Determinação da relação carga-massa do elétron para o arranjo experimental das bobinas de Helmholz

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Determinação da relação carga-massa do elétron para o arranjo experimental das
bobinas de Helmholz
Guembarski, L.J
Departamento de Física, Universidade Estadual do Centro-Oeste, 85040-080, Campus CEDETEG/PR - Brasil.
(Dated: 23 de maio de 2019)
Neste trabalho é demonstrado um método para a determinação da carga específica do elétron.
A partir do efeito termoiônico, os elétrons emitidos são acelerados por uma diferença de poten-
cial, produzindo um feixe de elétrons. Obtém-se uma relação q
m
estudando a deflexão deste feixe
quando exposto a um campo magnético uniforme, gerado pelo arranjo experimental das bobinas
de Helmholtz. Foi determinado o valor de 1, 7526± 0, 04× 1011C/kg para esta relação com um
erro percentual de 0, 3%, tendo em vista que o experimento é realizado para fins didáticos, o erro
experimental é aceitável.
Palavras-chave: elétron, eletromagnetismo, corrente elétrica.
I. INTRODUÇÃO
A física já deixou grandes marcas na historia como
um todo, recentemente, grandes descobertas revolucio-
naram a maneira de como esta ciência pode ser vista.
No decorrer do século XX houve um salto enorme no que
diz respeito a física Moderna. O fato de hoje termos
estes conhecimentos em mãos, facilita muito a compre-
ensão de novos fenômenos hoje estudados. A descoberta
do elétron que rendeu o nobel de física a Joseph John
Thomson em 1906 é uma das conquistas mais significa-
tivas e que traz prestígio a toda comunidade científica.
Thomson, realizou uma série de experimentos estudando
tubos de raios catódicos para determinar uma relação
entre a carga q e a massa m das partícualas que compu-
nham esses raios (hoje o valor tabelado dessa grandeza
é e/m = 1, 7589.11C/kg). Esta experiência consistia na
observação da deflexão dos raios catódicos submetidos a
campos elétricos e magnéticos [1, 2].
O objetivo deste trabalho é determinar a relação carga-
massa ( qm ) do elétron através de um método que explora
conceitos básicos de eletromagnetismo e do efeito termoi-
ônico (parecido com o de Thomson) utilizando o arranjo
experimental das bobinas de Helmholz [1–4].
II. TEORIA
A. Efeito Termoiônico
Consiste na emissão de elétrons por uma superfície me-
tálica aquecida. A compreensão para este efeito é sim-
ples, haverá um aumento da energia cinética dos elétrons
quando se é fornecido energia térmica. Quando essa ener-
gia for suficiente a ponto de superar a barreira do po-
tencial da superfície do metal, haverá então, emissão de
elétrons formando uma nuvem ao redor deste [4].
Pode se obter uma relação matemática desse efeito com
a temperatura associando aos elétrons que saem do me-
tal, uma densidade de corrente (J0) que depende exclu-
sivamente das propriedades do metal [4, 5].
J0 = A ∗ e
−w
kBT (1)
Onde A é a constante de Richardson igual a 120,4
amperes/cm2, kB é a constante de Boltzmann, w é a
função trabalho e T a temperatura em Kelvin.
B. Efeito dos campos elétrico e magnético sobre
um elétron
Elétrons expostos a um campo elétrico ~E, tendem a
ser orientados de acordo com a direção deste campo (do
positivo para o negativo). Quando elétrons são acelera-
dos por uma diferença de potencial U, adquirem energia
cinética com velocidade ~v dada por:
e.U = 12m~v
2 (2)
Onde ~v é a velocidade do elétron, m = 9, 11×10−31Kg
é massa do elétron e e = −1, 602×10−19C representa sua
carga.
Quando sobre o elétron com velocidade ~v, atua uma
campo magnético ~B, surge um força
~F = e ∗ ~v × ~B (3)
tal, que altera a trajetória deste, tomando formato es-
piral [5–7].
Para um arranjo experimental onde o campo ~B é uni-
forme, como o das bobinas de Helmholtz, a força magné-
tica é igual a força centrípeta, com alguma manipulação
algébrica, utilizando-se desta informação e da equação 1,
obtemos a relação carga-massa do elétron conforme segue
e
m
= 2U(B.r)2 (4)
2
A partir da lei de Bio-Savart deduz-se uma expressão
para o campo magnético ~B (apêndice deduções), como
no arranjo de Helmholz a distancia a entre as bobinas
é igual ao raio, tomando então R = a a intensidade do
campo ~B a intensidade desse campo é dada por:
B =
(
4
5
) 3
2
.µ0n
I
R
(5)
onde µ0 = 1, 257.10−6 V sAm , R o raio da bobina e n é o
número de espiras da bobina.
