ELEMENTOS ESTRUTURAIS AÇO - PRÉ-DIMENSIONAMENTO

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Elementos estruturais de aço para projetos de 
arquitetura: Pré - dimensionamento (2010.2) 
 
Mauro César de Brito e Silva1 
 
 
1.1 – Introdução 
 
Um dos principais objetivos do projeto estrutural é produzir estruturas 
que sejam seguras e duráveis a um custo razoável. E isto requer que as 
dimensões das seções transversais dos elementos estruturais sejam 
determinadas de tal forma que o sistema estrutural seja capaz de suportar 
com segurança as cargas que nele são aplicadas. Portanto, o objetivo do pré-
dimensionamento das peças estruturais é o de chegar tão próximo quanto 
possível do dimensionamento ideal e final que devem ser apresentado nos 
projetos estruturais. 
Nos projetos de arquitetura a dimensão das peças estruturais é 
também um requisito essencial, pois elas serão uma ferramenta muito útil em 
que o projetista estrutural pode utilizar no estudo preliminar do sistema 
estrutural. Sendo assim o método apresentado a seguir não terá o rigor que é 
apresentado nos projetos estruturais, entretanto através de cálculos rápidos é 
possível estabelecer as dimensões aproximadas das peças estruturais que 
podem ser utilizadas nos projetos de arquitetura das estruturas. 
 
1.2 – Análise estrutural 
 
 O principal fator que determina as dimensões dos elementos de um 
sistema estrutural é a quantidade de carga a que eles estão sujeitos. Portanto 
a partir do pré-dimensionamento dos elementos estruturais é possível estimar 
o peso próprio do elemento estrutural, que somado a outras cargas 
gravitacionais é obtido às cargas permanentes atuantes no elemento 
estrutural. Este processo inicial de determinação do pré-dimensionamento 
das peças estruturais é parte fundamental do calculo que a estrutura é 
submetida e que é conhecido por analise estrutural. 
Análise estrutural pode ser dividida em três partes distintas: a 
determinação das cargas atuantes no sistema estrutural; análise preliminar; e 
análise final. 
A determinação das cargas atuantes é a previsão dos carregamentos 
máximos em que ocorrerá na vida útil da estrutura. Os quatro principais tipos 
de ações (cargas) estão definidos no item “1.2 – Requisitos necessários de 
uma estrutura” das notas “1 - Estrutura e Arquitetura”. Portanto, a carga 
máxima atuante no sistema estrutural será o resultado mais desfavorável 
obtido através das combinações entre a carga permanente atuante na 
estrutura e os outros tipos de carregamento. 
A análise preliminar da estrutura é a obtenção dos esforços internos e 
as deflexões que os elementos que a constituem estão submetidos devido à 
aplicação das cargas máximas que estará atuando no sistema estrutural. 
 
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 Professor Assistente III, Departamento de Artes e Arquitetura, PUC Goiás, Goiânia, Goiás, Brasil. 
2 
 
E a análise final do sistema estrutural será a interpretação dos 
resultados obtidos na análise preliminar, ou seja, o elemento estrutural é 
analisado de tal forma que sua deformação seja menor ou igual que a 
desejada e que ele também seja capaz de resistir aos esforços internos: 
momento fletor, força cortante e força axial. 
O pré-dimensionamento dos elementos estruturais para os projetos de 
arquitetura de uma determinada estrutura pode ser feito utilizando uma 
versão expedita da análise estrutural apresentada anteriormente. 
Normalmente, somente a determinação da dimensão aproximada do 
elemento mais solicitado é suficiente, por exemplo: o elemento mais 
carregado em uma tesoura de cobertura ou a viga mais carregada em um 
piso. Usando este procedimento é possível testar a viabilidade do elemento 
em questão verificando se suas dimensões são compatíveis e adequadas 
com as dimensões pré-estabelecidas no projeto de arquitetura da estrutura. 
No caso de elementos flexionados, como as vigas, tabelas que apresentam 
fórmulas de cálculo dos momentos fletores, reações de apoio, esforços 
cortantes e flechas podem ser utilizadas. Estes valores podem ser utilizados 
para estimar os máximos esforços internos nesses elementos estruturais. 
O carregamento que um elemento mais solicitado tem pode ser 
estimado considerando a carga da área de cobertura ou a carga de piso que 
ele suporta, ou seja, a carga que o elemento suporta é obtida pela simples 
multiplicação da área de influência dele pela intensidade de carga que ele 
suporta. 
 
1.3 – Cálculos das dimensões dos elementos estruturais 
 
Resistência e rigidez são dois fatores que influem diretamente na 
determinação das dimensões dos elementos estruturais. O elemento 
estrutural deve ter uma resistência adequada e rigidez suficiente para manter 
suas deflexões a níveis aceitáveis. Portanto, as dimensões mínimas da seção 
transversal do elemento estrutural utilizado nos projetos de arquitetura podem 
ser adotadas considerando os dois fatores citados. Os cálculos considerados 
nestas notas são quase que exclusivamente relativos à resistência do 
material estrutural, porque a maioria dos casos a resistência do material será 
suficiente para o estabelecimento das dimensões aproximadas da seção 
transversal do elemento estrutural utilizadas pelo arquiteto. 
No calculo das dimensões, um fator de segurança deve ser 
considerado. Ele permitirá que as incertezas que inevitavelmente estarão 
presentes no projeto e na construção sejam incorporadas nas dimensões 
adotadas. 
O cálculo dessas dimensões podem ser feitos considerando dois 
métodos: o das tensões admissíveis e método dos estados limites. As 
tensões admissíveis são obtidas dividindo-se o limite de escoamento do 
material por coeficientes de segurança adequados. Portanto, as dimensões 
calculadas por este método garantiram que as tensões atuantes na peça 
nunca serão maiores que as tensões admissíveis. No método dos estados 
limites as cargas atuantes no elemento estrutural são multiplicadas por um 
coeficiente de segurança e as tensões do material, normalmente as tensões 
de escoamento, são divididas por outro coeficiente de segurança. A 
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conjunção deles resultará em valores das dimensões da seção transversal do 
elemento estrutural que podem ser adotadas com segurança pelo projetista. 
As vantagens e desvantagens dos dois métodos não serão discutidas 
nestas notas. Mas considerando que as dimensões das seções transversais 
dos elementos estruturais são aproximadas, a opção pela utilização do 
método das tensões admissíveis é justificada devida principalmente a sua 
simplicidade. 
 
