(B) {x  R / x > 2 } 
(C) {x  R / x < 2 } 
(D) {x  R / x  2 } 
(E) {x  R / x  2 } 
 
 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
Raciocínio Lógico 
94 
34. Em uma progressão aritmética, na qual o 
primeiro termo vale 11 e a razão vale 2, o oitavo 
termo vale 
(A) 3 (D) 3 
(B) 1 (E) 5 
(C) 1 
 
35. Sejam f e g funções definidas por f(x) = 
2x + 1 e g(x) = 2x + 1 . 
O valor de g[f(1)] + f[g(0)] é 
(A) 17 (B) 19 (C) 21 (D) 23 (E) 25 
 
36. A área de um triângulo retângulo é de 12 unidades 
quadradas. Sabendo-se que a medida de um dos 
catetos é 
3
2
 da medida do outro e que a 
hipotenusa mede n2 unidades, o valor de n é 
(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10 (E) 13 
 
37. Quantos cubos do tipo A devem ser utilizados para formar um cubo semelhante ao cubo B da figura a 
seguir? 
 (A) 8 
(B) 16 
(C) 27 
(D) 36 
(E) 64 
 
 
 
 
 
38. Os ponteiros de um relógio marcam treze horas e trinta minutos, conforme a figura abaixo, que serve 
apenas para ilustrar o problema. 
 
O menor ângulo entre esses ponteiros é 
(A) 135° 
(B) 150° 
(C) 155° 
(D) 160° 
(E) 165° 
 
39. Duas retas r e s são paralelas quando têm o mesmo coeficiente angular. O valor de p, para que as 
retas r: (p + 2)x – y + 1 = 0 e s: 2x – 3y + 4 = 0 sejam paralelas, é 
 (A) 3 
(B) 
3
4
 
(C) 
4
3
 
(D) 
3
1 
(E) 4 
 
 
 
40. Uma reta t é tangente à circunferência de equação x2 + y2 – 4x – 2y + 1 = 0 exatamente em um 
ponto P. 
A distância do centro C da circunferência dada até a reta t é 
B A 
 
Trabalhando pela sua conquista. 
 
 
Matemática 95 
(A) 2 
(B) 3 
(C) 4 
(D) 5 
(E) 6 
 
GABARITO: 
1. C 2. A 3. C 4. B 5. B 6. B 7. C 8. D 9. A 10. C 
11. C 12. B 13. A 14. A 15. C 16. D 17. D 18. C 19. D 20. E 
21. A 22. B 23. C 24. D 25. E 26. D 27. C 28. D 29. A 30. B 
31. C 32. B 33. A 34. D 35. C 36. E 37. C 38. A 39. B 40. A