Aula 21 - Mudanças de Coordenadas

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Cristiano Vasconcellos Ferreira, Dr. Eng. Centro de Engenharia da Mobilidade 
Translação e Rotação 
 
Geometria Analítica 13 
Professor Wagner M. Pachekoski 
Cristiano Vasconcellos Ferreira, Dr. Eng. Centro de Engenharia da Mobilidade 
Mudança de Coordenadas 
. 
Quando se faz a substituição de um sistema de coordenado por 
outro, é fundamental estabelecer relação entre coordenadas de um 
ponto genérico X em relação ao primeiro sistema e as coordenadas 
de X em relação ao segundo. 
 
Tais relações vão permitir não só a conversão das coordenadas, 
mas também a conversão de equações de retas, planos e lugares 
geométricos em geral. 
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1 - Translação de Eixos no Plano 
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ou 
... são as fórmulas de translação e que permitem transformar coordenadas de um 
sistema para outro. A principal finalidade é modificar a forma de equações. 
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2 - Translação de Eixos no Espaço 
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Da mesma maneira que no plano as coordenadas no novo sistema 
será 
𝑥 = 𝑥′ + ℎ 
𝑦 = 𝑦′ + 𝑘 
𝑧 = 𝑧′ + 𝑙 
ou 
𝑥′ = 𝑥 − ℎ 
𝑦′ = 𝑦 − 𝑘 
𝑧′ = 𝑧 − 𝑙 
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3 – Rotação no Plano 
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Do triângulo menor 
sen 𝜃 =
𝑆𝑇
𝑦′
 e cos 𝜃 =
𝑥 + 𝑆𝑇
𝑥′
 
𝑥 = 𝑥′ cos 𝜃 − 𝑦′ sen 𝜃 
𝑥′ = 𝑥 cos 𝜃 + 𝑦 sen 𝜃 
 
Do triângulo maior 
sen 𝜃 =
𝑦 − 𝑆𝑃
𝑥′
 e cos 𝜃 =
𝑆𝑃
𝑦′
 
 
𝑦 = 𝑥′ sen 𝜃 + 𝑦′ cos 𝜃 
 
𝑦′ = −𝑥 sen 𝜃 + 𝑦 cos 𝜃 
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Podemos escrever matricialmente 
𝑥 = 𝑥′ cos 𝜃 − 𝑦′ sen 𝜃 
𝑦 = 𝑥′ sen 𝜃 + 𝑦′ cos 𝜃 
 
𝑥
𝑦 =
cos 𝜃 − sen 𝜃
sen 𝜃 cos 𝜃
𝑥′
𝑦′
 
 
A matriz 
cos 𝜃 − sen 𝜃
sen 𝜃 cos 𝜃
 
 
é chamada de matriz de rotação. 
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3 – Rotação no Espaço 
Para fazermos rotações no espaço, precisamos rotacionar em cada 
um dos eixos coordenados. 
 
Para isso usaremos as matrizes de rotação em torno de cada eixo 
 
 
Matriz de Rotação 
em torno do eixo x 
1 0 0
0 cos 𝜃 − sen 𝜃
0 sen 𝜃 cos 𝜃
 
 
Matriz de Rotação 
em torno do eixo y 
cos 𝜃 0 − sen 𝜃
0 1 0
sen 𝜃 0 cos 𝜃
 
 
Matriz de Rotação 
em torno do eixo z 
cos 𝜃 − sen 𝜃 0
sen 𝜃 cos 𝜃 0
0 0 1
 
 
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4 – Identificação de Cônicas 
Uma cônica é uma expressão do segundo grau 
 
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 
 
com 𝐴 ≠ 0, 𝐵 ≠ 0 ou 𝐶 ≠ 0. 
 
Vamos utilizar translações e rotações para identificarmos tal cônica. 
 