1.3.1 – Elementos sujeitos a tração axial 
 
São aqueles que normalmente são construídos usando aço (ou 
madeira). A tensão de tração axial no elemento é normalmente considerada 
uniformemente distribuída na seção transversal do elemento em questão e é 
calculada conforme a seguinte equação: 
 
 
(1.1) 
Onde: 
ft = tensão axial de tração admissível (normalmente a tensão 
admissível de escoamento) 
P = ação de tração axial 
A = área da seção transversal 
 
Se as dimensões da seção transversal é a mesma ao longo de todo 
elemento a magnitude da tensão é igual em todas as suas seções. 
Dependendo do tipo de conexão que o elemento estrutural faz com a 
estrutura suporte, é muito provável que a área da seção transversal (A) seja 
maior que a área efetiva (An). Este tipo de situação ocorre com freqüência 
nas estruturas de aço conectadas por parafusos ou similares, onde a tensão 
de tração estará concentrada na região do parafuso, e neste caso a fórmula 
acima sofre uma pequena modificação: 
 
 
(1.2) 
Onde: 
 f’t = máxima tensão axial de tração admissível (normalmente a tensão 
admissível de ruptura) 
 P = ação de tração axial 
 An = área efetiva da seção transversal 
 
 É recomendável que as barras solicitadas a tração apresentem rigidez 
suficiente para evitar deformações provenientes dos choques, durante o 
transporte e montagem, ou as vibrações duranteo uso da estrutura. Em 
estruturas leves a esbeltez da peça  = L / r (L  comprimento não 
contraventado da peça e r  raio de giração em relação à menor inércia do 
elemento estrutural), excetuando-se tirantes de barras redondas, não deve 
ultrapassar 300. 
 
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1.3.2 – Exemplo 
 
Pré-dimensionar os elementos estruturais tracionados que fazem parte 
da estrutura de contraventamento de um edifício. A carga máxima de tração é 
igual a 80 kN e seu comprimento não contraventado é 7000 mm. 
 
Solução: Considerando a fórmula 1.1 e que a tensão atuante deve ser 
menor que tensão admissível de escoamento do aço A-36, e usando perfis 
do anexo  2.3 – Perfis – Aço: 
 
Resistência: ft = P / A ≤ 146 Mpa (Anexo – 2.1) 
 
A ≥ 80000 / 146 ≥ 548 mm2 = 5,48 cm2 
 
Rigidez:  = L/r < 300  r > 700/300 = 2,33 cm 
 
Opção 1: Tubo sem costura rígido (tabela 2.3.1) 
 
Ø70,0 #2,9 mm (4,83 kg/m)  Ag = 6,11 cm2; r = 2,37 cm 
 
 
Opção 2: Perfil “U” enrijecido em chapa dobrada (tabela 2.3.2) 
 
C 127 x 75 x 20 # 2,25 mm (5,44 kg/m)  Ag = 6,93 cm2; r = 2,8 cm 
 
Normalmente a consideração mais importante nas edificações 
estruturadas em aço é seu peso, portanto o tubo sem costura rígido perfil 
Ø70,0 #2,9 mm (4,83 kg/m) tem o menor peso, portanto é a escolha mais 
adequada se o custo do elemento estrutural for relevante na composição final 
do valor da edificação. 
 
 
1.3.3 – Elementos sujeitos a compressão axial 
 
São elementos estruturais solicitados a cargas de compressão e que 
normalmente sofre flambagem, que é uma instabilidade causada em peças 
com este tipo de solicitação. As forças devido à compressão são 
inerentemente instáveis porque se já existe alguma excentricidade num 
sistema comprimido a ação das forças causarão um aumento desta. 
Na figura 1.1 o elemento estrutural esta solicitado por cargas de 
compressão, e se o elemento for perfeitamente reto e a carga for aplicada 
longitudinalmente e passando exatamente pelo centro de gravidade da seção 
transversal, os esforços internos produziram uma tensão pura axial de 
compressão distribuída ao longo de toda seção transversal em questão e o 
sistema estará em equilíbrio. Entretanto, este sistema é potencialmente 
instável, pois se o elemento for ligeiramente curvo devido, por exemplo, a 
presença de uma pequena perturbação lateral, um momento é produzido pelo 
desalinhamento das forças internas. Este momento, que tentará restaurar a 
condição linear do elemento, é resistido pelas tensões de flexão que são 
produzidas pelas deformações que a curvatura gera. 
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É importante entender que diferentemente das vigas, o momento e as 
tensões de flexão que ocorrem nos elementos comprimidos quando a 
curvatura é gerada não são diretamente afins. O momento fletor depende 
somente da magnitude da carga de compressão aplicada e da excentricidade 
presente. A tensão de flexão é determinada pela deformação devido à flexão, 
que depende da curvatura que é desenvolvida, e das propriedades do 
elemento, tais como: a propriedades da geometria de sua seção transversal e 
do modulo de elasticidade do material. Portanto os elementos comprimidos 
são potencialmente instáveis internamente e dependem do momento que a 
excentricidade vai gerar. Sendo que a curva que a carga de compressão vai 
causar é conhecida por flambagem. 
 