III. EXPERIMENTO
Para o experimento foi utilizado o conjunto "determi-
nação da razão carga-massa"da Phywe contendo bobinas
de Helmholtz, uma fonte de alimentação regulável e uma
universal, um tubo de feixe estreito, dois multímetros
digitais e cabos conectores. O aparato foi montado da
seguinte forma:
Figura 1. Diagrama de conexões elétricas, a. montagem ex-
perimental e b. bobinas de Helmhotz.
Após isso, o ambiente ficou com baixa luminosidade e
o sistema foi ligado. Foi possível verificar um feixe de
elétrons com trajetória reta, logo em seguida foi variado
a corrente elétrica nas bobinas e então verificado que o
feixe tomou trajetória curva, variou-se o valor da tensão
de 100 à 260V, em intervalos de 20V. Com auxilio da
corrente foram ajustadas as orbitas circulares para raios
de 2, 3, 4 e 5 cm. Tendo os raios de orbitas bem ajusta-
das foram anotadas os valores das correntes obtidas. O
procedimento foi repetido 5 vezes em cada mudança de
tensão.
IV. RESULTADOS E DISCUSSÃO
Os resultados finais desta experiência decorrem de uma
análise puramente estatística, pois a confiabilidade destes
resultados aumenta de acordo com o maior número de
medidas, sendo que, para cada medida existe um erro a
ser considerado. Os resultados para a determinação da
relação qm é realizada de acordo com a equação Eq. 5,
no entanto, cada variável desta equação acompanha sua
própria incerteza. Para uma maior idoneidade, efetua-se
a propagação dos erros destas variáveis.
As tabelas I, II, III e IV apresentam as médias dos
resultados experimentais bem como os valores calculados
do campo ~B e da relação qm associada a cada uma das
medidas.
As incertezas associadas às medidas são de 1V para a
tensão e 0,01A para a corrente elétrica, como o campo
~B depende exclusivamente da corrente elétrica, este está
sujeito à incerteza desta variável (corrente elétrica). É
claro que existem outros fatores que podem influenciar no
campo ~B, porém a geometria deste aparato experimen-
tal (bobinas de Helmholtz) nos permite excluir quaisquer
influencias desta natureza.
Tensão(V) Corrente(A) ~B(10−3T ) e/m01011∗ C
Kg
100 2,37 1,6 1,86
120 2,85 2,0 1,54
140 3,05 2,1 1,57
160 3,26 2,3 1,57
180 3,45 2,4 1,57
200 3,64 2,5 1,58
220 3,79 2,6 1,60
240 3,94 2,7 1,61
260 4,02 2,8 1,68
Tabela I. Dados obtidos para o cálculo da razão q/m referentes
ao raio r = 0,02m
Tensão(V) Corrente(A) ~B(10−3T ) e/m01011∗ C
Kg
100 1,51 1,0 2,03
120 1,83 1,3 1,66
140 2,00 1,4 1,62
160 2,14 1,5 1,62
180 2,27 1,6 1,62
200 2,38 1,6 1,63
220 2,49 1,7 1,64
240 2,59 1,8 1,66
260 2,71 1,9 1,64
Tabela II. Dados obtidos para o cálculo da razão q/m refe-
rentes ao raio r = 0,03m
3
Tensão(V) Corrente(A) ~B(10−3T ) e/m01011∗ C
Kg
100 1,05 0,7 2,36
120 1,35 0,9 1,71
140 1,48 1,0 1,66
160 1,59 1,1 1,65
180 1,68 1,2 1,66
200 1,77 1,2 1,66
220 1,85 1,3 1,67
240 1,93 1,3 1,68
260 2,01 1,4 1,67
Tabela III. Dados obtidos para o cálculo da razão q/m refe-
rentes ao raio r = 0,04m
Tensão(V) Corrente(A) ~B(10−3T ) e/m01011∗ C
Kg
100 0,64 0,4 4,08
120 1,07 0,7 1,75
140 1,18 0,8 1,67
160 1,26 0,9 1,68
180 1,34 0,9 1,67
200 1,41 1,0 1,68
220 1,48 1,0 1,67
240 1,54 1,1 1,69
Tabela IV. Dados obtidos para o cálculo da razão q/m refe-
rentes ao raio r = 0,05m
Uma análise da Eq. 5 demonstra que as grandezas
campo ~B e o raio R estão associadas de maneira inver-
samente proporcional, de modo que quando aumentamos
o raio a intensidade do campo magnético diminui. Os
resultados concordam com esse conceito validando-o, de
igual maneira é possível observar esse efeito na prática
experimental.
O valortabelado para a relação q/m é
1, 7589× 1011C/kg, calculando a média de todos os
resultados obteve-se q/m = 1, 7526± 0, 04× 1011C/kg, o
±0, 04 é referente ao desvio padrão. O erro percentual,
entre os valores teórico e o obtido, é de 0, 3%, se
retornarmos às três últimas Tabelas, observaremos que
os resultados obtidos para 100V apresentam uma discre-
pância para com o valor teórico da relação, esses valores
influenciam na média de todas as medidas, contudo
se forem desconsiderados obtemos um erro percentual
de 6, 7% entre as relações, embora destoantes jogam
um papel positivo no resultado final. Não sabemos
explicar o motivo dessa ocorrência, aparentemente foi
uma coincidência satisfatória.
