Exercícios de Matrizes e Determinantes

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Aula 9
	
	 
		
	
		1.
		Calcule o valor de x, a fim de que o determinante da matriz A seja nulo.
	
	
	
	18
	
	
	10
	
	
	13
	
	
	11
	
	
	15
	
Explicação:
Aplicando a regra de Sarrus, temos que o determinante será da seguinte forma.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		                                                                              a-2b+3c=18
Os valores de a , b e c , soluções do sistema      3a+2b-c=15       ,      formam, nessa ordem, uma PA de razão 2. Determine o valor de M.
                                                                              5a+4b+7c=M
	
	
	
	108
	
	
	95
	
	
	97
	
	
	116
	
	
	215
	
Explicação:
Temos:  (a,b,c) -> PA de razão 2 -> b=a+2 -> a=b-2
                                                         c=b+2
 
a-2b+3c=18 -> b-2-2b+3(b+2)=18 -> 2b=14 -> b=7
Então: a=5 e c=9
DAí: M=5a+4b+7c -> M=5.5 + 4.7 + 7.9 -> M=25+28+63 -> M=116
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Calcule o determinante:
1/2      1/3
 3         4
	
	
	
	4
	
	
	1
	
	
	3
	
	
	2
	
	
	5
	
Explicação:
Para achar os o valor do determinante, em uma matriz quadrada, temos de multiplicar a11 por a22, e o mesmo em a12 por a21, e fazer a diferença do produto dos dois, como segue abaixo:
D = 1/2 . 4 - 1/3 . 3 = 0,5 . 4 - 0,3333 . 3
D = 2 - 1 = 1
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Um sistema linear tem a seguinte matriz de coeficientes ​⎡⎢⎣3452k41−22⎤⎥⎦[3452k41−22]​. Uma condição necessária e suficiente sobre k para que o sistema tenha uma única solução é:
	
	
	
	k diferente de 12111211
	
	
	k diferente de 4
	
	
	k diferente de −1211−1211
	
	
	k diferente de zero
	
	
	k diferente de - 4
	
Explicação:
​\[3452k41−22\]\[3452k41−22\]​
O determinante da matriz acima, aplicando a regra de Sarrus, é: k + 4
Para que o sistema admita uma única solução, k + 4 deve ser diferente de zero. Logo: k é diferente de - 4. 
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Resolva, em R, a desigualdade:
⎛⎜⎝4−12x10032⎞⎟⎠(4−12x10032)  >  ⎛⎜⎝1100x1002⎞⎟⎠(1100x1002)
	
	
	
	x>−1/2x>−1/2
	
	
	x>3/2x>3/2
	
	
	x>−4/3x>−4/3
	
	
	x<−3/2x<−3/2
	
	
	x<1/2x<1/2
	
Explicação:
Calculando o determinante de cada matriz, obteremos, respectivamente:
0 + 0 + 2x + 8 + 0 + 6x  >  0 + 0 + 0 + 2x + 0 + 0
2x + 8 + 6x  > 2x
2x + 6x - 2x  > - 8
6x > -8
x > −8/6−8/6  (simplifique a fração)
x > −4/3−4/3
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Determine o cofator do elemento b22 na matriz B:
B=⎛⎜
⎜
⎜⎝3127193544300135⎞⎟
⎟
⎟⎠B=(3127193544300135)
	
	
	
	87
	
	
	83
	
	
	85
	
	
	91
	
	
	89
	
Explicação:
Eliminando a 2ª linha e a 2ª coluna de B, obtemos:
B22 = (-1)2+2 . ⎛⎜⎝327430035⎞⎟⎠(327430035)  (nesta etapa calcule o determinante normalmente e depois multiplique para achar o cofator)
B22 = 1 . 89
B22 = 89
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Sendo (a,b,c) a solução do sistema ⎧⎨⎩x−2y+4z=92x+y−10z=−133x+3y−z=10{x−2y+4z=92x+y−10z=−133x+3y−z=10,então a + 2b - c, vale:
	
	
	
	3
	
	
	2
	
	
	4
	
	
	-4
	
	
	6
	
Explicação:
Temos:
D=∣∣
∣∣1−2421−1033−1∣∣
∣∣=−1+60+24−12−4+30=97D=|1−2421−1033−1|=−1+60+24−12−4+30=97
Da=∣∣
∣∣9−24−131−10103−1∣∣
∣∣=−9+200−156−40+26+270=291Da=|9−24−131−10103−1|=−9+200−156−40+26+270=291
Db=∣∣
∣∣1942−13−10310−1∣∣
∣∣=13−270+80+156+18+100=97Db=|1942−13−10310−1|=13−270+80+156+18+100=97
Dc=∣∣
∣∣1−2921−133310∣∣
∣∣=10+78+54−27+40+39=194Dc=|1−2921−133310|=10+78+54−27+40+39=194
 
  Daí:
a = Da/D = 291/97 = 3
b = Db/D = 97/97 = 1
c = Dc/D = 194/97 = 2
 
Então: a + 2b - c = 3 + 2.1 - 2 = 3
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Qual o valor do determinante?
a    -1    1
a    -1   -a
a²    1    a
	
	
	
	a² - a
	
	
	a²
	
	
	a³
	
	
	a - a³
	
	
	a³ - a²
	
Explicação:
Nesta questão deve ser aplicado o calculo de determinante em matriz de ordem 3, copiando as duas primeiras colunas ao lado da terceira.
Formando uma matriz A3x5,  e seguir o calculo do determinante que ficará da seguinte forma:
D = a² + a² - a² - a² - a³ + a
D = 2a² - 2a² - a³ + a
D = a - a³