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4.1 – Eliminar Termos Lineares 
Vamos fazer uma mudança de coordenadas de modo que os 
termos Dx e Ey desapareçam e tenhamos 
 
A u2 + B uv + C v2 + F = 0 
 
Para que haja translação para o novo sistema 𝑢0𝑣 
 
𝑥 = 𝑢 + ℎ 
𝑦 = 𝑣 + 𝑘 
 
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Assim 
 
A(𝑢 + ℎ)2 + B(𝑢 + ℎ)(𝑣 + 𝑘) + C(𝑣 + 𝑘 )2 + D(𝑢 + ℎ) + E(𝑣 + 𝑘) + F = 0 
 
𝐴𝑢2 + 2𝐴𝑢ℎ + 𝐴ℎ2 + 𝐵𝑢𝑣 + 𝐵𝑢𝑘 + 𝐵ℎ𝑣 + 𝐵ℎ𝑘 + 
+𝐶𝑣2 + 2𝐶𝑣𝑘 + 𝐶𝑘2 + 𝐷𝑢 + 𝐷ℎ + 𝐸𝑣 + 𝐸𝑘 + 𝐹 = 0 
 
𝐴𝑢2 + 𝐵𝑢𝑣 + 𝐶𝑣2 + 2𝐴ℎ + 𝐵𝑘 + 𝐷 𝑢 + 
+ 𝐵ℎ + 2𝐶𝑘 + 𝐸 𝑣 + 𝐴ℎ2 + 𝐵ℎ𝑘 + 𝐶𝑘2 + 𝐷ℎ + 𝐸𝑘 + 𝐹 = 0 
 
A u2 + B uv + C v2 + 0u + 0v + F = 0 
 
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Assim 
A = A 
B = B 
C = C 
2𝐴ℎ + 𝐵𝑘 + 𝐷 = 0 
𝐵ℎ + 2𝐶𝑘 + 𝐸 = 0 
F = 𝐴ℎ2 + 𝐵ℎ𝑘 + 𝐶𝑘2 + 𝐷ℎ + 𝐸𝑘 + 𝐹 
 
Devemos encontrar ℎ e 𝑘 de modo que 
 
2𝐴ℎ + 𝐵𝑘 + 𝐷 = 0 
𝐵ℎ + 2𝐶𝑘 + 𝐸 = 0 
 
E assim: 
 𝐀 𝐮𝟐 + 𝐁 𝐮𝐯 + 𝐂 𝐯𝟐 + 𝐅 = 𝟎 
 
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4.1 – Eliminar o Termo Misto 
Para: 𝐀 𝐮𝟐 + 𝐁 𝐮𝐯 + 𝐂 𝐯𝟐 + 𝐅 = 𝟎 
 
Vamos fazer uma mudança de coordenadas de modo que os 
termos B𝑥𝑦 desapareça e tenhamos 
 
A′t2 + 𝐶′w2 + 𝐷′𝑡 + 𝐸′𝑤 + F′ = 0 
 
Para que haja rotação para o novo sistema 𝑡0𝑤 
 
𝑥 = 𝑡 cos 𝜃 − 𝑤 sen 𝜃 
𝑦 = 𝑡 sen 𝜃 + 𝑤 cos 𝜃 
 
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Substituindo em 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 temos: 
 
Ax2 = A t cos θ − wsen θ 2 = At2cos2θ − 2Atw senθcosθ + Aw2sen2θ 
Ax2 = At2cos2θ − Atw sen 2θ + Aw2sen2θ 
 
Bxy = B t cos θ − wsen θ t sen θ + wcos θ 
Bxy = Bt2senθcosθ + Btw cos2θ − Btw sen2θ − Bw2senθcosθ 
Bxy = Bt2senθcosθ + Btw cos2θ − Bw2senθcosθ 
Bxy =
B
2
t2sen2θ + Btw cos2θ −
B
2
w2sen2θ 
 
Cy2 = C t sen θ + wcos θ 2 = Ct2sen2θ + 2Ctw senθcosθ + Cw2cos2θ 
Cy2 = Ct2sen2θ + Ctw sen 2θ + Cw2cos2θ 
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Dx = D t cos θ − wsenθ = Dtcosθ − Dw senθ 
 