V. CONCLUSÕES
Concluímos que, de maneira geral, o método utilizado
para a determinação da relação q/m do elétron se mos-
trou bastante eficiente. As discrepâncias no valor deter-
minado estão de acordo com as incertezas presentes na
execução do experimento. A razão m/q é uma quanti-
dade física amplamente utilizada em eletrodinâmica de
partículas carregadas tal como aquela que envolve a óp-
tica de elétrons e íons. Nota-se a importância desta quan-
tidade que, em 1991, a unidade da razão m/q foi nomeada
thompson (Th), em homenagem àquele que primeiro a
determinou. No entanto, o inverso da razão m/q é geral-
mente o encontrado na literatura, o valor teórico aceito
atualmente é qm = 1, 7589.11C/kg [1–7].
VI. REFERÊNCIAS
[1] Carlin, N., Szanto, E., Jorge, F., Seale, W., Souza, F.
(2009). Estudo experimental do movimento de partículas
carregadas em campos elétricos e magnéticos: seletor de
velocidades. Revista Brasileira de Ensino de Física, 31.
[2] Cavalcante, M. A., Dias, E. F. (2006). Método da hélice
de Busch e a determinação da componente horizontal do
campo magnético terrestre. Revista Brasileira de Ensino
de Física, 28, 435-440.
[3] J.B. Hoag e S.A. Korff, Electron and Nuclear Physics (D.
Van Nostrand Company, Inc., New York, 1948), 3rd ed.
[4] Dionisio, P. H. (2010). (Motional electromotive forces and
the foundations of the classical electromagnetic theory. Re-
vista Brasileira de Ensino de Física, 32.
[5] Lima, E. d., Foschini, M., Maginiy, M. (Dezembro de
2001). O Efeito Termoiônico: Uma Nova Proposta Expe-
rimental. Revista Brasileira de Ensino de Física, 23.
[6] Silva, L. C., Santos, W. M., Dias, P. M. (2011). A carga
específica do elétron. Um enfoque histórico e experimental.
Revista Brasileira de Ensino de Física, 33.
[7] H. Moysés, N., Curso de Física Básica, Edgard Blücher
LTDA, São Paulo, vol. 3, 1a. Ed. (1997).
VII. DEDUÇÕES
Pela Lei de Biot-Savat:
B =
∫ 2pi
0
µ0i
4pi
dlcosθ
r2
Sendo r a distância entre a bobina e a carga. Imagine
que a carga encontra-se alinhada com o centro da bobina,
nesse caso, a distância r corresponderia a hipotenusa de
um triângulo retângulo com os catetos R (raio da bobina)
e a (a distância entre a carga e o centro da circunferência
da bobina).
Sendo assim temos que:
r2 = R2 + a2
O cosθ é o ângulo entre a carga e a bobina, portanto
no triângulo retângulo descrito seria o cateto oposto (R)
4
dividido pela hipotenusa (r) que poderia ser escrito como:
cosθ = R√
R2+a2
Substituindo na equação do campo magnético B:
B = µ0iR4pi
∫ 2pi
0
dl
(R2+a2)
3
2
Resolvendo a integral temos:
B = µ0iR
2
2(R2+a2)
3
2
A equação pode ser reescrita como:
B = µ0iR
2
2 (R2 + a2)−
3
2
Consideremos as duas bobinas interagindo com a
carga. Podemos adotar como eixo horizontal Z crescente
para a direita, vamos chamar de a a distância entre as
bobinas, portanto se a carga está na distância média en-
tre elas podemos dizer que ela está a uma distância de
Z + a2 da bobina a direita e Z − a2 da a esquerda.
Fazendo um somatório para validar a equação do
campo do exemplo anterior para esse, temos:
B = µ0iR
2
2
{[
R2 +
(
Z − a2
)2]− 32 + [R2 + (Z + a2 )2]− 32}
Adotando µ0 = 1, 257 ∗ 10−6 e o arranjo de Helmholtz
(onde a=R), temos:
B = ( 45 )
3
2µ0n
i
R
Nessa equação, n é o número de espiras.
Propagação de erros
f(X,Y, Z) = em = f(U,B, r) =
2UB
B(2)r(2)
A propagação de erro é:
∆ em =
√(
∂ em
∂U ∆U
)2
+
(
∂ em
∂B ∆B
)2
+
(
∂ em
∂r ∆r
)2
∆ em =
√( 2
B2r2 ∆U
)2 + ( 4UB3r2 ∆B)2 + ( 4UB2r3 ∆r)2
∆ em = 2
e
m
√(∆U
2U
)2 + (∆BB )2 + (∆rr )2