Resumo Matemática 1°EM

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Matemática
Conjuntos Numéricos
Os conjuntos numéricos reúnem diversos conjuntos cujos elementos são números. Eles são formados pelos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais. O ramo da matemática que estuda os conjuntos numéricos é a Teoria dos conjuntos.
Confira abaixo as características de cada um deles tais como conceito, símbolo e subconjuntos.
Conjunto dos Números Naturais (N)
O conjunto dos números naturais é representado por N. Ele reúne os números que usamos para contar (incluindo o zero) e é infinito.
Subconjuntos dos Números Naturais
· N* = {1, 2, 3, 4, 5..., n, ...} ou N* = N – {0}: conjuntos dos números naturais não-nulos, ou seja, sem o zero.
· Np = {0, 2, 4, 6, 8..., 2n, ...}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais pares.
· Ni = {1, 3, 5, 7, 9..., 2n+1, ...}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais ímpares.
· P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}: conjunto dos números naturais primos.
Conjunto dos Números Inteiros (Z)
O conjunto dos números inteiros é representado por Z. Reúne todos os elementos dos números naturais (N) e seus opostos. Assim, conclui-se que N é um subconjunto de Z (N ⊂ Z):
Subconjuntos dos Números Inteiros
· Z* = {..., –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, ...} ou Z* = Z – {0}: conjuntos dos números inteiros não-nulos, ou seja, sem o zero.
· Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}: conjunto dos números inteiros e não-negativos. Note que Z+ = N.
· Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, ...}: conjunto dos números inteiros positivos e sem o zero.
· Z – = {..., –5, –4, –3, –2, –1, 0}: conjunto dos números inteiros não-positivos.
· Z*– = {..., –5, –4, –3, –2, –1}: conjunto dos números inteiros negativos e sem o zero.
Conjunto dos Números Racionais (Q)
O conjunto dos números racionais é representado por Q. Reúne todos os números que podem ser escritos na forma p/q, sendo p e q números inteiros e q≠0.
Q = {0, ±1, ±1/2, ±1/3, ..., ±2, ±2/3, ±2/5, ..., ±3, ±3/2, ±3/4, ...}
Note que todo número inteiro é também número racional. Assim, Z é um subconjunto de Q.
Subconjuntos dos Números Racionais
· Q* = subconjunto dos números racionais não-nulos, formado pelos números racionais sem o zero.
· Q+ = subconjunto dos números racionais não-negativos, formado pelos números racionais positivos e o zero.
· Q*+ = subconjunto dos números racionais positivos, formado pelos números racionais positivos, sem o zero.
· Q– = subconjunto dos números racionais não-positivos, formado pelos números racionais negativos e o zero.
· Q*– = subconjunto dos números racionais negativos, formado números racionais negativos, sem o zero.
Conjunto dos Números Irracionais (I)
O conjunto dos números irracionais é representado por I. Reúne os números decimais não exatos com uma representação infinita e não periódica, por exemplo: 3,141592... ou 1,203040...
Importante ressaltar que as dízimas periódicas são números racionais e não irracionais. Elas são números decimais que se repetem após a vírgula, por exemplo: 1,3333333...
Conjunto dos Números Reais (R)
O conjunto dos números reais é representado por R. Esse conjunto é formado pelos números racionais (Q) e irracionais (I). Assim, temos que R = Q ∪ I. Além disso, N, Z, Q e I são subconjuntos de R.
Mas, observe que se um número real é racional, ele não pode ser também irracional. Da mesma maneira, se ele é irracional, não é racional.
Subconjuntos dos Números Reais
· R*= {x ∈ R│x ≠ 0}: conjunto dos números reais não-nulos.
· R+ = {x ∈ R│x ≥ 0}: conjunto dos números reais não-negativos.
· R*+ = {x ∈ R│x > 0}: conjunto dos números reais positivos.
· R– = {x ∈ R│x ≤ 0}: conjunto dos números reais não-positivos.
· R*– = {x ∈ R│x < 0}: conjunto dos números reais negativos.
Intervalos Numéricos
Há ainda um subconjunto relacionado com os números reais que são chamados de intervalos. Sejam a e b números reais e a < b, temos os seguintes intervalos reais:
Intervalo aberto de extremos: ]a,b[ = {x ∈ R│a < x < b}
Intervalo fechado de extremos: [a,b] = {x ∈ R│a ≤ x ≤ b}
Intervalo aberto à direta (ou fechado à esquerda) de extremos: [a,b[ = {x ∈ R│a ≤ x < b}
Intervalo aberto à esquerda (ou fechado à direita) de extremos: ]a,b] = {x ∈ R│a < x ≤ b}
Propriedades dos Conjuntos Numéricos
Para facilitar os estudos sobre os conjuntos numéricos, segue abaixo algumas de suas propriedades:
· O conjunto dos números naturais (N) é um subconjunto dos números inteiros: Z (N ⊂ Z).
· O conjunto dos números inteiros (Z) é um subconjunto dos números racionais: (Z ⊂ Q).
· O conjunto dos números racionais (Q) é um subconjunto dos números reais (R).
· Os conjuntos dos números naturais (N), inteiros (Z), racionais (Q) e irracionais (I) são subconjuntos dos números reais (R).
Diagrama de Venn
O diagrama de Venn é uma forma gráfica que representa os elementos de um conjunto. Para fazer essa representação utilizamos formas geométricas.
Para indicar o conjunto universo, normalmente usamos um retângulo e para representar subconjuntos do conjunto universo empregamos círculos. Dentro dos círculos são incluídos os elementos do conjunto.
Quando dois conjuntos possuem elementos em comum, os círculos são desenhados com uma área de intersecção.
O diagrama de Venn recebe esse nome em homenagem ao matemático britânico John Venn (1834-1923) e foi concebido para representar operações entre conjuntos.
Além de ser aplicado em conjuntos, o diagrama de Venn é empregado nas mais diversas áreas do conhecimento como por exemplo lógica, estatística, ciências da computação, ciências sociais, entre outras.
Relação de inclusão entre conjuntos
Quando todos os elementos de um conjunto A também são elementos de um conjunto B, dizemos que o conjunto A é subconjunto de B, ou seja o conjunto A é parte do conjunto B.
Indicamos este tipo de relação por  e lemos "A está contido em B". Podemos usar ainda  que representa "B contém A".
Para representar a relação de inclusão através do diagrama de Venn, colocamos um círculo dentro de um outro círculo para indicar que um conjunto é subconjunto do outro.
Operações entre conjuntos
Diferença
A diferença entre dois conjuntos corresponde a operação de escrever um conjunto, eliminando os elementos que também fazem parte de um outro conjunto.
Essa operação é indicada por A - B e o resultado será os elementos que pertencem a A mas que não pertencem a B.
Para representar esta operação através do diagrama de Venn, desenhamos dois círculos e pintamos um deles excluindo a parte em comum dos conjuntos, como indicado abaixo:
União
A operação de união representa a junção de todos os elementos que pertencem a dois ou mais conjuntos. Para indicar essa operação usamos o símbolo .
No diagrama de Venn essa operação é indicada pintando-se todas a parte interna das circunferências que representam os conjuntos, de acordo com a imagem seguinte:
A intersecção entre conjuntos significa os elementos comuns, ou seja, todos os elementos que pertençam ao mesmo tempo a todos os conjuntos.
Assim, dados dois conjuntos A e B, a intersecção entre eles será denotada por  e indicada no diagrama de Venn pela pintura da parte comum, conforme indicado abaixo:
Números Primos e Compostos
Os números primos têm como únicos divisores eles mesmos e a unidade, os números que têm outros divisores além deles mesmos e a unidade são chamados de compostos.
Números primos
Um número o será primo se tiver apenas dois divisores: ele mesmo e a unidade.
Um número primo a só pode ser expresso como produto dele mesmo pela unidade:
a = a • 1
O número 2 é primo porque só tem dois divisores: {2, 1}.
O número 2 só pode ser expresso sob a forma
2 = 2 • 1.
O número 13 é primo porque só tem dois divisores: {13, 1}.
O número 13 só pode ser expresso como 13 = 13 • 1.
Números compostos
Um número será composto se tiver outros divisores além dele mesmo e da unidade. Um número composto pode ser decomposto como produto de outros fatores. O número 6 é composto porque seus divisores são: {1, 2, 3, 6}. O número 1 8 é composto porque seus divisores são: {1, 2, 3, 6, 9, 18}.
O número 6 pode ser expresso como produto de fatores primos: 6 = 6 • 1 ou 6 = 2 • 3.
Onúmero 18 pode ser expresso como produto de fatores: 18 = 1 • 18 ou 18 = 2 • 9 ou 18 = 3 • 6.
Exemplo:
Como averiguar se um número é primo ou composto?
· Deve-se dividir o número por sucessivos números primos: 2, 3, 5, 7, …
· Caso se obtenha uma divisão exata, o número será composto.
· Caso se obtenha uma divisão em que o quociente seja igual ou menor que o divisor, sem chegar previamente a uma divisão exata, o número será primo.
Como averiguar se o número 101 é primo ou composto?
· O número 101 não é divisível por 2 porque não termina em zero nem em algarismo par;
· não é divisível por 3 porque 1 +0+1 =2, que não é múltiplo de 3;
· não é divisível por 5 porque termina em 1;
O número 101 é um número primo.
Números primos entre si
Dois números serão primos entre si (ou primos relativos) se o único divisor comum de ambos for a unidade.
Exemplo:
Para verificar se os números 8 e 15 são primos entre si:
1. Calcular os divisores de 8: {1, 2, 4, 8}.
2. Calcular os divisores de 15: {1, 3, 5, 15}.
Como o único divisor comum de ambos é 1, 8 e 15 são números primos entre si.
MMC - Mínimo Múltiplo Comum
O mínimo múltiplo comum (MMC) corresponde ao menor número inteiro positivo, diferente de zero, que é múltiplo ao mesmo tempo de dois ou mais números.
Lembre-se que para encontrar os múltiplos de um número, basta multiplicar esse número pela sequência dos números naturais.
Note que o zero (0) é múltiplo de todos os números naturais e que os múltiplos de um número são infinitos.
Para saber se um número é múltiplo de um outro, devemos descobrir se um é divisível pelo outro.
Por exemplo, 25 é múltiplo de 5, pois ele é divisível por 5.
Obs: Além do MMC, temos o MDC que corresponde ao máximo divisor comum entre dois números inteiros.
Como Calcular o MMC?
