Calculo I
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Calculo I


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Cálculo 1
S. Friedli
Departamento de Matemática
Instituto de Ciências Exatas
Universidade Federal de Minas Gerais
Versão 1.0
16 de fevereiro de 2013
Apostila em acesso livre em www.mat.ufmg.br/~sacha.
Versão 1.0 (16 de fevereiro de 2013). Sugestões, críticas e correções: sacha@mat.ufmg.br
ii
Sumário
1 Fundamentos 3
1.1 Números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Equações do primeiro e segundo grau . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Ordem e intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.4 Inequações e sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 O plano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2 Círculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1 Medir ângulos no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.2 Seno, cosseno e tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.3 Identidades trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Funções 21
2.1 De\ufb01nição e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.1 Limitação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Grá\ufb01co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.1 Potências inteiras: x
p
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.2 Paridade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.3 Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.4 Transformações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Montar funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4 Composição, contradomínio e imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4.1 Bijeção, função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4.2 Inversos das potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.4.3 Funções trigonométricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3 Exponencial e Logaritmo 45
3.1 Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2 Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3 A base e = 2; 718::: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4 Funções trigonométricas hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
iii
SUMÁRIO
4 Limites 59
4.1 Limites lim
x!\ufffd1
f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.1.1 A de\ufb01nição de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.1.2 Limites in\ufb01nitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.1.3 Quocientes e diferenças de números grandes . . . . . . . . . . . . 65
4.2 Limites laterais: lim
x!a
\ufffd
f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3 Limites lim
x!a
f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.4 Indeterminações do tipo \ufffd
0
0
\ufffd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.4.1 O limite lim
h!0
(x+h)
n
\ufffdx
n
h
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.4.2 O limite lim
x!0
senx
x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.5 Limites laterais in\ufb01nitos, assíntotas verticais . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.6 Mudar de variável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.7 O limite e = lim
x!1
\ufffd
1 +
1
x
\ufffd
x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.8 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.8.1 O Teorema do valor intermediário . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.9 Limites e funções contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.10 Exercícios de revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5 Derivada 87
5.1 Retas e grá\ufb01cos de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.2 Reta tangente e derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.2.1 Pontos de não-diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2.2 Derivabilidade e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.3 A derivada como função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.3.1 Derivar as potências inteiras: x
p
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.3.2 Derivar as funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.3.3 Derivar exponenciais e logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.4 Regras de derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.4.1 Derivar as potências x
\ufffd
; exponenciação . . . . . . . . . . . . . . 99
5.4.2 Derivadas logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.4.3 Derivar uma função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.5 O Teorema de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.6 Derivada e Variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.7 Linearização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.8 Derivação implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.9 Taxa de variação, velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.9.1 Taxas relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.10 Convexidade, concavidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.11 Valores extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.11.1 Extremos globais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.11.2 Extremos locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.11.3 A procura de extremos em intervalos fechados . . . . . . . . . . . 122
5.11.4 Problemas de otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.11.5 A Lei de Snell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.12 A Regra de Bernoulli-l'Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.12.1 Sobre o crescimento das funções no 1 . . . . . . . . . . . . . . . 133
Versão 1.0 (16 de fevereiro de 2013). Sugestões, críticas e correções: sacha@mat.ufmg.br
iv
SUMÁRIO
5.13 Assíntotas oblíquas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.14 Estudos de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6 Integral 141
6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.2 A integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.3 O Teorema Fundamental do Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.4 Áreas de regiões do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.5 Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.5.1 Integração por Substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.5.2 Integração por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.6 Comprimento de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.7 Sólidos de revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.7.1 Aproximação por cilindros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.7.2 Aproximação por cascas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.7.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.8 Áreas de superfícies de revolução