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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELE´TRICA
Escola Polite´cnica
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Prof. Joa˜o Pedro Lopes Salvador, M.Sc.
Questo˜es de Provas Antigas – Eletricidade
• Circuitos em CC
1. Utilizando qualquer me´todo de ana´lise no circuito CC mostrado na Figura 1, determine a po-
teˆncia dissipada pelo resistor R3. Considere regime permanente.
Dados:
I1 = 10 A
E1 = 100 V
R1 = R3 = R6 = R7 = 20 Ω
R2 = R4 = R5 = R8 = 10 Ω
L1 = L2 = 25 mH
C1 = 330 µF
Figura 1: Circuito em corrente cont´ınua.
2. No circuito mostrado na Figura 2, a tensa˜o VBD, entre os pontos B e D, e´ igual a 4 V.
Determine a tensa˜o VBC, entre os pontos B e C, e a tensa˜o e1 da fonte. Dica: VXY = VX−VY .
Figura 2: Circuito com fonte de tensa˜o constante.
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3. No circuito da Figura 3, determine a poteˆncia dissipada no resistor de 2 kΩ.
Figura 3: Circuito com fonte de corrente constante.
4. Para o circuito da Figura 4, determine o valor da resisteˆncia R3 sabendo que sa˜o dissipados
60 W em R2.
Dados: E = 140 V , R1 = 30 Ω, R2 = 15 Ω.
Figura 4: Resisteˆncia desconhecida.
5. Considere o circuito ele´trico com alimentac¸a˜o em corrente cont´ınua, trabalhando em regime
permanente, mostrado na Figura 5.
(a) Explique o que acontece com capacitores e indutores que justifique uma simplificac¸a˜o no
circuito e apresente esta simplificac¸a˜o.
(b) Equacione o me´todo da Ana´lise Nodal, indicando os no´s.
(c) Equacione o me´todo da Ana´lise de Malhas, indicando as malhas.
(d) Calcule a REQ vista por cada fonte no me´todo da Superposic¸a˜o.
Dados:
E1 = 12 V E2 = 20 V I1 = 1 A I2 = 2 A
R1 = 3 Ω R2 = 4 Ω R3 = 10 Ω R4 = 1 Ω
R5 = 12 Ω R6 = 6 Ω R7 = 2 Ω C1 = 470 µF
C2 = 330 µF C3 = 390 µF L1 = 50 mH L2 = 30 mH
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+_
+ _
E 1
E 2
I 2
I 1
R 1 R 2
R 3
R 4 R 5
R 6
R 7
L 1
L 2
C 2 C 3C 1
Figura 5: Circuito CC com 4 fontes.
• Circuitos em CA
1. Determine o valor da capacitaˆncia C, em milifarads [mF], para que a tensa˜o V˙s e a corrente
I˙s no circuito da Figura 6 estejam em fase, a uma frequeˆncia de
20
pi
Hz.
Figura 6: Circuito RLC em corrente alternada.
2. Para um circuito ele´trico, cujos elementos esta˜o em se´rie, escreve-se a seguinte equac¸a˜o, de
acordo com a Lei de Kirchhoff para Tenso˜es:
e(t) = 5pi i(t) +
6pi√
5
di(t)
dt
+
30pi√
15
∫
i(t)dt
(a) Determine os valores de resisteˆncia, indutaˆncia e capacitaˆncia do circuito.
(b) Se a fonte de tensa˜o e(t) for um degrau unita´rio, qual sera´ o valor da corrente i(t) quando
t→∞?
(c) Qual o valor de ω que faz com que um fasor de 2∠0◦ A seja encontrado, quando e´ aplicada
uma fonte de tensa˜o e(t) = 10pi
√
2 cos(ωt) V?
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3. Utilize o me´todo da superposic¸a˜o para determinar a tensa˜o, em func¸a˜o do tempo, a que esta´
submetido o capacitor mostrado no circuito da Figura 7. Considere sempre regime permanente.
Dados:

R1 = 2 kΩ
R2 = 3 kΩ
C1 = 470 mF
e1(t) = 50 V
e2(t) = 40
√
2 cos(120t+ 10◦) V
e3(t) = 30
√
2 cos(1500t− 40◦) V
Figura 7: Superposic¸a˜o.
4. Utilize a ana´lise de malhas para encontrar a corrente, em func¸a˜o do tempo, que passa pelo
capacitor C2 mostrado no circuito da Figura 8. Considere a frequeˆncia f = 10/pi Hz.