O cálculo do MMC, pode ser feito, através da comparação da tabuada desses números. Por exemplo, vamos descobrir o MMC de 2 e 3. Para isso, vamos comparar a tabuada de 2 e 3:
Note que o menor múltiplo em comum é o número 6. Portanto, dizemos que o 6 é o mínimo múltiplo comum (MMC) de 2 e 3.
Essa forma de encontrar o MMC é bem direta, mas quando temos números maiores ou mais de dois números, não é muito prática.
Para essas situações, o melhor é usar o método da fatoração, ou seja, decompor os números em fatores primos. Acompanhe, no exemplo abaixo, como calcular o MMC entre 12 e 45 usando esse método:
Observe que nesse processo vamos dividindo os elementos pelos números primos, ou seja, aqueles números naturais divisíveis por 1 e por ele mesmo: 2, 3, 5, 7, 11, 17, 19...
No final, multiplicam-se os números primos que foram utilizados na fatoração e encontramos o MMC.
Mínimo Múltiplo Comum e Frações
O mínimo múltiplo comum (MMC) é também muito utilizado em operações com frações. Sabemos que para somar ou subtrair frações é necessário que os denominadores sejam iguais.
Assim, calculamos o MMC entre os denominadores, e este passará a ser o novo denominador das frações.
Vejamos abaixo um exemplo:
Como os denominadores são diferentes, o primeiro passo é encontrar o MMC entre 5 e 6. Fatorando, temos:
Agora que já sabemos que o MMC entre 5 e 6 é 30, podemos efetuar a soma, fazendo as seguintes operações, conforme indicado no diagrama abaixo:
Propriedades do MMC
· Entre dois números primos, o MMC será o produto entre eles.
· Entre dois números em que o maior é divisível pelo menor, o MMC será o maior deles.
· Ao multiplicar ou dividir dois números por um outro diferente de zero, o MMC aparece multiplicado ou dividido por esse outro.
· Ao dividir o MMC de dois números pelo máximo divisor comum (MDC) entre eles, o resultado obtido é igual ao produto de dois números primos entre si.
· Ao multiplicar o MMC de dois números pelo máximo divisor comum (MDC) entre eles, o resultado obtido é o produto desses números.
MDC - Máximo Divisor Comum
O máximo divisor comum (MDC ou M.D.C) corresponde ao maior número divisível entre dois ou mais números inteiros.
Lembre-se que os números divisores são aqueles que ocorrem quando o resto da divisão é igual a zero. Por exemplo, o número 12 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6 e 12. Se dividirmos esses números pelo 12 obteremos um resultado exato, sem que haja um resto na divisão.
Quando um número tem apenas dois divisores, ou seja, ele é divisível somente por 1 e por ele mesmo, eles são chamados de números primos.
Vale notar que todo número natural possui divisores. O menor divisor de um número será sempre o número 1. Por sua vez, o maior divisor de um número é o próprio número.
Obs: Além do MDC temos o MMC (mínimo múltiplo comum) que corresponde ao menor número inteiro positivo de dois ou mais números inteiros.
Atenção!
O zero (0) não é divisor de nenhum número.
Propriedades do MDC
· Quando fatoramos dois ou mais números, o MDC deles é o produto dos fatores comuns a eles, por exemplo, o MDC de 12 e 18 é 6;
· Quando temos dois números consecutivos entre si, podemos concluir que o MDC deles é 1, uma vez que eles serão sempre números primos entre si. Por exemplo: 25 e 26 (o maior número que divide ambos é o 1);
· Quando temos dois ou mais números e um deles é divisor dos outros, podemos concluir que ele é o MDC dos números, por exemplo, 3 e 6. (se 3 é divisor de 6, ele é o MDC de ambos)
Como calcular o MDC?
Para calcular o máximo divisor comum (MDC) entre números, devemos realizar a fatoração por meio da decomposição dos números indicados.
Para exemplificar, vamos calcular através da fatoração o MDC do 20 e 24:
Para saber o MDC dos números, devemos olhar à direita da fatoração e ver quais números dividiram simultaneamente os dois e multiplicá-los.
Assim, pela fatoração podemos concluir que o 4 (2x2) é o maior número que divide ambos e, portanto, é o máximo divisor comum de 20 e 24.
Teorema Fundamental da Aritmética
Sabemos que toda matéria é formada por pequenas partículas: os átomos. Os gregos antigos foram os primeiros a saber que a matéria é formada por tais partículas e o filósofo grego Demócrito (que viveu entre 546 e 460 a.C.) foi quem denominou essas partículas de átomos (do grego – a: não; tomo: divisão), pois acreditava que, de fato, elas eram indivisíveis. Hoje se sabe que os átomos podem ser divididos em partículas menores, mas a ideia de que a matéria existe em “unidades mínimas” segue vigente…
Na aritmética, essa ideia de “unidades mínimas” também existe e também veio lá da Grécia antiga. Só que o papel dos átomos, neste caso, é exercido pelos chamados números primos. Os pitagóricos (de 500 a 300 a.C., mais ou menos) foram os primeiros a se interessarem pelas propriedades “místicas” desses números.
Mas, diferentemente dos átomos de verdade, os números primos continuam, e vão continuar funcionando como blocos numéricos fundamentais, responsáveis por gerar todos os números naturais diferentes de 0 e de 1. Esta propriedade é conhecida como Teorema Fundamental da Aritmética – o TFA que nomeia esta Sala – e ela garante que um número natural diferente de 0 e de 1 ou é um número primo ou pode ser escrito como produto de números primos, conforme ilustra os exemplos a seguir.
840 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 7 1386 = 2 × 3 × 3 × 7 × 11
O Teorema Fundamental da Aritmética já aparece publicado nos Elementos de Euclides, mas a primeira demonstração completa e correta do Teorema foi feita por Gauss e publicada em 1801, na obra Disquisitiones Arithmeticae.
Todo número natural maior do que 1 ou é primo ou pode ser escrito como produto de fatores primos.
Juros Simples
Juros simples é um acréscimo calculado sobre o valor inicial de uma aplicação financeira ou de uma compra feita a crédito, por exemplo.
O valor inicial de uma dívida, empréstimo ou investimento é chamado de capital. A esse valor é aplicada uma correção, chamada de taxa de juros, que é expressa em porcentagem.
Os juros são calculados considerando o período de tempo em que o capital ficou aplicado ou emprestado.
Exemplo
Um cliente de uma loja pretende comprar uma televisão, que custa 1000 reais à vista, em 5 parcelas iguais. Sabendo que a loja cobra uma taxa de juros de 6% ao mês nas comprasa prazo, qual o valor de cada parcela e o valor total que o cliente irá pagar?
Quando compramos algo parcelado, os juros determinam o valor final que iremos pagar. Assim, se compramos uma televisão a prazo iremos pagar um valor corrigido pela taxa cobrada.
Ao parcelamos esse valor em cinco meses, se não houvesse juros, pagaríamos 200 reais por mês (1000 divididos por 5). Mas foi acrescido 6 % a esse valor, então temos:
Desta forma, teremos um acréscimo de R$ 12 ao mês, ou seja, cada prestação será de R$ 212. Isso significa que, no final, pagaremos R$ 60 a mais do valor inicial.
Logo, o valor total da televisão a prazo é de R$1060.
Fórmula
A fórmula para calcular os juros simples é expressa por:
J = C. i. t
J: juros
C: capital
i: taxa de juros. Para substituir na fórmula, a taxa deverá estar escrita na forma de número decimal. Para isso, basta dividir o valor dado por 100.
t: tempo. A taxa de juros e o tempo devem se referir à mesma unidade de tempo.
Podemos ainda calcular o montante, que é o valor total recebido ou devido, ao final do período de tempo. Esse valor é a soma dos juros com valor inicial (capital).
Sua fórmula será:
M = C + J → M = C + C. i. t
Da equação acima, temos, portanto, a expressão:
M = C. (1 + i. t)
RAZÃO
A razão entre dois números a e b, nessa ordem, nada mais é que o quociente (b ≠ 0).
Ex.: A razão entre 5 e 7 é .
A razão entre 4 e 6 é  ou .
PROPORÇÃO
Proporção é a igualdade de duas razões, ou seja, dados quatro números a, b, c e d (com b ≠ 0 e d ≠ 0), então:
 Proporção
Ex: A razão entre 5 e 10 é  e a razão entre 6 e 12 é , então:
  é uma proporção.
OBSERVAÇÃO
  logo, essas duas razões não formam uma proporção.
PROPRIEDADES
Dados os números a, b, c e d (com b ≠ 0 e d ≠ 0) e se , então:
 (quando ab tiver o mesmo sinal de cd).
OBSERVAÇÃO
Muito abordado em provas, o GNV (Gás Natural Veicular) ganhou grande destaque no cenário nacional na década passada, como uma importante alternativa para a população brasileira no que diz respeito ao consume de combustíveis. Mais econômico e mais rentável que o álcool e a gasolina, o GNV acabou sendo adquirido por muitos condutores sendo tema de muitas questões de vestibular.
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS (GDP)
Uma grandeza A é dita diretamente proporcional a uma grandeza B se, e somente se, as razões entre os valores correspondentes de A e B forem constantes (coeficiente de proporcionalidade), ou seja, se A = (a1,a2,a3,…) e B = (b1,b2, b3, …), então:
Exemplo:
Quando comparamos a tabela de valores das grandezas preço (em R$) e peso (em kg) de um certo produto:
Notamos que:
= k = constante de proporcionalidade
Logo, nesse exemplo, o preço e o peso são grandezas diretamente proporcionais (G.D.P). Observe que se uma grandeza aumenta, a outra também aumenta, ou se uma grandeza diminui, a outra também diminui (na mesma proporção). Concluindo, uma grandeza afeta a outra de forma direta.
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS (GIP) 
Uma grandeza A é dita inversamente proporcional a uma grandeza B, se, e somente se os produtos entre os valores correspondentes de A e B forem constantes (coeficiente de proporcionalidade), ou seja, se A = (a1, a2, a3, …) e B = (b1, b2, b3, …), então:
 k (coeficiente de proporcionalidade)
Exemplo: Quando comparamos a tabela de valores das grandezas velocidade (em km) e tempo (em h) de um certo veículo num determinado percurso:
Notamos que:
 coeficiente de proporcionalidade
Logo, nesse exemplo, a velocidade e o tempo são grandezas inversamente proporcionais (GIP). Observe que se uma grandeza aumenta, a outra grandeza diminui ou se uma grandeza diminui, a outra grandeza aumenta. Concluindo, uma grandeza afeta a outra de forma inversa.
REGRA DE TRÊS
I. Direta (multiplica cruzado)
II. Inversa (multiplica reto)
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
Quando temos que fazer várias regras de três ao mesmo tempo, com grandezas direta e inversamente proporcionais.
