Lista 5 - Cálculo III

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5a Lista de Cálculo Diferencial e Integral III
1. Calcule a integral
∫
C
x2 dx+ (x2 − y2) dy, ao longo
(a) do segmento de reta de (0, 0) até (1, 1)
(b) da parábola y = x2 de (0, 0) até (1, 1)
(c) da parábola x = y2 de (0, 0) até (1, 1)
(d) da poligonal que liga os pontos (0, 0), (0, 1) e (1, 1) nessa ordem.
2. Calcule
∫
C
xy dx+ x2 dy ao longo do quadrado de vértices (0, 0), (0, 1), (1, 1) e (1, 0)
nessa ordem.
3. Calcule
∫
C
F ds, onde F (x, y) = (ey,− sen pix) e C é a fronteira do triângulo de
vértices (1, 0), (0, 1) e (−1, 0) percorrida em sentido anti-horário.
4. Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças F (x, y) = (x2 − y2, 2xy) ao mover
uma partícula ao longo da fronteira do quadrado limitado pelos eixos coordenados e pelas
retas x = a e y = a (a > 0) no sentido anti-horário.
5. Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças F (x, y, z) = (y2, z2, x2) ao longo da
curva obtida como interseção da esfera x2 + y2 + z2 = a2 com o cilindro x2 + y2 = ax,
onde z ≥ 0 e a > 0. A curva é percorrida no sentido anti-horário quando vista do plano
xy.
6. Calcule
∫
C
(2x− y) dx+ (x+ 3y) dy, onde
(a) C é o segmento de (0, 0) a (5, 0)
(b) C é formado pelos segmentos de reta de (0, 0) a (3, 0) e de (3, 0) a (3, 3)
(c) C é o arco da parábola y = 1− x2 de (0, 1) a (1, 0)
(d) C é o arco de y = x3/2 de (0, 0) a (4, 8)
7. Use o TFIL para calcular a integral de linha
1.
∫
C
(yi+ xj) · dα, onde C é uma curva regular de (0, 0) a (3, 8)
2.
∫
C
[2(x+ y)i+ 2(x+ y)j] · dα, onde C é uma curva regular de (−2, 2) a (4, 3)
3.
∫
C
cosx sen y dx+senx cos y dy, onde C é uma curva regular de (0,−pi) a (3pi/2, pi/2)
4.
∫
C
y dx− x dy
x2 + y2
, onde C é a curva regular de (1, 1) a (2
√
3, 2)
5.
∫
C
ex sen y dx+ex cos y dy, onde C é a ciclóide x = θ− sen θ, y = 1−cos θ de (0, 0)
a 2(pi, 0)
6.
∫
C
2x
(x2 + y2)2
dx+
2y
(x2 + y2)2
dy, onde C é a circunferência
(x− 4)2 + (y − 5)2 = 9 percorrida em sentido anti-horário de (7, 5) a (1, 5)
8. Em cada caso, diga se a afirmação é verdadeira ou falsa. Justifique.
1. Se C1, C2 e C3 são curvas regulares com os mesmos pontos inicial e final, e, se∫
C1
F · dα1 =
∫
C2
F · dα2, então
∫
C1
F · dα1 =
∫
C3
F · dα3
2. Se F = yi+xj e C é dada por α(t) = 4 sen ti+3 cos tj, t ∈ [0, pi], então ∫
C
F·dα = 0
3. Se F é conservativo em um conjunto aberto e conexo D limitada por uma curva de
Jordan. Se C é uma curva contida em D, então
∫
C
F · dα independe do caminho.
4. Se F =M i+N j e
∂M
∂x
=
∂N
∂y
, então F é conservativo
9. Seja Ik =
∮
Ck
P dx+Qdy, onde
P (x, y) = −y
[
1
(x− 4)2 + y2 +
1
x2 + y2
]
, Q(x, y) =
x− 4
(x− 4)2 + y2 +
x
x2 + y2
C1: é a circunferência de centro (0, 0) e raio 0 < a < 4
C2: é a circunferência de centro (4, 0) e raio 0 < b < 4
C3: é a curva fechada percorrida no sentido anti-horário na ordem (6, 2), (2, 2), (2, 0), (0, 2), (−2, 0),
(0,−2), (2, 0), (2,−2), (6,−2), (6, 2).
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(a) Calcule I1, I2 percorridas em sentido anti-horário.
(b) Calcule I3
10. Calcule
∮
C
(2x− y3)dx− 3xydy, onde C é a fronteira da região limitada pelas cir-
cunferências x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 9.
11. Calcule
∮
y2 dx+ x dy, onde C é a curva α(t) = (2 cos3 t, 2 sen 3t), t ∈ [0, 2pi].
12. Calcule
∮
x2y dx− y2x dy, onde C é a fronteira da região limitada por y = √4− x2,
y = 0 percorrida em sentido anti-horário.
13. Use o teorema de Green para calcular
∮
C
P dx+Qdy, onde
(a) F (x, y) = (2xy,−3xy) e C é o quadrado limitado por x = 3, x = 5, y = 1, y = 3;
(b) F (x, y) = (xy2, 2x2y) e C é a elipse 4x2 + 9y2 = 36;
(c) F (x, y) = (0, x2 + 2y2) e C é a circunferência (x− 2)2 + y2 = 1;
(d) F (x, y) = (ex sen y, ex cos y) e C é uma curva de Jordan de classe C1.
(e) F (x, y)+ 1
x2+y2
(−y, x), onde C é uma curva de Jordan de classe C1 que não contém
a origem.
OBS: As curvas são percorridas em sentido anti-horário.
14. Use o teorema de Green para calcular a área da região {(x, y) / x2+y2 ≤ a2, y ≥ a−x}
15. Use o teorema de Green para calcular a área da região R, onde
(a) R é a região limitada por y = x2 − 2, y = 6− x2;
(b) R é a região limitada por x = y2 − 10, x = 8− y2;
(c) R é a região limitada por x− y + 2 = 0, y = x2;
(d) R é a região limitada por y2 = 8x, x2 = 8y.
16. Sejam S = {(x, y) / (x− 1)2 + (y − 1)2 > 0},
P (x, y) =
y − 1
(x− 1)2 + (y − 1)2 , Q(x, y) =
x− 1
(x− 1)2 + (y − 1)2 , (x, y) ∈ S.
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e C uma curva fechada simples de classe C1 por partes contida em S. Calcule
∮
C
P dx+Qdy,
onde C é percorrida em sentido anti-horário se
1. (1, 1) é um ponto que está na região interior a C;
2. (1, 1) é um ponto que não pertence a C nem ao seu interior.
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