 
Figura 1.1 
 
 O fator que determinará a suscetibilidade de um particular elemento 
flambar é a magnitude da carga de compressão aplicada como na fig. 1.2, 
que mostra a estabilidade de uma barra perfeitamente reta e alinhada com 
uma carga de compressão “P”. A estabilidade da barra depende do valor da 
carga axial aplicada. O primeiro diagrama mostra um sistema sem 
imperfeições onde uma barra esta solicitada por uma carga “P” pequena, este 
sistema é estável porque com a retirada da força externa horizontal 
perturbadora a barra voltará ao estado original. Entretanto no segundo 
diagrama a carga “P” aplicada é grande, e este sistema é instável porque a 
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carga perturbadora vai precipitar progressivos incrementos na curvatura até 
que a flambagem ocorra. No último diagrama a carga “P” é crítica, pois a 
carga “P” nem é pequena e nem é grande. É uma situação em que a barra 
começa a desenvolver a instabilidade quando alcança o valor desta carga. 
Esta carga é conhecida por carga crítica “Pcr”. 
 
 
Figura 1.2 
 Um dos clássicos problemas da teoria das estruturas é como analisar 
a flambagem nas barras. Existem métodos desenvolvidos por matemáticos e 
engenheiros que investigam formas de encontrar a carga crítica nos 
elementos estruturais. E é possível que o mais conhecido deles tenha sido 
desenvolvido no século dezoito pelo matemático suíço Leonhard Euler. 
Segundo Euler a analise da flambagem é uma investigação teórica de 
uma barra comprimida perfeitamente reta com nenhum tipo de 
excentricidade, ou seja, nem em relação ao eixo longitudinal da barra e nem 
em relação ao eixo de aplicação da carga. 
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A formula 1.3 foi desenvolvida para o cálculo da carga crítica “Pcr” de 
uma barra perfeita rotulada nas extremidades. 
 
 
(1.3) 
Onde: 
Pcr = carga crítica segundo Euler 
E = modulo de elasticidade do material 
 = momento quadrático de uma área referido ao eixo que passa no 
centro de gravidade (normalmente denominado momento de inércia) 
L = comprimento da barra 
 
 Para uma barra ideal a carga crítica segundo Euler é equivalente a 
tensão de flambagem de uma barra real. No caso especifico da barra ideal, a 
introdução da curvatura deve ser tal que cause flambagem e a carga de 
compressão deve ser maior que a carga crítica ”Pcr”. A excentricidade é 
sempre presente na barra real, entretanto, se a carga aplicada é maior que a 
carga crítica automaticamente a barra sofrerá flambagem. 
 
 
Figura 1.3 
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 Segundo Euler o fator mais importante que determina a carga crítica 
nos elementos comprimidos é a esbeltez. E em função dela conclui-se que 
quanto mais esbelto for o elemento estrutural menor será sua carga crítica. A 
determinação do parâmetro de esbeltez, , de um determinado elemento 
estrutural é função do momento de inércia (I) de sua seção transversal, que é 
determinado em função de sua espessura. Naturalmente isto é uma medida 
do desempenho de flexão da seção transversal que acontece porque a 
flambagem não é nada mais que um fenômeno semelhante à flexão quando 
consideramos o estudo da estabilidade das peças comprimidas. 
 O efeito do momento de inércia na determinação da flambagem de um 
elemento estrutural pode ser considerado estudando o comportamento de 
certas barras com diferentes seções transversais. Assumindo que um 
elemento comprimido tem as mesmas condições de vinculação lateral em 
todas as direções, ele flambará segundo o eixo relativo à sua menor inércia, 
eixo “Y”, como é mostrado na figura 1.3. Ela também mostra dois elementos, 
que apesar de suas seções transversais terem a mesma área, o elemento 
com seção transversal retangular flamba porque é mais esbelto do que o de 
seção quadrada. 
 A propriedade da seção transversal que normalmente é usada na 
determinação da carga crítica não é o momento de inércia, mas sim o raio de 
giração da seção transversal que é relativo ao momento de inércia. Portanto, 
o raio de giração da seção transversal (r) pode ser calculado utilizando a 
formula 1.4: 
 
 
 
(1.4) 
Onde: 
r = raio de giração 
A = área da seção transversal 
 
 E o parâmetro ou índice de esbeltez, , pode ser calculado utilizando a 
formula 1.5: 
 
 
(1.5) 
Onde: 
Lfl = comprimento de flambagem 
 
 Portanto a formula que Euler desenvolveu pode ser rearranjada 
conforme a formula 1.6: 
 
 
(1.6) 
 
 A introdução da área A na formula ao invés da inércia I permite que acarga crítica seja expressa em termos de tensão média crítica e isto é mais 
conveniente em termos do calculo estrutural. 
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Figura 1.4 
 Dimensionamento a flambagem de elementos comprimidos: a relação 
entre a tensão média crítica, fcr, e o parâmetro de esbeltez, , são mostrados 
na figura 1.4 em forma de gráfico, e este pode ser usado como base do 
método de calculo dos elementos estruturais comprimidos. 
 