A fração com a variável é sempre igual ao produto das outras todas frações, mantendo-as em caso de diretamente proporcional e invertendo as mesmas quando são inversamente proporcionais.
Potenciação de Números Racionais
As regras de potenciação podem ser aplicadas nos números reais de forma geral, mas o conjunto numérico a ser abordado nesse estudo será o dos números racionais, aqueles escritos na forma a / b, com b ≠ 0.
Na potenciação dos números racionais devemos aplicar o expoente aos dois elementos da fração, o numerador e o denominador. Observe:
Números Racionais e Expoente Negativo
Nos casos em que o expoente é negativo, devemos trocar o sinal do expoente e inverter a base racional, isto é, o numerador passa a ser denominador e o denominador passa a ser numerador. Observe:
Reta numérica dos números reais
Uma reta numérica é uma reta na qual foram colocados todos os números reais. Essas retas são construídas com base no conceito de distância entre dois pontos, uma vez que toda distância é representada por um número real e quanto maior esse número, maior a distância que ele representa. Esse é justamente o conceito utilizado para a construção de uma reta numérica. Elas são usadas para medir distâncias e podem ser encontradas em objetos muito comuns como a régua ou a fita métrica.
A seguir, mostraremos como construir uma reta numérica e o modo como os números reais se comportam quando são representados nela.
Construção de uma reta numérica
Os passos que devem ser tomados, na ordem correta, para a construção de uma reta numérica são os seguintes:
1 – Tomar uma reta e, nela, escolher um ponto que representará o número real 0 (zero). Esse ponto será chamado de origem.
2 – Escolher um sentido para essa reta, chamado sentido positivo. Por exemplo, em uma reta horizontal, se escolhermos “da esquerda para a direita” como sentido positivo, um número que estiver mais à direita será maior que um número que estiver mais à esquerda.
Dessa maneira, o primeiro número inteiro que virá à direita do zero será 1, pois esse é o número inteiro imediatamente maior que zero e o primeiro número que virá à esquerda da origem é – 1, pois esse é o número inteiro imediatamente menor que zero.
3 – Escolher uma unidade de medida e usá-la para marcar os números na reta numérica. Esses números devem ser marcados da seguinte maneira: dada uma unidade de medida predefinida, medir a distância entre um ponto e a origem. A distância obtida será o número real relacionado àquele ponto.
Para representar números racionais, escreva-os na forma decimal e os marque na reta numérica conforme o exemplo a seguir: 3,25 é um número formado por 3 inteiros e 25 centésimos. Logo, dividiremos o espaço entre 3 e 4 em 100 partes iguais e marcaremos a que representa 25, como na imagem acima.
Formalização e propriedades da reta numérica
O conceito que permite que as retas sejam relacionadas aos números é o de função. As retas numéricas são uma relação biunívoca entre os números reais e os pontos da reta. Isso significa que cada ponto da reta é representado apenas por um número real e que cada número real representa apenas um número da reta. Essa relação pode ser comparada às funções bijetoras.
Os resultados dessa relação e da construção das retas numéricas, já discutido acima, são as seguintes propriedades:
· Um número mais à direita é maior que um número mais à esquerda.
· À esquerda da origem ficarão todos os números negativos.
· Um número negativo sempre é menor que um número positivo.
Análise combinatória
Podemos determinar a análise combinatória como sendo um conjunto de possibilidade constituído por elementos finitos, a mesma baseia-se em critérios que possibilitam a contagem. Realizamos o seu estudo na lógica matemática, analisando possibilidades e combinações. Acompanhe o exemplo a seguir, para poder compreender melhor o que vêm a ser a análise combinatória.
Exemplo: Descubra quantos números com 3 algarismos conseguimos formar com o conjunto numérico {1, 2, 3}.
Conjunto de elementos finito: {1, 2, 3}
Conjunto de possibilidades de números com 3 algarismos: {123, 132, 213, 231, 312, 321}
Princípio fundamentalda contagem
Determina o número total de possibilidade de um evento ocorrer, pelo produto de m x n. Sendo n e m resultados distintos de um evento experimental.
Exemplo: Jeniffer precisa comprar uma saia, a loja em que está possui 3 modelos de saia diferente nas cores: preto, rosa, azul e amarelo. Quantas opções de escolha Jeniffer possuí.
Para solucionar essa questão utilizamos o princípio fundamental da contagem.
m = 3 (Modelos diferentes de saia), n = 4 (Cores que a saia possui)
m x n = 3 x 4 = 12
Fatorial
O fatorial de um número qualquer, e representado pelo produto:
n! = n. (n - 1). (n - 2). (n - 3). ... . 1!
Exemplo: Calcule 4!
n! = n. (n - 1). (n - 2). (n - 3). ... . 1!
4! = 4. (4 – 1). (4 – 2). (4 – 3)
4! = 4. 3. 2. 1
4! = 24
Permutação simples
Na permutação os elementos que compõem o agrupamento mudam de ordem, ou seja, de posição. Determinamos a quantidade possível de permutação dos elementos de um conjunto, com a seguinte expressão:
Pn = n!
Pn = n. (n-1). (n-2). (n-3) ......1!
Exemplo: Em uma eleição para representante de sala de aula, 3 alunos candidataram-se: Vanessa, Caio e Flávia. Quais são os possíveis resultados dessa eleição?
Vanessa (V), Caio (C), Flávia (F)
Os possíveis resultados dessa eleição podem ser dados com uma permutação simples, acompanhe:
n = 3 (Quantidade de candidatos concorrendo a representante)
Pn = n!
Pn = 3. 2. 1!
Pn = 6
Para a eleição de representante, temos 6 possibilidades de resultado, em relação a posição dos candidatos, ou seja, 1º, 2º e 3º lugar. Veja a seguir os possíveis resultados dessa eleição.
	Resultado 1
	Resultado 2
	Resultado 3
	Resultado 4
	Resultado 5
	Resultado 6
	VCF
	VFC
	CVF
	CFV
	FCV
	FVC
Permutação com repetição
Nessa permutação alguns elementos que compõem o evento experimental são repetidos, quando isso ocorrer devemos aplicar a seguinte fórmula:
Pn(n1,n2,n3…nk)=n!n1!⋅n2!⋅n3!…nk!
· Pn(n1,n2,n3…nk) = permutação com repetição
· n! = total de elemetos do evento
· n1!⋅n2!⋅n3!…nk! = Elementos repetidos do evento
Exemplo: Quantos anagramas são possíveis formar com a palavra CASA.
A palavra CASA possui: 4 letras (n) e duas vogais que se repetem (n1).
· n! = 4!
· n1! = 2!
Pn(n1)=n!n1!
Pn(n1)=4!2!
Pn(n1)=4⋅3⋅2⋅1!2⋅1!
Pn(n1)=242=12
	Anagramas da palavra CASA sem repetição
	CASA
	ACSA
	ASCA
	ASAC
	SCAA
	CSAA
	AASC
	AACS
	CAAS
	SAAC
	SACA
	ACAS
Arranjo simples
No arranjo simples a localização de cada elemento do conjunto forma diferentes agrupamentos, devemos levar em consideração, a ordem de posição do elemento e sua natureza, além disso, devemos saber que ao mudar os elementos de posição isso causa diferenciação entre os agrupamentos.
Para saber a quantidade de arranjos possíveis em p agrupamento com n elementos, devemos utilizar a fórmula a seguir:
An,p=n!(n−p)!
· A = Arranjo
· n = elementos
· p = Agrupamentos
No arranjo a quantidade de agrupamento p, sempre deve ser menor que n, ou seja:
p≤n
Exemplo: Flávia, Maria, Gustavo e Pedro estão participando de uma competição em que há premiação para os três primeiros colocados (1º, 2º e 3º). Quais são as possibilidades de premiação?
· Quantidade de participantes da competição: n = 4
· Quantidade de pessoas em cada agrupamento (premiação): p = 3
An,p=n!(n−p)!
A4,3=4!(4−3)!
A4,3=4⋅3⋅2⋅1!1!
A4,3=241=24
Combinação simples
Na combinação simples, em um agrupamento mudamos somente a ordem dos elementos distintos. Para que isso seja feito podemos recorrer à utilização da fórmula:
Cn,p=n!p!⋅(n−p)!
· C = Combinação
· n = Elementos.
· p = Agrupamento
Sendo sempre: p≤n
Exemplo: De quantos modos diferentes posso separar 10 bolinhas de cores distintas, colocando 2 bolinhas em cada saquinhos
· Total de bolinhas: n = 10
· Quantidade de bolinhas por saquinho: p = 2
Cn,p=n!p!⋅(n−p)!
C10,2=10!2!⋅(10−2)!
C10,2=36288002⋅(8)!
C10,2=36288002⋅(40320)
C10,2=362880080640=45
Função afim (polinomial do 1º grau).
Função quadrática (polinomial do 2º grau), zeros, coeficientes, pontos de máximo e mínimo, concavidade, eixo de simetria. 
2.7 Função exponencial
Sistema com Três Variáveis
Um sistema de equações pode ser formado por várias incógnitas, mas somente será resolvido se o número de termos desconhecidos for igual ao número de equações do sistema. Os sistemas com três variáveis podem ser resolvidos através dos processos já conhecidos e estudados, substituição ou adição.
Observe passo a passo a resolução do seguinte sistema com três equações e três variáveis:
Para resolver um sistema desse tipo devemos escolher uma das equações e isolar uma das incógnitas.
x + 2y + z = 12
x = 12– 2y – z
Nas outras duas equações substituímos o valor da incógnita isolada.
x – 3y + 5z = 1
12 – 2y – z – 3y + 5z = 1
–2y –3y –z + 5z = 1 – 12
–5y + 4z = – 11
2x – y + 3z = 10
2 (12 – 2y – z) – y + 3z = 10
24 – 4y – 2z – y + 3z = 10
–4y –y – 2z + 3z = 10 – 24
–5y + z = – 14
Essas duas equações constituirão um sistema com duas variáveis e duas incógnitas, que poderá ser resolvido por qualquer método.
–5y + z = – 14
z = – 14 + 5y
–5y + 4z = –11
–5y + 4 (–14 + 5y) = –11
–5y – 56 + 20y = –11
–5y + 20y = –11 + 56
15y = 45
y = 45 / 15
y = 3
z = – 14 + 5y
z = –14 + 5 * 3
z = –14 + 15
z = 1
Encontrando o valor das duas incógnitas, basta substituir o valor delas na primeira equação. Assim determinaremos o valor das três incógnitas.
x = 12 – 2y  – z
x = 12 – 2 * 3 – 1
x = 12 – 6 – 1
x = 5
Planificação de sólidos geométricos
A planificação de um sólido geométrico é a apresentação de todas as formas que constituem sua superfície em um plano, ou seja, em duas dimensões. Essas planificações são usadas de várias maneiras, como para calcular a área da superfície de um sólido.