Ey = E(t sen θ + wcos θ) = Et senθ + Ewcos θ 
 
Combinando os termos 𝑡2, 𝑡𝑤, 𝑤2, 𝑡 e 𝑤: 
𝐴 cos2 𝜃 +
𝐵
2
sen 2𝜃 + 𝐶 sen2 𝜃 𝑡2 
 
−𝐴 sen 2𝜃 + 𝐵 cos 2𝜃 + 𝐶 sen 2𝜃 𝑡𝑤 
 
𝐴 sen2 𝜃 −
𝐵
2
sen 2𝜃 + 𝐶 cos2 𝜃 𝑤2 
 
𝐷 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝐸 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑡 
 
𝐸 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝐷 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑤 
 
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Assim: 
 
 𝐴′ = 𝐴 cos2 𝜃 +
𝐵
2
sen 2𝜃 + 𝐶 sen2 𝜃 
 
 𝐵′ = 𝐶 − 𝐴 sen 2𝜃 + 𝐵 cos 2𝜃 
 
 𝐶′ = 𝐴 sen2 𝜃 −
𝐵
2
sen 2𝜃 + 𝐶 cos2 𝜃 
 
 𝐷′ = 𝐷 cos 𝜃 + 𝐸 sen 𝜃 
 
 𝐸′ = 𝐸 cos 𝜃 − 𝐷 sen 𝜃 
 
 𝐹′ = 𝐹 
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Queremos que 
 
 𝐵′ = 𝐶 − 𝐴 sen 2𝜃 + 𝐵 cos 2𝜃 = 0 
 
• se 𝐴 = 𝐶 
cos 2𝜃 = 0 ⟹ 𝜃 =
𝜋
4
 ou 𝜃 =
3𝜋
4
 
 
• se 𝐴 ≠ 𝐶 
tan 2𝜃 =
B
A − C
 
 
e qualquer 𝜃 que satisfaça essa equação serve aos nossos 
propósitos. 
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Pode-se demonstrar que, escolhido 𝜃 como acima os coeficientes 𝐴’ 
e 𝐶’ são raízes da equação do 2º grau 
 
𝐴 − 𝜆
𝐵
2
𝐵
2
𝐶 − 𝜆
= 0 
 
𝐴 − 𝜆 𝐶 − 𝜆 −
𝐵2
4
= 0 ⟹ 𝝀𝟐 − 𝑨 + 𝑪 𝝀 −
𝑩𝟐
𝟒
= 𝟎 
 
A escolha de qual raiz será 𝐴’ e qual será 𝐶’ influenciará apenas em 𝜃. 
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5 – Classificação das Cônicas 
Seja a cônica 
𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 
 
• Se 𝐵2 − 4𝐴𝐶 < 0 
 Vazio, ponto, circunferência ou elipse. 
 
• Se 𝐵2 − 4𝐴𝐶 = 0 
 Reta, união de duas retas paralelas, parábola ou vazio. 
 
• Se 𝐵2 – 4𝐴𝐶 > 0 
 União de duas retas concorrentes ou hipérbole. 
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 5 – Exemplo 
Identifique a cônica e faça um esboço. 
𝐺 𝑥, 𝑦 = 4𝑥2 − 24𝑥𝑦 + 11𝑦2 + 56𝑥 − 58𝑦 + 95 = 0 
 𝑏2−4𝑎𝑐 = −24 2 − 4 4.11 = 400 = hipérbole 
 
Primeiro fazemos a translação para eliminar os termos lineares, para isso usamos 
a mudança de coordenadas𝑥 = 𝑢 + ℎ e 𝑦 = 𝑣 + 𝑘 
 
substituindo em G(x,y) obtemos 
 
4𝑢2 − 24𝑢𝑣 + 11𝑣2 + −24𝑘 + 8ℎ + 56 𝑢 + 22𝑘 − 24ℎ − 58 𝑣 + 𝐺 ℎ, 𝑘 = 0 
onde 
 
𝐺 ℎ, 𝑘 = 4ℎ2 − 24ℎ𝑘 + 11𝑘2 + 56ℎ − 58ℎ + 95 = 0 
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Queremos que os termos lineares tenham coeficientes nulos, ou seja 
 
−24𝑘 + 8ℎ + 56 = 0 e 22𝑘 − 24ℎ − 58 = 0 
 
Resolvendo o sistema obtemos 
ℎ = −
2
5
 e 𝑘 =
11
5
 
 
Que é o ponto onde a cônica esta “centrada”. 
 