 
Figura 1.5 
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 O dimensionamento de um elemento comprimido é simplesmente a 
determinação das dimensões e forma da seção transversal de tal forma que a 
tensão de flambagem seja maior que a tensão atuante no elemento 
estrutural. É possível determiná-la usando o gráfico e seguinte procedimento: 
1: Determinação do comprimento efetivo da barra que vai estar comprimida; 
2: Selecionar as dimensões e forma da seção transversal por tentativa; 
3: Com os dados anteriores é possível calcular a tensão media de 
compressão usando a formula definida por Euler ou pelo gráfico da figura 1.6. 
Este valor não deve ser excedido pela tensão atuante; 
4: A magnitude da tensão media de compressão que ocorre na barra é 
calculado usando a carga de compressão atuante e a área da seção 
transversal final; 
5: Todo procedimento deve ser repedido se a tensão media de compressão 
for maior que a tensão crítica. É desejável que a seção transversal final seja 
econômica e segura, portanto a seção transversal final deve ser aquela que a 
tensão atuante seja pouca menor ou igual à tensão crítica. Portanto, este 
procedimento deve ser repetido até uma seção transversal satisfatória seja 
obtida. 
 
 Parâmetro de esbeltez – considerações 
 
 Segundo a formula definida por Euler a carga crítica, Pcr, é 
inversamente proporcional ao parâmetro de esbeltez, . Portanto, quando 
mais longo o elemento estrutural menor a carga que ele suporta. 
O parâmetro de esbeltez de um determinado elemento depende de 
sua condição de vinculação lateral, como pode ser visto na figura 1.5. Em (a), 
assumindo que a coluna esta devidamente vinculada em três pontos, no 
telhado, no pavimento intermediário e na fundação. O parâmetro de esbeltez 
é baseado no maior comprimento de flambagem, Lfl, da coluna para 
determinação da estabilidade no plano da seção transversal da coluna em 
questão. Já em (b), o parâmetro de esbeltez da coluna é determinado 
considerando o plano em que a flambagem vai ocorrer. No plano das paredes 
externas, por exemplo, o comprimento de flambagem da coluna será a maior 
distancia entre os pontos em que o movimento lateral é restringido, ou seja, 
entre as extremidades dos contraventamentos. E no plano transversal do 
edifício, o comprimento de flambagem será a altura de coluna. 
 
 Comprimento efetivo de flambagem: 
 
 Outro fator que afetará a carga crítica é as características das 
extremidades dos elementos comprimidos. Um elemento comprimido antes 
de flambar que tem suas extremidades engastadas, ou seja, totalmente 
restringidas, terá maior capacidade do que um elemento em que suas 
extremidades sejam rotuladas. Porque os elementos com extremidades com 
mais restrições podem suportar consideravelmente mais carga. 
 O comprimento efetivo de flambagem é definido como sendo a 
distancia entre pontos de momento igual a zero de um elemento estrutural 
comprimido, ou seja, entre pontos de inflexão. 
A fórmula definida por Euler aplica somente a elementos comprimidos 
com extremidades rotuladas, mas é possível aplicá-la em elementos com 
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extremidades diferentes das rotuladas se usarmos o conceito de 
comprimento efetivo de flambagem. 
 A figura 1.6 mostra o comprimento efetivo de flambagem de quatro 
elementos estruturais com diferentes vinculações em suas extremidades. 
 
 
Figura 1.6 
 
 Limitações da formula definida por Euler: 
 
 Na maioria das estruturais reais, o mecanismo de falha por flambagem 
é um pouco diferente. Quando um elemento real é submetido a um aumento 
de carga de compressão a máxima tensão, soma das tensões axial e de 
flexão na seção transversal, normalmente se torna maior do que a tensão de 
escoamento do material antes da alcançar a carga crítica de Euler (Veja a 
figura 1.4 que mostra o comportamento entre elementos “ideal” e “real”). Isto 
causa um aumento súbito na deflexão lateral que inicia a flambagem antes de 
alcançar a carga crítica de Euler. Então, a maioria dos elementos estruturais 
entrará em colapso com cargas menores do que a carga crítica de Euler e 
essa é uma grande discrepância entre a verdadeira carga de colapso e a 
carga de colapso prevista por Euler, ou seja, quanto menos esbelto for o 
elemento estrutural maior vai ser a discrepância. A extensão da discrepância 
também dependerá do tipo de material, por exemplo, o comportamento de 
uma coluna de alvenaria é significantemente diferente de uma fabricada de 
aço. 
 Na pratica a seqüência de operações que determina a seção 
transversal de qualquer elemento comprimido é em geral a mesma que foi 
discutida anteriormente. Este é um processo cíclico que é baseado em 
procedimentos que são similares aos utilizados na determinação da carga 
crítica de Euler. Entretanto, os valores destas dimensões determinados na 
pratica pelo método das tensões admissíveis não são baseados na formula 
definida por Euler. Para alguns materiais estruturais elas são derivadas de 
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equações muito similares a da formula definida por Euler, enquanto existem 
outros materiais com fórmulas muito mais sofisticadas do que as 
apresentadas por ele. 
O projetista estrutural normalmente não esta preocupado com a 
derivação dos diferentes níveis de tensões admissíveis, pois as normas 
vigentes normalmente apresentam valores em forma de tabelas ou gráficos 
que definem valores médios das tensões admissíveis para valores 
correspondentes de parâmetros de esbeltez para cada material. 
 
1.3.4 – Exemplo 
 
Pré-dimensionar um pilar metálico. O pilar é travado nas suas 
extremidades e seu comprimento efetivo de flambagem será considerado 
igual ao pé-direito de 3 m. A carga que o pilar está solicitado a uma carga de 
compressão de 250 kN. Aço ASTM A-36 – Perfil soldado e ASTM A-572 Grau 
50 – Perfil Laminado. 
 