Dados: e1(t) = 28,284 cos(ωt) V; e2(t) = 21,213 cos(ωt+10
◦) V;
R1 = 2 Ω; R2 = 8 Ω; R3 = 2 Ω; L1 = 0,5 H; L2 = 0,2 H;
C1 = 5 mF; C2 = 12,5 mF.
Figura 8: Ana´lise de malhas.
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5. O circuito mostrado na Figura 9 e´ uma representac¸a˜o de um sistema industrial cujo forneci-
mento de tensa˜o e´ atrave´s de um alimentador monofa´sico de 640 V, corrente alternada. Os
motores M1, M2 e M3 sa˜o modelados como ramos RL se´rie conectados aos pontos indicados.
Determine:
(a) as tenso˜es de funcionamento de cada motor.
(b) as quedas de tensa˜o nas impedaˆncias Za, Zb e Zc do alimentador.
(c) as poteˆncias ativa e reativa totais, vistas pela fonte.
Dados:
V˙S = 640 ∠0◦ V
Za = 3 + j3 Ω ZM1 = 44 + j34 Ω
Zb = 4 + j4 Ω ZM2 = 80 + j60 Ω
Zc = 3 + j3 Ω ZM3 = 77 + j57 Ω
M1 M2 M3
Za Zb Zc
VS
Figura 9: Alimentador industrial.
6. O circuito mostrado na Figura 10 mostra uma carga RL se´rie sendo alimentada por duas fontes
de tensa˜o com frequeˆncias diferentes. Sabe-se que a carga funciona com melhor desempenho
a uma frequeˆncia de 60 Hz. Determine:
(a) os valores de L e C que fazem apenas a corrente de frequeˆncia 60 Hz passar para a carga.
Considere que L = (4× 104)× C.
(b) a corrente iLC(t) que entra no ramo LC.
Dados:
e1(t) = 300
√
2 cos(120pit) V RS = 0, 3 Ω LS =
1
600pi
H
e2(t) = 10
√
2 cos(360pit) V Rcarga = 30 Ω Lcarga =
1
6pi
H
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Rs Ls
L
C
e1(t)
e2(t)
Carga
RL série
iLC(t)
Figura 10: Circuito com filtro LC.
7. A Figura 11 mostra um circuito CA com duas fontes, uma de tensa˜o e outra de corrente.
Determine a expressa˜o da forma de onda da tensa˜o vc(t), no Capacitor C1, e da forma de onda
da corrente iL(t), no indutor L2.
Dados:
e(t) = 40
√
2 sen(t+ 30◦) V i(t) =
√
2 cos(5t− 40◦) A C1 = 1 F
R1 = 1 Ω R2 = 2 Ω R3 = 3 Ω
R4 = 4 Ω L1 = 1 H L2 = 2 H
R 1
R 2R 3
R 4
L 2
L 1
C 1 vC(t)
e(t)
i(t)
iL(t)
Figura 11: Circuito em corrente alternada.
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8. Em uma bancada de medic¸a˜o, a leitura do volt´ımetro acusou 60 V no circuito CA mostrado
na Figura 12. Determine:
Dados: R1 = 20 Ω; R2 = 12 Ω; R3 = 15 Ω; XC = 16 Ω; XL = 20 Ω.
(a) A leitura do amper´ımetro.
(b) O fasor que representa a tensa˜o da fonte conectada entre os pontos A e B.
(c) A poteˆncia complexa fornecida pela fonte.
Figura 12: Circuito CA na bancada de medic¸a˜o.
9. Em um laborato´rio de circuitos ele´tricos, havia um reator (indutor) cuja resisteˆncia interna
(RL) e indutaˆncia (L) eram desconhecidas. O te´cnico responsa´vel pelo laborato´rio resolveu
enta˜o fazer o teste de bancada mostrado na Figura 13: conectou o reator em se´rie com uma
resisteˆncia de 5 Ω e, aplicando uma tensa˜o alternada ao circuito, mediu as tenso˜es V1 (na
fonte), V2 (no resistor de 5 Ω) e V3 (no reator). Apo´s alguns ca´lculos, o te´cnico conseguiu
determinar a resisteˆncia interna, a indutaˆncia, a poteˆncia ativa e a poteˆncia reativa do reator.
Mostre os ca´lculos que o te´cnico fez e determine RL, L, P e Q.