Confira as planificações dos sólidos geométricos mais conhecidos e um modo de calcular a área do sólido a partir de sua planificação.
Pirâmides
Pirâmides são figuras geométricas que aparecem com frequência, principalmente na arquitetura. As pirâmides são sólidos geométricos  construídos no espaço com base em um polígono no plano e um ponto fora desse plano. Por tratar-se de uma figura tridimensional, é possível calcular o seu volume, além disso, podemos planificá-la e assim encontrar sua área.
Assim, a área total da pirâmide é dada pela soma da área da base (Ab) com a área lateral (AL) e é denotada por AT, ou seja:
AT = Ab + AL
Tipos de pirâmides
Do mesmo modo como nomeamos os prismas de acordo com o polígono da base, nomeamos também as pirâmides seguindo essa ideia. Por exemplo, se uma pirâmide possui na base um triângulo, ela é chamada de pirâmide de base triangular, agora, se uma pirâmide possui como base um quadrilátero, é chamada de pirâmide de base quadrangular, e assim sucessivamente.
As pirâmides também se dividem em dois grupos: retas e oblíquas. As pirâmides retas são assim chamadas quando a projeção do vértice coincide com o centro da base, caso contrário elas são ditas oblíquas. Veja os exemplos a seguir:
Se em uma pirâmide reta a base for um polígono regular, então a pirâmide será regular. Nesse tipo, a distância do vértice até o centro da base é a altura da pirâmide.
O segmento que une o vértice da pirâmide com o ponto médio de uma aresta da base é chamado de apótema da pirâmide, nesse caso GI. Já o segmento que une o centro da base ao ponto médio de uma aresta da base é chamado de apótema da base, nesse caso HI.
Observe os triângulos GHI e GHF e note que eles são triângulos retângulos, logo, nele o teorema de Pitágoras é valido. Assim:
(GI)2 = (GH)2 + (HI)2
(GF)2 = (GH)2 + (HF)2
Prismas
Os prismas são sólidos geométricos formados por duas bases, que são polígonos quaisquer congruentes e paralelos, e por faces laterais que sempre são paralelogramos.
Nos prismas, a quantidade de faces laterais também é igual ao número de lados de uma de suas bases. Sendo assim, sua planificação sempre apresenta dois polígonos congruentes e alguns paralelogramos, que só serão todos iguais se as bases do prisma forem regulares.
Planificação mais usual de prisma de base pentagonal
Cálculo da área lateral
Observando a imagem do prisma triangular, temos que os paralelogramos ABFC,ABFD e ACDE são as faces laterais. Note que as faces laterais de um prisma sempre serão paralelogramos independentemente do número de lados dos polígonos da base, isso acontece, pois elas são paralelas e congruentes.
Observando a figura do prisma triangular, vemos também que temos três faces laterais. Isso ocorre por conta do número de lados do polígono da base, ou seja, se as bases do prisma forem um quadrilátero, teremos quatro faces laterais, se as bases forem um pentágono, teremos cinco faces laterais, e assim sucessivamente. Dessa forma: o número de lados do polígono da base afeta a quantidade de faces laterais do prisma.
Portanto, a área lateral (AL) de qualquer prisma é dada pela área de uma face lateral multiplicada pela quantidade de faces laterais, ou seja, é a área do paralelogramo multiplicada pelo número de lados da face.
AL = (base · altura) · número de lados da face
· Exemplo
Calcule a área lateral de um prisma hexagonal regular com aresta da base igual a 3 cm e altura igual a 11 cm.
O prisma em questão é representado por:
A área lateral então é calculada pela área do retângulo vezes a quantidade de lados do polígono da base, que é 6, logo:
AL = (base · altura) · número de lados da face
AL = (3 · 11) · 6
AL = 198 cm2
Cones
Os cones são sólidos geométricos formados por um círculo, que é sua base, e por uma superfície curva no formato de funil. As duas figuras geométricas resultantes da planificação de um cone são um setor circular e um círculo. 
A área dos cones pode ser encontrada pela seguinte expressão:
A = π.r(g + r)
Na fórmula, r é o raio do cone e g é a geratriz. Mais detalhes sobre essa fórmula podem ser encontrados aqui. Veja um exemplo de cálculo:
Cilindros
Os cilindros são sólidos geométricos cujas bases são dois círculos paralelos e congruentes. Em sua planificação, temos dois círculos e um retângulo. Veja:
A área do cilindro é determinada pela soma das áreas das duas bases e da superfície lateral. Sabendo que essas figuras são dois círculos congruentes e um retângulo, podemos realizar a seguinte soma:
A = 2AC + AR
A = 2πr2 + bh
Nessa fórmula, r é o raio do cilindro, h é a sua altura e b é a base do retângulo obtido na planificação. Essa base é exatamente o comprimento do círculo: 2πr.
A = 2πr2 + 2πrh
A = 2πr(r + h)
Polígonos regulares inscritos e na circunferência
https://resumos.mesalva.com/poligonos-regulares-inscritos-circunferencia/
Teorema de Tales
O Teorema de Tales é uma teoria aplicada na Geometria e expressa pelo enunciado:
"A intersecção de um feixe de retas paralelas por duas retas transversais forma segmentos proporcionais."
Fórmula do teorema de Tales
Para compreender melhor o teorema de tales, observe a figura abaixo:
Na figura acima as retas transversais u e v interceptam as retas paralelas r, s e t. Os pontos pertencentes na reta u são: A, B e C; e na reta v, os pontos: D, E e F. Logo, de acordo com o Teorema de Tales:
Lê-se: AB está para BC, assim como DE está para EF.
Exemplo: determine a medida de x indicada na imagem.
Aplicando o teorema de Tales, temos:
Teorema de Tales nos triângulos
O teorema de Tales também é aplicado em situações que envolvem triângulos. Veja abaixo um exemplo em que se aplica o teorema:
De acordo com a semelhança de triângulos podemos afirmar que: o triângulo ABC é semelhante ao triângulo AED. É representado da seguinte forma:
Δ ABC ~ Δ AED
Exemplo: determine a medida x indicada na imagem.
Aplicando o teorema de Tales, temos:
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
As relações métricas relacionam as medidas dos elementos de um triângulo retângulo (triângulo com um ângulo de 90º).
Os elementos de um triângulo retângulo estão apresentados abaixo:
Sendo:
a: medida da hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90º)
b: cateto
c: cateto
h: altura relativa à hipotenusa
m: projeção do cateto c sobre a hipotenusa
n: projeção do cateto b sobre a hipotenusa
Semelhança e relações métricas
Para encontrar as relações métricas, utilizaremos semelhança de triângulos. Considere os triângulos semelhantes ABC, HBA e HAC, representados nas imagens:
Como os triângulos ABC e HBA são semelhantes (), temos as seguintes proporções:
Usando que  encontramos a proporção:
Da semelhança entre os triângulos HBA e HAC encontramos a proporção:
Temos ainda que a soma das projeções m e n é igual a hipotenusa, ou seja:
Teorema de Pitágoras
A mais importante das relações métricas é o Teorema de Pitágoras. Podemos demonstrar o teorema usando a soma de duas relações encontradas anteriormente.
Vamos somar a relação b2 = a . n com c2 = a . m, conforme mostrado abaixo:
Como a = m + n, substituindo na expressão anterior, temos:
Assim, o Teorema de Pitágoras pode ser enunciado como:
A hipotenusa ao quadrado é igual a soma dos quadrados dos catetos.
Fórmulas
Na tabela abaixo, reunimos as relações métricas no triângulo retângulo.
Razões Trigonométricas
As razões (ou relações) trigonométricas estão relacionadas com os ângulos de um triângulo retângulo. As principais são: o seno, o cosseno e a tangente.
As relações trigonométricas são resultado da divisão entre as medidas de dois lados de um triângulo retângulo, e por isso são chamadas de razões.
Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo
O triângulo retângulo recebe esse nome pois apresenta um ângulo chamado de reto, que possui o valor de 90°.
Os outros ângulos do triângulo retângulo são menores que 90°, chamados de ângulos agudos. A soma dos ângulos internos é de 180°.
Observe que os ângulos agudos de um triângulo retângulo são chamados de complementares. Ou seja, se um deles tem medida x, o outro terá a medida (90°- x).
Lados do Triângulo Retângulo: Hipotenusa e Catetos
Antes de mais nada, temos que saber que no triângulo retângulo, a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto e o maior lado do triângulo. Já os catetos são os lados adjacentes e que formam o ângulo de 90°.
Note que dependendo dos lados de referência ao ângulo, temos o cateto oposto e o cateto adjacente.
Feita essa observação, as razões trigonométricas no triângulo retângulo são:
Lê-se cateto oposto sobre a hipotenusa.
Lê-se cateto adjacente sobre a hipotenusa.
Lê-se cateto oposto sobre o cateto adjacente.
Vale lembrar que pelo conhecimento de um ângulo agudo e a medida de um dos lados de um triângulo retângulo, podemos descobrir o valor dos outros dois lados.
Ângulos Notáveis
Os chamados ângulos notáveis são os que surgem com maior frequência nos estudos de razões trigonométricas.
Veja a tabela abaixo com o valor dos ângulos de 30°; 45° e 60°:
	Relações Trigonométricas
	30°
	45°
	60°
	Seno
	1/2
	√2/2
	√3/2
	Cosseno
	√3/2
	√2/2
	1/2
	Tangente
	√3/3
	1
	√3
Tabela Trigonométrica
A tabela trigonométrica apresenta os ângulos em graus e os valores decimais do seno, cosseno e tangente. Confira abaixo a tabela completa:
Círculo Trigonométrico
O Círculo Trigonométrico, também chamado de Ciclo ou Circunferência Trigonométrica, é uma representação gráfica que auxilia no cálculo das razões trigonométricas.
Círculo trigonométrico e as razões trigonométricas
De acordo com a simetria do círculo trigonométrico temos que o eixo vertical corresponde ao seno e o eixo horizontal ao cosseno. Cada ponto dele está associado aos valores dos ângulos.
Ângulos Notáveis
No círculo trigonométrico podemos representar as razões trigonométricas de um ângulo qualquer da circunferência.
