3-Matemática

da adição
Comutativa: A + B = B + A 
Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) 
Elemento neutro: A + O = O + A = A 
Elemento Oposto: A + (-A) = (-A) + A = O 
Transposta da soma: (A + B)t = At + Bt
Subtração de matrizes
Sejam A=(aij), B=(bij) e C=(cij), matrizes do mesmo tipo 
m x n. Diz-se que C é a diferença A-B, se, e somente se, 
C=A+(-B).
 
Multiplicação de um número por uma matriz
Considere:
Multiplicação de matrizes
O produto (linha por coluna) de uma matriz A = (aij)
m x p por uma matriz B = (bij)p x n é uma matriz C = (cij)m x n, de modo que cada elemento cij é obtido multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i de A pelos ele-
mentos da coluna j de B, e somando-se os produtos assim 
obtidos.
Dada as matrizes:
 
Matriz Inversa
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Uma matriz B 
é chamada inversa de A se, e somente se, 
Exemplo:
Determine a matriz inversa de A.
Solução
Seja 
Temos que x=3; y=2; z=1; t=1
Logo, 
Determinante
Dada uma matriz quadrada, chama-se determinante o 
número real a ela associado.
Cálculo do determinante
Determinante de ordem 1
Determinante de ordem 2
Dada a matriz 
O determinante é dado por:
Determinante de ordem 3
Regra 1: 
Repete a primeira e a segunda coluna
16
MATEMÁTICA
Regra 2
detA= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a32 a21 a13 - a31 a22 a13 -a12 a21 a33 - a32 a23 a11
Sistema de equações lineares
Um sistema de equações lineares mxn é um conjunto 
de m equações lineares, cada uma delas com n incógnitas.
Em que:
Sistema Linear 2 x 2
Chamamos de sistema linear 2 x 2 o con junto de equa-
ções lineares a duas incógnitas, consideradas simultanea-
mente.
Todo sistema linear 2 x 2 admite a forma geral abaixo:



=+
=+
222
111
cyba
cybxa
Sistema Linear 3x3
Sistemas Lineares equivalentes
Dois sistemas lineares que admitem o mesmo conjunto 
solução são ditos equivalentes. Por exemplo:
São equivalentes, pois ambos têm o mesmo conjunto 
solução S={(1,2)}
Denominamos solução do sistema linear toda sequên-
cia ordenada de números reais que verifica, simultanea-
mente, todas as equações do sistema.
Dessa forma, resolver um sistema significa encontrar 
todas as sequências ordenadas de números reais que satis-
façam as equações do sistema.
Matriz Associada a um Sistema Linear
Dado o seguinte sistema:
 
Matriz incompleta
 
Classificação
1. Sistema Possível e Determinado
O par ordenado (2, 1) é solução da equação, pois
Como não existe outro par que satisfaça simultanea-
mente as duas equações, dizemos que esse sistema é SP-
D(Sistema Possível e Determinado), pois possui uma única 
solução.
2. Sistema Possível e Indeterminado
esse tipo de sistema possui infinitas soluções, os valo-
res de x e y assumem inúmeros valores. Observe o sistema 
a seguir, x e y podem assumir mais de um valor, (0,4), (1,3), 
(2,2), (3,1) e etc. 
3. Sistema Impossível
Não existe um par real que satisfaça simultaneamente 
as duas equações. Logo o sistema não tem solução, por-
tanto é impossível.
Sistema Escalonado
Sistema Linear Escalonado é todo sistema no qual as 
incógnitas das equações lineares estão escritas em uma 
mesma ordem e o 1º coeficiente não-nulo de cada equa-
ção está à direita do 1º coeficiente não-nulo da equação 
anterior.
17
MATEMÁTICA
Exemplo
Sistema 2x2 escalonado.
Sistema 3x3
A primeira equação tem três coeficientes não-nulos, a 
segunda tem dois e a terceira, apenas um.
Sistema 2x3
Resolução de um Sistema Linear por Escalonamento
Podemos transformar qualquer sistema linear em um 
outro equivalente pelas seguintes transformações elemen-
tares, realizadas com suas equações:
-trocas as posições de duas equações
-Multiplicar uma das equações por um número real di-
ferente de 0.
-Multiplicar uma equação por um número real e adi-
cionar o resultado a outra equação.
Exemplo
Inicialmente, trocamos a posição das equações, pois é 
conveniente ter o coeficiente igual a 1 na primeira equação.
Depois eliminamos a incógnita x da segunda equação
Multiplicando a equação por -2:
Somando as duas equações:
Sistemas com Número de Equações Igual ao Núme-
ro de Incógnitas
Quando o sistema linear apresenta nº de equações 
igual ao nº de incógnitas, para discutirmos o sistema, ini-
cialmente calculamos o determinante D da matriz dos coe-
ficientes (incompleta), e:
- Se D ≠ 0, o sistema é possível e determinado.
- Se D = 0, o sistema é possível e indeterminado ou 
impossível.
Para identificarmos se o sistema é possível, indetermi-
nado ou impossível, devemos conseguir um sistema esca-
lonado equivalente pelo método de eliminação de Gauss.
Exemplos
- Discutir, em função de a, o sistema:



=+
=+
12
53
ayx
yx
Resolução
6060
6
2
31
=⇒=−⇒=
−==
aaD
a
a
D
Assim, para a ≠ 6, o sistema é possível e determinado.
Para a ≠ 6, temos:



−=+
=+




−←=+
=+
900
53
~2162
53
yx
yx
yx
yx
Que é um sistema impossível.
Assim, temos:
a ≠ 6 → SPD (Sistema possível e determinado)
a = 6 → SI (Sistema impossível)
Regra de Cramer
Consideramos os sistema . Suponhamos 
que a ≠ 0. Observamos que a matriz incompleta desse 
sistema é , cujo determinante é indicado por 
D = ad – bc.
Se substituirmos em M a 2ª coluna (dos coeficientes 
de y) pela coluna dos coeficientes independentes, obte-
remos ,cujo determinante é indicado por Dy = af 
– ce.
Assim, .
Substituindo esse valor de y na 1ª equação de (*) e 
considerando a matriz , cujo determinante é indi-
cado por Dx = ed – bf, obtemos , D ≠ 0.
18
MATEMÁTICA
SEQUÊNCIAS, PROGRESSÃO ARITMÉTICA E 
GEOMÉTRICA
Sequências
Sempre que estabelecemos uma ordem para os ele-
mentos de um conjunto, de tal forma que cada elemento 
seja associado a uma posição, temos uma sequência.
O primeiro termo da sequência é indicado por a1,o se-gundo por a2, e o n-ésimo por an.
Termo Geral de uma Sequência
Algumas sequências podem ser expressas mediante 
uma lei de formação. Isso significa que podemos obter um 
termo qualquer da sequência a partir de uma expressão, 
que relaciona o valor do termo com sua posição.
Para a posição n(n∈N*), podemos escrever an=f(n)
Progressão Aritmética
Denomina-se progressão aritmética(PA) a sequência 
em que cada termo, a partir do segundo, é obtido adicio-
nando-se uma constante r ao termo anterior. Essa constan-
te r chama-se razão da PA.
Exemplo
A sequência (2,7,12) é uma PA finita de razão 5:
Classificação
As progressões aritméticas podem ser classificadas de 
acordo com o valor da razão r.
r<0, PA decrescente
r>0, PA crescente
r=0 PA constante
Propriedades das Progressões Aritméticas
-Qualquer termo de uma PA, a partir do segundo, é a 
média aritmética entre o anterior e o posterior.
-A soma de dois termos equidistantes dos extremos é 
igual à soma dos extremos.
Termo Geral da PA
Podemos escrever os elementos da PA(a1, a2, a3, ..., an,...) da seguinte forma:
Observe que cada termo é obtido adicionando-se ao 
primeiro número de razões r igual à posição do termo me-
nos uma unidade.
Soma dos Termos de uma Progressão Aritmética
Considerando a PA finita (6,10, 14, 18, 22, 26, 30, 34).
6 e 34 são extremos, cuja soma é 40
Numa PA finita, a soma de dois termos equidistantes 
dos extremos é igual à soma dos extremos.
Soma dos Termos
Usando essa propriedade, obtemos a fórmula que per-
mite calcular a soma dos n primeiros termos de uma pro-
gressão aritmética.
 
Exemplo
Uma progressão aritmética finita possui 39 termos. O 
último é igual a 176 e o central e igual a 81. Qual é o pri-
meiro termo?
19
MATEMÁTICA
Solução
Como esta sucessão possui 39 termos, sabemos que o 
termo central é o a20, que possui 19 termos à sua