3-Matemática

A={1,2,3,4} e B={5,6}
A∪B={1,2,3,4,5,6} 
Interseção
A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto formado 
pelos elementos que são ao mesmo tempo de A e de B, e é 
representada por : A∩B. 
Simbolicamente: A∩B={x|x∈A e x∈B}
Exemplo:
A={a,b,c,d,e} e B={d,e,f,g}
A∩B={d,e}
Diferença 
Uma outra operação entre conjuntos é a diferença, que 
a cada par A, B de conjuntos faz corresponder o conjunto 
definido por: 
 A – B ou A\B que se diz a diferença entre A e B ou o 
complementar de B em relação a A. 
A este conjunto pertencem os elementos de A que não 
pertencem a B. 
 A\B = {x : x∈A e x∉B}.
B-A = {x : x∈B e x∈A}.
 Exemplo:
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e B = {5, 6, 7} 
Então os elementos de A – B serão os elementos do 
conjunto A menos os elementos que pertencerem ao con-
junto B. Portanto A – B = {0, 1, 2, 3, 4}.
Complementar
O complementar do conjunto A( ) é o conjunto for-
mado pelos elementos do conjunto universo que não per-
tencem a A.
24
MATEMÁTICA
Fórmulas da união
n(A ∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)
n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)+n(A∩B∩C)-n(A∩B)-n(A∩-
C)-n(B C)
Essas fórmulas muitas vezes nos ajudam, pois ao invés 
de fazer todo o digrama, se colocarmos nessa fórmula, o 
resultado é mais rápido, o que na prova de concurso é in-
teressante devido ao tempo.
Mas, faremos exercícios dos dois modos para você en-
tender melhor e perceber que, dependendo do exercício é 
melhor fazer de uma forma ou outra.
(MANAUSPREV – Analista Previdenciário – 
FCC/2015) Em um grupo de 32 homens, 18 são altos, 22 
são barbados e 16 são carecas. Homens altos e barbados 
que não são carecas são seis. Todos homens altos que são 
carecas, são também barbados. Sabe-se que existem 5 ho-
mens que são altos e não são barbados nem carecas. Sa-
be-se que existem 5 homens que são barbados e não são 
altos nem carecas. Sabe-se que existem 5 homens que são 
carecas e não são altos e nem barbados. Dentre todos es-
ses homens, o número de barbados que não são altos, mas 
são carecas é igual a
 (A) 4.
 (B) 7.
 (C) 13.
 (D) 5.
 (E) 8.
Primeiro, quando temos 3 diagramas, sempre come-
çamos pela interseção dos 3, depois interseção a cada 2 e 
por fim, cada um
Se todo homem careca é barbado, não teremos apenas 
homens carecas e altos.
Homens altos e barbados são 6
Sabe-se que existem 5 homens que são barbados e 
não são altos nem carecas. Sabe-se que existem 5 homens 
que são carecas e não são altos e nem barbados
Sabemos que 18 são altos
25
MATEMÁTICA
Quando somarmos 5+x+6=18
X=18-11=7
Carecas são 16
7+y+5=16
Y=16-12
Y=4
Então o número de barbados que não são altos, mas 
são carecas são 4.
Nesse exercício ficará difícil se pensarmos na fórmula, 
ficou grande devido as explicações, mas se você fizer tudo 
no mesmo diagrama, mas seguindo os passos, o resultado 
sairá fácil.
(SEGPLAN/GO – Perito Criminal – FUNIVERSA/2015) 
Suponha que, dos 250 candidatos selecionados ao cargo 
de perito criminal: 
1) 80 sejam formados em Física; 
2) 90 sejam formados em Biologia; 
3) 55 sejam formados em Química; 
4) 32 sejam formados em Biologia e Física; 
5) 23 sejam formados em Química e Física; 
6) 16 sejam formados em Biologia e Química; 
7) 8 sejam formados em Física, em Química e em Bio-
logia. 
Considerando essa situação, assinale a alternativa cor-
reta.
(A) Mais de 80 dos candidatos selecionados não são 
físicos nem biólogos nem químicos.
(B) Mais de 40 dos candidatos selecionados são forma-
dos apenas em Física.
(C) Menos de 20 dos candidatos selecionados são for-
mados apenas em Física e em Biologia.
(D) Mais de 30 dos candidatos selecionados são forma-
dos apenas em Química.
(E) Escolhendo-se ao acaso um dos candidatos selecio-
nados, a probabilidade de ele ter apenas as duas forma-
ções, Física e Química, é inferior a 0,05.