Chamamos de ângulos notáveis aqueles mais conhecidos (30°, 45° e 60°). As razões trigonométricas mais importantes são seno, cosseno e tangente:
	Relações Trigonométricas
	30°
	45°
	60°
	Seno
	1/2
	√2/2
	√3/2
	Cosseno
	√3/2
	√2/2
	1/2
	Tangente
	√3/3
	1
	√3
Radianos do Círculo Trigonométrico
A medida de um arco no círculo trigonométrico pode ser dada em grau (°) ou radiano (rad).
· 1° corresponde a 1/360 da circunferência. A circunferência é dividida em 360 partes iguais ligadas ao centro, sendo que cada uma delas apresenta um ângulo que corresponde a 1°.
· 1 radiano corresponde à medida de um arco da circunferência, cujo comprimento é igual ao raio dacircunferência do arco que será medido.
Para auxiliar nas medidas, confira abaixo algumas relações entre graus e radianos:
· π rad = 180°
· 2π rad = 360°
· π/2 rad = 90°
· π/3 rad = 60°
· π/4 rad = 45°
Obs: Se quiser converter essas unidades de medidas (grau e radiano) utiliza-se a regra de três.
Exemplo: Qual a medida de um ângulo de 30° em radianos?
π rad -180°
x – 30°
x = 30° . π rad/180°
x = π/6 rad
Quadrantes do Círculo Trigonométrico
Quando dividimos o círculo trigonométrico em quatro partes iguais, temos os quatro quadrantes que o constituem. Para compreender melhor, observe a figura abaixo:
· 1.° Quadrante: 0º
· 2.° Quadrante: 90º
· 3.° Quadrante: 180º
· 4.° Quadrante: 270º
Círculo Trigonométrico e seus Sinais
De acordo com o quadrante em que está inserido, os valores do seno, cosseno e tangente variam.
Ou seja, os ângulos podem apresentar um valor positivo ou negativo.
Para compreender melhor, veja a figura abaixo:
Como Fazer o Círculo Trigonométrico?
Para fazer um círculo trigonométrico, devemos construí-lo sobre o eixo de coordenadas cartesianas com centro em O. Ele apresenta um raio unitário e os quatro quadrantes.
Funções Trigonométricas
As funções trigonométricas, também chamadas de funções circulares, estão relacionadas com as demais voltas no ciclo trigonométrico.
As principais funções trigonométricas são:
· Função Seno
· Função Cosseno
· Função Tangente
No círculo trigonométrico temos que cada número real está associado a um ponto da circunferência.
Funções Periódicas
As funções periódicas são funções que possuem um comportamento periódico. Ou seja, que ocorrem em determinados intervalos de tempo.
O período corresponde ao menor intervalo de tempo em que acontece a repetição de determinado fenômeno.
Uma função f: A → B é periódica se existir um número real positivo p tal que
f(x) = f (x+p), ∀ x ∈ A
O menor valor positivo de p é chamado de período de f.
Note que as funções trigonométricas são exemplos de funções periódicas visto que apresentam certos fenômenos periódicos.
Função Seno
A função seno é uma função periódica e seu período é 2π. Ela é expressa por:
função f(x) = sen x
No círculo trigonométrico, o sinal da função seno é positivo quando x pertence ao primeiro e segundo quadrantes. Já no terceiro e quarto quadrantes, o sinal é negativo.
Além disso, no primeiro e quarto quadrantes a função f é crescente. Já no segundo e terceiro quadrantes a função f é decrescente.
O domínio e o contradomínio da função seno são iguais a R. Ou seja, ela está definida para todos os valores reais: Dom(sen)=R.
Já o conjunto da imagem da função seno corresponde ao intervalo real [-1, 1]: -1 < sen x < 1.
Em relação à simetria, a função seno é uma função ímpar: sen(-x) = -sen(x).
O gráfico da função seno f(x) = sen x é uma curva chamada de senoide:
Função Cosseno
A função cosseno é uma função periódica e seu período é 2π. Ela é expressa por:
função f(x) = cos x
No círculo trigonométrico, o sinal da função cosseno é positivo quando x pertence ao primeiro e quarto quadrantes. Já no segundo e terceiro quadrantes, o sinal é negativo.
Além disso, no primeiro e segundo quadrantes a função f é decrescente. Já no terceiro e quarto quadrantes a função f é crescente.
O domínio e o contradomínio da função cosseno são iguais a R. Ou seja, ela está definida para todos os valores reais: Dom(cos)=R.
Já o conjunto da imagem da função cosseno corresponde ao intervalo real [-1, 1]: -1 < cos x < 1.
Em relação à simetria, a função cosseno é uma função par: cos(-x) = cos(x).
O gráfico da função cosseno f(x) = cos x é uma curva chamada de cossenoide:
Função Tangente
A função tangente é uma função periódica e seu período é π. Ela é expressa por:
função f(x) = tg x
No círculo trigonométrico, o sinal da função tangente é positivo quando x pertence ao primeiro e terceiro quadrantes. Já no segundo e quarto quadrantes, o sinal é negativo.
Além disso, a função f definida por f(x) = tg x é sempre crescente em todos os quadrantes do círculo trigonométrico.
O domínio da função tangente é: Dom(tan)={x ∈ R│x ≠ de π/2 + kπ; K ∈ Z}. Assim, não definimos tg x, se x = π/2 + kπ.
Já o conjunto da imagem da função tangente corresponde a R, ou seja, o conjunto dos números reais.
Em relação à simetria, a função tangente é uma função ímpar: tg(-x) = -tg(-x).
O gráfico da função tangente f(x) = tg x é uma curva chamada de tangentoide:
Lei dos Senos
A Lei dos Senos determina que em um triângulo qualquer, a relação do seno de um ângulo é sempre proporcional à medida do lado oposto a esse ângulo.
Esse teorema demonstra que num mesmo triângulo a razão entre o valor de um lado e o seno de seu ângulo oposto será sempre constante.
Assim, para um triângulo ABC de lados a, b, c, a Lei dos Senos admite as seguintes relações:
Representação da Leis dos Senos no triângulo
Exemplo
Para compreender melhor, vamos calcular a medida dos lados AB e BC desse triângulo, em função da medida b do lado AC.
Pela lei dos senos, podemos estabelecer a seguinte relação:
Logo, AB = 0,816b e BC = 1,115b.
Obs: Os valores dos senos foram consultados na tabela das razões trigonométricas. Nela, podemos encontrar os valores dos ângulos de 1º a 90º de cada função trigonométrica (seno, cosseno e tangente).
Os ângulos de 30º, 45º e 60º são os mais usados nos cálculos de trigonometria. Por isso, eles são chamados de ângulos notáveis. Confira abaixo um quadro com os valores:
	Relações Trigonométricas
	30°
	45°
	60°
	Seno
	1/2
	√2/2
	√3/2
	Cosseno
	√3/2
	√2/2
	1/2
	Tangente
	√3/3
	1
	√3
Aplicação da Lei dos Senos
Utilizamos a Lei dos Senos nos triângulos acutângulos, onde os ângulos internos são menores que 90º (agudos); ou nos triângulos obtusângulos, que apresentam ângulos internos maiores que 90º (obtusos). Nesses casos, também é possível utilizar a Lei dos Cossenos.
O objetivo principal da utilização da Lei dos Senos ou Cossenos é de descobrir as medidas dos lados de um triângulo e ainda, de seus ângulos.
Lei dos Cossenos
A Lei dos Cossenos é utilizada para calcular a medida de um lado ou de um ângulo desconhecido de um triângulo qualquer, conhecendo suas outras medidas.
Enunciado e Fórmulas
O teorema dos cossenos estabelece que:
"Em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados corresponde à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo entre eles."
Assim, pela lei dos cossenos temos as seguintes relações entre os lados e os ângulos de um triângulo:
Exemplos
1. Dois lados de um triângulo medem 20 cm e 12 cm e formam entre si um ângulo de 120º. Calcule a medida do terceiro lado.
Solução
Para calcular a medida do terceiro lado utilizaremos a lei dos cossenos. Para isso, vamos considerar:
b = 20 cm
c = 12 cm
cos α = cos 120º = - 0,5 (valor encontrado em tabelas trigonométricas).
Substituindo esses valores na fórmula:
a2 = 202 + 122 - 2 . 20 . 12 . (- 0,5)
a2 = 400 + 144 + 240
a2 = 784
a = √784
a = 28 cm
Portanto, o terceiro lado mede 28 cm.
2. Determine a medida do lado AC e a medida do ângulo com vértice em A da figura a seguir:
Primeiramente, vamos determinar o AC = b:
b2 = 82 + 102 – 2 . 8 . 10 . cos 50º
b2 = 164 – 160 . cos 50º
b2 = 164 – 160 . 0,64279
b ≈ 7,82
Agora, vamos determinar a medida do ângulo pela lei dos cossenos:
82 = 102 + 7,822 – 2 . 10 . 7,82 . cos Â
64 = 161,1524 – 156,4 cos Â
cos  = 0,62
 = 52º
Obs: Para encontrar os valores dos ângulos do cosseno utilizamos a Tabela Trigonométrica. Nela, temos os valores dos ângulos de 1º a 90º para cada função trigonométrica (seno, cosseno e tangente).
Unidades de Medida
As unidades de medida são modelos estabelecidos para medir diferentes grandezas, tais como comprimento, capacidade, massa, tempo e volume.
O Sistema Internacional de Unidades (SI) define a unidade padrão de cada grandeza. Baseado no sistema métrico decimal, o SI surgiu da necessidade de uniformizar as unidades que são utilizadas na maior parte dos países.
Medidas de Comprimento
Existem várias medidas de comprimento, como por exemplo a jarda, a polegada eo pé.
No SI a unidade padrão de comprimento é o metro (m). Atualmente ele é definido como o comprimento da distância percorrida pela luz no vácuo durante um intervalo de tempo de 1/299.792.458 de um segundo.
Os múltiplos e submúltiplos do metro são: quilômetro (km), hectômetro (hm), decâmetro (dam), decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm).
Medidas de Capacidade
A unidade de medida de capacidade mais utilizada é o litro (l). São ainda usadas o galão, o barril, o quarto, entre outras.
Os múltiplos e submúltiplos do litro são: quilolitro (kl), hectolitro (hl), decalitro (dal), decilitro (dl), centilitro (cl), mililitro (ml).
Medidas de Massa
No Sistema Internacional de unidades a medida de massa é o quilograma (kg). Um cilindro de platina e irídio é usado como o padrão universal do quilograma.
As unidades de massa são: quilograma (kg), hectograma (hg), decagrama (dag), grama (g), decigrama (dg), centigrama (cg) e miligrama (mg).