Solução: 
 
Para ASTM A-36: 
 
1º Passo: Adotar um perfil do anexo 2.3.4 – Perfis Soldados: 
 
CS 150 x 25 (A = 32,4 cm2, ix = rx = 6,42 cm, iy = ry = 3,73 cm ) 
 
2º Passo: Calculando o parâmetro de esbeltez , formula 1.5 (notar que o 
perfil é menos rígido em relação ao eixo y, ou seja, o menor raio de giração): 
 
 = 300 / 3,73 = 80 
 
3º Passo: Em função do parâmetro , determina-se o valor da tensão 
admissível de flambagem (anexos: 2.2 - AÇO-CARBONO ASTM A-36): 
 
Para  = 80  ffl = 105 Mpa 
 
4º Passo: Calcula-se a tensão atuante e compara-se com a tensão 
admissível de flambagem: 
 
fat = 250000 / 3240 = 77,2 Mpa < ffl = 105 Mpa  O perfil é suficiente 
 
 
Para ASTM A-572: 
 
1º Passo: Adotar um perfil do anexo 2.3.3 – Perfis Laminados Gerdau 
Açominas: 
 
W 250 x 28,4 (A = 36,6 cm2, ix = rx = 10,51 cm, iy = ry = 2,20 cm ) 
 
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2º Passo: Calculando o parâmetro de esbeltez , formula 1.5 (notar que o 
perfil é menos rígido em relação ao eixo y, ou seja, o menor raio de giração): 
 
 = 300 / 2,2 = 136 
 
3º Passo: Em função do parâmetro , determina-se o valor da tensão 
admissível de flambagem (anexos: 2.2 – AÇO ASTM A-572): 
 
Para  = 136  ffl = 56 Mpa 
 
4º Passo: Calcula-se a tensão atuante e compara-se com a tensão 
admissível de flambagem: 
 
fat = 250000 / 3660 = 68,3 Mpa > ffl = 56 Mpa  O perfil é insuficiente 
5º Passo: Escolhe-se outro perfil do anexo 2.3.3 – Perfis Laminados Gerdau 
Açominas: 
 
W 250 x 32,7 (A = 42,1 cm2, ix = rx = 10,83 cm, iy = ry = 3,35 cm ) 
 
6º Passo: Calculando o parâmetrode esbeltez , formula 1.9: 
 
 = 300 / 3,35 = 90 
 
7º Passo: Em função do parâmetro , determina-se o valor da tensão 
admissível de flambagem (anexos: 2.2 - AÇO ASTM A-572): 
 
Para  = 90  ffl = 128 Mpa 
 
8º Passo: Calcula-se a tensão atuante e compara-se com a tensão 
admissível de flambagem: 
 
fat = 250000 / 4210 = 59,3 Mpa < ffl = 128 Mpa  O perfil satisfaz 
 
 
1.3.5 - Elementos sujeitos a flexão 
 
São aqueles elementos estruturais nos quais predomina a solicitação 
por momento fletor. 
 
 
Figura 1.7 
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A magnitude da tensão varia ao longo da seção transversal em 
questão com os maiores valores de tensão de tração e compressão nas 
fibras mais externas da seção transversal e mínimos valores no centro da 
seção onde a tensão muda de compressão para tração como na figura 1.7. É 
importante reconhecer que também poderá ocorrer uma variação de tensões 
de compressão e tração ao longo do comprimento do elemento estrutural 
devido à variação do momento fletor que é função direta do tipo de 
carregamento que o elemento estrutural esta solicitado. 
 
Calculo da tensão de flexão: a magnitude das tensões em qualquer 
ponto de uma determinada seção transversal ao longo do elemento estrutural 
depende basicamente de quatro fatores: o valor do momento fletor na seção 
transversal em questão; as dimensões desta seção transversal; a forma da 
seção transversal em estudo; e a localização do ponto dentro da mesma 
seção transversal. Considerando estes parâmetros é possível então 
estabelecer a seguinte relação entre eles: 
 
 
(1.7) 
Onde: 
ffy = tensão de flexão a uma distancia y da linha neutra (LN) da seção 
transversal em questão 
M = Momento fletor da mesma seção transversal 
 = Momento quadrático de uma área referido ao eixo que passa no centro de 
gravidade (normalmente denominado Momento de Inércia) 
ff = tensão admissível de flexão 
 
 É importante salientar que a formula anterior só será valida para 
dimensionamentos dentro do regime elástico. Esta relação é também uma 
das fundamentais da teoria da estruturas, pois pode ser utilizada no calculo 
de elementos estruturais solicitados ao momento fletor de uma variedade de 
formas. 
 Quando se deseja calcular a tensão máxima de flexão que ocorre na 
fibra mais afastada da linha neutra (LN), a relação 1.7 pode ser escrita como 
indica a 1.8: 
 
 
(1.8) 
Onde: 
Z = Modulo da seção (Modulo elástico da seção) =  / ymax 
 
 Calculo da tensão devido ao cisalhamento: esta tensão ocorre nos 
planos da seção transversal dos elementos flexionados devido à presença do 
esforço cortante. A distribuição das tensões de cisalhamento dentro de uma 
seção transversal não é uniforme. Ela depende da forma da seção 
transversal, mas normalmente somente um valor médio da tensão de 
cisalhamento é calculado pela formula 1.9: 
 
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(1.9) 
Onde: 
 = tensão admissível de cisalhamento media 
V = esforço cortante 
Av = área da seção transversal que resiste ao cisalhamento 
 