Dados:
V1 = 220 V
V2 = 50 V
V3 = 200 V
f = 60 Hz
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Figura 13: Teste de bancada para o reator desconhecido.
• Poteˆncia CA
1. Considerando os circuitos R puro, L puro e C puro, disserte brevemente sobre as caracter´ısticas
da poteˆncia instantaˆnea p(t) que cada um deles recebe de uma fonte, cuja tensa˜o e´ dada por
v(t) = Vma´x cos(ωt) V . Comente sobre a realizac¸a˜o de trabalho e conceitue as poteˆncias ativa,
reativa e aparente.
2. Uma instalac¸a˜o ele´trica apresentou consumo de 35200 kWh no meˆs com fator de poteˆncia
me´dio igual a 0,89. A empresa funciona 176hpor meˆs e tem tensa˜o de fornecimento igual a
13,8 kV.
(a) Determine a poteˆncia ativa da maior carga, com FP 60% atrasado que pode ser ligada a`
instalac¸a˜o, de modo a na˜o superar a capacidade ma´xima de 300 kVA.
(b) Determine o valor da poteˆncia reativa e da capacitaˆncia do capacitor que corrige o fator
de poteˆncia da instalac¸a˜o, sem acre´scimo de carga, para 0,92.
3. Uma fonte de tensa˜o CA alimenta duas cargas em paralelo, cujas poteˆncias complexas sa˜o
dadas por S˙1 = 300∠45◦ VA e S˙2 = 150 + j200 VA. O fasor de tensa˜o da fonte, em sua forma
retangular, e´ 1150− j550 V, a 60 Hz. Determine:
(a) As poteˆncias ativa, reativa e aparente totais;
(b) Os fasores das correntes I˙1 e I˙2, em cada carga, e I˙T que sai da fonte;
(c) As impedaˆncias Z1 e Z2, de cada carga, e ZT total vista pela fonte;
(d) A poteˆncia reativa e a capacitaˆncia do capacitor que deve ser conectado em paralelo com
estas cargas, de modo a elevar o fator de poteˆncia total para 0,92.
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4. Sabe-se que um alimentador industrial monofa´sico, 440 V a 60 Hz, cujo quadro de cargas e´
mostrado na Tabela 1, tem sua capacidade ma´xima igual a 100 kVA.
Tabela 1: Quadro de cargas.
# Carga P [kW] Q [kVAr] S [kVA] cosφ
1 Laˆmpadas Incandescentes 10 1,00
2 Laˆmpadas Fluorescentes 7,5 0,80 (L)
3 Motor de Induc¸a˜o 20 25
4 Servic¸os Auxiliares 50
Total: 65
a) Complete a tabela com as informac¸o˜es que faltam.
b) Determine a poteˆncia reativa, em kVAr, e a capacitaˆncia, em F, do banco capacitivo
conectado em paralelo no alimentador que corrige o fator de poteˆncia total da instalac¸a˜o para
92% em atraso.
c) Suponha que, antes da correc¸a˜o, e´ desejado um acre´scimo de 20 kW com fator de
poteˆncia 0,5 em atraso. Este acre´scimo causa sobrecarga na instalac¸a˜o? Por queˆ? Justifique,
com ca´lculos, a ac¸a˜o que deve ser tomada pelo engenheiro responsa´vel para que na˜o haja
sobrecarga.
• Circuitos Trifa´sicos
1. Existe a necessidade da utilizac¸a˜o de uma chave de partida para que os medidores na˜o sejam
submetidos a uma corrente mais elevada, em relac¸a˜o a corrente nominal de funcionamento
de um motor ele´trico monofa´sico. Os motores trifa´sicos de induc¸a˜o tambe´m conservam esta
caracter´ıstica de uma alta corrente de partida. Considerando a alimentac¸a˜o trifa´sica sime´trica
de um motor 3φ balanceado, funcionando na sequeˆncia de fase ABC, mostre que a corrente
de linha de partida do motor pode ser reduzida a 1/3 do seu valor tabelado, desde que seja
utilizada determinada ligac¸a˜o de suas fases.
2. No circuito equilibrado e sime´trico, sequeˆncia ABC, mostrado na Figura 14, determine:
Dados: Z∆ = 50∠50◦ Ω, ZY = 40∠40◦ Ω, V˙AN = 600∠0◦ V.
a) As tenso˜es de fase na carga em Y.
b) As correntes de fase na carga em Y.
c) As tenso˜es de fase na carga em ∆.