São ainda exemplos de medidas de massa a arroba, a libra, a onça e a tonelada. Sendo 1 tonelada equivalente a 1000 kg.
Medidas de Volume
No SI a unidade de volume é o metro cúbico (m3). Os múltiplos e submúltiplos do m3 são: quilômetro cúbico (km3), hectômetro cúbico (hm3), decâmetro cúbico (dam3), decímetro cúbico (dm3), centímetro cúbico (cm3) e milímetro cúbico (mm3).
Podemos transformar uma medida de capacidade em volume, pois os líquidos assumem a forma do recipiente que os contém. Para isso usamos a seguinte relação:
1 l = 1 dm3
Tabela de conversão de Medidas
O mesmo método pode ser utilizado para calcular várias grandezas.
Primeiro, vamos desenhar uma tabela e colocar no seu centro as unidades de medidas bases das grandezas que queremos converter, por exemplo:
· Capacidade: litro (l)
· Comprimento: metro (m)
· Massa: grama (g)
· Volume: metro cúbico (m3)
Tudo o que estiver do lado direito da medida base são chamados submúltiplos. Os prefixos deci, centi e mili correspondem respectivamente à décima, centésima e milésima parte da unidade fundamental.
Do lado esquerdo estão os múltiplos. Os prefixos deca, hecto e quilo correspondem respectivamente a dez, cem e mil vezes a unidade fundamental.
	Múltiplos
	Medida Base
	Submúltiplos
	quilo (k)
	hecto (h)
	deca (da)
	
	deci (d)
	centi (c)
	mili (m)
	quilolitro (kl)
	hectolitro (hl)
	decalitro (dal)
	litro (l)
	decilitro (dl)
	centilitro (cl)
	mililitro (ml)
	quilômetro (km)
	hectômetro (hm)
	decâmetro (dam)
	metro (m)
	decímetro (dm)
	centímetro (cm)
	milímetro (ml)
	quilograma (kg)
	hectograma (hg)
	decagrama (dag)
	grama (g)
	decigrama (dg)
	centigrama (cg)
	miligrama (mg)
	quilômetro cúbico (km3)
	hectômetro cúbico (hm3)
	decâmetro cúbico (dam3)
	metro cúbico (m3)
	decímetro cúbico (dm3)
	centímetro cúbico (cm3)
	milímetro cúbico (mm3)
E o Tempo?
A unidade de medida base do tempo no SI é o segundo (s). Atualmente o segundo é definido como o tempo de duração de 9.192.631.770 vibrações da radiação emitida pela transição eletrônica entre os níveis hiperfinos do estado fundamental do átomo de césio 133.
Os múltiplos do segundo são o minuto, a hora e o dia. Essas medidas não são decimais, por isso usa-se as seguintes relações:
1 minuto (min) = 60 segundos (s)
1 hora = 3 600 segundos (s)
60 minutos (min) = 1 hora (h)
24 horas (h) = 1 dia (d)
Os submúltiplos do segundo são:
Décimo de segundo = 0,1 s ou 1/10 s
Centésimo de segundo = 0,01 s ou 1/100 s
Milésimo de segundo = 0,001 s ou 1/1000 s
Áreas de Figuras Planas
Perímetros de Figuras Planas
Área do setor circular
O setor de um círculo é uma região delimitada por dois segmentos de retas que partem do centro para a circunferência. 
O ângulo α é chamado de ângulo central.
Dessa forma, percebemos que o setor circular é uma parte da região circular, ou seja, ele é uma fração da área do círculo. Assim podemos afirmar que a área do setor circular é diretamente proporcional ao valor de α, pois a área de todo o círculo é diretamente proporcional a 360º.
Assim podemos montar a seguinte relação (regra de três):
Área do setor ---------- α
Área do círculo -------- 360°
Asetor  =     α
πr²              360°
Asetor . 360° = α . πr²
Asetor = α . πr²
                  360°
Média, Moda e Mediana
Média
A média (Me) é calculada somando-se todos os valores de um conjunto de dados e dividindo-se pelo número de elementos deste conjunto.
Como a média é uma medida sensível aos valores da amostra, é mais adequada para situações em que os dados são distribuídos mais ou menos de forma uniforme, ou seja, valores sem grandes discrepâncias.
Média Aritmética Simples
Esse tipo de média funciona de forma mais adequada quando os valores são relativamente uniformes.
Por ser sensível aos dados, nem sempre fornece os resultados mais adequados.
Isso porque todos os dados possuem a mesma importância (peso).
Fórmula
Onde,
Ms: média aritmética simples
x1, x2, x3,...,xn: valores dos dados
n: número de dados
Média Aritmética Ponderada
A média aritmética ponderada é calculada multiplicando cada valor do conjunto de dados pelo seu peso.
Depois, encontra-se a soma desses valores que será dividida pela soma dos pesos.
Fórmula
Onde,
Mp: Média aritmética ponderada
p1, p2,..., pn: pesos
x1, x2,...,xn: valores dos dados
Moda
A Moda (Mo) representa o valor mais frequente de um conjunto de dados, sendo assim, para defini-la basta observar a frequência com que os valores aparecem.
Um conjunto de dados é chamado de bimodal quando apresenta duas modas, ou seja, dois valores são mais frequentes.
Mediana
A Mediana (Md) representa o valor central de um conjunto de dados. Para encontrar o valor da mediana é necessário colocar os valores em ordem crescente ou decrescente.
Quando o número elementos de um conjunto é par, a mediana é encontrada pela média dos dois valores centrais. Assim, esses valores são somados e divididos por dois.
Probabilidade
A teoria da probabilidade é o ramo da Matemática que estuda experimentos ou fenômenos aleatórios e através dela é possível analisar as chances de um determinado evento ocorrer.
Quando calculamos a probabilidade, estamos associando um grau de confiança na ocorrência dos resultados possíveis de experimentos, cujos resultados não podem ser determinados antecipadamente.
Desta forma, o cálculo da probabilidade associa a ocorrência de um resultado a um valor que varia de 0 a 1 e, quanto mais próximo de 1 estiver o resultado, maior é a certeza da sua ocorrência.
Por exemplo, podemos calcular a probabilidade de uma pessoa comprar um bilhete da loteria premiado ou conhecer as chances de um casal ter 5 filhos todos meninos.
Experimento Aleatório
Um experimento aleatório é aquele que não é possível prever qual resultado será encontrado antes de realizá-lo.
Os acontecimentos deste tipo quando repetidos nas mesmas condições, podem dar resultados diferentes e essa inconstância é atribuída ao acaso.
Um exemplo de experimento aleatório é jogar um dado não viciado (dado que apresenta uma distribuição homogênea de massa) para o alto. Ao cair, não é possível prever com total certeza qual das 6 faces estará voltada para cima.
Fórmula da Probabilidade
Em um fenômeno aleatório, as possibilidades de ocorrência de um evento são igualmente prováveis.
Sendo assim, podemos encontrar a probabilidade de ocorrer um determinado resultado através da divisão entre o número de eventos favoráveis e o número total de resultados possíveis:
Sendo:
p(A): probabilidade da ocorrência de um evento A
n(A): número de casos que nos interessam (evento A)
n(Ω): número total de casos possíveis
Probabilidade Condicional
Probabilidade condicional ou probabilidade condicionada é um conceito da matemática que envolve dois eventos (A e B) num espaço amostral (S) finito e não vazio.
Espaço Amostral e Eventos
Lembre-se que o “espaço amostral” é o conjunto de resultados possíveis obtidos a partir de um evento ou fenômeno aleatório. Já os subconjuntos de um espaço amostral são denominados “eventos”.
Sendo assim, temos que a probabilidade, ou seja, o cálculo das ocorrências possíveis num experimento aleatório,é calculada pela divisão de eventos pelo espaço amostral.
Ela é expressa pela fórmula:
Onde,
P: probabilidade
na: número de casos (eventos) favoráveis
n: número de casos (eventos) possíveis
Espaço Amostral
Representado pela letra Ω, o espaço amostral corresponde ao conjunto de resultados possíveis obtidos a partir de um experimento aleatório.
Por exemplo, ao retirar ao acaso uma carta de um baralho, o espaço amostral corresponde às 52 cartas que compõem este baralho.
Da mesma forma, o espaço amostral ao lançar uma vez um dado, são as seis faces que o compõem:
Ω = {1, 2, 3, 4, 5 e 6}.
Tipos de Eventos
O evento é qualquer subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório.
Quando um evento é exatamente igual ao espaço amostral ele, é chamado de evento certo. Ao contrário, quando o evento é vazio, ele é chamado de evento impossível.
Exemplo
Imagine que temos uma caixa com bolas numeradas de 1 a 20 e que todas as bolas são vermelhas.
O evento "tirar uma bola vermelha" é um evento certo, pois todas as bolas da caixa são desta cor. Já o evento "tirar um número maior que 30", é impossível, visto que o maior número na caixa é 20.
Mod2_F2_Funcoes_
Elementares.pdf
Presidência da República 
Ministério da Educação 
Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior 
Diretoria de Educação a Distância
Curso de Especialização em Ensino de 
Matemática para o Ensino Médio
Matem@tica
na Pr@tica
Curso de Especialização em Ensino de 
Matemática para o Ensino Médio
Módulo II
Funções elementares
Paulo Antonio Silvani Caetano
Roberto Ribeiro Paterlini
Matem@tica
na Pr@tica
Produção Editorial - Central de Texto
Editora: Maria Teresa Carrión Carracedo
Produção gráfica: Ricardo Miguel Carrión Carracedo
Projeto gráfico: Helton Bastos
Paginação: Maike Vanni
Revisão para publicação: Henriette Marcey Zanini
Índices para catálogo sistemático:
1. Funções elementares : Análise : Matemática 515.5
Caetano, Paulo Antonio Silvani
Funções elementares : módulo II / Paulo Antonio 
Silvani Caetano, Roberto Ribeiro Paterlini. -- Cuiabá, MT : 
Central de Texto, 2013. -- (Matem@tica na pr@tica. Curso de 
especialização em ensino de matemática para o ensino médio)
Bibliografia.