Resolução
A nossa primeira conta, deve ser achar o número de 
candidatos que não são físicos, biólogos e nem químicos
n(F ∪B∪Q)=n(F)+n(B)+n(Q)+n(F∩B∩Q)-n(F∩B)-n(F∩-
Q)-n(B∩Q)
n(F ∪B∪Q)=80+90+55+8-32-23-16=162
Temos um total de 250 candidatos
250-162=88
Resposta: A.
NÚMEROS COMPLEXOS
Algumas equações não tem solução no conjunto dos 
números reais.
Exemplo
Mas, se tivermos um conjunto para o qual admita a 
existência de , a equação passará a ter solução não-
vazia.
Esse conjunto é o dos números complexos e conven-
ciona-se que .
Solucionando então, o exemplo acima:
O número , foi denominado unidade imaginária, 
devido à desconfiança que os matemáticos tinham dessa 
nova criação.
Para simplificar a notação:
Assim, no conjunto dos números complexos, as equa-
ções do 2º grau com possuem solução não-vazia.
Conjunto dos números complexos
O conjunto C dos números complexos é aquele for-
mado pelos números que podem ser expressos na forma:
26
MATEMÁTICA
A forma z=a+ bi é denominada forma algébrica de 
um número complexo em que a é a parte real e b a parte 
imaginária.
Se a parte imaginária do número complexo é nula, en-
tão o número é real.
Se a parte real do número complexo é nula e a parte 
imaginária é diferente de zero, então o número é imaginá-
rio puro.
Igualdade de números complexos
Dois números complexos são iguais se, e somente 
se, suas partes reais e imaginárias forem respectivamente 
iguais.
Conjugado de um número complexo
Sendo z=a+ bi, chama-se conjugado de z o número 
complexo que se obtém trocando o sinal da parte ima-
ginária de z.
Exemplo
Operações com números complexos
1. Adição 
Para somarmos dois números complexos basta somar-
mos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses 
números. Assim, se z=a+bi e z2=c+di, temos que:z1+z2=(a+c) + (b+d)i
2. Subtração
Para subtrairmos dois números complexos basta sub-
trairmos, separadamente, as partes reais e imaginárias des-
ses números. Assim, se z=a+bi e z2=c+di, temos que:z1-z2=(a-c) + (b-d)i
3. Multiplicação
Para multiplicarmos dois números complexos basta 
efetuarmos a multiplicação de dois binômios, observando 
os valores das potência de i. Assim, se z1=a+bi e z2=c+di, temos que:
z1.z2 = a.c + adi + bci + bdi2z1.z2= a.c + bdi2 = adi + bciz1.z2= (ac - bd) + (ad + bc)i
Observar que : i2= -1
4. Divisão
Para dividirmos dois números complexos basta multi-
plicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado 
do denominador. Assim, se z1= a + bi e z2= c + di, temos que:
5. Potenciação
Efetuando algumas potências de in, com n∈N, pode-
mos obter um critério para determinar uma potência ge-
nérica de i:
i0 = 1
i1 = i
i2 = -1
i3 = i2.i = -1.i = -i
i4 = i2.i2=-1.-1=1
i5 = i4. 1=1.i= i
i6 = i5. i =i.i=i2=-1
i7 = i6. i =(-1).i=-i ......
Assim, para obter a potência in, basta calcular ir em que 
r é o resto da divisão de n por 4.
Exemplo
 i 23⇒23/4=5 e resto 3 então:i23=i3=-i
Módulo e Argumento de um Número Complexo
Do triângulo retângulo, temos:
A distância de ρ de P até a origem O é denominada 
módulo de z, e indicamos:
Denomina-se argumento do complexo z não-nulo, a 
medida do ângulo formado por com o semi-eixo real 
Ox.
O argumento que pertence ao intervalo [0,2π[ é deno-
minado argumento principal e é representado por:
27
MATEMÁTICA
Observe que:
Os números ρ e θ são as coordenadas polares do pon-
to P(a,b).
Forma Trigonométrica
Todo número complexo z=a+bi, não0nulo, pode ser 
expresso em função do módulo, do seno e do cosseno do 
argumento z:
Substituindo, temos:
z=a+bi
Operações com Complexos na Forma Trigonométri-
ca
Dados os complexos:
Multiplicação
Divisão
Potenciação
Sendo:
e n um número inteiro maior que 1, temos:
Radiciação
Denomina-se raiz enésima do número complexo 
 a todo número complexo w, tal 
que wn=z, para n=1, 2, 3,...
Para k=0,1, 2, 3,...temos:
POLINÔMIOS
Polinômios
Denomina-se polinômio a função:
Grau de um polinômio