3ª Lista de Exercícios – A Teoria dos Determinantes

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Álgebra Linear
3ª Lista de Exercícios – A Teoria dos Determinantes
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1 – Justifique em cada caso o motivo do determinante ser nulo.
a) 
 b) 
 c) 
 
Solução. Identificando as propriedades dos determinantes que se anulam, vem:
a) O determinante é nulo, pois a 2ª linha é dobro da 1ª linha.
b) O determinante é nulo, pois a 3ª coluna inteira é formada por zeros.
c) A 3ª coluna é a soma do dobro da 1ª linha com a 2ª linha: 5 = 1 x 2 + 3; 4 = 2 x 2 + 0 e 2 = - 1 x 2 + 4.
2 – Encontre o determinante de cada matriz.
a) 
 b) 
 c) 
Solução. Aplicando Laplace é interessante escolher a linha ou coluna que possui mais zeros. Assim elimina-se alguns cofatores.
a) A 1ª coluna ou a 4ª linha apresentam dois elementos nulos. Escolhendo a 1ª coluna, vem:
OBS: Repare que no determinante 3 x 3 foram escolhidos nas 2ª colunas os elementos a13 e a23.
b) A 3ª linha possui somente um elemento não nulo.
OBS: Repare que no determinante 3 x 3 foram escolhidos na 2ª coluna os elementos a12 e a22.
c) O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal. Como um desses elementos é zero, o determinante é nulo. 
3 – Determine o conjunto verdade das equações.
Solução. 
a) Aplicando Laplace na linha 1, temos:
 
 
b) Aplicando Laplace na coluna 1, temos:
 
4 – Sabendo que 
, calcule os determinantes das seguintes matrizes.
Solução. Observando que os elementos se assemelham à matriz original, é possível aplicar as propriedades dos determinantes.
a) 
1470 b) 
0 c) 
– 2940
a) A 4ª linha foi trocada com a 1ª linha. Logo o determinante fica com o sinal trocado. Isto é, vale 1470.
b) A 3ª coluna é o dobro da 1ª coluna. Logo, o determinante se anula. Vale zero.
c) A 3ª coluna é o dobro da 3ª coluna da matriz original. Logo o determinante dobra. Vale (-1470 x 2)
5 – (ITA) Se 
, calcule o valor do 
 = 12.
Solução. Um determinante não se altera se uma linha for substituída pela soma de seus elementos com outra previamente multiplicada por um número. O determinante fica multiplicado pelo número que for multiplicado a uma linha ou coluna. Observando o segundo determinante, temos:
a) A 1ª linha foi multiplicada por (- 2).
b) A 2ª linha foi multiplicada por (2). A soma com a 3ª linha não há interfere.
c) A 3ª linha foi multiplicada por (3).
Conclusão. O determinante da matriz é o produto do determinante original por (-2).(2).(3) resultando no valor: (-1).(-2).(2).(3) = 12.
6 – Resolva as equações:
a) 
 b) 
 c) 
Solução. O procedimento será encontrar determinantes por qualquer método e igualar ao valor do 2º membro. Nos casos acima de 2 x 2, será utilizado o método de Laplace. 
a) Laplace na 1ª linha
b) Det 2 x 2 natural.
c) Laplace na 1ª linha.
a) 
b)
c) 
7 - (ITA-2006) Sejam as matrizes 
 e 
. Determine o elemento c34 da matriz 
.
Solução. Repare que não é preciso resolver toda a soma dos elementos. A informação que interessa é somente relativo ao elemento c34. Como a soma relaciona elemento a elemento correspondente a sua posição, temos que: c34 = a34 + b34 = 1 + 1 = 2.
8 - (Unicamp-2006) Sejam dados: a matriz 
, encontre o conjunto solução da equação 
.
Solução. Aplicando Laplace na 1ª coluna, temos:
Como essa expressão deve ser nula, temos:
OBS. Repare que para x = 1, a 1ª coluna seria toda nula, logo anularia o determinante. Se x = 2, a 2ª coluna seria igual à primeira, anulando também o determinante.
9 – (UEL-PR) Uma matriz quadrada A é simétrica se A = AT. Assim se a matriz 
 é simétrica, calcule x + y + z.
Solução. A matriz 
 é a simétrica. Igualando as matrizes A e AT, temos:
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
     a) 64
     b) 8
     c) 0
     d) -8
     e) -64 RESPOSTA: D
 
                  
      a) 2 ou -2
      b) 1 ou 3
      c) -3 ou 5
      d) -5 ou 3
      e) 4 ou -4 RESPOSTA: A
                                                    
      a) não se define;
      b) é uma matriz de determinante nulo;
      c) é a matriz identidade de ordem 3;
      d) é uma matriz de uma linha e uma coluna;
      e) não é matriz quadrada. RESPOSTA: B
 
      a) duas linhas proporcionais;
      b) duas colunas proporcionais;
      c) elementos negativos;
      d) uma fila combinação linear das outras duas filas paralelas; 
      e) duas filas paralelas iguais. RESPOSTA: D
 
      a) -9       b) -6       c) 3       d) 6       e) 9 RESPOSTA: E
 
      é igual a:
      a) 7       b) 8     c) 9       d) 10       e) 11 RESPOSTA: C
7) Seja a matriz 
. Determine os seguintes cofatores: A23, A21, e A22.
8) Seja 
 
9) Calcule o valor do 
 
10) Resolva as equações
 a) 
= 12, utilizando os cofatores da 3ª linha. b) 
 b) 
, pela Regra de Sarrus. d) 
11) Dadas as matrizes
 
 e 
12) Dadas as matrizes
 
 e 
13) Sendo 
 e 
, calcule o número real x, tal que det (A – xB) = 0.
14) Resolva a equação 
15) Dada a Matriz 
, determine o valor do determinante da matriz M2.
Resoluções dos exercícios propostos
	8) a) 
; 
 
 b) A12 = -(5 – 15) = 10; A14 = -2(3 – 1) = -4
 
= (-1)5.(-1)4 
= -2
 c) 
= A12 + A14 = 1.10 + 2.(-2) = 6
10) a) x1 = 2 ou x2 = 3.
 b) x1 = 0 ou x2 = 
.
 c) x = 4
 d) Não existe x real
	
Calcule o determinante, usando a Regra de Sarrus:
a) At b) Bt c) (A - B)t 
Calcule o determinante, usando a Regra de Sarrus, de cada uma das matrizes a seguir:
a) A b) B c) A + B d) A.B
a) Utilizando os cofatores da 2ª linha.
b) Utilizando a regra de Sarrus.
a) Determine: A12 e A14.
b) Calcule o valor dos cofatores A12 e A14.
c) Calcule o valor do determinante de A desenvolvendo pelos elementos da 1ª linha.
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