ISBN 978-85-8060-019-3
1. Ensino médio 2. Funções elementares 3. Matemática 
- Estudo e ensino 4. Matemática - Formação de professores 
I. Paterlini, Roberto Ribeiro. II. Título. III. Série.
13-07241 CDD-515.5
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Curso de Especialização em Ensino de Matemática para o Ensino Médio
Equipe de especialistas em formação de professores de Matemática
Coordenação: Paulo Antonio Silvani Caetano (DM-UFSCar)
Especialistas: Cláudio Carlos Dias (UFRN), Daniel Cordeiro de Morais Filho (DME-UFCG), 
Francisco Roberto Pinto Mattos (UERJ e Colégio Pedro II) João Carlos Vieira Sampaio (DM-UFSCar), 
Marlusa Benedetti da Rosa (CAp-UFRGS), Pedro Luiz Aparecido Malagutti (DM-UFSCar), 
Roberto Ribeiro Paterlini (DM-UFSCar), Tomás Edson Barros (DM-UFSCar), Victor Augusto Giraldo (IM-UFRJ)
Desenvolvimento Instrucional
Coordenação: Cristine Costa Barreto
Designers instrucionais: José Paz Pereira Júnior, Juliana Silva Bezerra, Leonardo Nahoum, Letícia Terreri, 
Magno Luiz Ferreira, Maria Matos, Andréia Ramos e Cíntia Nascimento
Responsáveis por este fascículo
Autores: Paulo Antonio Silvani Caetano e Roberto Ribeiro Paterlini
Leitores: Daniel Cordeiro de Morais Filho, Marlusa Benedetti da Rosa e Victor Augusto Giraldo
Designers instrucionais: Cristine Costa Barreto, José Paz Pereira Júnior, Magno Luiz Ferreira e Maria Matos
Revisão: Lúcia Beatriz Alves
Apresentação
O Matem@tica na Pr@tica é um Curso de Especialização em Ensino de Matemática na 
modalidade de Educação a Distância que está inserido no Plano de Ações Articuladas do 
Ministério da Educação. Esse plano tem como objetivo promover uma importante ativi-
dade de formação continuada dirigida a você, professor do ensino básico, incentivando 
a renovação da sua prática pedagógica e propondo caminhos para que você possa criar, 
organizar e compartilhar novos conhecimentos com seus alunos e colegas de trabalho.
Esse texto apresenta a disciplina de Funções Elementares, uma das quatro disciplinas 
do segundo módulo do Matem@tica na Pr@tica. Vamos refletir sobre a importância das 
funções no ensino médio, explorando suas diversas definições e representações, e relem-
brar conceitos e técnicas relacionados às funções polinomiais, exponenciais, logarítmicas 
e trigonométricas, utilizando recursos computacionais na exploração dessas funções.
Cada uma das disciplinas do curso foi idealizada para ser desenvolvida em oito sema-
nas. Para facilitar esse desenvolvimento elas foram divididas em etapas, de duas semanas 
cada. Recomendamos que você estabeleça uma rotina de estudos, com pelo menos 5 horas 
semanais de dedicação, para poder estudar com calma todo o material impresso e realizar 
as atividades propostas em ambiente virtual.
Esperamos que as horas dedicadas a essa disciplina sejam muito proveitosas para você.
Equipe do Matem@tica na Pr@tica
Março, 2013
Sumário
Etapa I – O conceito de função na Matemática 11
1. Introdução 13
2. Concepções espontâneas de relações 14
3. O conceito matemático de função 18
4. Técnicas algébricas para representação de funções 21
5. Variável: um importante pré-requisito 27
6. Técnicas gráficas para representação de funções 32
7. Reconstruindo a definição de função 40
8. Conclusão 41
9. Resumo 41
10. Orientações sobre a avaliação na Etapa 1 42
Etapa II – Funções polinomiais 43
1. Introdução 45
2. Por que estudamos funções polinomiais? 46
3. Esboço de uma sequência didática para 
o ensino das funções quadráticas 48
4. Problemas de máximos e mínimos em funções 
quadráticas 57
5. Máximos e mínimos de funções racionais 67
6. Tópicos sobre funções polinomiais 70
7. Conclusão 78
8. Resumo 78
9. Orientações sobre a avaliação na Etapa 2 79
Etapa III – Tópicos sobre funções exponenciais e 
logarítmicas 81
1. Professor, quanto dá essa conta? 83
2. Só sei que nada sei 83
3. A caderneta de poupança do Banco M@P 88
4. Demonstrar é preciso, entender também... 92
5. Uma função que mede a despoluição de um lago em tempo 
real 97
6. Exponenciais: do natural para o real 102
7. Logaritmos e escala de grandezas 106
8. Para que serve o logaritmo? 109
9. Conclusão 111
10. Resumo 111
11. Orientações sobre a avaliação na Etapa 3 112
Etapa IV – Tópicos sobre funções trigonométricas 113
1. Quero usar novas tecnologias na minha aula. 
Mas como? 115
2. GeoGebra, um programa de matemática dinâmica 116
3. A dança dos gráficos 119
4. Desenrolando o seno 125
5. Um ajuste trigonométrico 142
6. Conclusão 150
7. Resumo 150
8. Orientações sobre a avaliação na Etapa 4 150
Encerramento 151
Bibliografia 152
Seja bem vindo, professor!
Nesta etapa do nosso curso aprofundamos nosso conhecimento 
sobre as funções mais utilizadas na Matemática Elementar. 
Vamos entender a importância do estudo dessas funções e rever 
alguns conceitos básicos que podem nos ajudar a refletir sobre o 
seu ensino na escola.
Para começar, vamos pensar sobre algumas questões:
 ▹ Como surge o conceito matemático de função?
 ▹ Qual a importância do estudo das funções?
 ▹ Quais são as características básicas das funções?
 ▹ Quais são as principais formas de representação das funções?
 ▹ Como diagnosticar conhecimentos prévios para o ensino de 
funções?
Etapa I 
O conceito de função na Matemática
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1. Introdução
Árvore genealógica
Uma árvore genealógica é uma representação dos ancestrais de uma 
pessoa. Essa representação gráficamostra as relações entre familiares, tra-
zendo seus nomes e, algumas vezes, fotos, datas de nascimento, casamento 
e falecimento.
Muitas pessoas têm von-
tade de construir sua árvore 
genealógica e descobrir mais 
sobre quem foram seus pri-
mos, tios, avós e tatatatara-
vós! Queremos saber quem 
faz parte de nossa família e qual relação 
temos com essas pessoas. De primeiro grau? 
De terceiro grau? Por parte de pai ou de 
mãe? Ao construir sua árvore genealógica, 
você pode descobrir, por exemplo, que o 
matemático brasileiro Malba Tahan é um de 
seus antepassados! Vai ver que você herdou 
dele o gosto pela matemática!
Brincadeiras à parte, em uma árvore ge-
nealógica identificamos claramente a relação 
entre as pessoas. Essas relações podem ser 
facilmente compreendidas por qualquer um. 
É justamente a partir deste conceito de relação que iniciaremos nossas reflexões sobre as 
funções elementares.
Identificar relações é um dos trabalhos mais importantes de quem estuda Matemática. 
Afinal, a ciência matemática investiga as relações entre os objetos abstratos e através delas 
cria modelos capazes de descrever fenômenos naturais e sociais. Algumas dessas relações 
chamamos de funções, assunto desta etapa de nosso curso.
Uma das nossas maiores preocupações será a de mostrarmos para os nossos alunos a 
importância do estudo das funções.
Quais propriedades das funções são mais relevantes para o ensino 
desse conteúdo?
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1. Introdução 13
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Para discutir as funções elementares, passaremos por diversas etapas, buscando refletir 
sobre o significado dos seguintes conceitos matemáticos:
 ▹ Relações 
 ▹ Funções
 ▹ Variáveis
 ▹ Representação algébrica de funções
 ▹ Representação gráfica de funções
 ▹ Aplicação de funções
Então, vamos começar?
2. Concepções espontâneas de relações
Iniciamos nosso estudo observando que as pessoas, em geral, têm percepções espon-
tâneas das ideias de relação, variação e dependência entre as grandezas. Partindo desse 
conhecimento inicial, o professor pode construir o conceito matemático de função utili-
zando sequências didáticas adequadas. Assim, é muito importante pensarmos de onde 
vem esse conhecimento inicial e como ele se desenvolve. Entender a concepção prévia dos 
alunos é imprescindível para que possamos ajudá-los a construir conceitos matemáticos 
plenos de significado.
Na natureza e no cotidiano os fenômenos apresentam diversas relações de depen-
dência entre seus componentes. O ser humano, desde a infância, usando sua capacidade 
cognitiva e vivenciando experiências fenomenológicas e sociais, apreende naturalmente 
sobre os aspectos mais triviais dessas relações. Assim, a criança associa, por exemplo, 
certos brinquedos com outros (xícaras com pires, roupinhas com bonecos e bonecas) e 
toma conhecimento também de que cada pessoa tem um nome, ao qual é associado um 
vocábulo. Esse aprendizado de relações depende do desenvolvimento da lógica interna 
de cada criança e do entorno social. É dessa maneira que a ideia de relação 
surge e se desenvolve.
Um exemplo de relação espontânea é o processo de contagem de objetos 
de um conjunto, desenvolvido pela humanidade há muitos milênios, e repro-
duzido aceleradamente pelas crianças durante seu aprendizado inicial. A pri-
meira etapa desse processo consiste em comparar o conjunto de objetos que 
se quer contar a um conjunto conhecido, como os dedos das mãos. A relação 
“comparar um conjunto que se quer contar a um conjunto conhecido” pode 
ser representada assim:
conjunto que se quer contar � conjunto conhecido
em que o sinal � indica uma associação entre os elementos de um dos conjuntos com 
os elementos do outro através de uma propriedade muito especial: para cada elemento 
do primeiro conjunto associamos um e somente um elemento do segundo, e vice-versa.
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14 Módulo II – Funções Elementares ▷ Etapa I
Com a experiência acumulada e o aperfeiçoamento da abstração, o “conjunto conheci-
do” (como os dedos das mãos) foi substituído por um conjunto fixo, abstrato, desvinculado 
de qualquer coleção concreta de objetos, construído paulatinamente pela humanidade 
através de processos lógicos universais bem definidos. Este é o conjunto denominado 
“conjunto dos números naturais”. Assim, a relação acima foi substituída por:
conjunto que se quer contar → {1,2,3,4,...}
Nessa relação, para cada elemento do primeiro conjunto associamos um e somente 
um elemento do segundo.
Vejamos outro exemplo bem simples de uma relação espontânea que as crianças con-
seguem construir facilmente:
Maria, Ana, Juliana, Frida e Carla são mulheres adultas e estão na mesma sala que as 
crianças Luíza, Paulo, João, Pedro, Nanci e Vítor. Maria é mãe de Luíza e Paulo; Ana é 
mãe de João; Juliana é mãe de Pedro; Frida, de Nanci e Vítor. Carla não é mãe.