 Dimensionamento aproximado dos elementos solicitados a flexão: as 
seções transversais destes elementos estão solicitadas tanto a flexão quanto 
ao cisalhamento. E inicialmente as dimensões delas são obtidas em função 
da tensão de flexão e as dimensões obtidas são então checadas de tal forma 
que elas satisfação também as tensões de cisalhamento. 
 A seção inicial pode ser selecionada considerando que a flexão ocorre 
no regime elástico pela formula 1.10: 
 
 
(1.10) 
Onde: 
Zreq = módulo elástico requerido (Se ou Wx) 
M = máximo momento fletor aplicado 
ff = tensão admissível de flexão 
 
Além de obter o módulo elástico requerido (Zreq) é necessário verificar se o 
elemento também tem rigidez suficiente, ou seja, verificar se a flecha () 
máxima está dentro dos limites estabelecidos por norma. Para estruturas 
usuais, dependendo de sua finalidade, a flecha máxima é limitada entre 
valores que variam de L/200 a L/1000, sendo L o vão da viga. A NBR 8800/86 
estabelece valores que variam de L/240 a L/800. Entretanto como o objetivo 
principal desta publicação é obter valores para pré-dimensionamento da 
peças estruturais solicitadas a flexão nos projetos de arquitetura, pode-se 
adotar uma flecha limitada em L/360. 
 
1.3.6 – Exemplo 
 
Pré-dimensionar a viga da figura 1.8. A viga é suporte de laje “moldada 
in loco” de concreto armado e, portanto está continuamente travada. 
O momento máximo é igual a 155 kN.m e o aço é o ASTM A36 – Perfil 
soldado ou ASTM A572 – Grau 50 – Perfil Laminado. 
 
 Figura 1.8 
16 
 
Solução: Para verificação da resistência utilizaremos a fórmula 1.10 e 
as tensões admissíveis dos aços: 
 
A tensão admissível ff = 146 Mpa – ASTM A36 (Anexo – 2.1) 
 
 = 155 x 1000 / 146 > 1061,6 cm
3 
 
A tensão admissível ff = 199 Mpa – ASTM A572 (Anexo – 2.1) 
 
 = 155 x 1000 / 199 > 778,9 cm
3 
 
Como se trata de uma viga isostática biapoiada com um carregamento 
uniformemente distribuído a flecha máxima pode ser calculada utilizando as 
formulas dos anexos - item 2.4.1.1, assim como o momento fletor máximo: 
 
 
 
Portanto,   25503,9 cm4 
 
Utilizando um perfil do anexo  2.3.4 – Perfis Soldados: 
 
ASTM A-36  VS450 x 60 kg/m (Wx = 1243 cm
3
, Ix = 27962 cm
4
) 
 
Utilizando um perfil do anexo  2.3.3 – Perfis Laminados Gerdau 
Açominas: 
 
ASTM A572  W460 x 60 kg/m (Wx = 1127,6 cm
3
, Ix = 25652 cm
4
) 
 
Conclui-se que se pode utilizar tanto uma viga de perfil soldado como uma 
viga de perfil laminado. Do ponto de vista estrutural eles são suficientemente 
resistentes e rígidos, alem de ter a mesma massa. Portanto, a escolha do 
perfil adequado será feita considerando as questões do ponto de vista 
arquitetônico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 – Anexos 
 
 
 
 
 
2.1 – Tensões Admissíveis de tração e flexão 
 
 
Tipo 
E - modulo de 
elasticidade (Mpa) 
ft - tensão de tração e 
 ff - tensão de flexão (Mpa) 
Aço Carbono (ASTM – A-36) 205000 146 
Aço Carbono (ASTM – A-572 Grau 50) 205000 199 
COR TEN (ASTM – A-242) 205000 202 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
 
 
2.2 – Tensões Admissíveis de flambagem 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120
10 120 120 120 120 120 119 119 119 119 119
20 119 119 119 119 119 119 118 118 118 118
30 118 118 118 117 117 117 117 117 117 117
40 116 116 116 116 116 115 115 115 115 114
50 114 114 114 114 113 113 113 113 112 112
60 112 111 111 111 111 110 110 110 109 109
70 109 108 108 108 107 107 107 106 106 106
80 105 105 105 104 104 103 103 103 102 102
90 101 101 101 100 100 99 99 98 98 97
100 97 97 96 96 95 95 92 91 89 87
110 86 84 83 81 80 78 77 76 74 73
120 72 71 70 68 67 66 65 64 63 62
130 61 60 59 59 58 57 56 55 54 54
140 53 52 51 51 50 49 49 48 47 47
150 46 45 45 44 44 43 43 42 42 41
160 40 40 39 39 39 38 38 37 37 36
170 36 35 35 35 34 34 33 33 33 32
180 32 32 31 31 31 30 30 30 29 29
190 29 28 28 28 28 27 27 27 26 26
f cr = f fl (AÇO-CARBONO A-36) - Mpa 
 = L/r
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 175 175 175 175 175 175 175 175 175 175
10 175 174 174 174 174 174 174 174 173 173
20 173 173 173 172 172 172 172 172 171 171
30 171 170 170 170 170 169 169 169 168 168
40 167 167 167 166 166 165 165 165 164 164
50 163 163 162 162 161 161 160 160 159 159
60 158 157 157 156 156 155 154 154 153 152
70 152 151 150 150 149 148 148 147 146 145
80 175 174 174 174 174 174 140 137 134 131
90 128 125 122 120 117 115 112 110 108 106
100 104 102 10098 96 94 92 91 89 87
110 86 84 83 81 80 78 77 76 74 73
120 72 71 70 68 67 66 65 64 63 62
130 61 60 59 59 58 57 56 55 54 54
140 53 52 51 51 50 49 49 48 47 47
150 46 45 45 44 44 43 43 42 42 41
160 40 40 39 39 39 38 38 37 37 36
170 36 35 35 35 34 34 33 33 33 32
180 32 32 31 31 31 30 30 30 29 29
190 29 28 28 28 28 27 27 27 26 26
f cr = f fl (AÇO-TIPO "COR-TEN" A-242 ou ASTM A572 Grau 50) - Mpa
 = L/r
19 
 