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d) As correntes de fase na carga em ∆.
e) As correntes nas linhas que va˜o do gerador para as cargas.
f) P3φ, Q3φ e S3φ totais do circuito.
Figura 14: Circuito trifa´sico.
3. Dado o circuito trifa´sico, equilibrado e sime´trico, sequeˆncia ABC, mostrado na Figura 15.
Dados: Z∆ = 90∠30◦ Ω, IA = 30∠− 20◦ A.
(a) Quais devem ser os valores das tenso˜es fase-fase no gerador para uma queda de tensa˜o na
linha de transmissa˜o de 10∠20◦ V?
(b) Neste caso, quais os valores de RLT e XLT ?
(c) Determine P3φ, Q3φ e S3φ fornecidos pelo gerador.
(d) Determine QC3φ que corrige o FP da carga para 0,92.
Figura 15: Circuito trifa´sico.
• Transformadores
1. Explique de forma sucinta o funcionamento do transformador ideal. Responda por que na˜o
faz sentido utiliza´-lo em corrente cont´ınua e qual a vantagem de sua utilizac¸a˜o para o sistema
de transmissa˜o de energia ele´trica.
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2. Explique as diferenc¸as entre o modelo de transformador ideal e real. Desenhe o circuito equi-
valente do transformador real e diga o que cada componente representa.
3. Medidas feitas em um transformador de 500 kVA, 5000/500 V, conduziram aos seguintes
valores para a reataˆncia e resisteˆncia se´rie equivalentes referidas ao lado de baixa tensa˜o:
X ′′eq = 0, 010 Ω e R
′′
eq = 0, 005 Ω. A corrente e a tensa˜o de uma carga conectada ao lado
de BT teˆm mo´dulos iguais aos valores nominais do transformador. Calcule a tensa˜o induzida
no enrolamento secunda´rio E˙2, a regulac¸a˜o percentual de tensa˜o RT% e o rendimento η% do
transformador para cada situac¸a˜o:
(a) FP = 0,8 atrasado.
(b) FP = 0,8 adiantado.
4. Os seguintes dados foram obtidos para um transformador monofa´sico de distribuic¸a˜o de 100 kVA,
60 Hz e 13,8 kV/220 V. Determine o circuito equivalente completo do modelo do transforma-
dor real e o rendimento quando este alimenta uma carga nominal com fator de poteˆncia 80%
atrasado.
Tensa˜o [V] Corrente [A] Poteˆncia [W]
Ensaio a vazio 220 1,025 120
Ensaio em curto-circuito 352,5 7,246 1700
5. Determine valores de N1 e N2 de cada transformador da Figura 16, de modo que o sistema,
resistivo puro, opere com eficieˆncia exatamente igual a 90 %. Sabe-se que a tensa˜o da carga e´
Uc = 4 kV e que sua impedaˆncia e´ Zc =
4
√
15
3pi
Ω.
Figura 16: Transformadores ideais.
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6. Um gerador monofa´sico de 20 kV alimenta uma carga atrave´s de uma linha de transmissa˜o.
A impedaˆncia da carga e´ 200∠− 36, 9◦ Ω e a da linha e´ 50∠53, 1◦ Ω.
(a) Se o gerador for conectado diretamente a` carga como na Figura 17(a), determine a raza˜o
entre a tensa˜o da carga U˙C e a tensa˜o gerada U˙G.
(b) Se dois transformadores forem colocados no sistema conforme mostrado na Figura 17(b),
determine o valor da nova raza˜o entre as tenso˜es.
(c) Determine a eficieˆncia do sistema nos dois casos e compare os resultados.
Figura 17: Circuitos: (a) sem transformador e (b) com tranformador.
7. Um sistema ele´trico e´ composto pelos seguintes elementos: um gerador de tensa˜o desconhecida;
um transformador elevador ideal, com α1 = 0,01; uma linha de transmissa˜o com impedaˆncia
ZLT = 0,5 + j1,0 Ω; um transformador abaixador ideal, com α = 50; uma carga de 100 kW e
fator de poteˆncia 0,92 em atraso, cuja tensa˜o nominal e´ de 500 V. Determine:
(a) Os fasores de corrente I˙C na carga, I˙LT na linha e I˙G no gerador;
(b) O fasor de tensa˜o U˙G no gerador;
(c) As perdas ativas no sistema de transmissa˜o.