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3-Matemática

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Se an ≠0, o expoente máximo n é dito grau do polinô-mio. Indicamos: gr(P)=n
Exemplo
P(x)=7 gr(P)=0
P(x)=7x+1 gr(P)=1
Valor Numérico
O valor numérico de um polinômio P(x), para x=a, é 
o número que se obtém substituindo x por a e efetuando 
todas as operações.
Exemplo
P(x)=x³+x²+1 , o valor numérico para P(x), para x=2 é:
P(2)=2³+2²+1=13
O número a é denominado raiz de P(x).
Igualdade de polinômios
Os polinômios p e q em P(x), definidos por:
P(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxnQ(x) = bo + b1x + b2x² + b3x³ +...+ bnxn
São iguais se, e somente se, para todo k = 0,1,2,3,...,n:
ak = bk
Redução de Termos Semelhantes
Assim como fizemos no caso dos monômios, também 
podemos fazer a redução de polinômios através da adição 
algébrica dos seus termos semelhantes.
No exemplo abaixo realizamos a soma algébrica do 
primeiro com o terceiro termo, e do segundo com o quarto 
termo, reduzindo um polinômio de quatro termos a um 
outro de apenas dois.
3xy+2a²-xy+3a²=2xy+5a² 
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MATEMÁTICA
Polinômios reduzidos de dois termos também são de-
nominados binômios. Polinômios reduzidos de três termos, 
também são denominados trinômios.
Ordenação de um polinômio
A ordem de um polinômio deve ser do maior para o 
menor expoente.
4x4+2x³-x²+5x-1
Este polinômio não está ordenado:
3x³+4x5-x²
Adição e Subtração de Polinômios
Para somar dois polinômios, adicionamos os termos 
com expoentes de mesmo grau. Da mesma forma, para ob-
ter a diferença de dois polinômios, subtraímos os termos 
com expoentes de mesmo grau.
Exemplo
Propriedades
Associativa
Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:
(p + q) + r = p + (q + r)
Comutativa
Quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que:
p + q = q + p
Elemento neutro
Existe um polinômio po (x) = 0 tal que:
po + p = p, qualquer que seja p em P[x].
Elemento oposto
Para cada p em P[x], existe outro polinômio q = -p em 
P[x] tal que
p + q = 0
Com estas propriedades, a estrutura (P[x],+) é denomi-
nada um grupo comutativo.
Multiplicação de Polinômios
Para obter o produto de dois polinômios, multiplica-
mos cada termo de um deles por todos os termos do outro, 
somando os coeficientes.
Exemplo
Propriedades
Associativa
Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:
(p · q) · r = p · (q · r)
Comutativa
Quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que:
p · q = q · p
Elemento nulo
Existe um polinômio po(x) = 0 tal quepo · p = po, qualquer que seja p em P[x].
Elemento Identidade
Existe um polinômio p1(x) = 1 tal quepo · p = po, qualquer que seja p em P[x]. A unidade po-linomial é simplesmente denotada por p1 = 1.
Existe uma propriedade mista ligando a soma e o pro-
duto de polinômios:
Distributiva
Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:
p · (q + r) = p · q + p · r
Com as propriedades relacionadas com a soma e o 
produto, a estrutura matemática (P[x],+,·) é denominada 
anel comutativo com identidade.
Divisão de Polinômios
Considere P(x) e D(x), não-nulos, tais que o grau de 
P(x) seja maior ou igual ao grau de D(x). Nessas condições, 
podemos efetuar a divisão de P(x) por D(x), encontrando o 
polinômio Q(x) e R(x):
P(x)=D(x)⋅Q(x)+R(x)
P(x)=dividendo
Q(x)=quociente
D(x)=divisor
R(x)=resto
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MATEMÁTICA
Método da Chave
Passos
1. Ordenamos os polinômios segundo as potências decrescentes de x.
2. Dividimos o primeiro termo de P(x) pelo primeiro de D(x), obtendo o primeiro termo de Q(x).
3. Multiplicamos o termo obtido pelo divisor D(x) e subtraímos de P(x).
4. Continuamos até obter um resto de grau menor que o de D(x), ou resto nulo.
Exemplo
Divida os polinômios P(x)=6x³-13x²+x+3 por D(x)=2x³-3x-1
Método de Descartes
Consiste basicamente na determinação dos coeficientes do quociente e do resto a partir da identidade:
Exemplo
Divida P(x)=x³-4x²+7x-3 por D(x)=x²-3x+2
Solução