 
2.3 – Perfis – Aço 
 
2.3.1 - Laminados 
 
BARRA MACIÇA DE SEÇÃO CIRCULAR 
 
 
20 
 
 
 
 
 
21 
 
 
CANTONEIRA ABAS IGUAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
 
CANTONEIRA DUPLA 
DE 
ABAS IGUAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
2.3.2 – Chapa dobrada 
 
 Os perfis em chapa dobrada são aplicados na execução de estruturas 
leves e também como terças e vigas de tapamento de quaisquer tipos de 
estruturas. A figura 2.1 indica os tipos de perfis e suas variações 
dimensionais. 
 
 
Figura 2.1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
CANTONEIRA DE ABAS IGUAIS 
 
 
 
 
 
25 
 
PERFIL “U” SIMPLES 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
PERFIL “U” ENRIJECIDO 
 
 
 
 
 
27 
 
2.3.3 – Perfis Laminados - Gerdau Açominas 
(ASTM A572 Grau 50) 
 
28 
 
 
 
 
 
 
29 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.3.4 – Perfis Soldados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
2.4 – Diagrama de momento fletor (D.M.F.), reação de 
apoio e flecha 
 
2.4.1 – Vigas Isostáticas 
 
2.4.1.1 – Biapoiadas 
 
 
 
 
 
 
 Se a = c: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ] 
36 
 
 
 
 , 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
2.4.1.2 – Biapoiadas com um balanço 
 
 
 
 ; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
) 
 
 
 
 
38 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
2.4.1.3 – Biapoiadas com balanços 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.4.1.4 – Em balanço 
 
 
 
 
 
, 
 
 
 
 
 
40 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.4.2 – Vigas Hiperestáticas 
 
2.4.2.1 – Engastada-Apoiada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.4.2.2 – Biengastadas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
42 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.4.2.3 – Contínuas – dois vãos iguais 
 
 
 
44 
 
 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
2.4.2.4 – Contínuas – três vãos iguais 
 
 
 
 
 
2.4.2.5 – Contínuas – quatro vãos iguais 
 
 
 
 
 
45 
 
2.4.3 – Pórticos Simples 
 
2.4.3.1 – Biarticulados à mesma altura com trave horizontal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
46 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
 
2.4.3.2 – Biengastados à mesma altura com trave horizontal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
48 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 
2.5 – Peso específico dos materiais de construção 
(Fonte: ABNT - NBR 6120/1980) 
 
 
Materiais 
Peso 
específico 
aparente 
(kN/m
3
) 
1 - Rochas 
Arenito 26 
Basalto 30 
Gneiss 30 
Granito 28 
Mármore e calcário 28 
2 – Blocos artificiais 
Blocos de argamassa 22 
Cimento amianto 20 
Lajotas cerâmicas 18 
Tijolos furados 13 
Tijolos maciços 18 
Tijolos sílico - calcários 20 
3 – Revestimentos e concretos 
Argamassa de cal, cimento e areia 19 
Argamassa de cimento e areia 21 
Argamassa de gesso 12,5 
Concreto simples 24 
Concreto armado 25 
4 - Madeiras 
Pinho, cedro 5 
Louro, imbuia, pau óleo 6,5 
Guajuvirá, guatambu, grápia 8 
Angico, cabriúva, ipê-róseo 10 
5 - Metais 
Aço 78,5 
Alumínio e ligas 28 
Bronze 85 
Chumbo 114 
Cobre 89 
Ferro fundido 72,5 
Estanho 74 
Latão 85 
Zinco 72 
6 – Materiais diversos 
Alcatrão 12 
Asfalto 13 
Borracha 17 
Papel 15 
Plástico em folhas 21 
Vidro plano 26 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 
2.6 – Valores mínimos das cargas verticais (kN/m2) 
(Fonte: ABNT - NBR 6120/1980) 
 
 
 
 
Local Carga 
1 - Arquibancadas 4 
2 – Balcões 
Mesma carga da peça com a 
qual se comunicam e as 
previstas em 2.2.1.5 
- 
3 - Bancos 
Escritórios e banheiros 2 
Salas de diretoria e de gerência 1,5 
4 - Bibliotecas 
Sala de leitura 2,5 
Sala para depósito de livros 4 
Sala com estantes, de livros a 
ser determinada em cada caso 
ou 2,5 kN/m
2
 por metro de 
altura observado, porém o valor 
mínimo de 
6 
5 – Casas de máquinas 
A ser determinada em cada 
caso, porém com valor mínimo 
de (incluindo o peso das 
máquinas) 
7,5 
6 - Cinemas 
Platéia com assentos fixos 3 
Estúdio e platéia com assentos 
móveis 
4 
Banheiro2 
7 - Clubes 
Sala de refeições e de 
assembléia com assentos fixos 
3 
Sala de assembléia com 
assentos móveis 
4 
Salão de danças e salão de 
esportes 
5 
Sala de bilhar e banheiro 2 
8 - Corredores 
Com acesso ao público 3 
Sem acesso ao público 2 
9 – Cozinhas não 
residenciais 
A ser determinada em cada 
caso, porém com o mínimo de 
3 
10 - Depósitos 
A ser determinada em cada caso 
e na falta de valores 
experimentais conforme o 
indicado em 2.2.1.3 
- 
11 – Edifícios residenciais 
Dormitórios, sala, copa, cozinha 
e banheiro 
1,5 
Despensa, área de serviço e 
lavanderia 
2 
12 - Escadas 
Com acesso ao público (ver 
2.2.1.7) 
3 
Sem acesso ao público (ver 
2.2.1.7) 
2,5 
13 - Escolas 
Anfiteatro com assentos fixos, 
corredor e sala de aula 
3 
Outras salas 2 
14 - Escritórios Salas de uso geral e banheiro 2 
15 - Forros Sem acesso a pessoas 0,5 
16 – Galerias de arte ou de 
lojas 
A ser determinada em cada 
caso, porém com o mínimo de 
3 
51 
 