𝐺 ℎ, 𝑘 = 4ℎ2 − 24ℎ𝑘 + 11𝑘2 + 56ℎ − 58ℎ + 95 = 20 
 
Assim 
4𝑢2 − 24𝑢𝑣 + 11𝑣2 + 20 = 0 
 
 
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Agora precisamos fazer a rotação para podermos identificar a cônica e 
também podermos esboçar o gráfico 
 
A equação rotacionada será 
𝐴′𝑡2 + 𝐶′𝑤2 + 20 = 0 
 
Onde A’ e C’ são raízes da equação 
4 − 𝜆 −12
−12 11 − 𝜆
= 0 
Ou seja 
𝜆2 − 15𝜆 − 100 = 0 
Logo 
𝐴′ = 20 𝑒 𝐶′ = −5 𝑜𝑢 𝐴′ = −5 𝑒 𝐶′ = 20 
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Se 𝐴′ = 20 𝑒 𝐶′ = −5 temos que a cônica nas coordenadas t e w é 
20𝑡2 − 5𝑤2 + 20 = 0 
5𝑤2 − 20𝑡2 = 20 
𝑤2
4
− 𝑡2 = 1 
 
 E o ângulo que rotacionamos o sistema é 𝜃 = 126,87º 
Se 𝐴′ = −5 𝑒 𝐶′ = 20 temos que a cônica nas coordenadas t e w é 
𝑡2
4
− 𝑤2 = 1 
 
 E o ângulo que rotacionamos o sistema é 𝜃 = 36,87º 
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Se 𝐴′ = 20 𝑒 𝐶′ = −5 
𝑤2
4
− 𝑡2 = 1 
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Se 𝐴′ = 20 𝑒 𝐶′ = −5 
𝑤2
4
− 𝑡2 = 1 
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Se 𝐴′ = 20 𝑒 𝐶′ = −5 
𝑤2
4
− 𝑡2 = 1 
𝜃 = 126,87º 
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Se 𝐴′ = 20 𝑒 𝐶′ = −5 
𝑤2
4
− 𝑡2 = 1 
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Se 𝐴′ = 20 𝑒 𝐶′ = −5 
𝑤2
4
− 𝑡2 = 1 
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Se 𝐴′ = 20 𝑒 𝐶′ = −5 
𝑤2
4
− 𝑡2 = 1 
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Assim 
4𝑥2 − 24𝑥𝑦 + 11𝑦2 + 56𝑥 − 58𝑦 + 95 = 0 
é a hipérbole: 
 
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Se 𝐴′ = −5 𝑒 𝐶′ = 20 
𝑡2
4
− 𝑤2 = 1 
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Se 𝐴′ = −5 𝑒 𝐶′ = 20 
𝑡2
4
− 𝑤2 = 1 
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Se 𝐴′ = −5 𝑒 𝐶′ = 20 
𝑡2
4
− 𝑤2 = 1 
𝜃 = 36,87º 
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Se 𝐴′ = −5 𝑒 𝐶′ = 20 
𝑡2
4
− 𝑤2 = 1 
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Se 𝐴′ = 20 𝑒 𝐶′ = −5 
𝑤2
4
− 𝑡2 = 1 
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Assim 
4𝑥2 − 24𝑥𝑦 + 11𝑦2 + 56𝑥 − 58𝑦 + 95 = 0 
é a hipérbole: 
 
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6 – Exercícios 
1. Identifique as cônicas e faça um esboço quando possível. 
a. 9𝑥2 − 4𝑦2 − 18𝑥 − 16𝑦 − 7 = 0 
b. 4𝑥2 − 24𝑥𝑦 + 11𝑦2 + 56𝑥 − 58𝑦 + 95 = 0 
c. 16𝑥2 − 24𝑥𝑦 + 9𝑦2 − 85𝑥 − 30𝑦 + 175 = 0 
d. 𝑥2 + 1 = 0 
e. 𝑦2 − 4𝑥 + 10𝑦 + 13 = 0 
f. 𝑥2 + 2𝑦2 − 4𝑥 − 4𝑦 − 1 = 0