Consideremos agora a relação “é mãe de” aplicada a esses dois conjuntos: as mulheres 
adultas e as crianças que estão na sala. Uma forma de indicar quem está nessa relação 
com quem é usar setas, como no esquema a seguir:
Maria Luíza
Paulo
Ana João
Juliana Pedro
Frida Nanci
Vítor
Carla
Podemos observar algumas características dessa relação. Existe um conjunto de “parti-
da” (as mulheres adultas), e outro de “chegada” (as crianças). Essa relação não faria sentido 
se trocássemos os conjuntos de lugar, concorda?
Outras características importantes dessa relação:
 ▹ existem elementos do conjunto das mulheres que estão na relação com mais de um 
elemento do conjunto das crianças;
 ▹ existem elementos do conjunto das mulheres que estão na relação com exatamente 
um elemento do conjunto das crianças;
 ▹ existe um elemento do conjunto das mulheres que não está na relação;
 ▹ todo elemento do conjunto das crianças está na relação.
Repare que essas características dizem respeito a como os elementos do conjunto de 
partida (mães) se relacionam aos elementos do conjunto de chegada (filhos).
2. Concepções espontâneas de relações 15
As relações apresentadas acima são bem simples. Existem diversas relações utilizadas 
pela Matemática que exigem mais raciocínio para se identificar suas propriedades e carac-
terísticas. A atividade a seguir mostra um exemplo:
 Atividade 1 Invertendo a relação
Considere os mesmos conjuntos do exemplo anterior das 
mulheres e seus filhos e a relação inversa “é filho de”. Faça 
uma representação dessa relação usando setas e descreva 
suas características.
Resposta comentada
Observe que, desta vez, o conjunto de partida é o das 
crianças e o conjunto de chegada é o das mulheres adultas. 
Com essa alteração, é possível relacionar os filhos com suas 
mães.
Luíza Maria
Paulo
João Ana
Pedro Juliana
Nanci Frida
Vítor
Carla
Definida a relação, podemos descrever suas característi-
cas, considerando os elementos dos conjuntos de partida e 
chegada:
a▹	Cada elemento do conjunto de partida (as crianças) 
está relacionado com apenas um elemento do con-
junto de chegada (as mulheres adultas).
b▹	Existe um elemento do conjunto de chegada que não 
se relaciona com nenhum elemento do conjunto de 
partida.
c▹	Existem dois elementos no conjunto de chegada que 
se relacionam com mais de um elemento do 
conjunto de partida.
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16 Módulo II – Funções Elementares ▷ Etapa I
Ao realizar essas atividades, você reparou nos detalhes importantes que precisam ser 
identificados para caracterizar as relações? Vamos pensar sobre eles...
1. Identificar com precisão os conjuntos de partida e chegada;
2. Aplicar corretamente a regra que define a relação;
3. Verificar se há algum elemento no conjunto de partida que se 
relaciona com apenas um, mais de um elemento do conjunto de 
chegada ou nenhum deles;
4. Verificar se “restam” elementos no conjunto de chegada, ou 
seja, se algum elemento desse conjunto não entra na relação.
Essas sãoas características que devemos observar em uma relação 
matemática.
 Atividade 2 Pensando sobre pares e ímpares
Descreva as características da seguinte rela-
ção definida entre os números inteiros: um nú-
mero relaciona-se com outro se tiverem a mesma 
paridade (dizer que dois números inteiros têm a 
mesma paridade significa que ambos são pares 
ou ímpares).
Resposta comentada
O conjunto de partida é igual ao conjunto de chegada, e 
ambos constituem o conjunto dos números inteiros. Lembra-
mos que todo número inteiro é par ou é impar. Assim, pode-
mos concluir que um elemento par do conjunto de partida 
se relacionará com todos os números pares do conjunto de 
chegada, e um elemento ímpar do conjunto de partida com 
todos os elementos ímpares do conjunto de chegada. Duas 
características dessa relação:
a▹	Todo elemento do conjunto de partida relaciona-se 
com infinitos elementos do conjunto de chegada.
b▹	Todo elemento do conjunto de chegada relaciona-se 
com infinitos elementos do conjunto de partida.
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2. Concepções espontâneas de relações 17
Temos a seguir uma pequena atividade desafio que você pode propor a seus alunos. 
Esta atividade é um exemplo de relação entre conjuntos contínuos, para nos lembrar de 
que não existem relações apenas entre conjuntos discretos.
Como se trata de uma atividade desafio, a resposta não está neste texto.
 Atividade 3 Números reais
Descreva as características da seguinte relação definida 
entre números reais: um número relaciona-se com outro se 
forem diferentes e se seus valores absolutos forem iguais.
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Agora que já vimos o sentido de relação e como ela pode ser caracterizada matemati-
camente, é possível caminharmos para a discussão sobre o conceito de função.
3. O conceito matemático de função
Um tipo especial de relação, denominada tecnicamente relação unívoca, é estudada e 
desenvolvida pela Matemática. Essas relações são também denominadas funções.
Vejamos uma primeira definição desse conceito, assim como algumas características 
que são importantes em seu ensino.
Uma função é constituída de um conjunto de partida A , de um conjunto de chegada B 
e de uma relação entre esses conjuntos que satisfaça as seguintes condições particulares:
 ▹ ( i ) todo elemento de A faz parte da relação;
 ▹ (ii) cada elemento de A está relacionado com um único elemento de B .
Observe que a expressão relação unívoca dada às funções se deve à condição (ii).
Para que se possa entender melhor o sentido dessas condições e o conceito de função, 
vamos considerar como exemplo uma relação em que o conjunto de partida e o conjunto 
18 Módulo II – Funções Elementares ▷ Etapa I
de chegada são, ambos, o conjunto dos números inteiros, e a relação é definida por: um 
número do conjunto de partida relaciona-se com um número do conjunto de chegada quando 
este for o quadrado do primeiro. Esta relação pode ser resumida por:
2x x→ para todo número inteiro x
Essa relação é uma função porque:
 ▹ ( i ) todo elemento do conjunto de partida está na relação, pois todo número inteiro 
tem quadrado;
 ▹ (ii) cada elemento do conjunto de partida está relacionado com um único elemento 
do conjunto de chegada, pois todo número inteiro tem um único quadrado.
Uma característica importante dessa função é que nem todo elemento do conjunto de 
chegada está na relação, mas apenas os que são quadrados, como 0, 1, 4, 9 etc.
 Atividade 4 É ou não é?
Verifique se os itens abaixo representam, ou não, 
funções. No caso de uma resposta positiva, mostre as ca-
racterísticas que garantem sua conclusão. No caso de uma 
resposta negativa, aponte as características que descumprem 
as condições de função.
A Verifique se a relação inversa “é filho de” exposta na 
Atividade 1 é uma função. Você supõe que essa função pode 
ser percebida espontaneamente por uma criança? A criança 
observa naturalmente suas propriedades?
B Verifique se a relação da Atividade 2, sobre paridade, é 
ou não uma função.
C Verifique se é função a seguinte relação. Considere o 
conjunto dos números reais como o conjunto de 
partida e o conjunto de chegada. A regra é: um 
número do conjunto de partida relaciona-se com um 
número do conjunto de chegada quando este é a raiz 
quadrada do primeiro.
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SX
C 
3. O conceito matemático de função 19
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 S
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Observe que o fato de apenas um elemento do conjunto de partida 
não entrar na relação ou estar relacionado com mais de um elemento 
do conjunto de chegada já é suficiente para que a relação não seja 
considerada função. Isso nos leva à seguinte pergunta: por que a 
Matemática define função dessa forma?
Para respondermos esse questionamento, devemos observar que, na verdade, a Ma-
temática se interessa por muitos tipos de relações. Por exemplo, a relação definida na 
Atividade 2, sobre paridade (que não é uma função), é muito importante na Matemática. 
Ela é um caso particular de relações modulares, estudadas na Teoria dos Números. Assim, 
se uma relação não satisfaz à condição de ser unívoca, não significa que ela não seja 
importante. 
Entretanto, as relações unívocas têm presença sólida na Matemática e suas aplicações, 
por isso as estudamos em primeiro lugar e damos a elas um nome especial, ou seja, 
função. Isto ocorre porque as funções apresentam as características necessárias para des-
crever muitos fenômenos através de modelos determinísticos. Por exemplo, esperamos 
que a relação que associa a cada região poligonal sua área seja unívoca, pois seria muito 
esquisito se, mantendo a unidade de medida, uma região tivesse mais de um valor para a 
área. Na Mecânica Clássica, a relação que associa a cada instante a posição de um corpo 
deve ser uma função, pois, nesse contexto, supomos que nenhum objeto esteja em dois 
lugares no mesmo instante (violando a condição (ii), que diz que cada elemento de parti-
da deve se relacionar a um único elemento de chegada). Daí a relevância de nomearmos 
Resposta comentada
Para verificar se uma relação é ou não uma função, preci-
samos observar se as seguintes condições são cumpridas: (i) 
todo elemento do conjunto de partida está na relação; e (ii) 
cada elemento do conjunto de partida está relacionado com 
um único elemento do conjunto de chegada.
A No exemplo da relação “é filho de” da Atividade 1, verifi-
camos que cada criança do conjunto de partida tem sua úni-
ca mãe no conjunto de chegada, o que garante as condições 
(i) e (ii). Podemos concluir que essa relação é uma função. 
As crianças percebem essa relação espontaneamente, pois 
sabem que cada pessoa possui uma única mãe e que todo 
mundo tem mãe! Logo, esse pode ser um bom exemplo para 
ensinar funções aos nossos alunos.
B Na relação “mesma paridade”, observe que cada elemen-
to do conjunto de partida está na relação com uma infinidade 
de elementos do conjunto de chegada. Isso refuta a condição 
(ii). Portanto, essa relação não é uma função.
C A relação descrita também não é uma função. Basta 
notar que 1− é número real e não tem raiz quadrada real. 
Logo, a condição (i), que define uma função, não está sendo 
cumprida, pois todo elemento do conjunto de partida deve 
estar incluído na relação.
A
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20 Módulo II – Funções Elementares ▷ Etapa I
essas relações unívocas de forma especial e de gastarmos tanto tempo de nossas aulas 
com o seu ensino.
Tendo desenvolvido o conceito de função a partir do de relações, precisamos pensar 
em como representar matematicamente essas funções. Será que elas precisam ser sempre 
descritas com palavras?
4. Técnicas algébricas para representação de funções
Você deve ter notado que até agora fizemos um texto despojado de formalismo algé-
brico. Em poucos momentos usamos linguagem