17 – Garagem e 
estacionamentos 
Para veículos de passageiros ou 
semelhantes com carga máxima 
de 25 kN por veículo. 
3 
18 – Ginásios de esportes 5 
19 - Hospitais 
Dormitórios, enfermarias, sala 
de recuperação, sala de cirurgia, 
sala de raio X e banheiro 
2 
Corredor 3 
20 - Laboratórios 
A ser determinada em cada 
caso, porém com o mínimo de 
(incluindo equipamento) 
3 
21 - Lavanderias Incluindo equipamentos 3 
22 - Lojas 4 
23 - Restaurantes 3 
24 - Teatros 
Palco 5 
Demais dependências: cargas 
iguais às especificadas para 
cinemas 
- 
25 - Terraços 
Sem acesso ao público 2 
Com acesso ao público 3 
Inacessível a pessoas 0,5 
Destinados a heliportos 
elevados: segundo Ministério da 
Aeronáutica 
- 
26 - Vestíbulos 
Sem acesso ao público 1,5 
Com acesso ao público 2 
 
– No caso de armazenagem em depósitos e na falta de valores experimentais, o peso dos 
materiais armazenados pode ser obtido através dos pesos específicos aparentes que 
constam na tabela 2.7. 
– Ao longo dos parapeitos e balcões devem ser consideradas aplicadas, uma carga 
horizontal de 0,8 kN/m na altura do corrimão e uma carga vertical mínima de 2 kN/m. 
– Quando uma escada for constituída por degraus isolados, estes devem ser calculados para 
suportarem uma carga concentrada de 2,5 kN, aplicada na posição de cargas das vigas que 
suportam os degraus, as quais devem ser calculadas para carga indicada na tabela 2.6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 
 
2.7 – Características dos materiais de armazenagem 
(Fonte: ABNT - NBR 6120/1980) 
 
Material 
Peso específico 
aparente 
(kN/m
3
) 
Ângulo de atrito 
interno 
1 – Materiais de 
construção 
Areia com umidade 
natural 
17 30º 
Argila arenosa 18 25º 
Cal em pó 10 25º 
Cal em pedra 10 45º 
Caliça 13 - 
Cimento 14 25º 
Clinker de cimento 15 30º 
Pedra britada 18 40º 
Seixo 19 30º 
2 – Combustíveis 
Carvão mineral (pó) 7 25º 
Carvão vegetal 4 45º 
Carvão em pedra 8,5 30º 
Lenha 5 45º 
3 – Produtos 
agrícolas 
Açúcar 7,5 35º 
Arroz com casca 5,5 36º 
Aveia 5 30º 
Batatas 7,5 30º 
Café 3,5 - 
Centeio 7 35º 
Cevada 7 25º 
Farinha 5 45º 
Feijão 7,5 31º 
Feno prensado 1,7 - 
Frutas 3,5 - 
Fumo 3,5 35º 
Milho 7,5 27º 
Soja 7 29º 
Trigo 7,8 27º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
 
3 – Referencias bibliográficas 
 
 
1 – Rebello, Y.C.P., Estruturas de Aço, Concreto e Madeira – Atendimento da Expectativa 
Dimensional, Zigurate Editora, São Paulo, 2005. 
 
2 – Kulak, G.L. and Grondin, G.Y., Limit States Design in Structural Steel, Quadratone 
Grafics Ltd., Canada, 2002. 
 
3 – MacDonald, A.J., Structural Design for Architecture, Reed Educational and Professional 
Publishing Ltd., Great Britain, 1997. 
 
4 – McCormac, J.C., Structural Steel Design - LRFD Method, Harper Collins College 
Publishers, New York, 1995. 
 
5 – Pfeil, W., Estruturas de Aço – Dimensionamento Prático, Livros Técnicos e Científicos 
Editora Ltda., Rio de Janeiro, 1988. 
 
6 – Queiroz, G., Elementos das Estruturas de aço, Belo Horizonte, 1991. 
 
7 – Ambrose, J., Simplified Design of Steel Structures, John Wiley & Sons, Inc., New York, 
1997. 
 
8 – Hudson, R., Manual do engenheiro, Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., Rio de 
Janeiro, 1977. 
 
9 – MIC, Manual Brasileiro para Cálculo de Estruturas Metálicas, Rio de Janeiro, 1986. 
 
10 – Açominas, Edifícios de Andares Múltiplos, Belo Horizonte, 1982. 
 
11 - ABNT NBR 8800/86 - Projeto e Execução de Estruturas Edifícios: Método dos estados 
Limites, Rio de Janeiro, (Atualmente em revisão). 
 
12 - ABNT NBR 6120/80 – Cargas para Cálculo de Estruturas de Edificações, Rio de Janeiro, 
1980. 
 
13 – Gerdau Açominas, Tabela de Bitolas, São Paulo, 2007.