Devemos encontrar Q(x) e R(x) tais que:
Vamos analisar os graus:
Como Gr( R) < Gr(D), devemos impor Gr(R )=Gr(D)-1=2-1=1
Para que haja igualdade:
Algoritmo de Briot-Ruffini
Consiste em um dispositivo prático para efetuar a divisão de um polinômio P(x) por um binômio D(x)=x-a
Exemplo
Divida P(x)=3x³-5x+x-2 por D(x)=x-2
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MATEMÁTICA
Solução
Passos
-Dispõem-se todos os coeficientes de P(x) na chave
-Colocar a esquerda a raiz de D(x)=x-a=0. 
-Abaixar o primeiro coeficiente. Em seguida multiplica-
se pela raiz a e soma-se o resultado ao segundo coeficiente 
de P(x), obtendo o segundo coeficiente. E assim sucessiva-
mente.
Portanto, Q(x)=3x²+x+3 e R(x)=4
Teorema do Resto
Um polinômio P(x) é divisível por (x – a) se e somente 
se P(a) = 0.
Teorema de D’Alembert
O teorema de D’Alembert é uma consequência imedia-
ta do teorema do resto, que são voltados para a divisão de 
polinômio por binômio do tipo (x – a). O teorema do resto 
diz que um polinômio G(x) dividido por um binômio x – a 
terá resto R igual a P(a), para x = a. 
O matemático francês D’Alembert provou, levando em 
consideração o teorema citado acima, que um polinômio 
qualquer Q(x) será divisível por x – a, ou seja, o resto da 
divisão será igual à zero (R = 0) se P(a) = 0.
Esse teorema facilitou o cálculo da divisão de polinô-
mio por binômio (x –a). Dessa forma não há necessidade 
de resolver toda a divisão para saber se o resto é igual ou 
diferente de zero.
Exemplo 1 
Calcule o resto da divisão (x² + 3x – 10) : (x – 3). 
Como diz o Teorema de D’Alembert, o resto (R) dessa 
divisão será igual a: 
P(3) = R 
32 + 3 * 3 – 10 = R 
9 + 9 – 10 = R 
18 – 10 = R 
R = 8 
Portanto, o resto dessa divisão será 8.
Relação de Girard
Dada uma equação polinomial de grau n, podemos 
estabelecer n relações entre seus coeficientes e as raízes, 
denominadas relações de Girard.
Equação de grau n
ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn=0, com an≠0 de raízes
 valem as n relações:
Raízes complexas e reais
“Toda equação polinomial, de grau n, com n ≥ 1 possui 
pelo menos 1 raiz complexa (real ou imaginário)”.
Obs.: Lembrar que os números complexos englobam 
os números reais, ou seja, um número real é também um 
número complexo.
“Toda equação polinomial que possua uma raiz imagi-
nária possuirá também o conjugado dessa raiz como raiz”.
Ou seja, se z=a+bi é raiz de uma equação polino-
mial z=a−bi também será raiz. Sendo a,b∈? e i2=−1 .
Exemplo: Sabendo-se que a equação polino-
mial x3−2x2+x−2=0 possui uma raiz imaginária igual a i, 
com i2=−1 encontrar as outras raízes.
Se i é uma raiz então -i, seu conjugado, é outra e con-
segue-se encontrar a terceira raiz que é 2.
Raízes racionais
“Se um número racional p/q , com p e q primos entre si, 
é raiz de uma equação polinomial de coeficientes inteiros 
do tipo P(x)=anxn+an−1xn−1+…+a2x2+a1x+a0então p  é 
divisor de a0 e q é divisor de an “.
Teorema da Decomposição
Todo o polinômio de grau n tem exatamente n raízes 
reais e com plexas.
Demonstração
Pelo teorema fundamental, P(x) tem pelo menos uma 
raiz. Seja ela r1. Logo:
P(x) = (x - r1) . Q(x)
Q(x) é um novo polinômio de grau n-1, que possui, 
também, pelo menos uma raiz. Seja ela r2. Logo:
Q(x) = (x - r2) . Q1(x)
Fazendo o mesmo procedimento com q1(x) e conti-
nuando até a n-ésima expressão temos
Qn-1(x) = (x - rn) . Qn(x)
Em Qn o grau do polinômio será zero e Qn será igual a 
uma constante que chamamos de an
Substituindo todas as equações obtidas na decompo-
sição de P(x), teremos:
P(x) = an.(x-r1).(x-r2). ... (x-rn)
Exemplo:
Compor o polinômio, sabendo que suas raízes são 1, 
2 e 4
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MATEMÁTICA
Como existem 3 raízes, n=3, então o polinômio é da 
forma:
P(x) = an.(x-r1).(x-r2).(x-r3)
Fazendo an = 1, temos que:
P(x) = 1. (x-1).(x-2).(x-4)
P(x) = x3 - 7x2 + 14x – 8
Teorema de Bolzano 
 
Seja p(x) um polinômio com coeficientes reais x∈[a,b]. 
 
Se p(a)⋅ p(b) < 0 → ∃ um número impar

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